【图文】第二章 电阻电路的等效变换_百度文库
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第二章 电阻电路的等效变换
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含源线性单口网络等效电阻的求解
　　摘要：戴维南定理和诺顿定理为人们求解复杂电路的等效电路提供了一种重要的方法，在实际运用中，难度较大的是如何求解戴维南和诺顿等效电路中的等效电阻，即含源线性单口网络的等效电阻。本文总结了几种常见的求解等效电阻的方法，以及人们在求解过程容易出现的误区。 中国论文网 /9/view-6556397.htm　　关键词：含源线性单口网络；等效电阻；求解 　　中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：（9-02 　　对求解含源线性单口网络的等效电路问题，戴维南定理和诺顿定理提供了一种普遍适用的方法，定理指出：含电源的线性单口网络，不论其结构如何复杂，就其端口而言，可等效为一个加压源和电阻相串联的形式，或等效为一个电流源与电阻相并联的形式。在线性电阻电路中，网络由独立电源、各种受控源及电阻等线性元件组成，对电路本身而言，除了独立电源，其他元件均可看成电路的负载，相当于一个电阻元件，我们称之为等效电阻。由此可见，戴维南定理和诺顿定理中的电阻就是这里的等效电阻。在运用这两个定理求解线性单口网络的等效电路时，关键在于如何求得单口网络的等效电阻Req。笔者结合多年的教学经验，通过分析线性单口网络的不同含源情况，总结归纳出了三种求解等效电阻的方法。 　　方法一：直接求解法。当线性单口网络只含有独立电源（独立电压源或独立电流源）而不含受控源时，可将单口网络内的独立电源置零，即将独立电压源短路，独立电流源断路，然后利用各电阻之间的联接方式，直接根据串并联公式或Δ-Y变换化法，求得等效电阻Req。 　　例1 求图1所示电路的戴维南等效电阻Req，其中Us1=40V，Is2=30A，R1=R2=R4=4Ω，R3=R5=8Ω。 　　解：先将电压源短路，电流源断路。此时，电阻R2、R3被短路，故端口ab处的等效电阻为： 　　Rep=（R1+R4）//R5=（4Ω+4Ω）//8Ω=4Ω 　　方法二：开路短路法。当单口网络既含有独立电源又含有受控源时，无法采用方法一来直接求解等效电阻，可用该单口网络的开路电压Uoc与短路电流Isc之比来求解，短路电流方向是由开路电压正极流向负极。 　　例2 求如图2所示单口网络的等效电阻Req。已知：R1=15Ω，R2=5Ω，R3=10Ω，Us=10V。 　　解：先求ab端为开路时的电压Uoc，如图2（a）。要想求Uoc，需要先知道流过电阻R3电流i的大小，电流i可根据左边的回路，列出回路电压方程求得，即： 　　R1i+R2（i-ai）+R3i=us' 　　i=■=■A 　　从而：uoc=R3i=10×■=■V 　　求短路电流，即将ab端短接求如图2（b）电路所示的电流Isc。ab端相联，即R3被短接，流过R3的电流为零，所以有： 　　R1Isc+R2Isc=us 　　Isc=■=■A 　　由此可得：Req=■=■Ω 　　注意：在用开路短路法时，如求得的开路电压Uoc=0，则此法不可用，也不必再求Isc，Isc也必为零。此时只能用其他方法来求解单口网络的等效电阻了。 　　方法三：外加电源法。在求解复杂的二端口网络，尤其是含受控源的二端口网络的等效电阻时，可以通过在网络输出端外加上电压源（或电流源），然后求出输出端的电流（或电压），再由公式RO=■，求得等效电阻Req。但人们在利用这一方法求解等效电阻时，常存在一误区，即一直强调要将单口网络内部的独立源置零，电压源短路，电流源断路。实际上，在利用该法时，内部独立源不一定要置零，因为此法实际上是利用二端口的VCR关系，如果独立源置零，那么对于线性时不变电阻电路而言，端口VCR在U-I平面上是一条经过坐标原点的直线；如果独立源不置零，那么端口的VCR关系是一条不经过坐标原点的直线，但这两条直线的斜率是一样的。而我们的等效电阻更准确一点讲是VCR关系曲线的斜率，所以不管独立源置零不置零，直线的斜率是不会发生变化的，也就是等效电阻是不变的。 　　例3 求如图3所示单口网络的等效电阻Req。已知：R1=15Ω，R2=5Ω，R3=10Ω，Us=10V。 　　解：我们采用外加电源的方法，在端口处外加一电压源（或电流源），求出端口电流（或端口电压）的关系。如将独立源置零，即将10V电压源短接。则有： 　　u=R3i1=R2（i+αi1-i1）+R1（i-i1） 　　解得：u=■i，所以Req=■。 　　如果独立源电压源不置零，即保留10V电压源。则有： 　　u=R3i1=R2（i+αi1-i1）+R1（i-i1）+10 　　解得：u=■i+■，这是一条不通过V-I平面原点的直线，直线斜率即等效电阻同样为Req=■Ω。由此可见，在用外加电源法求单口网络等效电阻时，内部独立源置零不置零均可。 　　有多种方法求解含源线性单口网络等效电阻，但每一种方法适用的对象不同和求解难易程度不同，在这些方法中，方法一最简单，但受限也最大，单口网络中不能含有受控源。方法二是最常用的方法，大部分情况下都可以采用这种方法，但当开路电压或短路电流为零时，就无法使用该方法了。方法三是最普适的方法，求等效电阻时，内置独立源既可以置零也可以不置零。 　　参考文献： 　　[1]李瀚荪.电路分析基础[M].第4版.北京：高等教育出版社，2011. 　　[2]邱光源.电路[M].第5版.北京：高等教育出版社，2012. 　　作者简介：陈海涛（1978-），男，河南人，博士，副教授，研究方向：电气工程。
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《电路》(第五版)课件-第04章
第4章 电路定理本章重点4.1 4.2 4.3 4.4 4.5* 4.6* 4.7* 叠加定理 替代定理 戴维宁定理和诺顿定理 最大功率传输定理 特勒根定理 互易定理 对偶原理 首页重点: 重点:熟练掌握各定理的内容、 熟练掌握各定理的内容、适用范 围及如何应用。 围及如何应用。返 回4.1 叠加定理在线性电路中， 在线性电路中 ， 任一支路的 电流( 或电压) 电流 ( 或电压 ) 可以看成是电路中每一个独立电源 单独作用于电路时，在该支路产生的电流(或电压) 单独作用于电路时，在该支路产生的电流(或电压) 1 的代数和。 的代数和。 i G i3 G G1. 叠加定理.定理的证明 2 .定理的证明应用结点法： 应用结点法：1223is1+ us2 C+ us3 C(G2+G3)un1=G2us2+G3us3+iS1返 回 上 页 下 页GuS2 GuS3 iS1 1 2 3 un1 = + + G + G G + G G + G G i G i3 2 3 2 3 2 3 2 2 1 或表示为： 或表示为： is1 + us2 un1 = a1iS1 + a2us2 + a3uS3 (1) (2) (3) CG3 + us3 C=un1 +un1 +un1支路电流为： 支路电流为：?GG GGuS3 GiS1 3 2 3 2 i2 = (un1 ?uS2)G = ( )uS2 + + 2 2 G +G 2 G +G G +G 2 3 2 3 2 3 ( ( ( =biS1 +b2uS2 +b3uS3 =i21) +i22) +i23) 1 GG GiS1 ?GG 3 2 2 3 i3 = (un1 ?uS3)G = ( )uS2 +( )uS3 + 3 3 G +G G +G 3 G +G 2 3 2 3 2 3 ( ( ( =i31) +i32) +i33)返 回 上 页下 页结论 结点电压和支路电流均为各电源的一次函数，均可看成各独立电源单独作用时， 函数，均可看成各独立电源单独作用时， 产生的响应之叠加。 产生的响应之叠加。3. 几点说明①叠加定理只适用于线性电路。 叠加定理只适用于线性电路。 ②一个电源作用，其余电源为零 一个电源作用， 短路。 电压源为零 ― 短路。 开路。 电流源为零 ― 开路。返 回上 页下 页G1 is1i2G2 + us2 Ci3G3 + us3 C=G1 i is1(1) 2G2( i31)G3三个电源共同作用 G1 i(2) 2 ( i32) G3is1单独作用 G1 i(3) 2 ( i33) G3++ us2 C us2单独作用++ us3 C us3单独作用返 回 上 页 下 页③功率不能叠加(功率为电压和电流的乘积，为 功率不能叠加(功率为电压和电流的乘积， 电源的二次函数) 电源的二次函数)。 叠加时要注意各分量的参考方向。 ④ u, i叠加时要注意各分量的参考方向。 叠加时要注意各分量的参考方向 ⑤含受控源(线性)电路亦可用叠加，但受控源应 含受控源(线性)电路亦可用叠加， 始终保留。 始终保留。4. 叠加定理的应用 例1 求电压源的电流及功率2A 解 画出分电路图 2? 4? 10? 70V + － I返 回 上 页5?下 页2A 4? 2?I (1)10? 5?＋4? 2?10? 70V + － I (2） 5?2A电流源作用，电桥平衡： 电流源作用，电桥平衡： 电流源作用两个简单电路I =0(1)70V电压源作用： I 电压源作用： 电压源作用(2)=70/14 +70/ 7 =15AI = I + I =15A(1) (2)P = 70×15 =1050W应用叠加定理使计算简化返 回 上 页 下 页例2 计算电压 计算电压u6? 解 画出分电路图 － 3A电流源作用： 电流源作用： 电流源作用 6V u(1) =(6// 3+1 ×3=9V ＋ ) 其余电源作用： 其余电源作用：(2) (2)3A ＋ 3? ＋ 12V －u－ 1? 2Ai(2) = (6+12)/(6+3) = 2A(1) (2)u =6i ?6+ 2×1=8V u =u +u =9+8=17V3A ＋ － u(1) 1? 3? 6? i (2) － 6V ＋6?＋＋u(2) － 3? ＋ 1? 12V 2A －返 回 上 页 下 页叠加方式是任意的， 注意 叠加方式是任意的，可以一次一个独立 源单独作用，也可以一次几个独立源同时作用， 源单独作用，也可以一次几个独立源同时作用， 取决于使分析计算简便。 取决于使分析计算简便。 1? ＋ 5A 计算电压 、电流 。 i ＋2? 例3 计算电压u 电流i ＋ u 10V 2i － 解 画出分电路图 － － i（1） 2? ＋ 10V － 1? ＋ u（1） ＋ 2i(1) － －＋2? i (2)1? ＋ 5A ＋ u(2) 2i (2) － －返 回 上 页 下 页受控源始终保留i（1） 2? ＋ 10V －1? ＋ u（1） ＋ ＋ (1) － 2i －(1)2? i (2)1? ＋ 5A ＋ u(2) 2i (2) － －10V电源作用： 10V电源作用： i =( ?2i )/(2+1 电源作用 10 )(1)i = 2A(1)u =1×i + 2i =3i =6V(1) (1) (1) (1)电源作用： 5A电源作用： 2i 电源作用i = ?1 A u = 6+ 2 =8V(2)+1×(5+i ) + 2i = 0 u(2) = ?2i(2) = ?2×(?1 = 2V )(2) (2) (2)i = 2+(?1 =1 ) A返 回 上 页 下 页例4 封装好的电路如图，已知下列实验数据： 封装好的电路如图，已知下列实验数据：V A ，应 当uS =1 , iS =1 时 响 i = 2A V ，应 当uS = ?1 , iS = 2A 时 响 i =1A , ， 应 求 uS = ?3V iS =5A 时 响 i =？解 根据叠加定理研究激 励和响 应关系 的实验 方法i = k1iS + k2uS＋ iS uS代入实验数据： 代入实验数据：k1 =1 k2 =1 i = uS +iS = ?3+5 = 2Ak1 +k2 = 2 2k1 ?k2 =1－无源 线性 网络返 回 上 页i下 页5.齐性原理 5.齐性原理线性电路中，所有激励(独立源)都增大( 线性电路中，所有激励(独立源)都增大(或减 同样的倍数，则电路中响应(电压或电流) 小)同样的倍数，则电路中响应(电压或电流)也增 或减小)同样的倍数。 大(或减小)同样的倍数。注意①当激励只有一个时，则响应与激励成正比。 当激励只有一个时，则响应与激励成正比。 ②具有可加性。 具有可加性返 回上 页下 页例RL=2? R1=1 ? R2=1 ? us=51V，求电流 i 21A R1 8A R1 + 8V C 13A R2 3A R1 + 3V C 5A R2 2A RL i i '=1A + 2V C+21VC + + us R2 C C u '=34V s 解 则采用倒推法： 采用倒推法：设 i'=1Ai us = ' i' usus 51 即 i = ' i'= ×1=1.5A us 34返 回 上 页 下 页4.2 替代定理1.替代定理 1.替代定理对于给定的任意一个电路， 对于给定的任意一个电路 ， 若某一支路电 压为u 电流为i 压为 k、 电流为 k， 那么这条支路就可以用一个 电压等于u 的独立电压源， 电压等于uk的独立电压源，或者用一个电流等于 ik的独立电流源，或用 的独立电流源，或用R=uk/ik的电阻来替代 ，替 的电阻来替代， 代后电路中全部电压和电流均保持原有值( 代后电路中全部电压和电流均保持原有值(解答 唯一) 唯一)。返 回上 页下 页ik+ uk C 支 路 uk k C +ikik + uk C R=uk/ik返 回上 页下 页2. 定理的证明ikA+支 uk 路 C k ik + uk C － uk ＋ + 支 uk 路 C kA+ uk CA－ uk ＋证毕! 证毕返 回上 页下 页例 求图示电路的支路电压和电流 5?解i1 =110/[5+(5+10)//10] =10A5?i2 = 3i1 / 5 = 6A i3 = 2i1 / 5 = 4A u =10i2 = 60V替代以后有： 替代以后有：i1 = (110 ?60) / 5 =10A i3 = 60/15 = 4A＋ i i3 2 ＋ 110V u 10? 10? － － 替 代 5? 5? ＋ i i1 i3 2 ＋ 110V 10? － － i1注意 替代后各支路电压和电流完全不变。 替代后各支路电压和电流完全不变。返 回 上 页 下 页替代前后KCL,KVL关系相同，其余支路的 关系相同， 关系相同 原因 替代前后 u、i关系不变 。 用 uk 替代后 ， 其余支路电压不变 关系不变。 替代后， 关系不变 (KVL)，其余支路电流也不变，故第 条支路 k也不 条支路i ，其余支路电流也不变，故第k条支路 变(KCL)。用ik替代后，其余支路电流不变(KCL)， 。 替代后，其余支路电流不变 ， 其余支路电压不变， 条支路u 也不变(KVL)。 其余支路电压不变 ， 故第 k 条支路 k 也不变 。注意①替代定理既适用于线性电路，也适用于非线 替代定理既适用于线性电路， 性电路。 性电路。返 回上 页下 页注意 ②替代后电路必须有唯一解。 替代后电路必须有唯一解。无电压源回路； 无电压源回路； 无电流源结点(含广义结点) 无电流源结点(含广义结点)。 2.5A 2.5A ＋ 2? ＋ ＋ 2? ＋ 10V 5V 10V 5V － －？1A + 5V 5? － 1.5A － － ？③替代后其余支路及参数不能改变。 替代后其余支路及参数不能改变。返 回 上 页 下 页3. 替代定理的应用 1 试求R 例1 若使 Ix = I, 试求 x 8用替代： 解 用替代：3? 1? I 8 ＋ 0.5? C U + 10V 0.5? 0.5?I 0.5? －1?0.5? 0.5? 1 Ix Rx II 1?0.5?1?=C U' + 0.5? 0.5?+0.5?1 I 8 C + U''0.5? 0.5?返 回上 页下 页I 1?0.5?1? 0.5?C U' + 0.5? 0.5?1 I 8 C + U''0.5? 0.5?1 1.5 U'= I ×1? I ×0.5 = 0.1 I 2.5 2.5 1.5 1 U''= ? × I ×1= ?0.075I 2.5 8U=U'+U&=(0.1-0.075)I=0.025I Rx=U/0.125I=0.025I/0.125I=0.2?返 回 上 页 下 页求电流I 例2 求电流 1 用替代： 解 用替代：3?6?5? 1? 6? + 3V－2?2?4?＋I1 4AI1 4? + ＋ 6V 7V C － 4A7V－7 2×4 15 I1 = + = = 2.5A 6 2+ 4 6返 回上 页下 页例3 已知:uab=0, 求电阻 已知: 求电阻R用替代： 解 用替代： 4? 4? RRc aa 1A 3? ＋3V uC = 20V 8? I1 8? 2? 2? IR I ++ 20V 20V － bb － －uab = ?3I +3 = 0 ?I =1 A用结点法： 用结点法：1 1 1×20 a点 ( + )ua ? =1 2 4 4 ua =ub =8V I1 =1A12 uR = uC ?ub = 20 ?8 =12V R = =6 2返 回IR =I1 +1= 2A上 页下 页用多大电阻替代2V电压源而不影响电路的工作 例4 用多大电阻替代 电压源而不影响电路的工作 4? 3A ＋ 2? 4V －I0.5A2? ＋ 10V －1+2V－ I1+ 2V － 10? 10? 2?5?2?应求电流I 先化简电路。 应用结点法得： 解 应求电流 ，先化简电路。 应用结点法得：1 1 1 10 2 ( + + )u1 = + = 6 2 2 5 2 2 I1 = (5? 2) / 2 =1.5A R = 2/1= 2u1 = 6/1.2 = 5VI =1.5?0.5 =1 A返 回 上 页 下 页已知: 求电阻 例5 已知: uab=0, 求电阻Ruab = 0 解 ?iab =icd = 0用开路替代， 用开路替代，得：a 60? 25?b 0.5Aubd = 20×0.5 =10V 短路替代 u =10V ac4? ＋ 30? 20? 42V R 10? － 1A 40? c duR = 20×1+10 = 30V iR = (42 ?30) / 4 ?1= 2A uR 30 R = = =15 iR 2返 回 上 页 下 页4.3 戴维宁定理和诺顿定理工程实际中， 工程实际中 ， 常常碰到只需研究某一支路的电 电流或功率的问题。对所研究的支路来说， 压、电流或功率的问题。对所研究的支路来说，电 路的其余部分就成为一个有源二端网络， 路的其余部分就成为一个有源二端网络，可等效变 换为较简单的含源支路( 电压源与电阻串联或电流 换为较简单的含源支路 ( 源与电阻并联支路), 使分析和计算简化。 源与电阻并联支路 ), 使分析和计算简化 。 戴维宁 定理和诺顿定理正是给出了等效含源支路及其计算 方法。 方法。返 回上 页下 页1. 戴维宁定理任何一个线性含源一端口网络，对外电路来说， 任何一个线性含源一端口网络，对外电路来说， 总可以用一个电压源和电阻的串联组合来等效置 换 ； 此电压源的电压等于外电路断开时端口处的 开路电压u 而电阻等于一端口的输入电阻（ 开路电压 oc， 而电阻等于一端口的输入电阻 （ 或 等效电阻Req）。 等效电阻 i a i + Req a + + u A u Uoc b b返 回 上 页 下 页例10? + 20V C10? Uoc + 10V C C b aa +应用电源等效变换a Req 5? + 15V Uoc 返 回2A1A+ 5? Uoc C bb上 页 下 页例10? + 20V CI10? Uoc + 10V C C b aa +应用电戴维宁定理 (1) 求开路电压 oc 求开路电压UUoc = 0.5×10 +10 =15V(2) 求输入电阻 eq 求输入电阻R20 ?10 = 0.5A I= 20Req 5? + 15V Uoc -R =10//10 =5 eqb注意 两种解法结果一致，戴 两种解法结果一致，维宁定理更具普遍性。 维宁定理更具普遍性。返 回 上 页 下 页2.定理的证明 2.定理的证明a i aA叠加+ u C bNa + u' C b替代Aa + u'' C b+ u C biA中 中 独 立 源 置 零Au =uoc'+N Req''iu = ?R i eq返 回 上 页 下 页u =u +u = uoc ? R i eq' ''i Req + Uoc -a + u C bN返 回上 页下 页3.定理的应用 3.定理的应用开路电压U （1）开路电压 oc 的计算 戴维宁等效电路中电压源电压等于将外电路 断开时的开路电压U 断开时的开路电压 oc ， 电压源方向与所求开路 电压方向有关。 计算U 电压方向有关 。 计算 oc 的方法视电路形式选择 前面学过的任意方法，使易于计算。 前面学过的任意方法，使易于计算。 （2）等效电阻的计算 等效电阻为将一端口网络内部独立电源全部 置零(电压源短路，电流源开路) 置零(电压源短路，电流源开路)后，所得无源一 端口网络的输入电阻。常用下列方法计算： 端口网络的输入电阻。常用下列方法计算：返 回 上 页 下 页①当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联 互换的方法计算等效电阻； 和△－Y互换的方法计算等效电阻； 互换的方法计算等效电阻 外加电源法（加电压求电流或加电流求电压）； ②外加电源法（加电压求电流或加电流求电压）； a i a N N i u + + R = Req u Req u eq C C i b b a i 开路电压，短路电流法。 Req ③开路电压，短路电流法。 + + u uoc R = eq Uoc isc b 2 3 方法更有一般性。 方法更有一般性。返 回 上 页 下 页注意外电路可以是任意的线性或非线性电路， ① 外电路可以是任意的线性或非线性电路，外电路 发生改变时， 发生改变时 ， 含源一端口网络的等效电路不变 安特性等效) (伏-安特性等效)。 当一端口内部含有受控源时， ② 当一端口内部含有受控源时，控制电路与受控 源必须包含在被化简的同一部分电路中。 源必须包含在被化简的同一部分电路中。 a 计算R 分别为1 、 例1 计算 x分别为1.2?、 4? 6? Rx I 时的电流 5.2?时的电流I 解 断开R 支路， 断开 x支路，将剩余 一端口网络化为戴维 宁等效电路： 宁等效电路： 6? b 4? 10V + C返 回 上 页 下 页+ U2-①求开路电压4? + 6? 4? + 6? Uoc + U1 - - Uoc b 6? b 4? 6? 10V 4? + C I + C Req Uoc Rx b aUoc = U1 - U2 = -10×4/(4+6)+10 × 6/(4+6) = 6-4=2V②求等效电阻Req 求等效电阻Req=4//6+6//4=4.8? ?③ Rx =1.2?时， 时I= Uoc /(Req + Rx) =0.333ARx =5.2?时， 时I= Uoc /(Req + Rx) =0.2A返 回 上 页 下 页例2 求电压 o 求电压U求开路电压U 解 ①求开路电压 ocUoc=6I+3I I=9/9=1A Uoc=9V6I 6I 6? CC ++ Io 6? ++ + ++ II 3?U U0 9V 3? 9V 3? U 0C CC C CC 独立源置零方法1 ②求等效电阻Req 方法1：加压求流 求等效电阻U=6I+3I=9I I=Io×6/(6+3)=(2/3)IoU =9 × (2/3)I0=6Io Req = U /Io=6 ?返 回 上 页 下 页方法2 开路电压、 方法2：开路电压、短路电流(Uoc=9V) 6 I1 +3I=9 6I+3I=0 I=0 Isc=I1=9/6=1.5A③等效电路6? 9V 3?C I6I+ IscI1 + C独立源保留 + 6? + U0 9V 返 回Req = Uoc / Isc =9/1.5=6 ?9 U0 = ×3=3V 6 +33?上 页下 页注意 计算含受控源电路的等效电阻是用外加电源法还是开路、短路法，要具体问题具体分析， 电源法还是开路、短路法，要具体问题具体分析， 以计算简便为好。 以计算简便为好。 负载R 例3 求负载 L消耗的功率 解 ①求开路电压Uoc 求开路电压 4I1 50? 50? + 100? 40V C I1 4I1 I1 50? 50? + 100? RL 5? 40V 50V + C C返 回上 页下 页100I1 + 200I1 +100I1 = 4050? 200I 1 C 50? +200I1 C + 50? 50? + + 40V 40V C C I1 I1 100? 100? + I Uoc sc CI1 = 0.1AUoc =100I1 =10V②求等效电阻Req 求等效电阻 用开路电压、短路电流法 用开路电压、Isc = 40/100 = 0.4AUoc R = =10/ 0.4 = 25 eq Isc50? 50? + 40V C返 回Isc上 页下 页Req 25? IL + Uoc 10V C5?－Uoc +50 60 IL = = = 2A 25 +5 302 L50V＋P =5I =5×4 = 20W L已知开关S 例4 已知开关 1 2 解 A ＝2A3 线性 + S 1 2? 2 + 1A +1A + 含源 4V U A5? V 5? U 网络 － － －V ＝4V 求开关 打向3，电压 等于多少。 求开关S打向 ，电压U等于多少 等于多少。 打向iSc = 2A Uoc = 4VU = (2+5)×1+ 4 =11VR =2 eq返 回 上 页 下 页4. 诺顿定理任何一个含源线性一端口电路，对外电路来说， 任何一个含源线性一端口电路，对外电路来说， 可以用一个电流源和电阻的并联组合来等效置换； 可以用一个电流源和电阻的并联组合来等效置换 ； 电流源的电流等于该一端口的短路电流， 电流源的电流等于该一端口的短路电流 ， 电阻等 于该一端口的输入电阻。 于该一端口的输入电阻。 i + u a Isc Req aA注意b b 一般情况， 一般情况，诺顿等效电路可由戴维宁等效电路 经电源等效变换得到。 经电源等效变换得到。诺顿等效电路可采用与戴维 宁定理类似的方法证明。 宁定理类似的方法证明。返 回 上 页 下 页求电流I 例1 求电流 解 ①求短路电流Isc 求短路电流 I I1 =12/2=6A I2=(24+12)/10=3.6A ②求等效电阻Req 求等效电阻 Req 10? 2? 应用分 流公式 4? Isc2? 2? 12V 12V C I1 I + C 2 +10? 10?C C 24V 24V + +Isc=-I1-I2=- 3.6-6=-9.6AReq =10//2=1.67 ?③诺顿等效电路: 诺顿等效电路: 4? I -9.6A 1.67?I =2.83A返 回 上 页 下 页求电压 例2 求电压U6? 6? 3? 3?6? 6? 6? 6?aa 1A + + + Isc U 6? 3? 24V 6? 3? CC C bb 解 本题用诺顿定理求比较方便。因a、b处的短 本题用诺顿定理求比较方便。 处的短 路电流比开路电压容易求。 路电流比开路电压容易求。 ①求短路电流Isc 求短路电流24 1 24 3 Isc = × + × =3A 6// 6 +3 2 3// 6+6 3+ 6返 回 上 页 下 页②求等效电阻Req 求等效电阻 Isc 3A 1A 4? a ＋ U － b6? 3? 6? 3?6? 6? Req b aR =[6// 3+6]//[3// 6+6] = 4 eq③诺顿等效电路: 诺顿等效电路:U = (3+1 ×4 =16V )返 回 上 页 下 页注意①若一端口网络的等效电阻 Req= 0，该一端口网 该 络只有戴维宁等效电路，无诺顿等效电路。 络只有戴维宁等效电路，无诺顿等效电路。 ②若一端口网络的等效电阻 Req=∞，该一端口网 该 络只有诺顿等效电路，无戴维宁等效电路。 络只有诺顿等效电路，无戴维宁等效电路。 a Req=0 b ＋ Uoc － a IscAAReq=∞ b返 回上 页下 页4.4 最大功率传输定理一个含源线性一端口电路，当所接负载不同时， 一个含源线性一端口电路，当所接负载不同时， 一端口电路传输给负载的功率就不同， 一端口电路传输给负载的功率就不同 ， 讨论负载 为何值时能从电路获取最大功率， 为何值时能从电路获取最大功率 ， 及最大功率的 值是多少的问题是有工程意义的。 值是多少的问题是有工程意义的。 Req i iA+ u C负 载应用戴维宁定理+ Uoc CRL返 回上 页下 页uoc 2 P= R ( ) L R +R eq L求导： 对P求导： 求导2 ' 2 ocPP max0RL(R + R ) ?2R (R + R ) eq L L eq L P =u =0 4 (R + R ) eq LR =R L equ Pax = m 4R eq2 oc最大功率匹配条件返 回 上 页 下 页为何值时能获得最大功率， 例 RL为何值时能获得最大功率，并求最大功率 求开路电压U 解 ①求开路电压 ocI1 = I2 =UR 202A 2AI1 +I2 = 2AI1 =I2 =1A10? 10? ＋ I1 I2 RL + + Uoc URR 20? U 20? C + C + － UR R U 20V 20V 20 20 C C b baaUoc = 2×10 + 20I2 + 20 = 60V返 回上 页下 页②求等效电阻Req 求等效电阻I1 = I2 = I 2U =10I + 20×I / 2 = 20I U R = = 20 eq I③由最大功率传输定理得: 由最大功率传输定理得:10? I I2 I1 + UR 20? UR _20a + U C bR = R = 20? 时其上可获得最大功率 L eqU 60 Pax = = = 45W m 4R 4×20 eq返 回 上 页 下 页2 oc 2注意①最大功率传输定理用于一端口电路给定,负 最大功率传输定理用于一端口电路给定, 载电阻可调的情况; 载电阻可调的情况; ②一端口等效电阻消耗的功率一般并不等于端 口内部消耗的功率, 口内部消耗的功率,因此当负载获取最大功 率时,电路的传输效率并不一定是50%; 率时,电路的传输效率并不一定是 ③计算最大功率问题结合应用戴维宁定理或诺 顿定理最方便. 顿定理最方便.返 回上 页下 页4.5* 特勒根定理特勒根定理1 1. 特勒根定理1任何时刻，一个具有n个结点和 个结点和b条支路的集总 任何时刻，一个具有 个结点和 条支路的集总 电路，在支路电流和电压取关联参考方向下，满足: 电路，在支路电流和电压取关联参考方向下，满足: 功率守恒表明 任何一个电路的全部支路吸收的功率之和恒等于零。 和恒等于零。返 回 上 页 下 页定理证明： 定理证明： 1 2 3b应用KCL: 应用 4 1 22 5 6 3 3 1 支路电 压用结 点电压 表示上 页 下 页?i1 +i2 +i4 = 0 ?i4 +i5 +i6 = 0 ?i2 +i3 ?i6 = 0k k4∑u ik= 1=u1i1 +u2i2 +L+u6i6?un1i1 + (un1 ?un3)i2 +un3i3 + (un1 ?un2 )i4 +un2i5 + (un2 ?un3)i6返 回un1(?i1 +i2 +i4) +un2(?i4 +i5 +i6) +un3(?i2 +i3 ?i6) = 02. 特勒根定理2 特勒根定理22 4 1 2 3 6 3 5 41 任何时刻，对于两个具有n个结点和 个结点和b条支路 任何时刻，对于两个具有 个结点和 条支路 的集总电路，当它们具有相同的图， 的集总电路，当它们具有相同的图，但由内容不 同的支路构成， 同的支路构成，在支路电流和电压取关联参考方 向下，满足: 向下，满足:返 回 上 页 下 页2 4 1 2 3 1 6 3 5 4 1 2 42 5 6 3 3 1 4(uk ,ik )拟功率定理? ? (uk ,ik )返 回上 页下 页定理证明： 定理证明： 对电路2应用 对电路 应用KCL: 应用 :b1 2 3? ? ? ?i1 +i2 +i4 = 0 ? ? ? ?i4 +i5 +i6 = 0 ? ? ? ?i2 +i3 ?i6 = 066? ? ? ? ∑u i =ui +u i +L+u ik= 1 k k 11 22? ? ? ?un1i1 + (un1 ?un3)i2 +un3i3 + ? ? ? (un1 ?un2 )i4 +un2i5 + (un2 ?un3)i6? ? ? ? ? ? un1(?i1 +i2 +i4 ) +un2 (?i4 +i5 +i6 ) ? ? ? +un3(?i2 +i3 ?i6) = 0返 回 上 页 下 页② R1=1.4 ?, R2=0.8?, Us=9V时, I1=3A, 求此时的 2 求此时的U 解 把两种情况看成是结构相同， 把两种情况看成是结构相同，参数不同的两 个电路，利用特勒根定理2 个电路，利用特勒根定理2 U2=2V, I1 + Us C R1 + 无源 U1 电阻 C 网络返 回例1 ① R1=R2=2?, Us=8V时, I1=2A, U2 =2V由(1)得：U1=4V, I1=2A, 得I2=U2/R2=1A I2 R2 + U2 C(2) 由 得: ∧ U1 =9?3×14 = 4.8 . V I 2 =U2 /R2 = (5/ 4)U2∧I1 =3A∧∧∧上 页下 页∧2A + C∧+ 无源 4V 电阻 C 网络∧ b1A + 2V C3A +(5/ 4)U2∧+ 无源 4.8V 电阻 C C 网络∧+U2Cb? ? U1(?I1) +U2 I 2 + ∑R Ik Ik =U1(?I1) +U2 I2 + ∑R Ik Ik k kk=3 k=3∧( 号 因 U1, I1的 向 同 负 是 为 方 不 )∧?4×3+ 2×1.25U2 = ?4.8×2+U2×1U2 = 2.4/1.5 =1.6V返 回 上 页 下 页∧∧∧∧例2+ U1 CI1I1I2+P∧+ + I2 ∧ 2? U2 U1 C C∧P∧∧U2C∧U 已知： 已知： U1=10V, I1=5A, U2=0, I2=1A U2 =10V 求 1.解U I1+U2(?I 2) =U1(?I1) +U2 I2 1∧∧U1 = 2I1∧ U1 ∧ U1 × =U1(?I1) +U2 I2 2 ∧ ∧∧∧U1 10× =U1×(?5) +10×1 2∧U1 =1 V返 回 上 页 下 页∧应用特勒根定理： 注意 应用特勒根定理： ①电路中的支路电压必须满足KVL; 电路中的支路电压必须满足 ; ②电路中的支路电流必须满足KCL; 电路中的支路电流必须满足 ; ③电路中的支路电压和支路电流必须满足关联 参考方向； 否则公式中加负号） 参考方向； （否则公式中加负号） ④定理的正确性与元件的特征全然无关。 定理的正确性与元件的特征全然无关。返 回上 页下 页4.6* 互易定理互易性是一类特殊的线性网络的重要性质。一个 互易性是一类特殊的线性网络的重要性质。 具有互易性的网络在输入端（ 激励） 与输出端（ 具有互易性的网络在输入端 （ 激励 ） 与输出端 （ 响 互换位置后， 同一激励所产生的响应并不改变。 应 ） 互换位置后 ， 同一激励所产生的响应并不改变 。 具有互易性的网络叫互易网络， 具有互易性的网络叫互易网络 ， 互易定理是对电路 的这种性质所进行的概括， 的这种性质所进行的概括 ， 它广泛的应用于网络的 灵敏度分析和测量技术等方面。 灵敏度分析和测量技术等方面。返 回上 页下 页1. 互易定理对一个仅含电阻的二端口电路N 对一个仅含电阻的二端口电路 R，其中一个端 口加激励源，一个端口作响应端口， 口加激励源，一个端口作响应端口，在只有一个激 励源的情况下，当激励与响应互换位置时， 励源的情况下，当激励与响应互换位置时，同一激 励所产生的响应相同。 励所产生的响应相同。返 回上 页下 页情况1 情况 a + uS1 C b激励 线性 电阻 网络 NR (a) c i2 d电压源 a i1 b响应 线性 电阻 网络 NR (b) c电流 + uS2 C d则端口电压电 流满足关系： 流满足关系：注意当 uS1 = uS2 时，i2 = i1返 回 上 页 下 页证明: 由特勒根定理： 证明: 由特勒根定理：即：∑u ik= 1 ∧ kb∧ k? = 0 和∑ukik = 0k= 1b∑u ik= 1 kb ∧b∧ k=u1 i1+u2 i2 + ∑uk ikk=3∧b∧=u1 i1+u2 i2 + ∑R ik ik = 0 k∧∧b∧∑u i1 k=k k=u1 i1 +u2 i2 + ∑uk ikk=3∧∧k=3 b ∧=u1 i1 +u2 i2 + ∑R ik ik = 0 k∧∧b∧? ? 两式相减， 两式相减，得： u i + u2i2 11=u1 i1 + u2 i2返 回 上 页 下 页∧k=3∧将图(a)与图 中端口条件代入，即: 将图 与图(b)中端口条件代入， 与图 中端口条件代入u1 =uS1, u2 =0, u1 =0, u2 =uS2 ? uS1i1 +0×i2 =0×i1 +uS2i2即： a + uS1 C b 线性 电阻 网络 NR (a) c i2 d a i1 b 线性 电阻 网络 NR (b)返 回 上 页 下 页∧∧证毕！ 证毕！ c + uS2 C d情况2 情况2 a iS1激励 线性 电阻 网络 NR (a) c + u2 C d电流源 a + u1 C b响应 线性 电阻 网络 NR (b)电压 c iS2 db则端口电压电 流满足关系： 流满足关系：u2 u1 = iS 1 iS 2或 u1iS 1 = u2iS 2注意 当 iS1 = iS2 时，u2 = u1返 回 上 页 下 页情况3 情况3激 励 线性 电阻 网络 NR (a)图a 图b电流源 电压源 a c + i2 u1 C b d响 应 线性 电阻 网络 NR (b)图a 图b电流 电压 c + uS2 C da iS1b则端口电压电流在 数值上满足关系： 数值上满足关系：i2 u1 = iS 1 uS 2或 u1iS 1 = uS 2i2注意当 iS1 = uS2时 ， i2 = u 1返 回 上 页 下 页应用互易定理分析电路时应注意： 应用互易定理分析电路时应注意： 互易前后应保持网络的拓扑结构不变， ① 互易前后应保持网络的拓扑结构不变 ， 仅理 想电源搬移； 想电源搬移； ②互易前后端口处的激励和响应的极性保持一致 要么都关联，要么都非关联) （要么都关联，要么都非关联)； ③ 互易定理只适用于线性电阻网络在单一电源激 励下，端口两个支路电压电流关系。 励下，端口两个支路电压电流关系。 ④含有受控源的网络，互易定理一般不成立。 含有受控源的网络，互易定理一般不成立。返 回上 页下 页图电流I 图电压U 图电流 图电压 例1 求(a)图电流 ，(b)图电压 4? 1? + 1? 2?4? 2? + 6? 6? I 12V I 12V C C (a) (a) 解 利用互易定理 + 6A U C 4? 4? 1? + 1? 6A 2? 6? 6? U 2? C (b) (b)12 1 I= × =1.5A 1+6// 6 2U =3×2 = 6V返 回上 页下 页例2 求电流 求电流I解 利用互易定理8 I'= 2+ 4// 2+1// 2 8 = = 2A 4 I1 = I '×2/(4+2)=2/3A I14? 8V C + a 1?2? b 2?2? c I d I'4? 1?I2 = I '×2/(1+2)=4/3A I= I1-I2 = - 2/3Aa I2I2? 2? c + b 2?8V d C返 回上 页下 页测得a图中 图中U 图中的电流I ， 图中的电流 例3 测得 图中 1＝10V，U2＝5V，求b图中的电流 a 2A + U1 C b 解1 ①利用互易定理知c图的 利用互易定理知c 线性 电阻 网络 NR (a) a c + U2 5? I C b d a + 线性 电阻 网络 NR (b) 线性 电阻 网络 NR (c)返 回 上 页 下 页c 2A+ Cd c 2A? u1 =5V(开 电 ） 路 压? U1C b+ Cda Req b线性 电阻 网络 NR (c)ca I 5?5? + 5V Cdb图的等效电阻： ②结合a图，知c图的等效电阻： 结合au1 10 R = = =5 eq 2 2 5 I= = 0.5A 5+5戴维宁等 效电路返 回上 页下 页a 2A + U1 C b 解2线性 电阻 网络 NR (a)a c + U2 5? I C b d线性 电阻 网络 NR (b)c 2A+ Cd应用特勒根定理： 应用特勒根定理：? ? u1i1 + u2i2 =u1 i1 + u2 i2? ? 10i1 +5×(?2) =5i1 ×(?2) +u2×0? i1 =I = 0.5A返 回 上 页 下 页∧∧∧问图示电路α与 例4 问图示电路 与?取何关系时电路具有互易性 解 在a-b端加电流源，解得： 端加电流源， 端加电流源 解得：ααI IUcd =U +3I + ?U = (? +1 α I +3I ) =[(? +1 α +3]IS )在c-d端加电流源，解得： 端加电流源，解得： 端加电流源1? 1? C CUU+ + aa IS 1? 3? I I 1? c cIS 3? + +?U ?U CC b b ddUab = ? I +3I + ?U = (3?α) I + ?(IS +α I) α = (? +3?α + ?α)IS返 回 上 页 下 页如要电路具有互易性， 如要电路具有互易性，则：Uab =Ucd[(? +1)α +3] = (? +3?α + ?α)α= ?2一般有受控源的电路不具有互易性。 结论 一般有受控源的电路不具有互易性。返 回上 页下 页4.7* 对偶原理1. 对偶原理在对偶电路中，某些元素之间的关系(或方程 或方程) 在对偶电路中 ， 某些元素之间的关系 或方程 可以通过对偶元素的互换而相互转换。 可以通过对偶元素的互换而相互转换 。 对偶原理 是电路分析中出现的大量相似性的归纳和总结 。2. 对偶原理的应用根据对偶原理， 根据对偶原理，如果在某电路中导出某一关系 式和结论， 式和结论 ， 就等于解决了和它对偶的另一个电路 中的关系式和结论。 中的关系式和结论。返 回 上 页 下 页例1 串联电路和并联电路的对偶 串联电路和并联 和并联电路的对偶R1 i Rk + u1 _ + u k + i + u _ R1 i1 R2 i2 Rk ik Rn in u? Rn ? k= 1 ? u _ _ 电 i= 流 ? + un R ? R ? _ 分 公 压 式 uk = k u R ? 总 阻 R = ∑R 电 kn总 导 G = ∑G ? 电 k ? 1 k= ? i ? 电 压 u= ? G ? G ? 分 公 流 式 ik = k i? G ?n返 回上 页下 页结论将串联电路中的电压u与并联电路中的电流 将串联电路中的电压 与并联电路中的电流i 与并联电路中的电流 互换，电阻R与电导 互换， 与电导G互换 互换，电阻 与电导 互换，串联电路中的公式 就成为并联电路中的公式。反之亦然。 就成为并联电路中的公式。反之亦然。这些互 换元素称为对偶元素。电压与电流；电阻R与电 换元素称为对偶元素。电压与电流；电阻 与电 都是对偶元素。 导G都是对偶元素。而串联与并联电路则称为对 都是对偶元素 偶电路。 偶电路。返 回上 页下 页例2 网孔电流与结点电压的对偶 网孔电流与结点电压的对偶R1 ＋ us1 － im1 R2 im2 R3 － us2 ＋ 网孔电流方程(R + R )im1 ? R im2 =uS1 ? 1 2 2 ? ? ? R im1 +(R + R )im2 =uS2 ? 2 2 3 ?un1 G2 un2 is1 G1 G3 is2结点电压方程 结点电压方程(G +G )un1 ?Gun2 =iS1 ? 1 2 2 ? ? ?Gun1 +(G +G )un2 =iS2 ? 2 2 3 ?返 回上 页下 页结论把 R 和 G，us 和 is ，网孔电流和结点电压 ， 等对应元素互换，则上面两个方程彼此转换。 等对应元素互换，则上面两个方程彼此转换。 所以“网孔电流” 结点电压“是对偶元素， 所以“网孔电流”和“结点电压“是对偶元素， 这两个平面电路称为对偶电路。 这两个平面电路称为对偶电路。返 回上 页下 页定理的综合应用例1图示线性电路， 支路中的电阻R＝0时， 图示线性电路，当A支路中的电阻 支路中的电阻 时 测得B支路电压 支路电压U=U1,当R＝∞时，U＝U2,已 时 测得 支路电压 端口的等效电阻为R 知ab端口的等效电阻为 A，求R为任意值时的 端口的等效电阻为 为任意值时的 电压U 电压 a A B 线性 + RA 有源 U R C 网络 b返 回上 页下 页解应用替代定理： ①应用戴维宁定理： ②应用替代定理： 应用戴维宁定理： 线性 线性 有源 有源 网络 网络 a a AA R RA A R I b b + RA I Uoc R C b aBB + + U U C C③应用叠加定理： 应用叠加定理：R = ∞→I = 0 →U = k2 =U2R = 0 →I =Uoc R A Uoc → =U = k U + k2 1 1 R A返 回U = k1I + k2上 页下 页U1 ?U2 k1 = RA k2 =U2 Uoc U1 ?U2 Uoc U1 ?U2 U =U2 + RA × =U2 + RA Uoc RA + R RA + R解得： 解得： 为线性电路， 为相同的电阻网络 为相同的电阻网络, 为线性电路 例2 图a为线性电路，N为相同的电阻网络,对称连 接,测得电流 i1=I1, i2＝I2, 求b图中的 1 图中的i’ 图中的 i1 a a i2 i' 1 + + US N N US N b (b) b (a)返 回上 页下 页解对图(c)应用叠加和互易定理 对图 应用叠加和互易定理 a i&1 + + & i1 = I1 ? I2 US US N N b i=0 a (c) + + 对图(c)应用戴维宁定理 对图 应用戴维宁定理 Uoc Uoc & ' R i1 = i1 = I1 ? I2 R返 回上 页
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