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高中数学直线方程与圆与方程测试题
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你可能喜欢直线方程(选择题五道)--《中学数学》1993年11期
直线方程(选择题五道)
【摘要】：正 1.已知三点A(3,0)、B(12.-3),C(6,y)的坐标都适合方程x+By+C=0(B,C为常数),则y的值为 (A)-2 (B)-1 (C)0 (D)1 2.和直线3x+4y+5=0关于y轴对称的直线的方程是 (A)3x-4y=5=0 (B)3x-4y+5=0 (C)3x+4y-5=0 (D)4x+3y+5=0
【关键词】：
【正文快照】：
1.已知三点月(3,0)、B(12一3少.亡少‘6心)的坐标都适合方程:+匆十C一0(B,C为常数),则歹的值为 (A)一2(B)一1(C)0(D)l 2.和直线3:+勺+5一0关于y轴对称的直线的方程是 (A)3x一4夕一5=0(B)3x一4梦+5二0 (C)3x+4夕一5=0(D)4x+3夕十5=0 3.从原点向直线l引垂线,垂足为(a.的(。,乙子
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高考第一轮复习数学：直线和圆的方程（附答案）
素质能力检测（七）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1.集合M={（x，y）y=，x、y∈R}，N={（x，y）x=1，y∈R}，则M∩N等于
A.{（1，0）}　　　　　　　　　　　　&
B.{y0≤y≤1}
C.{1，0}　　　　　　　　　　　　　　&
解析：y=表示单位圆的上半圆，x=1与之有且仅有一个公共点（1，0）.
2.（2004年湖北，文2）已知点M1（6，2）和M2（1，7），直线y=mx－7与线段M1M2的交点M分有向线段M1M2的比为3∶2，则m的值为
A.－　　　　　　　　　　　　　　　
C.　　　　　　　　　　　　　　　　
解析：设M（x，y），点M分M1M2所成比为λ=.
得x==3，y==5.
代入y=mx－7，得m=4.
3.（2003年辽宁）在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是
解：根据a的符号和表示直线的位置特征，显见C正确，因为当a&0时，y=ax表示过原点且下降的直线，y=x+a表示纵截距小于零且上升的直线.故选C.
4.（2005年春季北京，6）直线x+y－2=0被圆（x－1）2+y2=1所截得的线段的长为
A.1　　　　　　　
B.　　　　　　&
C.　　　　　　　
解析：圆心（1，0），r=1到直线x+y－2=0的距离d==.
则弦长=.∴弦长为.
5.（2004年湖北，4）圆C1：x2+y2+2x+2y－2=0与圆C2：x2+y2－4x－2y+1=0的公切线有
A.1条　　　　　　
B.2条　　　　　　
C.3条　　　　　　&
解析：圆C1的圆心C1（－1，－1），r1=2，
圆C2的圆心C2（2，1），r2=2.
∵C1C2==&r1+r2=4，
∴圆C1与圆C2相交.故公切线有2条.
6.（2004年天津，理7）若P（2，－1）为圆（x－1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是
A.x－y－3=0　　　　　　　　　　　　&
B.2x+y－3=0
C.x+y－1=0　　　　　　　　　　　　　
D.2x－y－5=0
解：由（x－1）2+y2=25知圆心为Q（1，0）.据kQP?kAB=－1，
∴kAB=－=1（其中kQP==－1）.
∴AB的方程为y=（x－2）－1=x－3，即x－y－3=0.
（θ为参数）上，则x2+y2的最大值是
7.如果点P（x，y）在曲线
　　　　　　　　　　　　&
x=3+5cosθ，
y=－4+5sinθ
A.10　　　　　　　
B.16　　　　　　　
C.25　　　　　　　
解析：易知是圆（x－3）2+（y+4）2=25上的点到原点的距离.
8.把直线x－2y+λ=0向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得直线正好与圆x2+y2+2x－4y=0相切，则实数λ的值为
A.3或13　　　　　　　　　　　　　　
C.3或－13　　　　　　　　　　　　　&
D.－3或－13
解析：直线x－2y+λ=0按a=（－1，－2）平移后的直线为x－2y+λ－3=0，与圆相切，易得λ=13或3.
9.圆x2+y2+2x+4y－3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有
A.1个　　　　　　
B.2个　　　　　　&
C.3个　　　　　　&
解析：易知圆心（－1，－2）到x+y+1=0的距离d=，所以满足题意的点共有3个.
10.已知曲线C：
x=1+cosθ，
y=1－sinθ　　（θ为参数），直线l经过点（0，），倾斜角为α，则α=是直线l与曲线C相切的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：数形结合法易知.
11.如果直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my－4=0交于M、N两点，且M、N关于直线x+y=0对称，则不等式组
表示的平面区域的面积是
kx－y+1≥0，
kx－my≤0，
y≥0　　　　
A.　　　　　　　
B.　　　　　　　
C.1　　　　　　　　
解析：由题中条件知k=1，m=－1，易知区域面积为.
12.（2002年全国新课程）平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1）、　　　　　　
B（－1，3），若点C满足=α+β，其中α、β∈R，且α+β=1，则点C的轨迹方程为
A.（x－1）2+（y－2）2=5
B.3x+2y－11=0
D.x+2y－5=0
解析：设C点坐标为（x，y），则=（x，y），=（3，1），=（－1，3），
所以（x，y）=α?（3，1）+β?（－1，3）=（3α－β，α+3β）.
　　　x=3α－β，
y=α+3β，
　　　　α=，
因为α+β=1，
所以+=1，即x+2y－5=0.故选D.
二、填空题（每小题4分，共16分）
13.（2005年北京东城区目标检测题）设实数x、y满足
则z=x+y的最大值是____________.
x－y+2≤0，
2x+y－5≤0，
解析：画出图形即可得到在（0，5）点z=x+y取得最大值5.
14.（2004年春季北京）若直线mx+ny－3=0与圆x2+y2=3没有公共点，则m、n满足的关系式为____________；以（m，n）为点P的坐标，过点P的一条直线与椭圆+=1的公共点有____________个.
解析：将直线方程代入圆方程中“Δ＜0”即可.
答案：0＜m2+n2＜3&
15.（2004年北京，11）圆x2+（y+1）2=1的圆心坐标是__________，如果直线x+y+a=0与该圆有公共点，那么实数a的取值范围是__________.
解析：由圆的定义知，圆x2+（y+1）2=1的圆心坐标是（0，－1）.
圆心（0，－1）到直线x+y+a=0的距离d=.
若圆与直线有公共点，则d≤1，即得1－≤a≤1+.
答案：（0，－1）&
1－≤a≤1+
16.（2001年上海，理）已知两个圆：①x2+y2=1；②x2+（y－3）2=1，则由①式减去②式可得两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例.推广命题为____________.
解析：设两圆方程为（x－a）2+（y－b）2=r2①和（x－c）2+（y－d）2=r2.②
由①－②得两圆的对称轴方程为2（c－a）x+2（d－b）y+a2+b2－c2－d2=0.
所以推广命题为：已知两个圆：①（x－a）2+（y－b）2=r2；②（x－c）2+（y－d）2=r2.
则由①式减去②式可得两圆的对称轴方程.
答案：已知两个圆：①（x－a）2+（y－b）2=r2；②（x－c）2+（y－d）2=r2.则由①式减去②式可得两圆的对称轴方程.
三、解答题（共6小题，满分74分）
17.（12分）已知两直线l1：x+ysinθ－1=0和l2：2xsinθ+y+1=0，试求θ的值，使得
（1）l1∥l2；（2）l1⊥l2.
解：（1）当sinθ=0时，l1斜率不存在，l2斜率为零，l1显然不平行于l2.
当sinθ≠0时，k1=－，k2=－2sinθ.
∵k1=k2是l1∥l2的条件，
∴－=－2sinθ，sinθ=±，
θ=nπ+，n∈Z.此时两直线截距不等，
∴当θ=nπ±，n∈Z时，l1∥l2.
（2）∵A1A2+B1B2=0是l1⊥l2的充要条件，∴2sinθ+sinθ=0.
∴sinθ=0，即θ=nπ（n∈Z）.
∴当θ=nπ，n∈Z时，l1⊥l2.
18.（12分）过点P（2，4）作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程.
解法一：设点M的坐标为（x，y），
∵M为线段AB的中点，
∴A的坐标为（2x，0），B的坐标为（0，2y）.
∵l1⊥l2，且l1、l2过点P（2，4），
∴PA⊥PB，kPA?kPB=－1.
而kPA=，kPB=（x≠1），
∴?=－1（x≠1）.
整理，得x+2y－5=0（x≠1）.
∵当x=1时，A、B的坐标分别为（2，0）、（0，4），
∴线段AB的中点坐标是（1，2），它满足方程x+2y－5=0.
综上所述，点M的轨迹方程是x+2y－5=0.
解法二：设M的坐标为（x，y），则A、B两点的坐标分别是（2x，0）、（0，2y），连结PM，∵l1⊥l2，
∴2｜PM｜=｜AB｜.
而｜PM｜=，｜AB｜=，
∴2=.化简，得x+2y－5=0，为所求轨迹方程.
解法三：设M的坐标为（x，y），由l1⊥l2，BO⊥OA知O、A、P、B四点共圆，
∴｜MO｜=｜MP｜，即点M是线段OP的垂直平分线上的点.
∵kOP==2，线段OP的中点为（1，2），
∴y－2=－（x－1），即x+2y－5=0为所求.
19.（12分）圆C通过不同的三点P（k，0）、Q（2，0）、R（0，1），已知圆C在P点切线斜率为1，试求圆C的方程.
解：设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
将P、Q、R的坐标代入，得
　　　　　　　　　　　　　&
∴圆的方程为x2+y2－（k+2）x－（2k+1）y+2k=0，圆心为（，）.
又∵kCP=－1，∴k=－3.
∴圆的方程为x2+y2+x+5y－6=0.
20.（12分）某房产开发公司建楼急需资金1200万元，必须向银行A和银行B贷款，一年本自息还清，银行A至多贷给该公司800万元，年息12%；银行B至多贷款给该公司1000万元，年息14%，问开发公司分别向A、B两银行贷款多少万元，才使所付总利息最少?
解：设开发公司向银行A贷款x万元，向银行B贷款y万元，开发公司需付总利息为S，依题意，有约束条件
S=0.12x+0.14y.
x+y≥1200，
作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域.作直线l0：0.12x+0.14y=0，把直线l0向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最小，此时，S=0.12x+0.14y取得最小值.
得M点的坐标为（800，400），此即为最优解.
　　　　　&
x+y=1200，　　　　
故该开发公司向银行A贷款800万元，向银行B贷款400万元时，所付总利息最少.
21.（12分）已知圆x2+y2－6x－8y+21=0和直线kx－y－4k+3=0.
（1）求证：不论k取什么值，直线和圆总有两个不同的公共点；
（2）求当k取何值时，直线被圆截得的弦最短，并求这最短弦的长.
（1）证明：已知圆的方程为（x－3）2+（y－4）2=4，其圆心（3，4）到直线kx－y－4k+3=0的距离为=.
要证明直线和圆总有两个不同的公共点，只要证&2，即证（k+1）2&4（1+k2），
即证3k2－2k+3&0.
而3k2－2k+3=3（k－）2+&0成立.
（2）解：由于当圆心到直线的距离最大时，直线被圆截得的弦最短，
而d===≤=.
当且仅当k=1时，“=”成立，即k=1时，dmax=.
故当k=1时，直线被圆截得的弦最短，该最短弦的长为2=2.
22.（14分）过点A（0，a）作直线与圆E：（x－2）2+y2=1交于B、C两点，在BC上取满足BP∶PC=AB∶AC的点P.
（1）求P点的轨迹方程；
（2）设所求轨迹方程与圆E交于M、N两点，求△EMN（E为圆心）面积的最大值.
解：（1）设AB方程为y=kx+a，与圆的方程联立得（k2+1）x2+（2ak－4）x+a2+3=0.
xB+xC=－，xB?xC=.
同理，yP=.
消去k，得2x－ay－3=0.
∴轨迹是直线2x－ay－3=0在圆内一段.
（a2+4）y2－2ay+3=0.
2x－ay－3=0
（x－2）2+y2=1　　　　&
MN=y1－y2=2?.
又高为，∴S△EMN==≤.
仅当a=0时，（S△EMN）max=.【高二数学】直线与方程的选择题》》》》若直线y=a|x|与y=x+a(a>0)有两个公共点,则a的取值范围是（ ）（A）a>1（B）0
爱瑞欣97耿焘
讨论：x>0时,ax=x+a则(a-1)x=ax=a/(a-1)因为x>0,所以a>1x<0时,-ax=x+a则(a+1)x=-ax=-a/(a+1)因为x>0,所以a>0综合以上可得a>1作图：也可以看出：a<1时,只有在二象限一个交点.当a>1时.有两个交点 所以选A
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