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理论力学角加速度问题齿条A版的A端沿水平地面以速度V向右匀速运动,带动半径为r的齿轮D在水平地面上做纯滚动.试求当fai等于60°时齿轮D与齿条AB的角加速度.说说我的思路：齿轮D的角加速度：啮合处延速度方向的加速度投影M1=M2的,设出齿轮的角加速度,由两点间的加速度关系可求出齿轮角加速度.AB的角加速度想不出来.求指教.
獨箍說丶374
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齿条AB做平面运动,速度瞬心是DVA=ωAB*AD=ωAB*3rωAB=VA/3rVE=ωAB*ED=(VA/3r)(√3)r=(√3)VA/3C是齿轮o的速度瞬心是纯滚动轮上与E重合点的速度与VE相等VE=ωo*oE=ωo*(√3)r=(√3)VA/3ωo=VA/3r&加速度矢量等式aA=aAτ+aAn+aEτ+aEn+ao& (1)向AB方向投影0=aAn+aEτ-ao*cos60°&&&&&&&&&& (2)& = ωAB^2*(√3)r+εor-ε0r/2εo=-2(√3)V^2/(9r^2)向oE方向投影0=aAτ+ao*cos30°-aEn&&&&&&&&&& (2)&=εAB*(√3)r+εo*(√3)r/2-ωo^2*rεAB=4(√3)V^2/(27r^2)
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一道理论力学题,这道题里角速度是怎么由角加速度积分出来的?&
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a*dθ=w*dw=3g/2l * sinθdθ=3g/2l * d(-cosθ),从0到θ积分得0.5*w^2=3g/2l *(1-cosθ),乘2开根号得到结果
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扫描下载二维码工程静力学基础 第1章
受力分析概述 1－1
图a、b所示，Ox1y1与Ox2y2分别为正交与斜交坐标系。试将同一力F分别对两坐标系进行分解和投影，并比较分力与力的投影。习题1－1图 1
解：（a）图（c）：F?Fsoc? i1?Fnis? j1 2x2 （d）? j1
分力：Fx1?Fcos? i1
投影：Fx1?Fcos?
Fy1?Fsin讨论：?= 90°时，投影与分力的模相等；分力是矢量，投影是代数量。
（b）图（d）：
分力：Fx2?(Fcos??Fsin? cot?)i2
，Fy2?Fsin?j2 sin?投影：Fx2?Fcos?
Fy2?Fcos(???)
讨论：?≠90°时，投影与分量的模不等。 1－2
试画出图a和b 习题1－2图RD C FRD(a-2)(a-3) 比较：图（a-1）与图（b-1）不同，因两者之FRD值大小也不同。 — 1 —(b-1) 1－3
试画出图示各物体的受力图。习题1－3图(a-1)B(b-1)A FB或(a-2) F (c-1)
或(b-2) (e-1)— 2 —
(f-1)1'O1 (f-2) (f-3) 1－4图a所示为三角架结构。荷载F1作用在铰B上。杆AB不计自重，杆BC自重为W。试画出b、c、d所示的隔离体的受力图，并加以讨论。 习题1－4图FB1 FA1B2y(c-1) FFB1 yDx(b-2) F F 1B2y(b-3) F'F1 (d-2) 1－5图示刚性构件ABC由销钉A和拉杆D支撑，在构件C点作用有一水平力F。试问如果将力F沿其作用线移至D或E（如图示），是否会改为销钉A的受力状况。解：由受力图1－5a，1－5b和1－5c分析可知，F从C移至E，A端受力不变，这是因为力F在自身刚体ABC上滑移；而F从C移至D，则A端受力改变，因为HG与ABC为不同的刚体。F 习题1－5图
(a) — 3 — FC 1－6
试画出图示连续梁中的AC和CD梁的受力图。(b)H(c) F'习题1－6图 FDx (a) (b) 1－7
画出下列每个标注字符的物体的受力图，各题的整体受力图未画重力的物体的自重均不计，所有接触面均为光滑面接触。 FAx D(a-3) 'C E(b-1)(b-2)'BF(b-3) CFFB (c)— 4 —1-7d
1-7g — 5 —2N2CyRDFByCyRDFAxFBx?FFFCyT2DxFTFFT?FEyT3FCy?Ex1-7h
1-7i1-7j?ByAyBxFCy?BxFFRBFFAyAyRCRDBRGFRH— 6 —第2章
力系的等效与简化 2－1试求图示中力F对O点的矩。 习题2-1图解：（a）MO(F)?MO(Fx)?MO(Fy)?MO(Fy)?Fsin??l（b）MO(F)?Fsin??l（c）MO(F)?MO(Fx)?MO(Fy)??Fcos?Fl2?sin?(l1?l3)（d）MO(F)?MO(Fx)?MO(Fy)?MO(Fy)?Fsin?l1?l2 2－2
图示正方体的边长a =0.5m，其上作用的力F=100N，求力F对O点的矩及对x轴的力矩。
解：22MO(F)?rA?F?a(i?k)?F(?i?j) 2A rA ?Fa(?i?j?k) 2?35.36(?i?j?k)kN?m习题2-2图 Mx(F)??35.36kN?m（a）2－3
曲拐手柄如图所示，已知作用于手柄上的力F=100N，AB=100mm，BC=400mm，CD=200mm，??= 30°。试求力F对x、y、z轴之矩。解：MA(F)?rD?F?(0.3j?0.4k)?F(sin2?i?sin?cos?j?cos?k)??100cos?(0.3?0.4sin?)i?40sin2?j?30sin2?k力F对x、y、z轴之矩为：Mx(F)??100cos?(0.3?0.4sin?)??50(0.3?0.2)??43.3N?mMy(F)??40sin2???10N?mMz(F)??30sin2???7.5N?m习题2-3图 2—4
正三棱柱的底面为等腰三角形，已知OA=OB=a，在平面ABED内沿对角线AE有一个力F， 图中θ =30°，试求此力对各坐标轴之矩。— 7 —解：MO(F)?rA?F?ai?F(?cos?cos45?i?cos?sin45?j?sin?k)?aF(?sin?j?cos?sin45?k)力F对x、y、z轴之矩为：Mx(F)?0My(F)???aFsin30???aF 2Mz(F)?aFcos30?sin45??Fa 4 习题2－4图 2－5
如图所示，试求力F对A点之矩及对x、y、z轴之矩。解：MA(F)?rAB?Fijd3F5kd 0
?-d4F5=1Fd(?3i?4j?7k) 5FMO(F)?dj?(4i?3j) 5习题2－5图(a)力F对x、y、z轴之矩为：Mx(F)?0；My(F)?0；Mz(F)??Fd 2—6面。求这四个力偶的合力偶。 解：45M?M1?M2?M3?M43??(M1?M4)i?M2j?(M3?M4)k55??14.4i?8j?12.8kN?m 2－7
已知一平面力系对A（3,0），BAB = 0，MC =–10kN·m。试求该力系合力的大小、方向和作用线。解：由已知MB = 0知合力FR过B点； 由MA = 20kN·m，MC = -10kN·m知FR位于A、C间，且AG?2CD（图a）在图（a）中，设
OF = d，则d?4cot?(d?3sin?)?AG?2CD （1）d2d??2(4.5?sin? 即
(d?3)sin2??(4.5?)sin?
CD?CEsin（2） 习题2－7图d?3?9?d， d?3F点的坐标为（-3, 0）合力方向如图（a），作用线如图过B、F点；— 8 — tan??4 345MA?FR?AG?FR?4.8AG?6sin??6??4.82025?kN 4.86510即
FR?(,)kN234作用线方程：y?x?43FR? R(a)讨论：本题由于已知数值的特殊性，实际G点与E点重合。 2－8
已知F1 = 150N，F2 = 200N，F3 = 300N，F =F?= 200N。求力系向点O的简化结果，并求力系合力的大小及其与原点O的距d。8013?F12002FF11100 习题2－8图解：?Fx??F1cos45??F2 1?F3?F31152??437.6 N?Fy??F1sin45??F23??161.6 N?MO(F)?F1sin45??0.1?F3?0.2?0.08F?21.44 N?m向O点简化的结果如图（b）；合力如图（c），图中FR'?(?Fx)2?(?Fy)2?466.5 N，MO?21.44 N?m'合力FR?FR?466.5 N，d?MO?45.96 mm FR 2－9
图示平面任意力系中F1 = 402N，F2 = 80N，F3 = 40N，F4 = 110M，M = 2000 N·mm。各力作用位置如图所示，图中尺寸的单位为mm。求（1）力系向O点简化的结果；（2）力系的合力的大小、方向及合力作用线方程。F(-50,0)(0,30)(20,20)F45FF(20,-30) 解：FRx??Fx?F1cos45??F2?F4??150 NFRy??Fy?F1sin45??F3?0习题2－9图 — 9 — FR'?(?Fx)2?(?Fy)2?150 NMO??MO(F)?30F2?50F3?30F4?M??900 N?mm向O点简化结果如图（b）；合力如图（c），其大小与方向为'FR?FR??150i N设合力作用线上一点坐标为（x,y），则MO(FR)?MO?xFRy?yFRx'将MO、FRy和FR值代入此式，即得合力作用线方程为：y??6 mm x' 2－10
图示等边三角形板ABC，边长a，今沿其边缘作用大小均为FP的力，方向如图（a）所示，求三力的合成结果。若三力的方向改变成如图（b）所示，其合成结果如何？ FFFFFAFFFFF F 习题2－10图 '解（a）FR??Fi?0 a?FPa（逆） 223合成结果为一合力偶M?FPa（逆）2'（b）向A点简化FR??2FPi（←） MA?FP? FPa（逆） 2MA再向A'点简化，d??a
'4FR合力FRA??2FPi（←） MA? 2－11 图示力系F1 = 25kN，F2 = 35kN，F3 = 20kN，力偶矩m = 50kN·m。各力作用点坐标如图。试计算（1）力系向O点简化的结果；（2）力系的合力。解（1）向O点简化'FR??Fi?10k kNMO??MO(F)i
20 习题2－11图?50j?3
0?(?80i?105j) kN?m（2）合力FR?10k kN设合力作用线过点(x,y,0)，则— 10 —i
图示载荷FP=1002N， FQ=200N，分别作用在正方形的顶点A和B处。试将此力系向O点简化，并求其简化的最后结果。
0?MO??80i?105j 0
10x??10.5，y??8.0，z?0 合力作用线过点（-10.5，-8.0，0）。解：FP?100(?i?k) N
FQ?200(?i?j?k) Ni
100?(200i?300j) N?mi
0'FR??Fi?(?300i?200j?300k) N 习题2－12图MO?rA?FP?FB?FQ'合力 FR?FR?(?300i?200j?300k) N设合力过点（x,y,0），则 i
300?MO?200i?300j2，z?0 32即合力作用线过点（1,,0）。 3得 x?1，y? 2－13
图示三力F1、 F2和 F3的大小均等于F，作用在正方体的棱边上，边长为a。求力系简化的最后结果。解：先向O点简化，得
FR'?Fk， MO?Faj?Fak''因FR?MO?0，故最后简化结果为一力螺旋。 该力螺旋FR?Fk，M?Fak 设力螺旋中心轴过O?(x,y,0)，则即得 rO??FR?M1?Faj 习题2－13图 i
Fx??a，y?0，z?0 即合成最后结果的力螺旋中心轴上一点坐标为（?a,0,0）。 — 11 —2－14
某平面力系如图所示，且F1=F2=F3=F4= F，问力系向点A和B简化的结果是什麽？二者是否等效？解：（1）先向A点简化，得 ??2F(i?j)；MA?2Fa FR（2）再向B点简化，得??2F(i?j)；MB?0
FR二者等效，若将点B处的主矢向点A平移，其结果与（1）通。 2－15
某平面力系向两点简化的主矩皆为零，此力系简化的最终结果可能是一个力吗？可能是一个力偶吗？可能平衡吗？ 习题2－14图 解：可能是一个力，也可能平衡，但不可能是一个力偶。因为（1），平面力系向一点简化的结果为一主矢和一主矩，而由已知是：向两点简化?,MB?0）?,MA?0）的主矩皆为零，即简化结果可能为（FR，（FR（主矢与简化中心无'??0，此时已是简化的最后结果：一合力FR?FR关），若FR经过A点，又过B点。??0，则此力系平衡，这显然也是可能的；最后结果不可能是一力（2）若该主矢FR偶，因为此时主矩不可能为零，与（1）矛盾。 2－16
平面汇交力系向汇交点以外一点简化，其结果可能是一个力吗？可能是一个力和一个力偶吗？
解：平面汇交力系向汇交点（设为A点）简化的结果要么是一个力，要么是平衡，若不平衡，则为过汇交点A的一个合力，这个力再向汇交点外某点（设为B点）简化，如果过汇交点A的合力方向与AB连线重合，同该汇交力系向汇交点A以外的B点简化，则可能是一个力；如果过汇交点A的合力方向与AB连线不重合，则该汇交力系向汇交点以外的B点简化（由力平衡定理知）结果可能是一个力和一个力偶。 — 12 —第3章 静力学平衡问题 3－1
图示两种正方形结构所受荷载F均已知。试求其中1，2，3各杆受力。解：图（a）：2F3cos45??F?0F3?2F（拉） 2F1 = F3（拉）
F2?2F3cos45??0
F2 = F（受压）
图（b）：F3?F3??0
F1 = 0F2 = F（受拉） (a-1) 习题3－1图 (a-2)(b-1) (b-2)3? 3－2
图示为一绳索拔桩装置。绳索的E、C两点拴在架子上，点B与拴在桩A上的绳索AB连接，在点D加一铅垂向下的力F，AB可视为铅垂，DB可视为水平。已知?= 0.1rad.，力F = 800N。试求绳AB中产生的拔桩力（当?很小时，tan?≈?）。 FCBDB?FDB习题3－2图 解：?Fy?0，FEDsin??F
?Fx?0，FEDcos??FDB
FDB?Fsin?F?10F tan?由图（a）计算结果，可推出图（b）中：FAB = 10FDB = 100F = 80 kN。3－3
起重机由固定塔AC与活动桁架BC组成，绞车D和E分别控制桁架BC和重物W的运动。桁架BC用铰链连接于点C，并由钢索AB维持其平衡。重物W = 40kN悬挂在链索上，链索绕过点B的滑轮，并沿直线BC引向绞盘。长度AC = BC，不计桁架重量和滑轮摩擦。试用角?=∠ACB的函数来表示钢索AB的张力FAB以及桁架上沿直线BC的压力FBC。 F习题3－3图 — 13 —解：图（a）：?Fx?0，FABcos?Wsin??0，FAB?2Wsin2??2 ?Fy?0，FBC?W?Wcos??FABsin2即
FBC?W?Wco?s?2Wsin?2?0?2?W?Wco?s?W(1?co?s)?2W 3－4
杆AB及其两端滚子的整体重心在G点，滚子搁置在倾斜的光滑刚性平面上，如图所示。对于给定的?角，试求平衡时的?角。解：AB为三力汇交平衡，如图（a）所示ΔAOG中：
AO?lsin?， ?AOG?90???
?OAG?90??? ，?AGO????llsin?lsin?1由正弦定理：， ??sin(???)sin(90???)sin(???)3cos?)即
3sin?cos??sin?cos??cos?sin?即
2tan??tan?
??tan?)注：在学完本书第3章后，可用下法求解：
?Fx?0，FRA?Gsin??0
?Fy?0，FRB?Gcos??0?MA(F)?0，?Gsin(???)?FRBlsin??01t(an?) 解（1）、（2）、（3）联立，得
??arct2l312习题3－4图 （1） （2） （3）B 3–5 起重架可借绕过滑轮A的绳索将重力的大小G=20kN的物体吊起，滑轮A用不计自重的杆AB和AC支承，不计滑轮的自重和轴承处的摩擦。求系统平衡时杆AB、AC所受力（忽略滑轮的尺寸）。解：以A为研究对象，受力如图（a） 所示，其中：FT = G。F?FAB?0，FAB?FTcos30??Gsin30??0FAB?G(cos30??sin30?)?7.32kN
?FAC?0，FAC?Gcos30??FTsin30??0A （a）FAB?G(cos30??sin30?)?27.32kN习题3-5图 3–6图示液压夹紧机构中，D为固定铰链，B、C、E为铰链。已知力F，机构平衡时角度如图所示，求此时工件H所受的压紧力。 习题3-6图（a）BCF（b）FH （c） FECFNH— 14 —解：以铰B为研究对象，受力如图（a）。?Fy?0，FBCsin??F?0；FBC?以铰C为研究对象，受力如图（b）。F（1） sin?FCB（2）sin2??Fx?0，FCB?FCEsin2??0；FCE?以铰E为研究对象，受力如图（c）。?Fy?0，FH?FECcos??0；FH?FECcos?
（3）由于FBC?FCB；FEC?FCE，联立式（1）、（2）、（3）解得：FH? 3–7三个半拱相互铰接，其尺寸、支承和受力情况如图所示。设各拱自重均不计，试计算支座B的约束力。 习题3-7图 F 2sin2?FCy（a）（b） 解：先分析半拱BED，B、E、D三处的约束力应汇交于点E，所以铰D处的约束力为水平方向，取CDO为研究对象，受力如图（a）所示。?MC(F)?0，FDa?Fa?0；FD?F以AEBD为研究对象，受力如图（b）。??0；FB?2F?MA(F)?0，3aFB?3aF?3aFD 3－8
折杆AB的三种支承方式如图所示，设有一力偶矩数值为M的力偶作用在折杆AB上。试求支承处的约束力。 习题3—8图B B(a)(b)(c) (d)— 15 —M 2lM图（b）：FA?FB?l解：图（a）：FA?FB?由图（c）改画成图（d），则
FB?FBDMlM ?lFD?2FBD? Ml3－9
齿轮箱两个外伸轴上作用的力偶如图所示。为保持齿轮箱平衡，试求螺栓A、B处所提供的约束力的铅垂分力。 习题3－9图FAy 解：ΣMi = 0，?500?125?FAy?0.5?0(a)FBy FAy = 750N（↓）， FBy = 750N（↑）（本题中FAx ，FBx等值反向，对力偶系合成结果无贡献。） 3－10
试求图示结构中杆1、2、3所受的力。解：杆3为二力杆图（a）： ΣMi = 0
F3?M dF3?d?M?0 习题3－10图F = F3（压）图（b）： ΣFx = 0 F2 = 0 ΣFy = 0F1?F?M（拉） dFF2M (a) (b) 3–11图示空间构架由三根不计自重的有杆组成，在D端用球铰链连接，A、B和C端则用球铰链固定在水平地板上，若拴在D端的重物P = 10 kN，试求铰链A、B、C的反力。 解： FCFAFB习题3-11图 （a）— 16 —取铰D为研究对象，受力如图（a）。?F?F?Fx?0，FBcos45??FAcos45??0；FB?FA
（1） ?0，?FCcos15??2FAsin45?cos30??0
（2） yz?0，?FCsin15??2FAsin45?sin30??P?0
（3）联立式（1）、（2）、（3）解得：FB?FA??26.39kN，FC?33.46kN 3–12 图示空间构架由三根不计自重的有杆组成，在O端用球铰链连接，A、B和C端则用球铰链固定在水平地板上，若拴在O端的重物P=10kN，试求铰链A、B、C的反力。解： z FC x FB FAy 习题3-12图 （a）取铰O为研究对象，受力如图（a）。?F?Fx?0，FBcos45??FCcos45??0；FB?FC z?0，?FAcos45??P?0；FA??2P??14.14kN ?0，?FAsin45??2FBsin45??0；FB?FC?7.07kN ?Fy3–13
梁AB用三根杆支承，如图所示。已知F1=30kN，F2 = 40kN，M=30kN·m, q = 20N/m，试求三杆的约束力。 解： （c）
（1）图（a）中梁的受力如图（c）所示。?F?0，?Fcos60??Fcos60??0；F?F?30kN?M(F)?0，8F?8Fsin60??M?4F?3Fsin60??1.5?3q?0；FxC1C1BA12CA??63.22kN
— 17 —?M?M?M?MA(F)?0，8FB?M?4F2?5FCsin60??6.5?3q?0；FA??88.74kN (F)?0，6FC?4F1?M?2F2cos30??0；FC??3.45kN (F)?0，8FC?6F1?M?4FDsin45??2F2sin30??0；FD??57.41kN (F)?0，4FC?M?2F1?2F2sin30??4FBsin45??0；FB??8.42kN2kN/m。试求当汽3（2）图（b）中梁的受力如图（d）所示。 OBD 3－14
一便桥自由放置在支座C和D上，支座间的距离CD = 2d = 6m。桥面重1车从桥上面驶过而不致使桥面翻转时桥的悬臂部分的最大长度l。设汽车的前后轮的负重分别为20kN和40kN，两轮间的距离为3m。 解：图（a）中， 2
F = 40 kN（后轮负重）
ΣMD = 0q(6?2l)?3?Fl?05?(6?2l)?3?40l?0 3习题3－14图
lmax = 1m3－15
图示构架由杆AB、CD、EF和滑轮、绳索等组成，H，G，E处为铰链连接，固连在杆EF上的销钉K放在杆CD 的光滑直槽上。已知物块M重力P和水平力Q，尺寸如图所示，若不计其余构件的自重和摩擦，试求固定铰支座A和C的反力以及杆E F上销钉K的约束力。 FCxAx 习题3－15图 （a）Cx FHy（b）
Dy 解：取系统整体为研究对象，其受力如图（a）所示。— 18 —?MA(F)?0，3aP?6aQ?4aFCy?0；FCy?3(P?2Q)4?Fy?0，FAy?P?FCy?0；FAy??Fx7P?6Q)4?0，Q?FAx?FCx?0
（1）H取轮E和杆EF为研究对象，其受力如图（b）所示。?M(F)?0，3aP?aFT?2aFKcos45??0（FT = P）；FK?2P（FT = P）P?6Q4取杆CD为研究对象，其受力如图（c）所示。?MD(F)?0，22aFK?4aFCy?4aFCx?0；FCx?将FAx的值代入式（1），得：FAx? 2Q?P43-16滑轮支架系统如图所示。滑轮与支架ABC相连，AB和BC均为折杆，B为销钉。设滑轮上绳的拉力P = 500N，不计各构件的自重。求各构件给销钉B的力。 习题3－16图 （a）FBxC解：取滑轮为研究对象，其受力如图（a）所示。Fy?0，FBy?FT?0（FT = P）；FBy?P?500N??F?F?Fx?0，FBx?P?0；FBx?P?500N34，tan??）。43取销钉B为研究对象，其受力如图（b）所示（tan??yx??0
（1） ?0，FBAsin??FBCsin??FBy??0
（2） ?0，FBAcos??FBCcos??FBx联立式（1）、（2）解得：FBA?700N；FBC?100N3-17
图示结构，由曲梁ABCD和杆CE、BE、GE构成。A、B、C、E、G均为光滑铰链。已知F = 20kN，q = 10kN/m，M = 20kN·m，a=2m，设各构件自重不计。求A、G处反力及杆BE、CE所受力。 Ay习题3－17图— 19 — （a）（b） F解：取系统整体为研究对象，其受力如图（a）所示。?M(F)?0，aFGx?M?aF?2a2q?0；F?50kN ?F?0，F?F?F?0；F?70kN?F?0，F?F?2aq?0
（1）AGxxAxGxAxyAyGy取杆GE为研究对象，其受力如图（b）所示。?F?0，F?Fcos45??0；F?502kN ?M(F)?0，M?aFEB?aFECcos45??0；F?M(F)?0，M?aFGy?0；F?10kNxGxECECGEEB?40kNGy将FGy的值代入式（1），得：FAy?30kN 3-18
刚架的支承和载荷如图所示。已知均布载荷的集度q1 = 4kN/m，q2 = 1kN/m，求支座A、B、C三处的约束力。Ex解：取CE为研究对象， 其受力如图（a）所示。?ME(F)?0，4FC?20q2?0 FC?5kN取系统整体为研究对象，其受 力如图（c）所示。?MA(F)?0，10FC?18q1?6FBy?0 FBy?3.67kN?Fy?0，FAy?FBy?6q1?FC?0 FAy?15.33kN（b）?Fx?0，FAx?FBx?4q2?0
（1）取CDEFB为研究对象，其受力如 图（b）所示。MF(F)?0，7FC?24q2?4.5q1?3FBy?6FBx?0；FBx??0.67kN?将FBx的值代入式（1），得：FAx?4.67kN 3-19 试求图示多跨梁的支座反力。已知：（a）M = 8kN·m， q = 4kN/m；
（b）M = 40kN·m，q = 10kN/m。习题3-19图 习题3－19图 — 20 —解： F（c） （e）（d）（f）（1）取图（a）中多跨梁的BC段为研究对象，受力如图（c）所示。?MyB(F)?0，4FC?3?6q?0；FC?18kNA取图整体为研究对象，受力如图（d）所示。?M(F)?0，MA?M?8FC?7?6q?0；M?F?0，F?6q?F?0；F?6kN ?F?0，F?0AAyCAy?32kN?mxAx（2）取图（b）中多跨梁的CD段为研究对象，受力如图（e）所示。?MyC(F)?0，4FD?M?2q?0；FD?15kNBD取图整体为研究对象，受力如图（f）所示。?M(F)?0，2F?8F?M?16q?0；F?40kN ?F?0，F?F?4q?F?0；F??15kN ?F?0，F?0ABAyBDAyxAx 3－20
厂房构架为三铰拱架。桥式吊车顺着厂房（垂直于纸面方向）沿轨道行驶，吊车梁重力大小W1 = 20kN，其重心在梁的中点。跑车和起吊重物重力大小W2 = 60kN。每个拱架重力大小W3 = 60kN，其重心在点D、E，正好与吊车梁的轨道在同一铅垂线上。风压在合力为10kN，方向水平。试求当跑车位于离左边轨道的距离等于2m时，铰支承A、B二处的约束力。 r 习题3－20图解：图（a）：ΣML = 0，Fr?8?2W2?4W1?08Fr?2?60?4?20?0，Fr = 25 kN
图（b）：ΣMA = 0，FBy?12?10?5?W3?2?W3?10?W2?4?W1?6?0
12FBy?50?120?600?240?120?0，FBy?94.2kN
ΣFy = 0，FAy = 106 kNΣFx = 0，FBx?FAx?10kN
图（c）：ΣMC = 0， — 21 — Bx(b) Bx
（2）(c) ?(W3?Fr?)?4?FBx?10?WBy?6?0，FBx = 22.5 kN代入（2），得
FAx??12.5kN 3－21
图示为汽车台秤简图，BCF为整体台面，杠杆AB可绕轴O转动，B、C、D三处均为铰链。杆DC处于水平位置。试求平衡时砝码重W1与汽车重W2的关系。 A习题3－21图 (b)(a) 解：图（a）：ΣFy = 0，FBy = W2??a?0
图（b）：ΣMO = 0，W1?l?FBy由式（1）、（2），得 W1a? W2l（1） （2）3-22 立柱AB以球铰支于点A，并用绳BH、BG拉住；D处铅垂方向作用力P的大小为 20kN，杆CD在绳BH和BG的对称铅直平面内（如图所示）。求系统平衡时两绳的拉力以及球铰A处的约束力。 习题3－22图 解：取整体为研究对象，受力如图（a）所示。yHGFH（a）HG?M(F)?0，5Fcos60?sin45??5Fcos60?sin45??0；F?F ?M(F)?0，2?5Fcos60?cos45??5P?0；F?F?28.3kN ?F?0，F?0?F?0，F?2Fcos60?cos45??0；F?20kN ?F?0，F?2Fsin60??P?0；F?69kNxHHGxAxyAyHAyzAzHAy 3-23 正方形板ABCD用六根杆支撑，如图所示，在A点沿AD边作用一水平力F。若不计板的自重，求各支撑杆之内力。 习题3－23图— 22 —F（a）解：取整体为研究对象，受力如图（a）所示。?M?M?M?M?M?M BB?(F)?0，F2cos45?a?Fa?0；F2??2FCC?AA?ADCD(F)?0，F5cos45?a?Fa?0；F5?2F (F)?0，(F2?F4)cos45?a?0；F4?2F (F)?0，(F3?F4cos45?)a?0；F3??F(F)?0，(F6?F5cos45?)a?0；F6??F
(F)?0，(F1?F6)a?0；F1?FB?C? 3－24
作用的齿轮上的啮合力F推动胶带轮绕水平轴AB作匀速转动。已知胶带紧边的拉力为200N，松边为拉力为100N，尺寸如图所示。试求力F的大小和轴承A、B的约束力。 z (a)习题3－24图 解：图（a）：ΣMz = 0，Fcos20??120?(200?100)?80，F = 70.95 N
ΣMy = 0，?Fsin20??100?300?250?FBx?350?0， FBx = -207 N（↓）
ΣFx = 0，FAx?FBx?Fsin20??300?0，
FAx = -68.4 N（↓）
ΣMx = 0，?Fcos20??100?FBy?350?0，
FBy = -19.04 N
ΣFy = 0，FAy?Fcos20??FBy?0，
FAy = -47.6 N
F = 70.95 N；FRA?(?68.4i?47.6j)N；FRB?(?207i?19.04j)N 3－25
水平轴上装有两个凸轮，凸轮上分别作用已知力F1（大小为800N）和未知力F。如轴平衡，求力F的大小和轴承A、B的约束力。习题3－25图 （a） 解：取整体为研究对象，受力如图（a）所示。?M?M?M yxz(F)?0，20F1?20F?0；F?F1?800N (F)?0，100FBz?40F?0；FBz??320N (F)?0，?100FBx?140F1?0；FBx??1120N— 23 — 3－26
图示折杆ABCD中，ABC段组成的平面为水平，而BCD段组成的平面为铅垂，且∠ABC =∠BCD = 90°。杆端D用球铰，端A用滑动轴承支承。杆上作用有力偶矩数值为M1、M2和M3的三个力偶，其作用面分别垂直于AB、BC和CD。假定M2、M3大小已知，试求M1及约束力FRA、FRD的各分量。已知AB = a、BC = b、CD = c，杆重不计。?F?Fxz?0，FAx?FBx?F1?0；FAx?320N ?0，FAz?FBz?F?0；FAz??480kN解：图（a）：ΣFx = 0，FDx = 0
ΣMy = 0，M2?FAz?d1?0，FAz
ΣFz = 0，FDzM??2d1M?2 d1F
ΣMz = 0，M3?FAy?d1?0，FAy
ΣFy = 0，F?MDyd1M??3d1习题3-26图(a) ΣMx = 0，?M1?FAy?d3?FAz?d2?0，M1?d3dM3?2M2 d1d13－27
如图所示，组合梁由AC和DC两段铰接构成，起重机放在梁上。已知起重机重力的大小P1 =50kN，重心在铅直线EC上，起重载荷P2 = 10kN。如不计梁自重，求支座A、B和D三处的约束反力。 RGRF FRDFRBDRD（b）
（c）解：（1）研究对象和受力图（a）：?MF(F)?0，2FRG?1FP?5W?0，FRG?50 kN（2）研究对象和受力图（b）'?MC(F)?0，6FRD?1FRG?0，FRD?8.33 kN（3）整体作研究对象，受力图（c）?MA(F)?0，12FRD?10W?6FP?3FRB?0，FRB?100 kN ?Fx?0，FAx?0?Fy?0，FAy??48.33 kN 3－28
图示构架中，物体P重1200N，由细绳跨过滑轮E而水平系于墙上，尺寸如图。不计杆和滑轮的自重，求支承A和B处的约束力，以及杆BC的内力FBC 。— 24 —习题3－28图
（b）解：（1）整体为研究对象，受力图（a），FT?W?MA?0，FRB?4?W(2?r)?FT(1.5?r)?0，FRB?1050 N?Fx?0，FAx?FT?W?1200 N?Fy?0，FAy?150 N（2）研究对象CDE（BC为二力杆），受力图（b）?MD?0，FBCsin??1.5?W?r?FT(1.5?r)?0
FBC??W?1200???1500 N（压力） 4sin?5 3－29 在图示构架中，A、C、D、E处为铰链连接，BD杆上的销钉B置于AC杆光滑槽内，力F = 200N，力偶矩M = 100N·m，各尺寸如图，不计各构件自重，求A、B、C处所受力。 习题3－29图
解：（1）整体为研究对象，受力图（a）?ME?0，1.6FAy?M?F(0.6?0.4)?0，FAy??87.5 N（2）研究对象BD，受力图（b）?MD?0，FNB?0.8sin30??M?0.6F?0，FNB?550 N（3）研究对象ABC，受力图（c）'?MC?0，1.6sin60??FAx?0.8FAy?0.8FNB?0，FAx?267 N'?Fx?0，FAx?FNBcos30??FCx?0，FCx?209 N'?Fy?0，FAy?FNBsin30??FCy?0，FCy??187.5 N 3-30 平面桁架的尺寸和支座如图所示。试求其各杆之内力。 — 25 —
习题3－30图 解：（1） 取图（a）中桁架为研究对象，求支座的约束力， 受力如图（c）所示。由对称性可得： FA?FE?60kN取节点A为研究对象，受力如图（d）所示。?F?F?F?F?F?F?Fy?0，FA?F1sin60??0；F1??69.28kN ?0，F2?F1cos60??0；F2?34.64kN（F2（d） （f）13（e） F4x取节点B为研究对象，受力如图（e）所示。y?0，(F3?F1?)sin60??40?0；F3?23.09kN ?0，(F3?F1?)cos60??F4?0；F4?46.19kN ?0，(F5?F3?)sin60??40?0；F5?23.09kN ?0，(F5?F3?)cos60??F6?F2??0；F6?34.64kN ?0，FA?F7sin60??0；F7??69.28kNx取节点C为研究对象，受力如图（f）所示。yEx取节点E为研究对象，受力如图（g）所示。y（g）（2） 取图（b）中桁架为研究对象，求 支座的约束力，受力如图（h）所示。?M?0，20?2?10?4?8F?0 ?F?0，F?F?20?10?10?0HAyAH（h）（i） 8 12（k）F2解得：FA?10kN；FH?30kN其中零杆有：F3 = F4 = F11 = 0取节点A为研究对象，受力如图（i）所示。 F7（j）H（l）1F?0F?F?0；F1??22.36kN ，?yA152F?0F?F?0；F2?20kN ，?x215由节点C和节点B可得：F5?F1??22.36kN；F9?F2?20kN取节点D为研究对象，受力如图（j）所示。?F?Fx?0，F7?F5??22.36kN ?0，(F5?F7)1?F6?10?0；F6?10kN 5y取节点H为研究对象，受力如图（l）所示。— 26 —?Fy?0，FH?F12?Fx?0，F13?F121?10?0；F12??44.72kN 52?0；F13?40kN 5由节点F可得：F10?F13?40kN取节点G为研究对象，受力如图（k）所示。??F7??F8)?Fx?0，(F12 2?0；F8??22.36kN 53-31 求图示平面桁架中1、2、3杆之内力。 习题3－31图解：（1） 取图（a）中桁架为研究对象，求支座B 处的约束力，受力如图（c）所示。CB ?MA?0，4FB?100?2?50?3?0解得：FB?87.5kN用截面将杆1、2、3处截开，取右半部分为研究对象 受力如图（d）所示。（c） （d）CB 1F?0F?F?50?0；F2?53kN ，?yB22?MC?0，FB?F3?0；F3?FB?87.5kN?Fx?0，F1?F21?F3?0；F1??125kN 2（2） 取图（b）中桁架为研究对象，用截面将杆1、2 处截开，取右半部分为研究对象，受力如图（e）所示。?MA?0，10a?2asin30?F2?0；F2?10kN ?MB?0，atan30?F1?10a?0；F1?10kN再用截面将杆3处截开，取右半部分为研究对象受力如图（f） 所示。MA?0，10a?2aF3?0；F3??5kNAe）?AB （f） — 27 —3－32
桁架的尺寸以及所受的载荷如图所示。试求杆BH、CD和GD的受力。解：（1）节点G：?Fy?0，FGD?0
（2）节点C：?Fy?0，FHC?0
（3）整体，图（a）?MB?0，15FRE?10?60?5?40?0
FRE?26.67kN（↑）（4）截面法，图（b）?MH?0，?5FCD?5?60?10?26.67?0；FCD??6.67kN（压）
?习题3-32图 3－33
图示桁架所受载荷F1=F，F2=2F，尺寸a为已知。试求杆件CD、GF、和GD的内力。解：截面法，受力如图（a）所示。?M?0，F?F?0，FDGFyGD?0 1?F2?0 2FCD习题3－33图（a）FGD?22F?F ?0，1F1?FGD?FCD?0；FCD??F2x3-34
两物块A、B放置如图所示。物块A重P1 = 5kN。物块B重P2 = 2kN，A、B之间的静摩擦因数fs1 = 0.25，B与固定水平面之间的静摩擦因数fs2 = 0.20。求拉动物块B所需力F的最小值。解：取A为研究对象，受力如图（a）所示。?F?F?F?Fy?0，FTsin30??P1?FNA?0
（1） ?0，FA?FTcos30??0
（2）习题3－34图xFAmax?fs1?FNA
（3）取B为研究对象，受力如图（b）所示。y?A?0
（4） ?0，FNB?P2?FN??FB?0
（5） ?0，F?FAFBFN1 （a）AxFBmax?fs2?FNB
（6）解式（1）——（6），得：NA′Fmin? fs1?fs2P1?fs2P2?2.366kNfs1tan30??1FN2 （b）— 28 — 3-35 起重绞车的制动装置由带动制动块的手柄和制动轮组成。已知制动轮半径R=50cm，鼓轮半径r = 30cm，制动轮与制动块间的摩擦因数fs = 0.4，被提升的重物重力的大小G = 1000N，手柄长l = 300cm， a = 60cm，b = 10cm，不计手柄和制动轮的自重。求能够制动所需力F的最小值。解：取轮与重物为研究对象，受力如 图（a）所示。F Ox?MO?0，Gr?FfR?0
（1）取杆AB为研究对象，受力如图（b）所示。?a?Ff?b?FL?0 （2） ?MA?0，FNFfmax?fs?FN
（3）解式（1）——（3），得：习题3－35图
（a）Fmin?Gra(?b)?280N LRfsAx （b）3-36
尖劈起重装置如图所示。尖劈A的顶角为?，B块上受力FQ的作用。A块与B块之间的静摩擦因数为fs（有滚珠处摩擦力忽略不计）。如不计A块和B块的自重，试求保持平衡时主动力FP的范围。解：（1）B几乎要下滑时，FP = Fmin
图（a），?Fy?0s?F1sin??FQ?0
FN1co?（1） （2） （3） （4）习题3-36图图（b），?Fx?0?1sin
?F1?co?s?FN??Fmin?0
F1 = fFN1解（1）、（2）、（3），得：
Fmin?sin??fco?sFQco?s?fsin?（2）B几乎要向上滑时，FP = Fmax图（c），?Fy?0s?F2sin??FQ?0
FN2co?（5） （6） （7）图（d），?Fx?0?2sin
F2?co?s?FN??Fmax?0
F2 = fFN2解（5）、（6）、（7），得：sin??fco?sFQ
Fmax?co?s?fsin?（8）若令tan?m?f，由（4）、（8），得： tan(???m)FQ?FP?tan(???m)FQ — 29 —3-37 砖夹的宽度250mm，杆件AGB和GCED在点G铰接。砖重为W，提砖的合力FP作用在砖夹的d（2）图（a）：
?Fx?0，FN1 = FN2
FN1?FN2?FW?f2f2（2） （3） （4）?1d?0，95W?30?
（3）图（b）：?MG?0，FP?95?F??30?FNWW?d?0，d?110mm 22f 3-38 图示为凸轮顶杆机构，在凸轮上作用有力偶，其力偶矩为M，顶杆上作用有力FQ。已知顶杆与导轨之间的静摩擦因数为fs，偏心距为e，凸轮与顶杆之间的摩擦可忽略不计。要使顶杆在导轨中向上运动而不致被卡住，试问滑道的长度l应为多少？解：（1）对象：凸轮；受力图（b）?2?
?MO?0，FNWe（1） （2） （3） （4）习题3-38图（2）对象：顶杆，受力图（a）
?Fy?0，FQ?2Fs?FN2
Fs?Fs1?Fs2
Fs?fsFN1 式（1）、（3）代入（2），得M
FQ?2fsFN1?e?MC(F)?0，FN1?l?FN2?e?M
FN1?M l代入式（4），得
FQ?2fs?2Mefs
l?M?FQeMM? le即 lmin 2Mefs? M?FQe3-39为轻便拉动重物P，将其放在滚轮O上，如图所示。考虑接触处A、B的滚动摩阻，则作用在滚轮上的滚动阻力偶的转向是（A）MfA为顺时针转向，MfB为逆时针转向； （B）MfA为逆时针转向，MfB为顺时针转向； （C）MfA、MfB均为逆时针转向； （D）MfA、MfB均为顺时针转向。解：选择（C）
习题3-39图 — 30 — 因为滚轮相对于地面和相对于重物均为顺时针滚动，所以A、B处的滚动摩阻力偶均为逆时针转向。 3-40 图示物块重5kN，与水平面间的摩擦角? m=35?，今欲用力F推动物块，F=5kN。则物块将 (A) 不动； (B) 滑动; (C) 处于临界平衡状态； (D) 滑动与否不能确定。解：选择（A）因为重力与力F大小相等，故其合力的作用线与接触面法线之间的夹角为30?，小于摩擦角，所以物块静止不动。 3-41在平面曲柄连杆滑块机构中，曲柄OA长r,作用有一矩为M的力偶，小滑块B于水平面之间的摩擦因数为f。OA水平。连杆与铅垂线的夹角为?，力与水平面成?角，求机构在图示位置保持平衡时力P的值。（不计机构自重，? ＞? m=arctanf ）解：取杆AB为研究对象，受力如图（a）。 Mrcos?取物块B为研究对象，设其有向右运动的趋 势，受力如图（b）。（FB = FA）?MO?0，M?FAcos?r?0；FA?a）F（b）（c）F?Fy?0，FN?Psin??FBcos??0 ?Fx习题3-41图 ?0，FBsin??Pcos??F1?0F1max?f?FNMsin??cos?fMsin(???)解得：Pmin? ??rcos?cos??sin?frcos?cos(???m)取物块B为研究对象，设其有向左运动的趋势，受力如图（c）。?Fx?0，FBsin??Pcos??F2?0Msin??cos?fMsin(???m)??rcos?cos??sin?frcos?cos(???m)F2max?f?FN其余方程不变，解得：Pmax?所以：*3-42某人骑自行车匀速上一坡度为5%的斜坡，如图所示。人与自行车总重力的大小为820N,重心在点G。若不计前轮的摩擦，且后轮处于滑动的临界状态，求后轮与路面静摩擦因数为多大？若静摩擦因数加倍，加在后轮上的摩擦力为多大？为什麽可忽略前轮的摩擦力？Msin(???)Msin(???)?P?rcos?cos(???m)rcos?cos(???m)解：设斜坡的倾角为?，则有tan??1，20受力如图所示。 MB?0，?()Pcos??700Psin??FN1?1080?0?FAB?0，F?Psin??0习题3-42解图N2Fmax?fs?FN11080sin?解得：fs??0.082620cos??700sin?若静摩擦因数加倍，则加在后轮上的摩擦力为： F?Psin??40.95N — 31 — *3-43匀质杆AB和BC在B端铰接，A端铰接在墙上，C端则靠在墙上，如图所示。墙与C端接触处的摩擦因数f=0.5，两杆长度相等并重力相同，试确定平衡时的最大角? 。铰链中的摩擦忽略不计。AyAx N习题3-43图（a） （b） N解：取整体为研究对象，受力如图（a）所示。设杆长为l。?MA?0，FN2lsin?l??2Pcos?0
（1） 222取杆BC为研究对象，受力如图（b）所示。?MB?0，FNlsin?l???Pcos?Flcos?0
（2） 2222Fmax?f?FN
（3） ??解式（1）——（3），得：cos(2?fcot?022?cos?0，不合题意，舍去；2?cot?4，??28.07?2 3-44
如图所示，圆柱体A与方块B匀重100N，置于倾角为30°的斜面上，若所有接触处的摩擦因数均fs =0.5，试求保持系统平衡所需的力F1的最小值。解：取圆柱体A为研究对象，受力如图（a）所示。Fx?0，Psin30??FA?FN2?0
（1）??MxA?0，(FAB?FA)r?0
（2）习题3-44图 FAB?fsFN2
（3）取方块B为研究对象，受力如图（b）所示。?F?F?2?0
（4） ?0，Psin30??FB?F1?FN??0
（5） ?0，FN3?Pcos30??FABy（a）FB?fsFN3
（6）解式（1）——（6），得：F1?Psin30?(2?fs)?Pfscos30??31.7N *3-45
如图所示，均质圆柱重W，半径为r，搁在不计自重的水平杆和固定斜面之间。杆A端为光滑铰链，D端受一铅垂向上的力F作用，圆柱上作用一力偶，已知F=W，圆柱与杆和斜面间的静滑动摩擦因数fS皆为0.3，不计滚动阻碍。当?=45°时，AB=BD。试求此时能保持系统静止的力偶矩M的最小值。 — 32 —（b） 习题3-45图解：取杆AD为研究对象，受力如图（a）所示。（设杆长l?M??F?FA?0，Fl?FNBl?0；FNB?2W2（a） ′ （b） 取圆柱O为研究对象，受力如图（b）所示。?r?0
（1） MO?0，FEr?M?FBxy??0
（2） ?0，FNEcos45??FEsin45??FB?B?FNEsin45??FEcos45??W?0 （3） ?0，FN327W；FB?W?FBmax?0.6W1313?r?FEr?0.212Wr ?FB设E处的静摩擦力先达到最大值：FE?fsFNE 由式（2）、（3）解得：FE?由式（1）得：Mmin *3-46 如图所示起重用抓具，由弯杆ABC和DEF组成，两根弯杆由BE杆的B、E两处用铰链连接，抓具各部分的尺寸如图示。这种抓具是靠摩擦力抓取重物的。试求为了抓取重物，抓具与重物之间的静摩擦因数应为多大（BE尺寸不计）。习题3－46图
（c） 解（1）研究对象重物，受力图（a）?Fy?0，2F?FQ，F?F?Fmax?fsFN，fs??Fx?0，FD?FAFQ2（a）FQ（b） 2FN（2）研究对象吊环，受力图（b）?Fy?0，2FDcos60??FQ，FD?FQ
（c）（3）研究对象弯杆CFED，受力图（c）'?ME?0，FD?0.6?F?0.2?FN?0.15?0式（a）、（b）、（c）代入，得0.6FQ?0.1FQ?0.15FQ?0，fs?0.15 2fs— 33 —第2篇
工程运动学基础 第4章
运动分析基础 4－1
小环A套在光滑的钢丝圈上运动，钢丝圈半径为R（如图所示）。已知小环的初速度为v0，并且在运动过程中小环的速度和加速度成定角θ，且 0 ＜ θ ＜?，试确定小环2A的运动规律。v2Rsin?R2vdvt1
a?dv?acos??v，?t?v0v2?0Rtan?dt dtRtan??
v?ds?v0RtandtRtan??v0tstvRtan?0ds?dt ?0?0Rtan??v0tv2，
解：asina???an?s?Rtan?lnARtan?Rtan??v0t习题4－1图4－2
已知运动方程如下，试画出轨迹曲线、不同瞬时点的 2??x?3sint?x?4t?2t1．?，
2．?2y?2cos2t???y?3t?1.5t解：1．由已知得
v?5?5t?y?3?3t?
a??5 ??y??3?为匀减速直线运动，轨迹如图（a），其v、a图像从略。2．由已知，得yx1arcsin?arccos322??4?4t?x ???4x??x (b)习题4－2图4化简得轨迹方程：y?2?x29（2）轨迹如图（b），其v、a图像从略。 4－3
点作圆周运动，孤坐标的原点在O点，顺钟向为孤坐标的正方向，运动方程为1s??Rt2，式中s以厘米计，t以秒计。轨迹图形和直角坐标的关系如右图所示。当点第一2次到达y坐标值最大的位置时，求点的加速度在x和y轴上的投影。Ry坐标值最大的位置时：?s?1?Rt2??R，?t2?122ax?at??R，ay???2R ???Rt，at?v解：v?s???R，an?v??2Rt22习题4－3图x— 34 —4－4
滑块A，用绳索牵引沿水平导轨滑动，绳的另一端绕在半径为r的鼓轮上，鼓轮以匀角速度ω转动，如图所示。试求滑块的速度随距离x的变化规律。解：设t = 0时AB长度为l0，则t时刻有：(?t?arctanr?arctanl0rx2?r2)r?l0?x2?r2
对时间求导：?r??rx222?xxx?r22xx?r?rx ???xx2?r2?? 习题4－4图 4－5
凸轮顶板机构中，偏心凸轮的半径为R，偏心距OC = e，绕轴O以等角速转动，从而带动顶板A作平移。试列写顶板的运动方程，求其速度和加速度，并作三者的曲线图像。解：（1）顶板A作平移，其上与轮C接触点坐标：y?R?esin? t（?为轮O角速度） y ??e?cos? t
v?y???e?2sin? t y
（2）三者曲线如图（a）、（b）、（c）。习题4-5图
R? ee?Rt t t?e?-e?
? (a) (b)(c) 4－6
绳的一端连在小车的点A上，另一端跨过点B的小滑车车绕在鼓轮C上，滑车离地面的高度为h。若小车以匀速度υ沿水平方向向右运动，试求当? = 45°时B、C之间??各为多少。 绳上一点P的速度、加速度和绳AB与铅垂线夹角对时间的二阶导数?解：1．∵P点速度与AB长度变化率相同?d12xxv
vP?(h2?x2)2??（?= 45°，x = h时） ?dt2h2?x22??2dxxxv2?P?(2．同样：aP?v ??dth2?x222h22h1??0，x = h） x（∵?3．tan??xx，??tan?1 hh习题4-6图
1?x?hx???? x2h2?x21?2h?2?2hxxv2??????
（顺） (h2?x2)22h2 4－7
图示矢径r绕轴z转动，其角速度为 ?，角加速度为 ?。试用矢量表示此矢径端点M的速度、法向加速度和切向加速度。— 35 —解：vM?dr?ω?r dtdv??r?ω?vM?α?r?ω?(ω?r) aM?M?ωdt
aMt?α?raMn?ω?(ω?r)?ω?v 4－8
摩擦传动机构的主动轮I 的转速为n＝600r/min，它与轮II的接触点按箭头所示的方向移动，距离d按规律d＝10-0.5t变化，单位为厘米，t以秒计。摩擦轮的半径r＝5cm，R＝15cm。求：（1）以距离d表示轮II的角加速度；（2）当d＝r时，轮II边缘上一点的全加速度的大小。
解：（1）?2d??nr，?2??nr3030d??600?5?0.550??nrd rad/s2 ?2????30d230d2d2244（2）a?r22??24?r2500???n?59220cm/s2r4304习题4-8图4－9
飞机的高度为h，以匀速度v沿水平直线飞行。一雷达与飞机在同一铅垂平面内，雷达发射的电波与铅垂线成? 角，如图所示。求雷达跟踪时转动的角速度? 和角加速度?与h、v、? 的关系。 v vt解：tan?? h?
??v，?????vcos2? cos2?hh2v???vsin2?cos2?
??????sin2??hh2 习题4-9图4－10
滑座B沿水平面以匀速v0向右移动，由其上固连的销钉C固定的滑块C带动槽杆OA绕O轴转动。当开始时槽杆OA求槽杆的转动方程、角速度和角加速度。 解：tan??v0t，??arctanv0t rad bb?????bv rad/s 22b2?v0t32bv0t
??? ???2222(b?v0t)习题4-10图4－11．设? 为转动坐标系Axyz的角速度矢量，i、j、k为动坐标系的单位矢量。试证明：?dj??dk??diω???k?i???i?j????dt??dt??dt?j?k?— 36 —证：?dj?k?(ω?j)?k?ω?i??x dtdk?i?(ω?k)?i?ω?j??y dtdi?j?(ω?i)?j?ω?k??k dt?等式右侧??xi??yj??zk?ω 证毕 — 37 —第5章
点的复合运动分析 5－1
曲柄OA在图示瞬时以ω0绕轴O转动，并带动直角曲杆O1BC在图示平面内运动。若d为已知，试求曲杆O1BC的角速度。解：1、运动分析：动点：A，动系：曲杆O1BC，牵连运动：定轴转动，相对运动：直线，绝对运动：圆周运动。2、速度分析：va?ve?vr
va?2l?0；va?ve?2l?0ve
???0（顺时针） OBC?1习题5-1图O1A 5－2
图示曲柄滑杆机构中、滑杆上有圆弧滑道，其半径R?10cm，圆心O1在导杆BC上。曲柄长OA?10cm，以匀角速ω?4πrad/s绕O轴转动。当机构在图示位置时，曲柄与水平线交角φ?30?。求此时滑杆CB的速度。 解：1、运动分析：动点：A，动系：BC，牵连运动：平移，相对运动：圆周运动，绝对运动：圆周运动。2、速度分析：va?ve?vr
va?O1A???40?cm/s；
vBC?ve?va?40??126cm/s 5－3
图示刨床的加速机构由两平行轴O和O1、曲柄OA和滑道摇杆O1B组成。曲柄OA的末端与滑块铰接，滑块可沿摇杆O1B上的滑道滑动。已知曲柄OA长r并以等角速度?转动，两轴间的距离是OO1 = d。试求滑块滑道中的相对运动方程，以及摇杆的转动方程。 解：分析几何关系：A点坐标
x1co?（1） s?rco?st?dx1sin??rsin?t（2）（1）、（2）两式求平方，相加，再开方，得：
1．相对运动方程x1?r2cos2?t?2rdcos?t?d2?r2sin2?t?d?r?2rdcos?t22 将（1）、（2）式相除，得：
2．摇杆转动方程：
tan??rsin?t rcos?t?d??arctanrsin?trcos?t?d习题5-3图 5－4
曲柄摇杆机构如图所示。已知：曲柄O1A以匀角速度ω1绕轴O1转动，O1A = R，O1O2 =b ，O2O = L。试求当O1A水平位置时，杆BC的速度。解：1、A点：动点：A，动系：杆O2A，牵连运动：定轴转动，相对运动：直线，绝对运动：圆周运动。2R?RC 1
vAa?R?1；v?v ?AeAab2?R2b2?R22、B点：动点：B，动系：杆O2A，牵连运动：定轴转动，相对运动：直线，绝对运动：直线。 习题5-4图— 38 —vBe?vAeO2BLR2?1?O2Abb2?R2b2?R2LR2?1?bb2vBC?vBa?vBe 5－5
如图示，小环M套在两个半径为r的圆环上，令圆环O?固定，圆环O绕其圆周上一点A以匀角速度?转动，求当A、O、O?位于同一直线时小环M的速度。解：1、运动分析：动点：M，动系：圆环O，牵连运动：定轴转动，相对运动：圆周运动，绝对运动：圆周运动。2、速度分析：va?ve?vr
ve?r?vM?va?vetan30??r?习题5—5图5－6
图a、b所示两种情形下，物块B均以速度υB、加速度aB沿水平直线向左作平移，从而推动杆OA绕点O作定轴转动，OA = r，?= 40°。试问若应用点的复合运动方法求解杆OA的角速度与角加速度，其计算方案与步骤应当怎样？将两种情况下的速度与加速度分量标注在图上，并写出计算表达式。
解：（a）：1、运动分析：动点：C（B上）；动系：OA；绝对运动：直线；相对运动：直线；牵连运动：定轴转动。
2、v分析（图c）
vB?ve?vr （1）
ve?vBsin? 习题5—6图vevsin??B （2） OCOCvr?vBcos??OA?3、a分析（图d）aB?a?a?ar?aC（3）
（3）向aC向投影，得t?aBsin???ae?aC
其中aC?2?OAvr?t2vBnete arsin2?OCae?aBsin??aC
?OAat ?OC (d)（b）：1、运动分析：动点：A（OA上）；动系：B；绝对运动：圆周运动；相对运动：直线；牵连运动：平移。
2、v分析（图e）
va?ve?vrvva?Bsin?r (e)? — 39 —?OA?navavB?OArsin?ta3、a分析（图f）
上式向ae向投影，得naacos??aatsin??aenaa22vavB??rrsin2?naat?(aB?aacos?)/sin?tt
?OA?aa?aaOAr(f) 5－7
图示圆环绕O点以角速度?= 4 rad/s、角加速度α= 2 rad/s2转动。圆环上的套管A在图示瞬时相对圆环有速度5m/s，速度数值的增长率8m/s2。试求套管A的绝对速度和加速度。解：1、运动分析：动点：A，动系：圆环，牵连运动：定轴转动，相对运动：圆周运动，绝对运动：平面曲线。
2、速度：（图a）OA?2rcos15??2?2cos15?ve?OA???4cos15??4?16cos15?
vr?5m/s2?vr2?2vevrcos15??20.3m/s
va?ve习题5—7图3、加速度：（图b）aat?aan?aen?aet?arn?art?aCaan?aen?arncos15??aCcos15??artsin15? （1）
aat?aet?artcos15??aCsin15??arnsin15? （2?aen?OA??2?4cos15??42?64cos15??22?an?vr?5rr2
? ??aC?2?vr?2?4?5?40?t?ar?8?aet?OA???8cos15????a(a)代入（1）naa?116.5cos15??8sin15??110.46m/s2C代入（2）aat?16cos15??52.5sin15??29.04m/s2aa?(aan)2?(aat)2?114m/s2(b) 5－8
图示偏心凸轮的偏心距OC = e，轮半径r =3e。凸轮以匀角速?0绕O轴转动。设某瞬时OC与CA成直角。试求此瞬时从动杆AB的速度和加速度。解：1．动点：A（AB上），动系：轮O，绝对运动：直线，相对运动：圆周，牵连运动：定轴转动。
2．va?ve?vr（图a）习题5—8图— 40 —ve?2e?0，va?vetan30??243，vr?2va?e?0（↑）e?0333．aa?ae?arn?art?aC（图b） ?e (a) 向arn投影，得aacos30??aecos30??arn?aC(b)arn?aC2vr22?2e?e?(?2?0vr)aa?ae?cos30?3e2?2e?0?233(162e?0?2?0242（↓） e?0)=e?093 5－9
如图所示机构，O1A=O2B＝r＝10cm，O1O2 ＝AB＝20cm。在图示位置时，O1A杆的角速度ω＝1 rad/s，角加速度α＝0．5rad／s2，OlA与EF两杆位于同一水平线上。EF杆的E端与三角形板BCD的BD边相接触。求图示瞬时EF杆的加速度。解：1．运动分析：动点：E（EF上），动系：轮BCD，绝对运动：直线，相对运动：直线，牵连运动：平移。n2．加速度分析：aa?ar?ae?aet沿BC垂直方向投影： tnaacos30??aesin30??aecos30?2 5tncm/saa?aetan30??ae??10??7.11习题5—9图 5－10
摇杆OC绕O轴往复摆动，通过套在其上的套筒A带动铅直杆AB上下运动。已知l = 30cm，当θ = 30° 时，ω = 2 rad/s，α = 3 rad/s2，转向如图所示，试求机构在图示位置时，杆AB的速度和加速度。解：1．运动分析：动点：A，动系：杆OC，绝对运动：直线，相对运动：直线，牵连运动：定轴转动。2．速度分析（图a）
va?ve?vrve???l120cm/s ?cos?vvAB?va?e?80cm/scos?vr?vetan30??40cm/sCC（a）习题5—10图（b）n3．加速度分析（图b）：aa?ar?ae?aet?aC— 41 —沿aC方向投影：aacos30??aC?aetaAB?aa?2 2l(2?vr??)?64.76cm/scos30?5－11
如图所示圆盘上C点铰接一个套筒，套在摇杆AB上,从而带动摇杆运动。已知：R =0.2m ，h = 0.4m，在图示位置时 ??60?，?0=4rad/s，?0?2rad/s2。试求该瞬时，摇杆AB的角速度和角加速度。解：1．运动分析：动点：C，动系：杆AB，绝对运动：圆周运动，相对运动：直线，牵连运动：定轴转动。 2．速度分析（图a）
va?ve?vr m/s va??0R?0.8ve?0（a） ?AB?0习题5－11图 3．加速度分析（图b）tn
aa?aa?ar?aetn22沿aa方向投影：aan?aet??0R?3.2m/s ；?AB? aet3.2??9.24rad/s2（逆时针）hsin?0.25－12
在图示机构中，已知O1A = OB = r = 250mm，且AB = O1O；连杆O1A以匀角速度ω = 2 rad/s绕轴O1转动，当φ = 60° 时，摆杆CE处于铅垂位置，且CD = 500mm。求此时摆杆CE的角速度和角加速度。 习题5－12图解：1．运动分析：动点：D，动系：杆CE，绝对运动：圆周运动，相对运动：直线，牵连运动：定轴转动。2．速度分析（图a）va?ve?vrva?vA???O1A?50cm/sve?vasin??253cm/s；?CE?ve??0.866rad/s CD2vr?vacos??25cm/sn3．加速度分析（图b）：aa?ar?ae?aet?aC沿aC方向投影：aacos??aC?aeta?aacos60??aC?te?2r2aet6.72cm/s ；?2?CEvr?50?25?6.7?CE???0.134rad/s2CD50— 42 — 5－13
图示为偏心凸轮－顶板机构。凸轮以等角速度?绕点O转动，其半径为R，偏心距OC = e，图示瞬时?= 30°。试求顶板的速度和加速度。(b) (a)
习题16-13图 解：1．动点：轮心C，动系：AB、平移，绝对运动：图周，相对运动：直线。
2．图（a）：va?ve?vr
ve?e?vAB?ve?vacos??e?（↑） 2123．图（b）：aa?ae?araAB?ae?aasin??e?2sin30??e?2（↓）5－14
平面机构如图所示。已知：O1A=O2B=R=30cm，AB=O1O2，O1A按规律???t绕242轴O1转动，动点M沿平板上的直槽(θ =60? )运动，BM= 2t+t3 ，式中φ以rad计，BM以cm计，t以s计。试求 t = 2s时动点的速度和加速度。解：1．运动分析：动点：M，动系：平板，绝对运动：未知，相对运动：直线，牵连运动：平移。t = 2s时：???? rad/s， ???30? rad，???66? rad/s2 ??B B122．速度分析（图a）va?ve?vr vr?2?3t2?14cm/sve?vA??R?5?cm/s；习题5－14图vM?va?ve?vr?5??14?29.7cm/sn3．加速度分析（图b）：aM?aa?ar?ae?aet52 22aet??R?2.5?cm/s；aen??2R??2 cm/s ；ar?6t?12cm/s625?22taMx?aen??8.22cm/s ；aMy?ae?ar?2.5??12?19.85cm/s6 5－15
半径为R的圆轮，以匀角速度ω0绕O轴沿逆时针转动，并带动AB杆绕A轴转动。在图示瞬时，OC与铅直线的夹角为60?，AB杆水平，圆轮与AB杆的接触点D距A为3R。求此时AB杆的角加速度。 — 43 — 解：1．运动分析：动点：C，动系：杆AB，绝对运动：圆周运动，相对运动：直线，牵连运动：定轴转动。2．速度分析（图a）
va?ve?vr va?R?0?vev??AB?e?0vr?02R2习题5－15图3．加速度分析（图b）naa?ar?ae?aet沿铅垂方向投影：aacos60??aetcos30??an esin30?aet2 ?02132；2??0a?tan30?(aa?a)?(?0R?R)??0R?AB?CA422tene 5－16
曲柄 O1M1以匀角速度ω1=3 rad／s绕 O1轴沿逆时针转动。T形构件作水平往复运动，M2为该构件上固连的销钉。槽杆O2E绕O2轴摆动。已知O1M1＝r＝20cm，l＝30 cm。当机构运动到如图所示位置时，θ＝φ=30?，求此时O2E杆的角加速度。（a）习题5－16图（b） 解：1．运动分析：动点：M1，动系：杆AB，绝对运动：圆周运动，相对运动：直线，牵连运动：平移。速度分析（图a）：va1?ve1?vr1va1?r?1?60cm/s；ve1?va1sin??30cm/s加速度分析（图b）： aa1?ar1?ae1沿铅垂方向投影：ae1?aa1cos??3?12r?90 cm/s222．运动分析：动点：M2，动系：杆O2E，绝对运动：直线，相对运动：直线，牵连运动：定轴转动。速度分析（图a）：va2?ve2?vr2va2?ve1?30cm/s；ve2?va2cos??15cm/s；vvr2?va2sin??15cm/s；?OE?e2cos??0.75rad/s 2lnt加速度分析（图b）： aa2?ar2?ae2?ae2?aC2沿aC方向投影：?aa2cos???aet2?aC；aet2?ae1cos30??aC2?135?2?15?0.75?157.5cm/s2
?OE2aet?cos???4.55rad/sl60— 44 — 第6章
刚体的平面运动分析 6－1
图示半径为r的齿轮由曲柄OA带动，沿半径为R的固定齿轮滚动。曲柄OA以等角加速度?绕轴O转动，当运动开始时，角速度?0= 0，转角?0= 0。试求动齿轮以圆心A为基点的平面运动方程。解：xA?(R?r)co?s
yA?(R?r)sin?（1）（2）?为常数，当t = 0时，?0=?0= 012?t 2（3）??起始位置，P与P0重合，即起始位置AP水平，记?OAP??，则AP从起始水平位置至图示AP位置转过?A????因动齿轮纯滚，故有CP0?CP，即
?A?? rr?? 习题6-1图（4）将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A为基点的平面运动方程为：?2??xA?(R?r)cos2t??2??yA?(R?r)sint2??1R?r2??A?2r?t? 6－2
杆AB斜靠于高为h的台阶角C处，一端A以匀速v0沿水平向右运动，如图所示。试以杆与铅垂线的夹角? 表示杆的角速度。解：杆AB作平面运动，点C的速度vC沿杆AB如图所示。作速度vC和v0的垂线交于点P，点P即为杆AB的速度瞬心。则角速度杆AB为习题6－2图 ?ABvvcos?vcos2????APACh 习题6－2解图 6－3
图示拖车的车轮A与垫滚B的半径均为r。试问当拖车以速度v前进时，轮A与垫滚B的角速度?A与?B有什么关系？设轮A和垫滚B与地面之间以及垫滚B与拖车之间无滑动。vv? RRvv ?B??2R2R?A?2?B解：?A? vB = v ?B ? A习题6-3图习题6-3解图vA = v6－4
直径为60mm的滚子在水平面上作纯滚动，杆BC一端与滚子铰接，另一端与滑块C铰接。设杆BC在水平位置时，滚子的角速度?＝12 rad/s，?＝30?，?＝60?，BC＝270mm。试求该瞬时杆BC的角速度和点C的速度。 — 45 —解：杆BC的瞬心在点P，滚子O的瞬心在点D vB???BD?BC?vB??BD ?BPBP12?603cos30? ?270sin30??8rad/svC??BC?PC?8?0.27cos30??1.87m/s 习题6-4图习题6-4解图6－5 在下列机构中，那些构件做平面运动，画出它们图示位置的速度瞬心。习题6-5图解：图（a）中平面运动的瞬心在点O，杆BC的瞬心在点C。图（b）中平面运动的杆BC的瞬心在点P，杆AD做瞬时平移。习题6-5解图(a)6－6
图示的四连杆机械OABO1中，OA = O1B =1AB，曲柄OA的角速度?= 3rad/s。试求当示。?= 90°2?而曲柄O1B重合于OO1的延长线上时，杆AB和曲柄O1B的角速度。解：杆AB的瞬心在O?ABv?A???3rad/s OAvB???5.2rad/s l 习题6-6图vB?l?
?O1B? 习题6-6解图— 46 — 6－7
绕电话线的卷轴在水平地面上作纯滚动，线上的点A有向右的速度vA= 0.8m/s，试求卷轴中心O的速度与卷轴的角速度，并问此时卷轴是向左，还是向右方滚动？解：如图vA0.8??1.333rad/s0.9?0.30.68vO?0.9?O?0.9??1.2m/s6?O?卷轴向右滚动。 6－8
图示两齿条以速度v1和v2作同方向运动，在两齿条间夹一齿轮，其半径为r，求齿轮的角速度及其中心O的速度。习题6-7图解：如图，以O为基点：
v1?vO??Orv2?vO??Or解得：v1?v22v?v?O?2rvO?习题6－8图 习题6－8解图 6－9
曲柄－滑块机构中，如曲柄角速度?= 20rad/s，试求当曲柄OA在两铅垂位置和两水平位置时配汽机构中气阀推杆DE的速度。已知OA = 400mm，AC = CB = 200mm。 v习题6－9图 解：OA定轴转动；AB、CD平面运动，DE平移。
1．当?= 90°，270°时，OA处于铅垂位置，图（a）表示?= 90°情形，此时AB瞬时平移，vC水平，而vD只能沿铅垂， D为CD之瞬心
vDE = 0同理，?= 270°时，vDE = 02．?= 180°，0°时，杆AB的瞬心在B
?= 0°时，图（b），vC?vA（↑）
此时CD杆瞬时平移vDE?vD?vC?vA?4m/s（↑）
同理?= 180°时，vDE = 4m/s（↓） 12 (a)12 (b)习题6－9解图6－10 杆AB长为l = 1.5 m，一端铰接在半径为r = 0.5 m的轮缘上，另一端放在水平面上，如图所示。轮沿地面作纯滚动，已知轮心O速度的大小为vO = 20 m/s。试求图示瞬时（OA水平）B点的速度以及轮和杆的角速度。 — 47 —解：轮O的速度瞬心为点C ，杆AB的速度瞬心为点P ?O?vO20??40rad/s r0.5AvA??O2r?202m/s?AB?vA20sin45??AP1.5cos??102=14.1 rad/s习题6－10图vBcos??vAcos(45???) 6－11
图示滑轮组中，绳索以速度vC = 0.12m/s下降，各轮半径已知，如图示。假设绳在轮上不打滑，试求轮B的角速度与重物D的速度。vB?202(cos45??sin45?tan?)?12.9m/s解：轮B瞬心在F点
?B?vE60?2?10?311vD?vB?vE?vC?0.06m/s22 ?0.12?1rad/s 0.12F习题6－11图6－12
链杆式摆动传动机构如图所示，DCEA为一摇杆，且CA⊥DE。曲柄OA = 200mm，CO = CE = 250mm，曲柄转速n = 70r/min，CO = 200mm。试求当?= 90°时（这时OA与CA成60°角）F、G?两点的速度的大小和方向。 E 习题6－12图习题6－12解图 解：动点：OA上A；动系：DCEA；绝对运动：圆周；相对运动：直线；牵连运动：定轴转动。1πn1.4π0.7?m/s
ve?vA?πm/s23033v0.7π7π7π??e?e?rad/s
vE?vD?0.254?e?m/sCA3?0.41248vA?OA???0.2?vG?vEcos30?? 7π??0.397m/s（→）
vF?vG?0.397m/s（←） 482 6－13
平面机构如图所示。已知：OA = AB = 20 cm，半径r = 5 cm的圆轮可沿铅垂面作纯滚动。在图示位置时，OA水平，其角速度? = 2 rad/s、角加速度为零，杆AB处于铅垂。试求该瞬时：（1）圆轮的角速度和角加速度； （2）杆AB的角加速度。— 48 —解：（1） 圆轮的角速度和角加速度vA?OA???40cm/s杆AB瞬时平移，?AB = 0CvB?vA?40cm/sv?B??8rad/srnaB?aBA?0a?B?B?0r（2）杆AB的角加速度。习题6－13解图(b)tt?aA?OA??2?80cm/s2 aA?aBA?0，aBA?AB taBA??4rad/s2 AB6－14
图示机构由直角形曲杆ABC，等腰直角三角形板CEF，直杆DE等三个刚体和二个链杆铰接而成，DE杆绕D轴匀速转动，角速度为?0，求图示瞬时（AB水平，DE铅垂）点A的速度和三角板CEF的角加速度。解：（1）求点A的速度vCvEvE?DE??0?a?0三角板CEF的速度瞬心在点FtanaE F naFEtaFaEvAvC?vE?a?0曲杆ABC的速度瞬心在点O(a) (b)习题6—14解图 vA?v?OA?2a?0 OCtntnaF?aF?aE?aFE?aFE（2）求三角板CEF的角加速度将上式沿水平方向投影ntaF?aFE?0（因为vF = 0）taFE??0 FE?CEF6－15曲柄连杆机构在其连杆中点C以铰链与CD相连接，DE杆可以绕E点转动。如曲柄的角速度ω?8rad/s，且OA?25cm，DE?100cm，若当B、E两点在同一铅垂线上时，O、A、B三点在同?一水平线上，?CDE?90，求杆DE的角速度和杆AB的角加速度。 — 49 —解：（1）求杆DE的角速度vAvA?OA???200cm/s杆AB的速度瞬心在点B
vC???vDvC??aAaAnaBAtaBAaBvA?100cm/s 2对杆CD应用速度投影定理vD?vCsin30??50cm/sv?DE?D?0.5rad/sDE（2）求杆AB的角加速度tnaB?aA?aBA ?aBA将上式沿铅垂方向投影(a)(b)习题6—15解图0?a tBA，
?ABtaAB??0 AB6－16
试求在图示机构中，当曲柄OA和摇杆O1B在铅垂位置时，B点的速度和加速度（切向和法向）。曲柄OA以等角加速度?0= 5rad/s2转动，并在此瞬时其角速度为?0= 10rad/s，OA = r = 200mm，O1B = 1000mm，AB = l = 1200mm。解：1．v：vA?r?0
∴ ?AB?0vB?r?0?0.2?10?2m/s
（1）ntntt2．a：aB ?aB?aA?aA?aBA上式沿AB方向投影得：ntntaBsin??aBcos??aAsin??aAcos?vAvB (a)taAtaBAtntnaB?aAtan??aA?aBtan?即2?r?0?0.169?r?0?2v?0.169O1B2B nA??2)?0.169?0.2?5?3.70m/s2
10.20.2??0.169）
（tan??22.4.2?0.2?(0.2?102?atnB
aAaAn aB (b)n?
12aB：aB???a?4m/s（方向如图）t2??aB?3.7m/snB2习题6－16解图6－17
图示四连杆机构中，长为r的曲柄OA以等角速度?0转动，连杆AB长l = 4r。设某瞬时∠O1OA =∠O1BA = 30°。试求在此瞬时曲柄O1B的角速度和角加速度，并求连杆中点P的加速度。vB解：1．v：vA?r?0由速度投影定理知：vB = 0
?AB?r?0?0vA?? ABl4(a)vA— 50 —）支座 B 的约束力。l A C D l BFO MI O O FI Q MFA AllFB BCDO M GG a O P （a） FO′ （b）习题 11－9 图— 89 —解：取滑轮和物 G1 、G2 如图（a）所示，设物 G1 、G2 的加速度为 a，则其惯性力分别为： FI 1 ? m1a ； FI 2 ? m2 am2 ? m1 20 g g? g? m2 ? m1 120 6 10 g 350 ? Fy ? 0 ； FB ? FI1 ? FI 2 ? m1g ? m2 g ? 0 ； FB ? ? 3 ? 120 g ? 3 g?MB( F ) ? 0 ； ( FI 1 ? FI 2 ? m1 g ? m2 g )r ? 0 ； a ?取杆 AB 为研究对象，受力如图（b）所示，?MA?l1 ? 0 ； FCD ? ( F ) ? 0 ； FCD sin ?l2 ? FB2l1 350 ? g ? 3430 N ? 3.43 kN l2 311－ 10 图 示系统位于铅直面内，由鼓 轮 C 与重物 A 组成 。已知鼓轮质量为 m，小半径为 r，大 半径 R = 2r，对过 C 且垂直 于鼓轮平面的轴的回转半 径 ρ = 1.5r，重物 A 质量 为 2m 。试求（ 1）鼓 轮 中 心 C 的加速 度； （ 2 ） AB 段绳与 DE 段 绳的张力。 FDE E 解：设鼓轮的角加速度为? ， E FAB FIC 在系统上加惯性力如图（a）所示， FI A ?? MI C 则其惯性力分别为：FI C ? mr? ； FI A ? 2m ? r?C?MM I C ? J C? ? m? 2? ? 1.52 mr 2?DD BCD B FI AAaA(F ) ? 0 ；(mg ? FI C ? FI A ? 2mg )r ? M I C ? 0 g 4 aC ? r? ? ? g 2 3 ? 1.5 21A习题 11－10 图mg （a）A 2m g2mg （b）?F ?Fy? 0 ； FDE ? FI C ? FI A ? mg ? 2mg ? 0 ； FDE ? 3mg ? mr? ? ? 0 ； FAB ? FI A ? 2mg ? 0 ； FAB ? 2mg ? 2mr? ? 2(1 ?59 mg 21取重物 A 为研究对象，受力如图（b）所示，y4 34 )mg ? mg 21 2111－ 11 凸轮导板机构中，偏心轮的偏心距 OA ? e 。偏心轮绕 O 轴以匀角速度 ? 转动。当导板 CD 在最 低位置时弹簧的压缩为 b 。导板质量为 m 。为使导板在运动过程中始终不离开偏心轮，试求弹簧刚度系数 的最小值。解：本题结果与 ? 转向无关，因讨论加速度。 1、图（a） ，导板上点 B 的运动代表导板运动 y B ? e sin ?t ? r?B ? ?e? 2 sin ?t a?? y π 当 ?t ? 时，a 取极值 2 a ? ?e? 2 ，方向向下。y习题 11－11 图FI2、导板受力：??π 时，导板上受惯性力 FI 2 C FI ? me ? 2 ，方向向上。mgkB ra m axDF此力力图使导板与凸轮脱开， 为使不脱开，应使弹簧力 F 与板重 力 mg 之和大于 FI ：mg ? F ? FIeO?AOx??π 2xmg ? k (2e ? b) ? me? 2— 90 —(a)(b)m(e? 2 ? g ) 2e ? b 讨论：1、当 e? 2 ? g 时，表示可不加弹簧。 k?3、板至最低位置时，a 也取极植，但此时惯性力是向下的，不存在脱离凸轮的问题。11－ 12 图示小车 在 F 力作用下沿水平直线行驶，均质 细杆 A 端铰接在小车上 ，另一端靠在车 的光滑竖直壁 上。已知杆质量 m = 5kg，倾角 θ = 30? ，车的质量 M = 50kg。车轮 质量及地面与车 轮 间 的 摩擦不计 。试求水平力 F 多大时，杆 B 端的受力为零。 BB F A θFI1 A θ FI2 mgFFAyB FI1MgAFAxmgFN1习题 11－12 图FN2 （a）（b）解：取整体为研究对象，受力如图（a）所示，设小车的加速度为 a，则其惯性力分别为： FI 1 ? ma ； FI 2 ? Ma?Fx? 0 ； F ? FI 1 ? FI 2 ? 0 ； a ?F m?M mF sin ? ? mg cos? m?M取杆 AB 为研究对象，设杆长为 2l，且杆 B 端的受 力为零，受力如图（b）所示，?MA( F ) ? 0 ； FI 1 sin ?l ? mg cos ?l ? 0 ；F ? (m ? M ) g cot? ? 55 ? 9.8 3 ? 933.6 N11－ 13 图示均质定滑轮铰 接在铅直无重的悬臂梁上，用 绳与滑块相接。已知轮半径为 1m、重 力的大小 为 20kN ，滑块重力的 大小为 10kN ，梁长为 2m，斜面倾角 t anθ = 3/4，动摩擦系数为 0.1 。 若 在 轮 O 上作用一常力偶矩 M = 10kN · m 。试求（ 1 ）滑块 B 上升 的加速度； （ 2 ） A 处的约束力 。M OFT a BBMI O FOy FI Fθ m1g （a） t m 2g （b） FAy M O FT′ FOx OFOy ′ FOx ′AFNθAFAx MA习题 11－13 图（c）FI ? m1aB ， 解： （1） 取滑块 B 为研究对象， 设其质量为 m1 ， 加速度为 aB ， 则其惯性力为：受力如图（a）所示。?Ft? 0 ； FI ? F ? FT ? m1 g sin ? ? 0 ； F ? f ? FN ? 0.1m1 g cos? ? 0.8 kNFT ? 6 ? 0.8 ? m1aB ? 6.8 ? m1aB1 a m2 r 2 B ， 2 rM IO ? 取定滑轮 O 为研究对象， 设其质量为 m2 ， 半径为 r， 则其惯性力矩为：受力如图（b）所示。?MO( F ) ? 0 ；M ? M I O ? FT?r ? 0 ；10 ?10 10 aB ? 6.8 ? aB ? 0 ；aB ? 1.57 m/s 2 g gFT ? 6.8 ? m1aB ? 6.8 ? 1.6 ? 8.4 kN— 91 —?F ?Fx y? 0 ； FT? cos? ? FOx ? 0 ； FOx ? 8.4 ? 0.8 ? 6.72 kN? sin ? ? m2 g ? 0 ； FOy ? 8.4 ? 0.6 ? 20 ? 25.04 kN ? 0 ； FOy ? FTAA OxA（2）取梁 AO 为研究对象，设梁长为 l，受力如图（c ）所示，? M (F ) ? 0 ； M ? F ? l ? 0 ； M ? 6.27 ? 2 ? 13.44 kN? m ? F ? 0 ； F ? ? F ? 0 ； F ? 6.72 kN ? F ? 0 ； F ? F ? ? 0 ； F ? 25.04 kNxOx AxAxyAyOyAy11－ 14 图 示系统位于铅直面内，由均质细 杆及均质圆盘铰接而成。已知杆 长为 l、质量为 m， 圆盘半径 为 r、质量亦为 m。试求 杆在 θ = 30?位置 开始运动瞬时： （ 1）杆 AB 的角加 速度； （ 2）支 座 A 处 的 约 束力。 x 解： （1）设杆 A B 的角加速度为?，受力如图（a） 。 F I2 B 1 l B FI 1 ? m? ； FI 2 ? m?l ； M I A ? J A? ? ml 2? MI A 3 2?MA(F ) ? 0AθM I A ? FI 2l ? mg sin ?l ? mg sin ?l ? 0 2 4 2 9g 3 ml ? ? mgl ； ? ? 3 4 16lxFI1 AC θ FAy （a） mgmg aC习题 11－14 图FAx（2）求支座 A 处的约束力。?F ?F? 0 ； FAx ? mg cos? ? mg cos? ? 0 ； FAx ? 3mg3 5 ? 0 ； FI1 ? FI 2 ? FAy ? 2mg sin ? ? 0 ； FAy ? mg ? ml? ? mg 2 32y11－ 15 重 力的大小为 100N 的平板置 于水平面上，其间的摩擦因 数 f = 0.20，板上有一重力的 大小为 300N ，半径为 20cm 的均质圆 柱。圆柱与板之间无相对滑动， 滚动摩阻可略去不计。若平 板 上 作 用一水平 力 F = 200N ，如图所示。求平板 的加速度以及圆柱相对于平板滚动的角加速度。?r O Fr aO A P2MI OFI2 O FI1 FfaF习题 11－15 图FN P1（a）解：设平板的重力 P 1 = 100 N，加速度为 a；圆柱的重力 P 2 = 300 N，角加速度为? ，质 心的加速度 aO = a – ? r，受力如图（a） 。P P 1 P P 1 a ； FI 2 ? 2 aO ? 2 (a ? r? ) ； M I O ? J O? ? ? 2 r 2? g g 2 g g 3 P 1 P ? M A (F ) ? 0 ； FI 2r ? M I O ? 0 ； g2 (a ? r? )r ? 2 ? g2 r 2? ； a ? 2 r? ? Fx ? 0 ； F ? FI1 ? FI 2 ? Ff ? 0 ；其中： Ff ? f ? FN ? f ( P1 ? P2 ) ? 80 NFI1 ?200 ?P P P P 1 a ? 2 (a ? r? ) ? 80 ? 0 ； 120 ? ( 1 ? 2 )a ? 0 ； g g 3g g 120 2 a? g ? 5.88 m/s 2 ； ? ? a ? 19.6 rad/s 2 200 3r— 92 —11－ 16 图 示系统由不计质量的定滑 轮 O 和均质动滑 轮 C、重物 A、 B 用绳连接而成。已知轮 C 重力的大 小 FQ = 200N ，物 A、B 均重力的大小 FP = 100N ，B 与 水平支承面间的静摩擦因 数 f = 0.2 。 试 求 系 统由静止 开始运动瞬时， D 处 绳子的张力。D B OFBa B FN FP FfFD FI1 MI CFI3 FT C F I2 FQ A FP （b）?C A（a）习题 11－16 图解：设重物 B 的加速度为 a，受力如图（a） ，其中惯性力为： FI 1 ??FFP a gx? 0 ； FI 1 ? FB ? Ff ? 0 ；其中： Ff ? f ? FN ? f ? FP ? 20 NFB ? 20 ?FP （1） a g a 设轮 C 的半径为 r，其角加速度? ??? ，受力如图（b） ，其中 F T = F B ；惯性力为： 2r F a F a 1 F a 1 FQ FI 2 ? P ? ； FI 3 ? Q ? ； M I C ? J C? ? ? Q r 2 ? ? ? ra g 2 2 g 2r 4 g g 2 1 F （2） ? M C (F ) ? 0 ； FT r ? M I C ? FD r ? 0 ； FB ? 4 ? gQ a ? FD ? 0 4 g ( FD ? 20) 将式（1）代入式（2） ，有： a ? （3） 4 FP ? FQ?Fy? 0 ； FI 2 ? FI 3 ? FD ? FT ? FP ? FQ ? 0 ；( FP ? FQ ) 2g a ? FD ? FB ? FP ? FQ ? 03 5 (280 ? ? 20) ? 117 .5 N 8 3（ 4）将式（3）代入式（4） ，有： FD ?— 93 —
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