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布朗运动（Brownian motion）
　　布朗运动是悬浮在液体或气体中的微粒所作的永不停息的无规则运动。它是一种的独立增量连续随机过程，是随机分析中基本概念之一。其基本性质为：布朗运动W(t)是期望为0方差为t(时间)的正态随机变量。对于任意的r小于等于s，W(t)-W(s)独立于的W(r)，且是期望为0方差为t-s的正态随机变量。可以证明布朗运动是、和。
　　布朗运动是在1827年英国植物学罗伯特·布朗(Robert Brown)利用一般的显微镜观察悬浮于水中由花粉所迸裂出之微粒时，发现微粒会呈现不规则状的运动，因而称它布朗运动。
　　这些小的颗粒，为液体的分子所包围，由于液体分子的热运动，小颗粒受到来自各个方向液体分子的碰撞，布朗粒子受到不平衡的冲撞，而作沿冲量较大方向的运动。又因为这种不平衡的冲撞，使布朗微粒得到的冲量不断改变方向。所以布朗微粒作无规则的运动。温度越高，布朗运动越剧烈。它间接显示了物质分子处于永恒的、无规则的运动之中。但是，布朗运动并不限于上述悬浮在液体或气体中的布朗微粒，一切很小的物体受到周围介质分子的撞击，也会在其平衡位置附近不停地做微小的无规则颤动。例如，灵敏电流计上的小镜以及其他仪器上悬挂的细丝，都会受到周围空气分子的碰撞而产生无规则的扭摆或颤动。
　　那么，布朗运动到底是怎么产生的呢？这些粒子是自发的运动还是受到周围分子的不平衡的碰撞而导致的运动？答案是后者，但理论上的解释却并不容易。1905年，大科学家爱因斯坦在写了一篇被广泛引用的论文，才从理论上解释了布朗运动，他的研究也成为分子运动论和统计力学发展的基础，那一年爱因斯坦还写了另外两篇更著名的论文，一篇是狭义相对论，一篇是光电效应（提出了量子概念）。有趣的是爱因斯坦提出这个理论，并不清楚这个理论一定与布朗运动有关，法国人佩兰（perrin）为此做了几年的实验，终于证明爱因斯坦的公式是对的，他因此获得了1926年的诺贝尔物理学奖。
　　不过在爱因斯坦的论文发表之前，还有一个人也从理论上对随机运动进行了研究，1900年，法国数学家巴契里耶完成了自已的博士论文“投机理论”，这篇论文是历史上第一次有人尝试使用严谨的数学工具研究并解释的运动，巴契里耶所推导的公式也领先于爱因斯坦的研究，他认为同时反映过去、现在和将来，但这些事件与价格变动却没有明显的关系。就象液体的中花粉受到周围投资者买卖的碰撞而呈现出的波动，波动的范围与时间的平方根成正比。巴契里耶原创性的研究可以说是财务学的鼻祖，尽管他生前并没有太大名气，就是这篇论文也未能得到最优评级，而且论文原稿还遗失了，直到20世纪50年代才被另一个统计学家意外地发现。
　　严格以数学公式来比照股市可能并不可取，但学术的研究对更好的认识股市却是非常有帮助的，尤其是上周股市的调整更是让对股市的莫测体会深刻。面对国内如火如荼的股市，投资者首先必须接受的一点是：股市如果出现调整，依靠是无法回避的。上把引发股市调整的事件称做“最后一根稻草”，什么事件都有可能引发转折，只有在事后人们才能确定，比如这次的调整。面对这种，的控制和上的配置才是可行的解决之道，比如基于价值的就是比较有效的战略。
　　第二个结论是关于估值，布朗运动的规律是粒子的运动与温度成比例。对于而言，估值与的温度也直接相关。当市场比较热时，估值一定会处于较高水平，也就是说国内的投资者在这段时间内将不得不面对一个估值较高的市场，如果希望等待市场估值下降之后再去投资，很可能会失去机会，任何只是是估值不高就有机会，这与市场低迷时完全不一样，就算是也很可能会处于中。高估值自然面临估值下调的风险，但正是因为承担了这种风险，投资者才有机会获得分享企业成长的。当然较高估值并不是无原则的投机，也不是无限度的泡沫。
　　第三个结论是关于，粒子的质量与其运动的幅度也是成比例的，所以这轮中投资中、小规模市值的股票很可能会获得更高的收益。从的角度分析也有类似的结论，毕竟在基数较低时的扩张会更容易，而国内目前的对大市值股票来说影响也不大。所以除了去年下半年，大部分时间大市值股票是跑输大盘的。
陈宣毅,布朗运动：从花粉的无规行走到生物与天文(J).物理双月刊,廿七卷三期,2005年6月
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最初由日本概率论大师伊藤创立的关于布朗运动的随机积分理论,在概率论这支古老的大树上...定理（伊藤公式）设dξ（t）=a（t）dt+b（t）dW（t），又设f（x，t）及其导数fx，fxx，ft关于（x，t）∈R×[0，∞）为连续函数。则
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&&&&【提要】本篇《布朗运动和伊藤引理的运用【2】_》由66test小编特别为需要综合文库的朋友收集整理，仅供参考。
朗运动。由于?x?x?t2?x2&&&&?G?G1?2G2a??b，t的函数，因此函数G也遵循伊藤过程，他的漂移率为：?x?t2?x2&&&&方差率为(?G22)b。公式（2.5）就是著名的伊藤引理。 ?x&&&&3、 证券价格的变化过程&&&&证券价格的变化过程可以用漂移率为?S，方差为?2S2的伊藤过程来表示：&&&&dS??Sdt??Sdz （2.6）&&&&两边同时除以S得：&&&&dS??dt??dz （2.7） S&&&&?表示证券在单位时间内以连续复利表示的期望收益其中S表示证券价格，&&&&率，?2表示证券收益率单位时间的方差，?表示证券收益率单位时间的标准差，简称证券的波动率。公式（2.7）又被称为几何布朗运动。&&&&从式（2.7）可知，在短时间?t后，证券价格比率的变化值&&&&?S???t?S?S为：&&&&&&&&S&&&&可见，?S也具有正态分布特征，其均值为??&&&&&&&&t，标准差为，方差为S&&&&?2?t。换句话说&&&&&&&&?S??(??t, S&&&&其中，?(m,s)表示均值为m，标准差为s的正态分布。&&&&在式（2.7）中，我们涉及两个符号，?和?，其大小取决于时间计量单位。在本文中，以年为时间的计量单位。&&&&?值取决于该证券的系统性风险、根据资本资产定价原理，无风险利率水平、&&&&以及市场的风险收益偏好。由于后者涉及主观因素，因此?的决定本身比较复杂。接下来我们将证明衍生证券的定价与标的资产的预期收益率（?）是无关的。相反，证券价格的波动率（?）对于衍生证券的定价则是相当重要的。证券价格的波动率可以理解为证券价格的“脾气”。我们可以通过历史数据来观察各种证券“脾气”的大小，然后通过公式（2.7）来确定其未来价格的概率分布。应该注意的是，公式（2.7）把?当做常数，实际上，?会随时间的变化而变化。&&&&4、 证券价格自然对数变化过程&&&&利用伊藤引理来对到证券价格自然对数lnS变化所遵循的随机过程。&&&&令G=lnS，由于&&&&?G1?G?2G1?，2??2，?0 ?SS?t?SS&&&&根据式（2.5），我们可以得出证券价格对数G也遵循的随机过程为：&&&&dG?(???2&&&&2)dt??dz （2.8）&&&&由于?和?是常数，所以上式说明证券价额对数G也遵循普通布朗运动，它具有恒定的漂移率???2/2，和恒定的方差率?2。由前面的分析可知，在当前时刻t和将来某一时刻T之间G的变化都是正态分布的，其均值为(???2/2)(T?t)，方差为?2(T?t)。&&&&令t时刻G的值为lnS，T时刻G的值为lnST，其中S表示t时刻（当前时刻）的证券价格，ST表示T时刻（将来时刻）的证券价格，则在T-t期间G的变化为：&&&&lnST?lnS&&&&这意味着：&&&&&&&&lnST?lnS??[(???2&&&&2)(T?t), （2.9）&&&&也就是说，证券价格对数的变化呈正太分布。&&&&根据正太分布的特性，从式（2.9）可以得到：&&&&&&&&lnST??[lnS?(???2&&&&2)(T?t),? （2.10）&&&&三、布朗运动伊藤引理的运用&&&&本文运用布朗运动和伊藤引理，选取了云南白药（93年——2013年的收盘价进行数据分析，数据来源于：通信达。&&&&经过计算，得到云南白药股价的波动率为每年99.92%，预期收益率为每年21.33%，日的市价为87.88元。&&&&1、假设该股票不付红利，计算一周后该股票价格变化的概率分布 因为??0.2133，??0.9992，其股价过程为：&&&&dS?0.2133dt?0.9992dz S&&&&在随后短时间时隔后的股价变化为：&&&&&&&&?S?0.2133?t?0.9992S&&&&由于一周等于0.0192年，因此&&&&?S?87.88(0.2?)&&&&?0.?&&&&上式表示一周后股价的增加值是均值为0.3603元，标准差为12.147元的正态分布的随机抽样值。&&&&2、假设该股票在6个月内不付红利，计算该股票6个月后价格ST的概率分布。&&&&由式（2.10）可知，6个月后的价格ST的概率分布为：&&&&&&&&lnST??[ln87.88?(0.6)?0.5, 2&&&&lnST??[4.333,0.1508]&&&&由于一个正态分布变量取值位于均值左右两个标准差范围内的概率为&&&&95.45%，因此，置信度为95.45%时：&&&&4.0314?lnST?4.6346&&&&56.3397?ST?102.9867&&&&因此，6个月后云南白药的股价落在56.3397元到102.9867元之间的概率为95.45%。&&&&根据式（2.10）和对数正态分布的特性，可知ST的期望值E(ST)为：&&&&E(ST)?Se?(T?t)&&&&这与作为预期收益率的定义相符。ST的方差var（ST）为：&&&&var(ST)?S2e2?(T?t)[e?2(T?t)?1]&&&&因此，云南白药在6个月后股票价格的期望值和标准差分别为：&&&&E(ST)?87.88e0.?97.7704元&&&&var(ST)?87.882e2?0.?[e0.?1]=&&&&半年后云南白药股票价格的期望值为97.7704，方差为，标准差为78.677。&&&&……
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