题后反思——让学生的思维继续飞翔
摘要：解题后反思：命题的意图是什么？考核的概念、知识和能力
是什么？验证结论是否正确，命题的条件的应用是否完备？求解论证过程是否判断有据，严密完善？一题多解？多题一解？不断地对问题进行观察分析、归纳类比、抽象概括，对所蕴含的数学方法、数学思想进行不断地思考并做出新的判断，体会解题带来的乐趣，享受探究带来的成就感。逐步养成学生独立思考、积极探究的习惯，并懂得
如何学数学。
关键词：反思，分析、归纳、概括，提高能力
在高中数学的学习中，很多学生学习很努力，热衷于做了大量题，但成绩却没有起色。究其原因：做题后对知识不求甚解，不善于解题后对题目进行反思，普遍欠缺一个提高解题能力的重要环节,也不善于纠正和找出自己的错误，缺乏解题后对解题方法、数学思维的概括。导致掌握知识的系统性较弱、结构性较差，举一反三的能力又从何谈起呢。因此在数学学习的过程中；每当苦思冥想之后做完一道数学题，必须认真进行如下探索：命题的意图是什么？考核的概念、知识和能力是什么？验证解题结论是否正确合理，命题所提供的条件的应用是否完备？求解论证过程是否判断有据，严密完善？本题
有无其他解法--一题多解？多题一解？这样通过解题后改进解题过程、探讨知识联系、知识整合、探究规律等一系列思维活动，才能让学生的思维在解题后继续飞翔，对知识的掌握“八方联系，浑然一体，漫江碧透，鱼翔浅底”。当然这是解题过程中更高一级的思维活动。为了让学生思维继续飞翔，提高解题能力，应该倡导和训练学生进行有效的解题反思。
题后反思在数学的学习中，作用重大。具体体现在以下几个方面。
（一）积极反思，查缺补漏，确保解 题的合理性和正确性
解数学题，有时由于审题不确，概念不清，忽视条件，套用相近知识，考虑不周或计算出错，难免产生这样或那样的错误，即学生解数学题，不能保证一次性正确和完善。所以解题后，必须对解题过程进行回顾和评价，对结论的正确性和合理性进行验证。可是一些同学把完成作业当成是赶任务，解完题目万事大吉，头也不回，扬长而去。由此产生大量谬误，应该引起重视，加以克制，引以为戒。如1、结论荒唐，引为笑柄2、以特殊代替一般，3、臆造"定理"，判断无据，以日常概念代替科学概念。以上常见的错误，不胜
枚举。由此可见，解题反思的积极意义及其重要性，必须引起师生在教学中的足够重视。
（二）积极反思，探求一题多解和多题一解，提高综合解题能力
&数学知识有机联系纵横交错，解题思路灵活多变，解题方法途径繁多，但最终却能殊途同归。即使一次性解题合理正确，也未必能保证一次性解
题就是最佳思路，最优最 简捷的解法。不能解完题就此罢手，如释重负。应该进
一步反思，探求一题多解，多题一解的问题，开拓思路，勾通知识，掌握规律，权衡解法优劣，在更高层次更富有创造性地去学习、摸索、总结，使自己的解题能力更胜一筹。1.一题多解，每
一种解法可能用到不同章节的知识，这样一来可以复习相关知识，掌握不同解法技巧，同时每一种解法又能解很多道题，然后比较众多解法中对这一道题哪一种最简捷，最合理？把本题的每一种解法和结论进一步推广，同时既可看到知识的内在联系、巧妙转化和灵活运用，又可梳理出推证恒等式的一般方法和思路：从左到右、从右到左、中间会师、转化条件等，善于总结，掌握规律，探求共性，再由共性指导我们去解决碰到的这类问题，便会迎刃而解，这对
提高解题能力尤其重要。
（三）、积极反思、系统小结，使重要数学方法、公式、定理的应用规律条理化，在解题中应用自如、改进过程，寻找解题方法上的创新
在问题解决之后，要不断地反思：解题过程是否浪费了重要的信息，能否开辟新的解题通道？解题过程多走了哪些思维回路，思维、运算能否变得简捷？是否拘泥于思维定势，照搬了熟悉的解法？通过这样不断地质疑、不断改进，让解题过程更具有合理性、科学性、简捷性。例1：求证：正四面体和正八面体相邻两侧所成的二面角互补。
此题有常规的解题思路：分别求出两个多面体的二面角的值，再求和。这也是一般参考书上的解法。探索解题过程，总感觉这样解题很苯拙，缺少灵气！不能反映两个多面体的巧妙结构。事实上，问题隐含了“结构”这个重要信息，那么，能否把“结构”作为切入点去探究问题呢？
（四）、重视知识的迁移和应用，探究问题所含知识的系统性
解题之后，要不断地探究问题的知识结构和系统性。能否对问题蕴含的知识进行纵向深入地探究？能否加强知识的横向联系？把问题所蕴含孤立
的知识“点”，扩展到系统的知识“面。通过不断地拓展、联系、加强对知识结构的理解，进而形成认知结构中知识的系统性。”
（五）、整合知识，创新设问
要让学生 明白，问题与问题之间不是孤立的，许多表面上看似
无关的问题却有着內在的联系，解题不能就题论题，要寻找问题与问题之间本质的联系，要质疑为什么有这样的问题？他和哪些问题有联系？能否受这个问题的启发。将一些重要的数学思想、数学方法进行有效的整合，创造性地设问？让学生在不断的知识联系和知识整和中，丰富认知结构中的内容，体验“创造”带来的乐趣，这对培养学生的创造思维是非常有利的
（六）、探究规律，形成小结
对每个问题都要寻根问底，能否得到一般性的结果，有规律性的发现？能否形成独到的见解，有自己的小发明？点滴的发现，都能唤起学生的成就感，激发学生进一步探索问题的兴趣。长期的积累，更有利于促进学生认知结构的个性特征的形成，并增加知识的存储量。
总之，解题后引导学生不断地对问题进行观察分析、归纳类比、抽象概括，对问题中所蕴含的数学方法、数学思想进行不断地思考并做出新的判断，让学生体会解题带来
的乐趣，享受探究带来的成就感。常此以往，逐步养成学生独立思考、积极探究的习惯，并懂得如何学数学，这是学好数学的必要条件。
1、 罗增儒.数学解题学引论 .西安：陕西师范师范出版社，2004.
2、 中学数学教学参考，2005.6.
作者：郭桂霞
工作单位：迁安第二中学
通讯地址：河北省唐山市迁安市第二中学
邮政编码：064400
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学生毕业论文（设计）
者：____ 刘浩森_
导 教 师：___
杨向明__ ___________
学 专 业： 初等教育（中小学数学教育）
08级数学（1）班
座机电话号码3
成 日 期：
江门职业技术学院学生毕业论文（设计）评审表??专业：初等教育（中小学数学教育）年级：0级 班别：0数学1班 评审日期：姓名 性别 年龄 22 学号 题 目 主 要 内 容 以 ?上 ?各 ?项 ?由 ?学 ?生 ?本 ?人 ?填 ?写
指导教师评语
?????????????成绩：__________ 指导教师签名：____________
答 辩 小 组
??????????????????????成绩：___________组长签名：____________
系 部 意 见 ???????????????????????????
???????????????????（系部盖章）
注：1、此表一式叁份，一份和论文定稿一起装订，一份存入学生档案，一份存学院。2、毕业论文成绩分优、良、中、及格和不及格五等。???3、本表可以复制，电脑填写。附件1：
江门职业技术学院学生毕业论文（设计）写作申请表申 请 人： ???????学 号： ?2?
所学专业：初等教育（中小学数学教育） ???年 级： ?0级 ??班别： 0数学1班 ??所选论文
（设计）题目 初步写作
设想 拟完成论文
（设计）时间 201年月
指导教师意见 ???????????????????????????（签名）
教学系意见
???????????????????????????（盖章）
填表日期：.1 ?????????????申请人（签名）：2：
江门职业技术学院
学生毕业论文（设计）开题报告
姓 ???名： 刘浩森 ???????专 ???业：初等教育（中小学数学教育）
学 ???号：座机电话号码3 ??????年 ???级：08数学
班 ???别：08数学1班 ????提交日期：
论文（设计）选题：
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阅读，撼动心灵与灵魂。没有阅读，就不可能有个体心灵的成长。通过阅读，我们不一定变得更加富有，但我们可以变得更加智慧。阅读会让我们更加善于思考，让我们的教育更加美丽。
东海县石榴高级中学&&& 龚本玉
连云港市“333工程骨干教师”
2015年市教育博客一等奖
2016年市教育博客一等奖
东海县优秀教育园丁
东海县教学先进个人
东海县教科研先进个人
让反思成为高三数学复习的主旋律 |
2014年省师陶杯获奖论文
让反思成为高三数学复习的主旋律
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
【关键词】高三复习&& 解题反思
&&& &进入高三以来，学生对于数学的学习热情高涨，热衷于大量做题，但是有不少学生做完一道题后不假思索，急于做其余的题目，不善于（有的是不愿意）对自己的思路进行检验，往往是一知半解就认为自己会了，对基础知识不求甚解。波利亚在《怎样解题》中把解题过程概括为“审题—探索—表达—回顾”四个环节，明确指出解题回顾是解题过程的最后一个环节。然而在实际中我们往往都重视读题审题、分析题意，如何去寻找解题思路，却忽略了解题回顾这个环节。其实一个数学问题的解决只能说明能解这道题，并不等于会解这道题，应该更深一步挖掘题目中隐含的条件，命题的目的，所涉及的知识要点和数学思维方法，进一步探讨解题思维方式是否正确、合理严谨？解决问题的策略是否巧妙，还有其他解法吗？本题的解法和结论能否进一步推广？针对这种现状，我在教学中做了一些尝试，以求帮助他们提高反思能力，但在现实中这一重要的反思环节，还未得到足够的重视。高三是中学教育的最后阶段，培养学生的数学学习反思习惯有着极其重要的作用和意义。
（一） 数学学习反思习惯的培养的价值
具有如下教育价值：1、情感、态度、价值观方面：比如培养实事求是的态度；良好的反馈信息、谨慎、细心地习惯；激发求知欲和好奇心；能进行正确的自我反思性评价。2、常规数学思维能力方面：比如可以提高选修中归纳、猜想和合情推理能力；增强数学联结和数学洞察能力；构建理性思维体系。3、数学创新能力方面：可以提升提出数学问题和质疑能力；建立新数学模型并用于实践的能力；发现数学规律的能力；将不同领域的知识进行数学联结的能力。根据多年的教学体会，我觉得在高三数学复习中重视反思，可以是学生在有限问题的研究中深刻理解知识，发展学生思维，提高解题能力，并能克服高三复习中的“题海战术”的盲目性。如何帮助学生通过解题反思培养解题能力，主要从以下几个方面入手.
& （二）数学学习的反思的途径与方法
& &&一、反思解题方法，培养发散思维
我们在解决完一个问题之后若能结合自己的方法重新审视该题，从不同的角度再去研究问题，摆脱原来的思维模式，探索出新的解题途径，从而寻求出最佳的解题方法。这样不仅找到了解题途径，而且对此类问题能有更深刻、更清晰的认识，就能提高我们的复习效率和运用知识的能力。
问题（2012南通模拟卷14）函数 的值域 .
解法一：利用导数求函数的值域.
令 得： ，即 .
则当 时， ， 递减；
当 时， ， 递增；
当 时， ；当 时， &.
所以当 或 时， 取最大值是 ；
当 或 时， 取最小值是 ；
所以 的值域为 .
分析：利用导数求函数的值域是一种常见方法，尤其在高次函数当中，但是对本题的函数求导时学生容易出错，另一个就是当 趋向于无穷大或无穷小时，也容易出问题。
反思：利用函数换元的方法求值域.
当 时， ，由于 ，所以
当 时，同理可得
所以 的值域为 .
反思：利用导数求函数的最值虽然是常用方法，但在导数求解起来比较困难容易出错的时候，从函数的观点，用函数的方法求最值解决该题也是非常好的选择，本题就大大节约了时间，同时也提高了准确率。
二、反思解题过程，培养学生解题的严谨性
学生由于年龄和认知水平的限制，往往表现为对数学基础知识不求甚解，不善于对自己的思路进行检查，解题时往往是一错到底；不对自己的思考过程进行反思，不会分析、评价和判断自己的思考方法的优劣，不能从自己的思考过程中提炼出其中蕴涵的数学思想，不能发现其中知识点的衔接，导致数学知识系统联系较差.因此，为了在高三的最后阶段提高学生数学学习的效率，在解题过程中我们应该有意识的培养学生反思能力。在解完题后，带领学生一起整理自己思维过程中走过哪些弯路，遇到哪些困难，什么原因造成的，有什么规律可吸收等等，这其实是获取原认知知识的过程.
在解决完一个问题之后，若能认真反思自己的解题过程，确定解题关键，认识在审题时所遇到的困惑以及在解题时所走的弯路，反思解题思路的成功之处，概括出思维规律，再和其他同学的思路进行比较，改进自己的思维方式，则能熟练的掌握解题技能。
问题：已知 点为圆 上一定点， 、 为圆上另外两动点，且 ，求 面积的最大值.
分析：要求三角形面积的最值，首先要求面积的目标函数.此时参数的选择最为关键.
解：设 ，那么 点的坐标是 ，则 所以
&&& 反思1：上述的解法完成了我们的预定目标，建立目标函数，并求出了最大值.但过程相对较复杂，能否找到较简洁的目标函数呢？
再分析条件：由于是定值，易知也是定值.在三角形中 ，由正弦定理得： ,所以 ，那么，
这的确是一个优秀的解法，关键是找到了隐含的条件 是定值.当 时，面积最大.
反思2: 当 时,三角形是等腰三角形，那么，是否可以提早发现是等腰三角形时面积最大？因为 是定值，所以我们可以改变题目中的动静关系，把定长 看成是一条定弦，把点 看作是圆上的动点，那么问题就转换为:求圆上一点到定弦的最大距离.显然回应是 .由此我们还发现点的坐标也以不知道，最大面积仍然不变.
像这样在平时讲题和做题过程中，引导学生养成解题后在反思解题过程的习惯，拓宽思路，优化思维方式.解题过程是学生独立思考，是所学的知识，方法得以再现和提取的过程.包括该题考察的知识点，运用的数学思想方法，分析问题的切入点及分析问题的注意事项等.分析解题过程有没有思维回路，那些过程可以合并或转换，有没有更好的解法，积极寻求其他可能的解法.
三、反思题目立意 ，注重拓展延伸，培养自主意识和创新精神.
反思性学习是一直倡导的学习方式，反思精神是促进社会发展的重要动力。
数学学习并非是一个连续的过程，它涉及知识的重组，甚至要与之前的知识和思考方式决裂，而这些都只能通过反思行为才能完成。反思，顾名思义，又反过来的意思，是一种对思考的思考，反思性学习是对自己的数学学习思维活动的过程进行回顾再现，以获得学习的经验和教训，一个人对自身经历的活动进行反思是提高认识水平、促进思维发展的核心。反思性学习是促进数学理解的重要环节，通过反思，学生能改变原来的认知结构，并形成新的、更高层次的认知结构，从而加深对认知的理解。
在解完一题之后，反思题目所涉及到的知识点，反思对题意的理解过程，弄清命题人的命题意图.反思审题时题中哪些条件没有搞懂，为什么没有搞懂；对条件与目标之间哪些关系未发现；对题意的理解还有哪些误区，为什么会走入这样的误区.解体之后还要及时归纳：把题目虽然不同但解法非常相似的归为一类；把题目相似但解法明显不同甚至截然相反的归为一类，分析解法不同的原因；有些题目虽然经过多次努力仍无法做对，这说明自己对题目所考查的知识点掌握较差，应及时做好复习工作.在反思过程中达到对某些知识的补漏、知识结构的优化，使得思维更加有序合理.若能经常反思题意涉及的知识点，弄清命题人的命题意图，解题能力就会大幅度提高，从而缩短思考时间，提高解题效率.
四、反思题干，探求一题多解和多题一解，提高综合运用能力
数学知识有机联系纵横交错，解题思路灵活多变，解题方法途径繁多，但最终却能殊途同归.即使一次性解题合理正确，也未能保证一次性解题就是最佳思路、最优最简洁的解法.不能解完就此罢手，如释重负.应该进一步反思，探求一题多解，多解一题的问题开拓思路，巩固知识，掌握规律，权衡解法优劣，在更高层次更富有创造性地去学习、摸索、总结，使自己的解题能力更胜一筹.
著名数学家波利亚就曾说过：“数学问题的解决仅仅只是一半，更重要的是解题后的回顾与反思.”解题本身不是学习的目的，而只是在学习的过程中，学会解题后反思的方法，培养反思习惯，，不仅能有效的使学生对知识、技能的深化理解，而且对训练思维、促进知识技术能力相互转化具有特殊功效.积极反思，能促进学生探求一题多解和多解一题，提高综合解题能力
1.一题多解，即可看到知识的内在联系、巧妙转化和灵活运用，又可梳理出推证恒等式的一般方法和思路：从左到右、从右到左、中间会师、转化条件等.它有利于课堂教学的改革，现在教育讨论最多的是学生的主体性，其中有一个很重要的问题就是发挥学生的主体性，简单的说，就是在老师的指导下，学生能不能自主学习，自主探究，自主交流.解决这个问题的关键在于有没有一种积极的愉快的课堂气氛.一题多解的教学模式正是创造这样的课堂氛围的一种途径,在这里他们可以发表他们的想法，见解，相互交流.这样学生的主体性自然地发挥出来，主体意识也得到加强.
2.反思“多题一解”，感悟数学模型建立的重要性
& 在高三第一轮复习中，因为学生掌握了整个高中数学基本知识结构、基本技能和基本的解题方法，所以在对问题的解决中往往会从多个角度加以思考，呈现思维的发散性，有时放开无法收拢.为引导思维的收敛，在复习中，我们老师可以讲很多例题有目的地串联起来，编成题组，引导学生进行观察.
例如（1）8位同学站成两排，每排4个人，有多少种排法？
（2）有8位同学站成三排，前排4个人，中排3个人，后排1个人，有多少种排法？
&& 反思:这一类问题有统一的解法，将 个元素进行排列.善于总结，掌握规律，探求共性，再由共性指导我们去解决碰到的这类问题，便会迎刃而解，发挥多题一解的优势.
五、反思问题的变式，有利于培养学生抽象思维能力
对于问题的变式实现举一反三，我认为主要包括三个方面：
1、变换题目的条件，探求结论的规律.适当改变原题的条件和结论，对原题进行改造，适当做出变形或变式，一题多变，把一道题变成多道题，引导学生从不同的侧面揭示事物的本质，有利于打开视野、拓宽思路，提高应变能力，还可以养成探索问题的习惯.长时间从不同的角度思考问题，养成习惯后，不但能达到事半功倍的效果，而且可以领悟到解题的规律，从中提炼出具有解决一些问题的方法.
例如设锐角三角形 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 ，求(1) 的大小；（2） 的取值范围.
分析：对于问题（1）利用正弦定理便可以直接得到；但对于问题（2），由于（1） 中已经求出，而三角形内角和是 ，所以可以将 转化成一个变量的函数，利用三角函数的单调性求出其取值范围.
变题1：在锐角 中， ，试判断 的形状.
变题2：在 中， ，试判断 的形状.
变题3：在 中， ，试判断 的形状
&&& 通过这样简单的变式训练，可以提高学生的化归能力，使零碎的知识成为一个有机的整体，培养学生观察问题的敏感性和思维的系统性，让学生感悟学科模型建立的重要性，大大增强学生解题策略的选择与判断，解题效率自然会得到大大提高.
2、条件不变，探求其他的结论.即对所解的题目，如果条件不变还可以得
到什么结论呢？久而久之便能形成技巧，达到触类旁通的目的，解题效果会大大提高.
3、解题方法的迁移.通过思考所运用的方法，认真总结规律，达到举一反三
的目的，有利于知识的理解和运用.
&&& 教学中最薄弱的正是数学的反思归纳这一环节，而它又是数学学习活动的重要环节.由于数学对象的抽象性，数学活动的探索性，数学推理的严谨性决定了正处于思维发展阶段的高中生不可能一次就把握数学活动的本质，必须在学习中，充分提供反思的机会，多关注学生的学习反思，通过多种途径培养学生反思的习惯，即可牢固的掌握基础知识，又能促进知识的有效迁移，同化和深化对问题的理解，又可提高解题效率和正确率，达到“做一题、知一类、会一片”的效果，同时也是高三最后阶段最有效的学习方法，对学生来说终身受益.
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| By: dhgby123
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[摘要]笛卡儿说：“从最简单、最易懂的对象开始，依照先后次序，一步一步达到更为复杂的对象。”这句话道出了学生处理础题与难题的核心内容。笔者在文中就学生在处理数学基础题与难题关系时出现的问题展开分析，提出了正确处理基础题与难题关系的建议。
[关键词]基础题 难题 中学数学
一、在学生当中存在两种偏向
1.部分同学重视基础题，逃避难题
他们认为应当牢固地掌握基础知识，对难题“敬而远之”。一份满分为120分的试卷可大致分为三部分，基础题占30%，中档题占40%，难题占20%。一般情况下，一张考卷中能有70%左右的题目有把握答对，就算考得不错。他们认为，不能总希望在考试中得满分。所以，如果不是对所考科目有十分把握，学生应该把大部分时间精力用在复习和解答基础题和中档题上。这样的想法自然是成熟的。但是，因此而放弃了难题的解答，就很难在学习上有进一步的突破。特别是对于基础牢固的学生，本来具体了更上一层楼的基础，如果逃避难题，就无法超越自我，攀登科学最高峰。
2.部分同学轻视基础题，重视难题
这部分认为只要难题会做了，做基础题自然就不会有什么问题。因而，他们置基础题于不顾，而热衷于解答难题。
现在中考中的偏题、怪题、难题越来越少，一些成绩较好的学生，常常轻视基础题，造成在基础题上面过失性丢分。对于尖子生来说，在知识和能力方面应付中考已没有任何问题。常见的问题是有的学生期望值太高，心理负担过重。因为期望值高，这部分学生内心恐惧，逼迫自己晚上加量解答难题，生怕考场上丢分，会落在别人后面。这样的心理状态往往很糟糕，导致学生碰到一点点问题就惊慌失措，或者钻进牛角尖，非要攻克一道难题，结果反而影响其他试题解答。
二、基础题和难题之间的关系
其实，上述两种偏向都不利于学习。基础题和难题都是习题中的重要组成部分，两者既有区别又有联系。难题，就是结构错综复杂，综合程度较强，解法灵活多变的题目，但它总是由若干个基础题组合而成的。
目前我国中学数学教学有两种偏向:一是“灌输型的”，满堂灌或满堂问，及时巩固、强化练习、当堂有练习，课后有作业，单元有小考，学期有大考，简单化的练习，追求唯一的标准等，对“双基的强化训练很容易过度，如果不注意发展和创新，就会发生“基础过剩”。另一种是“浅层次教学”，情景简单化，活动形式化，偏离学科目标，“为讨论而讨论”，“为合作而合作”，“为活动而活动”;小组合作学习流于形式；过于追求教学的情境化，教师在课堂上不敢正面陈述，不能及时介于学生的学习活动，这样不利于“双基”的形成。因此中学数学教师应把握好“数学双基”与“数学创新”的关系，打好基础应是创新与应用的根基，双基教学有其一定的局限性，基础要为发展服务，但没有基础的创新是空想，没有创新指导的打基础是傻练，应在“双基教学”中挖掘“创新因素”，在探究性学习中注意结合“双基”，找出“双基”和“创新”的适当平衡点，防止“基础狭窄”，“基础过剩”和“创新合力”。“双基”应与“创造”相结合，使“双基教学”在创新教育的指导下得到升华。
学生学习数学并非一个被动的过程，而是以原有的数学认知结构为基础的一个主动建构过程。这就是说，学生的数学知识不能被看成由教师直接传递给他们的现成东西。它必须凭借学生已有的数学认知结构，经其主动积极的思维加工而建构的。这里已有的数学认知结构发挥着重要的作用，并处在不断发展之中。基础题与难题结合的教学，符合数学自身的特点和认知数学的规律，循序渐进的，通过学生主动积极参加到教学过程中去，在复杂数学问题的解决中，培养学生创造性思维，有利于学生对学习兴趣、爱好、情感等的良好发展，以及勇于克服困难的意志的形成。
三、正确处理好基础题和难题之间的关系
做基础题是为了理解和运用所学的知识，而解答难题是为了深化所学的知识，所以两者不可偏废，也不能互相代替。那么我们应该如何正确处理好基础题和难题之间的关系呢？
1.把主要精力放在做基础题上
做基础题就像体操运动员练基础功一样，只有具备了扎实的基础功，才有可能做出各种高难度的动作。因此要加强基础训练，在做基础题时要一丝不苟，严肃认真，要舍得花时间下功夫，要注意克服认为做基础题单调、枯燥、抽象，而不能深入进行练习的现象，也要注意克服认为做基础题简单容易，而马虎从事的毛病。为了练好基础功，不仅要认真完成老师布置的题目，还应针对知识重点和自己的学习情况，再选一部分基础题进行练习。这是学习新知识时，应该也是必要的工作。如果基础不牢固就去接答题，只会耗费时间分散精力，结果基础知识没学好，同时难题也不会做，事倍功半。
考试是很有技巧的。同学们要学会有效地利用自己的知识储备和有限的考试时间。千万不要平均用力。不然到中考时，花了很多时间去研究难题，可限于本身的功力，没做出来。而本来会做的基础题因为时间不够，来不及做或因不能静心思考也做不出来了。考题一般都是从易到难地排列。一张综合试卷的考题也是从易到难地三次循环。学生首先要辨别出哪些是基础题，哪些是难题。先把难题放下，把会做的题先解决掉。如果时间充裕再回过头来研究难题。以往考试中，有的同学按照顺序答题，结果到最后时间不够了，会做的题目也没有时间做了。白白丢掉了不该丢的分数。
中考数学试卷的最后两题对于能力的要求较高，数学较弱的同学不要花太多的时间在这里，而应把精力放在前面的基础题上，这样成绩反而会有所提高。中考的大题目都是按过程给分的，所以万一遇到不会的题也不要空着，应根据题意尽量多写一些步骤。
在教学中笔者遇到过一个实例。有一名同学初三期间的数学考试很少及格。备考阶段，笔者针对学生的具体情况，给他制订的复习方针就是只解答基础部分，放弃难题。到中考时他也是这样做的，把所有时间都花在答基础题和中档题上，结果他的数学考得很不错。
2.有选择地训练一定数量的难题
思维能力的训练只靠基础题是不够的，只停留在基础题上，就会思路避塞，所学知识不能深化，要有多种题型，一定的难度。中考中都有几个压轴的难题。所以在做了足够数量的基础题后，就要适时做一定数量的难题，在解答难题的过程中，又可发现对基础知识理解的不足，从而促使自己更深刻地理解基础知识。要注意几点：
（1）选难题要从自己的实际出发，如同上楼梯，只能上二楼却硬要上三楼四楼，跌跌撞撞地勉强爬上去，迟早还会跌下来。做题最好在老师的指导下由前入深，由简到繁，循序渐进，这样才能少走弯路。
（2）课本中习题和复习题中都有一部分难题，所选择的难题应该紧密结合这些题目，不能脱离课本，去找那些偏题、怪题。
（3）难题浩如烟海，不可能全都做完，事实证明，片面追求做题数量的做法是十分错误的。在解答难题时，要更加注意总结解题思路和方法，比如，总结某种类型的题目如何解、容易发生什么错误，哪种解法简捷合理等，这样就可以少胜多，事倍功半。
总之，处理好做基础题与难题的关系，就能提中学习效率。从最简单、最直观的对象入手，沿着理性的科学的“思维链条”，从细微处求发展，正如老子所说：“天下之难作于易，天下之大作于细。”这既是研究中考的需要，更是中学数学教育教学的需要。
[1]文晓宇.略论数学思维的品质及其培养[J].兵团教育学院学报，1993(4).
(责任编辑：论文发表老师)
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