啥函数求导得到函㏑(1+㎡)×m
对㏑(1+㎡)×m进行积分∫㏑(1+㎡)×mdm=1/2∫㏑(1+㎡)dm^2在进行分部积分就可以得出f=1/2{㏑(1+㎡)×m^2-m^2+㏑(1+㎡)}+C
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扫描下载二维码（2014o武汉模拟）已知函数f（x）=ln（x+1）+mx（m∈R）．（Ⅰ）当x=1时，函数f（x）取得极大值，求实数m的值；（Ⅱ）已知结论：若函数f（x）=ln（x+1）+mx（m∈R）在区间（a，b）内存在导数，则存在x0∈（a，b），使得f′（x0）=．试用这个结论证明：若函数g（x）=1)-f(x2)x1-x2（x-x1）+f（x1），（其中x2＞x1＞-1），则对任意x∈（x1，x2），都有f（x）＞g（x）；（Ⅲ）已知正数λ1，λ2满足λ1+λ2=1，求证：对任意的实数x1，x2，若x2＞x1＞-1时，都有f（λ1x1+λ2x2）＞λ1f（x1）+λ2f（x2）．
（Ⅰ）由题设，函数的定义域为（-1，+∞），且，∵当x=1时，函数f（x）取得极大值，∴f′（1）=0，得，此时，当x∈（-1，1）时，f′（x）＞0，函数f（x）在区间（-1，1）上单调递增；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减．∴函数f（x）在x=1处取得极大值时，；（Ⅱ）证明：令h（x）=f（x）-g（x）=f（x）-1)-f(x2)x1-x2（x-x1）-f（x1），则′(x)=f′(x)-f(x1)-f(x2)x1-x2．∵函数f（x）在区间（x1，x2）上可导，则根据结论可知：存在x0∈（x1，x2），使得′(x0)=f(x1)-f(x2)x1-x2．又，∴′(x)=f′(x)-f′(x0)=1x+1-1x0+1=0-x(x+1)(x0+1)，∴当x∈（x1，x0）时，h′（x）＞0，从而h（x）单调递增，h（x）＞h（x1）=0；当x∈（x0，x2）时，h′（x）＜0，从而h（x）单调递减，h（x）＞h（x2）=0；故对任意x∈（x1，x2），都有f（x）＞g（x）；（Ⅲ）证明：∵λ1+λ2=1，且λ1＞0，λ2＞0，x2＞x1＞-1，∴λ1x1+λ2x2-x1=x1（λ1-1）+λ2x2=λ2（x2-x1）＞0，∴λ1x1+λ2x2＞x1，同理λ1x1+λ2x2＜x2，∴λ1x1+λ2x2∈（x1，x2）．由（Ⅱ）知对任意x∈（x1，x2），都有f（x）＞g（x），从而f（λ1x1+λ2x2）＞1)-f(x2)x1-x2(λ1x1+λ2x2-x1</s
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扫描下载二维码已知函数f（x）=ln（1+x）-mx．（Ⅰ）当m=1时，求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）求函数f（x）的极值；（Ⅲ）若函数f（x）在区间[0，e2-1]上恰有两个零点，求m的取值范围．
（I） 依题意，函数f（x）的定义域为（-1，+∞），当m=1时，f（x）=ln（1+x）-x，∴f′(x)=11+x-1…（2分）由f'（x）＜0得11+x-1＜0，即-x1+x＜0，解得x＞0或x＜-1，又∵x＞-1，∴x＞0，∴f（x）的单调递减区间为（0...
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（I）确定函数f（x）的定义域，求导函数，利用f'（x）＜0，可得f（x）的单调递减区间；（II）求导数，分类讨论，确定函数的单调性，从而可得函数f（x）的极值；（III）由（II）问可知，当m≤0时，在区间[0，e2-1]不可能恰有两个零点；当m＞0时，利用0为f（x）的一个零点，结合f（x）在[0，e2-1]恰有两个零点，建立不等式，即可求m的取值范围．
本题考点：
利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
考点点评：
本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
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高等数学1 第三章 习题答案
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