异分母分数加减法教学的思考与实践
异分母分数加减法教学的思考与实践
异分母分数加减法教学的思考与实践
北京市海淀区石油附小 邵钦
异分母分数加减法是数与代数领域中数的运算学习的一个内容，本文以思考——实践——再思考为线索，分三部分进行阐述：一是面对教学设计和实施之前的思考，即：作为教师，进行计算课教学除了要落实知识与技能目标，还能给学生些什么？站在学生的角度来看，很多学生都已经会算了，他们是否真的理解？二是带着这些思考进行小学整数、小数、分数加减法运算方法的对比以及教学设计与实施，在实践中解答上述的两个问题。三是教学实施后的新思考，即：要重思维活动经验的积累过程、重加减运算的本质把握以及后继教学更应注重整体把握教材。
异分母分数加减法是小学数与代数领域中数的运算学习的一个内容。在《小学数学课程标准》中对这一部分内容的具体目标提到：要让学生会进行简单的分数加减运算。对这一知识目标的落实，数学教师教学用书（五年级上册）给出了分数加减法单元教学的总体目标，即：在操作活动中，理解异分母分数加减法的算理，并能正确计算。由此不难发现，这一内容的学习重点是理解算理、掌握算法。
（一）书中一个故事引发的思考
郑毓信先生撰写的《国际视角下的小学数学教育》一书中描述了这样一个故事：妈妈带着上幼儿园的女儿和上了学的儿子一起去吃自助餐，每个人的餐费是 197 元，吃完快结账的时候，妈妈问上学的儿子该交多少钱，儿子说：“妈妈，给我纸和笔！”上幼儿园的女儿在旁边开口了：“给阿姨 600 元，找回 9 元就行了！”过了一年，女儿也上学了，妈妈、女儿和儿子一起去买东西，当妈妈问孩子们该付多少钱时，女儿和儿子一起回答：妈妈，给我纸和笔，我要来算一算！”
学生的思维应犹如自由之泉，将奔流成河，最终汇聚成海。为什么它可悲的逐渐枯竭了？计算教学除了让孩子掌握基本的知识和技能，作为教师还能给孩子些什么？
（二）学生一次调研带来的思考
调研题目：同学们在手工课上折纸，小红用了一张纸的 折一只小船，小明用同一张纸的 折一只小鸟。他俩一共用了这张纸的几分之几？
调研结果（见表 1 ）：
异分母分数加减法学生调研结果表
计算结果正确
计算结果错误
借助直观图 （ 3 人）
34 人& 89.5%
4 人 10.5%
利用通分（ 29 人）
化成小数（ 2 人）
从计算结果是否正确来看，全班有近 90% 的学生已经可以独立解决异分母分数加减法的问题，计算正确是建立在理解的基础上，还是对运算法则的一种机械应用呢？需要对计算结果正确的 29 人进行访谈。
访谈的结果（见表 2 ）：
异分母分数加减法学生访谈表
把 变成 ，把 变成 大小不变，所以 3 个 加 2 个
是 5 个 ，就是
借助直观图解释
我觉得应该转化成同分母
从数据上看，这 29 人中大部分学生不能清楚的阐述真正算理。通过访谈发现，即使是利用直观图进行计算的学生也都是在用 2 × 3 算出公分母，再画图解决。利用通分，把异分母分数转化为同分母分数进行计算是学生的普遍方法。
进一步深入地访谈：“为什么要通分？”学生的回答出奇的一致：“通分以后分母就一样了，就能算出结果了。”、“分母一样，用分子相加就可以了。”由此 看来，学生的困难并不在于不知道怎么算，真正的困难在于不理解通分的本质。
调研中有 4 名计算有问题的学生他们是用 + = ，并画图进行了解释。（见图 1 ）
这一想法反映出：学生受到整数加减运算法则的影响，用分子与分子相加作为结果中的分子，分母与分母相加作为结果中的分母。没有从这两个分数的本质或意义出发，去思考这个算式所表示的意思。
那么，在教学中如何帮助学生去理解通分的本质？以至于理解加减法运算的本质？
经历上述问题的思考，从以下两个方面进行教学实践：一是教学内容方面，进行分数加减法运算与整数、小数加减法运算的比对，从整体角度把握加减法运算的本质，为课堂教学设计提供依据；二是课堂教学设计与实施方面，进行课堂教学的设计和实施，落实知识与技能目标的同时，促进学生可持续发展。
（一）加减运算梳理——整数、小数、分数加减运算比对
回顾整数、小数加减法运算，计算方法是将相同数位上的数相加减，即：计数单位相同，单位个数相加减。（见图 2 ）
异分母分数加减法是学生在小学学习中加减法运算的最高阶段，它与整数、小数加减法运算有相同点，也有不同点。相同点是：只有计数（分数）单位相同后，计数单位的个数才能相加减；而不同点则是：整数、小数具有明确的计数单位，非常的显性化，而对于两个异分母分数来讲，它们在进行加减法的运算时就存在会有一个新的分数单位产生，而这个单位又是相对隐性化的。通分的真正目的也在于此，其实通分是在寻找一个新的单位，用这个单位来度量两个异分母分数，把度量的结果累加，就是两个异分母分数的和。
站在整体把握小学加减法运算的角度来设计和实施异分母分数加减法的教学，应将隐性方面显性化，让学生体会出新的分数单位产生的必要性，也就是通分的真正目的。使学生在课堂学习中经历这样的过程：旧的单位不适用——需要产生新的单位——寻找新的单位——应用新的单位——计算出结果。
（见图 3 ）
学生经历了这样的过程，才会理解这个单位产生的作用，以及通分的真正目的。这个显性化过程应该成为异分母分数加减法学习的重要一环，设计怎样的活动才是有价值的？才能为学生的可持续发展服务呢？
（二）课堂结构重组——课堂教学设计和实施
引入部分，以“一条路，先走了它的 ，又走了这条路的 ，一共走了这条路的几分之几？” 并以一张看似简单的小纸条代替这条路（见图 4 ），展开探索。
教学结构如下（见图 5 ）：
在上述四个环节中，以“寻找标准”作为本节课的核心，凸显分数单位的作用，体会通分的必要，理解异分母分数加减法的本质。整节课围绕以下的几个问题展开：
1. 你手中的这两把尺子（每个学生有以 和以 为单位的“尺子”各一把，见图 6 ）哪把能正好量出这两部分的和？有没有一把尺子能正好量出这两部分的和？能不能找到这把尺子？
2. 想一想，这把尺子的大小会和谁有关，可能是以谁为单位的呢？试着做一把，量一量。
讨论哪把尺子不能正好量出两部分的和？这是为什么？哪把尺子能正好量出两部分的和？这又是为什么？
3. 结合我们找到的尺子，你能完成 ＋ 这个式子吗？
在“寻找标准”中设计两个核心活动，如下：
活动一：个人寻找
教师活动：
提出问题：想一想，这把尺子的大小会和谁有关，可能是以谁为单位的呢？按照你的想法用学具、白纸条、做一把尺子，去量量看。
活动建议：因为找“尺子”的过程具有一定的挑战性，所以不成功没有关系，把每次实验记录下来。我想，经过你的思考，你一定会慢慢走向成功的。
学生活动：
（ 1 ）边寻找边思考边填写个人汇报单。（见图 7 ）
（ 2 ）个人反馈
活动二：小组交流
教师活动：
提出问题：讨论哪把尺子不能正好量出两部分的和？这是为什么？哪把尺子能正好量出两部分的和？这又是为什么？
学生活动：
（ 1 ）边讨论边记录下小组的想法。
（ 2 ）小组反馈
下面是上述两个活动的学生反馈：
独立探索部分（见图 8 ）：
通过个人反馈不难发现，対统一分数单位的理解过程，每个孩子各不相同，他们的思维在逶迤中前行。他们在经历猜想、实践、思考、调整的过程。他们在经历辗转难行的痛苦和柳暗花明的愉悦，他们在经历慢慢接近真理时的挫折。
小组探讨部分（见图 9 ）：
小组反馈中学生思维活动经验的积累，可见一斑。这个“寻找”的过程，这些经验的累积，将成为学生未来学习不可或缺的宝贵经验和思维继续跃升的不竭动力。
三、实践后的再思考
（一） 2 分钟与 40 分钟的抉择：重思维活动经验的积累过程
一次试讲后我问学生上完这节课的感受，一个小男孩怯生生的举起手，说：“老师，我们在课外班的老师曾经给我们讲过异分母分数加减法，也就用了两分钟。”
两分钟，一句话：先通分，后加减。再告诉学生，通分的目的实际上是为了统一分数单位。问题貌似完美解决，还可以花大量的时间进行巩固练习，学生计算技能训练扎实，作业可能正确率也会更高。但是这样的数学活动，价值到底有多大？这样的数学课，真的有利于学生的终身发展吗？在 2 分钟和 40 分钟之间应该如何抉择？
在当下迅速发展的社会，每个人的脚步都是那样匆忙。甚至我们帮助孩子成长的过程也是匆匆太匆匆。我们帮他们规避着坎坷、挫折、障碍、错误。我们拉着他们飞速的奔跑在阳关大道上。但是我们的孩子却在奔跑中只学会了注视前方，而失去了崎岖路径上克服困难的回忆，失去了驻足欣赏美景的心旷神怡。
课堂的教学应该努力放慢学生认知的速度，让他们停下来反思，静下来调整，沉下来总结。
（二）表面简单与内涵深刻的融合：重分数加减运算的本质把握
纸条的操作看似简单，但内涵非常深刻，通过对它的操作和研究，即找“尺子”的过程，学生慢慢认识到了统一计数单位在分数加减运算中的重要性和寻找这个单位的必要性，从而体验运算的核心本质。
经过一系列的猜测、实践、反思、调整后，学生虽然只研究了一道分数加法题，但是丝毫不妨碍他们对分数加减运算本质的体会。
下面是学生结合操作纸条的过程，展现的不同思维结果（见图 10 ）。
从学生的学后总结中（图 11 ），我们也不难发现以纸条操作的活动价值。
（三）认识角度改变所带来的尴尬：后继教学将重整体把握教材。
分数的意义和内涵非常丰富，分数运算的学习不能不说是对分数意义更深层次的探索和认识，是把分数凝聚成一个数的关键过程。教学的设计是从度量的角度入手，帮助学生认识分数加减运算的本质，因为分数产生的原因之一就是几何学的测量。
但是由于先前分数认识的教学虽然涉及度量的角度，但是都是轻描淡写，比较浅表，很少把它作为一个重要的研究角度。在教学中，孩子对分数认识角度的转换分外艰难。一节课的教学，实际上折射出了长时间以来对同一个问题教学的弊端。
怎样才能解决这个问题呢？在今后的教学中应树立整体把握教材的意识，在若干次分数认识的过程中合理安排不同年段学生，从不同的角度认识分数。让认识事物的角度不只是教师教案设计的起点，更能成为学生“知识”的重要组成部分，从而真正提高学生的思维能力。
这个世界是丰富多彩的，充满了神秘和未知，揭开谜底的将是那些会思考、能创造的人。作为一名教育者，我们应该为培养这样的人才而不懈努力。
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“异分母分数加减法”教学实录
在学习“异分母分数加减法”这节课之前,学生已经会了什么?是怎样学会的?是真正会了吗?学生的学习起点在哪里?学生在学习中有哪些困难?怎样帮助学生跨越学习中的障碍?为了全面了解学生,我通过问卷、访谈、纸笔测试等方式进行了课堂前测,结果发现:半数以上的学生已经会计算异分母分数加减法,而且大部分学生选择用“通分”的方法,很少有学生选择“分数化小数”、画图或折纸的方法,但对于通分的必要性难以理解;学生在计算中还不能熟练地进行通分和约分,计算过程的书写格式还不够规范,需要不断加强计算技能的训练;一些学生的抽象思维能力较差,需要借助于图形直观来理解算理.
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万方数据电子出版社分数加减法
（五年级下册）
五年级数学下《异分母分数加减法》教学设计
　　教学目标：
　　1、学生理解异分母分数相加减为什么要先通分的道理，掌握异分母分数加减法的法则，并能正确地进行计算。
　　2、让学生主动参与异分母分数加减法计算方法的探究过程，培养学生主动探究数学知识的能力。
　　3、在探究的过程中，让学生感受知识转化的数学思想。
　　4、让学生在探究的过程中体验成功的喜悦，提高对数学学习的兴趣。
　　教学重、难点：
　　异分母分数加减法的计算法则；异分母分数加减法转化为同分母分数加减法的探索过程。
　　教学过程：
　　（一）创设情景，以旧引新
　　1、今天&&&同学过生日，你准备怎么过？你想请哪些人来参加你的生日聚会？
　　2、请你分蛋糕，你怎么分？
　　3、这些分法都可行吗？如果都可行的话，怎样比较合理？
　　4、我们怎样才能知道那种最合理？
　　5、计算，算式怎么列？
　　6、这些算式与我们以前学过的有什么不同？今天我们就来学习《异分母分数加减法》。
　　7、我们前面学过的同分母分数加减法怎么计算？为什么？
　　那么，异分母分数加减法能不能直接相加减，怎么办？下面我们一起来研究。
　　（二）动手操作，探索新知
　　1、这些算式都是连加的，比较麻烦，我们先来研究恋歌分数相加的，根据黑板上这些数，可以有哪些算式供我们研究。
　　2、请你任选一个算式来进行研究。
　　3、请你先将你选中的两个分数用阴影表示在老师发给你的两个圆纸片上，然后把它们合起来，通过剪一剪，画一画，折一折的方法，找到它们的和。现在以四人为一个小组，开始研究。
　　4、生汇报结果。
　　5、怎么知道的？把你的操作过程向大家介绍一下。
　　6、个过程其实就是一个什么样的过程？
　　7、什么要通分？
　　9、练习。
　　10、这几道题怎样进行验算？请大家试一试。
　　11、这几道题其实就是异分母分数的减法，他们做的时候有什么相同的地方？为什么要先通分？
　　12、总结异分母分数加减法的计算法则。
　　（三）、巩固练习
　　1、计算下列各题并验算
　　5/6+1/10　　 2/15+7/10 　　7/8+8/9 　　7/20+1/5
　　2、数学医馆
　　1/3+3/7=4/10=2/5
　　7/10-4/15=7/30-4/30=3/30=1/10
　　3、1/7
　　4、3/5=( )+( )
　　（四）、课堂小结。
《五年级数学下“异分母分数加减法”教学设计》摘要：么过？你想请哪些人来参加你的生日聚会？ 2、请你分蛋糕，你怎么分？ 3、这些分法都可行吗？如果都可行的话，怎样比较合理？ 4、我们怎样才能知道那种最合理？ 5、计算，算式怎么列？ 6、这些算式与我们以前学过的有...： ◇
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历史上的今天
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blogAbstract:'&\r\n&本节课是在学生已经掌握同分母分数加减法以及认识了分数的意义和基本性质的基础上教学的，本节课的教学重点不是在异分母分数的计算这一环节，而是重点帮助学生理解和掌握异分母分数加减法的算理，体会算法多样化的价值。因此，我对本课的教材安排进行了改变。\r\n在教学1/2 +1/4时，重点突出沟通新旧知识之间的联系，让学生在数学学习过程中体会转化思想。首先，让学生思考，能像复习题那样直接计算吗？为什么不能？强调分母不同，分数单位就不同，不能直接合并，既然不能你有什么办法找到1/2+1/4的答案呢？在此处学生的思维发生了碰撞，我没有急着给学生以提示，而是让他们在小组中讨论交流，由于学生已经掌握了同分',
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先通分,化成同分母的分数,然后按照同分母分数加减法则加减.
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