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某单位有50人，男女性别比为3：2，其中有15人未入党，如从中任选1人，则此人为男性党员的概率最大为多少?
来源：步知资讯 时间：12-05
　　某单位有50人，男女性别比为3：2，其中有15人未入党，如从中任选1人，则此人为男性党员的概率最大为多少?
　　A. 3/5
　　B. 2/3
　　C. 3/4
　　D. 5/7
　　解析： 本题综合考查统筹和概率。 解法1：根据&总人数是50人&和&男女比例为3:2&可得：男员工有50*(3/5)=30人，女员工有20人，党员人数=50-15=35人。现在要使男性党员的概率最大，就要尽可能让男员工都是党员，即30人都是党员，30&35，符合题意。所以抽到的男性党员的最大概率=30/50=3/5。答案为A。 解法2：排除法。概率=符合要求的情况数/情况总数，本题中显然，情况总数=50人，那么无论分子是多少，约分后分母肯定是50的约数，而四个选项中只有&A选项的5&符合要求，故答案为A。
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All Rights Reserved.(有分)求概率的题!要写出解题步骤,不要只写答案噢!有男女生共10人(女多于男),若从中随机选2人参加测试,其中恰为一男一女的概率为8/15,问：(1)求该组女生人数.(2)若对每人而言,每女通过概率为3/4.每男通过的概率为1/2.现对其中男甲男乙女丙3人进行测试.求通过人不少于2的概率
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女生至少为6人,设为5+N,N为正整数,则男生为5-N,随即抽取2人有9X10/2=45种情况,一男一女为（5+N）（5-N）=45X8/15=24 所以N=1,所以女生6人,男生4人.甲乙通过丙不过 为1/2X1/2X1/4=1/16 甲丙过乙不过 为1/2X3/4X1/2=3/16 乙丙过甲不过 和上一样为3/16 全过为 1/2X1/2X3/4=3/16 10/16
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& 2016届高考数学（理）总复习同步训练：第9章 概率与统计（含解析）
2016届高考数学（理）总复习同步训练：第9章 概率与统计（含解析）
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资料概述与简介
第九章　概率与统计
第1讲　计数原理与排列组合
　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．会议室第一排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为(　　)
2．(2014年大纲)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有(　　)
3．(2014年重庆)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是(　　)
B．120种　　
4．(2014年四川)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有(　　)
5．(2013年浙江)将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种．(用数字作答)
6．(2013年北京)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________种．
7．(2014年北京)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有____________种．
8．(2013年重庆)从3名骨科，4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法有________种．(用数字作答)
9．有编号分别为1,2,3,4的4个盒子和4个小球，把小球全部放入盒子．问：
(1)共有多少种放法？
(2)恰有1个空盒，有多少种放法？
(3)恰有2个盒子内不放球，有多少种放法？
10．(1)有5个人并排站成一排，如果甲必须在乙的右边，则不同的排法有多少种？
(2)现有10个保送上大学的名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，问名额分配的方法共有多少种？
第2讲　二项式定理
　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(2014年湖南)5的展开式中x2y3的系数是(　　)
2．已知n的二项展开式的各项系数之和为32，则二项展开式中x的系数为(　　)
3．若(x＋1)5＝a5(x－1)5＋…＋a1(x－1)＋a0，则a1的值为(　　)
4．(2013年新课标)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝(　　)
5．(2013年新课标1)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，
(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝(　　)
6．(2013年大纲)(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是(　　)
7．(2014年新课标)(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝________.(用数字作答)
8．(2013年浙江)设二项式5的展开式中常数项为A，则A＝________.
9．在(3 －2·)11的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为p，求pdx.
10．已知(3x－1)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|的值．
第3讲　随机事件的概率
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．从6个男生、2个女生中任取3人，则下列事件中必然事件是(　　)
A．3个都是男生
B．至少有1个男生
C．3个都是女生
D．至少有1个女生
2．对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测，数据如下：
抽取台数/台 50 100 200 300 500 1000
优等品数/台 47 92 192 285 478 954
则该厂生产的电视机是优等品的概率约为(　　)
3．抽查10件产品，设事件A：至少有2件次品，则A的对立事件为(　　)
A．至多有2件次品
B．至多有1件次品
C．至多有2件正品
D．至多有1件正品
4．(2013年安徽)若某公司从5位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用3人，这5人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为(　　)
5．(2014年新课标Ⅰ)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．
6．(2014年广东，由人教版必修3P125-例1改编)从字母a，b，c，d，e中任取两个不同的字母，则取到字母a的概率为________．
7．盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的7个球，从中任意取出2个，则这2个球的编号之积为奇数的概率是______(结果用最简分数表示)．
8．(2013年上海)盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的9个球，从中任意取出2个，则这2个球的编号之积为偶数的概率是__________(结果用最简分数表示)．
9．由经验得知：在中华商场排队等候付款的人数及其概率如下表：
排队人数 0 1 2 3 4 5人以上
概率 0.10 0.16 0.30 0.30 0.10 0.04
(1)求至少有1人排队的概率；
(2)求至多2人排队的概率；
(3)求至少2人排队的概率．
10．(2014年陕西)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
赔付金额/元 0 00 4000
车辆数/辆 500 130 100 150 120
(1)若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．
第4讲　古典概型与几何概型
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(2014年湖南)在区间[－2,3]上随机选取一个数x，则x≤1的概率为(　　)
2．(2013年新课标Ⅰ)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是(　　)
3．(2014年陕西)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为(　　)
4．(2013年四川)节日前夕，小李在家门牌号前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯再以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是(　　)
5．(2014年福建)如图X9-4-1，在边长为1的正方形中，随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为__________．
6．(2014年广东)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取7个不同的数，则这7个数的中位数是6的概率为________．
7．(2014年江苏)从1,2,3,6这4个数中一次性随机取2个数，则所取的2个数的乘积为6的概率为________．
8．如图X9-4-2，∠AOB＝60°，OA＝2，OB＝5，在线段OB上任取一点C，则△AOC为钝角三角形的概率为________．
9．(2014年山东)海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
地区 A B C
数量/件 50 150 100
(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
10．(2014年广东潮州一模)设事件A表示“关于x的方程x2＋2ax＋b2＝0有实数根”．
(1)若a，b∈{1,2,3}，求事件A发生的概率P(A)；
(2)若a，b∈[1,3]，求事件A发生的概率P(A)．
第5讲　离散型随机变量及其分布列
　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．设随机变量X等可能地取1,2,3，…，n，若P(X≥4)＝0.7，则n＝(　　)
2．随机变量ξ的概率分布规律为P(ξ＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P的值为(　　)
3．有n位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率是p(0<p3)＝0.023，则P(－3≤ξ≤3)＝(　　)
4．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ≤0)＝(　　)
5．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，a2)，P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜2)＝(　　)
6．(2015年广东广州一模)已知随机变量X服从正态分布N(2,1)．若P(1≤X≤3)＝0.6826，则P(X>3)等于______________．
7．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为______________．
8．某个部件由三个元件按图X9-7-1的方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N()，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为________．
9．某砖瓦厂生产的砖的“抗断强度”ξ服从正态分布N(30,0.82)．质检人员从该厂某天生产的1000块砖中随机地抽查1块，测得它的“抗断强度”为27.5公斤/厘米2，你认为该厂这天生产的这批砖是否合格？
10．已知某年级的一次考试成绩近似服从正态分布N(70,102)，如果规定低于60分为不及格，求：
(1)考试成绩不及格的学生占多少？
(2)成绩在80～90分之间的学生占多少？
第8讲　随机抽样
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(2013年湖南)某学校有男、女学生各500名．为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是(　　)
B．随机数法
C．系统抽样法
D．分层抽样法
2．用系统抽样法(按等距离的规则)，要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号．按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组应抽出的号码为125，则第一组中按此抽签方法确定的号码是(　　)
A．7　　　　
C．4　　　
3．(2013年湖南)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝(　　)
4．为了解参加一次知识竞赛的3204名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为80的样本，那么总体中应随机剔除的个体数目是(　　)
5．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2，…，270，使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1,2，…，270，并将整个编号依次分为10段，如果抽得号码有下列四种情况：
7,34,61,88,115,142,169,196,223,250；
5,9,100,107,111,121,180,195,200,265；
11,38,65,92,119,146,173,200,227,254；
30,57,84,111,138,165,192,219,246,270.
关于上述样本的下列结论中，正确的是(　　)
A．②、③都不能为系统抽样
B．②、④都不能为分层抽样
C．①、④都可能为系统抽样
D．①、③都可能为分层抽样
6．(2014年广东潮州一模)某学校有4000名学生，各年级男、女生人数如下表，已知在全校学生中随机抽取1名奥运火炬手，抽到高一男生的概率是0.2，现用分层抽样的方法在全校抽取100名奥运志愿者，则在高二抽取的学生人数为________.
高一 高二 高三
女生人数/名 600 y 650
男生人数/名 x z 750
7.(2013年上海)某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中，男、女生平均分数分别为75,80，则这次考试该年级学生平均分数为______．
8．(2014年天津)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为45∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．
9．(甘肃天水一中2015届高三下学期一模)某站针对2014年中国好声音歌手A，B，C三人进行上网投票，结果如下：
观众年龄 支持A 支持B 支持C
20岁以下 200 400 800
20岁以上(含20岁) 100 100 400
(1)在所有参与该活动的人中，用分层抽样的方法抽取n人，其中有6人支持A，求n的值；
(2)在支持C的人中，用分层抽样的方法抽取6人作为一个总体，从这6人中任意选取2人， 求恰有1人在20岁以下的概率．
10．调查某初中1000名学生的肥胖情况，得下表：
偏瘦 正常 肥胖
女生/人 100 173 y
男生/人 x 177 z
已知从这批学生中随机抽取1名学生，抽到偏瘦男生的概率为0.15.
(1)求x的值；
(2)若用分层抽样的方法，从这批学生中随机抽取50名，问应在肥胖学生中抽多少名？
(3)已知y≥193，z≥193，求肥胖学生中男生不少于女生的概率．
第9讲　用样本估计总体
　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分用如图X9-9-1所示的茎叶图表示，则这组数据的中位数和平均数分别是(　　)
A．91.5和91.5　　
B．91.5和92
C．91和91.5　
2．(2013年陕西)对一批产品的长度(单位：mm)进行抽样检测，如图X9-9-2所示的是检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率为(　　)
3．(2013年辽宁)某学校组织学生参加英语测试，某班的成绩的频率分布直方图如图X9-9-3，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100)，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是(　　)
4．(2013年陕西)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为(　　)
5．(2012年广东佛山质检)某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[20,45)岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图X9-9-4，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是(　　)
6．(2014年山东)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图X9-9-5是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为(　　)
7．(2013年湖北)某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4，则平均命中环数为________；命中环数的标准差为________．
8．(2013年湖北)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图如图X9-9-6.
(1)直方图中x的值为__________；
(2)在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为____________户．
9．(2014年新课标)从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：
值分组 [75,85) [85,95) [95,105) [105,115) [115,125)
频数 6 26 38 22 8
(1)在图X9-9-7基础上作出这些数据的频率分布直方图；
(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？
10．(2014年湖南)某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：
(a，b)，(a，)，(a，b)，(，b)，(，)，(a，b)，(a，b)，(a，)，(，b)，(a，)，(，)，(a，b)，(a，)，(，b)，(a，b)．
其中a，分别表示甲组研发成功和失败；b，分别表示乙组研发成功和失败．
(1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；
(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估算恰有一组研发成功的概率．
第10讲　回归分析与独立性检验
　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(2013年广东六校一模)已知x，y取值如下表：
x 0 1 4 5 6 8
y 1.3 1.8 5.6 6.1 7.4 9.3
从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且＝0.95x＋a，则a＝(　　)
2．(2014年广东潮州一模)已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本中心点为(4,5)，若解释变量的值为10，则预报变量的值约为(　　)
3．对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则不正确的说法是(　　)
A．若求得的回归方程为＝0.9x－0.3，则变量y和x之间具有正的线性相关关系
B．若这组样本数据分别是(1,1)，(2,1.5)，(4,3)，(5,4.5)，则其回归方程y＝bx＋a必过点(3,2.5)
C．若同学甲根据这组数据得到的回归模型1的残差平方和为E1＝0.8，同学乙根据这组数据得到的回归模型2的残差平方和为E2＝2.1，则模型1的拟合效果更好
D．若用相关指数来刻画回归效果，回归模型3的相关指数R＝0.32，回归模型4的相关指数R＝0.91，则模拟3的拟合效果更好
4．为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机选取了60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：
作文成绩优秀 作文成绩一般 合计
课外阅读量较大 22 10 32
课外阅读量一般 8 20 28
合计 30 30 60
由以上数据，计算得出K2＝9.643.根据临界值表，以下说法正确的是(　　)
A．没有充足的理由认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关
B．有0.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关
C．有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关
D．有99.9%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关
5．(2014年重庆)已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数＝3，＝3.5，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是(　　)
A.＝0.4x＋2.3
B.＝2x－2.4
C.＝－2x＋9.5
D.＝－0.3x＋4.4
6．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．
7．某市居民年家庭年平均收入x(单位：万元)与年平均支出y(单位：万元)的统计资料如下表所示：
收入x/万元 11.5 12.1 13 13.3 15
支出y/万元 6.8 8.8 9.8 10 12
根据统计资料，居民家庭平均收入的中位数是________，家庭年平均收入与年平均支出有________线性相关关系．
8．高三某班学生每周用于数学学习的时间(单位：时)与数学成绩(单位：分)之间有如下数据：
时间/时 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13
成绩/分 92 79 97 89 64 47 83 68 71 59
根据统计资料，该班学生每周用于数学学习的时间的中位数是________；根据上表可得回归方程的斜率为3.53，截距为13.5，若某同学每周用于数学学习的时间为18小时，则可预测该生数学成绩是________分(结果保留整数)．
9．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：
零件的个数x/个 2 3 4 5
加工的时间y/时 2.5 3 4 4.5
(1)如图X9-10-1，在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
(2)求出y关于x的线性回归方程＝bx＋a，并在坐标系中画出回归直线；
(3)试预测加工10个零件需要多少时间？
10．(2014年辽宁)某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表：
喜欢甜品 不喜欢甜品 合计
南方学生 60 20 80
北方学生 10 10 20
合计 70 30 100
(1)根据表中数据，是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”？
(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．
P(K2≥k0) 0.100 0.050 0.010
k0 2.706 3.841 6.635
第九章　概率与统计
第1讲　计数原理与排列组合
2．C　解析：选出2名男医生、1名女医生，共有CC＝75(种)不同的选法．
3．B　解析：将所有的安排方法分成两类：歌舞类节目中间不穿插相声节目，有AAA＝6×2×2＝24(种)；歌舞类节目中间穿插相声节目，有AAAA＝6×2×2×4＝96(种)．根据分类加法计数原理，共有96＋24＝120(种)不同的排法．
4．B　解析：最左端排甲，有A＝120(种)排法；最左端排乙，有4A＝96(种)排法．所以不同的排法共有216种．
5．480　解析：可以理解为有六个位置，先从中选出三个位置，则C在这三个位置的最左边位置或最右边位置，再安排A，B，最后再安排其他字母的位置．故共有排法CCAA＝480(种)．
7．36　解析：先考虑产品A与B相邻，把A，B作为一个元素有A种方法，而A，B可交换位置，所以有2A＝48(种)摆法，又当A，B相邻又满足A，C相邻，有2A＝12(种)摆法，故满足条件的摆法有48－12＝36(种)．
8．590　解析：设选x名骨科医生，y名脑外科医生，则选(5－x－y)名内科医生．有如下六种情况：
当x＝y＝1时，则有选法C·C·C＝120(种)；
当x＝1，y＝2时，则有选法C·C·C＝180(种)；
当x＝1，y＝3时，则有选法C·C·C＝60(种)；
当x＝2，y＝1时，则有选法C·C·C＝120(种)；
当x＝2，y＝2时，则有选法C·C·C＝90(种)；
当x＝3，y＝1时，则有选法C·C·C＝20(种)．
综上所述，共有选法120＋180＋60＋120＋90＋20＝590(种)．
9．解：(1)1号小球可放入任意一个盒子内，有4种放法．同理，2,3,4号小球也各有4种放法，故共有44＝256(种)放法．
(2)恰有1个空盒，则这4个盒子中只有3个盒子内有小球，且小球数只能是1,1,2.先从4个小球中任选2个放在一起，有C种放法，然后与其余2个小球看成三组，分别放入4个盒子中的3个盒子中，有A种放法．由分布计数原理知，共有CA＝144(种)不同的放法．
(3)恰有2个盒子内不放球，也就是把4个小球只放入2个盒子内，有两类放法：
①一个盒子内放1个球，另一个盒子内放3个球．先把小球分为两组，一组1个，另一组3个，有C种分法，再放到2个盒子内，有A种放法，共有CA种放法；
②2个盒子内各放2个小球．先从4个盒子中选出2个盒子，有C种选法，然后把4个小球平均分成2组，放入2个盒子内，也有C种选法，共有CC种放法．
由分类计数原理知，共有CA＋CC＝84(种)不同的放法．
10．解： (1)∵总的排法数为A＝120(种)，
∴甲在乙的右边的排法数为A＝60(种)．
(2)方法一：每个学校至少有1个名额，则分去7个，剩余3个名额分到7所学校的方法种数就是要求的分配方法种数．
分类：若3个名额分到1所学校有7种方法；
若分配到2所学校有C×2＝42(种)；
若分配到3所学校有C＝35(种)．
∴共有7＋42＋35＝84(种)方法．
方法二：10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，相当于用6块档板插在9个间隔中，共有C＝84(种)不同方法．
∴名额分配总数为84种．
第2讲　二项式定理
1．A　解析：根据二项式定理，得C2(－2y)3＝－10××23x2y3＝－20x2y3，所以展开式中x2y3的系数是－20.
2．B　3.A　4.D
5．B　解析：依题意，则C＝a，C＝b，故13C＝7C，
则13·＝7·.解得m＝6.
6．D　解析：第一个因式取x2，第二个因式取y2，得Cx2·Cy2＝168x2y2.
7.　解析：T4＝Cx7a3，x7的系数为Ca3＝120a3＝15，解得a＝.
8．－10　解析：展开式的通项为Tk＋1＝C()5－kk＝C(－1)kx，当＝0时，Tk＋1为常数项，即k＝3，则A＝T4＝C(－1)3＝－10.
9．解：(3 －2·)11的展开式共12项．其通项公式为
C(3 )11－r(－2·)r＝C311－r(－2)rx.
其中当r＝3，或r＝9时的项为有理项，则p＝.
则xdx＝＝.
10．解： Tr＋1＝C(3x)7－r·(－1)r，
系数a0，a2，a4，a6均为负数，系数a1，a3，a5，a7均为正数．
故|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|
＝－a0＋a1－a2＋a3－…－a6＋a7.
当x＝－1时，a0－a1＋a2－a3＋…＋a6－a7＝－214.
|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝214.
第3讲　随机事件的概率
1．B　2.C　3.B
4．D　解析：甲或乙被录用的概率为1－＝.
5.　解析：根据题意显然这是一个古典概型，其基本事件有A＝6种，其中2本数学书不相邻的有2种，则所求概率p＝1－＝.
6.　解析：方法一：从5个字母a，b，c，d，e中任取两个不同的字母，则取到任何字母的概率都相等，均为.
方法二：从5个字母a，b，c，d，e中任取两个不同的字母，有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共10种， 取到字母a有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，共4种，所以取到字母a的概率为＝.
7.　解析：从7个球中任意取出2个共有取法C种，2个球的编号之积为奇数的有C种取法，则其概率为＝.
8.　解析：＝.
9．解：(1)至少有1人排队的概率为p1＝1－0.10＝0.90.
(2)至多2人排队的概率为p2＝0.10＋0.16＋0.30＝0.56.
(3)至少2人排队的概率为p3＝1－(0.10＋0.16)＝0.74.
10．解：(1)设A表示事件“赔付金额为3000元”，B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12.
由于投保金额为2800元，所以赔付金额大于投保金额的概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.
(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，得样本车辆中车主为新司机的有0.1×(辆)，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为＝0.24.由频率估计概率得P(C)＝0.24.
第4讲　古典概型与几何概型
1．C　解析：在区间[－2,3]上符合x≤1的区间为[－2,1]，因为区间[－2,3]的长度为5，区间[－2,1]的长度为3，根据几何概型的概率计算公式可得p＝.
2．B　解析：从1,2,3,4中任取2个不同的数共有C＝6(种)取法，取出的2个数之差的绝对值为2的情况为1,3或2,4，则概率为＝.
3．C　解析：如图D108，从正方形4个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有C＝10(种)情形，2个点的距离不小于该正方形边长的有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6种情形，其概率为p＝＝.
4．C　解析：这是考查几何概型的知识．设这两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为第x，y秒，则满足又第一次闪亮的时刻相差不超过2秒，即|x－y|≤2，该概率问题转化为图形面积之比．通过画图及计算知，p＝1－＝.
5.　解析：由随机数的概念及几何概型，得＝＝.
6.　解析：10个数中比6小的数有6个，比6大的数有3个，要使得所选的7个数的中位数为6，则应该在比6小的数中选择3个，在比6大的数中也选择3个，因此所求事件的概率为p＝＝.
7.　解析：从1,2,3,6这4个数中一次性随机取2个数，共有C＝6(种)取法，所取两个数的乘积为6的有2种取法，因此所求概率为p＝＝.
8.　解析：若AOC为钝角三角形，又AOB＝60°，则分ACO为钝角和OAC为钝角两种情况讨论．如图D109，过A作ADOB于D，作AEOA，交OB于E.AOC为钝角三角形，则点C必须位于线段OD或BE上，OD＝OA＝1，OE＝2OA＝4，BE＝1.则AOC为钝角三角形的概率为＝.
9．解：(1)因为样本容量与总体的个数比是＝，
所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：
50×＝1(件)，150×＝3(件)，100×＝2(件)，
所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.
(2)从6件样品中随机抽取2件共有C种，
则这2件商品来自相同地区的概率为p＝＝.
10．解：(1)由关于x的方程x2＋2ax＋b2＝0有实数根，得Δ≥0.
4a2－4b2≥0，故a2≥b2.当a>0，b>0时，得a≥b.
若a，b{1,2,3}，
则总的基本事件数(即有序实数对(a，b)的个数)为3×3＝9.
事件A包含的基本事件为(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共有6个．
事件A发生的概率P(A)＝＝.
(2)若a，b[1,3]，则总的基本事件所构成的区域为
Ω＝{(a，b)|1≤a≤3,1≤b≤3}，
即如图D110所示的平面直角坐标系aOb中的正方形BCDE，其面积SΩ＝(3－1)2＝4.
事件A构成的区域是A＝{(a，b)|1≤a≤3,1≤b≤3，a≥b}，是如图D111所示的等腰直角三角形BCD，其面积SA＝×(3－1)2＝2.
故事件A发生的概率P(A)＝＝＝.
图D110　　图D111
第5讲　离散型随机变量及其分布列
1．C　2.D　3.D　4.B
5．D　解析：设取得2个球的编号之和为随机变量X，则
P(X＝15)＝××2＝，P(X＝16)＝×＝，
所以P(X≥15)＝P(X＝15)＋P(X＝16)＝＋＝.
6.　解析：设第一次抽到理科题为事件A，第二次抽到理科题为事件B，则两次都抽到理科题为事件A∩B，P(A)＝，P(A∩B)＝×＝.P(B|A)＝＝.
7．0.6　解析：p＝0.1＋0.4＋0.1＝0.6.
8．0.128　解析：由题意知，该选手恰好回答4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题答错，第三、四个问题答对，第一个问题可对可错，则1×0.2×0.8×0.8＝0.128.
9．解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，
依题意有A＝(A1B1)(A2B2)，且A1B1与A2B2互斥，
所以P(A)＝P(A1B1)＋P(A2B2)＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B2|A2)＝×＋×＝.
(2)X可能的取值为400,500,800，并且P(X＝400)＝1－－＝，P(X＝500)＝，P(X＝800)＝，
所以X的分布列为
X 400 500 800
E(X)＝400×＋500×＋800×＝506.25.
10．解：(1)利润＝产量×市场价格－成本，
X所有可能的取值为
300×6－，P(X＝800)＝0.5×0.4＝0.2；
300×10－,500×6－，
P(X＝2000)＝0.5×0.6＋0.5×0.4＝0.5；
500×10－，P(X＝4000)＝0.5×0.6＝0.3.
所以X的分布列为：
P 0.3 0.5 0.2
(2)设Ci表示事件“第i季利润不少于2000元”(i＝1,2,3)，
由题意知，C1，C2，C3相互独立，
由(1)知，P(Ci)＝P(X＝4000)＋P(X＝2000)＝0.3＋0.5
＝0.8(i＝1,2,3)，
则3季的利润均不少于2000元的概率为
P(C1C2C3)＝P(C1)P(C2)P(C3)＝0.83＝0.512；
3季中有2季利润不少于2000元的概率为
P(1C2C3)＋P(C12C3)＋P(C1C23)＝3×0.82×0.2＝0.384.
所以这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为0.512＋0.384＝0.896.
第6讲　离散型随机变量的均值与方差
1．D　2.B　3.B　4.B
5.　解析：p1＋p2＋p1＝2p1＋p2＝1，E(ξ)＝p1＋2p2＋3p1＝2(2p1＋p2)＝2，D(ξ)＝(1－2)2p1＋(2－2)2p2＋(3－2)2p1＝2p1＝，则p1＝，p2＝，p1＋p2＝.
6．2　解析：设“？”表示的数为x，“！”表示的数为y，由分布列的性质，得2x＋y＝1，E(ξ)＝x＋2y＋3x＝4x＋2y＝2.
7.　　解析：
8．(1)1　(2)　解析：(1)ξ可能取的值是0,1,2，
ξ的分布列为：
ξ的数学期望为E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1.
(2)所选3人中至少有一名女生的概率为
P(ξ≥1)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝＋＝.
9．解：(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天中有连续2天日销售量不低于100个且另1天销售量低于50个”．则P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，
P(A2)＝0.003×50＝0.15，
P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.
(2)X可能的取值为0,1,2,3，相应的概率分别为
P(X＝0)＝C·(1－0.6)3＝0.064，
P(X＝1)＝C·0.6·(1－0.6)2＝0.288，
P(X＝2)＝C·0.62·(1－0.6)＝0.432，
P(X＝3)＝C·0.63＝0.216.
X的分布列为
0.064 0.288 0.432 0.216
因为X～B(3,0.6)，所以期望E(X)＝3×0.6＝1.8，方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.
10．解：(1)当X[100,130)时，
T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000.
当X[130,150]时，
T＝500×130＝65 000.
(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150.
由直方图知需求量X[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.
(3)依题意可得T的分布列为
T 45 000 53 000 61 000 65 000
P 0.1 0.2 0.3 0.4
所以E(T)＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400.
第7讲　正态分布
3．C　解析：由随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)知，正态密度曲线关于y轴对称，而P(ξ>3)＝0.023，则P(ξ3)－P(ξ<－3)＝0.954.
5．C　解析：因为此正态曲线的图象关于直线x＝2对称，而P(ξ＜4)＝0.8，则P(ξ≥4)＝0.2，P(ξ≤0)＝0.2.所以P(0＜ξ＜2)＝0.5－0.2＝0.3.故选C.
6．0.158 7
7．0.8　解析：ξ～N(1，σ2)，因此正态分布曲线关于直线x＝1对称，则P(0<ξ<2)＝2P(0<ξ<1)＝0.8.
8.　解析：三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N()，故有三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为p＝.
超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率p1＝1－(1－p)2＝.
那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为p2＝p1×p＝.
9．解：ξ～N(30,0.82)，ξ在(30－3×0.8,30＋3×0.8)之外取值的概率只有0.003，而27.5 (27.6,32.4)．
在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件．据此可认为这批砖不合格．
10．解：(1)设学生的考试成绩为随机变量ξ，
则ξ～N(70,102)，故μ＝70，σ＝10.
因为P(60<ξ≤80)＝P(70－10<ξ≤70＋10)＝0.682 6，
故不及格的学生占×(1－0.682 6)×100%＝15.87%.
(2)因为P(80<ξ≤90)＝[P(70－20<ξ≤70＋20)－P(60乙，s3.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．
(2)从5名数学系的学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件Ω＝{(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，b3)，(a1，b1，b2)，(a1，b2，b3)，(a1，b1，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b2，b3)，(a2，b1，b3)，(b1，b2，b3)}．其中ai表示喜欢甜品的学生，i＝1,2.bj表示不喜欢甜品的学生，j＝1,2,3.
Ω由10个基本事件组成，且这些基本事件是等可能的．用事件A表示“3人中至多有1人喜欢甜品”，则A＝{(a1，b1，b2)，(a1，b2，b3)，(a1，b1，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b2，b3)，(a2，b1，b3)，(b1，b2，b3)}，事件A是由7个基本事件组成，因而P(A)＝.
专题六　概率与统计
3．50　解析：分层抽样实质为按比例抽样，所以应从一年级本科生中抽取×200＝50名学生．
4．－2　解析：展开式的通项为Tk＋1＝C(x2)5－kk＝Cakx10－3k，当k＝1时，T1＋1＝Ca1x10－3＝5ax7，则5a＝－10，故a＝－2.
5．30d2　解析：随机变量ξ取值为x1，x2，x3，…，x19的概率均为，则E(ξ)＝x1＋x2＋…＋x19＝×＝x10，D(ξ)＝[(x1－x10)2＋(x2－x10)2＋…＋(x19－x10)2]＝×2d2(92＋82＋…＋12)＝×＝30d2.
6．37　20　解析：由分组可知，抽号的间隔为5，又因为第5组抽出的号码为22，所以第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37.
40岁以下年龄段的职工数为200×0.5＝100，则应抽取的人数为×100＝20(人)．
7．9　解析：最左边两个矩形面积之和为0.10×1＋0.12×1＝0.22，总城市数为11÷0.22＝50，最右面矩形面积为0.18×1＝0.18,50×0.18＝9.
8.　解析：方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，m>n.它对应的平面区域如图D114中的阴影部分，则焦点在x轴上的椭圆的概率为p＝＝＝.
9．解：(1)由古典概型中的概率计算公式知，所求概率为
(2)X的所有可能值为1,2,3，且
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
故X的分布列为
从而E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
10．解：记A1表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i＝0,1,2.B表示事件：甲需使用设备，C表示事件：丁需使用设备，D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．
(1)因为P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(Ai)＝C×0.52，i＝0,1,2，
所以P(D)＝P(A1·B·C＋A2·B·＋A2··C＋A2·B·C)
＝P(A1·B·C)＋P(A2·B)＋P(A2·B·C)
＝P(A1)P(B)P(C)＋P(A2)P(B)P()＋P(A2)P()P(C)＋P(A2)P(B)P(C)
(2)X的可能取值为0,1,2,3,4，其分布列为
P(X＝0)＝P(·A0·)＝P()P(A0)P()＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4)＝0.06，
P(X＝1)＝P(B·A0·＋·A0·C＋·A1·)
＝P(B)P(A0)P()＋P()P(A0)P(C)＋P()P(A1)P()
＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25，
P(X＝4)＝P(A2·B·C)＝P(A2)P(B)P(C)＝0.52×0.6×0.4＝0.06，
P(X＝3)＝P(D)－P(X＝4)＝0.25，
P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38，
所以 E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＋4×P(X＝4)＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.
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