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线性代数教学中结合应用问题举例
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官方公共微信[ab矩阵]为什么矩阵AB（A为3*2，B为2*3）不可逆？_ab矩阵-牛宝宝文章网
<meta name="description" content="[ab矩阵]为什么矩阵AB（A为3*2，B为2*3）不可逆？_ab矩阵：网友刘延对[ab矩阵]为什么矩阵AB（A为3*2，B为2*3）不可逆？给出的答复：r(A)<3,r(B)<3r(AB)<min(r(A),r(B))
[ab矩阵]为什么矩阵AB（A为3*2，B为2*3）不可逆？ ab矩阵
网友刘延对[ab矩阵]为什么矩阵AB（A为3*2，B为2*3）不可逆？给出的答复：r(A)&3,r(B)&3r(AB)&min(r(A),r(B))&3所以不可逆网友白如冰对[ab矩阵]为什么矩阵AB（A为3*2，B为2*3）不可逆？给出的答复：秩网友蒙面大侠对[ab矩阵]为什么矩阵AB（A为3*2，B为2*3）不可逆？给出的答复：AB为3×3的矩阵，秩的最大值为3，AB的值必须等于3，AB才可逆。但A的秩小于等于2，B的秩也小于等于2，AB的秩小于等于他俩的最小值，所以，AB的秩小于3网友gao adams对[ab矩阵]为什么矩阵AB（A为3*2，B为2*3）不可逆？给出的答复：我这学期也学线性代数。大家都在说秩，但我想从向量张成空间方面进行描述可以更直观。AB=C相乘，C矩阵的第i行是如何得到的？是B的行向量的一个线性组合，其系数由A的第i行确定。这是矩阵相乘的基本知识。既然如此，B是2*3的矩阵，最多，只能有两个线性无关行向量，它们的组合，自然也最多只能生成有两个线性无关行向量，所以C的行向量线性相关。C不可逆。网友匿名用户对[ab矩阵]为什么矩阵AB（A为3*2，B为2*3）不可逆？给出的答复：r(AB) &= min( r(A) , r(B) ) &= 2 & 3网友mahalanobis对[ab矩阵]为什么矩阵AB（A为3*2，B为2*3）不可逆？给出的答复：矩阵A的列空间不就是个三维空间里的二维平面嘛，矩阵B再怎么在里面折腾也始终在这个平面里…网友匿名用户对[ab矩阵]为什么矩阵AB（A为3*2，B为2*3）不可逆？给出的答复：偏要说个绕的：设AB可逆，则存在非零矩阵C使（AB）*C = E则根据矩阵乘法结合律A *(BC) = E即A可逆，而根据可逆的定义，只有方阵可逆。故原假设不成立，AB不可逆。网友Der Dafagut对[ab矩阵]为什么矩阵AB（A为3*2，B为2*3）不可逆？给出的答复：很多答案提到了秩，那我写个不用到秩的证明。供参考。这个证明用数学写起来可能会长一点，但是他的implications很简单。就是只有一个线性映射是从domain到range的一一对应的映射，才能找到一个从range到domain的逆映射。（1这个部分）然后AB这个映射是不一一对应的。（2这个部分）下面有些证明是不需要的，只是我为了把定理展现完整才加上去的。比如2部分只需2.0和2.3的第一部分就够了。题中的F是一个可以像R或者C一样的域，方便起见可以当作R。1.首先证明：一个线性映射是可逆的，当且仅当这个映射是单射满射。（单射（injective）的意思是从range中能找到和domain中一一对应的元素，漫射是指range中的所有元素都是domain中元素的映射，单射满射就是指能建立起从domain到range的一一映射关系）证明：令线性映射VW为线性空间，那个奇怪的L是从V到W的线性映射的集合。1.1 假设T是可逆的，证单射：且即得到T是单射。1.2 假设T可逆，证满射：另,定义使得有即那么我们只需要证明S是线性的：得到(additive)另令，得到(homogeneous)由additive和homogeneous得到S是线性的。证毕。2.证明AB这个矩阵对应的映射既不是单射也不是满射。定义三个线性空间分别定义在。则,,。2.0 引理：若V是有限维的，，那么T的range是W的有限维子空间，并且满足其中这个的证明先【挖个坑】，用linear independence可以证。2.1 证A不是满射：得到rangeB的的维数比E小，不是满射。2.2证B不是单射证法同2.12.3证AB不是单射也不是满射得到AB不是满射同理可证AB不是单射。参考：Axler, Linear Algebra Done Right (《线性代数应该这样学》)大概在这本书第三章。顺便安利下这本书。网友蒙面大侠对[ab矩阵]为什么矩阵AB（A为3*2，B为2*3）不可逆？给出的答复：矩阵相乘只能减少他们的秩，不能增加他们的秩。网友小重山对[ab矩阵]为什么矩阵AB（A为3*2，B为2*3）不可逆？给出的答复：逆了的话结果结果不一样，所以不可逆网友晨龙对[ab矩阵]为什么矩阵AB（A为3*2，B为2*3）不可逆？给出的答复：这个问题可能不用秩会更好理解。考虑ABx，其中x是一个3维空间中的向量。令Bx为y,那么原公式变成Ay,其中y是一个2维空间中的向量。Ay=z，z还是3维空间中的向量。也就是说，这个线性变换把3维空间中的点“压缩”到2维空间，再“拉开”到3维空间中，这个过程一定会把很多本身不相等的元素“压”到一起，但“压”在一起后失去了原来的信息，自然不能够恢复原状，也就是不能取逆了。欢迎您转载分享：
更多精彩：中的一个点运动到任意的另外一个点，都可以通过一个；简而言之，在线性空间中选定基之后，向量刻画对象，；是的，矩阵的本质是运动的描述；可是多么有意思啊，向量本身不是也可以看成是nx1；接着理解矩阵；上一篇里说“矩阵是运动的描述”，到现在为止，好像；为运动这个概念，在数学和物理里是跟微积分联系在一；不过在我这个《理解矩阵》的文章里，“运动”的概念；是瞬间发生的，具
中的一个点运动到任意的另外一个点，都可以通过一个线性变化来完成。那么，线性变换如何表示呢？很有意思，在线性空间中，当你选定一组基之后，不仅可以用一个向量来描述空间中的任何一个对象，而且可以用矩阵来描述该空间中的任何一个运动（变换）。而使某个对象发生对应运动的方法，就是用代表那个运动的矩阵，乘以代表那个对象的向量。
简而言之，在线性空间中选定基之后，向量刻画对象，矩阵刻画对象的运动，用矩阵与向量的乘法施加运动。
是的，矩阵的本质是运动的描述。如果以后有人问你矩阵是什么，那么你就可以响亮地告诉他，矩阵的本质是运动的描述。
可是多么有意思啊，向量本身不是也可以看成是n x 1矩阵吗？这实在是很奇妙，一个空间中的对象和运动竟然可以用相类同的方式表示。能说这是巧合吗？如果是巧合的话，那可真是幸运的巧合！可以说，线性代数中大多数奇妙的性质，均与这个巧合有直接的关系。
接着理解矩阵。
上一篇里说“矩阵是运动的描述”，到现在为止，好像大家都还没什么意见。但是我相信早晚会有数学系出身的网友来拍板转。因
为运动这个概念，在数学和物理里是跟微积分联系在一起的。我们学习微积分的时候，总会有人照本宣科地告诉你，初等数学是研究常量的数学，是研究静态的数学，高等数学是变量的数学，是研究运动的数学。大家口口相传，差不多人人都知道这句话。但是真知道这句话说的是什么意思的人，好像也不多。简而言之，在我们人类的经验里，运动是一个连续过程，从A点到B点，就算走得最快的光，也是需要一个时间来逐点地经过AB之间的路径，这就带来了连续性的概念。而连续这个事情，如果不定义极限的概念，根本就解释不了。古希腊人的数学非常强，但就是缺乏极限观念，所以解释不了运动，被芝诺的那些著名悖论（飞箭不动、飞毛腿阿喀琉斯跑不过乌龟等四个悖论）搞得死去活来。因为这篇文章不是讲微积分的，所以我就不多说了。有兴趣的读者可以去看看齐民友教授写的《重温微积分》。我就是读了这本书开头的部分，才明白“高等数学是研究运动的数学”这句话的道理。
不过在我这个《理解矩阵》的文章里，“运动”的概念不是微积分中的连续性的运动，而是瞬间发生的变化。比如这个时刻在A点，经过一个“运动”，一下子就“跃迁”到了B点，其中不需要经过A点与B点之间的任何一个点。这样的“运动”，或者说“跃迁”，是违反我们日常的经验的。不过了解一点量子物理常识的人，就会立刻指出，量子（例如电子）在不同的能量级轨道上跳跃，就
是瞬间发生的，具有这样一种跃迁行为。所以说，自然界中并不是没有这种运动现象，只不过宏观上我们观察不到。但是不管怎么说，“运动”这个词用在这里，还是容易产生歧义的，说得更确切些，应该是“跃迁”。因此这句话可以改成：
“矩阵是线性空间里跃迁的描述”。
可是这样说又太物理，也就是说太具体，而不够数学，也就是说不够抽象。因此我们最后换用一个正牌的数学术语――变换，来描述这个事情。这样一说，大家就应该明白了，所谓变换，其实就是空间里从一个点（元素/对象）到另一个点（元素/对象）的跃迁。比如说，拓扑变换，就是在拓扑空间里从一个点到另一个点的跃迁。再比如说，仿射变换，就是在仿射空间里从一个点到另一个点的跃迁。附带说一下，这个仿射空间跟向量空间是亲兄弟。做计算机图形学的朋友都知道，尽管描述一个三维对象只需要三维向量，但所有的计算机图形学变换矩阵都是4 x 4的。说其原因，很多书上都写着“为了使用中方便”，这在我看来简直就是企图蒙混过关。真正的原因，是因为在计算机图形学里应用的图形变换，实际上是在仿射空间而不是向量空间中进行的。想想看，在向量空间里相一个向量平行移动以后仍是相同的那个向量，而现实世界等长的两个平行线段当然不能被认为同一个东西，所以计算机图形学的生存空间实际上是仿射空间。而仿射变
换的矩阵表示根本就是4 x 4的。又扯远了，有兴趣的读者可以去看《计算机图形学――几何工具算法详解》。
一旦我们理解了“变换”这个概念，矩阵的定义就变成：
“矩阵是线性空间里的变换的描述。”
到这里为止，我们终于得到了一个看上去比较数学的定义。不过还要多说几句。教材上一般是这么说的，在一个线性空间V里的一个线性变换T，当选定一组基之后，就可以表示为矩阵。因此我们还要说清楚到底什么是线性变换，什么是基，什么叫选定一组基。线性变换的定义是很简单的，设有一种变换T，使得对于线性空间V中间任何两个不相同的对象x和y，以及任意实数a和b，有：
T(ax + by) = aT(x) + bT(y)，
那么就称T为线性变换。
定义都是这么写的，但是光看定义还得不到直觉的理解。线性变换究竟是一种什么样的变换？我们刚才说了，变换是从空间的一个点跃迁到另一个点，而线性变换，就是从一个线性空间V的某一个点跃迁到另一个线性空间W的另一个点的运动。这句话里蕴含着一层意思，就是说一个点不仅可以变换到同一个线性空
间中的另一个点，而且可以变换到另一个线性空间中的另一个点去。不管你怎么变，只要变换前后都是线性空间中的对象，这个变换就一定是线性变换，也就一定可以用一个非奇异矩阵来描述。而你用一个非奇异矩阵去描述的一个变换，一定是一个线性变换。有的人可能要问，这里为什么要强调非奇异矩阵？所谓非奇异，只对方阵有意义，那么非方阵的情况怎么样？这个说起来就会比较冗长了，最后要把线性变换作为一种映射，并且讨论其映射性质，以及线性变换的核与像等概念才能彻底讲清楚。我觉得这个不算是重点，如果确实有时间的话，以后写一点。以下我们只探讨最常用、最有用的一种变换，就是在同一个线性空间之内的线性变换。也就是说，下面所说的矩阵，不作说明的话，就是方阵，而且是非奇异方阵。学习一门学问，最重要的是把握主干内容，迅速建立对于这门学问的整体概念，不必一开始就考虑所有的细枝末节和特殊情况，自乱阵脚。
接着往下说，什么是基呢？这个问题在后面还要大讲一番，这里只要把基看成是线性空间里的坐标系就可以了。注意是坐标系，不是坐标值，这两者可是一个“对立矛盾统一体”。这样一来，“选定一组基”就是说在线性空间里选定一个坐标系。就这意思。
好，最后我们把矩阵的定义完善如下：
包含各类专业文献、各类资格考试、应用写作文书、高等教育、幼儿教育、小学教育、中学教育、行业资料、生活休闲娱乐、线性代数课程-理解矩阵69等内容。　
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