圆的标准方程_百度百科
圆的标准方程
圆的标准方程(x－a)?+(y－b)?=r?中，有三个参数a、b、r，即圆心坐标为（a，b），只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定，因此确定圆方程，须三个独立条件，其中坐标是圆的定位条件，是圆的定形条件。
圆的标准方程圆的方程
X?+Y?=1 ，圆心O（0，0）被称为1；
x?+y?=r?，圆心O（0，0），半径r；
(x-a)?+(y-b)?=r?，圆心O（a，b），半径r。
确定圆的条件
确定圆的方程的方法和步骤
确定圆的方程主要方法是，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r，或直接求出圆心（a，b）和半径r，一般步骤为：
根据题意，设所求的圆的标准方程(x－a)?+(y－b)?=r?；
根据已知条件，建立关于a、b、r的；
解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程。
圆的标准方程方程推导
在平面中，设有圆O，圆心O(a,b) 点P(x,y)是圆上任意一点。
圆是平面到定点距离等于定长的所有点的集合。
两边平方，得到(x-a)?+(y-b)?=r?
圆的标准方程一般式
此方程可用于解决两圆的位置关系
配方化为标准方程：
其圆心坐标：
此方程满足为圆的方程的条件是:
D?+E?-4F&0
若不满足,则不可表示为圆的方程
已知直径的两个坐标A（m，n）B(p，q）设圆上任意一点C（X，Y）。则有：向量AC*BC=0； 可推出方程：（X-m）*（X-p）+（Y-n）*（Y-q）=0 再整理即可得出一般方程。
圆的标准方程点与圆
点P（X1,Y1) 与圆 (x－a)?+(y－b) ?=r?的位置关系：
⑴当(x1－a)?+(y1－b) ?&r?时，则点P在圆外。
⑵当(x1－a)?+(y1－b) ?=r?时，则点P在。
⑶当(x1－a)?+(y1－b) ?&r?时，则点P在圆内。
圆的标准方程直线与圆
圆的标准方程位置关系
平面内，直线Ax+By+C=0与圆x?+y?+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：
1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，（其中B不等于0），代入x?+y?+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：
如果b?-4ac&0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。
如果b?-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
如果b?-4ac&0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。
2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x?+y?+Dx+Ey+F=0化为 (x－a)?+(y－b) ?=r?。令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1&x2，那么：
当x=-C/A&x1或x=-C/A&x2时，直线与圆相离；
当x1&x=-C/A&x2时，直线与圆相交；
半径r，直径d
在直角坐标系中，圆的标准方程为：(x-a)?+(y-b)?=r?;
x?+y?+Dx+Ey+F=0
=& (x+D/2)?+(y+E/2)?=(D?+E?-4F)/4
=& 圆心坐标为(-D/2,-E/2)
其实只要保证X方Y方前系数都是1
就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2)
这可以作为一个结论运用的
且r=根号（圆心坐标的平方和-F）
圆上一点的切线方程
(x-a)?+(y-b)?=r?上任意一点（X0，Y0）该点的切线方程：
（X-a)（X0-a)+（Y-b）（Y0-b)=r*2
如果在平面直角坐标系中还可以直接将
直线方程： 与圆的方程: 联立得出
若 &0 则该方程有两个根，即直线与圆有两个交点，相交；
若 =0 则该方程有一个根，即直线与圆有一个交点，相切；
若 &0 则该方程有零个根，即直线与圆有零个交点，相离。
圆的标准方程代数法
如果直线方程y=kx+m，圆的方程为（x-a)?+（y-b)?=r?,将直线方程代入圆的方程，消去y，得关于x的一元二次方程Px?+Qx+R=0(P≠0),那么：
a.当△&0时，直线与圆没有公共点；
b.当△=0时，直线与圆相切；
c.当△&0时，直线与圆相交。
圆的标准方程几何法
求出圆心到直线的距离d，半径为r　　d&r，则直线与圆相离　　d=r，则直线与圆相切　　d&r，则直线与圆相交
圆的标准方程判断步骤
①计算两圆的半径，r1，r2；
②计算两圆的圆心距d；
③根据d与r1，r2之间的关系，判断两圆的位置关系.
圆的标准方程判断公式
若两圆的方程分别为C1：(x－x1)?+(y－y1)?=r1?，C2：(x－x2)?+(y－y2)?=r2?：
则两圆外离r1+r2&d；
两圆外切r1+r2=d；
两圆相交|r1－r2|&d&r1+r2；
两圆内切|r1－r2|=d；
两圆内含|r1－r2|&d.
圆的标准方程圆系方程
经过两圆x?+y?+D1x+E1y+F1=0与x?+y?+D2x+E2y+F2=0的交点圆系方程为：
x?+y?+D1x+E1y+F1+λ(x?+y?+D2x+E2y+F2)=0 (λ≠-1)
例题：求过两圆x2+y2=25和(x-1)2+(y-1)2=16的交点且面积最小的圆的方程。
分析：本题若先联立方程求交点，再设所求圆方程，寻求各变量关系，求半径最值，虽然可行，但运算量较大。自然选用过两圆交点的圆系方程简便易行。为了避免讨论，先求出两圆公共弦所在直线方程。则问题可转化为求过两圆公共弦及圆交点且面积最小的圆的问题。
解：圆x?+y?=25和(x-1)?+(y-1)?=16的公共弦方程为
x?+y?-25-[(x-1)?+(y-1)?-16]=0，即2x+2y-11=0
过直线2x+2y-11=0与圆x?+y?=25的交点的圆系方程为
x?+y?-25+λ(2x+2y-11)=0，即x?+y?+2λy+2λx-(11λ+25)=0
依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心(-λ,-λ)必在公共弦所在直线2x+2y-11=0上。即-2λ-2λ+11=0，则λ=-11/4
代回圆系方程得所求圆方程(x-11/4)?+(y-11/4)?=79/8
注：此方程不可表示x?+y?+D2x+E2y+F2这个方程，即当所求方程就是方程x?+y?+D2x+E2y+F2时用x?+y?+D1x+E1y+F1+λ(x?+y?+D2x+E2y+F2)=0无法求到方程。所以使用该方程需要检验方程x?+y?+D2x+E2y+F2=0是否是符合题意。
例：求过方程（x+1）?+（y+1）?=1和（x-3）?+（y-2）?=25两交点且过点（-2,2）的方程。
此时（x-3）?+（y-2）?=25即为所求方程，若用上述设法x?+y?+2x+2y+1+λ（x?+y?-6x-4y-12)=0而不检验，则会无解，实际上漏解了。
圆的标准方程总结
定义：（1）平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
（2)平面上一条线段，一个绕它的另一个端点旋转一周，所留下的轨迹叫圆。
圆心：（1）如定义（1）中，该定点为圆心
（2）如定义（2）中，绕的那一端的端点为圆心。
（3）圆任意两条对称轴的交点为圆心。
（4） 垂直于圆内任意一条弦且两个端点在的线段的二分点为圆心。
注：圆心一般用字母O,C表示小学初中一般用圆O，高中一般用圆C来表示
直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。直径一般用字母d表示。
半径：连接圆心和圆上任意一点的，叫做圆的半径。半径一般用字母r表示。
圆的直径和半径都有无数条。圆是，每条直径所在的直线是圆的。在同圆或中：直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一.d=2r或r=二分之d。
圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。
圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，周长用字母C表示。
圆的周长与直径的比值叫做圆周率。
圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，它是一个（），用字母π表示。计算时，通常取它的近似值，π≈3.14。
直径所对的是直角。90°的圆周角所对的弦是直径。
圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。πr^2，用字母S表示。
一条弧所对的圆周角是的二分之一。
在同圆或中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
圆的标准方程练习
同步达纲练习A级
一、选择题
1.若直线4x-3y-2=0与圆x?+y?-2ax+4y+a2-12=0总有两个不同交点，则a的取值范围是( )A.-3&a&7 B.-6&a&4C.-7&a&3 D.-21&a&19
2.圆(x-3)?+(y-3)?=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.使圆(x-2)?+(y+3)?=2上点与点(0，-5)的距离最大的点的坐标是( )A.(5，1) B.(3，-2)C.(4，1) D.( +2， -3)
4.若直线x+y=r与圆x?+y?=r(r&0)相切，则实数r的值等于( )A. B.1 C. D.2
5.直线x-y+4=0被圆x?+y?+4x-4y+6=0截得的弦长等于( )A.8 B.4 C.2 D.4
二、填空题
6.过点P(2，1)且与圆x?+y?-2x+2y+1=0相切的直线的方程为 .
7.设m={(x,y)|x?+y?≤25},N={(x,y)|(x-a)?+y?≤9}，若M∪N=M，则实数a的取值范围是 .
8.已知P(3，0)是圆x?+y?-8x-2y+12=0内一点则过点P的最短弦所在直线方程是( )，过点P的最长弦所在直线方程是 .
三、解答题
9.已知圆x?+y?+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P、Q两点，若OP⊥OQ(O是原点)，求m的值.
10.已知直线l:y=k(x-2)+4与曲线C：y=1+x 有两个不同的交点，求实数k的.
参考答案同步达纲练习A级
1.B 2.C 3.B 4.D 5.C 6.x=2或3x-4y-2=0 7.-2≤a≤2 8.x+y-3=0，x-y-3=0 9.m=3 10.( , )
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圆中阴影部分面积的计算
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已知园内最大的正方形面积是10平方厘米，求该圆的面积？
圆的半径是园内最大正方形对角线的一半有太多根号什么的
楼主自己算一下好
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正方形的对角线的平方
=正方形边长的平方+正方形边长的平方
=正方形的面积+正方形的面积
=圆的直径的平方
=圆的半径的平方×4
该题的圈套就是正方形的面积是10平方厘米。那么既然是正方形，也就应该是a²=10，也就是a=√10.
那么圆的半径就是√10÷2.求圆面积就是2...
面积是15.7平方厘米
大家还关注一个圆,直径是20CM,求圆内最大正方形的面积是多少?
酷的家族悅i
20÷2=10 10×10÷2×4=200平方厘米
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