谈谈梯度的理解 13:32 |
梯度，是多元微积分区别一元微积分的一个重要的概念。
这篇推文里，我和大家聊聊我对梯度的理解。
内容包含梯度、方向导数、偏导数、条件极值的Lagrange函数法。
以二元函数为例子。
比较懒，我就录个视频吧。
视频的主要内容：
回顾切空间与微分的关系
提出问题，切空间的一个向量，该怎么理解？
由向量引出切空间的一条射线，对其在函数图像和坐标平面上的投影，进行了分析。引出方向导数。特殊的，偏导数
由方向导数的这种理解，引出方向导数最大的方向——梯度的理解1
由微分与切空间的关系，引出切空间的法向量，从而得出梯度是法向量在坐标平面的投影——梯度的理解2
等高线，水平集的理解，其法向量的理解，引出梯度的另外一个理解3
由对于等高线法向量的理解，引出条件极值的判别法。
1. 切空间与微分的关系
在上一篇推文里，我谈到了微分的几何意义——多元函数图像一点的切空间的存在与表达，与这个函数在这点是否可微与微分的具体表达，是对应的。
简单的说，“可微”等价于“有切空间”，“微分的具体表达”等价于“切空间的方程表示”
切空间的存在性与方程表示，都能用微分表达。
这样就够了吗？
设二元函数z=f(x,y)的函数图像是三维空间中的一个曲面S, M0（x0,y0,z0）是曲面S上的一个点，即z0=f(x0,y0)
S的以M0为切点的切平面方程，可以从这点的微分
&&&&&&&&&& dz=Adx+Bdy
&&&&&&&&& z-z0=A(X-X0)+ B(y-y0)
其中，A=fx(x0,y0)，B=fy(x0,y0)
切平面有一个法向量(A, B,-1), 它在坐标平面的投影是(A,B), 即梯度。
所以我们有梯度的第一个理解：
函数在一点的梯度，是这个函数图像在这个点的切平面的一个法向量的投影，这个法向量的最后一个坐标是-1.
切空间整体的存在性与表达，解决了。
那么，切空间中的一个向量, 又怎么理解呢？
下面，我们来理解切平面中的一个向量\alpha=(a,b,c)
i. &以切点M0，向坐标平x-O-y做垂线，垂足为P0.
ii. 以这条垂线与切空间的一个向量\alpha，做一个半平面:
&&&&&&& -b(x-x0)+a(y-y0)=0
iii. 这个半平面与坐标平面相交，得到一条射线L:
&&&&&&& { P0+(at,bt) | t&=0 }
iv:这个半平面与函数图像曲面相交，（在M0点附近）得到一条起点在M0点的曲线C:
&&&&&&&& z=f(x0+at, y0+bt)
v. 在这个半平面上，这样建立直角坐标系——
以这个向量所在的射线（平行于射线L），做X坐标轴的正向；
以P0M0的直线，做Y轴（平行于空间坐标的z坐标轴）
这样，曲线C就是上面这个二维直角坐标（半平面）上，以原点M0为起始点的一个曲线。
vi. 曲线C在这个半平面直角坐标系下的导数，似乎就是
&&&&&&&& dz/dt= fx*a+ fy*b& (其中 z=f(x0+at, y0+bt))
但是，注意到，向量(a,b)的长度是\sqrt{a^2+b^2}, 所以，t不能直接类比于这个二维坐标中的X坐标变量，而是要除以这个向量的长度。
所以，真正的的导数，应该是
&&&&&&& dz/d(t/sqrt{a^2+b^2}) = (dz/dt)/\sqrt{a^2+b^2}
这个导数，就是z=f(x,y)在P0（M0）点的沿着射线L的方向的方向导数。
向量\alpha=(a,b,c)落在曲线C在M0点的切线上。
特殊的，如果向量\alpha=(a,b,c)的投影向量(a,b)是x轴或y轴正向，例如x轴正向(1,0)，这个导数就是fx.
为简单起见，我们把向量\alpha=(a,b,c)做一个假设：a^2+b^2=1
那么，曲线C在M0点的导数就是
&&&&&&&&&& fx*a+fy*b=(fx, fy)*(a,b)
由数量积的定义，很容易知道，
当(a,b)与(fx,fy)同向时，这个值最大；
当(a,b)与(fx,fy)反向时，这个值最小。
所以，我们得到对于梯度\nabla z=(fx(P0), fy(P0))的第一个理解：
梯度的方向，是函数在这点的方向导数最大的方向；
梯度的反向，是函数在这点的方向导数最小的方向。
如果把方向导数理解为函数沿着一个切向量的方向的变化率，那么上面的理解就是：
梯度的方向，是函数在这点增长最快的方向在坐标平面的投影；
梯度的反向，是函数在这点减少最快的方向在坐标平面的投影。
函数z=f(x,y)的图像，可以理解为一些水平集的并。
什么是水平集？
就是满足方程h0=f(x,y)的所有点构成的集合，这个集合落在坐标平面中。
比如，高中地理里学的等高线，就是海拔函数h(x,y)的水平集。封面图所示
不同的水平集，是不互相交的。
这个图是艺术的处理方法，想展现地形的空间形态，所以看起来好像有不同的等高线相交了。
下面我们来看看水平集z0=f(x,y)，在(x0,y0)(这个点在这个水平集上，因为z0=f(x0,y0))点的切空间（这里就是切线）。
这就要借助隐函数定理了。
假设fy(x0,y0)不等于0，于是，等高线z0=f(x,y)在这点的一个小领域中的一段曲线，可以成为一个函数y=g(x)的图像，
即 (1) y0=g(x0)
&&& (2) 在x0附近，f(x, g(x))=z0恒成立,且
&&& (3) g'(x)=-fx/fy
由隐函数定理，我们可以知道，等高线z0=f(x,y)在P0(x0,y0)点的切线方程是
&&&&& y-y0={-fx(P0)/fy(P0) } (x-x0)
&&&& fx(P0)(x-x0) + fy(P0)(y-y0)=0
也即，该切线有一个法向量(fx.fy)
所以，我们得到梯度的第三个理解：
函数z=f(x,y)在P0点的梯度，垂直于函数在z0=f(P0)的等高线在P0点的切线。
简单的说，就是梯度在这点垂直这点的等高线。
对于三元函数的梯度，也有类似的理解。
上面的水平集，就是等高面；切空间，就改成切平面等等。
Lagrange条件极值法。
目标函数 z=f(x,y)
约束条件g(x,y)=0
为啥极值点，只会出现在Lagrang函数L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda*g(x,y)的驻点上？
即，极值点一定是下面方程的解：
fx+\lambda*gx=0
fy+\lambda*gy=0
我们看这个图，虚线是函数z=f(x,y)的两条等高线，绿线是约束条件g(x,y)=0给出的曲线。
满足上述方程的点，在这个图像上，就是使得绿线与某条等高线相切的点。
有前面两个方程，我们得出，满足方程的点，一定f的梯度与g的梯度共线（坐标成比例呀）。
换句话说，等高线与绿色的曲线在一点有公共的切线。
最后一个等式的意义最简单，就是说，点必须在绿色的线上跑。
好，上面是对方程的理解。
那怎么理解极值点必须是这样的呢？
如果一个条件极值点Q0，其几何解释不是这样的。
在Q0点，等高线与绿线不相切，我们画出这条等高线附近的两条等高线。如图所示
由于z=f(x,y)的连续性，必然会在等高线f(x,y)=c0的附近，找到两天等高线，如图所示，使得它们与g(x,y)=0在Q0点附近相交，交点如图所示。
这说明什么？
说明在Q0点的小领域里，找到了两个点Q1，Q2都满足约束条件，但一个的函数值比c0大，一个的函数值比c0小。所以Q0必然不是条件极值点。
ps：所有图片均来自网络。
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证明：u=f（x，y，z）在点M0（x0，y0，z0）沿过该点等值面f（x，y，z）=f（x0，y0，z0）法线两个方向的方向导数分别为它在该点处方向导数的最大值与最小值．其中f（x，y，z）具有连续的偏导数．
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证明：设f（x，y，z）=f（x0，y0，z0）在点M0处的法向量为，则x，fy，fz)|(x0，y0，z0) 沿任意方向0＝(cosα，cosβ，cosγ)，函数f（x，y，z）的方向导数为x(x0，y0，z0)cosα+fy(x0，y0，z0)cosβ+fz(x0，y0，z0)cosγ=0＝|.g|cosφ其中x(x0，y0，z0)，fy(x0，y0，z0)，fz(x0，y0，z0))，φ为0与的夹角，因而当cosφ=1，即φ=0时，取最大值；当cosφ=-1，即φ=π时，取最小值．故沿的两个方向，f（x，y，z）的
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首先，写出u=f（x，y，z）在点M0（x0，y0，z0）法线的方向向量，然后写出等值面的在点M0的方向，最后写出方向导数，求最值．
本题考点：
方向导数的概念、几何意义与求解；梯度的概念与求解．
考点点评：
此题实际上是考查方向导数与梯度的联系，明确方向导数的定义和计算，就能很容易证明出来．
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对于点（x0,y0,z0）,t趋近于0；有函数f()满足f（x0+t,y,z)=f(x0,y0,z0)*P(y-y0,z-z0）；其中p（）为与y-y0,z-z0有关一个二维正态分布函数,已知f（x0,y0,z0）的初值 我想求在x=x1点任意f（x1,y,z）的值,只要思路也行会做的话 我的分全奉上哈一楼的大仙 f(x0,y0,z0)*P(y-y0,z-z0）-f（x0,y,z)=f(x0,y0,z0)（P(y-y0,z-z0）-1）不是很对吧,我在改一下f（x0+t,y,z)=f(x0,y0,z0)*P(y-y0,z-z0）×exp(-at);a为已知常数
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因为：f（x0+t,y,z)-f（x0,y,z) =f(x0,y0,z0)*P(y-y0,z-z0）-f（x0,y,z) =f(x0,y0,z0)（P(y-y0,z-z0）-1） 而 f（x0+t,y,z)-f（x0,y,z)/t=f(x0,y0,z0)（P(y-y0,z-z0）-1）/t 因为：f（x0+t,y,z)-f（x0,y,z)/t=fx'（x0,y,z) 所以 fx'（x0,y,z)=f(x0,y0,z0)（P(y-y0,z-z0）-1）/t 换成一般的表达式为：fx'（x,y,z)=f(x,y0,z0)（P(y-y0,z-z0）-1）/t 所以 f（x,y,z)=∫f(x,y0,z0)（P(y-y0,z-z0）-1）/t （对x积分） f（x1,y,z)=∫f(x,y0,z0)（P(y-y0,z-z0）-1）/t （对x积分） 然后将x=x1代入即可
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扫描下载二维码G92 X0 Y0 Z0 指的是什么意思？_百度知道
G92 X0 Y0 Z0 指的是什么意思？
注： 是《磨具CAD/CAM》
我有更好的答案
其实G92和G54-G59是常用的建立工件坐标系的指令。G92 X - Y - Z -
X - Y - Z - 为刀位点处在工件坐标系中的初始位置（为绝对坐标尺寸），是整个程序的起刀点。该指令建立了工件坐标系。该坐标在机床重新开始时消失。要注意该指令是作为一个单独的程序段来使用。该程序段中尽管有位置指令，但机床在执行G92指令时机床并不做运动，这就要求在使用G92之前，必须保证机床刀具的刀位点处于程序加工起始点位置，即对刀点位置。
这样你问的G92 X0 Y0 Z0 就是指刀位点在工件坐标系中的初始位置了。
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关于偏导数几何含义的理解书上说：设M0(x0,y0,f(x0,y0))为曲面z=f(x,y)上的一点,过M0作平面y=y0,截此曲面得一曲线,此曲线在平面y=y0上的方程为z=f(x,y0),则偏导数fx(x0,y0),就是这曲线在点M0处的切线M0Tx对x轴的斜率.我看图倒是看着像对x轴的切线,感觉不太好理解满意答案导数表示的是变化率,反应了因变量随自变量变化的快慢一元函数中,k=lim△y/△x二元函数求对x的偏导数的时候,是固定y=y0,看z随x的变化率这样在平面y=y0上,k=lim△z/△x,这个斜率就表示曲线的斜率对x轴的斜率4 个其它回复z=f(x,y0),你仔细看，y0是个固定值，不会变的，所以这是个以x为唯一参数的函数。lanya_tx就是那个切线的斜率瀚小子可能你没有明白斜率和切线的关系吧！首先切线是一个直线，它有相对应的直线方程式；斜率是一个值，其实质就是对方程求导就可得其值。偏导数fx(x0,y0)是一个数值，所以肯定不是切线了；它就是在y=y0时，Z对X求导所得的，也就是说对方程z=f(x,y0)求导。当然就是对应的斜率了。题目上面已经说了，在y=y0时，即就是y已经给定值了，此时方程z=f(x,y0)其实就是完全...快乐千与千寻展开快乐千与千寻
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