当前位置： >>
矩阵对角化方法及相关应用
摘要矩阵是高等代数中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象。 对角矩阵作为一种特殊的矩阵，在理论研究和矩阵性质推广中有重要意义。 本文尝试通过阐述对角矩阵性质及其应用， 体现对角矩阵作为一个有效工具 在矩阵理论研究中的重要地位。进而提出了矩阵对角化的一些方法，并通过实例 说明矩阵对角化方法在矩阵研究中的作用。更进一步的，介绍了矩阵对角化方法 的在其他领域可能的应用。关键词： 关键词：对角矩阵,矩阵对角化,特征值,特征向量-I-AbstractMatrix, as an important basic concept in Higher Algebra, is one of the major study of algebra. Diagonal matrix is meaningful in the theory researching and the promoting of matrix properties, for its special quality. This paper attempts to eexpound the properties of the diagonal matrix and the applications of it, to reflect the vital situation of Diagonal matrix, as a useful tools, in theory researching. Then it presentes some methods of matrix diagonalization, and examples the roles in the study of matrix diagonalization. Furthermore, it introduces the possibility applications to the method of matrix diagonalization.Keywords：Diagonal matrix, Matrix diagonalization, Eigenvalue, Eigenvector ：- II -目摘 目录要......................................................................................................................... I 录...................................................................................................................... III 1.1 课题背景........................................................................................................ 1 1.2 课题研究的目的和意义................................................................................ 3 1.3 国内外概况.................................................................................................... 3Abstract ......................................................................................................................... II 1 绪言............................................................................................................................ 12 对角矩阵.................................................................................................................... 5 2.1 对角矩阵........................................................................................................ 5 2.2 对角矩阵运算及性质.................................................................................... 5 2.3 方阵与对角矩阵相似的充要条件................................................................ 6 3 可对角化矩阵的应用................................................................................................ 7 3.1 利用特征值求解矩阵.................................................................................... 7 3.2 探究矩阵性质.............................................................................................. 10 3.3 求特殊矩阵的特征值.................................................................................. 13 3.4 可对角化矩阵在其他方面的应用.............................................................. 14 4 矩阵对角化条件...................................................................................................... 16 4.1 常用的充要条件.......................................................................................... 16 4.2 最小多项式法.............................................................................................. 16 4.3 几种特殊矩阵的对角化方法...................................................................... 17 4.4 两个矩阵同时对角化的条件...................................................................... 21 5 矩阵对角化方法的应用.......................................................................................... 23 5.1 计算 n 阶行列式.......................................................................................... 23 5.2 利用矩阵对角化求实递推式的通项.......................................................... 24 5.3 Fibonacci 数列的可对角化矩阵解法 ......................................................... 25 5.4 一种三对角矩阵的特征值及应用.............................................................. 26 6 总结与展望.............................................................................................................. 28 致 谢...................................................................................................................... 29 参考文献...................................................................................................................... 30- III -1 绪言高等代数是数学及相关专业最主要的基础课之一， 它在初等代数的基础上对 研究对象进行进一步的扩充， 并引进了许多新的概念以及与通常情况很不相同的 量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。这些量具有和数相类似的运算的 特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。 矩阵是高等代数中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象， 利用矩阵这个工具，可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量；这样对 于一个多元线性方程组的解的情况， 以及不同解之间的关系等等一系列理论上的 问题，就都可以得到彻底的解决。 根据矩阵的相似理论，一类矩阵相似意味着其有相同或者近似的性质；又由 于矩阵的对角化是矩阵论中的一个重点内容， 使得其成为解决矩阵各种问题的一 种极为有效的方法和工具，更在其他学科，如电子信息工程，量子力学等方面有 着重要的应用，为其研究提供了理论依据及方法。 随着现代科学技术的发展，特别是电子计算机的计算技术的发展，为矩阵理 论的研究进一步开辟了更加广阔的前景， 不仅在数学领域里， 而且在力学、 物理、 科技等方面都十分广泛的应用。因此学习和掌握矩阵论的基本理论与方法，对于 工程技术人员、高等理工科院校研究生、本科生是必不可少的，有着重要的意义 和应用价值。 本文尝试通过对角矩阵及其应用，以及矩阵对角化的方法及应用，体现对角 矩阵在矩阵研究中的作用；并通过实例说明可对角化矩阵的应用；更进一步的， 介绍了矩阵对角化方法的在其他领域可能的应用。1.1 课题背景代数学从高等代数总的问题出发， 又发展成为包括许多独立分支的一个大的 数学科目，比如：多项式代数、线性代数等。代数学研究的对象，也已不仅是数， 还有矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行代数运算。虽 然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。因此代 数学的内容可以概括为研究带有运算的一些集合， 在数学中把这样的一些集合叫 做代数系统，比如群、环、域等。 代数学的历史告诉我们，在研究高次方程的求解问题上，许多数学家走过了 一段颇不平坦的路途，付出了艰辛的劳动。 人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。关于三次方 程，我国在公元七世纪，也已经得到了一般的近似解法，这在唐朝数学家王孝通 所编的 《缉古算经》 就有叙述。 到了十三世纪， 宋代数学家秦九韶再他所著的 《数 书九章》这部书的“正负开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，也-1-就是说，秦九韶那时候以得到了高次方程的一般解法。在西方，直到十六世纪初 的文艺复兴时期， 才由有意大利的数学家发现一元三次方程解的公式――卡当公 式。 三次方程被解出来后，一般的四次方程很快就被意大利的费拉里(1522～ 1560)解出。这就很自然的促使数学家们继续努力寻求五次及五次以上的高次方 程的解法。遗憾的是这个问题虽然耗费了许多数学家的时间和精力，但一直持续 了长达三个多世纪，都没有解决。 到了十九世纪初，挪威的一位青年数学家阿贝尔()证明了五次或 五次以上的方程不可能有代数解。 既这些方程的根不能用方程的系数通过加、 减、 乘、除、乘方、开方这些代数运算表示出来。阿贝尔的这个证明不但比较难，而 且也没有回答每一个具体的方程是否可以用代数方法求解的问题。 后来，五次或五次以上的方程不可能有代数解的问题，由法国的一位青年数 学家伽罗华彻底解决了。伽罗华在临死前预料自己难以摆脱死亡的命运，所以曾 连夜给朋友写信， 仓促地把自己生平的数学研究心得扼要写出， 并附以论文手稿。 他在给朋友舍瓦利叶的信中说： “我在分析方面做出了一些新发现。有些是关于 方程论的；有些是关于整函数的……。公开请求雅可比或高斯，不是对这些定理 的正确性而是对这些定理的重要性发表意见。 我希望将来有人发现消除所有这些 混乱对它们是有益的。 ” 伽罗华死后，按照他的遗愿，舍瓦利叶把他的信发表在《百科评论》中。他 的论文手稿过了 14 年，才由刘维尔()编辑出版了他的部分文章，并 向数学界推荐。 随着时间的推移，伽罗华的研究成果的重要意义愈来愈为人们所认识。伽罗 华虽然十分年轻，但是他在数学史上做出的贡献，不仅是解决了几个世纪以来一 直没有解决的高次方程的代数解的问题， 更重要的是他在解决这个问题中提出了 “群”的概念，并由此发展了一整套关于群和域的理论，开辟了代数学的一个崭 新的天地，直接影响了代数学研究方法的变革。从此，代数学不再以方程理论为 中心内容，而转向对代数结构性质的研究，促进了代数学的进一步的发展。在数 学大师们的经典著作中，伽罗华的论文是最薄的，但他的数学思想却是光辉夺目 的。[1] 一次方程叫做线性方程，讨论线性方程的代数就叫做线性代数。在线性代数 中最重要的内容就是行列式和矩阵。因为行列式要求行数等于列数，排成的表总 是正方形的，通过对它的研究又发现了矩阵的理论。矩阵也是由数排成行和列的 数表，行数和列数可以相等也可以不等。 矩阵和行列式是两个完全不同的概念，行列式代表着一个数，而矩阵是作为 整体处理的数表。利用矩阵这个工具，可以把线性方程组中的系数组成向量空间-2-中的向量；这样对于一个多元线性方程组的解的情况，以及不同解之间的关系等 等一系列理论上的问题，就都可以得到彻底的解决。矩阵的应用是多方面的，不 仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用。 对角矩阵作为一种极为特殊的矩阵，有着很多性质，如： （1）对角矩阵都是对称矩阵； （2）对角矩阵是上三角矩阵及下三角矩阵； 所以，可以通过矩阵相似理论研究对角矩阵的性质来研究一类矩阵的性质，这对 矩阵性质的推广有重要意义。1.2 课题研究的目的和意义从理论上看，研究对角矩阵及矩阵对角化方法的意义是明显的。对角矩阵是 最简单的一类矩阵，研究起来非常方便。通过相似这种等价关系，对角矩阵相当 于对一类矩阵在相似意义下给出的一种简单的等价形式，这对理论分析是方便 的。相似的矩阵拥有很多相同的性质，比如特征多项式，特征根，行列式等。如 果只关心这类性质，那么相似的矩阵可以看作没有区别的。这时研究一个一般的 可对角化的矩阵，只要研究它的标准形式――一个对角矩阵就可以了。而这个过 程相当于在一个等价类中选取最顺眼的元素研究。 另外，对角化突出了矩阵的特征值与特征向量的信息。再结合正交矩阵的概 念，可以得到一些不平凡的结论，例如实对称矩阵总可以对角化等。 实践中的矩阵对角化作用也很大。由于计算机的广泛应用，基于矩阵理论的 算法在各个领域研究时产生的作用越来越大， 对角矩阵作为一个实用性极高的工 具，在各领域的研究中起到了重要的作用，如量子力学、无线电、电子信息工程 等。1.3 国内外概况在《九章算术》中矩阵形式解方程组已经相当成熟，但那时仅用它作为线性 方程组洗漱的排列形式解决实际问题，并没有建立起独立的矩阵理论。直到 18 世纪末到 19 世纪中叶，这种排列形式在线性方程组和行列式计算中应用日益广 泛，行列式的发展为矩阵的发展提供了条件和空间。矩阵的早期发展，使得矩阵 理论在内容上发展延伸，即从不同领域的研究中发展出来的有关矩阵的概念，以 及随之引起的相似、对角化和标准型的矩阵分类，还引发了西尔维斯特等人在行 列式和矩阵理论上的发展及思想，这为代数不变量理论的创立奠定了理论基础。 由于计算机的发展，更是为矩阵对角化的应用开辟了广阔的前景，它经常出 现在诸如可用于求解微分方程组，用于研究数理统计量的分布，还有用于研究集 合曲面的标准形等不同的科技领域中， 这就使得对角矩阵成为计算数学中应用及 其广泛的矩阵。-3-作为一种基本工具，有关对角矩阵的信息大多以公理的形式出现，这也是近 代数学公理化的标志之一。但是，对于矩阵可对角化的条件，以及矩阵对角化方 法应用的研究还是吸引了国内外一部分学者的目光。 矩阵可对角化的条件及更为 简单的方法也成为了可值得研究的课题； 三对角矩阵的特征值问题与其应用更是 备受关注。近几年来，随着有关三对角矩阵问题研究的深入化与透彻化，五对角 矩阵矩阵也成为学者们研究的方向。但是由于知识结构不完整，本文仅简单的介 绍了有关三对角矩阵的特征值问题，并没有涉及到五对角矩阵。-4-2 对角矩阵对角矩阵可以认为是矩阵中最简单的一种。 下面将给出对角矩阵的定义及其 特性，并通过实例加以说明。2.1 对角矩阵对角矩阵是一个主对角线之外的元素皆为 0 的矩阵。 对角线上的元素可以为 0 或其他值。因此 n 行 n 列的矩阵 A = (a i , j )n×n 若符合以下的性质：ai, j = 0 if i≠ j ?i, j ∈ { ,2,..., n} 1则矩阵 A 为对角矩阵。?1 0 0? ? a 0 0? ? ? ? ? ?1 0? ? ， (4 ) 等均为对角矩阵。 例如： ? 0 2 0 ? ， ? 0 b 0 ? ， ? ? ? ? 0 0 3? ? 0 0 0? ? 0 3? ? ? ? ?2.2 对角矩阵运算及性质对角矩阵的性质决定了其在矩阵论中的基础性与重要性， 下面通过对角矩阵 的运算与特性两方面描述对角矩阵。 2.2.1 对角矩阵的运算 对角矩阵的加法及乘法都相当简单。若以 diag (a1 , a 2 ,K , a n ) 表示一个对角线 元素依序为 a1 , a 2 ,K , a n 的对角矩阵 （1）矩阵加法为： diag (a1 , a 2 ,K , a n ) + diag (b1 , b2 ,K , bn ) = diag (a1 + b1 , a 2 + b2 ,K , a n + bn ) ， （2）矩阵乘法为： diag (a1 , a 2 ,K , a n ) ? diag (b1 , b2 ,K , bn ) = diag (a1b1 , a 2 b2 ,K , a n bn ) ， （3）对角矩阵 diag (a1 , a 2 ,K , a n ) 可逆，当且仅当 a1 , a 2 ,K , a n 均不为零。若 上述条件成立，则 diag (a1 , a 2 ,K , a n ) = diag a1 , a 2 ,K , a n?1 ?1 ?1(?1).2.2.2 对角矩阵的特性 （1）对角矩阵都是对称矩阵； （2）对角矩阵是上三角矩阵及下三角矩阵；-5-（3）单位矩阵 I n 及零矩阵恒为对角矩阵，一维矩阵也恒为对角矩阵； （4）一个对角线上元素皆相等的对角矩阵是数乘矩阵，可表示为单位矩阵 及一个系数 λ 的乘积： λI ； （5）对角矩阵 diag (a1 , a 2 ,K , a n ) 的特征值为 a1 , a 2 ,K , a n ，而其特征向量为 单位向量 e1 , e2 ,K en ； （6）对角矩阵 diag (a1 , a 2 ,K , a n ) 的行列式为 a1 , a 2 ,K , a n 的乘积。2.3 方阵与对角矩阵相似的充要条件n 阶方阵可进行对角化的充要条件是， n 阶方阵存在 n 个线性无关的特征向量。[2]推论： （1）如果 n 阶方阵有 n 阶个不同的特征值，那么矩阵必然存在相似矩阵； （2）如果 n 阶方阵存在相等的特征值，那么每个特征值的线性无关的特征 向量的个数恰好等于该特征值的重复次数。-6-可对角化矩阵的应用 3 可对角化矩阵的应用可对角化矩阵由于其自身的特殊性， 在理论研究和实际应用中有着重要的意 义，其主要体现在简化矩阵运算与探究矩阵性质等方面。下面，将从利用特征值 求解矩阵，探究矩阵性质，求解特殊矩阵以及可对角化矩阵在向量空间和线性变 换问题等方面，通过分析与举例，阐述可对角化矩阵的应用。3.1 利用特征值求解矩阵利用特征值 3.1.1 利用特征值求行列式的值[3-5] 对于具体给出的行列式，常利用行列式的性质对行列式进行恒等变形，以期 新的行列式中出现较多的零元素， 从而化为三角行列式直接写出其值或按行 （列） 展开降低行列式的阶数。求行列式的方法很多，应针对不同的行列式类型采用最 便捷的方法。计算抽象矩阵的行列式时，主要是利用行列式的性质及行列式的计 算公式。若抽象矩阵可对角化，求其行列式有简单方法。 例 3.1.设 A 是 n 阶方阵 2,4,K ,2n 是 A 的 n 个特征值， I 是 n 阶单位矩阵，计 算行列式 A ? 3I 的值。 解：已知 n 阶方阵 A 有 n 个互异的特征值，故存在可逆矩阵 P 使得 P ?1 AP = B = diag (2 , 4 , L , 2n) . 于是 A ? 3I = P ?1 A ? 3I P = P ?1 ( A ? 3I )P = P ?1 AP ? 3P ?1 P = B ? 3I= diag (? 1,1,L ,2n ? 3) = ?1 × 1 × 3 × 5 × L × (2n ? 3) .例 3.2.已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 1，-1，2，设矩阵 B = A 3 ? 5A 2 .试求：B 及 A ? 5I .解：已知 3 阶矩阵 A 有 3 个特征值 1 ， ? 1 ， 2 ，故存在可逆矩阵 P 使得P ?1 AP = Λ = diag (1 , ? 1 , 2) .于是 B = A 3 ? 5 A 2 = P ?1 A 3 P ? 5 P ?1 A 2 P = Λ3 ? 5Λ2 = diag (? 4,?6,?12 ) = ?228 ， A ? 5 I = P ?1 AP ? 5 P ?1 P = Λ ? 5 I = diag (? 4,?6,?3) = ?72 .-7-3.1.2 求方阵的高次幂 求方阵 A 的高次幂 A k （k 为正整数） ，一般来说，对其直接求解是比较困难 的。但是，如果矩阵 A 可对角化，计算 A k 是有简单方法的。? λ1 ? ? ?1 实际上，若有 P AP = B ，其中 B = ? ? ? ?λ2? ? ? ? = diag (λ1 , λ 2 ,K , λ n ) ， O ? λn ? ?即有 A = PBP ?1 ，k
?1 则 A = PBP PBP ?1 L PBP ?1 = PB P ?1 P B P ?1 P L P ?1 P BP ?1 = PB k P ?1 ， k而 Bk) ( ) = diag (λ , λ ,K , λ ) .故k 1 k 2 k n()(()() ()k ? λ1 ? ? A k = P? ? ? ?λk 2? ? ? ?1 ?P . O ? k ? λn ?（3.1）6 0? ? 4 ? ? 例 3.3.设 A = ? ? 3 ? 5 0 ? ，求 A100 . ? ? 3 ? 6 1? ? ?4?λ解： A ? λI = ? 3 由 ?3?60?5?λ 0 = ?(1 ? λ ) 2 (λ + 2) = 0 ， A 的特征值 得 ?6 1? λλ1 = λ 2 = 1 ， λ3 = ?2 .对于特征值 λ1 = λ 2 = 1 解方程组 ( A ? I ) x = 0 ，由6 0? ?1 2 0? ? x1 = ?2 x 2 ? 3 ? ? ? ? ? A ? I = ? ? 3 ? 6 0 ? → ? 0 0 0 ? ，得 ? x 2 = x 2 ， ? ? 3 ? 6 0? ?0 0 0? ?x = x 3 ? ? ? ? ? 3? x1 ? ? ? 2? ? 0? ? ? ? ? ? ? 即 ? x 2 ? = k1 ? 1 ? + k 2 ? 0 ? ， k1 ， k 2 均为任意常数） （ ?x ? ? 0 ? ?1? ? 3? ? ? ? ?-8-? ? 2? ?0? ? ? ? ? 则 λ1 = λ 2 = 1 对应的特征向量为 P1 = ? 1 ? ， P2 = ? 0 ? . ? 0 ? ?1? ? ? ? ?对于特征值 λ3 = ?2 ，解方程组 ( A + 2 I ) x = 0 ，由? x1 ? ?1? ? ? ? ? 即 ? x 2 ? = k 3 ? ? 1? ， k 3 为任意常数） （ ?x ? ? ? 1? ? 3? ? ? ?1? ? ? 则 λ3 = ?2 对应的特征向量为 P3 = ? ? 1? . ? ? 1? ? ?令 ，P?1? ?1 ?1 0? ? ? = ??1 ? 2 1? ， A = ? ?1 ? 2 0? ? ??1?1 0 0 ? ? ? P? 0 1 0 ? P ?1 = PBP ?1 ，则 ? 0 0 ? 2? ? ?A100= PB100P? ? 2 0 1 ?? 1 0 0 ?? ? 1 ? 1 0 ? ? ?? ?? ? = ? 1 0 ? 1?? 0 1 0 ?? ? 1 ? 2 1 ? ? 0 1 ? 1?? 0 0 2100 ?? ? 1 ? 2 0 ? ? ?? ?? ?? ? 2 0 2100 ?? ? 1 ? 1 0 ? ? ? 2100 + 2 ? 2101 + 2 0 ? ? ? ?? ? ? = ? 1 0 ? 2100 ?? ? 1 ? 2 1 ? = ? 2100 ? 1 2101 ? 1 0 ? . ? 0 1 ? 2100 ?? ? 1 ? 2 0 ? ? 2100 ? 1 2101 ? 2 1 ? ? ? ? ?? ?3.1.3 利用特征值和特征向量反求矩阵 已知 n 级矩阵 A 的特征值和特征向量反求矩阵 A ，若 A 可对角化，则有简单 的方法.事实上，当 n 级矩阵 A 可对角化时，存在由 A 的 n 个线性无关的特征向量 组成的可逆矩阵 P ，使得 P ?1 AP = Λ ，其中 Λ 是由 A 的所有特征值组成的对角矩 阵，则A = PΛP ?1（3.2）即为所求。 例 3.4. 已知 3 阶方阵 A 的 3 个特征值为 1 ， 1 ， 2 ，对应的特征向量为P1 = (1,2,1) ， P2 = (1,1,0 ) ， P3 = (2,0,?1) ，试求矩阵 A .T TT分析：若特征向量 P1 ， P2 ， P3 线性无关，则 3 阶方阵 A 相似于对角矩阵， 由此可求得矩阵 A .-9-?1 1 2 ? ?1 ? ? ? ? ? 解：取 P = (P1 , P2 , P3 ) = ? 2 1 0 ? ， Λ = ? 1 ?， ? 1 0 ? 1? ? 2? ? ? ? ?由 P = ?1 ≠ 0 知矩阵 A 有 3 个线性无关的特征向量，所以 P ?1 AP = Λ ，? 1 1 2 ?? 1 ?? 1 1 2 ? ? ?? ?? ? = ? 2 1 0 ?? 1 ?? 2 1 0 ? ? 1 0 ? 1?? 2 ?? 1 0 ? 1? ? ?? ?? ??1则 A = PΛP ?1? 1 1 2 ?? 1 ?? 1 ? 1 2 ? ? 3 ? 2 2 ? ? ? ?? ?? ? ? = ? 2 1 0 ?? 1 1 0? . ?? ? 2 3 ? 4 ? = ? 0 ? 1 0 ? 1?? 2 ?? 1 ? 1 1 ? ? ? 1 1 0 ? ? ?? ?? ? ? ?例 3.5.设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值为 λ1 = ?1 ， λ 2 = λ3 = 1 ，对应于 λ1 的特 征向量为 P1 = (0,1,1) ，求矩阵 A .T分析：实对称矩阵 A 是可对角化的，为得到变换矩阵 P ，还须求出对应于λ2 = λ3 = 1 的两个线性无关的特征向量，这可利用实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交这一性质。 解：设对应于 λ 2 = λ3 = 1 特征向量为 P = ( x1 , x 2 , x3 ) ，它应与特征向量 P1 正T交， 0 ? x1 + x 2 + x3 = 0 ， 即 该齐次方程组的基础解系为 P2 = (1,0,0 ) ， 2 = (0,1,?1) ， PT T它们即是对应于 λ 2 = λ3 = 1 的特征向量。?0 1 0 ? ? ?1 0 0? ? ? ? ? ?1 取 P = (P1 , P2 , P3 ) = ? 1 0 1 ? ， Λ = ? 0 1 0 ? ，则 P AP = Λ . ? 1 0 ? 1? ? 0 0 1? ? ? ? ?于是 A = PΛP ?1? 0 1 0 ?? ? 1 0 0 ?? 0 1 0 ? ? ?? ?? ? = ? 1 0 1 ?? 0 1 0 ?? 1 0 1 ? ? 1 0 ? 1?? 0 0 1 ?? 1 0 ? 1? ? ?? ?? ??11 0? ? 0 1 0 ?? ? 1 0 0 ?? 0 1 ?1 0 2 2 ? ? ? ? ?? ?? ? = ? 1 0 1 ?? 0 1 0 ?? 1 0 0 ? = ? 0 0 ? 1? . ? 1 0 ? 1?? 0 0 1 ?? 0 1 ? 1 ? ? 0 ? 1 0 ? ? ?? ?? ? ? 2 2?3.2 探究矩阵性质本节将从如下两个方面阐述对角矩阵在探究矩阵性质时的应用：- 10 -（1）判断矩阵是否相似； （2）讨论幂等矩阵的秩与迹的关系。 矩阵的 3.2.1 矩阵的相似 已知 n 级矩阵 A 和 B ，存在可逆矩阵 P 使得 P ?1 AP = B ，则 A 与 B 相似，记 为 A~B . 例 3.6.设 n 级方阵 A 的 n 个特征值互异，又设 n 级方阵 B 与 A 有相同的特征 值，求证： A ~ B . 证明：因 n 级方阵 A 的 n 个特征值互异，设为 λ1 , λ 2 ,K λ n ，于是存在可逆矩 阵 P1 ，使得P1?1 AP1 = diag (λ1 , λ 2 , L , λ n ) .又 λ1 , λ 2 ,K λ n 也是 B 的特征值，从而有可逆矩阵 P2 ，使得P2?1 BP2 = diag (λ1 , λ 2 , L , λ n ) .因 此 P1?1 AP1 = P2?1 BP2 ， 即 P2 P1?1 AP1 P2?1 = B ， 令 P = P1 P2?1 ， 则 P 可 逆 且P ?1 AP = B ，故 A ~ B .注：当 n 级方阵 A 与 B 有相同的特征值（不一定互异） ，且均可相似于对角 矩阵，必有 A ~ B .这在判断两个具体的方阵是否相似时，经常使用。 例 3.7.判断下列两矩阵 A ， B 是否相似， ?1 ? ?1 A=? M ? ?1 ?1 L 1? ? n 0 L 0? ? ? ? 1 L 1? ? 1 0 L 0? ，B =? . M M? M M M? ? ? ? ? 1 0 L 0? 1 L 1? ? ? ?证明：因 A ? λI = (n ? λ )(?λ ) n?1 ， A 的特征值为 λ1 = n ， λ 2 = L = λ n = 0 ， 又 A 是实对称矩阵，存在可逆矩阵 P1 使得 P1?1 AP1 = Λ = diag (n , 0 , L , 0) .还可求 得 B ? λI = (n ? λ )(?λ ) n ?1 ， 即 B 与 A 有 相 同 的 特 征 值 。 则 其 对 应 的 特 征 值λ 2 = L = λ n = 0 有 n ? 1 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量 ， 故 存 在 可 逆 矩 阵 P2 使 得P2?1 BP2 = Λ ，从而 P1?1 AP1 = P2?1 BP2 ，即 P2 P1?1 AP1 P2?1 = B ，故 A ~ B .- 11 -3.2.2 幂等矩阵的秩与迹的关系 为了便于下文理解，首先给出如下定义[2]： （1）如果 A 2 = A ，则方阵 A 称为幂等矩阵。 （2）向量组的极大线性无关组所含向量的个数成为这个向量组的秩；矩阵 A 的 行秩（矩阵 A 的行向量组的秩）与列秩（矩阵 A 的列向量组的秩）统称为矩阵 A 的秩。 （3）设 A 是一个 n 阶矩阵， A 的对角线元素之和为 A 的迹，记做 tr ( A) ：tr ( A) = ∑ Aii , (i = 1,2,K , n ) .i（3.3）（4）从一般意义上讲，矩阵的相似标准形就是一种与 n 阶方阵相似的并且具有 某种特殊形状的矩阵。矩阵与其相似标准型有相同的性质。 由于矩阵的秩与迹都是相似关系下的不变量， 因此我们可以先求出幂等矩阵A 的相似标准形 D ，从 D 容易看出它的秩与迹有什么关系，进而了解 A 的秩与迹的关系。 例 3.8.证明：数域 K 上的幂等矩阵一定可对角化，并且它的相似标准形是diag (Ir , 0) ，其中 r 是该幂等矩阵的秩。证明：设 A 是数域 K 上的一个 n 级幂等矩阵，它的秩为 r . 如果 r = 0 ，则A = 0 ，结论显然成立。如果 r = n ，则 A 可逆，从而由 A 2 = A 得 A = I ，结论也成立。下面设 0 & r & n . 设 λ 0 是 A 的一个特征值，则有 K n 中非零列向量 α ，使得 Aα = λ 0α ，两边左 乘 A 得： A 2α = λ 0 Aα ，由此得出 Aα = λ2α ，即 λ 0α = λ2α ，亦即 λ 0 (λ 0 ? 1)α = 0 . 0 0 由于 α ≠ 0 ，因此， λ 0 = 0 或 λ0 = 1 . 因 此 0I ? A = ? A = 0 ， 所 以 0 是 A 的 一 个 特 征 值 。 齐 次 线 性 方 程 组(0 I ? A) x = 0 的解空间的维数为：n ? rank (? A) = n ? rank ( A) = n ? r .（3.4）因为 A 2 = A ，所以 A( I ? A) = 0 ，于是rank ( A) + rank ( I ? A) ≤ n .（3.5）又有 n = rank ( I ) = rank ( A + ( I ? A)) ≤ rank ( A) + rank ( I ? A) ，- 12 -因此得到 rank ( A) + rank ( I ? A) = n ， 从而得到 rank ( I ? A) = n ? rank ( A) = n ? r ， 由于 r & 0 ，所以 rank ( I ? A) = n ? r & n ，从而 I ? A = 0 .由此得出，1 是 A 的 一个特征值。齐次线性方程组 ( I ? A) x = 0 的解空间的维数等于n ? rank ( I ? A) = n ? (n ? r ) = r .（3.6）综上述， A 的属于不同特征值的特征子空间的维数之和等于 (n ? r ) + r = n ， 因此 A 可对角化。 A 的相似标准形中，特征值 1 在主对角线上出现的次数等于相 应的特征子空间的维数 r ，特征值 0 在主对角线上出现的次数等于相应的特征子 空间的维数 n ? r .于是 A 的相似标准形为 diag ( Ir , 0) . 例 3.9.证明：数域 K 上的幂等距阵的秩等于它的迹。 证明：设 A 是数域 K 上的一个 n 级幂等矩阵，它的秩为 r . 如果 r = 0 ，则rank ( A) = 0 = Tr ( A) ，Tr ( A) 表示矩阵 A 的迹，即主对角线元素之和。如果 r = n ，则 A = I .从而 rank ( A) = n = Tr ( A) .下面设 0 & r & n .由例 11， 相似于 diag ( Ir , 0) . A 于是 rank ( A) = r = Tr (diag ( Ir , 0)) = Tr ( A) . 结论： 求数域 K 上幂等距阵 A 的秩有简单方法， 即把 A 的主对角元相加即得rank ( A) .3.3 求特殊矩阵的特征值例 3.10.设 A 为 n 阶实对称矩阵，且 A 2 = 2 A ，又 r ( A) = r & n ， 求（1） A 的全部特征值； 2）行列式 E ? A 的值。 （ 解： 1）设 λ 为 A 的任意特征值， ξ 为 A 的对应于特征值 λ 的特征向量，所 （ 以 Aλ = λξ ，有 A 2 λ = Aλξ = λ2ξ ，又因为 A 2 = 2 A ，所以 A 2 λ = 2 Aλ = 2λξ ，所 以 λ2 = 2λ ，由此可得 λ = 2或0 ，因为 A 是实对称矩阵，所以 A 必能对角化- 13 -?2 ? ? ? 0 ? ? ? ? 2 ? ，且 r ( A) = r (B ) ，故 2 的个数为 A 的秩数， 即 A~B = ? 0 ? ? ? ? 0 ? ? ? 0? ? ? 即 A 的特征值为 r 个 2 及 (n ? r ) 个 0 . （2）因为有（1）可得 A ~ B ，即存在可逆矩阵 C ，使得 C ?1 AC = B ，故有A = CBC ?1 ，E ? A = E ? CBC ?1 = CEC ?1 ? CBC ?1 = C E ? B C ?1 = E ? B ?10=?11 0 1= (? 1) .γ3.4 可对角化矩阵在其他方面的应用3.4.1 在向量空间中的应用 例 3.11. 设 V 是 n 维列向量空间， A 是 n 阶复矩阵， α 是任一复数，令W1 = {(aE ? A)β β ∈ V } ， W2 = {β ∈ V (aE ? A)β = 0}，则若 A 相似与对角阵，有 W1 IW2 = {0}.证 明 ： 对 任 意 X 0 ∈ W1 IW2 ， 有 X 0 = (aE ? A)β 和 (aE ? A) X 0 = 0 ， 所 以(aE ? A)2 β = 0 .又因为 A 相似于对角阵，(aE ? A) X 0 = 0 与 (aE ? A) β = 0 的解空间相同，所2以 0 = (aE ? A) β 和 0 = (aE ? A)β = X 0 ，所以 W1 IW2 = {0}.23.4.2 在线性变化中的应用 例 3.12.设 P[X ]n (n & 1) 为数域 P 上次数小于 n 的多项式及零多项式的全体，- 14 -则微分变换 τ ，在 P[X ]n 的任何一组基下的矩阵都不是对角阵。 证 明 ： 取 P[X ]n 的 一 组 基 1, x,x2 x n ?1 ，则 τ 在这组基下的矩阵为 , Λ, (n ? 1)! 2!? 0 E n ?1 ? ? ? ，所以 λE ? A = λn ，若 τ 在某一组基下的矩阵 B 为对角矩阵，由 A ~ B ?0 0 ? ? ? 只 A 可对角化，存在可逆矩阵 T 使得 T ?1 AT = B ，所以 A = TBT ?1 ，由 τ 的特征值 全为 0 知 B = 0 ，所以 A = 0 ，而这是不可能的。所以微分变换 τ 在 P[X ]n 的任何 一组基下的矩阵都不是对角阵。- 15 -矩阵对角化 对角化条件 4 矩阵对角化条件矩阵对角化是高等代数中非常重要的内容之一， 同时也是实际工程中应用最 为广泛的工具。除了一些线性变换的矩阵在其某组适当的基下可以是对角矩阵 外， 还有很多特殊的矩阵在一些充分 （或充要） 条件， 可以使矩阵成为对角矩阵。 本节将用实例或者证明，介绍一些常用的矩阵对角化条件和方法。4.1 常用的充要条件矩阵可对角化问题已经经过长时间的研究，其中有一些常见的充要条件，并 不需要特殊说明，所以仅在这里简单说明： （1） A 可对角化当且仅当 A 有 n 个线性无关的特征向量； （2） A 可对角化当且仅当特征子空间维数之和为 n ； （3） A 可对角化当且仅当 A 的初等因子是一次的； （4） A 可对角化当且仅当 A 的最小多项式 m A (λ ) 无重根。[2-5]4.2 最小多项式法通常情况下，对于一个 n 阶矩阵能否对角化一般是考虑它是否有 n 个线性无 关的特征向量，往往比较复杂。这里将利用最小多项式给出一个矩阵可对角化的 另一个充要条件，希望达到更加简洁、实用的目的。 首先，给出一条已知结论：n 阶矩阵 A 是其特征多项式的根,即有： f A ( A) = 0 .由此对任何矩阵 A 至少存在一个非零的多项式 f (λ ) 使 f A ( A) = 0 ，我们把凡 具有这种性质的多项式，叫 A 的零化多项式，显然 A 的零化多项式不只一个，如f (λ ) 的任一倍式 g (λ ) f (λ ) ，都是 A 的零化多项式。现定义，在在 n 阶矩阵 A 的零化多项式中, 次数最低且首项系数为 1 的多项 式，叫 A 的最小多项式，记为 m A (λ ) . 下面给出零化多项式与最小多项式的关系：[6] （1） f (λ ) 是 n 阶 矩 阵 A 的 零 化 多 项 式 ， m A (λ ) 是 A 的 最 小 多 项 式 ， 则m A (λ ) f (λ ) ，特别的 m A (λ ) f A (λ ) ；（2）设 A 是一个 n 阶矩阵， d (λ ) 是 (λE ? A) 中所有元素的最大公因式，则有m A (λ ) = f A (λ ) ； d (λ )- 16 -（3） n 阶矩阵 A 可对角化 ? A 的最小多项式无重跟。 例 4.1 设 A k = E , k = 1,2,K ，则 A 与对角矩阵相似。 证：由 A k = E ，知 A 为多项式 f (λ ) = λk ? 1 的零点，即 f ( A) = 0 。因 A 的最 小多项式 m A (λ ) f (λ ) ，而 f (λ ) 没有重根，所以 m A (λ ) 没有重根，故由上（3）知：A 与对角矩阵相似。4.3 几种特殊矩阵的对角化方法4.3.1 幂等矩阵对角化方法 设 A 是数域 F 上的 n 阶矩阵，如果 A 2 = A ，则称 A 为幂等矩阵。 如果 A ， B 分别是 s × n ， n × m 矩阵，若 AB = 0 ，则 rank ( A) + rank (B ) ≤ n . 由此可以得到如下结论： （1）如果 n 阶矩阵 A 是幂等矩阵，则 rank ( A) + rank (I ? A) = n ； （2）幂等矩阵的特征值为 0 或 1； ?I （3） n 阶幂等矩阵 A 一定可以对角化，并且 A 的相似标准型是 ? r ?0 ?r = rank ( A) ， I r 是 r 阶单位矩阵，并约定 I 0 = 0 . 0? ? ，其中 0? ?4.3.2 对合矩阵的对角化方法 如果 A 2 = I （ I 表示单位矩阵） ，则称 A 为对合矩阵。 对 n 阶对合矩阵 A ，有如下结论： （1）如果 n 阶矩阵 A 是对合矩阵，则 rank (I ? A) + rank (I + A) = n ； （2）对合矩阵的特征值为 1 或-1；?I （3） n 阶对合矩阵 A 一定可以对角化，并且 A 的相似形为 ? r ?0 ? r = rank (I + A) . 0 ? ? ，其中 ? I n ?r ? ?行和相等矩阵对角化方法 4.3.3 行和相等矩阵对角化方法 下面给出各行的行和均相等的实对称矩阵 A 对角化的一种简便方法。 首先给- 17 -出三条引理： （1） AI = IA = tI 的充要条件是 n 阶实对称矩阵 A 的每一行的行和与每一列的列 和均为 t ，其中 I 为 n 阶全 1 矩阵； （2）设 B1 ， B2 是两个 n 阶实对称矩阵，且 B1 B2 = B2 B1 ，则存在正交矩阵 Q ，使 得 Q T B1Q = diag (λ1 , λ 2 ,K λ n ) ， Q T B2 Q = diag (?1 , ? 2 ,K ? n ) ； （3）若 AI = tI ，则 A 必有一特征值为 t ，且对应于该特征值的特征向量为 I 的 对应于非零特征值的特征向量。 那么，我们可以得到如下的对角化方法： 设 A 为各行的行和均为 t 的 n 阶实对称矩阵，I 为 n 阶全 1 矩阵， 由引理 1） （ ，AI = tI .容易求出 I 的特征值为 n 和 0 ，其中 0 为 n ? 1 重， I 的特征向量构成的列正交矩阵为 ? ? ? ? ? ? ? P=? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1 1 1 2 1 2L L?10?1M0 01 n?2 1 n?2 1 n?2M1 1M0 0M L L?101 ? ? n ?1 ? 1 ? n ?1 ? 1 ? ? n ?1 ? . M ? ? 1 ? ? n ?1 ? ?1 ? ? ?（4.1）? ? 将 P 每一列单位化， 得正交矩阵 Q ， Q T IQ = diag ? n, 04,K ,0 ? ， 使 ,02 3 由引理 3） （ ， ? 1 4 ? n ?1个 ? ??t Q T AQ = ? ? ? ? ?， A1 ? ?（4.2）其中 A1 为 n ? 1 阶实对称阵，对应于 t 的单位特征向量为 I 的对应于非零特征 值 n 的单位特征向量? 1 1 1 ? ? , ,K ? . ? ? n? ? n nT（4.3）从而得到 A 的对角化步骤如下： （1）根据 A 的阶数，写出 P ，再将其正交化得 Q ； （2）求出 Q T AQ ；- 18 -由引理（2） ，若 Q T AQ 是对角阵，则 Q 就是将 A 对角化的正交矩阵。 4.3.4 实对称矩阵对角化的一种简化方法 设 A 是实对称矩阵，求正交矩阵 T 使 T ?1 AT = diag (λ1 , λ 2 ,K , λ n ) 的问题，一 般方法可简述为： （1）求特征值； （2）求对应的特征向量； （3）将特征向量正交标准化； （4）写出 T 及 T ?1 AT = diag (λ1 , λ 2 ,K , λ n ) . 但是在特征值出现重跟的情况下，需用 Schmidt 正交方法求正交特征向量， 计算较为复杂。现利用向量内积构造齐次线性方程组，求出每个特征值对应的特 征向量，从而求出正交矩阵 T . 首先给出四条引理： （1）设 A 是实对称矩阵，则 A 的特征值都是实数，且 A 的不同特征值的特征向 量相互正交； （2）设 A 是实对称矩阵，则 A 一定相似于对角矩阵，且存在正交矩阵 T 有T ?1 AT = T T AT = diag (λ1 , λ 2 ,K , λ n ) ；（3）设 A 是实对称矩阵，λ 是 A 的 k 重特征值，则对应于特征值 λ ， A 有 k 个线 性无关的特征向量； （4）设 A ∈ C n×n ，λ1 , λ 2 ,K λ k 为 A 的所有互不相同的特征值，若 A 可对角化，则∏ (λ E ? A) 的列向量为矩阵 A 对应于特征值 λ 的特征向量，且列向量组的极大i =1 j ≠i i ik无关组是特征向量空间的一个基。 那么， 定理 关于实对称矩阵 A ，有特征值 λ1 ，λ 2 (n ? 1重 ) ；β1 , α 2 , α 3 ,K , α n 对应于特征值 λ1 , λ 2 的特征向量，记 L(β 1 ) 是由 β1 生成的向量空间， L(α 2 , α 3 ,Kα n ) 是由α 2 , α 3 ,K , α n 生成的向量空间。（1） L(β1 ) + L(α 2 , α 3 ,K , α n ) = L(β1 , α 2 , α 3 ,K , α n ) ，- 19 -（2）设 X = ( x1 , x 2 ,K x n ) ， β l = (β 1l , β 2l ,K β nl ) ，TT令 β 2 = α 2 = (β12 , β 22 ,K β n2 ) ，T则满足 (β 1 , X ) = 0 ， (β 2 , X ) = 0 ，…， (β l ?1 , X ) = 0 ， (l = 3,4,K , n ) 的 β l ，即线性1 1 ? β 11 x1 + β 2 x 2 L + β n x n = 0 ? 2 2 2 ? β x + β 2 x2 L + β n xn = 0 方程组 ? 1 1 的解， M ? l l ?β1l ?1 x1 + β 2?1 x 2 L + β n?1 x n = 0 ?其中 β l ∈ L(α 2 , α 3 ,K , α n ) ， β l = (β 1l , β 2l ,K β nl ) 是对应于特征值 λ 2 的特征向量。 且T这样 β 3 ， β 4 ，…， β n 与 β 2 是 L(α 2 , α 3 ,Kα n ) 的一组正交基。 该定理由上述四条引理可以证明。[7] 现通过实例说明其应用： ? ? 1 ? 3 3 ? 3? ? ? ?? 3 ?1 ? 3 3 ? ?1 例 4.2 设 A = ? ? ，求 T ，使 T AT = diag (λ1 , λ 2 , λ3 , λ 4 ) ，其 3 ? 3 ?1 ? 3 ? ? ? ? 3 3 ? 3 ? 1? ? ? 中 λ1 , λ 2 , λ3 , λ 4 是特征值。 解：由 λE ? A = (λ ? 8)(λ + 4 ) = 0 ，得特征值 λ1 = ?4(三重 ) ， λ 2 = 8 .3因为 A 是实对称矩阵，由（ 2 ）可知 A 一定可以对角化。 A 的最小多项式3 ?3 3 ? ? 9 ? ? 9 3 ? 3? ? 3 ，可得对应于特 m A (λ ) = (λ + 4 )(λ ? 8) ，由（ 4）及 8 E ? A = ? ?3 3 9 3 ? ? ? ? 3 ?3 3 9 ? ? ?征值 λ1 = ?4 的特征向量 α 2 = (3,9,3,?3) ， α 3 = (? 3,3,9,3) ， α 4 = (3,?3,3,9 ) .T T T?? 3 3 ? 3 3 ? ? ? ? 3 ? 3 3 ? 3? 又由 ? 4 E ? A = ? ，可得对应于特征值 λ 2 = 8 的特征向量 ?3 3 ?3 3 ? ? ? ? 3 ? 3 3 ? 3? ? ?为 β1 = (? 3,3,?3,3) ， 令 β 2 = α 2 = (3,9,3,?3) ； 由 定 理 可 得 β 3 = (0,0,1,1) ，T T Tβ 4 = (? 2,0,1,?1)T .- 20 -标准化 β1 ， β 2 ， β 3 ， β 4 ，可得1 1 ? ? ?1 1 ?1 1 ? ? ′ , , , , ? ， β 2 = ? 0,0, ? ， β ′1 = ? 4 4 4? 2 2? ? 4 ???2 3 1 ?1 ? 1 ?1 ? ? 1 ′ β 3′ = ? ,0, , ? ， β4 = ? , , , ? . ? ? 6 6? ? 12 12 12 12 ? ? 6T TTT从而得正交矩阵? ?1 ? ? 4 ? 1 ? T =? 4 ? ?1 ? 4 ? 1 ? ? 40 0 1 2 1 2?26 0 1 6 ?1 61 ? ? 12 ? 3 ? 12 ? . ? 1 ? 12 ? ?1 ? ? 12 ?可以验证 T ?1 AT = T T AT = diag (8,?4,?4,?4 ) .4.4 两个矩阵同时对角化的条件下面将介绍两个矩阵同时对角化的几个充要条件。[8] 定义 设 A ， B 是数域 F 上两个 n 阶矩阵，若存在 n 阶可逆矩阵 P ，使 P ?1 AP ，P ?1 BP 同时为对角矩阵， 则称 A ，B 可同时相似对角化。 若存在 n 阶可逆矩阵 P ，~ ~ ~ 则称 A ，B 可同时合同对角化， 其中 P 为 P 的 使得 P AP ，P BP 同时为对角矩阵，共轭转置。 定理 1 设两个 n 阶矩阵 A ， B 都可相似对角化，那么 A ， B 同时相似对角化的充 要条件是 A ， B 可交换。 若 n 阶矩阵 A 可对角化，则 A 的伴随矩阵与 A 可同时相似对角化。 定理 2 对一般的正规矩阵，则有：~ ~ （1）若 A ， B 是两个 n 阶正规矩阵，则存在酉矩阵 U ，使得 UAU 与 UBU 同时为对角矩阵的充要条件是 AB = BA . （2）若 A ， B 为同阶 Hermite 阵，则存在酉阵 U ，使得 U ? AU 与 U ? BU 为对角 阵，当且仅当 AB = BA . （3）若 A ， B 为同阶实对称阵，则存在正交阵 P ，使得 P T AP 与 P T BP 同为对角 阵，当且仅当 AB = BA .- 21 -定理 3 对于两个 Hermite 矩阵可同时对角化还有下列判别条件：设 A ， B 为两个~ ~ n 阶 Hermite 矩阵，且 B & 0 ，则存在可逆矩阵 P 使得 A = P DP ， B = P P .即 A ， B 可同时合同对角化， 其中 D = diag (λ1 ,K , λ n ) ， i , (i = 1,2,K n ) 为 AB ?1 的特征值。 λ ~ 定理 4 设 A ， B 为两个 n 阶 Hermite 阵，且 A 可逆，则存在可逆阵 P 使得 P AP 与 ~ P BP 同时为对角阵的充要条件为 A ?1 B 相似于对角阵，且它的特征值都是实数。~ ~ 且不存在非零向量 X ， 使得 XAX = XBX = 0 ， 定理 5 设 A ，B 为两个 n 阶复方阵， ~ ~ 则存在可逆阵 P ，使得 P AP 与 P BP 为上三角矩阵。若 A ，B 为 n 阶 Hermite 阵， 且不存在非零向量 X ， 使得 X ? AX = X ? BX = 0 ，~ ~ 则存在可逆矩阵 P ，使得 P AP 与 P BP 都为对角阵。 ~ ~ B 则存在可逆复方阵 P ， 使得 P AP 与 P BP 定理 6 设 A ， 为 n 阶半正定 Hermite 阵，都为对角阵。~ ~ 若 A ， B 为 n 阶半正定实对称阵，则存在实可逆矩阵 P 使得 P AP 与 P BP 都为对角阵。- 22 -5 矩阵对角化方法的应用上面几节比较详细的介绍了可对角化矩阵的应用及矩阵对角化方法， 这些方 法不仅在其本身值得深入研究，在其他问题或其他学科的研究中，也发挥了重要 的作用。5.1 计算 n 阶行列式n 阶行列式在通常情况下是不容易求解的。然而，我们所能遇到的大多数 n阶行列式，其元素排列顺序通常是有规律的，如递推、循环等。下面，将利用矩 阵对角化方法来求解 n 阶三对角矩阵的行列式。 2 cos α 1 0KDn =1 2 cos α 1K0 1 2 cos αK0 0 1 0 0K K K K K0 0 0 1 00 0 0K0 0 0KK K K(sin α ≠ 0)0 00 00 02 cos α 11 2 cos α解：按第一列展开得 Dn = 2 Dn ?1 cos α ? Dn ? 2 ，? D ? ? 2 cos α 改写成矩阵形式 ? n ? = ? ?D ? ? 1 ? n?1 ? ? ? 1?? Dn ?1 ? ?， ?? 0 ?? Dn ? 2 ? ?? ?? 2 cos α 记A=? ? 1 ?? 1? ? D ? ? ，则 ? n ? = ? ?D ? 0? ? n?1 ??D ? ?D ? A? n ?1 ? = L = A n ? 2 ? 2 ? ?D ? ?D ? ? 1? ? n? 2 ?(n ≥ 2) .由 λE ? A = 0 求 得 特 征 值 为 λ1 = e iα ， λ 2 = e ? iα ； 相 应 的 特 征 向 量 为X 1 = e iα ,1 ， X 2 = e ?iα ,1 .T T()()取 X = (X1 ? e iα (n ? 2 ) ? Dn ? ? ? = X? ?D ? ? 0 ? n?1 ? ? 故得 Dn =? e iα X2)= ? ? 1 ?0? e iα e ? iα ? ? ， 则 A = X? ? 0 1 ? ? ?0 ? ?1 ?X ， 从 而 有 e ? ??iα? ?1 ? 4 cos 2 α ? 1? ?X ? ? ? 2 cos α ? ， e ?iα ( n ? 2 ) ? ? ? ?sin (n + 1)α (sin α ≠ 0) . sin α- 23 -5.2 利用矩阵对角化求实递推式的通项通常情况下，求形如 x n = px n ?1 + qx n ? 2 ( p 2 + 4q ≥ 0 ) 的通项公式是通过特征根 的方法。现在，由矩阵对角化方法，使其与对角阵相似。通过矩阵理论求形如递 推式“ x n = a1 x n ?1 + a 2 x n ?2 + L + a k x n ?k (a1 ∈ R, ai ≠ 0, i = 1,2,K , k ) ”的通项公式。 原理如下： x n = a1 x n ?1 + a 2 x n ?2 + L + a k x n ?k (a1 ∈ R, ai ≠ 0, i = 1,2,K , k ) 由于x n = (a1 M x n ? k +1 = (0 0 L 1 0 )( x n ?1 xn?2 L xn? k ) ak ? ? ? x n?1 ? ? 0? ? ? ? ? xn?2 ? . 0 ? ? M ? ? ? M ? ? xn?k ? ? ? ? 0?T（5.1）x n ?1 = (1 0 L 0 0 )( x n ?1a 2 L a k ?1a k )( x n ?1xn?2 L xn?k )x n? 2 L xn ?k )TT，（5.2）? a1 ? xn ? ? ? ? ?1 ? x n ?1 ? ? 故? = 0 M ? ? ? ? ?M ?x ? ? n ? k +1 ? ? 0 ? ? a1 ? ?1 记A=?0 ? ?M ? ?00 1 M 0a 2 L a k ?1 0 1 M 0 L L O L L L O L 0 0 M 1 0 0 M 1（5.3）a 2 L a k ?1ak ? ? 0? 0 ? ，若 A 可以对角化，由 A 的特征方程 ? M ? ? 0?λE ? A = 0 ，得其特征值 λ1 , λ2 ,K , λk ， λ1 , λ2 ,K , λk 有重跟） （ ，然后再求出与 λi（ i = 1,2,K , k ）对应的特征向量， xi (i = 1,2,K , k ) . 那么A = XPX ?1 ，（5.4）? λ1 ? ? 其中 P = ? ? ? ? ?λ2Oλ k ?1? ? ? ?. ? ? λk ? ?X 由与 λi （ i = 1,2,K , k ）对应的列向量 X i 构成的矩阵。于是- 24 -An?k? xn ? ? xk ? ? ? ? ? ? x n?1 ? ? x k ?1 ? = XP n ? p X ?1 ，通过 ? = XP n ? k X ?1 ? ? ， x1 , x 2 ,K , x k ，已知便可以求 M ? M ? ? ? ? ? ? x ? ?x ? ? 1 ? ? n ? k +1 ?出 x n .这样就求出了 x n = ax n ?1 + bx n ? 2 (a 2 + 4b ≥ 0, a, b ≠ 0 )（已知 x1 ， x 2 ）的通项。 结论：形如 x n = ax n ?1 + bx n ? 2 (a 2 + 4b ≥ 0, a, b ≠ 0 )（已知 x1 ， x 2 ）的递推式，?a? （1）若 a + 4b = 0 ，则通项 x n = (n ? 1)? ? ?2?22 （2）若 a + 4b & 0 ，n?2?a? x 2 ? (n ? 2 )? ? ?2?n ?1x1 ，则通项 x n =1 a + 4b2(λn ?1 1? λn ?1 x 2 + 2)b a + 4b2(λn?2 1? λn ? 2 x1 ， 2)（5.5）其中λ1 =a + a 2 + 4b a ? a 2 + 4b [9] ， λ2 = . 2 25.3 Fibonacci 数列的可对角化矩阵解法Fibonacci 数和 Fibonacci 数列是最著名，应用最广泛的数和列之一。Lucas序列、数论函数或更广的（线性）逆归序列均是由 Fibonacci 数列通项的递推公 式推广而来。一般而言，Fibonacci 数列的通项可由（线性）差分方程的解得到， 也可在不涉及差分方程的情况下由发生级数（生成序列或称母函数）法求得。下 面给出的是 Fibonacci 数列通项的对角矩阵求解法，以期将矩阵应用于微积分学 之中。Fibonacci 数列 {Fn } 是指由递推公式 Fn + 2 = Fn +1 + Fn (n ≥ 0 ) 初始值为 F0 = 0 ， F1 = 1 所定义的数列。其中每个 Fn 均称为 Fibonacci 数。在假定极限存在的情况下，易证该极限值是 x 2 + x ? 1 = 0 的正根5 ?1 ≈ 0.618 ，被称为黄金数，具有广 2泛的应用价值。Fibonacci 数列的通项公式（称为 binet 公式）为n n 1 ?? 5 + 1 ? ? 5 ? 1 ? ? ? ?? ? ? ， n = 0,1,2,L ， ?? Fn = 5 ?? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ?? 解法（对角矩阵法或一步方程法） ：（5.6）Fibonacci 数列的递推定义方式可以看成是由 Fn +1 = Fn +1 与 Fn + 2 = Fn +1 + Fn 的- 25 -联立方程组，作矩阵向量 v n = (Fn , Fn +1 ) ，则上述联立方程组可表为： ? 0 1? v n+1 = v n ? ? 1 1? ， n = 0,1,L ， ? ? ? （5.7）? 0 1? 2 记A=? ? 1 1? ，则 A 的特征多项式 det ( A ? λI ) = λ ? λ ? 1 ，故 A 的特征根为 ? ? ?λ1 =1+ 5 1? 5 ，以及 λ 2 = 。故 A 可对角化， 2 21? 1 ? ， Q ?1 = ? λ2 ? λ1 ? λ 2n?1 令Q = ? ?λ ? 1? ? λ2 ? ? λ ? 11? ? ，可得 ? 1? ? 0 ? ?1 ?Q . λn ? 2?n ? λ1 ? A = Q? ?0（5.8）又由于 v n = v n ?1 A = L = v0 A n ，故有：(Fn ? Fn +! ) = vn = (0 1)Q? ?n ? λ1?00 ? ?1 1 n ?Q = λ1 ? λn 2 n ? λ2 ? 5(n λ1 +1 ? λn +1 ) ，可得 2Fn =1 5(λn 1? λn 2)（5.9）n n 1 ?? 1 + 5 ? ? 1 ? 5 ? ? ? ? ? ? ?? 即 Fn = 5 ?? 2 ? ? ? 2 ? ? . ? ? ? ? ??一种三对角矩阵的特征值及应用 5.4 一种三对角矩阵的特征值及应用三对角矩阵在线性代数、 计算数学、 组合数学以及应用数学中有广泛的应用, 所以三对角矩阵的研究一直受到人们的关注。这里我们仅考虑实数域 R 上的三 对角矩阵? ? ? ? An (a, b ) = ? ? ? ? ? ? b 1 0 2a b 1 0 a b 0 0 aL L L M L L0 0 00 0 0M0 0M0 0M0 0O0 0M1 0Mb 10? ? 0? 0? ?. M ? ? a? b? ?（5.10）定理 1 [10]三对角矩阵 An (a, b ) 的行列式的计算公式是：- 26 -? b + b 2 ? 4a ? ? b ? b 2 ? 4a ? ? +? ? ， det ( An (a, b )) = ? ? ? ? ? 2 2 ? ? ? ?det ( An (a, b )) = ∑ (? 1)k =0 ?n? ?2? ? ? knn（5.11）n ? n ? k ? n?2k k ? ?b a . n?k ? k ? ? ?（5.12）定理 2[10]（1）三对角矩阵 An (a, b ) 的特征多项式是f ( x ) = ∑ (? 1)k =0 ?n? ?2? ? ? kn ?n ? k ? k n?2k ? ? k ?a (x ? b ) ? n?k ? ?（5.13）（2）三对角矩阵 An (a, b ) 的特征值是λ k = b + 2 a cos定理 3[11](2k ? 1)π ,2nk = 1,2,K , n .（5.14）利用三对角矩阵 An (a, b ) 的特征值，可以得到以下的三角恒等式∑ cosk =1n(2k ? 1)π2n?n? ? ?=0， n ? n ? k ? n?2 k k ? ?b a . n?k ? k ? ? ?（5.15）∏ ?b + 2 ?k =1n?(2k ? 1)π ? = ? 2 ? (? 1)k a cos2n? ?∑k =0（5.16）例 5.1在（5.16）中，令 a = ?1 ， b = 1 ，得∏ ?1 + 2i cos ?k =1n?(2k ? 1)π ? =2n? ?∑n?k ? ?k =0 n?n? ?2? ? ?n ?n ? k ? ? = Ln ， ? ? n ?此处 i = ? 1 ， Ln 是 Lucas 数。Lucas 数列满足递推关系 Ln = Ln?1 + Ln ?2 及初值?1 + 5 ? ?1 ? 5 ? ? ? ? L0 = 2 ， L1 = 1 ，其通项公式为 Ln = ? ? 2 ? +? 2 ? . ? ? ? ?n在（5.16）中令 a = 1 ， b = 2 x ，则第一类 Chebyshev 多项式可以表示为Tn ( x ) = ∑n n ? n ? k ? n ? 2 k ?1 n ? 2 k 1 (2k ? 1)π ? . ? ? ?2 x = det ( An ) = 2 n ?1 ∏ ? x + cos ? ? k ? 2 2n ? k =0 n ? k ? k =1 ? ??n? ?2? ? ?所以，第一类 Chebyshev 多项式 Tn ( x ) 的全部根为x k = cos(2k ? 1)π , k = 1,2,K , n .2n- 27 -总结与展望 6 总结与展望对角矩阵作为代数学乃至各学科一种简单、基础、有效的计算证明工具，其 应用非常广泛。 本文在定义对角矩阵并说明其相关性质的基础上， 首先介绍了可对角化矩阵 在某些方面的应用，如利用特征值求解矩阵，探究矩阵性质，解特殊矩阵以及其 在向量空间和线性变换中应用等。 这些常见的应用与解法在某些实际问题求解的 时候，可以提供良好的解法和处理方式。 对于矩阵对角化条件，除了常用的充要条件，本文还介绍最小多项式法的另 一种解法；并针对几种特殊矩阵，给出了它们的对角化条件；最后简单叙述了两 个矩阵同时对角化的一系列定理。 有关矩阵对角化方法的应用， 除了本文所提到利用矩阵对角化求实递推式的 通项，Fibonacci 数列的可对角化矩阵解法，一种三对角矩阵的特征值及应用， 求解一类三对角线行列式等，在微积分与信号处理等问题中也大量出现，如对角 化方法在向量非线性积分微分方程 Robin 边值问题中的应用， 基于协方差矩阵对 角化的盲信号分离，基于矩阵对角化的盲源分离算法研究等。 作为一种基本工具，有关对角矩阵的信息大多以公理的形式出现，这也是近 代数学公理化的标志之一。对于矩阵可对角化的条件，以及矩阵对角化方法的应 用，可值得研究的方向还有很多，这里不一一赘述；而关于三对角矩阵的性质和 五对角矩阵的性质也成为学者们研究的方向。 关于矩阵对角化方法及相关应用，除了文中提到的这些，还有很多方向值得 研究与学习，但是由于篇幅及知识结构的问题，并没有被纳入本文的讨论范围。 以后如有机会，仍值得更为深入的学习与研究。- 28 -致谢四年在校学习、 生活以及论文写作的过程中得到很多老师和同学的支持和帮 助。 首先要感谢的是我的导师尹慧老师和她的爱人胡老师。 他们二位认真、 负责、 真诚的做人态度和作为教师对学生不倦教诲的精神，令我很受触动。同时，在论 文的选题、修改、定稿都凝聚了两位老师的大量心血。两位老师尽心的指导与严 格的监督，促使我最终完成了论文。二位老师的为人、为学风格将会在我今后的 学习和工作中继续产生重要影响。值此论文完成之际，我谨向尹老师和胡老师致 以深深的敬意和感谢! 论文的完成也离不开其他老师和同学的支持与帮助，借此机会，向各位老师 和同学献上诚挚的祝福。同时，论文借鉴和利用了一些前人的观点与成果，在此 一并表示感谢。 论文的写作过程对我来说更像一次学习过程，其中遇到了很多的困难，虽然 尽力解决，但由于理论知识的欠缺、分析技术和资料掌握的局限，使论文在研究 的深度和精细程度上远远不足。论文肯定存在不少的问题和错误，请各位老师给 予批评、指正。- 29 -参考文献[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] 68． [10] 杨胜良． 2006． 22(6): 125 三对角行列式与 Chebyshev 多项式． 大学数学． －129． [11] YANG Sheng-liang．On the LU factroization of the the Vandermonde matrix．Discrete Applied mathematics．)：102-104． 李世余．代数学的发展和展望．广西大学学报．1985．No．1 北京大学数学系与代数教研室前代数小组编． 王萼芳,石生明修订． 高等 丘维声．高等代数（上册） ．北京：清华大学出版社，－279， 张禾瑞．高等代数．北京：高等教育出版社，－293． 吉林大学数学系．数学分析(中册)．167 一 168． 郭亚梅．最小多项式与矩阵的对角化．河南机电高等专科学校学 2007． Vol.17． No.4． 73 金佑来． 矩阵对角化的一个新方法． 合肥学院学报． 周立仁．矩阵同时对角化的条件讨论．湖南理工学院学 岳嵘．利用矩阵对角化求数列通项．高等数学研究．2007．No.4．66－代数（第三版） ．北京:高等教育出版社,－301． 282－291，293－300．报．2006．No.4．106－108． －76． 报．2007．Vol.20．No.1．8－10．- 30 -
赞助商链接
域上任意一个 n 阶矩阵的对角化问题,给出判定方法,研究判定方法 间的相互关系,以及某些特殊矩阵的对角化,还给出如幂等矩阵、对合矩阵、幂幺矩 阵对角化的应用...域上任意一个 n 阶矩阵的对角化问题,给出判定方法,研究判定方法 间的相互关系,以及某些特殊矩阵的对角化,还给出如幂等矩阵、对合矩阵、幂幺矩 阵对角化的应用...2、本论文(设计)中,所有实验、数据和有关材料 均是真实的. 3、本论文(设计...和矩阵对角化方法来研究可对角化矩阵一些应用,包括求方阵的高 次幂,反求矩阵,...目前对于矩阵可对角化的条件,矩 阵对角化的方法和矩阵对角化的运用都有了较为...,其次讨论了矩阵对角化的几个 等价条件,最后总结了一些有关矩阵对角化的应用。...河南科技学院 2016 届本科毕业论文 论文题目:矩阵对角化的方法及相关应用 学生姓名: 所在院系: 所学专业: 导师姓名: 闫伟杰 数学科学学院 数学与应用数学 李巧萍...矩阵对角化方法 - 矩阵对角化方法 摘要:本文给出了一种不同于传统方法的矩阵对角化方法,利用矩阵的初等变换,先求出矩阵的特征根与特征向 量,接着再判断矩阵是否...矩阵的对角化的应用_理学_高等教育_教育专区。矩阵的对角化的应用摘要:矩阵是高等...矩阵对角化方法及相关应... 33页 3下载券 矩阵的相似及对角化 25页 免费 ...可对角化矩阵的应用 2页 2下载券 矩阵对角化 27页 2下载券喜欢...线性方程组的基础解系的问题, 同时也给出了构造相似变换矩阵 P 的具体方法. ...可对角化矩阵的应用_数学_自然科学_专业资料。可对角化矩阵的应用矩阵可对角化问题是矩阵理论中的一个重要问题,可对角化矩阵作为一类,特殊 的矩阵, 在理论上和...种对角化方法并对实对称矩阵的对 角化方法以及对角矩阵的运用做了相关补充,同时...矩阵对角化方法的应用 7页 1下载券
特殊矩阵的特殊对角化方... 4页 1下载...
All rights reserved Powered by
www.tceic.com
copyright &copyright 。文档资料库内容来自网络，如有侵犯请联系客服。}