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弹性力学理论概要与典型题解
出版时间：2009-7&&出版社：西南交大&&作者：王光钦&&页数：366&&
弹性力学是工科力学及工程类相关专业的重要技术基础课程，它有两种基本描述方法，即微分方程方法和变分方法。弹性力学的15个基本方程和相应的边界条件构成了弹性力学微分方程边值问题的数学提法，由此又演绎出其他的描述方法及与各类问题相对应的各种求解方法。变分法是求泛函的极值，在弹性力学中，它是作为基本原理提出来的，可见它在弹性力学中的重要地位。同时，运用变分法的直接解法又可以求解出各种载荷和复杂边界的弹性力学问题，特别是在有限单元法出现以后，而有限单元法的数学基础就是变分法。微分方程边值问题和泛函的极值问题构成了弹性力学理论的最主要内容。本书在阐述弹性力学微分方程边值问题和泛函极值问题的基础上，分章节对各类常见典型问题进行了求解。其实，基本理论本身就是一个经典的弹性力学问题，而典型问题的编列常常又离不开经典的弹性理论内容。还有，经典理论中往往伴随着弹性力学的许多基本概念，而这些正是本书将弹性力学基本理论列为主要内容的一部分的重要原因。而不像一般的习题指导和题解那样只列出其基本公式。本书的主要特点： （1）在内容体系的安排上采用了从一般到特殊的3-法，。将应力、应变张量特性及应力一应变关系单独列为一章，以适当分散难度，达到循序渐进之目的。（2）在概要阐述基本理论的同时，侧重于基本概念和基本3-法的介绍。问题求解时，一般既有解题分析，又有对解题方法的注释与评述，以期达到举一反三的效果。（3）张量作为一种数学工具，在弹性力学中已有越来越广泛的应用，使一些理论问题的分析可以简单明晰。笛卡儿张量相对较简单，读者容易掌握，因此，本书部分问题的分析采用了张量方法。 （4）本书在内容上自成一体，在阐述基本理论时又比较注重它的基本概念和推导过程，同时又编列了较多的典型问题，因此，既可以把它看成阐述弹性力学基本理论的一本入门教材，又可以把它视为一本题解类的弹性力学辅导读物。本书共分十一章，内容包括，弹性力学基本工程、一般原理、应力应变张量特性及应力一应变关系、空间问题求解及其解答、平面问题（直角坐标与极坐标）、扭转问题、弹性力学问题的变分解法等。考虑到部分读者的需要，还编写了笛卡儿张量、变分法基础等四个附录，并建议这部分读者在阅读本书前先熟悉附录A和B。
　　弹性力学是工科力学及工程类相关专业的重要技术基础课程，它有两种基本描述方法，即微分方程方法和变分方法。弹性力学的15个基本方程和相应的边界条件构成了弹性力学微分方程边值问题的数学提法，由此又演绎出其他的描述方法及与各类问题相对应的各种求解方法。变分法是求泛函的极值，在弹性力学中，它是作为基本原理提出来的，可见它在弹性力学中的重要地位。同时，运用变分法的直接解法又可以求解出各种载荷和复杂边界的弹性力学问题，特别是在有限单元法出现以后，而有限单元法的数学基础就是变分法。微分方程边值问题和泛函的极值问题构成了弹性力学理论的最主要内容。　　《弹性力学理论概要与典型题解》在阐述弹性力学微分方程边值问题和泛函极值问题的基础上，分章节对各类常见典型问题进行了求解。其实，基本理论本身就是一个经典的弹性力学问题，而典型问题的编列常常又离不开经典的弹性理论内容。还有，经典理论中往往伴随着弹性力学的许多基本概念，而这些正是《弹性力学理论概要与典型题解》将弹性力学基本理论列为主要内容的一部分的重要原因。而不像一般的习题指导和题解那样只列出其基本公式。　　《弹性力学理论概要与典型题解》的主要特点：　　（1）在内容体系的安排上采用了从一般到特殊的3-法，。将应力、应变张量特性及应力一应变关系单独列为一章，以适当分散难度，达到循序渐进之目的。　　（2）在概要阐述基本理论的同时，侧重于基本概念和基本3-法的介绍。问题求解时，一般既有解题分析，又有对解题方法的注释与评述，以期达到举一反三的效果。　　（3）张量作为一种数学工具，在弹性力学中已有越来越广泛的应用，使一些理论问题的分析可以简单明晰。笛卡儿张量相对较简单，读者容易掌握，因此，《弹性力学理论概要与典型题解》部分问题的分析采用了张量方法。　　（4）《弹性力学理论概要与典型题解》在内容上自成一体，在阐述基本理论时又比较注重它的基本概念和推导过程，同时又编列了较多的典型问题，因此，既可以把它看成阐述弹性力学基本理论的一本入门教材，又可以把它视为一本题解类的弹性力学辅导读物。　　《弹性力学理论概要与典型题解》共分十一章，内容包括，弹性力学基本工程、一般原理、应力应变张量特性及应力一应变关系、空间问题求解及其解答、平面问题（直角坐标与极坐标）、扭转问题、弹性力学问题的变分解法等。考虑到部分读者的需要，还编写了笛卡儿张量、变分法基础等四个附录，并建议这部分读者在阅读《弹性力学理论概要与典型题解》前先熟悉附录A和B。
1 弹性力学研究的对象、基本假设和研究方法2 弹性力学的基本方程2．1 载荷应力2．2 平衡（运动）微分方程2．3 斜面应力公式2．4 应力边界条件2．5 应力分量的坐标变换应力张量2．6 位移、应变及其相互关系2．7 应变分量的坐标变换应变张量2．8 广义Hooke定律3 正交曲线坐标系中的基本方程3．1 曲线坐标3．2 正交曲线坐标系中的平衡微分方程3．3 正交曲线坐标系中的几何方程3．4 圆柱坐标系和球面坐标系中的物理方程4 弹性力学问题的一般提法及求解方法4．1 弹性力学问题的一般提法4．2 位移法Navier-Lam6方程4．3 Beltrami—Michell方程应力解法4．4 应力函数及用应力函数表示的相容方程5 弹性力学中的一般定理5．1 叠加原理5．2 弹性力学问题解的唯一性定理5．3 圣维南原理5．4 变形体虚功原理5．5 功的互等定理6 弹性力学的位移通解及其应用6．1 位移矢量的Stokes分解6．2 Lamg位移势6．3 Boussinesq-Galerkin位移通解6．4 Neuber-Papkovich位移通解6．5 布希涅斯克问题解的应用7 应力张量与应变张量的性质及应力．应变关系7．1 主应力应力张量不变量7．2 最大剪应力7．3 相对位移张量物体内无限邻近两点位置的变化7．4 物体内任一点的形变主应变与应变张量不变量7．5 最大剪应变7．6 广义Hooke定律的一般形式7．7 能量形式的应力．应变关系7．8 各向同性弹性体的应力．应变关系8 平面问题的直角坐标解法8．1 两类平面问题8．2 平面问题的基本方程与边界条件8．3 位移解法8．4 应力解法8．5 应力函数及其解法8．6 应力函数法求解平面问题9 平面问题的极坐标解法9．1 极坐标系下的基本方程与边界条件9．2 极坐标系下的相容方程应力函数9．3 用应力函数法求解轴对称问题9．4 轴对称问题的位移解法9．5 应力法求解轴对称问题9．6 含小圆孔的平板问题9．7 非轴对称曲杆与圆筒（圆盘）9．8 楔形体与半平面体10 柱形体的扭转10．1 位移法的控制方程和边界条件10．2 应力函数解法10．3 薄膜比拟10．4 开口与闭口薄壁杆件的扭转11 弹性力学问题的变分解法11．1 虚位移原理11．2 最小势能原理11．3 瑞利一里兹法11．4 伽辽金法11．5 虚应力原理与最小余能原理附录A 指标表示法附录B 笛卡儿张量基础附录C 变分法基础附录D 瑞利一里兹法参考文献
插图：1弹性力学研究的对象、基本假设和研究方法1．弹性力学研究的对象弹性力学研究的对象包括：杆件、板、壳和实体结构（如挡土墙、水坝、地基等）。杆件是材料力学的主要研究对象，具有细而长的几何特征。杆件的拉压、弯曲、扭转是材料力学研究的几个主要内容。为了简化问题，根据实验观察，在材料力学中除了必要的基本假设以外，还引用了附加的变形假设或应力假设。这样，必然会在结果中产生误差。弹性力学求解这类问题不引进任何附加假设，只按照严格的微分方程的边值问题进行求解，所得的解是精确解。对比弹性力学与材料力学的结果，可以确定出材料力学附加假设可带来的局限性。工程上常常遇到的板、壳及实体结构已超出了材料力学的研究范围，只能在弹性力学中加以解决。2．弹性力学的基本假设（1）连续性假设：认为组成物体的介质充满了物体所占的空间，物体中不存在任何间隙。按照连续性假设，介质连续化以后，赖以进行强度、刚度和稳定性分析的各种力学参量，比如应力、应变、位移、能量密度等都可以写成坐标的连续函数，可以运用数学分析中的连续和极限概念。
《弹性力学理论概要与典型题解》为西南交通大学出版社出版。
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第一图书网() @ 2014华科土木有限元笔试试题 A卷
华科土木有限元笔试试题 A卷
&&&&来源:综合指导
　　华中科技大学土木工程与力学学院　　《结构数值分析与程序设计》考试卷(A卷)　　(开卷，只允许带教材和课件)　　 第二学期 成绩　　班级 学号 姓名　　一、 问答题(每题8分，共计40分)　　1、有限元法相对于弹性力学经典解法有何不同?有何优点?　　2、以平面四结点矩形单元为例，说明如何假设单元的位移函数。　　3、 证明：三结点三角形单元任一点形函数满足Ni x,y +Nj x,y +Nm x,y =1。　　4、结构整体刚度矩阵为何具有稀疏性?　　5、如图所示三角形网格划分，从整体刚度矩阵的半带宽为最小的原则出发，应如何编号，并求整体刚度矩阵的最小半带宽。 二、 程序设计(15分)　　如图所示的三角形网格，共有9个结点，8个单元，单元、结点编号及荷载作用如图所示，荷载沿厚度均匀分布。已知： E=2.0×105MPa，μ=0.3，h=1m。忽略自重。将教材26页程序作适当修改计算该问题。　　1、给出修改程序内容;　　2、给出输入数据文件。　　三、 计算题(第1题13分，3、4题各16分，共计45分) 1、计算如图所示三角形单元的等效结点荷载列阵 F e，单元厚度为h。　　2、如图所示深梁，梁跨中顶面中点受载荷P=a2ν作用，已知弹性模量E，泊松比μ=0，厚度h=1m，材料重力密度为ν。按尽可能简单的单元划分求载荷作用点位移。　　3、如下图所示两跨连续梁，采用有限元法求点　　1弯矩和2转角。
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1、 有限元法的基本思想是什么？有限元法的基本步骤有那些？其中“离散”的含义是什么？是如何将无限自由度问题转化为有限自由度问题的？
答：基本思想：几何离散和分片插值。
基本步骤：结构离散、单元分析和整体分析。
离散的含义：用假想的线或面将连续物体分割成由有限个单元组成的集合，且单元之间仅在节点处连接，单元之间的作用仅由节点传递。当单元趋近无限小，节点无限多，则这种离散结构将趋近于实际的连续结构。
2、 有限元法与经典的差分法、里兹法有何区别？
区别：差分法：均匀离散求解域，差分代替微分，要求规则边界，几何形状复杂精度较低；
里兹法：根据描述问题的微分方程和相应的定解构造等价的泛函表达式，求得近似解；
有限元：基于变分法，采用分片近似进而逼近总体的求解微分方程的数值计算方法。
3、 一根单位长度重量为q的悬挂直杆，上端固定，下端受垂直向下的外力P，试
1） 建立其受拉伸的微分方程及边界条件；
2） 构造其泛函形式；
3） 基于有限元基本思想和泛函求极值构造其有限元的计算格式（即最小势能原理）。
4、 以简单实例为对象，分别按虚功原理和变分原理导出有限元法的基本格式（单元刚度矩阵）。
5、 什么是节点力和节点载荷？两者有何区别？
答：节点力：单元与单元之间通过节点相互作用
节点载荷：作用于节点上的外载
6、 单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有何特点？其中每个矩阵元素的物理意义是什么（按自由度和节点解释）？
答：单元刚度矩阵：对称性、奇异性、主对角线恒为正
整体刚度矩阵：对称性、奇异性、主对角线恒为正、稀疏性、带状性。
Kij，表示j节点产生单位位移、其他节点位移为零时作用i节点的力，节点力等于节点位移与单元刚度元素乘积之和。
7、 单元的形函数具有什么特点？有哪些性质？
答：形函数的特点：Ni为x，y的坐标函数，与位移函数有相同的阶次。 形函数Ni在i节点的值为1，而在其他节点上的值为0；
单元内任一点的形函数之和恒等于1；
形函数的值在0~1间变化。
8、 描述弹性体的基本变量是什么？基本方程有哪些组成？
答：基本变量：外力、应力、应变、位移
基本方程：平衡方程、几何方程、物理方程、几何条件
9、 何谓应力、应变、位移的概念？应力与强度是什么关系？
答：应力：lim△Q/△A=S
应变：物体形状的改变
位移：弹性体内质点位置的变化
10、 问题的微分方程提法、等效积分提法和泛函变分提法之间有何关系？何谓“强形式”？何谓“弱形式”，两者有何区别？建立弱形式的关键步骤是什么？
答：强弱的区分在于是否完全满足物理模型的条件。所谓强形式，是指由于物理模型的复杂性，各种边界条件的限制，使得对于所提出的微分方程，对所需要求得的解的要求太强。也就是需要满足的条件太复杂。比如不连续点的跳跃等等。将微分方程转化为弱形式就是弱化对方程解的要求。不拘泥于个别特殊点的要求，而放松为一段有限段上需要满足的条件，使解能够以离散的形式存在。
11、 以平面微元体为例，考虑弹性力学基本假设，推导微分平衡方程。
12、 常见的弹性力学问题解法有哪几类？各有何特点或局限？简述求解思路？
13、 何谓平面应力问题？何谓平面应变问题？应力应变状态如何？如何判断？举例说
答：平面应力问题：作用于很薄的板上的载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀分布，而在两板面上无外力作用
平面应变问题：长柱体的横截面沿长度方向不变，作用于长柱体结构上的载荷平行于横截面且沿纵向方向均与分布，两端面不受力。
14、 何谓轴对称问题？如何判断？推导极坐标下的平衡方程和几何方程。
答：轴对称：几何形状、约束情况及所受的外力都对称于空间的某一跟轴，则通过该轴的任何平面都是物体的对称面，物体内的所有应力、应变和位移都关于该轴对称。
15、 何谓虚位移原理？推导弹性体虚功方程的矩阵形式，并写出轴对称问题的虚功方
16、 什么叫外力势能？什么叫应变能？简述势能变分原理。试问势能变分原理代表了弹
性力学的那些方程？同时，附加了什么条件？
17、 在三维弹性体中，若系统势能对位移变分为零。试证明一定满足应力平衡方程和应
力边界条件。
18、 为了保证有限元解的收敛性，位移函数必须满足那些条件？为什么？
答：1.位移函数应包含刚体位移
2.位移函数应能反映单元的常应变状态
3.位移函数在单元内要连续，在单元边界上要协调。
19、 位移函数构造为何按Pascal三角形进行？为什么？
答：选取多项式具有坐标的对称性，保证单元的位移分布不会因为人为选取的方位坐标不同而变化。
20、 如何理解有限元解的下限性？简要说明。
21、 何谓刚性位移？何谓常量应变？
答：刚性位移就是物体的形状不发生变化产生的位移
变形位移就是考虑物体产生的变形
22、 在按位移法求解有限元法中，为什么说应力解的精度低于位移解的精度？
答：实际结构本来是具有无限个自由度，当用有限元求解时，结构被离散为有限个单元的集合，便只有有限个自由度了，限制了结构变形能力，从而导致结构的刚度增大、计算的位移减少，所以有限元求得的位移近似解小于精确解。
23、 何为单元的协调性和完备性条件？为什么要满足这些条件？平面问题三节点三角
形单元是如何满足这些条件？矩形四节点单元是否满足？
答：完备性准则：如果在能量泛函中所出现的位移函数的最高阶导数是m阶，则有限元解收敛的条件之一是单元函数至少是m阶的完全多项式。
24、 何为协调单元？何为非协调单元？为什么有时非协调单元的计算精度还高于协调
答：协调性准则：如果在能力泛函中的位移函数出现最高阶导数是m阶，则位移函数
在单元边界上必须具有m-1阶的连续导数。
网格划分不一样
25、 何为常应变单元？其位移、应变、应力在单元内、单元边界上有何特性？
答：常应变单元：单元的应变分量均为常量。
位移函数在单元内部线性函数，内部连续。公共边界处位移协调。
单元的应力应变为常量，在相邻单元边界处，应变应力不连续，有突变。
26、 假设平面三节点三角形单元的的位移模式为：
U=a1x2+a2xy+a3y2
V=a4x2+a5xy+a6y2
试计算该单元的形函数矩阵、单元刚度矩阵，并讨论该单元的特性。
27、 平面矩形单元的位移、应力在单元内、单元边界上有何特性？试说明矩形单元刚度
矩阵的计算与坐标原点位置无关。
答：常数项和线性项的系数反映了单元的刚体位移和常应变，满足收敛性的必要条件；在单元边界上，由于u，v分别仅为x或y的线性函数，则这样的单元的位移函数是双线性函数，这说明单元边界上的两点能唯一确定变形后的边界，而对于相邻的单元公共边界，它们具有公共节点，则不论按哪个单元确定公共边界上的位移，都能保证公共边界上具有相同的位移，即单元边界处位移具有连续性，满足协调性要求。
28、 何谓面积坐标？其特点是什么？
答：Li=Ai/A；Lj=Aj/A;Lm=Am/A特点：只有两个坐标是独立的：Ai+Aj+Am=1
29、 试分析以下几种平面单元的位移在单元公共边界上的连续性：1）常应变三角形单
元；2）四节点矩形单元；3）六节点三角形单元；4）四节点直线边界四边形等参单元；
5）八节点曲线边界四边形等参单元。
答：常应变三角形单元：形函数只与节点坐标有关；单元应变分量均为常量；
收敛性：位移函数含单元常量应变；反应单元刚体位移；单元内部位移连续；相邻公共边界连续协调。
四节点矩形单元：位移函数满足收敛性条件，为协调单元；较常应变单元有更高的计算精度。
六节点三角形单元：比常应变三角形单元精度高
30、 非节点载荷等效的基本原则是什么？
答：能量等效原则和圣维南原理。
31、 试计算三节点三角形边界上不同线性分布载荷的等效节点载荷。（参考教材P58面）
答：1.均质材料单元所受体力等效，只需将单元外载荷均匀等分至各个节点即可
2.边界受均匀分布力等效，只需将单元边界上的分布载荷之和平均分配至受力的连个节点
3.边界受三角形分布面力等效，总力ql/2，分布力ql/6;ql/3
4.边界受梯形分布面力的等效，叠加原理，
32、 何谓等参单元？等参单元具有哪些特点？使用等参单元应注意什么？在等参单元
计算中，数值积分阶次是否越高越好呢？为什么？
答：定义：以规则形状单元的位移函数相同阶次函数为单元几何边界的变换函数，通过
坐标变换所获得的单元。
特点：单元几何边界的变换函数与规则单元位移函数具有相同的节点参数。
注意：单元为凸
不是，阶次提高，单元自由度相应增加，计算更加复杂，积分更困难。
33、 平面三角形单元能否看成等参数单元，如能，其母元（标准元）为何？按等参单元
定义进行解释。
答：能；直角等腰三角形；以三角形单元的位移函数相同阶次函数为单元几何边界的变换函数，通过坐标变换所获得的单元。
34、 杆梁单元如何区分？各有何特点？应用时如何选择？
答：杆：承受轴力和扭矩的杆件；梁：承受横向力和弯矩的杆件。
杆：节点数2，节点自由度1；梁：节点数2，节点自由度2。
根据受力情况进行选择。}