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2014年中国石油大学大学物理-课后习题解答汇总 13 大学物理课后习题答案
质点动力学一、思考讨论题1、试在图1.1中，表示出dr dr、和dv、dv的大小，并说明dvdt和dv的物理意义。????r(t?dt)?v(t?dt)图1.1解：dvdt表示切向加速度。?dvdt表示加速度的大小。2、设在平面运动中，质点的运动方程为x?x(t),y?y(t)，在计算质点的速度和加速度大小时，有人先求出r?x2?y2，然后根据v?dr和a?d2r2求出结果；又有人先计算速度和加速度的x、y分量，再合成而求得结果，即：v?dxdy()2?()2，a?dtdtd2x2d2y2(2)?(2)。 dtdt你认为哪一种方法正确？为什么？两者之间的差别何在？解：第二种方法正确。v?dt?vn
而 v?vn?vt
同理：a?drdt?dvndt22??dr??dt区别：而?
且?dr?3、如果dvdt?0，质点作什么运动？如果dvdt?0，质点作什么运动?这两种运动有何区别吗?解：dvdt?0，即?0 质点做匀速直线运动（包括静止）??dvdt?0，即at?0
质点做匀速率运动（包括上一种及匀速圆周运动）4、物体在某一时刻开始运动，在?t时间后，经任一路径回到出发点，此时的速度大小与开始时相同，但方向不同，试问：在?t时间内，平均速度是否为零？平均速率是否为零？平均加速度是否为零？解：在?t时间内平均速度为零，平均速率不为零，平均加速度不为零。5?一质点从O点出发作抛体运动（忽略空气阻力），初速度为v0，如图1.2所示。请回答以下问题： 在运动过程中?dv（1）是否变化？dt?dv（2）是否变化？dt?（3）an是否变化？dv是变化的。 dt图1.2（4）轨道何处曲率半径最大？其值是多少 解：（1）（2）dv不变。 dt（3）n是变化的。v2v2（4）由法向加速度公式得：曲率半径??，当?取最大值时，曲率半径?angcos?最小，该位置位于图中轨道的起点和终点。二、课堂练习1、一质点沿ox轴作直线运动，运动方程为x?4.5t（1）第1秒末和第2秒末的瞬时速度； （2）第1秒末和第2秒末的瞬时加速度。 解：（1）由速度v?2?2t3（SI），求：dxd?9t?t2 得v?dtdt所以第1秒末的瞬时速度为v1?9?1?8s，第2秒末的瞬时速度为v2?9?2?22?14s 方向都是沿ox轴d2xd2?9?2t （2）由加速度?得 a?22dtdt所以a1?9?2?7s2
a2?9?2?2?5s2 2、路灯离地面高为H，一人在灯下水?平路面上以匀速v0步行，如图1.3所示，人身高为h，求当人与灯的水平距离为L时，他的头顶在地面上的影子?移动的速度v的大小。
解：设人头影子路灯地面为x则L?v0t 由相似三角形得：所以x?图1.3xL?
HH?hv0tHL?
H?h1?hH他的头顶在地面上的影子移动的速度大小为：v?v0dx?dt1?hH3、一质点在平面上运动的加速度为ax??3cost，ay??4sint（SI），初始条件为t?0时，v0x?0，v0y?4，x0?3m，y0?0解：vx?vx0??adt??3sintztvy?vy0??aydt?4?4cost0?4costtt则x?x0??t?3sintdt?3?3cost0?3costt同理y?4sintx2y2所以有
质点的轨迹为一椭圆。344、一质点沿着半径为R的圆周运动，在t=0时经过P点，此后的速率按v?A?Bt(A,B为已知常数)变化，求质点沿圆周运动一星期再经过P点时的切向加速度at和法向加速度an。 解：切向加速度at?dv?B
方向由B的正负号决定dtv2(A?Bt)2?法向加速度an? RR又由2?R?5、如图1.4所示，一汽车在雨中沿直线行驶，其速度为v1，?t(A?Bt)dt?At?12Bt 2??雨滴下落的速度v2的方向与铅直方向夹角为θ，偏向于汽车前进的方向，今在汽车后放一长方形物体（长为L）。问，车速v1为躲大时，此物体刚好不会被雨水淋着？ 解：雨相对于车的速度 2?2?1
由右图可得：所以?图1.4?v1v2?sin(????)sin(?2???)2sin(????)sin??v1?v2?v2(sin??cos?)cos??cos???v2(sin??Lcos?) H车速至少如上时，货物刚好不会被雨水淋着。6、如图1.5所示，在倾角为??30?的斜坡上，以初速度v0发射炮弹，设v0与斜坡的夹角为????60?。求炮弹落地点离发射点的距离L。解：图1.512t 212t2由上图可知
方法一： 由右图12t 2?x?v0cos300t??y?vsin300t?1gt2? 02???xy?ctg30?2解得 x?v03v20y??
则：L?gg2x2?y2?2v0g方法二：由右图1?0x?vcos60t?gcos600t20?2
?1002?y?v0sin60t?gsin60t?02?解得：L?x?2v20g第二章
牛顿运动定律与守恒一、思考讨论题1．分析以下各种情况中物体A和B的受力： 1）、A、B为均质球体，如图2.1静止放置。N1?N2??G图2.1?2）、A、B被水平方向的力F压在竖直的粗糙平面上保持静止（如图2.2）；如F增为原来2倍，受力如何变化？图2.22014年中国石油大学大学物理-课后习题解答汇总 13_大学物理课后习题答案解：如下图所示。?f)
N???NA物体A?N??FB物体B力F增大后，水平方向的力同比例增大，竖直方向不变。
3）、A与B叠放在一起（如图2.3），分以下几种情况讨论：a、A、B静止；b、A、B一起自由下落；c、一起匀速上升。解：对A和B分别分析分析受力如下图 a、图2.3?GB??GAb、c、与情况a相同，图略。
4）、A与B用轻弹簧相连，置于光滑平板C上（见图2.4），整体静止，若突然抽出C板，则在抽出的瞬间，A和B的加速度各为多少？6解：对于A受力分析：f?m1g?ma1?0a1?0
f?mg 对于B受力分析f??f?mgN?f??mg?0撤去C后：N?0
ma2?mg?f??2mg，得a1?0
a2?2g2、质量为m的铁锤竖直落下，打在木桩上面静止下来。设打击时间为?t，碰撞前的速率为v，则在碰撞过程中，铁锤所受的平均合外力的大小是多少？ 解：由动量定理得：I??p?F?t0?mv?F?t所以铁锤所受的平均合外力大小为：F?mv ?t3、如图3.1所示，质量为m的小球A以水平速度v与置于光滑桌面上质量为M的斜劈B碰撞之后竖直弹起，则A、B组成的系统的动量是否守恒？若令斜劈B的左右位置互换，使其竖直面朝向物体A，则系统动量是否守恒？ 解：（1）A、B系统弹性碰撞动量不守恒（水平方向守恒，竖直方向不守恒）。受力分析如右图。 注意：斜劈在碰撞瞬间受到桌面的冲力。（2）令斜劈左右位置互换，如右图
A、B系统弹性碰撞动量守恒。74、如图4.1所示，质量为m的物体放在水平传送带上，与传送带一起以恒定的加速度a前进，当物体被传送一段距离s时，传送带对物体作功是多少？物体对传送带作功多少？请分别以地面和皮带为参照系考虑问题。在两个参照系中它们互相所做的功的总和是否改变？解：对地：A?mas
对带：A?0考虑一对功对地：A?fs，物体对传送带做功：A??f?s??fs 图4.1总功A总＝0。对带A总＝0也成立，不受参考系不同选择的影响。5、如图4.2所示，M沿光滑斜面下滑，滑轮的质量不计，摩擦力可忽略。试判断： （1）取M和地球为系统，机械能守恒吗？ （2）取M、m和地球为系统，机械能守恒吗？（3）取M、m绳和地球为一系统，机械能守恒吗？答：（1）M和地球为系统，机械能不守恒。（2）取M、m和地球为系统，若绳子质量可忽略，机械能守恒。（3）取M、m绳和地球为一系统，机械能一定守恒。图4.26、分别对以下情况，分析判断系统的动量、角动量、动能和机械能是否守恒（其中细绳均为不可伸长的轻绳）：（1）如图4.3所示，圆锥摆上的小球m在水平面内作匀速圆周运动； （2）如图4.4所示，细线一端固定在竖直圆柱上端，给另一端连接的 小球一个初速，使细线逐渐缠绕于柱上；（3）如图4.5所示，桌面光滑，物体A、B一起运动至使绳子绷紧，从而带动物体C运动的前后过程。?图4.5图4.3图4.4答：（1）系统的动量不守恒，角动量的竖直分量守恒，动能和机械能守恒。
（2）动量不守恒，角动量不守恒，动能不守恒，机械能守恒。
（3）动量不守恒，对滑轮轴的角动量守恒，动能和机械能不守恒。8二、课堂练习1、如图2.11所示，质量为m的物体A放在水平面上，已知滑动摩擦系数为μ，求：欲拉动A以恒定速度v沿水平方向前进所需的最小的拉力F。 解：设拉力方向如图，受力分析得：???Fcos???N?0mg所以
F??1?Fsin??N?mg?0sin??cos??令图2.11dF?0 得：tg??? d?d2F又因为d?2所以得
Fmin?tg???(1??2)2???mg?0(1??2)co?smg(1??)?222、如图2.12所示，水平桌面上有一块质量为M的木板，板上放一质量为m的物体，M、m与桌面彼此之间的滑动摩擦系数均为?，静摩擦系数均为?0(?0??)，今以水平方向的拉??力F作用于M，使M与m一起以加速度a运动。（1）计算m和M所受的力；m?（2）要使M从m下面抽出，F的大小至少应为多大？解：（1）分别对物体受力分析，如图：
m：fsM:fs?maN1?mg?fs?fs?maN1?N1?mgN2?N1??Mg?(m?M)g
fk??N2??(m?M)g
桌面：??fk?fk???N2
N2（2）使M从m下面抽出，设板的加速度为a2，木块的加速度为a2
则应有：a2?a1
即：F?fs??fk?Ma2fs??fs??sN1??smg?ma1
所以a1??sg所以：F?fs??fk??sMg??smg??k(m?M)g??sMg
即：F?(?s??k)(m?M)g3、如图2.13所示，一段长度为l的绳子，总质量为m，其一端固定于O点，在光滑水平面内沿逆时针方向围绕O点以角速度?作整体转动。（1） 若绳子的质量均匀分布，求其内部距O点为x处的张力T。（2） 若绳子的质量非均匀分布，且质量线密度与x成正比，求x处的张力T。 （3） 如果绳子的另一端系一个质量为m0的小球，再求T。 解：（1）取质元dm?图2.13mmdx，分析受力易得：?dT?dm?an??2xdm??2xdx lllm2m?22?-dT???xdx，得T?(l?x2) Txl2l（2）设质元dm?kxdx，应有：m??lkxdx，可得：k?2m2mdm?xdx ，故：l2l22m2m?23(l?x3)
?-dT???x?2xdx，得T?2Txl3ll2（3）维持小球运动需要的拉力为 T1?m0an?m0?l
易知：2?T1T-dT???x?dm，即： T=T1???2x?dmxxl2l亦即：此时的张力就是在（1）、（2）结果的基础上加上T1。102014年中国石油大学大学物理-课后习题解答汇总 13_大学物理课后习题答案4、在水力采煤过程中，用高压水枪喷出的强力水柱冲击煤层。水柱的直径D=30mm，水流速度v=56m/s，且垂直于煤层，冲击煤层后速度几乎变为0。求煤层所受的平均冲力。解:由动量定理得：dm?v?，得：
?dm??v?(??D2v)v?D2?v2。具体得数略。 dt445、一根均匀柔软的细绳，单位长度的质量为λ，置于水平桌面上（如图3.2所?示），现用向上的力F将绳的一端从桌面匀加速上提至高度h，已知绳端初速为?0，加速度的大小为a，求：力F在h高度时的大小。解：应采用系统综合法，即以静置于桌面的绳子和提起运动部分的绳子总体作为研究对象，系统所受合外力实际上只有提起运动部分的绳子所受重力G与上提力F。提起部分的质量为：m??h，所受重力G??gh由动量定理：d(mv)d(?hy)dydv???v??ydtdtdtdt??v2??haF??hg?而：v2?2ah，故得：F?(3a?g)?h。6、一根均匀的链条，总长为L0，一部分放在光滑的桌面上，另一部分从桌面边缘下垂，长为L，如图4.6所示，设开始时链条静止，求链条刚好全部离开桌面时的速率。 解：方法一：由机械能守恒：设链条得密度为?，桌面势能为0。L12??Lg 221122全部离开时：E?Ek?Ep??L0v??L0g22开始时：E???Lg?L0?L22得：v?gL0所以链条刚好全部离开桌面的速率为：v?方法二：由动能定理得：L0112?L0v???ygdy??gy2L22L02L0?L2g L02?L1?g(L02?L2)2L0?L22得：v?gL0所以链条刚好全部离开桌面的速率为：v?2L0?L2g L027、如图4.7所示，一个内部连有弹簧的架子（质量为M）静止放在光滑的水平面上，弹簧的倔强系数为k，现有一质量为m的小球以水平速度v0射入架子内，并压缩弹簧。忽略小球与架子的摩擦力，求： （1）弹簧的最大压缩量xm；（2）小球与架子可达到的共同速度v； （3）当小球被反弹出去时，架子的速度V。???图4.7解：（1）、（2）当弹簧达到最大压缩量时，二者具有共同速度，由动量守恒和机械能守恒得(m?M)v?mv01112kxmax2?(M?m)v2?mv0 222解得：v?mv0，xmax?0m?M（3）当小球被反弹出去时，整个过程的动量和机械能均守恒，设小球反弹速度为v?（向左），得MV?mv??mv0111MV2?mv?2?mv02 222得：
V?2mvM?m08、在光滑水平桌面上，放有质量为M的小木块，一弹簧（弹性系数为k）一端固定于O点，另一端与木块相连，开始时弹簧处于原长L0的位置，现有一质量为m的子弹以初速v0，沿?垂直于弹簧长度的方向射入A处的木块（如图4.8所示），已知当木块（含子弹）运动到B点（OB⊥OA）时，弹簧长为L，求此时木块的运动速度的大小和方向。 解：子弹以初速v0射入小木块过程中，两者得动量守恒，mv0?(m?M)v0 即得木块和子弹的共同速度为：???v0?mv0方向仍与弹簧轴线垂直。(m?M)图4.8对O点的角动量守恒得：?(m?M)L0v0?(m?M)Lvsin?由弹簧系统的机械能守恒得：11?21(m?M)v0?k(L?L0)2?(m?M)v2 222联立以上两式可得2221k(L?L0)21mvk(L?L)?200v?[v0?]2?[?2 2m?M(m?M)m?M方向角??arcsinmv0L0(M?m)vL第三章 刚体定轴转动一、思考讨论题1、刚体转动时，若它的角速度很大，那么作用它上面的力是否一定很大？作用在它上面的力矩是否一定很大？解：刚体转动时，它的角速度很大，作用在它上面的力不一定大，作用在它上面的力矩也不一定大。M增大， ?I?增大，则F增大，d??I?， 又M?r?F dtM与?有关，与 ?无直接关系，F则与?更无直接关系???22、质量为m=4kg的小球，在任一时刻的矢径r?(t?1)i?2tj，则t?3s时，小球对原点的角动量=？从t =1s到t?3s的过程中，小球角动量的增量=？。??dr2解：角动量??m??m?[(t?1)i?2tj]?m(2t?2)dtt?3s?3?????[(t?1)i?2tj]?m(2t?2)?(8i?6j)?4(6?2)??802?1????[(t?1)i?2tj]?m(2t?2)?2j?4(2?2)??162???3??1??80?(?16)??643、如图5.1，一圆形台面可绕中心轴无摩擦地转动，有一辆玩具小汽车相对于台面由静止开始启动，绕作圆周运动，问平台面如何运动？若经过一段时间后小汽车突然刹车，则圆台和小汽车怎样运动？此过程中，对于不同的系统，下列表中的物理哪些是守恒量，受外力，合外力矩情况如何？解：平台绕中心轴转动，方向与小车转动方向相反。小车突然刹车，圆台和小车同时减速、同时静止。 分别考虑小车和圆台在垂直和水平方向的受力。图5.1ftn小车圆台4、绕固定轴作匀变速转动的刚体，其中各点都绕轴作圆周运动，试问刚体上任一点是否具有切向加速度？是否具有法向加速度？法向加速度和切向加速度大小是否变化？ 解：刚体上的任何一点都有切向加速度。也有法向加速度。大小不发生变化。5、在一物体系中，如果其角动量守恒，动量是否也一定守恒？反之，如果该系统的动量守恒，角动量是否也一定守恒？解：在一物体系中，角动量守恒，动量不一定守恒。例如题4中的小车与圆台组成的系统。反之，系统的动量守恒，角动量也不一定守恒，除非是单个质点。二、课堂练习1、如图5.2所示，一轻绳绕过一质量为m/4，半径为R的滑轮（质量分布均匀），一质量为m的人抓住绳子的一端A，绳子的另一端系一个质量为m/2的重物B，绳子与滑轮无相对滑动，试求： （1） 当人对绳子相对静止时，B物上升的加速度；（2） 当人相对于绳子以匀速u上爬时，B物上升的加速度； （3） 当人相对于绳子以加速度a0上爬时，B上升的加速度。解：方法一、用隔离体法，分别研究人、物和滑轮的运动。 （1）分别受力分析
B、2 a?2f?T1Ra2a1mg T1 2a1?a2?a mg?T1?ma1?maT2?111mg?ma2?ma 222211112a(T1?T2)R??mR?
即 T1?T2?ma2?ma 8824R联立以上各式得：a?（2）同（1）4g 1348g?a0 1313（3）a1?a2?a0 带入得a2?方法二、选人、滑轮与重物为系统（1）、对O轴，系统所受的外力矩为：
1?m?M?Rmg?Rg?Rmg?? 22??设u为人相对绳的匀速度，v 为重物上升的速度，则系统对O轴的角动量为：1?m?2?m???L?Rv?Rmu?v?J?J?????R 2?4??2?13?L?mRv?mRu1813M?RmgL?mRv?mRu282014年中国石油大学大学物理-课后习题解答汇总 13_大学物理课后习题答案根据角动量定理：M?dL，得 dt1d?13?mgR??mRv?mRu? 2dt?8?又因：dudv4?0，?a得：a?g dtdt13（2）、同（1）。 （3）a2?48g?a0 13132、如图5.3所示，一质量均匀分布的圆盘，质量为M，半径为R，圆盘与粗糙水平面接触，可绕通过其中心O的竖直轴转动，一个质量为m（m&&M），速度为v0的子弹沿圆周的切向射入盘的边缘，并嵌在里面，如图所示。若圆盘与水平面的摩擦系数为μ，试求： （1）子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度； （2）经过多长时间后，圆盘停转；（3）这时圆盘共转过多少角度？（以弧度表示） 解：子弹和圆盘为一个系统 （1）碰撞时角动量守恒?1mv0R?(J?J?)??(MR2?mR2)?2所以 ??mv01(M?m)R2?2mv0MR（2）圆盘面密度??M，则圆盘上半径为r-r+dr的细圆环所受的摩擦力矩： ?R2dMf???grdm???gr(??2?rdr)
Mf???g??2??R2r2dr??2?g??R33??2?g??R3???gMR3由角动量定理：Mft?0?J???mv0R，得：t?（3）由动能定理：3mv02?Mg1622m2v??
?Mf??0?J????MR?222M2R2M3m2v02所以 ?? 22?MgR3、如图5.4所示，质量分别为M1，M2，半径分别为R1，R2的两均匀圆柱，可分别绕它们本身的轴转动，二轴平行。原来它们沿同一转向分别以?10、?20的角速度匀速转动，然后平移二轴使它们的边缘相抵触，如图所示。求最后在接触处无相对滑动时，每个圆柱的角速度?1，图5.420?2。解：两柱体从接触到稳定状态只受摩擦力。规定两个圆柱旋转与受力矩的正方向均为原来的顺时针方向，由角动量定理：??fR1dt??R1?fdt?J1(?1??10) ??fR2dt??R2?fdt?J2(?2??20)由上两式得：J1R2(?1??10)?J2R1(?2??20)而转动惯量分别为：
J1?,J2?M2R2 22可得：M1R1(?1??10)?M2R2(?2??20)稳定后，两柱体接触的线速度相等，即：?1R1???2R2，联立可得：
?1?M1R1?1?0MR2?2(M1?M2)R1M2R2?2?0MR1?1(M1?M2)R220?2?10显然，达到稳定后，两圆柱体反向转动。4、如图5.5所示，弹簧的倔强系数k=2N/m，弹簧和绳子的质量忽略，绳子不可伸长，不计空气阻力，定滑轮的半径R=0.1m，绕其轴的转动惯量为J?0.01kgm2。求质量m?1kg的物体，从静止开始（这时弹簧无伸长）落下1米时的速度的大小为多少？（取g?10m/s2。）17解：方法一、分别受力分析如图x?mg?T1?ma?a?RT?RT?J?12k???T2?kxmg?kx?(m?JR2)axR2dvdva?(mg?kx)??vdtdxmR2?Jl12R2R212?v??(mg?kx)dx?(mgL?kL) 22022mR?JmR?JR2?v?(2mgL?kL2)?9
v?3ms 2mR?J2方法二、 机械能守恒
下降L时：E?11v1mv2?J()2?kL2?mgL 22R2R22(2mgL?kL)?9，得
E?E0得 v?2mR?J2第四章 狭义相对论基础一、思考讨论题1、根据相对论问答下列问题： (1)在一个惯性系中同时、同地点发生的两事件，在另一惯性系中是否也是同时同地点发生？
(2)在一个惯性系中同地点、不同时发生的两事件，可否在另一惯性系中为同时、同地点发生？(3)在一惯性系中的不同地点发生的两事件，应满足什么条件才可找另一惯性系，使它们成为同地点发生的事件？(4)在一惯性系中的不同时刻发生的两事件，应满足什么条件才可找到另一惯性系，使它们成为同时的事件？答：依据洛仑兹时空坐标变换x???(x?ut)
t???(t?c2)
（其中???u2c2）得 ?x???(?x?u?t)
?t???(?t?u?2)18（其中?x?x2?x1，?x??x2?x1，?t?t2?t1，?t??t2?t1） 所以有 （1）是。 （2）不能。（3）若?x?0，而欲?x??0应有?x?u?t?0??????x?u?c ?t（4）若?t?0而欲?t??0，应有?t?u?2?0?xc2???c ?tu2、一个光源沿相反方向放出两个光子(以光速c运动)，问两光子的相对速度的大小是多少？答：由相对论速度变换式易算得，相对速度大小仍为c。3、一发射台向东西两侧距离均为L0的两个接收站发射光讯号，今有一飞机自西向东匀速飞行，在飞机上观察，两个接收站是否同时接到讯号？哪个先接到？如飞机在水平内向其它方向运动，又如何？解：以地面为S系，飞机为S?系，设飞机相对于地面的速度为u。西、东两接收站接到光信号的时刻分别为：S???t1和t（S系）t和t（ 212S系中）显然 t1?t2??t?0
t2?t1????t?u?x2?uc22??u?xc2?uc22???uL0c2?uc22?0?t2?t1 即东边的接收台先接到。
若u的方向与两接收站的连线垂直，则：
x1?x2,?x?0??t??0则同时收到。
若u的方向与两接收站的连线成?角，则?x?L0cos?
?t???19??u东L0cos?uc2?uc22则取决于?的值。4、站台两侧有一列火车以相同的速率南北对开；站台上的人看到两列火车上的钟和站台上的钟，哪一个走得最快，哪一个走得最慢？在其中一列火车上的人看来，结论又如何？ 解：S系中（站台）测得火车1和2中的时间应为：?t1???t1??t1（?t1为火车1上的钟显示的时间：原时）???Su ?S2南???t2???t2??t2当?t1??t2时，?t1??t2??t1(?t2)北????所以站台上的钟走得最快，而两列火车上的钟走得同样慢。S?系中：站台的相对速的大小为u，火车2的相对速度为：u21?2u?u1?u2c2??u2c2??t1 ?2??u21c2??t2所以测量站台：?t1???t1??t1测量火车2：?t21??21?t2??t2??且当?t1??t2时：?t21??t1??t(?t2) 即火车1上的钟走得最快，火车2上的钟最慢。5、如图6.1，一火车以恒定速度v通过隧道，火车和隧道的原长均为l0，从地面上观测，当火车前端b到达隧道的B端时，有一道闪电正击中隧道的A端，问：此闪电可否在火车a端留下痕迹？解：火车、隧道原长均为l0，设火车速度为v，以隧道为????S系，火车为S?系。在S系中：隧道长为l0，火车长为：图6.1l?l0?l0?uc?l0显然火车不会击中火车的a端。6、一细长杆的固有长度与栅栏的固有间隔相等，且二者平行。现令杆沿如图6.2所示方向对准栅栏的一个空档高速平动，似乎因长度收缩效应，此时杆的长度比栅栏间隔小，应能顺利通过。然而，在杆自身的参照系看来，情况还是这样吗？如果杆的原长大于栅栏间22栏图6.2202014年中国石油大学大学物理-课后习题解答汇总 13_大学物理课后习题答案隔？则是否有可能横穿过栅栏？解：以栅栏为S系，杆为S?系，设原长均为l0
在S系中看杆，其x方向投影长度?x???x， ??x（尺缩）而y方向投影长度?y???y?l0sin?（不变）。 在S?系中看栅栏：?x?????x
?y???y?l0sin?总之：杆能否通过栅栏，应看?y?和?y 大小，由上可知，无论在S系还是在S? 系中观察，杆均应顺利运过栅栏。7、一个带电粒子的静止质量为m0，在恒定的电场力F的作用下，由静止开始加速，则t时刻的速度是多少？此值与不考虑相对论效应的结果相比，有什么不同？ 解：有动量定理，（对直线运动）：tdpF???Fdt??p?p?0?p0dtv?F为恒力，故： Ft?p?m0v?vc22可得v?Ftm0?Ft2222若不考虑相对论，用经典力学解题，有：Ft?p?m0v
?v?Ft m0可知比起严格的理论，此结果偏大。8、一粒子的静质量为m0，现以速度v?08.c运动，有人按下式计算其动能：
粒子质量m?故动能m02v??c2m0， 0.6Ek?121m0mv?(0.8c)2?0.533m0c2 220.6你认为这样计算对吗？为什么？答：不对。总能量E?mc
静止能量为E0?m0c22相对动能：Ek?E?E0?mc2?m0c2
其中m?m02v1??c2m00.69、试讨论下列物理量在经典物理与狭义相对论中有何区别： 长度、时间、质量、速度、动量、动能。答：l0为原长，t0为原时，m0为静止质量，相对论中：22（1）长度收缩 l?l0?uc（2）时间膨胀t?t0?uc22（3）相对论质量m?m0?uc22（4）相对论动量p?mv?m0v?uc22（5）总能量E?mc
静止能量为E0?m0c2相对论动能 Ek?E?E0?mc2?m0c22二、课堂练习1、在惯性系K中，相距为?x?5?10m的两地点发生的两事件的时间间隔为?t?10s；而在相对于K系沿正x方向匀速运动的K?系中观测，它们却是同时的：在K?系中这两个事件的发生的地点间距离是多少？解：设K?相对于K运动的速度为u，则有9?t??c2?t?0，所以 u??x2(?t)2?x?c??4?109m 故?x???2、在S系中有一根米尺固定于x轴上，而在S?系中的x?轴上亦固定有一根长尺，S?系相对于S系沿正x方向以速度u?0.6c运动，求： (1)S?系的观察者测得S系中的米尺长度； (2)当S?系经过时，则S?S系中的观察者同时从米尺的两端向S?系中的长尺打下两个记号，系中测得记号的间距是多少？解：（1）米尺比度在S系中为原长l0?1m，在S?系中为长l????1l0?l?0.8l0?0.8m（2）当S系向S?系打下记号，相当于测量了一段长度为1m长度，运动长度l?1m，而在S?中看来，对应长度为固有长度l0
由l??l0 得 l0??l??1???l0?0.62?l0?1.25m 0.83、一宇宙飞船相对于地面以u =0.8c的速度飞行，一小球相对于飞船以速度0.25c从船尾运动到船头，已知飞船的原长为90m。求： (1)地面观察者测得小球的运动速度；(2)地面观察者测得小球从船尾运动到船头所用的时间。 解：（1）以地面为S系，飞船为S?系?vx?u1.05cvx???0.87c521?0.21?vxuc（2）以小球在船尾为事件1，到达船头为事件2
方法一 ：在地面（S系）中，飞船长为l???1l0，其中S.8c地面l0?90m???u2c2?则 l?54m10.6x设小球所用时间为?t?t2?t1 则球与飞船的路程之差为：vx?t?u?t?(vx?u)?t?l注意：(vx?u)只是二物体的速度差，绝不是它们的相对速度，它们的相对速度是0.25c。l??t????2.4?10?6(s)vx?ux?u21?v?xuc方法二：在飞船（S?系）中，小球用时为?t???xl090???1.2?10?6(s) vxvx0.25cl0ul0c222在S系中?t??t??u?c2?uc22?vx?(?1u?2)l0cvx?uc22?u0?(4.8l010.8l08?90?6?)???2.4?10(s) 80.25cc0.60.6c3?10方法三：以小球为参考系（S??系），飞船长度因尺缩变为：l??????1l0?l小球用时：?t???在S系中测得时间为l???v?x?6??2.4?10s ?t??4、两艘飞船相对于地面分别以v1?0.6c和v2?0.8c的速度相向飞行，在地面上观测，再有与5s的时间，二者就要相遇。(1)在地面上观测，二者的距离是多少？(2)从飞船1上的钟看，再经过多长时间二者将相遇？ (3)从飞船2上看，再经过多长时间二者将相遇？解：（1）?x?v1?t?v2?t?(v1?v2)?t?1.4c?t?2.1?10m （2）对飞船1，所需时间为固有时间?t?，而?t为动时， 则
?t1??1?t??v2（3）对于飞船2，同理得：9??12c2?t?0.8?t?4s?2?1?t2??2?t??v2c2?t?0.6?t?3s5、如图6.3，一质量均匀分布的薄板，在静止时为一正三角形，当它在自身所决定的平面内沿与其一边垂直的方向匀速运动时，测得其形状变为一个直角三角形，已知板在静止时单位面积的质量为?。 求： (1)板的运动速度v；(2)板在运动时的质量面密度??。 解：（1）易知31
??aa?3?22所以 v?v2?2c2c 312a?a?a
静止质量 m0?S? 224111Sa?a?a2? 224（2）静止面积为 S?运动面积为S??运动后质量 m??m0?3m0
所以6、有一静质量为m0静止粒子衰变为两个碎片，其一的静质量为m10?0.3m0，速度大小为???3m0mm??30?3? S?SSv1?0.28c，求另一片的动量p2，能量E2和静质量m20。解：由质量守恒和动量守恒得??m0（1）（2）???0??m0v1m10 m202p2???由（1）得m10v1?v1c22m20v1?v2c22?m0v1
（3）（3）－（2）得：m20(v1?v2)?v2c22?m0v1则：m20?v2c22?m0v1（4）v1?v22014年中国石油大学大学物理-课后习题解答汇总 13_大学物理课后习题答案带入（2）得m0v1v2m10v1?22v1?v2?v1c?1m10v1m10v1?v??2?m0??1m10?1?1m0?m10?解得
?mv222?m20?01?v2c2?m0?2?1m0m10?m10?v1?v2?能量 E2??2m20c2??1m10c2v1v2?m0c2??1m10c2?(m0??1m10)c27、?介子在静止时衰变为??子和中微子?，即：???????。三者静质量分别为m?、?m?和0。求：??子和中微子?动能Ek?和Ek?。解：由能量守恒： (m?c2?Ek?)?Ek??m?c2
（1）由动量定理：p??p? 且存在能量-动量关系：?p?2c2?E?2?E?02?(m?c2?Ek?)2?m?2c4?222p?c?Ek??故得：(m?c2?Ek?)2?m?c?Ek?由（1）得
m?c?Ek??m?c?Ek? 带入（2）得：22224（2）Ek??m??m?2m?22c2Ek??m?c2?E???m?c2?(m??m?)22m?c2第五章 真空中的静电场一、思考讨论题1、电场强度与电势有什么关系？试回答下列问题，并举例说明：（1）场强为零的地方，电势是否一定为零？ （2）电势高的地方，场强是否一定大？（3）电势相等处，场强是否一定相等？（4）已知某一点的电势，可否求出该点的场强？反之如何？ 解：（1）不一定。比如两同种点电荷连线中点，场强为零，电势不为零。 （2）不一定。匀强电场，场强处处相等，而电势不等。（3）不一定。点电荷产生的电场线中，电势相等的地方场强方向不一样。 （4）都不可以求。2、已知某一高斯面所包围的空间内?q?0，能否说明穿过高斯面上每一部分的电通量都是0？能否说明高斯面上的场强处处为0？??1解：由高斯定理??E?dS?S?0?q，?q?0仅指通过高斯面的电通量为零，并非场强一定在高斯面处处为零（高斯面外的电荷也在高斯面上各点产生场强）。 3、已知某高斯面上处处E?0，可否肯定高斯面内荷？??q?0，可否肯定高斯面处处无电???解：可以肯定。高斯面上处处E?0，E?dS?0，由高斯定理必有?q?0。S4、如图1.1所示，真空中有A、B两均匀带电平板相互平行并靠近放置，间距为d（d很小），面积均为S，带电分别为+Q和－Q。关于两板间的相互作用力，有人说，根据库仑定律应有：f?Q24??0d； 2Q2又有人说，根据f?QE，应有：f?。?0S他们说得对吗？你认为f应等于多少？解：（1）f?Q24??0d2是错误的，因为库仑定律只适用于图1.1点电荷，两个带电平板不能直接用库仑定律计算。Q2（2）f??0S也错误。因为用E?q?0s计算的场强是两带电平板产生的合场强，而F?Eq中的场强是一个带电板的电荷量乘以另一个所产生的场强，而不是合场强。电荷与自身产生的场强作用力恒为零。q2正确答案是：F??Edq? ?q?2?0S2?0Sq5、在无限大带电平面和无限长带电直线的电场中，确定各点电荷时，可否选无穷远处为0势点？为什么？解：不能。因为如果选无穷远处为0势点，根据电势定义计算，积分都是发散的，场中各点的电势都是无限大，无意义。6、无限大均匀带电平板的电荷面密度为?，与板相距为a处有一点电荷q，欲求q至平板垂线的中点P处的电势?p，有人用电势叠加法来求：?p?请分析以上结果是否正确。 解：不正确。q4??0?a2?(??aq?a?)??2?022??04?0二、课堂练习1、一细玻璃棒被弯成如图1.2所示的形状，已知棒上的电荷线密度为λ，试求，半圆圆心?O处的场强EO。解：如图示，有：图1.2E0?E1?E2?E3显然，E1?E3?0，E2?E2ey 故，E0?E2eyE0???14??0?Rd?R2sin??????sin?d??4??0R2??0R?0??1??2??3?2?1??2?1??2RR?dx??ln24??0x4??0?2????Rd???4??0R4?0??ln2?所以，?0? 2??04?02、如图1.3所示，无限大均匀带电平板，厚度为d，电荷体密度为ρ，求板内外的场强分布。 解：方法1用高斯定理
E?S?E?S? 2?0E??x ?0x?d??Sd
E?S?E?S? 2?0E?取原点为0电势点，?d2?0已知板内场强分布为：E1??x ?0板外为：E2??d2?0则有：?1??1?2?dd?xdx??x??x??? ?x?02?022???2??xd?d?d??x (x?)22?02?0方法2利用叠加原理： 如图示，在x处取厚度为dx的薄层平板，其电荷面密度 为???dx，该带电薄层在 其两侧产生的均匀电场 强度的大小为：dE???dx? 2?02?0dE的方向垂直薄层两侧版面向外。板层中央：?dxd?dxE?E左?E右??d???0?02?2?00板内：（0?x?d）处 2x?dxd?dx?E?E左?E右??d???x?x2?2??000方向沿x正向。同理可得板内（?d??x?0）处，E??x，方向与坐标轴正向相反。 2?0板外任意点：E??dx?d??d22?0?2?0d2方向垂直两侧版面向外。3、如图1.4所示，两个均匀带电的同心球面，半径分别为R1和R2，带电量分别为q1和q2，分别求图示中Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ区内电场分布。 解：由高斯定理： Ⅰ，E1?0(r?R1) Ⅱ，E2?21?1(R1?r?R2)图1.44??0r2Ⅲ，E3?1?1??2(r?R2)4??0r由电势定义：???d???可得： Ⅰ，?1?dq4??0rq14??0R1q14??0r?q24??0R2q2(r?R1)Ⅱ，?2??4??0R2(R1?r?R2)Ⅲ，?3?q1?q2(r?R2)4??0r4、在半径为R，电荷密度为ρ的均匀带电球体中的挖去以O?点为中心，R?（R?&R）为半径的球形空腔，且O与O?相距为a（如图），求： （1）P点的场强。2014年中国石油大学大学物理-课后习题解答汇总 13_大学物理课后习题答案?（2）空腔内任一点Q的场强EQ?？解：由电场叠加原理知，此球体的电场等于 带正电的球体和空腔且以体电荷密度相等的 负电荷充满的带电球体的电场的叠加。 在P点，??R3?R?3?? （1）P??22?r3?0r?a??3?0r?????（2）EQ??-??3?03?0?图1.5图1.5??5、如图2.6所示，电偶极子p?ql，且电场中P 点距电偶极子r??l。求：（1）?O的P点的电势?；???（2）P点的场强E(用分量Er和E?表示)。解：（1）取极坐标系，设P离+q和-q的距离分别为r?和r?，P点电势为点电荷?q产生电势的叠加，图2.6??P?q4??0r???q4??0r?由于，r??l, 所以，近似有：r??r??r2r??r??lco?s所以，P点电势：?P?qlcos?p?r?234??0r4??0r（2）P点场强：Er???V??pcos??2pcos??? ???2?3??r?r?4??0r?4??0r1?V1??pcos??psin???? ??2?3r??r????4??0r?4??0rp4??0r3E???所以，总场强的大小为：
E?Er2?E?2?3co2s??1第6章 导体与电介质中的静电场6.6 课堂讨论与练习6.6.1 课堂讨论1. 一个半径为R的金属球内部挖出了两个球形空腔，并在其各自的球心处同时放入点电荷Q，如图6-5所示。（1）求出球壳上的电荷分布。（2）若在距金属球心很远的r处（r??R）放置另一个点电荷?Q离球心放置，求这三个点电荷各自所受的力。答；图6-5（1） 如图?2Q2（2） Q，Q受力为0，-Q：F?Kr22. 有两个半径分别为R和r?R?r?的金属球相距很远，其中大球带电量为Q，小球不带电，今用导线将其相连。（1）若规定无穷远处电势为0，求两个球的电势。（2）两个球分别带多少电量？两个球表面的电荷面密度是多少？ （3）若rR?0，将会出现什么情况？ 答；（1）（2）?1?QA4??0RQB，?2?QB4??0rQA4??0R?4??0r(1)
QA?QB(2)解方程（1）(2)可求解（3）电荷都在A上3. 如图6-6a所示，将一个正的点电荷q置于净电荷为0的导体球附近（1）试定性地标出导体球上的电荷分布并画出点电荷与导体球周围空间的电场线。 （2）导体球所受库仑力如何？若规定无穷远处电势为0，导体球的电势是正还是负？ （3）若将导体球换成介质球，如图6-6b所示，再回答（1）和（2）中的问题。?q?q图6-6a图6-6b?4. 在匀强电场E中同时放入一个导体平板A和一个电容率为?的介质平板B（原来都不带电）。A与B彼此平行靠近放置，并与E正交，如图6-7所示。忽略边缘效应。??、?2?（如图）（1）设A与B的各个表面上感应出的面电荷密度分别为?1、?2和?1，请问它们的大小、正负应有何关系？?1???2,?'1???'2????E?dS??，电位移通量D?dS??SS（3）今取一个与A、B正交、底面积为s的闭合柱面S（如图），通过S的电通量'???2??1S E?dS?S?0??D?dS??2SS图6-76.6.2 课堂练习8. 一个半径为R的金属球原本不带电，在附近放置一个点电荷q，q到球心O的距离为r，如图6-11所示。（1）求金属球面的感应电荷在球内任一点贡献的电场和电势。（2）若将金属球接地，又如何？此时金属球面感应出的总电量是多少？????解：（1）内部E?0
E?EQ?Eq??EQ??Eq???qr'4??0r'3,???q??Q
,???o ,q?0?q4??0r,?q?4??0r',?Q?q4??0r?q4??0r'（2）?0?0?0?q4??0r?Q4??0R?0
Q??Rq r第7章 稳恒磁场一、思考讨论题??1、如图4.1所示的电流元Idl是否在空间所有点的磁感应强度均不为零？请你指出Idl在a、b、c、d四点产生的磁感应强度的方向。?解：不是，电流元Idl在自身产生的磁感应强度为零。a、垂直纸面向外 b、垂直纸面向外 c、垂直纸面向内 d、垂直纸面向内图4.1?2、分别求图4.2中的三种情况下，通有电流I的直线电流在图中点产生磁感应强度B的大小和方向。图4.2b1 图4.2ca图4.2a2014年中国石油大学大学物理-课后习题解答汇总 13_大学物理课后习题答案解：a图，B??I3?2?I? 方向垂直纸面向内 cos30??cos145????4?a8?a?I3?2?I?
方向垂直纸面向内 cos60??cos45????4?a8?ab图，B?c图B1??I?I?cos0??cos30??
B2??cos60??cos180?? 04?a4?actan30B?B2?B1??1?I方向垂直纸面向内4?a?3、电流分布如图4.3所示，分别求出各图中O点的磁感应强度BO的大小和方向。13 R 图4.3a图a4.3b 图4.3c 解：图， B?B1?B2?B3?B1?B3??cos04?Rcos60?I?cos30??B2??I12002a360方向垂直纸面向内b 图，
B1?0，B2??I12R6???I12R?，B3??I2??cos150?cos180??4??22?R2?I?1??I32R4?I3所以，B?R??12?2??? 方向垂直纸面向内 4?R??c 图，B1??3?I，B2?B5?0 8RB3?B4??I?2?2I?3?? 方向垂直纸面向外 ，所以，B??8R???16?R?4、若空间中存在两根无限长直载流导线，则磁场的分布就不存在简单的对称性，因此：（A）安培环路定理已不成立，故不能直接用此定理计算磁场分布。 （B）安培环路定理仍然成立，故仍可直接用此定理计算磁场分布。 （C）可以用安培环路定理与磁场的叠加原理计算磁场分布。 （D）可以用毕奥-萨伐尔定律计算磁场分布。 请判断以上说法是否正确。 解：（C）正确，其它错误。图4.45、如图4.4所示，环绕两根通有电流I的无限长直导线，有四种环路，求每种情况下：??B?dl=？l????解：环路1，B?dl??I
环路2，B?dl??2?I ????环路3，B?dl?2?I
环路4，B?dl?0llll6、由毕奥―萨伐尔定律可证明：一段载流为I的有限长直导线附近P点的磁场强度满足下式：B??0I(cos?1?cos?2)，现于垂直于电流的平面内过P点作一圆形回路L（以导线4?a???0IB?dl?(cos?1?cos?2) 2L为中心轴），则以此回路算得如下的环路积分：这与安培环路定理的公式不一致。上述结果正确吗？应如何解释？解：不正确。安培环路定律中的电流必须是闭合的，对有限长的一段电路不成立。?7、如图5.1所示，一半径为R的圆线圈，通电流I，置于均匀磁场B中，当线圈平面与磁场方向垂直时，问：?（1）线圈中a、b、c、d、e、f各处电流元Idl所受磁力的大小和方向？（2）线圈将如何运动？ 解：（1） 由左手定则容易判断，磁力方向 沿垂直所在点的切线方向向外 大小为:aedfi?Idl?Bi(i?a,b,c,d,e)(2)线圈处于平衡状态，保持静止。图5.1?8、如图5.2所示，两个平面S1和S2的夹角为?，并相交于直线MN，均匀磁场B沿着平面S1且?MN，载流为I的半圆形导线（半径为R）置于平面S2中，请判断：导线ab应如何放置可使其受到的安培力最大？如何放置可使其受到的安培力最小？此最大值和最小值是多少？图5.2解：由安培力公式易知：当半圆线圈的直径即ab连线与MN平行或垂直平面S1当ab连线与磁场方向平行时受到的安培力最小。 安培力最大值为：Fmax?2IRB；最小值为：Fmin?0 9、（1）载流长直导线附近一点的磁感应强度B?时，导线ab受到的安培力最大，?0I，既然有电流和磁场，是否有一个相2?a应的安培力作用于导线上，为什么？（2） 一载流线圈上各部分是否受力？力的方向如何？解：（1）不存在，导线自身所激发的磁场对自身不作用。因为：如考虑一个电流元Id 的受力，由于导线其余部分与电流元的夹角为零，由电流元的磁场公式知：其余部分在电流元处产生的磁场为零，故所受安培力为零。（3） 线圈各部分均匀受力，且力的方向沿半径方向向外，说明线圈自身有扩张趋势。4、如果一个电子在通过空间某一区域时不偏转，能否肯定这个区域中没有磁场？如果它发解：都不能肯定。（1） 不偏转,可能情况： ???0?a?0? 或 ???0?a?0? a为加速度 （2） 偏转,可能情况：① 电场与速度有一定角度；② 磁场与速度不平行；③ ①与②的情况都存在。二、典型例题1、如图4.5所示，矩形截面的螺绕环，均匀密绕有N匝线圈，通有电流I，求通过螺绕环内的磁通量。
h图4.5解:如图4.5示：图4.6?m??B?dS??BdS
dS?hdr由安培环路定理：Bd??NI 即：B?2?r??NI
所以，B?故，?m?2、如图4.6所示，在半径为R1和R2的两圆周之间，有一总匝数为N的均匀密绕平面螺旋?NI2?r?D2D1?NIhdr?NIhD2?ln2?r2?D1?线圈每匝导线中通有电流I，求螺旋线圈中心处的磁感应强度BO。解：面电流密度：??NIR2?R1如下图：取半径为r, 密度dr 的密绕圆环， 则电流dI??dr,在O点产生磁场：Bo???dI2r??R2?NI2R2?R1R1lnR2R1O rdr方向垂直纸面3、在一半径为R的无限长半圆柱形金属薄片中，自上而下地有电流I通过（如图4.7），试求圆柱中心轴线任一点P处的磁感应强度。图4.7解：电流面密度为：j?I ?R取无限长细直线电流元，宽度为dl?Rd?
在o处产生磁场：
dB??dI?jRd??j??d? 2?R2?R2?xBx?????j?j?I?sin???2 2???R?j?cos??0 2??I2?RBy??故，?Bx?4、如图4.8所示，由无限多根平行紧密排列的无限长载流为I的直导线组成一个载流平面，?求空间任一点B。解：由对称性知：BB的方向平行于导体面，在平面两侧等距处的2014年中国石油大学大学物理-课后习题解答汇总 13_大学物理课后习题答案B方向相反，大小相等。可取安培环路如图（设平行长度线数为n） 则：?d?2bB??nbI 所以，B?1?nI 25、一根外半径为R1的无限长圆柱形导体管，管内空心部分的半径为R2，空心部分的轴与圆柱的轴相平行但不重合，两轴间距离为a，沿导体管轴方向通有的电流均匀分布在管的横?截面上，电流密度为J（图4.9为圆柱的横截面）。求：（1）圆柱轴线上的磁感应强度的大小和方向； （2）空心部分轴线上的磁感应强度的大小和方向； （3）空心部分内任一点处磁感应强度的大小和方向。图4.9解：小圆柱空腔表示其中通过的电流等于0，这可以等效成空腔中同时存在着电流密度为 ?和??两个等值反向的电流，可采用补偿法求解。 电流密度：??I2?R12?R222??R2??R2I（1）BO?B1?B2?0?
?22?a2a?R12?R2B1B2a??B2??（2）BO??B11??a 2r12（3）对于空腔内部任一点P，如图示：11??r1????r22211???r1?r2???22B?B1?B2????6、一闭和曲线由半径为a和b的两个同心共面半圆环连接而成，如图4.10所示。其上均匀分布有线密度为?的电荷，当回路一角速度?绕着过圆心并垂直于回路平面的轴匀速转动时，求：圆心处的磁感应强度的大小。 解：如图示，分成四部分B?B1?B2?B3?B4B1?图4.10?0I12a??0Q1??2a2??1?0??a?????0???B34?a4B2??dB????ba?0dI2r???0dq?2r2??0???bdr??0ln4?r4?aB4?B2所以，B?11b1b???0????0??ln??0???1?ln? 22?a2a??6、一无限长直导线通以电流I1，旁边有一个直角三角形线圈，通以电流I2，线圈与长直导线在同一平面内，尺寸如图5.4所示，问：三段导线受力各为多少？I1IO图5.4解：各边受力方向如图示：B?图5.5?I12?xd?l1F1??d?I1I2?IId?l1?12ln 2?x2?dIF2??l2?I1I2?IIl?1222?d?l12?d?l1F3??d?l1d?I1I22?x2l12?l2l1?IIdx?122?2l12?l2l1lnd?l1d7、在载电流为I1的长直导线旁边，放置一载电流I2的共面导线，其中AB段是半径为R的圆弧，圆心落在直线上，如图5.5所示，求圆弧导线AB所受的安培力。 解：容易看出合力方向垂直于I1向右， 大小为沿x方向的分力之和。选θ为积分变量，有：?I1I21f?fx?????I1I2??2?3?3图5.58、如图5.6，包含两个圆弧的扇形线圈，可绕固定轴OO?自由转动，在圆心O处垂直于扇形平面放一长直导线，通电流I1，扇形线圈通电流I2，两圆弧半径分别为R1、R2，如图所示。求：（1）扇形线圈各边所受的力；（2）扇形线圈所受的力矩（对OO?轴）。O
图5.6解：如图示：电流I1产生的磁感应线是一系列同心圆，B??I12?r由安培力公式易知：线圈ad和bc段的受力为零；ab的受力方向垂直纸面向里，cd的受力方向垂直纸面向外，大小为： （1）fab??R2R1?I1I2?IIR?12ln2 2?r2?R1同理，fcd??I1I22?（2）dM?rsin45??dfab?dfcd? 积分得：M?2?I1I2?R2?R1? 2?9、如图5.7所示，将一无限大的均匀载流平面置于匀强磁场中，电流方向垂直于纸面，已知平面两侧的磁感应强度的方向均平行于载流平面向下，大小分别为B1和B2（B1?B2）。 求：单位面积上载流平面所受磁场力的大小和方向。
?1 2图5.7解：建立直角坐标系，如图示。载流平面在其两侧产生匀强磁场， 大小相等，即BLBRBL?BR?B?1?0j 2设原均匀磁场B0沿X轴正向，则：102XB1?B0?BB2?B0?BB2?B1B0联立以上各式，可得:j??0在载流平面上任取一宽度为dx，长为dy的面积元的dS ,则相应的电流元为：Idl?jdxdy?jdS电流元受B0的作用力：d?Id???jdSB0所以单位面积所受的力f为：2?B2?B1??B2?B1?B2?B12?d?f???jB0k???k ???2?k??2?dS??00????10、设在讨论的空间范围内有如5.8所示的匀强磁场B，在垂直于磁场的水平面内有一长为h的光滑绝缘空心细管MN，管的M端静止放置一个质量为m，带电量为q（q＞0）的小球。然后细管带着小球向垂直于管长和B的方向以速度v作匀速运动，忽略各种阻力。 求：小球从N端离开细管后，在磁场中作圆周运动的半径r。 解：沿管向上的洛仑兹力使小球加速，f?qvB?ma??到N点时，沿管向上的速度是v??2qvBhm图5.82qvBh2到N点的合速度是?vm在磁场中作圆周运动的半径第六章
电磁感应一、思考讨论题1、判断下列情况下可否产生感应电动势，若产生，其方向如何确定？ （1）图6.1a，在均匀磁场中，线圈从圆形变为椭圆形；图6.1a 图6.1b图6.1c图6.1d2014年中国石油大学大学物理-课后习题解答汇总 13_大学物理课后习题答案（2）图6.1b，在磁铁产生的磁场中，线圈向右运动；（3）图6.1c，在磁场中导线段AB以过中点并与导线垂直的轴旋转； （4）图6.1d，导线圆环绕着通过圆环直径长直电流转动（二者绝缘）。 解：（1）线圈面积变小，产生顺时针方向的感应电动势（俯视） （2）产生电动势，从左往右看顺时针方向。 （3）不产生电动势。 （4）不产生电动势。2、一段导体ab置于水平面上的两条光滑金属导轨上（设导轨足够长），并以初速v0向右运动，整个装置处于均匀磁场之中（如图6.2所示），在下列两种情况下判断导体ab最终的运动状态。?图6.2a图6.2b解：a图中，由于不产生电流，ab杆始终向右做匀速运动。b图中，ab杆产生的电动势方向与电源方向相反，当ab杆产生的电动势小于电源的电动势时，安培力为阻力，做减速运动。当ab杆产生的电动势等于电源的电动势时，不受力而作匀速运动。3、长直螺线管产生的磁场B随时间均匀增强，B的方向垂直于纸面向里。判断如下几种情况中，给定导体内的感应电动势的方向，并比较各段导体两端的电势高低：????（1）图6.3a，管内外垂直于B的平面上绝缘地放置三段导体ab、cd和ef，其中ab位于直径位置，cd位于弦的位置，ef位于管外切线的位置。aR1图6.3b2图6.3a46?（2）图6.3b，在管外共轴地套上一个导体圆环（环面垂直于B），但它由两段不同金属材料的半圆环组成，电阻分别为R1、R2，且R1?R2，接点处为a、b两点。 解：（1）?a??b，?d??c，?e??f （2）?a??b4、今有一木环，将一磁铁以一定的速度插入其中，环中是否有感应电流？是否有感应电动势？如换成一个尺寸完全相同的铝环，又如何？通过两个环的磁通量是否相同？ 解：木环没有感应电流。铝环有感应电流。通过两个环的磁通量相同。5、两个互相绝缘的圆形线圈如图6.4放置。在什么情况下它们的互感系数最小？当它们的电流同时变化时，是否会有感应电动势产生？ 解：当两者相互垂直放置时，互感系数最小，为0。 此时当电流变化时，没有互感电流。
图6.4 6、试比较动生电动势和感生电动势（从定义、非静电力、一般表达式等方面分析）。 解：由定义知二者产生的原因不同。（1）如果外磁场不变，而导体（或回路）的位置、形状等有变化，则产生动生电动势。 （2）如果导体（或回路）都固定不动，只有外磁场在变化，则产生感生电动势。（3）从物理本质上看，它们都由不同的非静电力产生，前者为洛仑兹力，后者为涡旋电场力。二、课堂练习??1、如图6.5，在匀强磁场B中垂直于磁场的平面内有一段3/4圆弧形导线CD以速度v运动，求其中的动生电动势。图6.5解：如图所示： 方法一：lx47o建立坐标系，对θ角积分， 由感应电动势公式：?i???vBRcos?d??vBR方法二：由于感应电动势的方向向上，上半圆弧部分的作用相互抵消，而下方四分之一圆弧，有：3?20Ek?dl?Ekdx?vBdx所以，?i??RvBdx?vBR2、一根无线长直导线通有恒定的电流I，今有一矩形线圈在初始时刻与导线共面，其两个?对边与导线平行（如图6.6所示），然后以垂直于线圈平面的速度v作匀速运动，求： t时刻线圈中的感应电动势（忽略线圈自感）。 解：原图的俯视图如右图：电流垂直纸面向外，线圈在t时刻移动到下方位置， v 电流到线圈末位置左右两边的距离分别是r1和r2，则：???BdScos???I?0Ilr2ln
, B?0,dS?ldx,r2?v2t2?x22?r2?r12r12?v2t2?d2，r22?v2t2??d?a??0Ilr12d?d??0Ilr22?v2t?0Ilv2t?11???? ?????i?????ln???22d?a??2?2422??dtdt?4?4?2?r1?r2r1??r1r2???3、一矩形闭合回路置于均匀磁场B中，B的正方向垂直回路平面向里（如图6.7所示），其大小为B?B0(1?at)（t为时间，a?0为常数），且其CD段沿上下两条边向右以速率v匀速运动，且t?0时，??l，忽略自感。求： （1）t时刻的动生电动势。 （2）t时刻的感生电动势。 （3）t时刻的感应电动势。解：规定顺时针方向为正方向。t时刻，动生电动势：????1?(v?B).dl??vB0l(1?at)感生电动势：图6.7?2??dBdS???B0?1?at??L?L?vt??aB0L?L?vt? dtdt感应电动势：48???1??2?aB0L?L?2vt??vB0L4、如图6.8，在半径为R1的线圈轴线上放置半径为R2的小线圈（R2??R1），且小线圈的平面与轴线垂直，大小线圈分别绕有N1、N2匝导线，已知二者的距离为x： （1）求它们之间的互感系数M。（2）如小线圈中电流由0增至I2，则大线圈中流过的总电量q是多少？（设大线圈的总电阻为R，忽略自感）。2图6.8解：（1）大线圈载有电流I1时，在小线圈中心产生的磁感强度B的方向沿轴线，大小为
B??0N1I1R122x?R221因R2??R1和x，故在小线圈内，可看作是近似均匀磁场，其磁感应强度的大小为B， 通过小线圈的磁通量为：
??N2??N2B?R?22??0N1N2R12R12I12x?R?221互感为：M??I1???0N1N2R12R122x?R?221?dq?1d?1??0N1N2R12R12dI?????（2）I? dtRRdtR2x2?R2dt11??0N1N2R12R12dI 所以，dq??22R2x?R11??0N1N2R12R12I2 积分得：q??R2x2?R215、如图6.9，在一无限长圆柱形均匀磁场区域中，磁感应强度平行于轴线指向纸面内，且大小随时间均匀增加：B?kt（t为时间，k?0为常数）。圆柱的半径为R。今有一长为492R的导体棒CD沿垂直于棒长的方向以速度v横扫过磁场区域，当运动至如图所示位置时，求棒中的感应电动势。图6.9解：如右图示：设想一闭合回路OCBDO， 总电动势 ???1??2 由法拉第电磁感应定律得：???dBB??s?dS?dtS（S为?OBD和扇形OAB之和）dB1?S??kR2(?)
方向由D?C 所以， ?1?dt43感生电动势：?1?ddt动生电动势：?2?vBR
方向由C?D所以， ???1??2?vBR?12?kR(?) 4350欢迎您转载分享：
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