"AD,BE,CF为三角形面积公式ABC的3条高。则易知B,E,C,F共圆”为什么?
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时间：2016-04-11 17:32
二一组卷-在线组卷-智能组卷,中小学在线题库如图，设AD，BE，CF为三角形ABC的三条高，若AB=6，BC=5，EF=3，则线段BE的长为（ ）A．185B．4C．215D_百度知道
如图，设AD，BE，CF为三角形ABC的三条高，若AB=6，BC=5，EF=3，则线段BE的长为（ ）A．185B．4C．215D
如图，设AD，BE，CF为三角形ABC的三条高，若AB=6，BC=5，EF=3，则线段BE的长为（ ）A．185B．4C．215D．245
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∵AD，BE，CF为△ABC的三条高，易知B，C，E，F四点共圆∴△AEF∽△ABC∴，即cos∠BAC=∴sin∠BAC=∴在Rt△ABE中，BE=ABsin∠BAC=6=．故选D．
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我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。2012 年全国各地中考数学压轴题专集答案六、三角形 1． （北京）在△ABC 中，BA＝BC，∠BAC＝α，M 是 AC 的中点，P 是线段 BM 上的动点，将线段 PA 绕点 P 顺时针旋转 2α 得到线段 PQ． （1）若 α＝60° 且点 P 与点 M 重合（如图 1） ，线段 CQ 的延长线交射线 BM 于点 D，请补全图形，并写出 ∠CDB 的度数； （2）在图 2 中，点 P 不与点 B，M 重合，线段 CQ 的延长线与射线 BM 交于点 D，猜想∠CDB 的大小（用 含 α 的代数式表示） ，并加以证明； （3）对于适当大小的 α，当点 P 在线段 BM 上运动到某一位置（不与点 B，M 重合）时，能使得线段 CQ 的延长线与射线 BM 交于点 D，且 PQ＝QD，请直接写出 α 的范围． A M(P) Q C 图1 解： （1）补全图形，见图 1；∠CDB＝30° （2）猜想：∠CDB＝90° －α 证明：如图 2 ，连结 AD，PC ∵BA＝BC，M 是 AC 的中点，∴BM⊥AC ∵点 D，P 在直线 BM 上，∴PA＝PC，DA＝DC 又∵DP 为公共边，∴△ADP≌△CDP ∴∠DAP＝∠DCP，∠ADP＝∠CDP 又∵PA＝PQ，∴PQ＝PC ∴∠DCP＝∠PQC，∠DAP＝∠PQC ∵∠PQC＋∠DQP＝180° ，∴∠DAP＋∠DQP＝180° ∴在四边形 APQD 中，∠ADQ＋∠APQ＝180° ∴∠APQ＝2α，∴∠ADQ＝180° －2α 1 ∴∠CDB＝ ∠ADQ＝90° －α 2 （3）45° ＜α ＜60° 提示：由（2）知∠CDB＝90° －α，且 PQ＝QD ∴∠PAD＝∠PCQ＝∠PQC＝2∠CDB＝180° －2α ∵点 P 不与点 B，M 重合，∴∠MAD＜∠PAD＜∠BAD ∴α＜180° －2α＜2α，∴45° ＜α ＜60° C 图2 B ABPM QA M(P) Q C 图1 A M P Q C 图2 D DBB2． （北京模拟）已知，点 P 是∠MON 的平分线 OT 上的一动点，射线 PA 交直线 OM 于点 A，将射线 PA 绕点 P 逆时针旋转交射线 ON 于点 B，且使∠APB＋∠MON＝180° ． （1）求证：PA＝PB； （2）若点 C 是直线 AB 与直线 OP 的交点，当 S△POB ＝3S△PCB 时，求 PB 的值； PC（3）若∠MON＝60° ，OB＝2，直线 PA 交射线 ON 于点 D，且满足∠PBD＝∠ABO，求 OP 的长． M TM TM TONO备用图NO备用图N（1）证明：①当点 A 在射线 OM 上时，如图 1 作 PE⊥OM 于 E，作 PF⊥ON 于 F 则∠EPF＋∠MON＝180° ∵∠APB＋∠MON＝180° ，∴∠EPF＝∠APB ∵∠EPA＝∠EPF－∠APF，∠FPB＝∠APB－∠APF ∴∠EPA＝∠FPB ∵OP 平分∠MON，∴PE＝PF ∴△EPA≌△FPB，∴PA＝PB ②当点 A 在 MO 延长线上时，如图 2 作 PE⊥OM 于 E，作 PF⊥ON 于 F 则∠EPF＋∠MON＝180° ∵∠APB＋∠MON＝180° ，∴∠EPF＝∠APB ∵∠EPA＝∠EPF－∠APF，∠FPB＝∠APB－∠APF ∴∠EPA＝∠FPB ∵OP 平分∠MON，∴PE＝PF ∴△EPA≌△FPB，∴PA＝PB （2）解：∵S△POB ＝3S△PCB ，∴点 A 在射线 OM 上，如图 3 1 ∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA＝ (180° －∠APB) 2 1 ∵∠APB＋∠MON＝180° ，∠POB＝ ∠MON 2 1 ∴∠POB＝ (180° －∠APB)，∴∠PBC＝∠POB 2 又∠BPC＝∠OPB，∴△POB∽△PBC ∴ PB ＝ PC S△POB ＝ 3 S△PBCM E P A O F图1TBNM T E O A P F图2BNM P C O图3TABN（3）解：①当点 A 在射线 OM 上时，如图 4 ∵∠APB＋∠MON＝180° ，∠MON＝60° ∴∠APB＝120° ，∴∠PAB＝∠PBA＝30° ，∠BPD＝60° ∵∠PBD＝∠ABO，∴∠PBD＝∠ABO＝75° 作 BE⊥OP 于 E ∵∠MON＝60° ，OP 平分∠MON，∴∠BOE＝30° ∵OB＝2，∴BE＝1，OE＝ 3，∠OBE＝60° ∴∠EBP＝∠EPB＝45° ，∴PE＝BE＝1 ∴OP＝OE＋PE＝ 3＋1 ②当点 A 在 MO 延长线上时，如图 5 此时∠AOB＝∠DPB＝120°M A P E O B图4TD N M ∵∠PBD＝∠ABO，∠PBA＝30° ，∴∠PBD＝∠ABO＝15° 作 BE⊥OP 于 E，则∠BOE＝30° ∵OB＝2，∴BE＝1，OE＝ 3，∠OBE＝60° ∴∠EBP＝∠EPB＝45° ，∴PE＝BE＝1 ∴OP＝OE－PE＝ 3－1 A O E P D B图5TN3． （北京模拟）已知△ABC 和△DEC 都是等腰直角三角形，C 为它们的公共直角顶点，连接 AD、BE，F 为线段 AD 的中点，连接 CF． （1）如图 1，当点 D 在 BC 边上时，BE 与 CF 的数量关系是____________，位置关系是____________， 请证明； （2）如图 2，把△DEC 绕点 C 顺时针旋转 α 角（0° ＜α＜90° ） ，其他条件不变，问（1）中的关系是否仍 然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出相应的正确的结论并加以证明； （3）如图 3，把△DEC 绕点 C 顺时针旋转 45° ，BE、CD 交于点 G．若∠DCF＝30° ，求 A F E D B D图1BG AC 及 的值． CG DCA F D G C图2AFEE CCBB图3解： （1）BE＝2CF，BE⊥CF 证明：∵△ABC 和△DEC 都是等腰直角三角形，C 为它们的公共直角顶点 ∴AC＝BC，DC＝EC ∴△BCE≌△ACD，∴BE＝AD，∠EBC＝∠DAC ∵F 为线段 AD 的中点，∴CF＝AF＝DF＝ ∴BE＝2CF ∵AF＝CF，∴∠DAC＝∠ACF ∵∠BCF＋∠ACF＝90° ，∴∠BCF＋∠EBC＝90° 即 BE⊥CF （2）仍然成立 证明：如图 2，延长 CF 到 H，使 HF＝CF，连接 AH、DH ∵AF＝DF，∴四边形 AHDC 为平行四边形 ∴AH＝CD＝CE，∠CAH＝180° －∠ACD ∵∠BCE＝∠BCA＋∠DCE－∠ACD＝180° －∠ACD ∴∠CAH＝∠BCE 又∵AC＝BC，∴△CAH≌△BCE B图2A1 AD 2 BFED图1CH A F E D C ∴CH＝BE，∠ACH＝∠CBE ∴BE＝CH＝2CF ∠CBE＋∠BCH＝∠ACH＋∠BCH＝90° 即 BE⊥CF （3）如图 3，设 BE、CF 相交于点 O，则∠GOC＝90° 作 BC 的垂直平分线，交 BG 于点 M，连接 CM 则 BM＝CM，∠MBC＝∠MCB，∴∠OMC＝2∠MBC ∵AC⊥DE，∠CDE＝45° ，∴∠DCA＝45° ∵∠DCF＝30° ，∴∠ACH＝∠CBE＝15° ∴∠OMC＝30° 设 OG＝x，则 CG＝2x，OC＝ 3x，BM＝CM＝2 3x OM＝ 3OC＝3x，MG＝3x－x＝2x ∴BG＝BM＋MG＝2 3x＋2x，BO＝BM＋MO＝2 3x＋3x ∴ 2 3x＋2x BG ＝ ＝ 3＋1 CG 2x B图3A F D M O G C E N2 3x＋3x BO ＝ ＝ 3＋2 OC 3x 过 E 作 BC 的垂线，交 BC 的延长线于 N 则 Rt△BNE∽Rt△BOC，∴ BN BO ＝ ＝ 3＋2 EN OC设 EN＝t，则 CN＝t，CE＝ 2t，BN＝( 3＋2)t，BC＝( 3＋2)t－t＝( 3＋1)t ∴ ( 3＋1)t 6＋ 2 BC ＝ ＝ CE 2 2t 6＋ 2 AC ＝ DC 2∵AB＝BC，CD＝CE，∴4． （上海模拟）如图，∠ACB＝90° ，CD 是∠ACB 的平分线，点 P 在 CD 上，CP＝ 2．将三角板的直角 顶点放置在点 P 处，绕着点 P 旋转，三角板的一条直角边与射线 CB 交于点 E，另一条直角边与直线 CA、 直线 CB 分别交于点 F、点 G． （1）当点 F 在射线 CA 上时 ①求证：PF＝PE． ②设 CF＝x，EG＝y，求 y 与 x 的函数解析式并写出函数的定义域． （2）连接 EF，当△CEF 与△EGP 相似时，求 EG 的长． A P F G C E B C备用图DA PDB （1）①证明：过点 P 作 PM⊥AC，PN⊥BC，垂足分别为 M、N ∵CD 是∠ACB 的平分线，∴PM＝PN 由∠PMC＝∠MCN＝∠CNP＝90° ，得∠MPN＝90° ∴∠1＋∠FPN＝90° ∵∠2＋∠FPN＝90° ，∴∠1＝∠2 ∴△PMF≌△PNE，∴PF＝PE ②解：∵CP＝ 2，∴CN＝CM＝1 ∵CF＝x，△PMF≌△PNE，∴NE＝MF＝1－x ∴CE＝2－x ∵CF∥PN，∴ ∴CG＝ ∴ y＝ x 1－x＋2－x（0≤ x＜1）A M F G C P1 2DNEBCF CG x CG ＝ ，即 ＝ PN GN 1 CG＋1 A P F1Dx 1－ x（2）当△CEF 与△EGP 相似时，点 F 的位置有两种情况： ①当点 F 在射线 CA 上时 ∵∠GPE＝∠FCE＝90° ，∠1≠∠PEG ∴∠G＝∠1，∴FG＝FE，∴CG＝CE＝CP 在 Rt△EGP 中，EG＝2CP＝2 2 ②当点 F 在 AC 延长线上时 ∵∠GPE＝∠FCE＝90° ，∠1≠∠2，∴∠3＝∠2 ∵∠1＝45° +∠5，∠1＝45° +∠2，∴∠5＝∠2 易证∠3＝∠4，可得∠5＝∠4 ∴CF＝CP＝ 2，∴FM＝ 2＋1 易证△PMF≌△PNE，∴EN＝FM＝ 2＋1 ∵CF∥PN，∴ CF CG 2 1－GN ＝ ，即 ＝ PN GN 1 GNGCEBA M5 1D PC4G N3 2EB∴GN＝ 2－1 ∴EG＝ 2－1＋ 2＋1＝2 2F5． （上海模拟）已知△ABC 中，AB＝AC，BC＝6，sinB＝4 ．点 P 从点 B 出发沿射线 BA 移动，同时点 Q 5从点 C 出发沿线段 AC 的延长线移动，点 P、Q 移动的速度相同，PQ 与直线 BC 相交于点 D． （1）如图①，当点 P 为 AB 的中点时，求 CD 的长； （2）如图②，过点 P 作直线 BC 的垂线，垂足为 E，当点 P、Q 在移动的过程中，线段 BE、DE、CD 中 是否存在长度保持不变的线段？请说明理由； （3）如图③，当 PQ 经过△ABC 的重心 G 时，求 BP 的长．A P B图①A P D C Q B E图②A P G D C Q B图③DC Q 解： （1）过 P 点作 PF∥AC 交 BC 于 F ∵点 P 为 AB 的中点，∴F 为 BC 的中点 ∴FC＝ 1 BC＝3 2 P BA∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB ∵PF∥AC，∴∠PFB＝∠ACB ∴∠B＝∠PFB，∴BP＝FP 由题意，BP＝CQ，∴FP＝CQ ∵PF∥AC，∴∠DPF＝∠DQC 又∠PDF＝∠QDC，∴△PFD≌△QCD ∴CD＝DF＝ 1 3 FC＝ 2 2F图①DC Q（2）当点 P、Q 在移动的过程中，线段 DE 的长度保持不变 分两种情况讨论： ①当点 P 在线段 AB 上时 过点 P 作 PF∥AC 交 BC 于 F，由（1）知 PB＝PF ∵PE⊥BC，∴BE＝EF 由（1）知△PFD≌△QCD，CD＝DF ∴DE＝EF＋DF＝ 1 BC＝3 2A P B E F图②DC Q②得点 P 在 BA 的延长线上时，同理可得 DE＝3 ∴当点 P、Q 在移动的过程中，线段 DE 的长度保持不变 （3）过点 P 作 PE⊥BC 于 E，连接 AG 并延长交 BC 于 H ∵AB＝AC，点 G 为△ABC 的重心，∴AH⊥BC，BH＝CH＝3 设 AH＝x，则 AB＝ x ＋3 ＝ x ＋9 4 x 4 ∵sinB＝ ，∴ 2 ＝ ，解得 x＝4 5 5 x ＋9 ∴GH＝ 1 4 x＝ 3 3 B P G E H图③2 2 2A3 4 设 BP＝t，则 BE＝ t，PE＝ t 5 5 ∵BH＝DE＝3，∴DH＝BE＝ 由△DGH∽△DPE，得 3 t 5DC QGH DH ＝ PE DE4 3 t 3 5 5 3 5 3 即 ＝ ，解得 t＝ ，即 BP＝ 4 3 3 3 t 5 6． （上海模拟）如图，三角形纸片 ABC 中，∠C＝90° ，AC＝4，BC＝3．将纸片折叠，使点 B 落在 AC 边 上的点 D 处，折痕与 BC、AB 分别交于点 E、F． （1）设 BE＝x，DC＝y，求 y 关于 x 的函数关系式，并确定自变量 x 的取值范围； （2）当△ADF 是直角三角形时，求 BE 的长； （3）当△ADF 是等腰三角形时，求 BE 的长 （4）过 C、D、E 三点的圆能否与 AB 边相切？若能，求 BE 的长；若不能，说明理由． AAFDB 解： （1）∵BE＝x，∴DE＝x，EC＝3－x 在 Rt△DEC 中，DC ＋EC ＝DE2 2 2 2 2 2CBEC即 y ＋(3－x ) ＝x ，∴y＝ 6x－9 当 D 与 C 重合时，x 最小 即 y＝ 6x－9＝0，x＝ 3 2当 E 与 C 重合时，x 最大，x＝3 3 ∴ ≤x≤3 2 （2）①当∠ADF＝90° 时，则 FD∥BC ∴∠AFD＝∠B，又∵∠EDF＝∠B ∴∠AFD＝∠EDF，∴DE∥AB DE EC ∴△DEC∽△ABC，∴ ＝ AB BC 3－x x 15 15 ∴ ＝ ，解得 x＝ ，即 BE 的长为 5 3 8 8 ②当∠AFD＝90° 时，则∠BFE＝∠DFE＝45° 作 EG⊥BF 于 G，则 Rt△BEG∽Rt△BAC ∴ BG EG BE ＝ ＝ BC AC AB BG EG x 3 4 ＝ ＝ ，∴BG＝ x，EG＝ x 3 4 5 5 5 4 3 4 7 x，DF＝BF＝ x＋ x＝ x 5 5 5 5 F G D B E C A B E C F D A∵∠C＝90° ，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5 ∴∴FG＝EG＝AD DF 由 Rt△ADF∽Rt△ABC，得 ＝ AB BC 7 x 5 4－ 6x－9 ∴ ＝ ，即 7x＋3 6x－9－12＝0 5 3 u ＋9 令 6x－9＝u，则 x＝ 6 u ＋9 2 ∴7( )＋3u－12＝0，∴7u ＋18u－9＝0 62 2 解得 u1＝－3＜0（舍去） ，u2＝ (3 73 2 ) ＋9 7 75 75 ∴x＝ ＝ ，即 BE 的长为 6 49 49 综上，当△ADF 是直角三角形时，BE 的长为 （3）①当 AF＝DF 时，则∠A＝∠FDA ∵∠FDE＝∠B，∠A＋∠B＝90° ∴∠FDA＋∠FDE＝90° ，即∠ADE＝90° ∴ED⊥AC，∴D 与 C 重合 ∴x＝ 1 3 3 BC＝ ，即 BE 的长为 2 2 2 B E C(D) F 15 75 或 8 49 A②当 AD＝DF 时，则 BF＝DF＝AD＝4－ 6x－9 ∴AF＝5－(4－ 6x－9 )＝1＋ 6x－9 作 DG⊥AF 于 G，则 Rt△ADG∽Rt△ABC AG＝ ∴ 1 1 AF＝ (1＋ 6x－9 ) 2 2 F G D A4－ 6x－9 AD AB 5 ＝ ，∴ ＝ AG AC 1 4 (1＋ 6x－9 ) 2 27 375 375 ，解得 x＝ ，即 BE 的长为 13 169 169 B得 6x－9＝EC③当 AD＝AF 时，则 AF＝AD＝4－ 6x－9 ∴DF＝BF＝5－(4－ 6x－9 )＝1＋ 6x－9 作 FH⊥AD 于 H，则 Rt△AFH∽Rt△ABC ∴ 4－ 6x－9 AH FH AF AH FH ＝ ＝ ，∴ ＝ ＝ AC BC AB 4 3 5 16－4 6x－9 12－3 6x－9 ，FH＝ 5 5 16－4 6x－9 4＋4 6x－9 ＝ 5 5 B E F H D C A∴AH＝∴HC＝4－ ∴DH＝4＋4 6x－9 4－ 6x－9 － 6x－9＝ 5 52 2 2在 Rt△DFH 中，DH ＋FH ＝DF ∴(4－ 6x－9 2 12－3 6x－9 2 2 ) ＋( ) ＝( 1＋ 6x－9 ) 5 52令 6x－9＝t，代入上式并化简得 15t ＋130t－135＝0 解得 t＝ 5 10－13 （舍去负值） 3 5 10－13 250－65 10 250－65 10 ，解得 x＝ ，即 BE 的长为 3 27 27∴ 6x－9＝ 综上，当△ADF 是等腰三角形时，BE 的长为3 375 250－65 10 或 或 2 169 27（4）假设过 C、D、E 三点的圆能与 AB 边相切 ∵△DEC 是直角三角形，∴DE 是圆的直径 ∴∠DFE＝90° ，∴∠BFE＝90° ∴D 点在 AB 上，不可能 ∴过 C、D、E 三点的圆不能与 AB 边相切（⊙O 与 AB 边相离） 7． （上海模拟）如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90° ，AB＝6，AC＝8，AD⊥BC 于 D，点 E、F 分别是 AB 边和 AC 边上的动点，且∠EDF＝90° ，连接 EF． （1）求 DE 的值； DF（2）设 AE 的长为 x，△DEF 的面积为 S，求 S 关于 x 的函数关系式； （3）设直线 DF 与直线 AB 相交于点 G，△EFG 能否成为等腰三角形？若能，求 AE 的长；若不能，请说 明理由． A A A E B F D C B D 备用图 C B D 备用图 C解： （1）∵∠BAC＝90° ，∴∠1＋∠2＝90° ∵AD⊥BC，∴∠C＋∠2＝90° ∴∠1＝∠C ∵∠EDF＝90° ，∴∠3＋∠5＝90° ∵AD⊥BC，∴∠4＋∠5＝90° ∴∠3＝∠4 ∴△ADE∽△CDF ∴ DE AD AB 6 3 ＝ ＝tan∠C＝ ＝ ＝ DF CD AC 8 4 AE DE 3 ＝ ＝ CF DF 4 BA E1 2F3 5 4DC（2）∵△ADE∽△CDF，∴4 4 4 ∴CF＝ AE＝ x，∴AF＝8－ x 3 3 3 4 2 25 2 64 2 2 ∴EF ＝x ＋( 8－ x ) ＝ x － x＋64 3 9 3 ∵ DE AB ＝ ，∠EDF＝∠BAC＝90° DF AC S2∴△DEF∽△ABC EF ∴ ＝ 2 S△ABC BC 1 2 2 2 ∵S△ABC ＝ ×6×8＝24，BC ＝6 ＋8 ＝100 2 ∴S＝24 25 2 64 2 2 128 384 ( x － x＋64 )＝ x － x＋ 100 9 3 3 25 252 2 128 384 即 S＝ x － x＋ （0≤x≤6） 3 25 25 （3）假设△EFG 能成为等腰三角形 当点 G 在 AB 延长线上时，由于∠GEF≥90° ，所以只能 EF＝EG ∴∠G＝∠6 ∵△DEF∽△ABC，∴∠6＝∠C ∵∠1＝∠C，∴∠G＝∠1 ∴DA＝DG＝DF，∴EF＝AB，∴EF ＝AB ∴2 2A E1 6F C25 2 64 42 x － x＋64＝36，解得 x＝6（舍去）或 x＝ 9 3 25 42 25B GD此时 AE 的长为当点 G 在 BA 延长线上时，由于∠EFG≥90° ，所以只能 FE＝FG ∴∠G＝∠AEF DE DE 1 ＝ ＝ ＝ DG DF＋FG 4 3 EF＋EF 5 8－ 4 x 3 24－4x ＝ x 3x 3 EF 5G而 tan∠G＝A F E B D CAF tan∠AEF＝ ＝ AE24－4x 1 24 ∴ ＝ ，解得 x＝ 3x 3 5 此时 AE 的长为 24 5 42 24 或 25 5综上所述，△EFG 能成为等腰三角形，此时 AE 的长为8． （上海模拟）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝5，D 是 BC 边上一点，CD＝3，P 是 AC 边上一动点（不与 A、C 重合） ，过点 P 作 PE∥BC 交 AD 于点 E． （1）设 AP＝x，DE＝y，求 y 关于 x 的函数关系式； （2）以 PE 为半径的⊙E 与以 DB 为半径的⊙D 能否相切？若能，求 tan∠DPE 的值；若不能，请说明理 由； （3）将△ABD 沿直线 AD 翻折，得到△AB′D，连接 EC、B′C，当∠ACE＝∠BCB′ 时，求 AP 的长． A P E ACDBCD备用图B 解： （1）在 Rt△ ACD 中，AC＝4，CD＝3，∴AD＝5 ∵PE∥BC，∴ 5－y AP AE x ＝ ，即 ＝ AC AD 4 5A P E5 ∴y＝－ x＋5（0＜x＜4） 4 （2）对于⊙E，rE＝EP＝ 3 5 x；对于⊙D，rD＝DB＝2；圆心距 ED＝－ x＋5 4 4CDB3 5 当两圆外切时，rE＋rD＝ED，∴ x＋2＝－ x＋5 4 4 解得 x＝ 3 5 ，∴PC＝ 2 2 A∵PE∥BC，∴∠DPE＝∠PDC PC 5 ∴tan∠DPE＝tan∠PDC＝ ＝ CD 6 当两圆内切时，| rE－rD|＝ED，∴| 解得 x＝ 3 5 x－2|＝－ x＋5 4 47 1 或 x＝6（舍去） ，∴PC＝ 2 2 PC 1 ＝ CD 6 AC 4 ＝ AD 5P CE D B∴tan∠DPE＝tan∠PDC＝（3）延长 AD 交 BB′ 于 F，则 AF 垂直平分 BB′ 在 Rt△BDF 中，BD＝2，sin∠BDF＝sin∠ADC＝ ∴BF＝ 8 16 ，BB′＝ 5 5 P E A∵∠ADC＝∠BDF，∴∠CAD＝∠DBF 当∠ACE＝∠BCB′ 时，△CAE∽△CBB′ ∴ AC BC 4 5 64 ＝ ，即 ＝ ，∴y＝5－ AE 16 25 5－ y BB′ 5 5 64 256 x＋5＝5－ ，解得 x＝ 4 25 125CD F B′B∴－9． （上海模拟）已知 Rt△ABC 中，∠ACB＝90° ，点 P 是边 AB 上的一个动点，连接 CP，过点 B 作 BD⊥ CP，垂足为点 D. （1）如图 1，当 CP 经过△ABC 的重心时，求证：△BCD∽△ABC； （2）如图 2，若 BC＝2 厘米，cotA＝2，点 P 从点 A 向点 B 运动（不与点 A、B 重合） ，点 P 的速度是 5 厘米/秒，设点 P 运动的时间为 t 秒，△BCD 的面积为 S 平方厘米，求 S 关于 t 的函数解析式，并写出自 变量 t 的取值范围； （3）在（2）的条件下，若△PBC 是以 CP 为腰的等腰三角形，求△BCD 的面积． C D \ P D 图1 \ D D \ D \ 图2 D C CABAPBA 备用图B （1）证明：∵CP 经过△ABC 的重心，∴CP 为△ABC 的中线 ∴CP＝ 1 AB＝AP，∴∠A＝∠ACP 2又∵∠ACP＋∠DCB＝90° ，∠CBD＋∠DCB＝90° ∴∠CBD＝∠A，又∠BDC＝∠ACB＝90° ∴△BCD∽△ABC （2）解：∵BC＝2，cotA＝2，∴AC＝4 过点 P 作 PE⊥AC 于 E，则 AP＝ 5t，PE＝t，AE＝2t EC＝4－2t，PC＝ t ＋( 4－2t ) 由∠PCE＝∠CBD，得 Rt△CPE∽Rt△BCD ∴ S△BCD BC 2 S 4 ＝( ，即 ＝ 2 2 PC ) 1 S△CPE t ＋( 4－2t ) ( 4－2t )t 22 2 2C E A P D \ D \ DB8t－4t ∴S＝ 2 （0＜t ＜2） 5t －16t＋16 （3）①当 PC＝PB 时，有 解得 t＝1 当 t＝1 时，S＝ 8×1－4×1 4 ＝ （平方厘米） 2 5 5×1 －16×1＋16 t ＋( 4－2t ) ＝22 2 2t ＋( 4－2t ) ＝2 10－ 5t22②当 PC＝BC 时，有 解得 t1＝6 ，t2＝2（不合题意，舍去） 56 6 2 8× －4×( ) 5 5 6 24 当 t＝ 时，S＝ ＝ （平方厘米） 5 6 2 6 25 5×( ) －16× ＋16 5 5 综上所述，当 PC＝PB 时，△BCD 的面积为 4 24 平方厘米；当 PC＝BC 时，△BCD 的面积为 平方厘米 5 25 4 ．点 P 310． （上海模拟）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90° ，CE 是斜边 AB 上的中线，AB＝10，tanA＝ 是 CE 延长线上的一动点，过点 P 作 PQ⊥CB，交 CB 延长线于点 Q．设 EP＝x，BQ＝y． （1）求 y 关于 x 的函数关系式及定义域； （2）连接 PB，当 PB 平分∠CPQ 时，求∠PE 的长； （3）过点 B 作 BF⊥AB 交P PQ 于 F，当△BEF 和△QBF 相似时，求 x 的值． A A A E E ECBQC 备用图BC 备用图B 解： （1）在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90° ，AB＝10，tanA＝ ∴AC＝6，BC＝8 ∵CE 是斜边 AB 上的中线，∴CE＝BE＝ 1 AB＝5 2BC 4 ＝ AC 3∴∠PCQ＝∠ABC 又∠PQC＝∠ACB＝90° ，∴△PCQ∽△ABC ∴ 8＋y CQ BC 4 4 ＝ ＝ ，即 ＝ PC AB 5 5＋x 5 A E HP4 ∴y＝ x－4（x ＞5） 5 （2）过点 B 作 BH⊥PC 于 H ∵PB 平分∠CPQ，BQ⊥PQ，∴BH＝BQ＝y ∵BH＝ 3 24 4 24 BC＝ ，∴ x－4＝ 5 5 5 5 CBQ∴x＝11 （3）∵∠BQF＝∠ACB＝90° ，∠QBF＝∠A ∴△BFQ∽△ABC 当△BEF 和△QBF 相似时，则△BEF 和△ABC 也相似 有两种情况： ①当∠BEF＝∠A 时 在 Rt△EBF 中，∠EBF＝90° ，BE＝5，BF＝ 5 4 4 ∴ ( x－4)＝ ×5，解得 x＝10 3 5 3 ②当∠BEF＝∠ABC 时 在 Rt△EBF 中，∠EBF＝90° ，BE＝5，BF＝ 5 4 3 125 ∴ ( x－4)＝ ×5，解得 x＝ 3 5 4 16 ∴当△BEF 和△QBF 相似时，求 x 的值为 10 或 125 16 5 y 3 5 y 3P A E FCBQP A E F B QC11． （上海模拟）如图 1，在 Rt△AOC 中，AO⊥OC，点 B 在 OC 边上，OB＝6，BC＝12，∠ABO＋∠C＝ 90° ，动点 M 和 N 分别在线段 AB 和 AC 边上． （1）求证：△AOB∽△COA，并求 cosC 的值； （2）当 AM＝4 时，△AMN 与△ABC 相似，求△AMN 与△ABC 的面积之比； （3）如图 2，当 MN∥BC 时，以 MN 所在直线为对称轴将△AMN 作轴对称变换得△EMN．设 MN＝x，△ EMN 与四边形 BCNM 重叠部分的面积为 y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围． A M N E O B图1A M NCOB图2C 解： （1）∵AO⊥OC，∴∠ABO＋∠BAO＝90° ∵∠ABO＋∠C＝90° ，∴∠BAO＝∠C ∵∠AOB＝∠COA，∴△AOB∽△COA ∴OB : OA＝OA : OC ∵OB＝6，BC＝12，∴6 : OA＝OA : 18 ∴OA＝6 3 ∴AC＝ OC ＋OA ＝ ∴cosC＝2 2A 18 ＋(6 3) ＝12 32 2MNOC 18 3 ＝ ＝ AC 2 12 3 3 ，∴∠C＝30° 2 O B图1（2）∵cosC＝ ∵tan∠ABO＝COA 6 3 ＝ ＝ 3，∴∠ABO＝60° OB 6∴∠BAC＝30°，∴AB＝BC＝12 ①当∠AMN＝∠ABC 时（如图 1） ，△AMN∽△ABC 2 2 2 2 ∵AM＝4，∴S△AMN : S△ABC ＝AM : AB ＝4 : 12 ＝1 : 9 ②当∠AMN＝∠C 时（如图 2） ，△AMN∽△ACB 2 2 2 2 ∵AM＝4，∴S△AMN : S△ABC ＝AM : AC ＝4 :(12 3) ＝1 : 27 （3）易得 S△ABC ＝ 1 1 BC?OA＝ ×12×6 3＝36 3 2 2A MNO∵MN/∥BC，∴△AMN∽△ABC 2 2 2 2 ∴S△AMN : S△ABC ＝MN : BC ，∴S△AMN : 36 3＝x : 12 ∴S△AMN ＝ 3 2 x 4 A M E O FB图2C①当 EN 与线段 AB 相交时，设 EN 与 AB 交于点 F（如图 3） ∵MN/∥BC，∴∠ANM＝∠C＝30° ∴∠ANM＝∠BAC，∴AM＝MN＝x ∵以 MN 所在直线为对称轴将△AMN 作轴对称变换得△EMN ∴∠ENM＝∠ANM＝30° ，∴∠AFN＝90° ∴MF＝ 1 1 1 MN＝ AM＝ x 2 2 2NB图3C∴S△FMN : S△AMN ＝MF : AM ∴y : ∴ y＝ 3 2 1 x ＝ x : x＝1 : 2 4 2 3 2 x （0＜x ≤8） 8 A②当 EN 与线段 AB 不相交时，设 EN 与 BC 交于点 G（如图 4） ∵MN/∥BC，∴CN : AC＝BM : AB ∴CN : 12 3＝(12－x ) : 12，∴CN＝12 3－ 3x 2 2 ∵△CNG∽△CBA，∴S△CNG : S△ABC ＝CN : BC 2 2 ∴S△CNG : 36 3＝(12 3－ 3x ) : 12 ∴S△CNG ＝ 3 2 (12 3－ 3x ) 4M O E B GN C图4 ∴S 阴影＝S△ABC － S△AMN － S△CNG ＝36 3－23 2 3 2 x － (12 3－ 3x ) 4 4即 y＝－ 3x ＋18 3x－72 3（8＜x ＜12） 12． （上海模拟）把两块边长为 4 的等边三角板 ABC 和 DEF 如图 1 放置，使三角板 DEF 的顶点 D 与三角 板 ABC 的 AC 边的中点重合，DF 经过点 B，射线 DE 与射线 AB 相交于点 M．把三角板 ABC 固定不动， 将三角板 DEF 绕点 D 按逆时针方向旋转，设旋转角为 α，其中 0° ＜α＜90° ，射线 DF 与线段 BC 相交于点 Q（如图 2） ． （1）当 0° ＜α＜60° 时，求 AM?CN 的值； （2）当 0° ＜α＜60° 时，设 AM＝x，两块三角板重叠部分的面积为 y，求 y 与 x 的函数关系式并确定自变量 x 的取值范围； （3）当 BM＝2 时，求两块三角板重叠部分的面积． E M D M E F B 图1 C B 图2 N C B 备用图 A P D M E B A 4 x M D F 图1 N Q C C D A A AF解： （1）∵ △ABC 和△DEF 是等边三角形，∴∠EDF＝∠C＝∠A＝60° ∵∠ADM＋∠EDF＝∠DNC＋∠C，∴∠ADM＝∠DNC AM AD ∴△AMD∽△CDN，∴ ＝ CD CN ∴AM?CN＝AD?CD ∵AD＝CD＝2，∴AM?CN＝4 （2）过点 D 作 DP⊥AB 于 P，DQ⊥BC 于 Q（如图 1） 可得 DP＝DQ＝ 3 ∵AM＝x，∴CN＝3 2 1 1 4 ∴y＝S△ABC － S△AMD － S△CDN＝ ?4 － ?x? 3－ ? ? 3 4 2 2 x ∴y＝4 3－ 3 2 3 x－ （1＜x＜4) 2 xEB FN 图2C（3）①当 M 在边 AB 上时（如图 1） ∵BM＝2，∴AM＝2，即 x＝2 ∴y＝2 3，即两块三角板重叠部分的面积为 2 3 ②当 M 在 AB 延长线上时（如图 2） 设 DE 与 BC 交于点 R，过点 D 作 DG∥BC，交 AB 于点 G 则 BG＝BM＝DG＝2，∴AM＝6，BR＝1 ∴CN＝ 2 7 ，∴RN＝ 3 3A DG M B E M 图3 R NC1 7 7 3 ∴y＝S△DRN ＝ × × 3＝ 2 3 6F 综上所述，两块三角板重叠部分的面积为 2 3 和7 3 613． （上海模拟）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90° ，∠A＝60° ，AC＝2，CD⊥AB，垂足为点 D，点 E、F 分别在边 AC、BC 上，且∠EDF＝60° ．设 AE＝x，BF＝y． （1）求 y 关于 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）当△BDF 是等腰三角形时，求 x 的值； （3）以 DF 为直径的圆能否与 AC 相切？如果能，求 tan∠AED 的值；如果不能，请说明理由． A D E C F B解： （1）如图，作 DG⊥AC 于 G，FH⊥AB 于 H，FK⊥CD 于 K 在 Rt△ABC 中，∠A＝60° ，AC＝2，∴AB＝4，BC＝2 3 ∴CD＝ 3，AD＝1，AG＝ FH＝ 1 3 y，BH＝ 2 y 2 3 3 ＝3－ y 2 2 1 3 ，DG＝ 2 2 A G E K C F B D HDH＝KF＝CF?cos30° ＝( BC－BF )cos30° ＝( 2 3－y )×∵∠ADG＝30° ，∠EDF＝60° ，∴∠EDG＋∠FDH＝90° 又∠EDG＋∠DEG＝90° ，∴∠DEG＝∠FDH DG FH ∴Rt△DEG∽△FDH，∴ ＝ ，即 EG DH 3 3 x＋1 1 ≤x ≤2 2 3 1 y 2 2 ＝ 1 3 x－ 3－ y 2 2∴ y＝∵当点 E 与点 G 重合时，点 F 与点 C 重合 ∴自变量 x 的取值范围是（2）BD＝AB－AD＝4－1＝3 ∵∠DFB＞∠DCB＞∠B，∴DF≠DB ①当 BF＝BD 时， 3 3 ＝3，∴x＝ 3－1 x＋1②当 DF＝BF 时，则 DH＝BH，2BH＝BD 即 2× ∴ 3 y＝3，∴y＝ 3 23 3 ＝ 3，∴x＝2 x＋1 （3）作 DG⊥AC 于 G，DH⊥BC 于 H，设以 DF 为直径的⊙O 与 AC 相切于 I，连接 OI 则 OI 是梯形 CFDG 的中位线 1 1 3 5 3 1 ∴OI＝ ( CF＋DG )＝ ( 2 3－y＋ )＝ － y 2 2 2 4 2 1 1 3 在 Rt△DFH 中，DH＝ BD＝ ( 4－1)＝ 2 2 2 FH＝|CH－CF|＝|DG－CF|＝| ＝| y－ 3 3 | 22 2 2A G E I C D3 －( 2 3－y )| 2O FH B由勾股定理得 DF ＝DH ＋FH ＝ 由题意知 DF＝2OI，∴DF ＝4OI 得29 3 3 2 ＋ y－ 4 ( 2 )29 3 3 2 5 3 1 2 ＋( y－ ＝4( － y) ) 4 2 4 2 39 13 3 ，即 y＝ 4 8整理得 2 3y＝ ∴3 3 13 3 11 11 1 9 ＝ ，∴x＝ ，∴GE＝ － ＝ x＋1 8 13 13 2 263 2 DG 13 3 ∴tan∠AED＝ ＝ ＝ GE 9 9 26 14． （上海模拟）如图，P 是线段 AB 上任意一点（不与点 A、B 重合） ，分别以 AP、BP 为边，在 AB 的同 侧作等边△APD 和等边△BPC，连接 BD 与 PC 交于点 E，连接 CD． （1）当 BC⊥CD 时，试求∠DBC 的正切值； （2）若线段 CD 是线段 DE 和 DB 的比例中项，试求此时 AP 的值； PB2（3）记四边形 ABCD 的面积为 S，当 P 在线段 AB 上运动时，S 与 BD 是否成正比例？若成正比例，试求 出比例系数；若不成正比例，请说明理由． C C D E D EA 解： （1）∵等边△APD 和等边△BPC ∴PC＝BC，∠CPD＝60° ，PD∥BC 当 BC⊥CD 时，tan∠DBC＝PBAP 备用图BCD CD ＝ BC PCCD 3 ∴PD⊥CD， ＝sin∠CPD＝sin60° ＝ PC 2 ∴∠DBC 的正切值为23 2 DE CD ＝ CD DB（2）由已知，CD ＝DE?DB，即又∠CDE＝∠BDC，∴△CDE∽△BDC ∴ DE CD CE ＝ ＝ CD DB BC CE CE ＝ BC CP又 CP＝BC，∴ ∵PD∥BC，∴ ∴ ∴ ∴CE BE ＝ CP BDCD CE BE ＝ ＝ ，∴CD＝BE DB CP BD DE BE ＝ ，即点 E 是线段 BD 的黄金分割点 BE BD 5－1 DE BE ＝ ＝ BE BD 2 5－1 AP DE ＝ ＝ PB BE 2 3 2 3 2 a ，S△BPC＝ b 4 4又 PC∥AD，∴（3）设 AP＝a，PB＝b，则 S△APD＝ ∵AD∥PC，PD∥BC ∴ ∴ S△APD AD S△PDC PD ＝ ， ＝ PC S△BPC BC S△PDCC D ES△APD S△PDC 3 ＝ ，∴S△PDC ＝ S△APD?S△BPC ＝ ab 4 S△PDC S△BPC3 2 2 ∴S＝ ( a ＋ab＋b ) 4 作 DH⊥AB，则 DH＝ ∴BD ＝DH ＋BH ＝ ∴ S 3 2＝ 4 BD2 2 2 23 1 a，BH＝ a＋b 2 2 3 2 1 2 2 2 a ＋( a＋b ) ＝a ＋ab＋b 4 2APB∴S 与 BD 成正比例，比例系数为3 415． （上海模拟）如图，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，D 是 AC 边的中点，E 是 BC 边上一动点（不 与端点重合） ，EF∥BD 交 AC 于 F，交 AB 延长线于 G，H 是 BC 延长线上的点，且 CH＝BE，连接 FH．设 BE＝x，CF＝y． A （1）求 y 关于 x 的函数关系式； （2）连接 AE，当以 GE 为半径的⊙G 和以 FH 为半径的 ⊙F 相切时，求 tan∠BAE 的值； D F （3）当△BEG 与△FCH 相似时，求 BE 的长． B G E C H AADDB备用图CB备用图C解： （1）∵EF∥BD，∴ 即CF CE ＝ CD CBy 6－x 5 5 ＝ ，∴y＝ － x 5 6 2 12 2（2）∵CH＝BE，BC＝BE＋EC，EH＝EC＋CH ∴EH＝BC＝6 当以 GE 为半径的⊙G 和以 FH 为半径的⊙F 相切时，GE＋FH＝GF 又 GE＋FE＝GF，∴FE＝FH 作 FM⊥EH 于 M，则 EM＝ ∵EM＋MC＝EC，∴3＋ 1 3 3 x EH＝3，MC＝ y＝ － 2 5 2 4 N B G EA3 x － ＝6－x，解得 x＝2 2 4 3 6 4 8 BE＝ ，EN＝ BE＝ 5 5 5 5D F P M C H作 EN⊥AB 于 N，则 BN＝ ∴AN＝AB－BN＝5－ ∴tan∠BAE＝6 19 ＝ 5 5EN 8 ＝ AN 19（3）作 FP∥AG 交 BC 于 P，则∠FPC＝∠ABC ∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC ∴∠FPC＝∠ACB，∴FP＝FC＝ 5 5 3 x x － x，EP＝6－x－2( － )＝3－ 2 12 2 4 2∵FP∥AG，∴△PEF∽△BEG 若△BGE∽△FCH，则△PEF∽△FCH x 5 5 3－ － x 2 2 12 PE CF 于是 ＝ ，即 ＝ PF CH 5 5 x － x 2 12 解得 x＝6（舍去）或 x＝ 3－ 150 97x 2 PE CH x 或 ＝ ，即 ＝ PF CF 5 5 5 5 － x － x 2 12 2 12 解得 x＝2 综上所述，当△BEG 与△FCH 相似时，BE 的长为 150 或2 9716． （上海模拟）如图，△ABC 中，∠ABC＝90° ，AB＝BC＝4，点 O 为 AB 边的中点，点 M 是 BC 边上一 动点（不与点 B、C 重合） ，AD⊥AB，垂足为点 A．连接 MO，将△BOM 沿直线 MO 翻折，点 B 落在点 B1 处，直线 MB1 与 AC、AD 分别交于点 F、N． （1）当∠CMF＝120°时，求 BM 的长； （2）设 BM＝x，y＝ △CMF 的周长 ，求 y 关于 x 的函数关系式。并写出自变量 x 的取值范围； △ANF 的周长 C M B1 N F（3）连接 NO，与 AC 边交于点 E，当△FMC∽△AEO 时，求 BM 的长． DA 解： （1）∵∠CMF＝120° ，∴∠BMN＝60° ∴∠BMO＝30° D ∴Rt△MOB 中，BM＝OB?cot30° ＝2 3 （2）连接 ON，∵OA＝OB＝OB1，ON＝ON ∴Rt△ANO≌Rt△B1NO，∴∠AON＝∠B1ON，AN＝B1N N 又∵∠MOB1＝∠MOB，∴∠MON＝90° ∵∠OB1M＝∠B＝90° ，∴△MB1O∽△OB1N， 2 ? ∴OB1 ＝B1M B1N A 又 B1M＝BM＝x，OB1＝OB＝2 4 4 2 ∴2 ＝x?B1N，∴B1N＝ ，∴AN＝ x x ∵AD⊥AB，∴∠DAB＝90° D 又∠B＝90° ，∴AD∥BC，∴△CMF∽△ANF N △CMF 的周长 CM 4－x 1 2 ∴ y＝ ＝ ＝ ＝－ x ＋x AN 4 4 △ANF 的周长 x 1 2 即 y＝－ x ＋x（0＜x ＜4） 4 A （3）由题意知：∠EAO＝∠C＝45° 若△FMC∽△AEO，则有两种情况：∠FMC＝∠AEO 或∠FMC＝∠AOE ①当∠FMC＝∠AEO 时，有∠CFM＝∠AOE D 由（2）知∠AOE＝∠B1OE＝∠OMF N ∴∠CFM＝∠OMF，∴OM∥AC ∴∠OMB＝∠C＝45° ∴Rt△MOB 中，BM＝OB?cot45° ＝2 ②当∠FMC＝∠AOE 时，∵∠AOE＝∠OMF ∴∠FMC＝∠OMF＝∠OMB＝60° 2 3 ∴△MOB 中，BM＝OB?cot60° ＝ 3 AOB C MB1FOB CB1(F) EMOBCF B1 E M O B 综上所述，当△FMC∽△AEO 时，求 BM 的长为 2 或2 3 3 3 ，点 D 在射线 AB 上，DE∥BC 交射线 AC 517． （上海模拟）如图，在△ABC 中，AB＝AC＝10，cosB＝ 于点 E，点 F 在 AE 的延长线上，且 EF＝1 AE，以 DE、EF 为邻边作□DEFG，连接 BG． 4（1）当 EF＝FC 时，求△ADE 的面积； （2）设 AD＝x，□DEFG 与△ABC 重叠部分的面积为 y，求 y 与 x 的函数关系式； （3）当点 F 在线段 AC 上时，若△DBG 是等腰三角形，求 AD 的长． A AD G BE F C B 备用图 C解： （1）作 AH⊥BC 于 H 在 Rt△ABH 中，cosB＝ BH 3 ＝ ，AB＝10 AB 5∴BH＝6，∴AH＝8 ∵AB＝AC，∴BC＝2BH＝12 1 ∴S△ABC ＝ ×12×8＝48 2 ∵EF＝ 1 AE 4 2 AE，EF＝FC，∴ ＝ ＝ 4 AC 6 3 S△ADE AE 2 4 ＝( ＝ AC ) 9 S△ABC B D GA∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ ∴S△ADE ＝ 4 4 64 S ＝ ×48＝ 9 △ABC 9 3 AE AM DE ＝ ＝ AC AH BC 4 6 x，DE＝ x 5 5M N HE F C（2）设 AH 交 DE、GF 于点 M、N ∵DE∥BC，∴∵AD＝x，∴AM＝ ∵MN＝ 1 1 AM＝ x 4 5A①当点 F 在线段 AC 上时 ∴y＝S□DEFG ＝ 6 1 6 2 x? x＝ x （0＜x ≤8） 5 5 25 4 x 5 D B K G M H N E C F②当点 F 在 AC 延长线上时，则 MH＝8－ ∴y＝S□DECK ＝6 4 24 2 48 x? 8－ x) ＝－ x ＋ x（x ＞8） 5 ( 5 25 5 62? 25 x （0＜x ≤8） 综合得：y＝ ? 24 48 ?－ 25 x ＋ 5 x（x ＞8）2（3）∵BC＞AC，∴∠A＞∠ABC ∵DG∥AC，∴∠BDG＝∠A＞∠ABC＞∠DBG ∴BG＞DG 作 FP⊥BC 于 P，GQ⊥BC 于 Q 在 Rt△FPC 中，FC＝10－ ∴FP＝8－x，PC＝6－ ∴BG＝25 4 3 x，sinC＝sin∠ABC＝ ，cosC＝cos∠ABC＝ 4 5 53 6 3 9 x，∴BQ＝12－ x－(6－ x) ＝6－ x 4 5 4 20 9 2 x 20 ) 1 x 4 D G 9 2 x 20 ) B Q P E F C A(8－x) ＋(6－在△DBG 中，DB＝10－x，DG＝ ①若 DB＝DG，则 10－x＝ ②若 DB＝BG，则 10－x＝ 解得 x1＝0（舍去） ，x2＝ 560 811 x，解得 x＝8 4 (8－x) ＋(6－2综上所述，若△DBG 是等腰三角形，AD 的长为 8 或560 811 18． （上海模拟）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90° ，cos∠BAC＝ ，点 O 在 AB 上，且 CA＝CO＝6．将 3 △ABC 绕点 A 顺时针旋转得到△AB′C′，且 C′ 落在 CO 的延长线上，连接 BB′ 交 CO 的延长线于点 D， （1）求证：△COA∽△BOD B （2）求 BD 的长． D C′ O C A B′（1）证明：∵∠BAC＝∠B′AC′，∴∠CAC′＝∠B′AB′ 1 ∵AC＝AC′，∴∠ACC′＝∠AC′C＝ (180° －∠CAC′ ) 2 1 ∵AB＝AB′，∴∠ABB′＝∠AB′B＝ (180° －∠BAB′ ) 2 ∴∠ACC′＝∠ABB′ 又∠COA＝∠BOD，∴△COA∽△BOD （2）解：∵CA＝CO，△COA∽△BOD，∴BD＝BO ∵cos∠BAC＝ 1 ，CA＝CO＝6，∴BA＝18 3B D C′ O C E A B′1 过 C 作 CE⊥AB 于 E，则 EA＝ CA＝2，OA＝2EA＝4 3 ∴BD＝BO＝BA－OA＝18－4＝1419． （安徽）如图 1，在△ABC 中，D、E、F 分别为三边的中点，G 点在边 AB 上，△BDG 与四边形 ACDG 的周长相等，设 BC＝a、AC＝b、AB＝c． （1）求线段 BG 的长； （2）求证：DG 平分∠EDF； （3）连接 CG，如图 2，若△BDG 与△DFG 相似，求证：BG⊥CG． A G F E C B F G E C ABD图1D图2（1）解：∵△BDG 与四边形 ACDG 的周长相等，且 BD＝DC 1 1 ∴BG＝AG＋AC＝ ( AB＋AC )＝ ( b＋c ) 2 2 （2）证明：∵点 D、F 分别是 BC、AB 的中点，∴DF＝ 1 1 1 又∵FG＝BG－BF＝ ( b＋c )－ c＝ b 2 2 2 ∴DF＝FG，∴∠FDG＝∠FGD ∵点 D、E 分别是 BC、AC 的中点，∴DE∥AB ∴∠EDG＝∠FGD，∴∠FDG＝∠EDG 即 DG 平分∠EDF （3）证明：∵△BDG 与△DFG 相似，∠DFG＞∠B，∠BGD＝∠DGF（公共角） ∴∠B＝∠FDG 由（2）知∠FGD＝∠FDG，∴∠FGD＝∠B，∴DG＝BD ∵BD＝DC，∴DG＝BD＝DC，∴B、G、C 三点在以 BG 为直径的圆周上 ∴∠BGC＝90° ，即 BG⊥CG 3 ．如图，把△ABC 的一边 BC 放置在 x 5 1 1 AC＝ b 2 220． （浙江金华、丽水）在△ABC 中，∠ABC＝45° ，tan∠ACB＝ 轴上，有 OB＝14，OC＝ 10 34，AC 与 y 轴交于点 E． 3（1）求 AC 所在直线的函数解析式； （2）过点 O 作 OG⊥AC，垂足为 G，求△OEG 的面积； （3）已知点 F（10，0） ，在△ABC 的边上取两点 P，Q，是否存在以 O，P，Q 为顶点的三角形与△OFP 全等，且这两个三角形在 OP 的异侧？若存在，请求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理 由． y y A E G A EBOFCxBOFCx备用图解： （1）在 Rt△OCE 中，OE＝OC?tan∠OCE＝ 设直线 AC 的函数解析式为 y＝kx＋2 34，则 ∴直线 AC 的函数解析式为 y＝－ 3 x＋2 34 510 3 34× ＝2 34，∴点 E（0，2 34） 3 510 34 3 k＋2 34＝0，解得：k＝－ 3 5（2）方法 1：在 Rt△OGE 中，tan∠EOG＝tan∠OCE＝2 2EG 3 ＝ GO 5设 EG＝3t，则 OG＝5t，OE＝ EG ＋OG ＝ 34t，∴2 34＝ 34t，得 t＝2 故 EG＝6，OG＝10 ∴S△OEG ＝ 1 1 OG?EG＝ ×10×6＝30 2 2 3 3 ，∴sin∠OCE＝ 5 34方法 2：在 Rt△OCE 中，∵tan∠OCE＝ ∴OG＝OC?sin∠OCE＝10 3 34× ＝10 3 34 3 ＝6 5yA E Q(G) P1 F C x在 Rt△OEG 中，EG＝OG?tan∠OCE＝10× S△OEG ＝ 1 1 OG?EG＝ ×10×6＝30 2 2（3）①当点 Q 在 AC 上时，点 Q 即为点 G 如图 1，作∠FOQ 的角平分线交 CE 于点 P1， 由△OP1F≌△OP1Q，则有 P1F⊥x 轴BO图13 由于点 P1 在直线 AC 上，当 x＝10 时，y＝－ ×10＋2 34＝2 34－6 5 ∴点 P1（10，2 34－6） ②当点 Q 在 AB 上时 如图 2，有 OQ＝OF，作∠FOQ 的角平分线交 CE 于点 P2 过点 Q 作 QH⊥OB 于点 H，设 OH＝a，则 BH＝QH＝14－a 在 Rt△OQH 中，a ＋(14－a ) ＝100，解得：a1＝6，a2＝8 ∴Q（－6，8）或 Q（－8，6） 连接 QF 交 OP2 于点 M 当 Q（－6，8）时，则点 M（2，4） 此时直线 OM 的函数解析式为 y＝2x2 2yA E Q M B H O图2P2FCx y＝2x ? ? 由? 3 ? ?y＝－ 5 x＋2 34∴P2（?x＝ 13 解得：? 20 ?y＝ 131034 34 A QyE P410 20 34， 34） 13 13 5 5 34， 34） 9 3 B O图3当 Q（－8，6）时，同理可求得 P3（FCx如图 3，有 QP4∥OF，QP4＝OF＝10 设点 P4 的横坐标为 x，则点 Q 的横坐标为( x－10 ) ∵yQ＝yP ，直线 AB 的函数解析式为 y＝x＋14 ∴( x－10 )＋14＝－ 解得：x＝ 3 x＋2 34 5 AyE(P5)5 34－10 5 34＋6 ，可得：y＝ 4 4 B Q O图45 34－10 5 34＋6 ∴点 P4（ ， ） 4 4 ③当点 Q 在 BC 边上时，如图 4，QQ＝OF＝10，点 P5 在 E 点 ∴点 P5（0，2 34）FCx综上所述，存在满足条件的点 P 的坐标为：P1（10，2 34－6） ，P2（ P3（ 5 9 34， 5 3 5 34－10 5 34＋6 34） ，P4（ ， ） ，P5（0，2 34） 4 410 20 34， 34） ， 13 1321． （浙江义乌）在锐角△ABC 中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45° ．将△ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转， 得到△A1BC1． （1）如图 1，当点 C1 在线段 CA 的延长线上时，求∠CC1A1 的度数； （2）如图 2，连接 AA1、CC1．若△ABA1 的面积为 4，求△CBC1 的面积； （3） 如图 3， 点 D 为线段 AB 中点， 点 P 是线段 AC 上的动点， 在△ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转过程中， 点 P 的对应点是点 P1，求线段 DP1 长度的最大值与最小值． A C1 A C1 A1 B图1C1 P1 A D B A1图2 图3B CCA1P C解： （1）∵BC＝BC1，∴∠A1C1B＝∠ACB＝45° 又∠A1C1B＝∠ACB＝45° ∴∠CC1A1＝∠AC1B＋∠A1C1B＝45° ＋45° ＝90° （2）∵△ABC≌△A1BC1，∴BA＝BA1，BC＝BC1，∠ABC＝∠A1BC1 ∴ BA BA1 ＝ ，∠ABC＋∠ABC1＝∠A1BC1＋∠ABC1 BC BC1A1A P 1 (P ) D E B C1 C ∴∠ABA1＝∠CBC1，∴△ABA1∽△CBC1 ∴ S△ABA1 AB 2 4 2 16 ＝( ＝( ) ＝ ) BC 5 25 S△CBC125 25 ∵S△ABA1＝4，∴S△CBC1＝4× ＝ 16 4 （3）过点 B 作 BE⊥AC 于点 E ∵△ABC 为锐角三角形，∴点 E 在线段 AC 上 5 在 Rt△BCE 中，BE＝BC?sin45° ＝ 2 2 ①当 P 在 AC 上运动至垂足点 E，△ABC 绕点 B 旋转， 使点 P 的对应点 P1 落在线段 AB 上时，DP1 最小 最小值为 5 2－2 2 C1(P1)A D B A1 C (P )②当 P 在 AC 上运动至点 C，△ABC 绕点 B 旋转，使点 P 的对应点 P1 落在线段 AB 的延长线上时，DP1 最 大，最大值为 2＋5＝7 22． （浙江模拟）如图，在边长为 2 的等边△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，点 P 是边 AB 上的一个动点，过点 P 作 PF∥AC 交线段 BD 于点 F，作 PG⊥AB 交 AD 于点 E，交线段 CD 于点 G，设 BP＝x． （1）用含 x 的代数式表示线段 DG 的长，并写出自变量 x 的取值范围； （2）记△DEF 的面积为 S，求 S 与 x 之间的函数关系式，并求出 S 的最大值； （3）以 P、E、F 为顶点的三角形与△EDG 是否可能相似？如果能，求出 BP 的长；如果不能，请说明理 由． AP E B 解：（1）∵△ABC 为等边三角形，∴∠B＝60° 1 ∵AD⊥BC，PG⊥AB，∴BD＝ BC＝1，BG＝2BP＝2x 2 1 ∴DG＝BG－BD＝2x－1（ ＜x ≤1） 2 （2）∵PF∥AC，∴△BPF 为等边三角形 ∴BF＝BP＝x，∴FD＝1－x 在 Rt△EDG 中，∠EGD＝90° －∠B＝30° ，DG＝2x－1 ∴ED＝ 3 3 DG＝ ( 2x－1) 3 3 P E B F D图1F DGCA1 1 3 ∴S＝ FD?ED＝ ( 1－x )? ( 2x－1) 2 2 3 3 2 3 3 1 即 S＝－ x ＋ x－ （ ＜x ≤1） 3 2 6 2GC ∵S＝－3 2 3 3 3 3 2 3 1 3 x＋ x－ ＝－ ( x－ ) ＋ ， ＜ ＜1 3 2 6 3 4 48 2 43 3 ∴当 x＝ 时，S 有最大值，最大值为 4 4 （3）∵∠EPF＝∠EGD＝30° ，∠EDG＝90° ∴当△PEF∽△GDE 时（如图 1） ，有∠PEF＝90° ∴∠PFE＝60° ，∴∠EFG＝60° ，∴EF＝2FD 又∵PF＝2EF，∴PF＝4FD ∴x＝4( 1－x )，解得 x＝ 4 5 2 3 FD 3 A当△PFE∽△GDE 时（如图 2） ，有∠PFE＝90° ∴∠EFD＝30° ，∴EF＝2DE＝ 又∵PF＝ 3EF，∴PF＝2FD 2 ∴x＝2( 1－x )，解得 x＝ 3 ∴以 P、E、F 为顶点的三角形与△EDG 能相似，此时 BP 的长为 BP E F D图2GC4 2 或 5 323． （江苏淮安） 阅读理解 如图 1， △ABC 中， 沿∠BAC 的平分线 AB1 折叠， 剪掉重叠部分； 将余下部分沿∠B1A1C 的平分线 A1B2 折叠，剪掉重叠部分；?；将余下部分沿∠BnAnC 的平分线 AnBn+1 折叠，点 Bn 与点 C 重合 ，无论折叠多少 ．． 次，只要最后一次恰好重合，我们就称∠BAC 是△ABC 的好角． A A1 A2 B B1 B2 图1 ? Bn Bn+1 C An B B1 图2 C B B1 图3 A1 B2 C A A小丽展示了确定∠BAC 是△ABC 的好角的两种情形． 情形一： 如图 2， 沿等腰三角形△ABC 顶角∠BAC 的平分线 AB1 折叠，点 B 与点 C 重合；情形二：如图 3，沿△ABC 的∠BAC 的平分线 AB1 折叠，剪掉重叠 部分；将余下的部分沿∠B1A1C 的平分线 A1B2 折叠，此时点 B1 与点 C 重合． 探究发现 （1）△ABC 中，∠B＝2∠C，经过两次折叠，∠BAC 是不是△ABC 的好角？_________（填“是”或“不 是”） ． （2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC 是△ABC 的好角，请探究∠B 与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等 量关系． 根据以上内容猜想：若经过 n 次折叠∠BAC 是△ABC 的好角，则∠B 与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间 的等量关系为________________． 应用提升 （3）小丽找到一个三角形，三个角分别为 15° ，60° ，105° ，发现 60° 和 105° 的两个角都是此三角形的好角． 请你完成，如果一个三角形的最小角是 4° ，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均 是此三角形的好角． 解： （1）是 （2）∠B＝3∠C ∠B＝n∠C 提示：如图，在△ABC 中，沿∠BAC 的平分线 AB1 折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C 的平分线 A1B2 折叠， 剪掉重叠部分， 将余下部分沿∠B2A2C 的平分线 A2B3 折叠， 点 B2 与点 C 重合， 则∠BAC 是△ABC 的好角． A 证明：∵∠B＝∠AA1B1，∠C＝∠A2B2C，∠A1B1C＝∠A1A2B2 A1 ∴∠A1A2B2＝∠C＋∠A2B2C＝2∠C A2 ∴∠BAC＋∠B＋∠AA1B1－∠A1 B1C＝∠BAC＋2∠B－2C＝180° ∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180° C B B1 B2 B3 ∴∠B＝3∠C 故若经过 n 次折叠∠BAC 是△ABC 的好角， 则∠B 与∠C （不妨设∠B＞∠C） 之间的等量关系为∠B＝n∠C （3）不妨设此三角形为△ABC，最小角为∠A＝4° 设∠B＝x° ，∠C＝y° （不妨设 x＞y） 则 x＝my，y＝4n（m，n 均为正整数） 由∠A＋∠B＋∠C＝180°得：4＋4mn＋4n＝180 即 n( m＋1)＝44 ∵m，n 均为正整数?m＝43 ?m＝21 ?m＝1 ?m＝10 ?m＝3 ∴? 或 ? 或 ? 或 ? 或 ? ?n＝1 ?n＝2 ?n＝22 ?n＝4 ?n＝11 当 m＝43，n＝1 时，∠B＝172° ，∠C＝4° 当 m＝21，n＝2 时，∠B＝88° ，∠C＝88° 当 m＝1，n＝22 时，∠B＝168° ，∠C＝8° 当 m＝10，n＝4 时，∠B＝160° ，∠C＝16° 当 m＝3，n＝11 时，∠B＝132° ，∠C＝44° 所以该三角形另外两个角的度数为：4° ，172°或 88° ，88°或 8° ，168°或 16° ，160°或 44° ，132°1 24． （江苏宿迁） （1）如图 1，在△ABC 中，BA＝BC，D，E 是 AC 边上的两点，且满足∠DBE＝ ∠ABC 2 1 （0° ＜∠CBE＜ ∠ABC） ．以点 B 为旋转中心，将△BEC 按顺时针方向旋转∠ABC，得到△BE′A（点 C 2 与点 A 重合，点 E 到点 E′ 处） ，连接 DE′．求证：DE′＝DE． 1 （2）如图 2，在△ABC 中，BA＝BC，∠ABC＝90° ，D，E 是 AC 边上的两点，且满足∠DBE＝ ∠ABC 2 （0° ＜∠CBE＜45° ） ．求证：DE ＝AD ＋EC ． A E′ D A D E E B C图12 2 2BC图2（1）证明：由题意得，△BE′A≌△BEC ∴BE′＝BE，∠E′BA＝∠EBC 1 1 ∵∠DBE＝ ∠ABC，∴∠ABD＋∠EBC＝ ∠ABC 2 2 1 ∴∠E′BD＝∠ABD＋∠E′BA＝ ∠ABC 2 ∴∠E′BD＝∠EBD 又∵BD＝BD，∴△E′BD≌△EBD ∴DE′＝DE （2）证明：如图，将△BEC 绕点 B 按逆时针方向旋转 90° ，点 C 与点 A 重合，点 E 到点 E′ 处，连接 DE′ 则有 AE′＝CE，∠E′AB＝∠ECB A 在△ABC 中，BA＝BC，∠ABC＝90° E′ ∴∠BAD＝∠ECB＝∠E′AB＝45° D ∴∠E′AD＝∠E′AB＋∠BAD＝90° 2 2 2 ∴△E′AD 是直角三角形，∴DE′ ＝AD ＋AE′ E 由（1）知，DE′＝DE ∴DE ＝AD ＋EC2 2 2BC25． （江苏镇江）等边△ABC 的边长为 2，P 是 BC 边上的任一点（与 B、C 不重合） ，连接 AP，以 AP 为 边向两侧作等边△APD 和等边△APE，分别与边 AB、AC 交于点 M、N（如图 1） ． （1）求证：AM＝AN； （2）设 BP＝x． ①若 BM＝ 3 ，求 x 的值； 8②记四边形 ADPE 与△ABC 重叠部分的面积为 S，求 S 与 x 之间的函数关系式以及 S 的最小值； ③连接 DE，分别与边 AB、AC 交于点 G、H（如图 2） ，当 x 取何值时，∠BAD＝15° ？并判断此时以 DG、GH、HE 这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由． A D M B P图1A H N C E G D M B图2EN P C（1）证明：∵△ABC、△APD 和△APE 是等边三角形 ∴AP＝AD，∠DAP＝∠BAC＝60° ，∠ADM＝∠APN＝60° ∴∠DAM＝∠PAN，∴△ADM≌△APN，∴AM＝AN （2）①易证△BPM∽△CAP，∴ ∵BM＝ 解得 x＝ BM BP ＝ CP CA3 2 ，AC＝2，CP＝2－x，∴可得 4x －8x＋3＝0 8 1 3 或 2 2②四边形 AMPN 的面积即为四边形 ADPE 与△ABC 重叠部分的面积 ∵△ADM≌△APN，∴S△ADM ＝S△APN ∴S 四边形 AMPN ＝S△APM ＋ S△APN ＝S△AMP ＋ S△ADM ＝S△ADP 过点 P 作 PS⊥AB，垂足为 S（如图） 在 Rt△BPS 中，∵∠B＝60° ，BP＝x 3 1 ∴PS＝BP?sin60° ＝ x，BS＝BP?cos60° ＝ x 2 2 1 ∵AB＝2，∴AS＝AB－BS＝2－ x 2 ∴AP ＝AS ＋PS ＝( 2－2 2 2A D M S B P T N C E1 2 3 2 2 x ) ＋( x ) ＝x －2x＋4 2 2取 AP 的中点 T，连接 DT，在等边△ADP 中，DT⊥AB ∴S△ADP ＝ 1 1 3 3 2 AP?DT＝ AP? AP＝ AP 2 2 2 4 3 2 3 3 3 2 AP ＝ ( x－1) ＋ （0＜x ＜2） 4 4 4 3 3 4 G D M B A H O N P C E∴S＝S 四边形 AMPN ＝S△ADP ＝∴当 x＝1 时，S 的最小值是③连接 PG，若∠DAB＝15° ，∵∠DAP＝60° ，∴∠PAG＝45° 易证四边形 ADPE 为菱形，∴DO 垂直平分 AP ∴GP＝AG，∴∠PAG＝∠APG＝45° ，∠PGA＝90° 设 BG＝t，在 Rt△BPG 中，∠ABP＝60° ，∴BP＝2t，PG＝ 3t ∴AG＝PG＝ 3t，∴ 3t＋t＝2，求得 t＝ 3－1，∴BP＝2t＝2 3－2 ∴当 BP＝2 3－2 时，∠DAB＝15° 猜想：以 DG、GH、HE 这三条线段为边构成的三角形是直角三角形 方法 1：设 DE 交 AP 于点 O ∵等边△APD 和△APE，∴AD＝DP＝AP＝PE＝EA ∴四边形 ADPE 为菱形，∴AO⊥DE，∠ADO＝∠AEH＝30° ∵∠DAB＝15° ，易得∠AGO＝45° ，∠HAO＝15° ，∠EAH＝45° 设 AO＝a，则 AD＝AE＝2a，GO＝AO＝a，OD＝ 3a ∴DG＝DO－GO＝( 3－1)a ∵∠DAB＝15° ，∠BAC＝60° ，∠ADO＝30° ，∴∠DHA＝∠DAH＝75°∵DH＝AD＝2a，∴GH＝DH－DG＝2a－( 3－1)a＝( 3－ 3)a HE＝DE－DH＝2DO－DH＝2 3a－2a＝2( 3－1)a 2 2 2 2 2 ∵DG ＋GH ＝[( 3－1)a] ＋[( 3－ 3)a] ＝( 16－8 3)a 2 2 2 HE ＝[2( 3－1)a] ＝( 16－8 3)a 2 2 2 ∴DG ＋GH ＝HE ∴以 DG、GH、HE 这三条线段为边可构成直角三角形 方法 2：将△ADG 沿 AB 翻折得△AD′G，则 GD′＝GD，∠D′GB＝∠DGB ∵∠DGB＝∠DAG＋∠ADG＝15° ＋30° ＝45° ∴∠D′GB＝45° ，∠D′GH＝90° ∵AE＝AP，AP＝AD，AD′＝AD，∴AD′＝AE ∵∠EAH＝∠DAE－∠DAG－∠BAC＝120° －60° －15° ＝45° ′ ′ G ∠D AH＝∠BAC－∠D AB＝60° －15° ＝45° D ∴∠EAH＝∠D′AH M ∵AH＝AH，∴△AEH≌△AD′H，∴D′H＝EH B D′ 又∵GD′＝GD，∠D′GH＝90° ∴以 DG、GH、HE 这三条线段为边可构成直角三角形A H O N P C E 26． （江苏模拟）如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（2，2） ，点 P 是线段 OA 上的一个动点（不 与端点重合） ，过点 P 作 PQ⊥x 轴于 Q，以 PQ 为边向右作正方形 PQMN．连接 AN 并延长交 x 轴于点 B， 连接 ON，设 OQ＝t． （1）求 tan∠BON 的值； （2）用含 t 的代数式表示△OAB 的面积 S； （3）是否存在点 P，使以 B、M、N 为顶点的三角形与△MON 相似，若存在，请求出 B 点的坐标；若不 存在，请说明理由． y y A A P NOQMBxO备用图x解： （1）过点 A 作 AD⊥x 轴于 D，交 PN 于 C（如图 1） ∵A（2，2） ，∴AD＝OD＝2，∴∠AOB＝45° y ∴PQ＝OQ＝QM＝MN＝t，∴OM＝2t A MN t 1 ∴tan∠BON＝ ＝ ＝ OM 2t 2 P C N （2）∵PN∥OB，∴△APN∽△AOB 2－t AC PN t 2t ∴ ＝ ，即 ＝ ，∴OB＝ AD OB 2 OB 2－t O Q DM B 1 2t ∴S＝ OB?AD＝ （0＜t ＜2） 2 2－t 图1 （3）∵∠BMN＝∠OMN＝90° BM MN BM OM ∴要使△BMN 与△OMN 相似，只需 ＝ 或 ＝ MN OM MN MN y 1 A 即 BM ＝ t 或 BM＝2t 2 1 ①当 BM ＝ t 时 2 P N 3 i）若 B 在 M 的左侧（如图 2） ，则 OB ＝OM－BM＝ t 2 x O Q BM 2t 3 2 ∴ ＝ t，解得 t＝0（舍去）或 t＝ 2－t 2 3 图2 ∴B（1，0） 5 ii）若 B 在 M 的右侧（如图 1） ，则 OB ＝OM＋BM＝ t 2 y 2t 5 6 A ∴ ＝ t，解得 t＝0（舍去）或 t＝ 2－t 2 5 N P ∴B（3，0） ②当 BM＝2t 时，B 在 M 的右侧（如图 3） OB ＝OM＋BM＝4t 2t 3 ∴ ＝4t，解得 t＝0（舍去）或 t＝ O Q M 2－t 2 图3 ∴B（6，0） 综上所述，B 点的坐标为（1，0）或（3，0）或（6，0）xB x27． （江苏模拟）在平面直角坐标系中，点 C 的坐标为（0，4） ，A（t，0）是 x 轴上一动点，M 是线段 AC 的中点．把线段 AM 绕点 A 按顺时针方向旋转 90° ，得到线段 AB，过点 B 作 x 轴的垂线，过点 C 作 y 轴的 垂线，两直线交于点 D，直线 DB 交 x 轴于点 E． （1）若 t＝3，则点 B 的坐标为____________，若 t＝－3，则点 B 的坐标为____________； （2）若 t ＞0，当 t 为何值时，△BCD 的面积等于 6 ？ （3）是否存在 t，使得以 B、C、D 为顶点的三角形与△AOC 相似？若存在，求此时 t 的值；若不存在， 请说明理由． y y C D CM O AB E x O备用图x3 3 解： （1） （5， ） ， （－1，－ ） 2 2 （2）①当 0＜t ＜8 时，如图 1 ∵∠CAB＝90° ，∴∠CAO＋∠BAE＝90° ∵∠CAO＋∠ACO＝90° ，∴∠BAE＝∠ACO 又∠BEA＝∠AOC＝90° ，∴△BEA∽△AOC ∴ AE BE AB 1 AE BE 1 ＝ ＝ ＝ ，即 ＝ ＝ CO AO CA 2 4 t 2 O y C DM A图1B E x1 1 ∴AE＝2，BE＝ t，∴B（t＋2， t） 2 2 1 1 1 ∴S△BCD ＝ CD?BD＝ ( t＋2)( 4－ t )＝6 2 2 2 解得 t＝2 或 t＝4 ②当 t ＞8 时，如图 2 1 1 1 S△BCD ＝ CD?BD＝ ( t＋2)( t－4 )＝6 2 2 2 解得 t＝10 或 t＝－4（舍去） ∴当 t＝2 或 t＝4 或 t＝10 时，△BCD 的面积等于 6 （3）①当 0＜t ＜8 时，如图 1 若△CDB∽△AOC，则 CD BD ＝ AO CO C yB D MO图2AE xt＋2 即 ＝ t1 4－ t 2 ，t 无实数解 4 y C M O A E B图3若△BDC∽△AOC，同理，解得 t＝－2 5－2（舍去）或 t＝2 5－2 ②当 t ＞8 时，如图 2 CD BD 若△CDB∽△AOC，则 ＝ AO CO 1 t－4 t＋2 2 即 ＝ ，解得 t＝－4 3＋8（舍去）或 t＝4 3＋8 t 4 若△BDC∽△AOC，同理，t 无实数解 ③当－2＜t ＜0 时，如图 3Dx 若△CDB∽△AOC，则CD BD ＝ AO CO y D M x Ct＋2 即 ＝ －t1 4－ t 2 ，t＝－4 5＋8 或 t＝4 5＋8（舍去） 4若△BDC∽△AOC，同理，t 无实数解 ④当 t ＜－2 时，如图 4 △CDB∽△AOC，则 CD BD ＝ AO CO AE BO－ t－2 即 ＝ －t1 4－ t 2 ，t 无实数解 4图4若△BDC∽△AOC，同理，解得 t＝－4 或 t＝4（舍去） ∴存在 t＝2 5－2 或 4 3＋8 或－4 5＋8 或－4，使得以 B、C、D 为顶点的三角形与△AOC 相似 28． （江苏模拟）如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90° ，∠BAE＝135° ，AC ＝2 2，AD＝1，F 为 BE 的中点． （1）求 CF 的长； （2）将△ADE 绕点 A 旋转一周，求点 F 运动路径的长． BF A D E 解： （1）延长 DF 交 AB 于点 G，连接 CD、CG ∵△ADE 是等腰直角三角形，∠ADE＝90° ，∴∠AED＝45° 又∠BAE＝135° ，∴DE∥BA ∴∠DEF＝∠GBF，∠EDF＝∠BGF 又 F 为 BE 中点，∴EF＝BF ∴△DEF≌△GBF，∴DE＝GB，DF＝GF 又 AD＝DE，AC＝BC，∠DAC＝∠GBC＝45° ∴△ACD≌△BCG，∴CD＝CG，∠ACD＝∠BCG 又∠ACB＝∠ACG＋∠BCG＝90° ∴∠DCG＝∠ACD＋∠ACG＝90° ∴△DCG 是等腰直角三角形，∴CF＝ 过 D 作 DH⊥AC 于 H 则 AH＝DH＝2CB GF A H D E B C2 CD 2M F A D E C2 2 3 2 AD＝ ，CH＝AC－AH＝ 2 2 22∴CD＝ CH ＋DH ＝ 5 ∴CF＝ 2 10 CD＝ 2 2（2）取 AB 中点 M，连接 MF，则 MF 是△BAE 的中位线 ∴MF＝1 2 2 AE＝ AD＝ 2 2 2当△ADE 绕点 A 旋转时，由于线段 AB 的中点 M 是定点， 线段 MF 的长是定长，所以点 F 到 M 的距离始终等于定长 MF，故点 F 的运动路径是以点 M 为圆心，MF 长为半径的圆 ∴△ADE 绕点 A 旋转一周，点 F 运动路径的长为：2π× 2 ＝ 2π 229． （江苏模拟）如图，在△ABC 中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，点 D 为 AC 边上一点，且 AD＝8cm．动 点 E 从点 B 出发，以 1cm/s 的速度沿线段 BC 向终点 C 运动，F 是射线 CA 上的动点，且∠DEF＝∠B．设 运动时间为 t s，CF 的长为 y cm． （1）求 y 与 t 之间的函数关系式及点 F 运动路线的长； （2）当以点 B 为圆心，BE 长为半径的⊙B 与以点 C 为圆心，CF 长为半径的⊙C 相切时，求 t 的值； （3）当△CEF 为等腰三角形时，求 t 的值．A FAD B E C BD C备用图解： （1）∵AB＝AC，∴∠C＝∠B ∵∠CEF＋∠DEF＋∠BED＝180° ，∠BDE＋∠B＋∠BED＝180° ，∠DEF＝∠B ∴∠CEF＝∠BDE，∴△CEF∽△BDE ∴A D(F )y 12－t CF CE ＝ ，∴ ＝ BE BD t 10－81 2 ∴y＝－ t ＋6t（0≤t ≤12） 2 ∵y＝－ 1 2 1 2 t ＋6t＝－ ( t－6 ) ＋18 2 2BEC∴y 的最大值为 18cm ∴点 F 运动路线的长为 36cm （2）①当⊙B 与⊙C 外切时，点 F 在线段 CA 上，且 BE＋CF＝BC ∴t－ 1 2 t ＋6t＝12，解得 t＝2 或 t＝12（舍去） 2 D BF A②当⊙B 与⊙C 内切时，点 F 在 CA 延长线上，且 CF－BE＝BC 1 2 ∴－ t ＋6t－t＝12，解得 t＝4 或 t＝6 2 综上所述，当⊙B 与⊙C 相切时，t 的值为 2 或 4 或 6 （3）①若 EF＝CF，则∠C＝∠CEF ∵∠C＝∠B，∴△FEC∽△ABCEC FC EC ∴ ＝ ，∴ AC BC 解得 t＝－1 2 t ＋6t 2 12－t ＝ 10 125 或 t＝12（舍去） 3②若 EF＝EC，则∠C＝∠EFC ∵∠C＝∠B，∴△EFC∽△ABC 12－t EC FC ＝ ，∴ ＝ AC BC 10－∴1 2 t ＋ 6t 2 12解得 t＝12 或 t＝12（舍去） 5 1 2 t ＋6t＝12－t 2 5 12 或2或 3 5 4 ，BD＝CD，E、F 3③若 CF＝CE，则－解得 t＝2 或 t＝12（舍去） 综上所述，当△CEF 为等腰三角形时，t 的值为30． （江苏模拟）如图，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠A＝90° ，AB＝8，tanC＝分别是线段 BC、BD 上的动点（点 E 与点 B、C 不重合） ，且∠DEF＝∠ADB．设 CE＝x，DF＝y． （1）求 BC 和 BD 的长； D A （2）求 y 与 x 的函数关系式； M （2）当△DEF 为等腰三角形时，求 x 的值． F M B 解： （1）∵AD∥BC，∠A＝90° ，∴∠ADB＝∠DBC ∵DB＝DC，∴∠DBC＝∠C，∴∠ADB＝∠C ∴tan∠ADB＝tanC＝ 4 AB 4 ，∴ ＝ 3 AD 3 E M C∵AB＝8，∴AD＝6，∴BD＝10 过 D 作 DH⊥BC 于 H，则 DH＝AB＝8，BH＝AD＝6 ∵DB＝DC，∴BC＝2BH＝12 （2）∵∠DEF＝∠ADB，∠ADB＝∠C，∴∠DEF＝∠C ∵∠DEB＝∠1＋∠DEF＝∠2＋∠C，∴∠1＝∠2 又∠DBC＝∠C，∴△BEF∽△CDE ∴ 10－y 12－x BF BE ＝ ，即 ＝ CE CD x 10 1 2 6 x － x＋10 10 5AD M2 F M1BH ME MC∴ y＝（3）若①DE＝FE，则△BEF≌△CDE，∴BE＝CD 即 12－x＝10，得 x＝2 ②若 FD＝FE，则∠FDE＝∠FED＝∠DBE ∴DE＝BE＝12－x 在 Rt△DHE 中，( 6－x ) ＋8 ＝( 12－x ) ，解得 x＝22211 3③若 DE＝DF，则∠DFE＝∠DEF＝∠DBE 此时点 F 与点 B 重合，故点 E 与点 C 也重合，不合题意，舍去 综上所述，当△DEF 为等腰三角形时，x＝2 或 11 331． （江苏模拟）如图，Rt△ABC 中，∠BAC＝90° ，AB＝AC，D 是 BC 的中点，E 是 AC 上一点，点 G 在 BE 上，连接 DG 并延长交 AE 于 F，若∠FGE＝45° ． B （1）求证：BD?BC＝BG?BE； （2）求证：AG⊥BE； （3）若 E 是 AC 的中点，求 EF 的值． DF G A （1）证明：∵Rt△ABC 中，∠BAC＝90° ，AB＝AC ∴BC＝ 2AB，∠C＝45° ∵∠BGD＝∠FGE＝45° ，∴∠BGD＝∠C BD BE 又∵∠DBG＝∠EBC，∴△BDG∽△BEC，∴ ＝ BG BC 即 BD?BC＝BG?BE 2 （2）证明：∵D 是 BC 的中点，∴AD＝BD，BD＝ AB 2 2 AB 2 BE AB BE ∴ ＝ ，即 ＝ BG BG AB 2AB 又∵∠ABG＝∠EBA，∴△ABG∽△EBA ∴∠BGA＝∠BAE＝90° ，即 AG⊥BE （3）解：∵∠FGE＝∠C＝45° ，∠EFG＝∠DFC ∴△EFG∽△DFC，∴ EF GE ＝ DF CD 1 BC＝ 2k 2 B D G A F E C F E C DB D G A F E C设 AC＝2k，则 AB＝2k，CD＝∵E 是 AC 的中点，∴AE＝k，∴BE＝ 5k ∵∠BGA＝90° ，∴∠AGE＝90° 又∵∠AEG＝∠BEA，∴△AGE∽△BAE GE AE GE k 5 ∴ ＝ ，即 ＝ ，∴EG＝ k AE BE k 5 5k 5 k 5 EF GE 10 ∴ ＝ ＝ ＝ DF CD 10 2k32． （河北）如图 1，点 E 是线段 BC 的中点，分别以 B，C 为直角顶点的△EAB 和△EDC 均是等腰直角三 角形，且在 BC 的同侧． （1）AE 和 ED 的数量关系为______________， AE 和 ED 的位置关系为______________； （2）在图中，以点 E 为位似中心，作△EGF 与△EAB 位似，点 H 是 BC 所在直线上的一点，连接 GH， HD，分别得到了图 2 和图 3． ①在图 2 中，点 F 在 BE 上，△EGF 与△EAB 的相似比是 1 : 2，H 是 EC 的中点． 求证：GH＝HD，GH⊥HD． ②在图 3 中，点 F 在 BE 的延长线上，△EGF 与△EAB 的相似比是 k : 1，若 BC＝2，请直接写出 CH 的长为多少时，恰好使得 GH＝HD 且 GH⊥HD（用含 k 的代数式表示） ． A D A G B E图1DADCBFE图2HCBF E G图3CH解： （1）AE＝ED，AE⊥ED （2）①证明：由题意，∠B＝∠C＝90° ，AB＝BE＝EC＝DC ∵△EGF 与△EAB 位似且相似比是 1 : 2 1 1 ∴∠GFE＝∠B＝90° ，GF＝ AB，EF＝ EB 2 2 1 ∴∠GFE＝∠C，∴EH＝HC＝ EC 2 1 1 1 ∴GF＝HC，FH＝FE＋EH＝ EB＋ EC＝ BC＝EC＝CD 2 2 2 ∴△HGF≌△DHC．∴GH＝HD，∠GHF＝∠HDC ∵∠HDC＋∠DHC＝90° ，∴∠GHF＋∠DHC＝90° ∴∠GHD＝90° ，GH⊥HD ②CH 的长为 k 5 ． 1333． （河北）如图 1 和图 2，在△ABC 中，AB＝13，BC＝14，cos∠ABC＝探究 如图 1， AH⊥BC 于点 H， 则 AH＝__________， AC＝__________， △ABC 的面积 S△ABC ＝__________． 拓展 如图 2，点 D 在 AC 上（可与点 A，C 重合） ，分别过点 A，C 作直线 BD 的垂线，垂足为 E，F．设 BD＝x，AE＝m，CF＝n． （当点 D 与 A 重合时，我们认为 S△ABD ＝0） （1）用含 x，m 或 n 的代数式表示 S△ABD 及 S△CBD ； （2）求( m＋n )与 x 的函数关系式，并求( m＋n )的最大值和最小值； （3）对给定的一个 x 值，有时只能确定唯一的点 D，指出这样的 x 的取值范围． 发现 请你确定一条直线，使得 A，B，C 三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程） ，并写出这个 最小值． A ADF E B H图1CB图2C 解：探究 12，15，84 拓展 （1）由三角形面积公式，得 S△ABD ＝ 2S△ABD 2S△CBD ，n＝ x x 1 1 mx，S△CBD ＝ nx 2 2（2）由（1）得 m＝ ∴m＋n＝2S△ABD 2S△CBD 168 ＋ ＝ x x x 2S△ABC 2×84 56 ＝ ＝ 15 15 5由于 AC 边上的高为 ∴x 的取值范围是56 ≤x ≤14 5∵( m＋n )随 x 的增大而减小 ∴当 x＝ 56 时，( m＋n )的最大值为 15 5 56 或 13＜x ≤14 5当 x＝14 时，( m＋n )的最小值为 12 （3）x 的取值范围是 x＝ 发现 AC 所在的直线 56 5 1 ，BC＝2AB， 2最小值为34． （河北模拟）如图，在平面直角坐标系中，点 O 是坐标原点，在△ABC 中，tan∠ACB＝点 B 的坐标为（－4，0） ，点 A、C 分别在 y 轴正半轴和 x 轴正半轴上，点 D 是 BC 的中点． （1）求点 A 的坐标； （2）点 P 从 C 点出发，沿线段 CB 以每秒 5 个单位的速度向终点 B 匀速运动，过点 P 作 PE⊥AB，垂足 为 E，PE 交直线 AC 于点 F，设 EF 的长为 y（y≠0） ，点 P 的运动时间为 t 秒，求 y 与 t 之间的函数关系 式（直接写出自变量 t 的取值范围） ； （3）在（2）的条件下，过点 O 作 OQ∥AC 交 AB 于 Q 点，连接 DQ．是否存在这样的 t 值，使△FDQ 是 直角三角形？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由．yAE FyAyABODPCxBOD备用图CxBOD备用图Cx解： （1）设 OA＝x ∵点 A、C 分别在 y 轴正半轴和 x 轴正半轴上 ∴tan∠ACO＝ OA 1 ＝ ，∴OC＝2x OC 2∵B（－4，0） ，∴OB＝4，∴BC＝2x＋4 ∵BC＝2AB，∴AB＝x＋2 在 Rt△AOB 中，OA ＋OB ＝AB 2 2 2 ∴x ＋4 ＝( x＋2) ，解得 x＝3 ∴点 A 的坐标为（0，3）2 2 2 （2）过 F 作 FN⊥OC 于点 N，如图 1 ∵∠FNP＋∠ABO＝90° ，∠BAO＋∠ABO＝90° ∴∠FNP＝∠BAO ∴tan∠FPN＝tan∠BAO，∴ FN OB 4 ＝ ＝ PN OA 3 ByAE F设 FN＝4k，则 PN＝3k，PF＝5k，CN＝8k，∴PC＝5k 又∵PC＝5t，∴k＝t，PF＝5t ∵OA＝3，OB＝4，∴AB＝5，∴BC＝10 在 Rt△PEB 中，sin∠PBE＝ ∴PE＝ PE OA 3 ＝ ＝ BP AB 5OD N P图1Cx3 3 BP＝ ( 10－5t )＝6－3t 5 5 3 9 OA＝ 4 4当点 E 与点 A 重合时，OP＝OA?tan∠OAP＝OA?tan∠ABO＝ 此时 PC＝6－ 9 15 15 3 ＝ ，t＝ ÷5＝ 4 4 4 4yF E B NO DP图2A3 当 0≤t ＜ 时，点 E 在 BA 延长线上，点 F 在线段 AC 上，如图 1 4 ∴y＝PE－PF＝6－3t－5t＝6－8t 当 3 ＜t ＜2 时，点 E 在线段 AB 上，点 F 在 CA 延长线上，如图 2 4Cx∴y＝PF－PE＝5t－( 6－3t )＝8t－6 （3）过 D 作 DH⊥AC 于 H，过 Q 作 QM⊥OB 于 M，如图 3 ∵BC＝10，点 D 是 BC 的中点，∴BD＝DC＝5 ∵OA＝3，OC＝6，∴AC＝3 5 由△DHC∽△AOC，得 DH＝ 5 ∵OQ∥AC，∴△QBO∽△ABC，得 BQ＝2 4 8 3 6 ∴BM＝ BQ＝ ，QM＝ BQ＝ 5 5 5 5 ∴DM＝BD－BM＝ 17 5 Q B MyAE H F C xOD N P图3yA Q B M E F P C x在 Rt△QMD 中，由勾股定理得 QD＝ 13 ∴QD＜2DH，∴以 QD 为直径的圆与 AC 相离 ∴∠QFD＜90° ①当∠QDF＝90° 时，如图 4 由（2）知 FN＝4t，∴CN＝8t，DN＝CD－CN＝5－8t ∵∠QDF＝90° ，∴∠QDM＋∠FDN＝90° ∵∠QDM＋∠DQM＝90° ，∴∠FDN＝∠DQM 又∵∠QMD＝∠DNF＝90° ，∴△QMD∽△DNF 17 5 QM DM 17 ∴ ＝ ，∴ ＝ ，解得 t＝ DN FN 5－8t 4t 32 ②当∠FQD＝90° 时，如图 5 过 F 作 x 轴的平行线，与 MQ 的延长线交于 G 则 GM＝FN＝4t，∴GQ＝GM－QM＝4t－ 6 5 6 5O DN图4G F QyAB M N O PD图5Cx GF＝MN＝BC－BM－CN＝10－8 42 －8t＝ －8t 5 5∵∠FQD＝90° ，∴∠FQG＋∠DQM＝90° ∵∠QDM＋∠DQM＝90° ，∴∠FQG＝∠QDM 又∵∠G＝∠QMD＝90° ，∴△FGQ∽△QMD 42 6 －8t 4t－ 5 5 FG GQ 15 ∴ ＝ ，∴ ＝ ，解得 t＝ QM MD 6 17 16 5 5 ∴存在 t＝ 17 15 或 t＝ ，使△FDQ 是直角三角形 32 1635． （山西模拟）如图 1，在平面直角坐标系中，直线 l 与坐标轴相交于 A（2 5，0） ，B（0， 5）两点， 将 Rt△AOB 绕原点 O 逆时针旋转得到 Rt△A′OB′． （1）求直线 l 的解析式； （2）若 OA′⊥AB，垂足为 D，求点 D 的坐标； （3） 如图 2， 若将 Rt△AOB 绕原点 O 逆时针旋转 90° ， A′B′ 与直线 l 相交于点 F， 点 E 为 x 轴上一动点． 试 探究：是否存在点 E，使得以点 A，E，F 为顶点的三角形和△A′BB′ 相似．若存在，请求出点 E 的坐标； 若不存在，请说明理由． y y l B B′ O图1A′A′ l F BD A x B′ O图2Ax解： （1）设直线 l 的解析式为 y＝kx＋b ∵点 A（2 5，0） ，B（0， 5）在直线 l 上 1 ? ?k＝－ 2 ?2 5k＋b＝0 ∴? 解得：? ?b＝ 5 ? b＝ 5 ? ∴直线 l 的解析式为 y＝－ 1 x＋ 5 2yl B B′ O图1（2）∵A（2 5，0） ，B（0， 5） ，∴OA＝2 5，OB＝ 5 ∴AB＝ OA ＋OB ＝5 1 1 ∵OA′⊥AB 即 OD⊥AB，∴ OA?OB＝ AB?OD 2 2 1 1 ∴ ×2 5× 5＝ ×5×OD，∴OD＝2 2 2 过点 D 作 DH⊥x 轴于点 H（如图 1） 则∠DAH＋∠ADH＝∠ODH＋∠ADH＝90° ∴∠DAH＝∠ODH2 2A′ D A xH ∵在 Rt△AOB 中，tan∠BAO＝ ∴tan∠ODH＝2 2OB 5 1 ＝ ＝ OA 2 2 5 l FyA′ BOH 1 ＝ ，DH＝2OH DH 22 2 2 2在 Rt△ODH 中，设 OH＝a，则 DH＝2a ∵OH ＋DH ＝OD ，∴a ＋4a ＝2 ∵a ＞0，∴a＝ 2 5 2 5 4 5 ，∴OH＝ ，DH＝ 5 5 5EB′图2OAx2 5 4 5 ∴点 D 的坐标为（ ， ） 5 5 （3）存在点 E，使得以点 A，E，F 为顶点的三角形和△A′BB′ 相似 理由：∵△A′OB′ 由△AOB 逆时针旋转 90° 所得 ∴△A′OB′≌△AOB，∴∠B′A′O＝∠BAO 又∵∠FBA′＝∠OBA，∴△BFA′∽△BOA l BF A′B BF A′O－BO ∴ ＝ ，即 ＝ BO AB BO AB ∴ BF 2 5－ 5 ＝ ，∴BF＝1，∴AF＝AB＋BF＝6 5 5 AE AF ＝ A′B′ A′B B′yA′ F B①如图 2，当△AFE∽△A′BB′ 时，有 ∴O图3EAxAE 6 ＝ ，∴AE＝6 5，∴OE＝AE－AO＝6 5－2 5＝4 5 5 5 AE AF ＝ A′B A′B′∴E1（－4 5，0） ②如图 3，当△AEF∽△A′BB′ 时，有 ∴AE 6 6 5 6 5 4 5 ＝ ，∴AE＝ ，∴OE＝AO－AE＝2 5－ ＝ 5 5 5 5 54 5 ∴E2（ ，0） 5 4 5 综上所述，存在点 E1（－4 5，0） ，E2（ ，0） ，使得以点 A，E，F 为顶点的三角形和△A′BB′ 相似 5 36． （陕西）如图，正三角形 ABC 的边长为 3＋ 3． （1）如图①，正方形 EFPN 的顶点 E、F 在边 AB 上，顶点 N 在边 AC 上．在正三角形 ABC 及其内部，以 点 A 为位似中心，作正方形 EFPN 的位似正方形 E′F′P′N′，且使正方形 E′F′P′N′ 的面积最大（不要求写作 法） ； （2）求（1）中作出的正方形 E′F′P′N′ 的边长； （3）如图②，在正三角形 ABC 中放入正方形 DEMN 和正方形 EFPH，使得 DE、EF 在边 AB 上，点 P、N 分别在边 CB、CA 上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由． C CN N A P F 图① B A DM H E 图② P F BE 解： （1）如图①，正方形 E′F′P′N′ 即为所求 （2）设正方形 E′F′P′N′ 的边长为 x ∵△ABC 为正三角形，∴AE′＝BF′＝ ∴x＋ 2 3 x＝3＋ 3，∴x＝3 3－3 3 A 3 x 3 N′ NCP′ P F′ B（3）如图②，连接 NE，EP，PN，则∠NEP＝90° 设正方形 DEMN、正方形 EFPH 的边长分别为 m、n（m≥n） 它们的面积和为 S，则 NE＝ 2m，PE＝ 2n 2 2 2 2 2 2 2 ∴PN ＝NE ＋PE ＝2m ＋2n ＝2( m ＋n ) ∴S＝m ＋n ＝2 2E E′ F 图①1 2 PN 22 2 2 2 2延长 PH 交 ND 于点 G，则 PG⊥ND 在 Rt△PGH 中，PN ＝PG ＋GN ＝( m＋n ) ＋( m－n ) ∵ 3 3 m＋m＋n＋ n＝3＋ 3，即 m＋n＝3 3 32C方法一： ∴①当( m－n ) ＝0 时，即 m＝n 时，S 最小 1 9 2 ∴S 最小＝ ×3 ＝ 2 2 ②当( m－n ) 最大时，S 最大 即当 m 最大且 n 最小时，S 最大 ∵m＋n＝3 由（2）知，m 最大＝3 3－3 ∴n 最小＝3－m 最大＝3－( 3 3－3 )＝6－3 3 1 2 ∴S 最大＝ [9＋( m 最大－n 最小 ) ] 2 1 2 ＝ [9＋( 3 3－3－6＋3 3 ) ] 2 ＝99－54 3 方法二： ∴n＝3－m ∴S＝m ＋n ＝m ＋( 3－m ) ＝2m －6m＋9＝2( m－ 由（2）知，m 最大＝3 3－3 ∴n 最小＝3－m 最大＝3－( 3 3－3 )＝6－3 3 ∴6－3 3≤m ≤3 3－3 又 a＝2＞0，6－3 3＜ ∴当 m＝2 2 2 2 2 2N G A DM H E 图② P F B3 2 9 )＋ 2 23 3 3 9 ＜3 3－3， －( 6－3 3 )＝(3 3－3 )－ ＝3 3－ 2 2 2 23 9 时，S 有最小值 ； 2 2当 m＝6－3 3 或 3 3－3 时，S 有最大值 99－54 3 37． （陕西模拟） （1）如图 1，△ABC 在平面坐标系内，点 A（0，3 3） ，B（－3，0） ，C（2，0） ．一动点 由点 A 沿 y 轴向下运动，运动到线段 OA 上的 G 点时，再沿 GC 到达 C．若由 A 到 G 方向的速度是 G 到 C 方向的速度的 2 倍，要使动点由 A－G－C 所用的时间最短，求点 G 的坐标； 3 （2）如图 2，A、B 两村相距 10 千米，且 tanA＝ ，现计划修一条公路把 A、B 两村连接起来，由于 A、 4 B 两村之间有些重要的建筑物不能直接经过，故计划先沿水平 AC 方向修到某处 M，再由 M 处沿山坡修到 B 村． ①若由 A 到 M 的速度是 M 到 B 的速度的 2 倍，要尽快完成任务，求 AM 的长； ②若由 A 到 M 的速度是 M 到 B 的速度的 3 倍，要尽快完成任务，求 AM 的长； ③若由 A 到 M 的速度是 M 到 B 的速度的 n 倍，要尽快完成任务，直接写出 AM 的长．yA BBO图1CxAM图2C解： （1）设 G 到 C 方向的速度为 v，则 A 到 G 方向的速度为 2v t＝ AG GC 1 AG ＋ ＝ ( ＋GC ) 2v v v 2 AG ＋GC 最小 2∵v 是定值，要使 t 最小，只需 作 CD⊥AB 于 D，交 OA 于 G由 A（0，3 3） ，B（－3，0） ，知∠BAO＝30° ∴DG＝ AG 2AG ∵D、G、C 三点共线，∴ ＋GC 最小 2 ∵∠BCD＝∠BAO＝90° －∠ABC ∴∠BCD＝30° ，∴OG＝ 2 3 ∴G（0， ） 3 （2）①设 M 到 B 的速度为 v，则 A 到 M 的速度为 2v AM BM 1 AM t＝ ＋ ＝ ( ＋BM ) v v 2 2v ∵v 是定值，要使 t 最小，只需 AM ＋BM 最小 2 3 2 3 OC ＝ 3 3在 AC 下方作∠CAD＝45° ，作 BD⊥AD 于 D，交 AC 于 M，BE⊥AC 于 E AM AM 则 MD＝ ，且 B、M、D 三点共线，∴ ＋BM 最小 2 2 此时∠AMD＝45° ，∴∠BME＝45° ∵tanA＝ BE 3 ＝ ，设 BE＝3k，则 AE＝4k AE 4B在 Rt△ABE 中，由勾股定理得 AB＝5kA DMEC ∵AB＝10，∴5k＝10，k＝2，∴AE＝8，BE＝ME＝6 ∴AM＝2 ②设 M 到 B 的速度为 v，则 A 到 M 的速度为 3v t＝ AM BM 1 AM ＋ ＝ ( ＋BM ) 3v v v 31 在 AC 下方作∠CAD，使 sin∠CAD＝ ，作 BD⊥AD 于 D，交 AC 于 M，BE⊥AC 于 E 3 则 MD＝ AM AM ，且 B、M、D 三点共线，∴ ＋BM 最小 3 3 MD k 2 ME 2 3 2 ＝ ＝ ＝ ，∴ME＝ BE＝ AD 4 BE 4 2 2 2k B设 MD＝k，则 AM＝3k，AD＝2 2k ∴tan∠MAD＝ ∴AM＝8－3 2 2③设 M 到 B 的速度为 v，则 A 到 M 的速度为 nv t＝ AM BM 1 AM ＋ ＝ ( ＋BM ) nv v v nA DMEC1 在 AC 下方作∠CAD，使 sin∠CAD＝ ，作 BD⊥AD 于 D，交 AC 于 M，BE⊥AC 于 E n 则 MD＝ AM AM ，且 B、M、D 三点共线，∴ ＋BM 最小 n n2设 MD＝k，则 AM＝nk，AD＝ n －1 k ∴tan∠MAD＝ MD ＝ AD2k n －1 k2＝n －1 ME n －1 6 n －1 ＝ ，∴ME＝ 2 BE＝ 2 2 BE n －1 n －1 n －1222∴AM＝8－6 n －1 2 n －138． （新疆乌鲁木齐）如图，已知点 A（－12，0） ，B（3，0） ，点 C 在 y 轴的正半轴上，且∠ACB＝90° ． （1）求点 C 的坐标； （2）求 Rt△ACB 的角平分线 CD 所在直线 l 的解析式； y （3）在 l 上求出满足 S△PBC ＝ 1 S 的点 P 的坐标； 2 △ACB C（4）已知点 M 在 l 上，在平面内是否存在点 N，使以 O、 C、M、N 为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出 点 N 的坐标；若不存在，请说明理由． 解： （1）∵A（－12，0） ，B（3，0） ，∴OA＝12，OB＝3 由△AOC∽△COB，可得 OC ＝OA?OB＝36，∴| OC |＝6 又点 C 在 y 轴的正半轴上，故点 C 的坐标是（0，6） （2）过点 D 作 DE⊥BC 于点 E，设 DB 的长为 m ∵OA＝12，OB＝3，OC＝6，∴AB＝15，AC＝6 5，BC＝3 5 在 Rt△DEB 中，DE＝DB?sinB＝m?2ADOBxAC 2 5 BC 5 ＝ m，BE＝DB?cosB＝m? ＝ m AB 5 AB 5 2 5 m 5在 Rt△DEC 中，∠DCE＝45° ，于是，CE＝DE＝ 由 CE＋BE＝BC，即2 5 5 m＋ m＝3 5，得 m＝5 5 5y C E A D O B x又由|OA|＞|OB|，知点 D 在线段 OA 上，|OB|＝3 ∴|OD|＝2，故点 D（－2，0） 设直线 l 的解析式为 y＝kx＋b，把 C（0，6）和 D（－2，0）代入?b＝6 ? 得? ?－2k＋b＝0 ? ?k＝3 ? 解得：? ?b＝6 ?故直线 l 的解析式为 y＝3x＋6 （3）①取 AB 的中点 F（－4.5，0） ，过点 F 作 BC 的平行线交直线 l 于点 P1，连接 CF 易知 S△P1BC ＝S△FBC ＝ 1 S ，∴点 P1 为符合题意的点 2 △ACB直线 P1F 可由直线 BC 向左平移|BF|个单位得到（即向左平移 7.5 个单位） 易得直线 BC 的解析式为 y＝－2x＋6 ∴直线 P1F 的解析式为 y＝－2( x＋7.5)＋6，即 y＝－2x＋9?y＝－2x＋9 ? 由? ?y＝3x＋6 ? ?x＝－3 ? 解得 ? ?y＝－3 ?y P2∴点 P1（－3，－3） ②在直线 l 上取点 P2，使 P2C＝P1C 此时有 S△P2BC ＝S△P1BC ＝ 1 S ，∴点符 P2 合题意 2 △ACB 1 S 2 △ACBA F P1CD O Bx由 P2C＝P1C，可得点 P2 的坐标为（3，15） ∴点 P（－3，－3）或 P（3，15）可使 S△PBC ＝ （4）点 N 的坐标分别为（1，3） ， （－ 提示：如图所示，有四种情况y C M A N x A M N N D O B x A y C M D y C18 6 3 10 9 10 3 10 9 10 ， ） （－ ，－ ） ， （ ， ） 5 5 5 5 5 5y M C ND O BO BxAD O Bx39． （内蒙古赤峰）如图所示，要在燃气管道 l 上修建一个泵站，分别向 A、B 两镇供气，已知 A、B 到 l 的距离分别是 3km、4km（即 AC＝3km，BE＝4km） ，AB＝x km，现设计两种方案； 方案一：如图①所示，AP⊥l 于点 P，泵站修建在 P 处，该方案中管道长度 a1＝AB＋AP； 方案二：如图②所示，点 A′ 与点 A 关于 l 对称，A′B 与 l 相交于点 P，泵站修建在点 P 处，该方案中管道 长度 a2＝AP＋BP B （1）在方案一中，a1＝____________km（用含 x 的式子表示） ； A （2）在方案二中，a2＝____________km（用含 x 的式子表示） ； （3）请你分析要使铺设的输气管道最短，应选择方案一还是方案二． l C E B B A C P(C) 图① 解： （1）x＋3 （2） x ＋48 （3）a1 －a2 ＝( x＋3) －( x ＋48 ) ＝6x－39 2 2 当 a1 －a2 ＞0（即 a1－a2＞0，a1＞a2）时，6x－39＞0，解得 x ＞6.5 2 2 当 a1 －a2 ＝0（即 a1－a2＝0，a1＝a2）时，6x－39＝0，解得 x＝6.5 2 2 当 a1 －a2 ＜0（即 a1－a2＜0，a1＜a2）时，6x－39＜0，解得 x ＜6.5 综上所述 当 x ＞6.5 时，选择方案二，输气管道较短 当 x＝6.5 时，两种方案一样 当 0＜x ＜6.5 时，选择方案一，输气管道较短 40． （黑龙江哈尔滨）如图，在平面直角坐标系中，点 O 坐标原点，直线 y＝2x＋4 交 x 轴于点 A，交 y 轴 于点 B，四边形 ABCO 是平行四边形 ，直线 y＝－x＋m 经过点 C，交 x 轴于点 D． （1）求 m 的值； （2）点 P（0，t）是线段 OB 上的一个动点（点 P 不与 O，B 两点重合） ，过点 P 作 x 轴的平行线，分别 交 AB，OC，DC 于点 E，F，G．设线段 EG 的长为 d，求 d 与 t 之间的函数关系式（直接写出自变量 t 的 取值范围） ； （3）在（2）的条件下，点 H 是线段 OB 上一点，连接 BG 交 OC 于点 M，当以 OG 为直径的圆经过点 M 时，恰好使∠BFH＝∠ABO．求此时 t 的值及点 H 的坐标． y B C y B C2 2 2 2 2 2APll 图②AODxAO备用图Dx解： （1）方法一：如图 1 ∵y＝2x＋4 交 x 轴和 y 轴于 A、B ∴A（－2，0） ，B（0，4） ，∴OA＝2，OB＝4 ∵四边形 ABCO 是平行四边形，∴BC＝OA＝2 过点 C 作 CK⊥x 轴于 K，则四边形 BOKC 是矩形 ∴OK＝BC＝2，CK＝OB＝4 ∴C（2，4） ，代入 y＝－x＋m 得 4＝－2＋m，∴m＝6y B CAOK图1Dx 方法二：如图 2 y ∵y＝2x＋4 交 x 轴和 y 轴于 A、B N ∴A（－2，0） ，B（0，4） ，∴OA＝2，OB＝4 延长 DC 交 y 轴于点 N C B ∵y＝－x＋m 交 x 轴和 y 轴于 D、N ∴D（m，0） ，N（0，m） ，∴OD＝ON ∴∠ODN＝∠OND＝45° ∵四边形 ABCO 是平行四边形 ∴BC∥AO，BC＝OA＝2 A O D ∴∠NCB＝∠ODN＝∠OND＝45° ，∴NB＝BC＝2 图2 ∴ON＝NB＋OB＝2＋4＝6，∴m＝6 （2）方法一：如图 3，延长 DC 交 y 轴于点 N，分别过点 E、G 作 x 轴的垂线，垂足分别是 R、Q 则四边形 ERQG、四边形 POQG、四边形 EROP 是矩形 ∴ER＝PO＝GQ＝t y ∵tan∠BAO＝ ER OB t 4 1 ＝ ，∴ ＝ ，∴AR＝ t AR OA AR 2 2 N B P F Cx∵y＝－x＋6 交 x 轴和 y 轴于 D、N ∴OD＝ON＝6，∴∠ODN＝45° ∵tan∠ODN＝ GQ ，∴DQ＝t QD 1 3 t－t=8＝8－ t 2 2 A EG Q图3又∵AD＝AO＋OD＝2＋6＝8 ∴EG＝RQ＝8－ ∴d＝－ R O D x3 t＋8（0＜t ＜4） 2方法二：∵EG∥AD，P（0，t） ，∴设 E（x1，t） ，G（x2，t） 把 E（x1，t）代入 y＝2x＋4，得 t＝2x1＋4 ∴x1＝ t －2 2把 G（x2，t）代入 y＝－x＋6，得 t＝－x2＋6 ∴x2＝6－t ∴d＝EG＝x2－x1＝( 6－t )－( ∴d＝－ 3 t＋8（0＜t ＜4） 2 y B H E P C M F G t －2 ) 2（3）方法一：如图 4，∵四边形 ABCO 是平行四边形 ∴AB∥OC，∴∠ABO＝∠BOC EP 1 ∵BP＝4－t，∴tan∠ABO＝ ＝tan∠BOC＝ BP 2 t ∴EP＝2－ ，∴PG＝d－EP＝6－t 2 ∵以 OG 为直径的圆经过点 M，∴∠OMG＝90° ∵∠OPG＝90° ，∠MFG＝∠PFO，∴∠BGP＝∠BOC ∴tan∠BGP＝ BP 1 ＝tan∠BOC＝ PG 2 AO图4Dx ∴4－ t 1 ＝ ，解得：t＝2 6－ t 2 BH BF 2 ＝ ，即 BF ＝BH?BO BF BO2 2∵∠BFH＝∠ABO＝∠BOC，∠OBF＝∠FBH ∴△BHF∽△BFO，∴∵OP＝2，∴PF＝1，BP＝2，∴BF＝ BP ＋PF ＝ 5 ∴5＝BH×4，∴BH＝ 11 ∴H（0， ） 4 方法二：如图 5，∵四边形 ABCO 是平行四边形 ∴AB∥OC，∴∠ABO＝∠BOC EP 1 ∵BP＝4－t，∴tan∠ABO＝ ＝tan∠BOC＝ BP 2 ∴EP＝2－ t ，∴PG＝d－EP＝6－t 2 A y B H E P T C M F G 5 5 11 ，∴HO＝4－ ＝ 4 4 4∵以 OG 为直径的圆经过点 M，∴∠OMG＝90° ∵∠OPG＝90° ，∠MFG＝∠PFO，∴∠BGP＝∠BOC ∴tan∠BGP＝ ∴ BP 1 ＝tan∠BOC＝ PG 2O图5Dx4－ t 1 ＝ ，解得：t＝2 6－ t 22 2∴OP＝2，BP＝4－t＝2，∴PF＝1 ∴OF＝ 1 ＋2 ＝ 5＝BF ∴∠OBF＝∠BOC＝∠BFH＝∠ABO，∴BH＝HF 过点 H 作 HT⊥BF 于点 T 5 2 1 5 BT 5 ∴BT＝ BF＝ ，∴BH＝ ＝ ＝ 2 2 2 4 cos∠OBF 5 ∴OH＝4－ 5 11 11 ＝ ，∴H（0， ） 4 4 4方法三：如图 4，∵OA＝2，OB＝4，∴AB＝2 5 ∵P（0，t） ，∴BP＝4－t， 4－t OB BP 4 ∵cos∠ABO＝ ＝ ＝ ＝ BE BE AB 2 5 ∴BE＝ 5 ( 4－t ) 2∵以 OG 为直径的圆经过点 M，∴∠OMG＝90° ∵四边形 ABCO 是平行四边形，∴AB∥OC ∴∠ABG＝∠OMG＝90° ＝∠BPG ∴∠ABO＋∠BEG＝90° ，∠BGE＋∠BEG＝90° ∴∠ABO＝∠BGE，∴sin∠ABO＝sin∠BGE 5 ( 4－t ) 2 OA BE BE 2 ∴ ＝ ＝ ，即 ＝ ，∴t＝2 AB EG d 3 2 5 － t＋8 2 ∵∠BFH＝∠ABO＝∠BOC，∠OBF＝∠FBH ∴△BHF∽△BFO，∴ BH BF 2 ＝ ，即 BF ＝BH?BO BF BO2 2∵OP＝2，∴PF＝1，BP＝2，∴BF＝ BP ＋PF ＝ 5 ∴5＝BH×4，∴BH＝ 11 ∴H（0， ） 4 41． （黑龙江哈尔滨）已知：在△ABC 中，∠ACB＝90° ，点 P 是线段 AC 上一点，过点 A 作 AB 的垂线， 交 BP 的延长线于点 M，MN⊥AC 于点 N，PQ⊥AB 于点 Q，AQ＝MN． （1）如图 l，求证：PC＝AN； （2）如图 2，点 E 是 MN 上一点，连接 EP 并延长交 BC 于点 K，点 D 是 AB 上一点，连接 DK，∠DKE ＝∠ABC，EF⊥PM 于点 H，交 BC 延长线于点 F，若 NP＝2，PC＝3，CK : CF＝2 : 3，求 DQ 的长． A N P B C（图 1）5 5 11 ，∴HO＝4－ ＝ 4 4 4A N E H P B K C（图 2）QM DQMF（1）证明：方法一： 如图 1，∵BA⊥AM，MN⊥AP，∴∠BAM＝∠ANM＝90° ∴∠PAQ＋∠MAN＝∠MAN＋∠AMN＝90° ∴∠PAQ＝∠AMN ∵PQ⊥AB，MN⊥AC，∴∠PQA＝∠ANM＝90° ∵AQ＝MN，∴△AQP≌△MNA ∴AN＝PQ，AM＝AP，∴∠AMB＝∠APM ∵∠APM＝∠BPC，∠BPC＋∠PBC＝90° ，∠AMB＋∠ABM＝90° ∴∠ABM＝∠PBC ∵PQ⊥AB，PC⊥BC，∴PQ＝PC，∴PC＝AN 方法二： 如图 1，∵BA⊥AM，MN⊥AC，∴∠BAM＝∠ANM＝90° ∴∠PAQ＋∠MAN＝∠MAN＋∠AMN＝90° ∴∠PAQ＝∠AMN ∵PQ⊥AB，∴∠AQP＝90° ＝∠ANM ∵AQ＝MN，∴△PQA≌△ANM ∴AP＝AM，PQ＝AN，∴∠APM＝∠AMP ∵∠AQP＋∠BAM＝180° ，∴PQ∥MAA N P B C（图 1）QM ∴∠QPB＝∠AMP ∵∠APM＝∠BPC，∴∠QPB＝∠BPC ∵∠BQP＝∠BCP＝90° ，BP＝BP ∴△BPQ≌△BPC，∴PQ＝PC，∴PC＝AN （2）解：方法一： 如图 2，∵NP＝2，PC＝3，∴由（1）知 PC＝AN＝3 ∴AP＝NC＝5，AC＝8，∴AM＝AP＝5 ∴AQ＝MN＝ AM －AN ＝ 4 ∵∠PAQ＝∠AMN，∠ACB＝∠ANM＝90° ∴∠ABC＝∠MAN ∴tan∠ABC＝tan∠MAN＝ ∵tan∠ABC＝ MN 4 ＝ AN 32 2A N E H P K C（图 2）Q D G BMTFAC ，∴BC＝6 BC NE NP ＝ CK PC∵NE∥KC，∴∠PEN＝∠PKC 又∵∠ENP＝∠KCP，∴△PNE∽△PCK，∴ ∵CK : CF＝2 : 3，设 CK＝2k，则 CF＝3k ∴ NE 2 4 ＝ ，∴NE＝ k 2k 3 3 4 4 5 k，∴CT＝CF－TF＝3k－ k＝ k 3 3 3过 N 作 NT∥EF 交 CF 于 T，则四边形 NTFE 是平行四边形 ∴NE＝TF＝∵EF⊥PM，∴∠BFH＋∠HBF＝90° ＝∠BPC＋∠HBF ∴∠BPC＝∠BFH ∵EF∥NT，∴∠NTC＝∠BFH＝∠BPC ∵tan∠NTC＝tan∠BPC＝ ∴CT＝ 5 5 3 k＝ ，∴k＝ 3 2 2 BC NC ＝2，∴tan∠NTC＝ ＝2 PC CT3 ∴CK＝2× ＝3，BK＝BC－CK＝3 2 ∵∠PKC＋∠DKE＝∠ABC＋∠BDK，∠DKE＝∠ABC，∴∠BDK＝∠PKC tan∠PKC＝ PC ＝1，∴tan∠BDK＝1 KC 4 ，∴设 GK＝4n，则 BG＝3n，GD＝4n 3过 K 作 KG⊥BD 于 G ∵tan∠BDK＝1，tan∠ABC ＝ A N E P B K C（图 3）3 21 ∴BK＝5n＝3，∴n＝ ，∴BD＝4n＋3n＝7n＝ 5 5 ∵AB＝ AC ＋BC ＝10，AQ＝4，∴BQ＝AB－AQ＝6 ∴DQ＝BQ－BD＝6－ 21 9 ＝ 5 52 2Q DMH方法二： 如图 3，∵NP＝2，PC＝3，∴由（1）知 AN＝PC＝3 ∴AP＝NC＝5，AC＝8，∴AM＝AP＝5RF G ∴AQ＝MN＝ AM －AN ＝ 4 ∵NM∥BC，∴∠NMP＝∠PBC 又∵∠MNP＝∠BCP，∴△MNP∽△BCP ∴ MN NP 4 2 ＝ ，∴ ＝ ，∴BC＝6 BC PC BC 322作 ER⊥CF 于 R，则四边形 NERC 是矩形 ∴ER＝NC＝5，NE＝CR ∵∠BHF＝∠BCP＝90° ，∴∠EFR＝90° －∠HBF，∠BPC＝90° －∠HBF ∴∠EFR＝∠BPC，∴tan∠EFR＝tan∠BPC ∴ ER BC 5 6 5 ＝ ，∴ ＝ ，∴RF＝ RF PC RF 3 2 NE NP 2 ＝ ＝ KC PC 3∵N}
如图，设AD，BE，CF为三角形ABC的三条高，若AB=6，BC=5，EF=3，则线段BE的长为（ ）A．185B．4C．215D
如图，设AD，BE，CF为三角形ABC的三条高，若AB=6，BC=5，EF=3，则线段BE的长为（ ）A．185B．4C．215D．245
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∵AD，BE，CF为△ABC的三条高，易知B，C，E，F四点共圆∴△AEF∽△ABC∴，即cos∠BAC=∴sin∠BAC=∴在Rt△ABE中，BE=ABsin∠BAC=6=．故选D．
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我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。2012 年全国各地中考数学压轴题专集答案六、三角形 1． （北京）在△ABC 中，BA＝BC，∠BAC＝α，M 是 AC 的中点，P 是线段 BM 上的动点，将线段 PA 绕点 P 顺时针旋转 2α 得到线段 PQ． （1）若 α＝60° 且点 P 与点 M 重合（如图 1） ，线段 CQ 的延长线交射线 BM 于点 D，请补全图形，并写出 ∠CDB 的度数； （2）在图 2 中，点 P 不与点 B，M 重合，线段 CQ 的延长线与射线 BM 交于点 D，猜想∠CDB 的大小（用 含 α 的代数式表示） ，并加以证明； （3）对于适当大小的 α，当点 P 在线段 BM 上运动到某一位置（不与点 B，M 重合）时，能使得线段 CQ 的延长线与射线 BM 交于点 D，且 PQ＝QD，请直接写出 α 的范围． A M(P) Q C 图1 解： （1）补全图形，见图 1；∠CDB＝30° （2）猜想：∠CDB＝90° －α 证明：如图 2 ，连结 AD，PC ∵BA＝BC，M 是 AC 的中点，∴BM⊥AC ∵点 D，P 在直线 BM 上，∴PA＝PC，DA＝DC 又∵DP 为公共边，∴△ADP≌△CDP ∴∠DAP＝∠DCP，∠ADP＝∠CDP 又∵PA＝PQ，∴PQ＝PC ∴∠DCP＝∠PQC，∠DAP＝∠PQC ∵∠PQC＋∠DQP＝180° ，∴∠DAP＋∠DQP＝180° ∴在四边形 APQD 中，∠ADQ＋∠APQ＝180° ∴∠APQ＝2α，∴∠ADQ＝180° －2α 1 ∴∠CDB＝ ∠ADQ＝90° －α 2 （3）45° ＜α ＜60° 提示：由（2）知∠CDB＝90° －α，且 PQ＝QD ∴∠PAD＝∠PCQ＝∠PQC＝2∠CDB＝180° －2α ∵点 P 不与点 B，M 重合，∴∠MAD＜∠PAD＜∠BAD ∴α＜180° －2α＜2α，∴45° ＜α ＜60° C 图2 B ABPM QA M(P) Q C 图1 A M P Q C 图2 D DBB2． （北京模拟）已知，点 P 是∠MON 的平分线 OT 上的一动点，射线 PA 交直线 OM 于点 A，将射线 PA 绕点 P 逆时针旋转交射线 ON 于点 B，且使∠APB＋∠MON＝180° ． （1）求证：PA＝PB； （2）若点 C 是直线 AB 与直线 OP 的交点，当 S△POB ＝3S△PCB 时，求 PB 的值； PC（3）若∠MON＝60° ，OB＝2，直线 PA 交射线 ON 于点 D，且满足∠PBD＝∠ABO，求 OP 的长． M TM TM TONO备用图NO备用图N（1）证明：①当点 A 在射线 OM 上时，如图 1 作 PE⊥OM 于 E，作 PF⊥ON 于 F 则∠EPF＋∠MON＝180° ∵∠APB＋∠MON＝180° ，∴∠EPF＝∠APB ∵∠EPA＝∠EPF－∠APF，∠FPB＝∠APB－∠APF ∴∠EPA＝∠FPB ∵OP 平分∠MON，∴PE＝PF ∴△EPA≌△FPB，∴PA＝PB ②当点 A 在 MO 延长线上时，如图 2 作 PE⊥OM 于 E，作 PF⊥ON 于 F 则∠EPF＋∠MON＝180° ∵∠APB＋∠MON＝180° ，∴∠EPF＝∠APB ∵∠EPA＝∠EPF－∠APF，∠FPB＝∠APB－∠APF ∴∠EPA＝∠FPB ∵OP 平分∠MON，∴PE＝PF ∴△EPA≌△FPB，∴PA＝PB （2）解：∵S△POB ＝3S△PCB ，∴点 A 在射线 OM 上，如图 3 1 ∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA＝ (180° －∠APB) 2 1 ∵∠APB＋∠MON＝180° ，∠POB＝ ∠MON 2 1 ∴∠POB＝ (180° －∠APB)，∴∠PBC＝∠POB 2 又∠BPC＝∠OPB，∴△POB∽△PBC ∴ PB ＝ PC S△POB ＝ 3 S△PBCM E P A O F图1TBNM T E O A P F图2BNM P C O图3TABN（3）解：①当点 A 在射线 OM 上时，如图 4 ∵∠APB＋∠MON＝180° ，∠MON＝60° ∴∠APB＝120° ，∴∠PAB＝∠PBA＝30° ，∠BPD＝60° ∵∠PBD＝∠ABO，∴∠PBD＝∠ABO＝75° 作 BE⊥OP 于 E ∵∠MON＝60° ，OP 平分∠MON，∴∠BOE＝30° ∵OB＝2，∴BE＝1，OE＝ 3，∠OBE＝60° ∴∠EBP＝∠EPB＝45° ，∴PE＝BE＝1 ∴OP＝OE＋PE＝ 3＋1 ②当点 A 在 MO 延长线上时，如图 5 此时∠AOB＝∠DPB＝120°M A P E O B图4TD N M ∵∠PBD＝∠ABO，∠PBA＝30° ，∴∠PBD＝∠ABO＝15° 作 BE⊥OP 于 E，则∠BOE＝30° ∵OB＝2，∴BE＝1，OE＝ 3，∠OBE＝60° ∴∠EBP＝∠EPB＝45° ，∴PE＝BE＝1 ∴OP＝OE－PE＝ 3－1 A O E P D B图5TN3． （北京模拟）已知△ABC 和△DEC 都是等腰直角三角形，C 为它们的公共直角顶点，连接 AD、BE，F 为线段 AD 的中点，连接 CF． （1）如图 1，当点 D 在 BC 边上时，BE 与 CF 的数量关系是____________，位置关系是____________， 请证明； （2）如图 2，把△DEC 绕点 C 顺时针旋转 α 角（0° ＜α＜90° ） ，其他条件不变，问（1）中的关系是否仍 然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出相应的正确的结论并加以证明； （3）如图 3，把△DEC 绕点 C 顺时针旋转 45° ，BE、CD 交于点 G．若∠DCF＝30° ，求 A F E D B D图1BG AC 及 的值． CG DCA F D G C图2AFEE CCBB图3解： （1）BE＝2CF，BE⊥CF 证明：∵△ABC 和△DEC 都是等腰直角三角形，C 为它们的公共直角顶点 ∴AC＝BC，DC＝EC ∴△BCE≌△ACD，∴BE＝AD，∠EBC＝∠DAC ∵F 为线段 AD 的中点，∴CF＝AF＝DF＝ ∴BE＝2CF ∵AF＝CF，∴∠DAC＝∠ACF ∵∠BCF＋∠ACF＝90° ，∴∠BCF＋∠EBC＝90° 即 BE⊥CF （2）仍然成立 证明：如图 2，延长 CF 到 H，使 HF＝CF，连接 AH、DH ∵AF＝DF，∴四边形 AHDC 为平行四边形 ∴AH＝CD＝CE，∠CAH＝180° －∠ACD ∵∠BCE＝∠BCA＋∠DCE－∠ACD＝180° －∠ACD ∴∠CAH＝∠BCE 又∵AC＝BC，∴△CAH≌△BCE B图2A1 AD 2 BFED图1CH A F E D C ∴CH＝BE，∠ACH＝∠CBE ∴BE＝CH＝2CF ∠CBE＋∠BCH＝∠ACH＋∠BCH＝90° 即 BE⊥CF （3）如图 3，设 BE、CF 相交于点 O，则∠GOC＝90° 作 BC 的垂直平分线，交 BG 于点 M，连接 CM 则 BM＝CM，∠MBC＝∠MCB，∴∠OMC＝2∠MBC ∵AC⊥DE，∠CDE＝45° ，∴∠DCA＝45° ∵∠DCF＝30° ，∴∠ACH＝∠CBE＝15° ∴∠OMC＝30° 设 OG＝x，则 CG＝2x，OC＝ 3x，BM＝CM＝2 3x OM＝ 3OC＝3x，MG＝3x－x＝2x ∴BG＝BM＋MG＝2 3x＋2x，BO＝BM＋MO＝2 3x＋3x ∴ 2 3x＋2x BG ＝ ＝ 3＋1 CG 2x B图3A F D M O G C E N2 3x＋3x BO ＝ ＝ 3＋2 OC 3x 过 E 作 BC 的垂线，交 BC 的延长线于 N 则 Rt△BNE∽Rt△BOC，∴ BN BO ＝ ＝ 3＋2 EN OC设 EN＝t，则 CN＝t，CE＝ 2t，BN＝( 3＋2)t，BC＝( 3＋2)t－t＝( 3＋1)t ∴ ( 3＋1)t 6＋ 2 BC ＝ ＝ CE 2 2t 6＋ 2 AC ＝ DC 2∵AB＝BC，CD＝CE，∴4． （上海模拟）如图，∠ACB＝90° ，CD 是∠ACB 的平分线，点 P 在 CD 上，CP＝ 2．将三角板的直角 顶点放置在点 P 处，绕着点 P 旋转，三角板的一条直角边与射线 CB 交于点 E，另一条直角边与直线 CA、 直线 CB 分别交于点 F、点 G． （1）当点 F 在射线 CA 上时 ①求证：PF＝PE． ②设 CF＝x，EG＝y，求 y 与 x 的函数解析式并写出函数的定义域． （2）连接 EF，当△CEF 与△EGP 相似时，求 EG 的长． A P F G C E B C备用图DA PDB （1）①证明：过点 P 作 PM⊥AC，PN⊥BC，垂足分别为 M、N ∵CD 是∠ACB 的平分线，∴PM＝PN 由∠PMC＝∠MCN＝∠CNP＝90° ，得∠MPN＝90° ∴∠1＋∠FPN＝90° ∵∠2＋∠FPN＝90° ，∴∠1＝∠2 ∴△PMF≌△PNE，∴PF＝PE ②解：∵CP＝ 2，∴CN＝CM＝1 ∵CF＝x，△PMF≌△PNE，∴NE＝MF＝1－x ∴CE＝2－x ∵CF∥PN，∴ ∴CG＝ ∴ y＝ x 1－x＋2－x（0≤ x＜1）A M F G C P1 2DNEBCF CG x CG ＝ ，即 ＝ PN GN 1 CG＋1 A P F1Dx 1－ x（2）当△CEF 与△EGP 相似时，点 F 的位置有两种情况： ①当点 F 在射线 CA 上时 ∵∠GPE＝∠FCE＝90° ，∠1≠∠PEG ∴∠G＝∠1，∴FG＝FE，∴CG＝CE＝CP 在 Rt△EGP 中，EG＝2CP＝2 2 ②当点 F 在 AC 延长线上时 ∵∠GPE＝∠FCE＝90° ，∠1≠∠2，∴∠3＝∠2 ∵∠1＝45° +∠5，∠1＝45° +∠2，∴∠5＝∠2 易证∠3＝∠4，可得∠5＝∠4 ∴CF＝CP＝ 2，∴FM＝ 2＋1 易证△PMF≌△PNE，∴EN＝FM＝ 2＋1 ∵CF∥PN，∴ CF CG 2 1－GN ＝ ，即 ＝ PN GN 1 GNGCEBA M5 1D PC4G N3 2EB∴GN＝ 2－1 ∴EG＝ 2－1＋ 2＋1＝2 2F5． （上海模拟）已知△ABC 中，AB＝AC，BC＝6，sinB＝4 ．点 P 从点 B 出发沿射线 BA 移动，同时点 Q 5从点 C 出发沿线段 AC 的延长线移动，点 P、Q 移动的速度相同，PQ 与直线 BC 相交于点 D． （1）如图①，当点 P 为 AB 的中点时，求 CD 的长； （2）如图②，过点 P 作直线 BC 的垂线，垂足为 E，当点 P、Q 在移动的过程中，线段 BE、DE、CD 中 是否存在长度保持不变的线段？请说明理由； （3）如图③，当 PQ 经过△ABC 的重心 G 时，求 BP 的长．A P B图①A P D C Q B E图②A P G D C Q B图③DC Q 解： （1）过 P 点作 PF∥AC 交 BC 于 F ∵点 P 为 AB 的中点，∴F 为 BC 的中点 ∴FC＝ 1 BC＝3 2 P BA∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB ∵PF∥AC，∴∠PFB＝∠ACB ∴∠B＝∠PFB，∴BP＝FP 由题意，BP＝CQ，∴FP＝CQ ∵PF∥AC，∴∠DPF＝∠DQC 又∠PDF＝∠QDC，∴△PFD≌△QCD ∴CD＝DF＝ 1 3 FC＝ 2 2F图①DC Q（2）当点 P、Q 在移动的过程中，线段 DE 的长度保持不变 分两种情况讨论： ①当点 P 在线段 AB 上时 过点 P 作 PF∥AC 交 BC 于 F，由（1）知 PB＝PF ∵PE⊥BC，∴BE＝EF 由（1）知△PFD≌△QCD，CD＝DF ∴DE＝EF＋DF＝ 1 BC＝3 2A P B E F图②DC Q②得点 P 在 BA 的延长线上时，同理可得 DE＝3 ∴当点 P、Q 在移动的过程中，线段 DE 的长度保持不变 （3）过点 P 作 PE⊥BC 于 E，连接 AG 并延长交 BC 于 H ∵AB＝AC，点 G 为△ABC 的重心，∴AH⊥BC，BH＝CH＝3 设 AH＝x，则 AB＝ x ＋3 ＝ x ＋9 4 x 4 ∵sinB＝ ，∴ 2 ＝ ，解得 x＝4 5 5 x ＋9 ∴GH＝ 1 4 x＝ 3 3 B P G E H图③2 2 2A3 4 设 BP＝t，则 BE＝ t，PE＝ t 5 5 ∵BH＝DE＝3，∴DH＝BE＝ 由△DGH∽△DPE，得 3 t 5DC QGH DH ＝ PE DE4 3 t 3 5 5 3 5 3 即 ＝ ，解得 t＝ ，即 BP＝ 4 3 3 3 t 5 6． （上海模拟）如图，三角形纸片 ABC 中，∠C＝90° ，AC＝4，BC＝3．将纸片折叠，使点 B 落在 AC 边 上的点 D 处，折痕与 BC、AB 分别交于点 E、F． （1）设 BE＝x，DC＝y，求 y 关于 x 的函数关系式，并确定自变量 x 的取值范围； （2）当△ADF 是直角三角形时，求 BE 的长； （3）当△ADF 是等腰三角形时，求 BE 的长 （4）过 C、D、E 三点的圆能否与 AB 边相切？若能，求 BE 的长；若不能，说明理由． AAFDB 解： （1）∵BE＝x，∴DE＝x，EC＝3－x 在 Rt△DEC 中，DC ＋EC ＝DE2 2 2 2 2 2CBEC即 y ＋(3－x ) ＝x ，∴y＝ 6x－9 当 D 与 C 重合时，x 最小 即 y＝ 6x－9＝0，x＝ 3 2当 E 与 C 重合时，x 最大，x＝3 3 ∴ ≤x≤3 2 （2）①当∠ADF＝90° 时，则 FD∥BC ∴∠AFD＝∠B，又∵∠EDF＝∠B ∴∠AFD＝∠EDF，∴DE∥AB DE EC ∴△DEC∽△ABC，∴ ＝ AB BC 3－x x 15 15 ∴ ＝ ，解得 x＝ ，即 BE 的长为 5 3 8 8 ②当∠AFD＝90° 时，则∠BFE＝∠DFE＝45° 作 EG⊥BF 于 G，则 Rt△BEG∽Rt△BAC ∴ BG EG BE ＝ ＝ BC AC AB BG EG x 3 4 ＝ ＝ ，∴BG＝ x，EG＝ x 3 4 5 5 5 4 3 4 7 x，DF＝BF＝ x＋ x＝ x 5 5 5 5 F G D B E C A B E C F D A∵∠C＝90° ，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5 ∴∴FG＝EG＝AD DF 由 Rt△ADF∽Rt△ABC，得 ＝ AB BC 7 x 5 4－ 6x－9 ∴ ＝ ，即 7x＋3 6x－9－12＝0 5 3 u ＋9 令 6x－9＝u，则 x＝ 6 u ＋9 2 ∴7( )＋3u－12＝0，∴7u ＋18u－9＝0 62 2 解得 u1＝－3＜0（舍去） ，u2＝ (3 73 2 ) ＋9 7 75 75 ∴x＝ ＝ ，即 BE 的长为 6 49 49 综上，当△ADF 是直角三角形时，BE 的长为 （3）①当 AF＝DF 时，则∠A＝∠FDA ∵∠FDE＝∠B，∠A＋∠B＝90° ∴∠FDA＋∠FDE＝90° ，即∠ADE＝90° ∴ED⊥AC，∴D 与 C 重合 ∴x＝ 1 3 3 BC＝ ，即 BE 的长为 2 2 2 B E C(D) F 15 75 或 8 49 A②当 AD＝DF 时，则 BF＝DF＝AD＝4－ 6x－9 ∴AF＝5－(4－ 6x－9 )＝1＋ 6x－9 作 DG⊥AF 于 G，则 Rt△ADG∽Rt△ABC AG＝ ∴ 1 1 AF＝ (1＋ 6x－9 ) 2 2 F G D A4－ 6x－9 AD AB 5 ＝ ，∴ ＝ AG AC 1 4 (1＋ 6x－9 ) 2 27 375 375 ，解得 x＝ ，即 BE 的长为 13 169 169 B得 6x－9＝EC③当 AD＝AF 时，则 AF＝AD＝4－ 6x－9 ∴DF＝BF＝5－(4－ 6x－9 )＝1＋ 6x－9 作 FH⊥AD 于 H，则 Rt△AFH∽Rt△ABC ∴ 4－ 6x－9 AH FH AF AH FH ＝ ＝ ，∴ ＝ ＝ AC BC AB 4 3 5 16－4 6x－9 12－3 6x－9 ，FH＝ 5 5 16－4 6x－9 4＋4 6x－9 ＝ 5 5 B E F H D C A∴AH＝∴HC＝4－ ∴DH＝4＋4 6x－9 4－ 6x－9 － 6x－9＝ 5 52 2 2在 Rt△DFH 中，DH ＋FH ＝DF ∴(4－ 6x－9 2 12－3 6x－9 2 2 ) ＋( ) ＝( 1＋ 6x－9 ) 5 52令 6x－9＝t，代入上式并化简得 15t ＋130t－135＝0 解得 t＝ 5 10－13 （舍去负值） 3 5 10－13 250－65 10 250－65 10 ，解得 x＝ ，即 BE 的长为 3 27 27∴ 6x－9＝ 综上，当△ADF 是等腰三角形时，BE 的长为3 375 250－65 10 或 或 2 169 27（4）假设过 C、D、E 三点的圆能与 AB 边相切 ∵△DEC 是直角三角形，∴DE 是圆的直径 ∴∠DFE＝90° ，∴∠BFE＝90° ∴D 点在 AB 上，不可能 ∴过 C、D、E 三点的圆不能与 AB 边相切（⊙O 与 AB 边相离） 7． （上海模拟）如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90° ，AB＝6，AC＝8，AD⊥BC 于 D，点 E、F 分别是 AB 边和 AC 边上的动点，且∠EDF＝90° ，连接 EF． （1）求 DE 的值； DF（2）设 AE 的长为 x，△DEF 的面积为 S，求 S 关于 x 的函数关系式； （3）设直线 DF 与直线 AB 相交于点 G，△EFG 能否成为等腰三角形？若能，求 AE 的长；若不能，请说 明理由． A A A E B F D C B D 备用图 C B D 备用图 C解： （1）∵∠BAC＝90° ，∴∠1＋∠2＝90° ∵AD⊥BC，∴∠C＋∠2＝90° ∴∠1＝∠C ∵∠EDF＝90° ，∴∠3＋∠5＝90° ∵AD⊥BC，∴∠4＋∠5＝90° ∴∠3＝∠4 ∴△ADE∽△CDF ∴ DE AD AB 6 3 ＝ ＝tan∠C＝ ＝ ＝ DF CD AC 8 4 AE DE 3 ＝ ＝ CF DF 4 BA E1 2F3 5 4DC（2）∵△ADE∽△CDF，∴4 4 4 ∴CF＝ AE＝ x，∴AF＝8－ x 3 3 3 4 2 25 2 64 2 2 ∴EF ＝x ＋( 8－ x ) ＝ x － x＋64 3 9 3 ∵ DE AB ＝ ，∠EDF＝∠BAC＝90° DF AC S2∴△DEF∽△ABC EF ∴ ＝ 2 S△ABC BC 1 2 2 2 ∵S△ABC ＝ ×6×8＝24，BC ＝6 ＋8 ＝100 2 ∴S＝24 25 2 64 2 2 128 384 ( x － x＋64 )＝ x － x＋ 100 9 3 3 25 252 2 128 384 即 S＝ x － x＋ （0≤x≤6） 3 25 25 （3）假设△EFG 能成为等腰三角形 当点 G 在 AB 延长线上时，由于∠GEF≥90° ，所以只能 EF＝EG ∴∠G＝∠6 ∵△DEF∽△ABC，∴∠6＝∠C ∵∠1＝∠C，∴∠G＝∠1 ∴DA＝DG＝DF，∴EF＝AB，∴EF ＝AB ∴2 2A E1 6F C25 2 64 42 x － x＋64＝36，解得 x＝6（舍去）或 x＝ 9 3 25 42 25B GD此时 AE 的长为当点 G 在 BA 延长线上时，由于∠EFG≥90° ，所以只能 FE＝FG ∴∠G＝∠AEF DE DE 1 ＝ ＝ ＝ DG DF＋FG 4 3 EF＋EF 5 8－ 4 x 3 24－4x ＝ x 3x 3 EF 5G而 tan∠G＝A F E B D CAF tan∠AEF＝ ＝ AE24－4x 1 24 ∴ ＝ ，解得 x＝ 3x 3 5 此时 AE 的长为 24 5 42 24 或 25 5综上所述，△EFG 能成为等腰三角形，此时 AE 的长为8． （上海模拟）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝5，D 是 BC 边上一点，CD＝3，P 是 AC 边上一动点（不与 A、C 重合） ，过点 P 作 PE∥BC 交 AD 于点 E． （1）设 AP＝x，DE＝y，求 y 关于 x 的函数关系式； （2）以 PE 为半径的⊙E 与以 DB 为半径的⊙D 能否相切？若能，求 tan∠DPE 的值；若不能，请说明理 由； （3）将△ABD 沿直线 AD 翻折，得到△AB′D，连接 EC、B′C，当∠ACE＝∠BCB′ 时，求 AP 的长． A P E ACDBCD备用图B 解： （1）在 Rt△ ACD 中，AC＝4，CD＝3，∴AD＝5 ∵PE∥BC，∴ 5－y AP AE x ＝ ，即 ＝ AC AD 4 5A P E5 ∴y＝－ x＋5（0＜x＜4） 4 （2）对于⊙E，rE＝EP＝ 3 5 x；对于⊙D，rD＝DB＝2；圆心距 ED＝－ x＋5 4 4CDB3 5 当两圆外切时，rE＋rD＝ED，∴ x＋2＝－ x＋5 4 4 解得 x＝ 3 5 ，∴PC＝ 2 2 A∵PE∥BC，∴∠DPE＝∠PDC PC 5 ∴tan∠DPE＝tan∠PDC＝ ＝ CD 6 当两圆内切时，| rE－rD|＝ED，∴| 解得 x＝ 3 5 x－2|＝－ x＋5 4 47 1 或 x＝6（舍去） ，∴PC＝ 2 2 PC 1 ＝ CD 6 AC 4 ＝ AD 5P CE D B∴tan∠DPE＝tan∠PDC＝（3）延长 AD 交 BB′ 于 F，则 AF 垂直平分 BB′ 在 Rt△BDF 中，BD＝2，sin∠BDF＝sin∠ADC＝ ∴BF＝ 8 16 ，BB′＝ 5 5 P E A∵∠ADC＝∠BDF，∴∠CAD＝∠DBF 当∠ACE＝∠BCB′ 时，△CAE∽△CBB′ ∴ AC BC 4 5 64 ＝ ，即 ＝ ，∴y＝5－ AE 16 25 5－ y BB′ 5 5 64 256 x＋5＝5－ ，解得 x＝ 4 25 125CD F B′B∴－9． （上海模拟）已知 Rt△ABC 中，∠ACB＝90° ，点 P 是边 AB 上的一个动点，连接 CP，过点 B 作 BD⊥ CP，垂足为点 D. （1）如图 1，当 CP 经过△ABC 的重心时，求证：△BCD∽△ABC； （2）如图 2，若 BC＝2 厘米，cotA＝2，点 P 从点 A 向点 B 运动（不与点 A、B 重合） ，点 P 的速度是 5 厘米/秒，设点 P 运动的时间为 t 秒，△BCD 的面积为 S 平方厘米，求 S 关于 t 的函数解析式，并写出自 变量 t 的取值范围； （3）在（2）的条件下，若△PBC 是以 CP 为腰的等腰三角形，求△BCD 的面积． C D \ P D 图1 \ D D \ D \ 图2 D C CABAPBA 备用图B （1）证明：∵CP 经过△ABC 的重心，∴CP 为△ABC 的中线 ∴CP＝ 1 AB＝AP，∴∠A＝∠ACP 2又∵∠ACP＋∠DCB＝90° ，∠CBD＋∠DCB＝90° ∴∠CBD＝∠A，又∠BDC＝∠ACB＝90° ∴△BCD∽△ABC （2）解：∵BC＝2，cotA＝2，∴AC＝4 过点 P 作 PE⊥AC 于 E，则 AP＝ 5t，PE＝t，AE＝2t EC＝4－2t，PC＝ t ＋( 4－2t ) 由∠PCE＝∠CBD，得 Rt△CPE∽Rt△BCD ∴ S△BCD BC 2 S 4 ＝( ，即 ＝ 2 2 PC ) 1 S△CPE t ＋( 4－2t ) ( 4－2t )t 22 2 2C E A P D \ D \ DB8t－4t ∴S＝ 2 （0＜t ＜2） 5t －16t＋16 （3）①当 PC＝PB 时，有 解得 t＝1 当 t＝1 时，S＝ 8×1－4×1 4 ＝ （平方厘米） 2 5 5×1 －16×1＋16 t ＋( 4－2t ) ＝22 2 2t ＋( 4－2t ) ＝2 10－ 5t22②当 PC＝BC 时，有 解得 t1＝6 ，t2＝2（不合题意，舍去） 56 6 2 8× －4×( ) 5 5 6 24 当 t＝ 时，S＝ ＝ （平方厘米） 5 6 2 6 25 5×( ) －16× ＋16 5 5 综上所述，当 PC＝PB 时，△BCD 的面积为 4 24 平方厘米；当 PC＝BC 时，△BCD 的面积为 平方厘米 5 25 4 ．点 P 310． （上海模拟）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90° ，CE 是斜边 AB 上的中线，AB＝10，tanA＝ 是 CE 延长线上的一动点，过点 P 作 PQ⊥CB，交 CB 延长线于点 Q．设 EP＝x，BQ＝y． （1）求 y 关于 x 的函数关系式及定义域； （2）连接 PB，当 PB 平分∠CPQ 时，求∠PE 的长； （3）过点 B 作 BF⊥AB 交P PQ 于 F，当△BEF 和△QBF 相似时，求 x 的值． A A A E E ECBQC 备用图BC 备用图B 解： （1）在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90° ，AB＝10，tanA＝ ∴AC＝6，BC＝8 ∵CE 是斜边 AB 上的中线，∴CE＝BE＝ 1 AB＝5 2BC 4 ＝ AC 3∴∠PCQ＝∠ABC 又∠PQC＝∠ACB＝90° ，∴△PCQ∽△ABC ∴ 8＋y CQ BC 4 4 ＝ ＝ ，即 ＝ PC AB 5 5＋x 5 A E HP4 ∴y＝ x－4（x ＞5） 5 （2）过点 B 作 BH⊥PC 于 H ∵PB 平分∠CPQ，BQ⊥PQ，∴BH＝BQ＝y ∵BH＝ 3 24 4 24 BC＝ ，∴ x－4＝ 5 5 5 5 CBQ∴x＝11 （3）∵∠BQF＝∠ACB＝90° ，∠QBF＝∠A ∴△BFQ∽△ABC 当△BEF 和△QBF 相似时，则△BEF 和△ABC 也相似 有两种情况： ①当∠BEF＝∠A 时 在 Rt△EBF 中，∠EBF＝90° ，BE＝5，BF＝ 5 4 4 ∴ ( x－4)＝ ×5，解得 x＝10 3 5 3 ②当∠BEF＝∠ABC 时 在 Rt△EBF 中，∠EBF＝90° ，BE＝5，BF＝ 5 4 3 125 ∴ ( x－4)＝ ×5，解得 x＝ 3 5 4 16 ∴当△BEF 和△QBF 相似时，求 x 的值为 10 或 125 16 5 y 3 5 y 3P A E FCBQP A E F B QC11． （上海模拟）如图 1，在 Rt△AOC 中，AO⊥OC，点 B 在 OC 边上，OB＝6，BC＝12，∠ABO＋∠C＝ 90° ，动点 M 和 N 分别在线段 AB 和 AC 边上． （1）求证：△AOB∽△COA，并求 cosC 的值； （2）当 AM＝4 时，△AMN 与△ABC 相似，求△AMN 与△ABC 的面积之比； （3）如图 2，当 MN∥BC 时，以 MN 所在直线为对称轴将△AMN 作轴对称变换得△EMN．设 MN＝x，△ EMN 与四边形 BCNM 重叠部分的面积为 y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围． A M N E O B图1A M NCOB图2C 解： （1）∵AO⊥OC，∴∠ABO＋∠BAO＝90° ∵∠ABO＋∠C＝90° ，∴∠BAO＝∠C ∵∠AOB＝∠COA，∴△AOB∽△COA ∴OB : OA＝OA : OC ∵OB＝6，BC＝12，∴6 : OA＝OA : 18 ∴OA＝6 3 ∴AC＝ OC ＋OA ＝ ∴cosC＝2 2A 18 ＋(6 3) ＝12 32 2MNOC 18 3 ＝ ＝ AC 2 12 3 3 ，∴∠C＝30° 2 O B图1（2）∵cosC＝ ∵tan∠ABO＝COA 6 3 ＝ ＝ 3，∴∠ABO＝60° OB 6∴∠BAC＝30°，∴AB＝BC＝12 ①当∠AMN＝∠ABC 时（如图 1） ，△AMN∽△ABC 2 2 2 2 ∵AM＝4，∴S△AMN : S△ABC ＝AM : AB ＝4 : 12 ＝1 : 9 ②当∠AMN＝∠C 时（如图 2） ，△AMN∽△ACB 2 2 2 2 ∵AM＝4，∴S△AMN : S△ABC ＝AM : AC ＝4 :(12 3) ＝1 : 27 （3）易得 S△ABC ＝ 1 1 BC?OA＝ ×12×6 3＝36 3 2 2A MNO∵MN/∥BC，∴△AMN∽△ABC 2 2 2 2 ∴S△AMN : S△ABC ＝MN : BC ，∴S△AMN : 36 3＝x : 12 ∴S△AMN ＝ 3 2 x 4 A M E O FB图2C①当 EN 与线段 AB 相交时，设 EN 与 AB 交于点 F（如图 3） ∵MN/∥BC，∴∠ANM＝∠C＝30° ∴∠ANM＝∠BAC，∴AM＝MN＝x ∵以 MN 所在直线为对称轴将△AMN 作轴对称变换得△EMN ∴∠ENM＝∠ANM＝30° ，∴∠AFN＝90° ∴MF＝ 1 1 1 MN＝ AM＝ x 2 2 2NB图3C∴S△FMN : S△AMN ＝MF : AM ∴y : ∴ y＝ 3 2 1 x ＝ x : x＝1 : 2 4 2 3 2 x （0＜x ≤8） 8 A②当 EN 与线段 AB 不相交时，设 EN 与 BC 交于点 G（如图 4） ∵MN/∥BC，∴CN : AC＝BM : AB ∴CN : 12 3＝(12－x ) : 12，∴CN＝12 3－ 3x 2 2 ∵△CNG∽△CBA，∴S△CNG : S△ABC ＝CN : BC 2 2 ∴S△CNG : 36 3＝(12 3－ 3x ) : 12 ∴S△CNG ＝ 3 2 (12 3－ 3x ) 4M O E B GN C图4 ∴S 阴影＝S△ABC － S△AMN － S△CNG ＝36 3－23 2 3 2 x － (12 3－ 3x ) 4 4即 y＝－ 3x ＋18 3x－72 3（8＜x ＜12） 12． （上海模拟）把两块边长为 4 的等边三角板 ABC 和 DEF 如图 1 放置，使三角板 DEF 的顶点 D 与三角 板 ABC 的 AC 边的中点重合，DF 经过点 B，射线 DE 与射线 AB 相交于点 M．把三角板 ABC 固定不动， 将三角板 DEF 绕点 D 按逆时针方向旋转，设旋转角为 α，其中 0° ＜α＜90° ，射线 DF 与线段 BC 相交于点 Q（如图 2） ． （1）当 0° ＜α＜60° 时，求 AM?CN 的值； （2）当 0° ＜α＜60° 时，设 AM＝x，两块三角板重叠部分的面积为 y，求 y 与 x 的函数关系式并确定自变量 x 的取值范围； （3）当 BM＝2 时，求两块三角板重叠部分的面积． E M D M E F B 图1 C B 图2 N C B 备用图 A P D M E B A 4 x M D F 图1 N Q C C D A A AF解： （1）∵ △ABC 和△DEF 是等边三角形，∴∠EDF＝∠C＝∠A＝60° ∵∠ADM＋∠EDF＝∠DNC＋∠C，∴∠ADM＝∠DNC AM AD ∴△AMD∽△CDN，∴ ＝ CD CN ∴AM?CN＝AD?CD ∵AD＝CD＝2，∴AM?CN＝4 （2）过点 D 作 DP⊥AB 于 P，DQ⊥BC 于 Q（如图 1） 可得 DP＝DQ＝ 3 ∵AM＝x，∴CN＝3 2 1 1 4 ∴y＝S△ABC － S△AMD － S△CDN＝ ?4 － ?x? 3－ ? ? 3 4 2 2 x ∴y＝4 3－ 3 2 3 x－ （1＜x＜4) 2 xEB FN 图2C（3）①当 M 在边 AB 上时（如图 1） ∵BM＝2，∴AM＝2，即 x＝2 ∴y＝2 3，即两块三角板重叠部分的面积为 2 3 ②当 M 在 AB 延长线上时（如图 2） 设 DE 与 BC 交于点 R，过点 D 作 DG∥BC，交 AB 于点 G 则 BG＝BM＝DG＝2，∴AM＝6，BR＝1 ∴CN＝ 2 7 ，∴RN＝ 3 3A DG M B E M 图3 R NC1 7 7 3 ∴y＝S△DRN ＝ × × 3＝ 2 3 6F 综上所述，两块三角板重叠部分的面积为 2 3 和7 3 613． （上海模拟）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90° ，∠A＝60° ，AC＝2，CD⊥AB，垂足为点 D，点 E、F 分别在边 AC、BC 上，且∠EDF＝60° ．设 AE＝x，BF＝y． （1）求 y 关于 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）当△BDF 是等腰三角形时，求 x 的值； （3）以 DF 为直径的圆能否与 AC 相切？如果能，求 tan∠AED 的值；如果不能，请说明理由． A D E C F B解： （1）如图，作 DG⊥AC 于 G，FH⊥AB 于 H，FK⊥CD 于 K 在 Rt△ABC 中，∠A＝60° ，AC＝2，∴AB＝4，BC＝2 3 ∴CD＝ 3，AD＝1，AG＝ FH＝ 1 3 y，BH＝ 2 y 2 3 3 ＝3－ y 2 2 1 3 ，DG＝ 2 2 A G E K C F B D HDH＝KF＝CF?cos30° ＝( BC－BF )cos30° ＝( 2 3－y )×∵∠ADG＝30° ，∠EDF＝60° ，∴∠EDG＋∠FDH＝90° 又∠EDG＋∠DEG＝90° ，∴∠DEG＝∠FDH DG FH ∴Rt△DEG∽△FDH，∴ ＝ ，即 EG DH 3 3 x＋1 1 ≤x ≤2 2 3 1 y 2 2 ＝ 1 3 x－ 3－ y 2 2∴ y＝∵当点 E 与点 G 重合时，点 F 与点 C 重合 ∴自变量 x 的取值范围是（2）BD＝AB－AD＝4－1＝3 ∵∠DFB＞∠DCB＞∠B，∴DF≠DB ①当 BF＝BD 时， 3 3 ＝3，∴x＝ 3－1 x＋1②当 DF＝BF 时，则 DH＝BH，2BH＝BD 即 2× ∴ 3 y＝3，∴y＝ 3 23 3 ＝ 3，∴x＝2 x＋1 （3）作 DG⊥AC 于 G，DH⊥BC 于 H，设以 DF 为直径的⊙O 与 AC 相切于 I，连接 OI 则 OI 是梯形 CFDG 的中位线 1 1 3 5 3 1 ∴OI＝ ( CF＋DG )＝ ( 2 3－y＋ )＝ － y 2 2 2 4 2 1 1 3 在 Rt△DFH 中，DH＝ BD＝ ( 4－1)＝ 2 2 2 FH＝|CH－CF|＝|DG－CF|＝| ＝| y－ 3 3 | 22 2 2A G E I C D3 －( 2 3－y )| 2O FH B由勾股定理得 DF ＝DH ＋FH ＝ 由题意知 DF＝2OI，∴DF ＝4OI 得29 3 3 2 ＋ y－ 4 ( 2 )29 3 3 2 5 3 1 2 ＋( y－ ＝4( － y) ) 4 2 4 2 39 13 3 ，即 y＝ 4 8整理得 2 3y＝ ∴3 3 13 3 11 11 1 9 ＝ ，∴x＝ ，∴GE＝ － ＝ x＋1 8 13 13 2 263 2 DG 13 3 ∴tan∠AED＝ ＝ ＝ GE 9 9 26 14． （上海模拟）如图，P 是线段 AB 上任意一点（不与点 A、B 重合） ，分别以 AP、BP 为边，在 AB 的同 侧作等边△APD 和等边△BPC，连接 BD 与 PC 交于点 E，连接 CD． （1）当 BC⊥CD 时，试求∠DBC 的正切值； （2）若线段 CD 是线段 DE 和 DB 的比例中项，试求此时 AP 的值； PB2（3）记四边形 ABCD 的面积为 S，当 P 在线段 AB 上运动时，S 与 BD 是否成正比例？若成正比例，试求 出比例系数；若不成正比例，请说明理由． C C D E D EA 解： （1）∵等边△APD 和等边△BPC ∴PC＝BC，∠CPD＝60° ，PD∥BC 当 BC⊥CD 时，tan∠DBC＝PBAP 备用图BCD CD ＝ BC PCCD 3 ∴PD⊥CD， ＝sin∠CPD＝sin60° ＝ PC 2 ∴∠DBC 的正切值为23 2 DE CD ＝ CD DB（2）由已知，CD ＝DE?DB，即又∠CDE＝∠BDC，∴△CDE∽△BDC ∴ DE CD CE ＝ ＝ CD DB BC CE CE ＝ BC CP又 CP＝BC，∴ ∵PD∥BC，∴ ∴ ∴ ∴CE BE ＝ CP BDCD CE BE ＝ ＝ ，∴CD＝BE DB CP BD DE BE ＝ ，即点 E 是线段 BD 的黄金分割点 BE BD 5－1 DE BE ＝ ＝ BE BD 2 5－1 AP DE ＝ ＝ PB BE 2 3 2 3 2 a ，S△BPC＝ b 4 4又 PC∥AD，∴（3）设 AP＝a，PB＝b，则 S△APD＝ ∵AD∥PC，PD∥BC ∴ ∴ S△APD AD S△PDC PD ＝ ， ＝ PC S△BPC BC S△PDCC D ES△APD S△PDC 3 ＝ ，∴S△PDC ＝ S△APD?S△BPC ＝ ab 4 S△PDC S△BPC3 2 2 ∴S＝ ( a ＋ab＋b ) 4 作 DH⊥AB，则 DH＝ ∴BD ＝DH ＋BH ＝ ∴ S 3 2＝ 4 BD2 2 2 23 1 a，BH＝ a＋b 2 2 3 2 1 2 2 2 a ＋( a＋b ) ＝a ＋ab＋b 4 2APB∴S 与 BD 成正比例，比例系数为3 415． （上海模拟）如图，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，D 是 AC 边的中点，E 是 BC 边上一动点（不 与端点重合） ，EF∥BD 交 AC 于 F，交 AB 延长线于 G，H 是 BC 延长线上的点，且 CH＝BE，连接 FH．设 BE＝x，CF＝y． A （1）求 y 关于 x 的函数关系式； （2）连接 AE，当以 GE 为半径的⊙G 和以 FH 为半径的 ⊙F 相切时，求 tan∠BAE 的值； D F （3）当△BEG 与△FCH 相似时，求 BE 的长． B G E C H AADDB备用图CB备用图C解： （1）∵EF∥BD，∴ 即CF CE ＝ CD CBy 6－x 5 5 ＝ ，∴y＝ － x 5 6 2 12 2（2）∵CH＝BE，BC＝BE＋EC，EH＝EC＋CH ∴EH＝BC＝6 当以 GE 为半径的⊙G 和以 FH 为半径的⊙F 相切时，GE＋FH＝GF 又 GE＋FE＝GF，∴FE＝FH 作 FM⊥EH 于 M，则 EM＝ ∵EM＋MC＝EC，∴3＋ 1 3 3 x EH＝3，MC＝ y＝ － 2 5 2 4 N B G EA3 x － ＝6－x，解得 x＝2 2 4 3 6 4 8 BE＝ ，EN＝ BE＝ 5 5 5 5D F P M C H作 EN⊥AB 于 N，则 BN＝ ∴AN＝AB－BN＝5－ ∴tan∠BAE＝6 19 ＝ 5 5EN 8 ＝ AN 19（3）作 FP∥AG 交 BC 于 P，则∠FPC＝∠ABC ∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC ∴∠FPC＝∠ACB，∴FP＝FC＝ 5 5 3 x x － x，EP＝6－x－2( － )＝3－ 2 12 2 4 2∵FP∥AG，∴△PEF∽△BEG 若△BGE∽△FCH，则△PEF∽△FCH x 5 5 3－ － x 2 2 12 PE CF 于是 ＝ ，即 ＝ PF CH 5 5 x － x 2 12 解得 x＝6（舍去）或 x＝ 3－ 150 97x 2 PE CH x 或 ＝ ，即 ＝ PF CF 5 5 5 5 － x － x 2 12 2 12 解得 x＝2 综上所述，当△BEG 与△FCH 相似时，BE 的长为 150 或2 9716． （上海模拟）如图，△ABC 中，∠ABC＝90° ，AB＝BC＝4，点 O 为 AB 边的中点，点 M 是 BC 边上一 动点（不与点 B、C 重合） ，AD⊥AB，垂足为点 A．连接 MO，将△BOM 沿直线 MO 翻折，点 B 落在点 B1 处，直线 MB1 与 AC、AD 分别交于点 F、N． （1）当∠CMF＝120°时，求 BM 的长； （2）设 BM＝x，y＝ △CMF 的周长 ，求 y 关于 x 的函数关系式。并写出自变量 x 的取值范围； △ANF 的周长 C M B1 N F（3）连接 NO，与 AC 边交于点 E，当△FMC∽△AEO 时，求 BM 的长． DA 解： （1）∵∠CMF＝120° ，∴∠BMN＝60° ∴∠BMO＝30° D ∴Rt△MOB 中，BM＝OB?cot30° ＝2 3 （2）连接 ON，∵OA＝OB＝OB1，ON＝ON ∴Rt△ANO≌Rt△B1NO，∴∠AON＝∠B1ON，AN＝B1N N 又∵∠MOB1＝∠MOB，∴∠MON＝90° ∵∠OB1M＝∠B＝90° ，∴△MB1O∽△OB1N， 2 ? ∴OB1 ＝B1M B1N A 又 B1M＝BM＝x，OB1＝OB＝2 4 4 2 ∴2 ＝x?B1N，∴B1N＝ ，∴AN＝ x x ∵AD⊥AB，∴∠DAB＝90° D 又∠B＝90° ，∴AD∥BC，∴△CMF∽△ANF N △CMF 的周长 CM 4－x 1 2 ∴ y＝ ＝ ＝ ＝－ x ＋x AN 4 4 △ANF 的周长 x 1 2 即 y＝－ x ＋x（0＜x ＜4） 4 A （3）由题意知：∠EAO＝∠C＝45° 若△FMC∽△AEO，则有两种情况：∠FMC＝∠AEO 或∠FMC＝∠AOE ①当∠FMC＝∠AEO 时，有∠CFM＝∠AOE D 由（2）知∠AOE＝∠B1OE＝∠OMF N ∴∠CFM＝∠OMF，∴OM∥AC ∴∠OMB＝∠C＝45° ∴Rt△MOB 中，BM＝OB?cot45° ＝2 ②当∠FMC＝∠AOE 时，∵∠AOE＝∠OMF ∴∠FMC＝∠OMF＝∠OMB＝60° 2 3 ∴△MOB 中，BM＝OB?cot60° ＝ 3 AOB C MB1FOB CB1(F) EMOBCF B1 E M O B 综上所述，当△FMC∽△AEO 时，求 BM 的长为 2 或2 3 3 3 ，点 D 在射线 AB 上，DE∥BC 交射线 AC 517． （上海模拟）如图，在△ABC 中，AB＝AC＝10，cosB＝ 于点 E，点 F 在 AE 的延长线上，且 EF＝1 AE，以 DE、EF 为邻边作□DEFG，连接 BG． 4（1）当 EF＝FC 时，求△ADE 的面积； （2）设 AD＝x，□DEFG 与△ABC 重叠部分的面积为 y，求 y 与 x 的函数关系式； （3）当点 F 在线段 AC 上时，若△DBG 是等腰三角形，求 AD 的长． A AD G BE F C B 备用图 C解： （1）作 AH⊥BC 于 H 在 Rt△ABH 中，cosB＝ BH 3 ＝ ，AB＝10 AB 5∴BH＝6，∴AH＝8 ∵AB＝AC，∴BC＝2BH＝12 1 ∴S△ABC ＝ ×12×8＝48 2 ∵EF＝ 1 AE 4 2 AE，EF＝FC，∴ ＝ ＝ 4 AC 6 3 S△ADE AE 2 4 ＝( ＝ AC ) 9 S△ABC B D GA∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ ∴S△ADE ＝ 4 4 64 S ＝ ×48＝ 9 △ABC 9 3 AE AM DE ＝ ＝ AC AH BC 4 6 x，DE＝ x 5 5M N HE F C（2）设 AH 交 DE、GF 于点 M、N ∵DE∥BC，∴∵AD＝x，∴AM＝ ∵MN＝ 1 1 AM＝ x 4 5A①当点 F 在线段 AC 上时 ∴y＝S□DEFG ＝ 6 1 6 2 x? x＝ x （0＜x ≤8） 5 5 25 4 x 5 D B K G M H N E C F②当点 F 在 AC 延长线上时，则 MH＝8－ ∴y＝S□DECK ＝6 4 24 2 48 x? 8－ x) ＝－ x ＋ x（x ＞8） 5 ( 5 25 5 62? 25 x （0＜x ≤8） 综合得：y＝ ? 24 48 ?－ 25 x ＋ 5 x（x ＞8）2（3）∵BC＞AC，∴∠A＞∠ABC ∵DG∥AC，∴∠BDG＝∠A＞∠ABC＞∠DBG ∴BG＞DG 作 FP⊥BC 于 P，GQ⊥BC 于 Q 在 Rt△FPC 中，FC＝10－ ∴FP＝8－x，PC＝6－ ∴BG＝25 4 3 x，sinC＝sin∠ABC＝ ，cosC＝cos∠ABC＝ 4 5 53 6 3 9 x，∴BQ＝12－ x－(6－ x) ＝6－ x 4 5 4 20 9 2 x 20 ) 1 x 4 D G 9 2 x 20 ) B Q P E F C A(8－x) ＋(6－在△DBG 中，DB＝10－x，DG＝ ①若 DB＝DG，则 10－x＝ ②若 DB＝BG，则 10－x＝ 解得 x1＝0（舍去） ，x2＝ 560 811 x，解得 x＝8 4 (8－x) ＋(6－2综上所述，若△DBG 是等腰三角形，AD 的长为 8 或560 811 18． （上海模拟）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90° ，cos∠BAC＝ ，点 O 在 AB 上，且 CA＝CO＝6．将 3 △ABC 绕点 A 顺时针旋转得到△AB′C′，且 C′ 落在 CO 的延长线上，连接 BB′ 交 CO 的延长线于点 D， （1）求证：△COA∽△BOD B （2）求 BD 的长． D C′ O C A B′（1）证明：∵∠BAC＝∠B′AC′，∴∠CAC′＝∠B′AB′ 1 ∵AC＝AC′，∴∠ACC′＝∠AC′C＝ (180° －∠CAC′ ) 2 1 ∵AB＝AB′，∴∠ABB′＝∠AB′B＝ (180° －∠BAB′ ) 2 ∴∠ACC′＝∠ABB′ 又∠COA＝∠BOD，∴△COA∽△BOD （2）解：∵CA＝CO，△COA∽△BOD，∴BD＝BO ∵cos∠BAC＝ 1 ，CA＝CO＝6，∴BA＝18 3B D C′ O C E A B′1 过 C 作 CE⊥AB 于 E，则 EA＝ CA＝2，OA＝2EA＝4 3 ∴BD＝BO＝BA－OA＝18－4＝1419． （安徽）如图 1，在△ABC 中，D、E、F 分别为三边的中点，G 点在边 AB 上，△BDG 与四边形 ACDG 的周长相等，设 BC＝a、AC＝b、AB＝c． （1）求线段 BG 的长； （2）求证：DG 平分∠EDF； （3）连接 CG，如图 2，若△BDG 与△DFG 相似，求证：BG⊥CG． A G F E C B F G E C ABD图1D图2（1）解：∵△BDG 与四边形 ACDG 的周长相等，且 BD＝DC 1 1 ∴BG＝AG＋AC＝ ( AB＋AC )＝ ( b＋c ) 2 2 （2）证明：∵点 D、F 分别是 BC、AB 的中点，∴DF＝ 1 1 1 又∵FG＝BG－BF＝ ( b＋c )－ c＝ b 2 2 2 ∴DF＝FG，∴∠FDG＝∠FGD ∵点 D、E 分别是 BC、AC 的中点，∴DE∥AB ∴∠EDG＝∠FGD，∴∠FDG＝∠EDG 即 DG 平分∠EDF （3）证明：∵△BDG 与△DFG 相似，∠DFG＞∠B，∠BGD＝∠DGF（公共角） ∴∠B＝∠FDG 由（2）知∠FGD＝∠FDG，∴∠FGD＝∠B，∴DG＝BD ∵BD＝DC，∴DG＝BD＝DC，∴B、G、C 三点在以 BG 为直径的圆周上 ∴∠BGC＝90° ，即 BG⊥CG 3 ．如图，把△ABC 的一边 BC 放置在 x 5 1 1 AC＝ b 2 220． （浙江金华、丽水）在△ABC 中，∠ABC＝45° ，tan∠ACB＝ 轴上，有 OB＝14，OC＝ 10 34，AC 与 y 轴交于点 E． 3（1）求 AC 所在直线的函数解析式； （2）过点 O 作 OG⊥AC，垂足为 G，求△OEG 的面积； （3）已知点 F（10，0） ，在△ABC 的边上取两点 P，Q，是否存在以 O，P，Q 为顶点的三角形与△OFP 全等，且这两个三角形在 OP 的异侧？若存在，请求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理 由． y y A E G A EBOFCxBOFCx备用图解： （1）在 Rt△OCE 中，OE＝OC?tan∠OCE＝ 设直线 AC 的函数解析式为 y＝kx＋2 34，则 ∴直线 AC 的函数解析式为 y＝－ 3 x＋2 34 510 3 34× ＝2 34，∴点 E（0，2 34） 3 510 34 3 k＋2 34＝0，解得：k＝－ 3 5（2）方法 1：在 Rt△OGE 中，tan∠EOG＝tan∠OCE＝2 2EG 3 ＝ GO 5设 EG＝3t，则 OG＝5t，OE＝ EG ＋OG ＝ 34t，∴2 34＝ 34t，得 t＝2 故 EG＝6，OG＝10 ∴S△OEG ＝ 1 1 OG?EG＝ ×10×6＝30 2 2 3 3 ，∴sin∠OCE＝ 5 34方法 2：在 Rt△OCE 中，∵tan∠OCE＝ ∴OG＝OC?sin∠OCE＝10 3 34× ＝10 3 34 3 ＝6 5yA E Q(G) P1 F C x在 Rt△OEG 中，EG＝OG?tan∠OCE＝10× S△OEG ＝ 1 1 OG?EG＝ ×10×6＝30 2 2（3）①当点 Q 在 AC 上时，点 Q 即为点 G 如图 1，作∠FOQ 的角平分线交 CE 于点 P1， 由△OP1F≌△OP1Q，则有 P1F⊥x 轴BO图13 由于点 P1 在直线 AC 上，当 x＝10 时，y＝－ ×10＋2 34＝2 34－6 5 ∴点 P1（10，2 34－6） ②当点 Q 在 AB 上时 如图 2，有 OQ＝OF，作∠FOQ 的角平分线交 CE 于点 P2 过点 Q 作 QH⊥OB 于点 H，设 OH＝a，则 BH＝QH＝14－a 在 Rt△OQH 中，a ＋(14－a ) ＝100，解得：a1＝6，a2＝8 ∴Q（－6，8）或 Q（－8，6） 连接 QF 交 OP2 于点 M 当 Q（－6，8）时，则点 M（2，4） 此时直线 OM 的函数解析式为 y＝2x2 2yA E Q M B H O图2P2FCx y＝2x ? ? 由? 3 ? ?y＝－ 5 x＋2 34∴P2（?x＝ 13 解得：? 20 ?y＝ 131034 34 A QyE P410 20 34， 34） 13 13 5 5 34， 34） 9 3 B O图3当 Q（－8，6）时，同理可求得 P3（FCx如图 3，有 QP4∥OF，QP4＝OF＝10 设点 P4 的横坐标为 x，则点 Q 的横坐标为( x－10 ) ∵yQ＝yP ，直线 AB 的函数解析式为 y＝x＋14 ∴( x－10 )＋14＝－ 解得：x＝ 3 x＋2 34 5 AyE(P5)5 34－10 5 34＋6 ，可得：y＝ 4 4 B Q O图45 34－10 5 34＋6 ∴点 P4（ ， ） 4 4 ③当点 Q 在 BC 边上时，如图 4，QQ＝OF＝10，点 P5 在 E 点 ∴点 P5（0，2 34）FCx综上所述，存在满足条件的点 P 的坐标为：P1（10，2 34－6） ，P2（ P3（ 5 9 34， 5 3 5 34－10 5 34＋6 34） ，P4（ ， ） ，P5（0，2 34） 4 410 20 34， 34） ， 13 1321． （浙江义乌）在锐角△ABC 中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45° ．将△ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转， 得到△A1BC1． （1）如图 1，当点 C1 在线段 CA 的延长线上时，求∠CC1A1 的度数； （2）如图 2，连接 AA1、CC1．若△ABA1 的面积为 4，求△CBC1 的面积； （3） 如图 3， 点 D 为线段 AB 中点， 点 P 是线段 AC 上的动点， 在△ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转过程中， 点 P 的对应点是点 P1，求线段 DP1 长度的最大值与最小值． A C1 A C1 A1 B图1C1 P1 A D B A1图2 图3B CCA1P C解： （1）∵BC＝BC1，∴∠A1C1B＝∠ACB＝45° 又∠A1C1B＝∠ACB＝45° ∴∠CC1A1＝∠AC1B＋∠A1C1B＝45° ＋45° ＝90° （2）∵△ABC≌△A1BC1，∴BA＝BA1，BC＝BC1，∠ABC＝∠A1BC1 ∴ BA BA1 ＝ ，∠ABC＋∠ABC1＝∠A1BC1＋∠ABC1 BC BC1A1A P 1 (P ) D E B C1 C ∴∠ABA1＝∠CBC1，∴△ABA1∽△CBC1 ∴ S△ABA1 AB 2 4 2 16 ＝( ＝( ) ＝ ) BC 5 25 S△CBC125 25 ∵S△ABA1＝4，∴S△CBC1＝4× ＝ 16 4 （3）过点 B 作 BE⊥AC 于点 E ∵△ABC 为锐角三角形，∴点 E 在线段 AC 上 5 在 Rt△BCE 中，BE＝BC?sin45° ＝ 2 2 ①当 P 在 AC 上运动至垂足点 E，△ABC 绕点 B 旋转， 使点 P 的对应点 P1 落在线段 AB 上时，DP1 最小 最小值为 5 2－2 2 C1(P1)A D B A1 C (P )②当 P 在 AC 上运动至点 C，△ABC 绕点 B 旋转，使点 P 的对应点 P1 落在线段 AB 的延长线上时，DP1 最 大，最大值为 2＋5＝7 22． （浙江模拟）如图，在边长为 2 的等边△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，点 P 是边 AB 上的一个动点，过点 P 作 PF∥AC 交线段 BD 于点 F，作 PG⊥AB 交 AD 于点 E，交线段 CD 于点 G，设 BP＝x． （1）用含 x 的代数式表示线段 DG 的长，并写出自变量 x 的取值范围； （2）记△DEF 的面积为 S，求 S 与 x 之间的函数关系式，并求出 S 的最大值； （3）以 P、E、F 为顶点的三角形与△EDG 是否可能相似？如果能，求出 BP 的长；如果不能，请说明理 由． AP E B 解：（1）∵△ABC 为等边三角形，∴∠B＝60° 1 ∵AD⊥BC，PG⊥AB，∴BD＝ BC＝1，BG＝2BP＝2x 2 1 ∴DG＝BG－BD＝2x－1（ ＜x ≤1） 2 （2）∵PF∥AC，∴△BPF 为等边三角形 ∴BF＝BP＝x，∴FD＝1－x 在 Rt△EDG 中，∠EGD＝90° －∠B＝30° ，DG＝2x－1 ∴ED＝ 3 3 DG＝ ( 2x－1) 3 3 P E B F D图1F DGCA1 1 3 ∴S＝ FD?ED＝ ( 1－x )? ( 2x－1) 2 2 3 3 2 3 3 1 即 S＝－ x ＋ x－ （ ＜x ≤1） 3 2 6 2GC ∵S＝－3 2 3 3 3 3 2 3 1 3 x＋ x－ ＝－ ( x－ ) ＋ ， ＜ ＜1 3 2 6 3 4 48 2 43 3 ∴当 x＝ 时，S 有最大值，最大值为 4 4 （3）∵∠EPF＝∠EGD＝30° ，∠EDG＝90° ∴当△PEF∽△GDE 时（如图 1） ，有∠PEF＝90° ∴∠PFE＝60° ，∴∠EFG＝60° ，∴EF＝2FD 又∵PF＝2EF，∴PF＝4FD ∴x＝4( 1－x )，解得 x＝ 4 5 2 3 FD 3 A当△PFE∽△GDE 时（如图 2） ，有∠PFE＝90° ∴∠EFD＝30° ，∴EF＝2DE＝ 又∵PF＝ 3EF，∴PF＝2FD 2 ∴x＝2( 1－x )，解得 x＝ 3 ∴以 P、E、F 为顶点的三角形与△EDG 能相似，此时 BP 的长为 BP E F D图2GC4 2 或 5 323． （江苏淮安） 阅读理解 如图 1， △ABC 中， 沿∠BAC 的平分线 AB1 折叠， 剪掉重叠部分； 将余下部分沿∠B1A1C 的平分线 A1B2 折叠，剪掉重叠部分；?；将余下部分沿∠BnAnC 的平分线 AnBn+1 折叠，点 Bn 与点 C 重合 ，无论折叠多少 ．． 次，只要最后一次恰好重合，我们就称∠BAC 是△ABC 的好角． A A1 A2 B B1 B2 图1 ? Bn Bn+1 C An B B1 图2 C B B1 图3 A1 B2 C A A小丽展示了确定∠BAC 是△ABC 的好角的两种情形． 情形一： 如图 2， 沿等腰三角形△ABC 顶角∠BAC 的平分线 AB1 折叠，点 B 与点 C 重合；情形二：如图 3，沿△ABC 的∠BAC 的平分线 AB1 折叠，剪掉重叠 部分；将余下的部分沿∠B1A1C 的平分线 A1B2 折叠，此时点 B1 与点 C 重合． 探究发现 （1）△ABC 中，∠B＝2∠C，经过两次折叠，∠BAC 是不是△ABC 的好角？_________（填“是”或“不 是”） ． （2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC 是△ABC 的好角，请探究∠B 与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等 量关系． 根据以上内容猜想：若经过 n 次折叠∠BAC 是△ABC 的好角，则∠B 与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间 的等量关系为________________． 应用提升 （3）小丽找到一个三角形，三个角分别为 15° ，60° ，105° ，发现 60° 和 105° 的两个角都是此三角形的好角． 请你完成，如果一个三角形的最小角是 4° ，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均 是此三角形的好角． 解： （1）是 （2）∠B＝3∠C ∠B＝n∠C 提示：如图，在△ABC 中，沿∠BAC 的平分线 AB1 折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C 的平分线 A1B2 折叠， 剪掉重叠部分， 将余下部分沿∠B2A2C 的平分线 A2B3 折叠， 点 B2 与点 C 重合， 则∠BAC 是△ABC 的好角． A 证明：∵∠B＝∠AA1B1，∠C＝∠A2B2C，∠A1B1C＝∠A1A2B2 A1 ∴∠A1A2B2＝∠C＋∠A2B2C＝2∠C A2 ∴∠BAC＋∠B＋∠AA1B1－∠A1 B1C＝∠BAC＋2∠B－2C＝180° ∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180° C B B1 B2 B3 ∴∠B＝3∠C 故若经过 n 次折叠∠BAC 是△ABC 的好角， 则∠B 与∠C （不妨设∠B＞∠C） 之间的等量关系为∠B＝n∠C （3）不妨设此三角形为△ABC，最小角为∠A＝4° 设∠B＝x° ，∠C＝y° （不妨设 x＞y） 则 x＝my，y＝4n（m，n 均为正整数） 由∠A＋∠B＋∠C＝180°得：4＋4mn＋4n＝180 即 n( m＋1)＝44 ∵m，n 均为正整数?m＝43 ?m＝21 ?m＝1 ?m＝10 ?m＝3 ∴? 或 ? 或 ? 或 ? 或 ? ?n＝1 ?n＝2 ?n＝22 ?n＝4 ?n＝11 当 m＝43，n＝1 时，∠B＝172° ，∠C＝4° 当 m＝21，n＝2 时，∠B＝88° ，∠C＝88° 当 m＝1，n＝22 时，∠B＝168° ，∠C＝8° 当 m＝10，n＝4 时，∠B＝160° ，∠C＝16° 当 m＝3，n＝11 时，∠B＝132° ，∠C＝44° 所以该三角形另外两个角的度数为：4° ，172°或 88° ，88°或 8° ，168°或 16° ，160°或 44° ，132°1 24． （江苏宿迁） （1）如图 1，在△ABC 中，BA＝BC，D，E 是 AC 边上的两点，且满足∠DBE＝ ∠ABC 2 1 （0° ＜∠CBE＜ ∠ABC） ．以点 B 为旋转中心，将△BEC 按顺时针方向旋转∠ABC，得到△BE′A（点 C 2 与点 A 重合，点 E 到点 E′ 处） ，连接 DE′．求证：DE′＝DE． 1 （2）如图 2，在△ABC 中，BA＝BC，∠ABC＝90° ，D，E 是 AC 边上的两点，且满足∠DBE＝ ∠ABC 2 （0° ＜∠CBE＜45° ） ．求证：DE ＝AD ＋EC ． A E′ D A D E E B C图12 2 2BC图2（1）证明：由题意得，△BE′A≌△BEC ∴BE′＝BE，∠E′BA＝∠EBC 1 1 ∵∠DBE＝ ∠ABC，∴∠ABD＋∠EBC＝ ∠ABC 2 2 1 ∴∠E′BD＝∠ABD＋∠E′BA＝ ∠ABC 2 ∴∠E′BD＝∠EBD 又∵BD＝BD，∴△E′BD≌△EBD ∴DE′＝DE （2）证明：如图，将△BEC 绕点 B 按逆时针方向旋转 90° ，点 C 与点 A 重合，点 E 到点 E′ 处，连接 DE′ 则有 AE′＝CE，∠E′AB＝∠ECB A 在△ABC 中，BA＝BC，∠ABC＝90° E′ ∴∠BAD＝∠ECB＝∠E′AB＝45° D ∴∠E′AD＝∠E′AB＋∠BAD＝90° 2 2 2 ∴△E′AD 是直角三角形，∴DE′ ＝AD ＋AE′ E 由（1）知，DE′＝DE ∴DE ＝AD ＋EC2 2 2BC25． （江苏镇江）等边△ABC 的边长为 2，P 是 BC 边上的任一点（与 B、C 不重合） ，连接 AP，以 AP 为 边向两侧作等边△APD 和等边△APE，分别与边 AB、AC 交于点 M、N（如图 1） ． （1）求证：AM＝AN； （2）设 BP＝x． ①若 BM＝ 3 ，求 x 的值； 8②记四边形 ADPE 与△ABC 重叠部分的面积为 S，求 S 与 x 之间的函数关系式以及 S 的最小值； ③连接 DE，分别与边 AB、AC 交于点 G、H（如图 2） ，当 x 取何值时，∠BAD＝15° ？并判断此时以 DG、GH、HE 这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由． A D M B P图1A H N C E G D M B图2EN P C（1）证明：∵△ABC、△APD 和△APE 是等边三角形 ∴AP＝AD，∠DAP＝∠BAC＝60° ，∠ADM＝∠APN＝60° ∴∠DAM＝∠PAN，∴△ADM≌△APN，∴AM＝AN （2）①易证△BPM∽△CAP，∴ ∵BM＝ 解得 x＝ BM BP ＝ CP CA3 2 ，AC＝2，CP＝2－x，∴可得 4x －8x＋3＝0 8 1 3 或 2 2②四边形 AMPN 的面积即为四边形 ADPE 与△ABC 重叠部分的面积 ∵△ADM≌△APN，∴S△ADM ＝S△APN ∴S 四边形 AMPN ＝S△APM ＋ S△APN ＝S△AMP ＋ S△ADM ＝S△ADP 过点 P 作 PS⊥AB，垂足为 S（如图） 在 Rt△BPS 中，∵∠B＝60° ，BP＝x 3 1 ∴PS＝BP?sin60° ＝ x，BS＝BP?cos60° ＝ x 2 2 1 ∵AB＝2，∴AS＝AB－BS＝2－ x 2 ∴AP ＝AS ＋PS ＝( 2－2 2 2A D M S B P T N C E1 2 3 2 2 x ) ＋( x ) ＝x －2x＋4 2 2取 AP 的中点 T，连接 DT，在等边△ADP 中，DT⊥AB ∴S△ADP ＝ 1 1 3 3 2 AP?DT＝ AP? AP＝ AP 2 2 2 4 3 2 3 3 3 2 AP ＝ ( x－1) ＋ （0＜x ＜2） 4 4 4 3 3 4 G D M B A H O N P C E∴S＝S 四边形 AMPN ＝S△ADP ＝∴当 x＝1 时，S 的最小值是③连接 PG，若∠DAB＝15° ，∵∠DAP＝60° ，∴∠PAG＝45° 易证四边形 ADPE 为菱形，∴DO 垂直平分 AP ∴GP＝AG，∴∠PAG＝∠APG＝45° ，∠PGA＝90° 设 BG＝t，在 Rt△BPG 中，∠ABP＝60° ，∴BP＝2t，PG＝ 3t ∴AG＝PG＝ 3t，∴ 3t＋t＝2，求得 t＝ 3－1，∴BP＝2t＝2 3－2 ∴当 BP＝2 3－2 时，∠DAB＝15° 猜想：以 DG、GH、HE 这三条线段为边构成的三角形是直角三角形 方法 1：设 DE 交 AP 于点 O ∵等边△APD 和△APE，∴AD＝DP＝AP＝PE＝EA ∴四边形 ADPE 为菱形，∴AO⊥DE，∠ADO＝∠AEH＝30° ∵∠DAB＝15° ，易得∠AGO＝45° ，∠HAO＝15° ，∠EAH＝45° 设 AO＝a，则 AD＝AE＝2a，GO＝AO＝a，OD＝ 3a ∴DG＝DO－GO＝( 3－1)a ∵∠DAB＝15° ，∠BAC＝60° ，∠ADO＝30° ，∴∠DHA＝∠DAH＝75°∵DH＝AD＝2a，∴GH＝DH－DG＝2a－( 3－1)a＝( 3－ 3)a HE＝DE－DH＝2DO－DH＝2 3a－2a＝2( 3－1)a 2 2 2 2 2 ∵DG ＋GH ＝[( 3－1)a] ＋[( 3－ 3)a] ＝( 16－8 3)a 2 2 2 HE ＝[2( 3－1)a] ＝( 16－8 3)a 2 2 2 ∴DG ＋GH ＝HE ∴以 DG、GH、HE 这三条线段为边可构成直角三角形 方法 2：将△ADG 沿 AB 翻折得△AD′G，则 GD′＝GD，∠D′GB＝∠DGB ∵∠DGB＝∠DAG＋∠ADG＝15° ＋30° ＝45° ∴∠D′GB＝45° ，∠D′GH＝90° ∵AE＝AP，AP＝AD，AD′＝AD，∴AD′＝AE ∵∠EAH＝∠DAE－∠DAG－∠BAC＝120° －60° －15° ＝45° ′ ′ G ∠D AH＝∠BAC－∠D AB＝60° －15° ＝45° D ∴∠EAH＝∠D′AH M ∵AH＝AH，∴△AEH≌△AD′H，∴D′H＝EH B D′ 又∵GD′＝GD，∠D′GH＝90° ∴以 DG、GH、HE 这三条线段为边可构成直角三角形A H O N P C E 26． （江苏模拟）如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（2，2） ，点 P 是线段 OA 上的一个动点（不 与端点重合） ，过点 P 作 PQ⊥x 轴于 Q，以 PQ 为边向右作正方形 PQMN．连接 AN 并延长交 x 轴于点 B， 连接 ON，设 OQ＝t． （1）求 tan∠BON 的值； （2）用含 t 的代数式表示△OAB 的面积 S； （3）是否存在点 P，使以 B、M、N 为顶点的三角形与△MON 相似，若存在，请求出 B 点的坐标；若不 存在，请说明理由． y y A A P NOQMBxO备用图x解： （1）过点 A 作 AD⊥x 轴于 D，交 PN 于 C（如图 1） ∵A（2，2） ，∴AD＝OD＝2，∴∠AOB＝45° y ∴PQ＝OQ＝QM＝MN＝t，∴OM＝2t A MN t 1 ∴tan∠BON＝ ＝ ＝ OM 2t 2 P C N （2）∵PN∥OB，∴△APN∽△AOB 2－t AC PN t 2t ∴ ＝ ，即 ＝ ，∴OB＝ AD OB 2 OB 2－t O Q DM B 1 2t ∴S＝ OB?AD＝ （0＜t ＜2） 2 2－t 图1 （3）∵∠BMN＝∠OMN＝90° BM MN BM OM ∴要使△BMN 与△OMN 相似，只需 ＝ 或 ＝ MN OM MN MN y 1 A 即 BM ＝ t 或 BM＝2t 2 1 ①当 BM ＝ t 时 2 P N 3 i）若 B 在 M 的左侧（如图 2） ，则 OB ＝OM－BM＝ t 2 x O Q BM 2t 3 2 ∴ ＝ t，解得 t＝0（舍去）或 t＝ 2－t 2 3 图2 ∴B（1，0） 5 ii）若 B 在 M 的右侧（如图 1） ，则 OB ＝OM＋BM＝ t 2 y 2t 5 6 A ∴ ＝ t，解得 t＝0（舍去）或 t＝ 2－t 2 5 N P ∴B（3，0） ②当 BM＝2t 时，B 在 M 的右侧（如图 3） OB ＝OM＋BM＝4t 2t 3 ∴ ＝4t，解得 t＝0（舍去）或 t＝ O Q M 2－t 2 图3 ∴B（6，0） 综上所述，B 点的坐标为（1，0）或（3，0）或（6，0）xB x27． （江苏模拟）在平面直角坐标系中，点 C 的坐标为（0，4） ，A（t，0）是 x 轴上一动点，M 是线段 AC 的中点．把线段 AM 绕点 A 按顺时针方向旋转 90° ，得到线段 AB，过点 B 作 x 轴的垂线，过点 C 作 y 轴的 垂线，两直线交于点 D，直线 DB 交 x 轴于点 E． （1）若 t＝3，则点 B 的坐标为____________，若 t＝－3，则点 B 的坐标为____________； （2）若 t ＞0，当 t 为何值时，△BCD 的面积等于 6 ？ （3）是否存在 t，使得以 B、C、D 为顶点的三角形与△AOC 相似？若存在，求此时 t 的值；若不存在， 请说明理由． y y C D CM O AB E x O备用图x3 3 解： （1） （5， ） ， （－1，－ ） 2 2 （2）①当 0＜t ＜8 时，如图 1 ∵∠CAB＝90° ，∴∠CAO＋∠BAE＝90° ∵∠CAO＋∠ACO＝90° ，∴∠BAE＝∠ACO 又∠BEA＝∠AOC＝90° ，∴△BEA∽△AOC ∴ AE BE AB 1 AE BE 1 ＝ ＝ ＝ ，即 ＝ ＝ CO AO CA 2 4 t 2 O y C DM A图1B E x1 1 ∴AE＝2，BE＝ t，∴B（t＋2， t） 2 2 1 1 1 ∴S△BCD ＝ CD?BD＝ ( t＋2)( 4－ t )＝6 2 2 2 解得 t＝2 或 t＝4 ②当 t ＞8 时，如图 2 1 1 1 S△BCD ＝ CD?BD＝ ( t＋2)( t－4 )＝6 2 2 2 解得 t＝10 或 t＝－4（舍去） ∴当 t＝2 或 t＝4 或 t＝10 时，△BCD 的面积等于 6 （3）①当 0＜t ＜8 时，如图 1 若△CDB∽△AOC，则 CD BD ＝ AO CO C yB D MO图2AE xt＋2 即 ＝ t1 4－ t 2 ，t 无实数解 4 y C M O A E B图3若△BDC∽△AOC，同理，解得 t＝－2 5－2（舍去）或 t＝2 5－2 ②当 t ＞8 时，如图 2 CD BD 若△CDB∽△AOC，则 ＝ AO CO 1 t－4 t＋2 2 即 ＝ ，解得 t＝－4 3＋8（舍去）或 t＝4 3＋8 t 4 若△BDC∽△AOC，同理，t 无实数解 ③当－2＜t ＜0 时，如图 3Dx 若△CDB∽△AOC，则CD BD ＝ AO CO y D M x Ct＋2 即 ＝ －t1 4－ t 2 ，t＝－4 5＋8 或 t＝4 5＋8（舍去） 4若△BDC∽△AOC，同理，t 无实数解 ④当 t ＜－2 时，如图 4 △CDB∽△AOC，则 CD BD ＝ AO CO AE BO－ t－2 即 ＝ －t1 4－ t 2 ，t 无实数解 4图4若△BDC∽△AOC，同理，解得 t＝－4 或 t＝4（舍去） ∴存在 t＝2 5－2 或 4 3＋8 或－4 5＋8 或－4，使得以 B、C、D 为顶点的三角形与△AOC 相似 28． （江苏模拟）如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90° ，∠BAE＝135° ，AC ＝2 2，AD＝1，F 为 BE 的中点． （1）求 CF 的长； （2）将△ADE 绕点 A 旋转一周，求点 F 运动路径的长． BF A D E 解： （1）延长 DF 交 AB 于点 G，连接 CD、CG ∵△ADE 是等腰直角三角形，∠ADE＝90° ，∴∠AED＝45° 又∠BAE＝135° ，∴DE∥BA ∴∠DEF＝∠GBF，∠EDF＝∠BGF 又 F 为 BE 中点，∴EF＝BF ∴△DEF≌△GBF，∴DE＝GB，DF＝GF 又 AD＝DE，AC＝BC，∠DAC＝∠GBC＝45° ∴△ACD≌△BCG，∴CD＝CG，∠ACD＝∠BCG 又∠ACB＝∠ACG＋∠BCG＝90° ∴∠DCG＝∠ACD＋∠ACG＝90° ∴△DCG 是等腰直角三角形，∴CF＝ 过 D 作 DH⊥AC 于 H 则 AH＝DH＝2CB GF A H D E B C2 CD 2M F A D E C2 2 3 2 AD＝ ，CH＝AC－AH＝ 2 2 22∴CD＝ CH ＋DH ＝ 5 ∴CF＝ 2 10 CD＝ 2 2（2）取 AB 中点 M，连接 MF，则 MF 是△BAE 的中位线 ∴MF＝1 2 2 AE＝ AD＝ 2 2 2当△ADE 绕点 A 旋转时，由于线段 AB 的中点 M 是定点， 线段 MF 的长是定长，所以点 F 到 M 的距离始终等于定长 MF，故点 F 的运动路径是以点 M 为圆心，MF 长为半径的圆 ∴△ADE 绕点 A 旋转一周，点 F 运动路径的长为：2π× 2 ＝ 2π 229． （江苏模拟）如图，在△ABC 中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，点 D 为 AC 边上一点，且 AD＝8cm．动 点 E 从点 B 出发，以 1cm/s 的速度沿线段 BC 向终点 C 运动，F 是射线 CA 上的动点，且∠DEF＝∠B．设 运动时间为 t s，CF 的长为 y cm． （1）求 y 与 t 之间的函数关系式及点 F 运动路线的长； （2）当以点 B 为圆心，BE 长为半径的⊙B 与以点 C 为圆心，CF 长为半径的⊙C 相切时，求 t 的值； （3）当△CEF 为等腰三角形时，求 t 的值．A FAD B E C BD C备用图解： （1）∵AB＝AC，∴∠C＝∠B ∵∠CEF＋∠DEF＋∠BED＝180° ，∠BDE＋∠B＋∠BED＝180° ，∠DEF＝∠B ∴∠CEF＝∠BDE，∴△CEF∽△BDE ∴A D(F )y 12－t CF CE ＝ ，∴ ＝ BE BD t 10－81 2 ∴y＝－ t ＋6t（0≤t ≤12） 2 ∵y＝－ 1 2 1 2 t ＋6t＝－ ( t－6 ) ＋18 2 2BEC∴y 的最大值为 18cm ∴点 F 运动路线的长为 36cm （2）①当⊙B 与⊙C 外切时，点 F 在线段 CA 上，且 BE＋CF＝BC ∴t－ 1 2 t ＋6t＝12，解得 t＝2 或 t＝12（舍去） 2 D BF A②当⊙B 与⊙C 内切时，点 F 在 CA 延长线上，且 CF－BE＝BC 1 2 ∴－ t ＋6t－t＝12，解得 t＝4 或 t＝6 2 综上所述，当⊙B 与⊙C 相切时，t 的值为 2 或 4 或 6 （3）①若 EF＝CF，则∠C＝∠CEF ∵∠C＝∠B，∴△FEC∽△ABCEC FC EC ∴ ＝ ，∴ AC BC 解得 t＝－1 2 t ＋6t 2 12－t ＝ 10 125 或 t＝12（舍去） 3②若 EF＝EC，则∠C＝∠EFC ∵∠C＝∠B，∴△EFC∽△ABC 12－t EC FC ＝ ，∴ ＝ AC BC 10－∴1 2 t ＋ 6t 2 12解得 t＝12 或 t＝12（舍去） 5 1 2 t ＋6t＝12－t 2 5 12 或2或 3 5 4 ，BD＝CD，E、F 3③若 CF＝CE，则－解得 t＝2 或 t＝12（舍去） 综上所述，当△CEF 为等腰三角形时，t 的值为30． （江苏模拟）如图，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠A＝90° ，AB＝8，tanC＝分别是线段 BC、BD 上的动点（点 E 与点 B、C 不重合） ，且∠DEF＝∠ADB．设 CE＝x，DF＝y． （1）求 BC 和 BD 的长； D A （2）求 y 与 x 的函数关系式； M （2）当△DEF 为等腰三角形时，求 x 的值． F M B 解： （1）∵AD∥BC，∠A＝90° ，∴∠ADB＝∠DBC ∵DB＝DC，∴∠DBC＝∠C，∴∠ADB＝∠C ∴tan∠ADB＝tanC＝ 4 AB 4 ，∴ ＝ 3 AD 3 E M C∵AB＝8，∴AD＝6，∴BD＝10 过 D 作 DH⊥BC 于 H，则 DH＝AB＝8，BH＝AD＝6 ∵DB＝DC，∴BC＝2BH＝12 （2）∵∠DEF＝∠ADB，∠ADB＝∠C，∴∠DEF＝∠C ∵∠DEB＝∠1＋∠DEF＝∠2＋∠C，∴∠1＝∠2 又∠DBC＝∠C，∴△BEF∽△CDE ∴ 10－y 12－x BF BE ＝ ，即 ＝ CE CD x 10 1 2 6 x － x＋10 10 5AD M2 F M1BH ME MC∴ y＝（3）若①DE＝FE，则△BEF≌△CDE，∴BE＝CD 即 12－x＝10，得 x＝2 ②若 FD＝FE，则∠FDE＝∠FED＝∠DBE ∴DE＝BE＝12－x 在 Rt△DHE 中，( 6－x ) ＋8 ＝( 12－x ) ，解得 x＝22211 3③若 DE＝DF，则∠DFE＝∠DEF＝∠DBE 此时点 F 与点 B 重合，故点 E 与点 C 也重合，不合题意，舍去 综上所述，当△DEF 为等腰三角形时，x＝2 或 11 331． （江苏模拟）如图，Rt△ABC 中，∠BAC＝90° ，AB＝AC，D 是 BC 的中点，E 是 AC 上一点，点 G 在 BE 上，连接 DG 并延长交 AE 于 F，若∠FGE＝45° ． B （1）求证：BD?BC＝BG?BE； （2）求证：AG⊥BE； （3）若 E 是 AC 的中点，求 EF 的值． DF G A （1）证明：∵Rt△ABC 中，∠BAC＝90° ，AB＝AC ∴BC＝ 2AB，∠C＝45° ∵∠BGD＝∠FGE＝45° ，∴∠BGD＝∠C BD BE 又∵∠DBG＝∠EBC，∴△BDG∽△BEC，∴ ＝ BG BC 即 BD?BC＝BG?BE 2 （2）证明：∵D 是 BC 的中点，∴AD＝BD，BD＝ AB 2 2 AB 2 BE AB BE ∴ ＝ ，即 ＝ BG BG AB 2AB 又∵∠ABG＝∠EBA，∴△ABG∽△EBA ∴∠BGA＝∠BAE＝90° ，即 AG⊥BE （3）解：∵∠FGE＝∠C＝45° ，∠EFG＝∠DFC ∴△EFG∽△DFC，∴ EF GE ＝ DF CD 1 BC＝ 2k 2 B D G A F E C F E C DB D G A F E C设 AC＝2k，则 AB＝2k，CD＝∵E 是 AC 的中点，∴AE＝k，∴BE＝ 5k ∵∠BGA＝90° ，∴∠AGE＝90° 又∵∠AEG＝∠BEA，∴△AGE∽△BAE GE AE GE k 5 ∴ ＝ ，即 ＝ ，∴EG＝ k AE BE k 5 5k 5 k 5 EF GE 10 ∴ ＝ ＝ ＝ DF CD 10 2k32． （河北）如图 1，点 E 是线段 BC 的中点，分别以 B，C 为直角顶点的△EAB 和△EDC 均是等腰直角三 角形，且在 BC 的同侧． （1）AE 和 ED 的数量关系为______________， AE 和 ED 的位置关系为______________； （2）在图中，以点 E 为位似中心，作△EGF 与△EAB 位似，点 H 是 BC 所在直线上的一点，连接 GH， HD，分别得到了图 2 和图 3． ①在图 2 中，点 F 在 BE 上，△EGF 与△EAB 的相似比是 1 : 2，H 是 EC 的中点． 求证：GH＝HD，GH⊥HD． ②在图 3 中，点 F 在 BE 的延长线上，△EGF 与△EAB 的相似比是 k : 1，若 BC＝2，请直接写出 CH 的长为多少时，恰好使得 GH＝HD 且 GH⊥HD（用含 k 的代数式表示） ． A D A G B E图1DADCBFE图2HCBF E G图3CH解： （1）AE＝ED，AE⊥ED （2）①证明：由题意，∠B＝∠C＝90° ，AB＝BE＝EC＝DC ∵△EGF 与△EAB 位似且相似比是 1 : 2 1 1 ∴∠GFE＝∠B＝90° ，GF＝ AB，EF＝ EB 2 2 1 ∴∠GFE＝∠C，∴EH＝HC＝ EC 2 1 1 1 ∴GF＝HC，FH＝FE＋EH＝ EB＋ EC＝ BC＝EC＝CD 2 2 2 ∴△HGF≌△DHC．∴GH＝HD，∠GHF＝∠HDC ∵∠HDC＋∠DHC＝90° ，∴∠GHF＋∠DHC＝90° ∴∠GHD＝90° ，GH⊥HD ②CH 的长为 k 5 ． 1333． （河北）如图 1 和图 2，在△ABC 中，AB＝13，BC＝14，cos∠ABC＝探究 如图 1， AH⊥BC 于点 H， 则 AH＝__________， AC＝__________， △ABC 的面积 S△ABC ＝__________． 拓展 如图 2，点 D 在 AC 上（可与点 A，C 重合） ，分别过点 A，C 作直线 BD 的垂线，垂足为 E，F．设 BD＝x，AE＝m，CF＝n． （当点 D 与 A 重合时，我们认为 S△ABD ＝0） （1）用含 x，m 或 n 的代数式表示 S△ABD 及 S△CBD ； （2）求( m＋n )与 x 的函数关系式，并求( m＋n )的最大值和最小值； （3）对给定的一个 x 值，有时只能确定唯一的点 D，指出这样的 x 的取值范围． 发现 请你确定一条直线，使得 A，B，C 三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程） ，并写出这个 最小值． A ADF E B H图1CB图2C 解：探究 12，15，84 拓展 （1）由三角形面积公式，得 S△ABD ＝ 2S△ABD 2S△CBD ，n＝ x x 1 1 mx，S△CBD ＝ nx 2 2（2）由（1）得 m＝ ∴m＋n＝2S△ABD 2S△CBD 168 ＋ ＝ x x x 2S△ABC 2×84 56 ＝ ＝ 15 15 5由于 AC 边上的高为 ∴x 的取值范围是56 ≤x ≤14 5∵( m＋n )随 x 的增大而减小 ∴当 x＝ 56 时，( m＋n )的最大值为 15 5 56 或 13＜x ≤14 5当 x＝14 时，( m＋n )的最小值为 12 （3）x 的取值范围是 x＝ 发现 AC 所在的直线 56 5 1 ，BC＝2AB， 2最小值为34． （河北模拟）如图，在平面直角坐标系中，点 O 是坐标原点，在△ABC 中，tan∠ACB＝点 B 的坐标为（－4，0） ，点 A、C 分别在 y 轴正半轴和 x 轴正半轴上，点 D 是 BC 的中点． （1）求点 A 的坐标； （2）点 P 从 C 点出发，沿线段 CB 以每秒 5 个单位的速度向终点 B 匀速运动，过点 P 作 PE⊥AB，垂足 为 E，PE 交直线 AC 于点 F，设 EF 的长为 y（y≠0） ，点 P 的运动时间为 t 秒，求 y 与 t 之间的函数关系 式（直接写出自变量 t 的取值范围） ； （3）在（2）的条件下，过点 O 作 OQ∥AC 交 AB 于 Q 点，连接 DQ．是否存在这样的 t 值，使△FDQ 是 直角三角形？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由．yAE FyAyABODPCxBOD备用图CxBOD备用图Cx解： （1）设 OA＝x ∵点 A、C 分别在 y 轴正半轴和 x 轴正半轴上 ∴tan∠ACO＝ OA 1 ＝ ，∴OC＝2x OC 2∵B（－4，0） ，∴OB＝4，∴BC＝2x＋4 ∵BC＝2AB，∴AB＝x＋2 在 Rt△AOB 中，OA ＋OB ＝AB 2 2 2 ∴x ＋4 ＝( x＋2) ，解得 x＝3 ∴点 A 的坐标为（0，3）2 2 2 （2）过 F 作 FN⊥OC 于点 N，如图 1 ∵∠FNP＋∠ABO＝90° ，∠BAO＋∠ABO＝90° ∴∠FNP＝∠BAO ∴tan∠FPN＝tan∠BAO，∴ FN OB 4 ＝ ＝ PN OA 3 ByAE F设 FN＝4k，则 PN＝3k，PF＝5k，CN＝8k，∴PC＝5k 又∵PC＝5t，∴k＝t，PF＝5t ∵OA＝3，OB＝4，∴AB＝5，∴BC＝10 在 Rt△PEB 中，sin∠PBE＝ ∴PE＝ PE OA 3 ＝ ＝ BP AB 5OD N P图1Cx3 3 BP＝ ( 10－5t )＝6－3t 5 5 3 9 OA＝ 4 4当点 E 与点 A 重合时，OP＝OA?tan∠OAP＝OA?tan∠ABO＝ 此时 PC＝6－ 9 15 15 3 ＝ ，t＝ ÷5＝ 4 4 4 4yF E B NO DP图2A3 当 0≤t ＜ 时，点 E 在 BA 延长线上，点 F 在线段 AC 上，如图 1 4 ∴y＝PE－PF＝6－3t－5t＝6－8t 当 3 ＜t ＜2 时，点 E 在线段 AB 上，点 F 在 CA 延长线上，如图 2 4Cx∴y＝PF－PE＝5t－( 6－3t )＝8t－6 （3）过 D 作 DH⊥AC 于 H，过 Q 作 QM⊥OB 于 M，如图 3 ∵BC＝10，点 D 是 BC 的中点，∴BD＝DC＝5 ∵OA＝3，OC＝6，∴AC＝3 5 由△DHC∽△AOC，得 DH＝ 5 ∵OQ∥AC，∴△QBO∽△ABC，得 BQ＝2 4 8 3 6 ∴BM＝ BQ＝ ，QM＝ BQ＝ 5 5 5 5 ∴DM＝BD－BM＝ 17 5 Q B MyAE H F C xOD N P图3yA Q B M E F P C x在 Rt△QMD 中，由勾股定理得 QD＝ 13 ∴QD＜2DH，∴以 QD 为直径的圆与 AC 相离 ∴∠QFD＜90° ①当∠QDF＝90° 时，如图 4 由（2）知 FN＝4t，∴CN＝8t，DN＝CD－CN＝5－8t ∵∠QDF＝90° ，∴∠QDM＋∠FDN＝90° ∵∠QDM＋∠DQM＝90° ，∴∠FDN＝∠DQM 又∵∠QMD＝∠DNF＝90° ，∴△QMD∽△DNF 17 5 QM DM 17 ∴ ＝ ，∴ ＝ ，解得 t＝ DN FN 5－8t 4t 32 ②当∠FQD＝90° 时，如图 5 过 F 作 x 轴的平行线，与 MQ 的延长线交于 G 则 GM＝FN＝4t，∴GQ＝GM－QM＝4t－ 6 5 6 5O DN图4G F QyAB M N O PD图5Cx GF＝MN＝BC－BM－CN＝10－8 42 －8t＝ －8t 5 5∵∠FQD＝90° ，∴∠FQG＋∠DQM＝90° ∵∠QDM＋∠DQM＝90° ，∴∠FQG＝∠QDM 又∵∠G＝∠QMD＝90° ，∴△FGQ∽△QMD 42 6 －8t 4t－ 5 5 FG GQ 15 ∴ ＝ ，∴ ＝ ，解得 t＝ QM MD 6 17 16 5 5 ∴存在 t＝ 17 15 或 t＝ ，使△FDQ 是直角三角形 32 1635． （山西模拟）如图 1，在平面直角坐标系中，直线 l 与坐标轴相交于 A（2 5，0） ，B（0， 5）两点， 将 Rt△AOB 绕原点 O 逆时针旋转得到 Rt△A′OB′． （1）求直线 l 的解析式； （2）若 OA′⊥AB，垂足为 D，求点 D 的坐标； （3） 如图 2， 若将 Rt△AOB 绕原点 O 逆时针旋转 90° ， A′B′ 与直线 l 相交于点 F， 点 E 为 x 轴上一动点． 试 探究：是否存在点 E，使得以点 A，E，F 为顶点的三角形和△A′BB′ 相似．若存在，请求出点 E 的坐标； 若不存在，请说明理由． y y l B B′ O图1A′A′ l F BD A x B′ O图2Ax解： （1）设直线 l 的解析式为 y＝kx＋b ∵点 A（2 5，0） ，B（0， 5）在直线 l 上 1 ? ?k＝－ 2 ?2 5k＋b＝0 ∴? 解得：? ?b＝ 5 ? b＝ 5 ? ∴直线 l 的解析式为 y＝－ 1 x＋ 5 2yl B B′ O图1（2）∵A（2 5，0） ，B（0， 5） ，∴OA＝2 5，OB＝ 5 ∴AB＝ OA ＋OB ＝5 1 1 ∵OA′⊥AB 即 OD⊥AB，∴ OA?OB＝ AB?OD 2 2 1 1 ∴ ×2 5× 5＝ ×5×OD，∴OD＝2 2 2 过点 D 作 DH⊥x 轴于点 H（如图 1） 则∠DAH＋∠ADH＝∠ODH＋∠ADH＝90° ∴∠DAH＝∠ODH2 2A′ D A xH ∵在 Rt△AOB 中，tan∠BAO＝ ∴tan∠ODH＝2 2OB 5 1 ＝ ＝ OA 2 2 5 l FyA′ BOH 1 ＝ ，DH＝2OH DH 22 2 2 2在 Rt△ODH 中，设 OH＝a，则 DH＝2a ∵OH ＋DH ＝OD ，∴a ＋4a ＝2 ∵a ＞0，∴a＝ 2 5 2 5 4 5 ，∴OH＝ ，DH＝ 5 5 5EB′图2OAx2 5 4 5 ∴点 D 的坐标为（ ， ） 5 5 （3）存在点 E，使得以点 A，E，F 为顶点的三角形和△A′BB′ 相似 理由：∵△A′OB′ 由△AOB 逆时针旋转 90° 所得 ∴△A′OB′≌△AOB，∴∠B′A′O＝∠BAO 又∵∠FBA′＝∠OBA，∴△BFA′∽△BOA l BF A′B BF A′O－BO ∴ ＝ ，即 ＝ BO AB BO AB ∴ BF 2 5－ 5 ＝ ，∴BF＝1，∴AF＝AB＋BF＝6 5 5 AE AF ＝ A′B′ A′B B′yA′ F B①如图 2，当△AFE∽△A′BB′ 时，有 ∴O图3EAxAE 6 ＝ ，∴AE＝6 5，∴OE＝AE－AO＝6 5－2 5＝4 5 5 5 AE AF ＝ A′B A′B′∴E1（－4 5，0） ②如图 3，当△AEF∽△A′BB′ 时，有 ∴AE 6 6 5 6 5 4 5 ＝ ，∴AE＝ ，∴OE＝AO－AE＝2 5－ ＝ 5 5 5 5 54 5 ∴E2（ ，0） 5 4 5 综上所述，存在点 E1（－4 5，0） ，E2（ ，0） ，使得以点 A，E，F 为顶点的三角形和△A′BB′ 相似 5 36． （陕西）如图，正三角形 ABC 的边长为 3＋ 3． （1）如图①，正方形 EFPN 的顶点 E、F 在边 AB 上，顶点 N 在边 AC 上．在正三角形 ABC 及其内部，以 点 A 为位似中心，作正方形 EFPN 的位似正方形 E′F′P′N′，且使正方形 E′F′P′N′ 的面积最大（不要求写作 法） ； （2）求（1）中作出的正方形 E′F′P′N′ 的边长； （3）如图②，在正三角形 ABC 中放入正方形 DEMN 和正方形 EFPH，使得 DE、EF 在边 AB 上，点 P、N 分别在边 CB、CA 上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由． C CN N A P F 图① B A DM H E 图② P F BE 解： （1）如图①，正方形 E′F′P′N′ 即为所求 （2）设正方形 E′F′P′N′ 的边长为 x ∵△ABC 为正三角形，∴AE′＝BF′＝ ∴x＋ 2 3 x＝3＋ 3，∴x＝3 3－3 3 A 3 x 3 N′ NCP′ P F′ B（3）如图②，连接 NE，EP，PN，则∠NEP＝90° 设正方形 DEMN、正方形 EFPH 的边长分别为 m、n（m≥n） 它们的面积和为 S，则 NE＝ 2m，PE＝ 2n 2 2 2 2 2 2 2 ∴PN ＝NE ＋PE ＝2m ＋2n ＝2( m ＋n ) ∴S＝m ＋n ＝2 2E E′ F 图①1 2 PN 22 2 2 2 2延长 PH 交 ND 于点 G，则 PG⊥ND 在 Rt△PGH 中，PN ＝PG ＋GN ＝( m＋n ) ＋( m－n ) ∵ 3 3 m＋m＋n＋ n＝3＋ 3，即 m＋n＝3 3 32C方法一： ∴①当( m－n ) ＝0 时，即 m＝n 时，S 最小 1 9 2 ∴S 最小＝ ×3 ＝ 2 2 ②当( m－n ) 最大时，S 最大 即当 m 最大且 n 最小时，S 最大 ∵m＋n＝3 由（2）知，m 最大＝3 3－3 ∴n 最小＝3－m 最大＝3－( 3 3－3 )＝6－3 3 1 2 ∴S 最大＝ [9＋( m 最大－n 最小 ) ] 2 1 2 ＝ [9＋( 3 3－3－6＋3 3 ) ] 2 ＝99－54 3 方法二： ∴n＝3－m ∴S＝m ＋n ＝m ＋( 3－m ) ＝2m －6m＋9＝2( m－ 由（2）知，m 最大＝3 3－3 ∴n 最小＝3－m 最大＝3－( 3 3－3 )＝6－3 3 ∴6－3 3≤m ≤3 3－3 又 a＝2＞0，6－3 3＜ ∴当 m＝2 2 2 2 2 2N G A DM H E 图② P F B3 2 9 )＋ 2 23 3 3 9 ＜3 3－3， －( 6－3 3 )＝(3 3－3 )－ ＝3 3－ 2 2 2 23 9 时，S 有最小值 ； 2 2当 m＝6－3 3 或 3 3－3 时，S 有最大值 99－54 3 37． （陕西模拟） （1）如图 1，△ABC 在平面坐标系内，点 A（0，3 3） ，B（－3，0） ，C（2，0） ．一动点 由点 A 沿 y 轴向下运动，运动到线段 OA 上的 G 点时，再沿 GC 到达 C．若由 A 到 G 方向的速度是 G 到 C 方向的速度的 2 倍，要使动点由 A－G－C 所用的时间最短，求点 G 的坐标； 3 （2）如图 2，A、B 两村相距 10 千米，且 tanA＝ ，现计划修一条公路把 A、B 两村连接起来，由于 A、 4 B 两村之间有些重要的建筑物不能直接经过，故计划先沿水平 AC 方向修到某处 M，再由 M 处沿山坡修到 B 村． ①若由 A 到 M 的速度是 M 到 B 的速度的 2 倍，要尽快完成任务，求 AM 的长； ②若由 A 到 M 的速度是 M 到 B 的速度的 3 倍，要尽快完成任务，求 AM 的长； ③若由 A 到 M 的速度是 M 到 B 的速度的 n 倍，要尽快完成任务，直接写出 AM 的长．yA BBO图1CxAM图2C解： （1）设 G 到 C 方向的速度为 v，则 A 到 G 方向的速度为 2v t＝ AG GC 1 AG ＋ ＝ ( ＋GC ) 2v v v 2 AG ＋GC 最小 2∵v 是定值，要使 t 最小，只需 作 CD⊥AB 于 D，交 OA 于 G由 A（0，3 3） ，B（－3，0） ，知∠BAO＝30° ∴DG＝ AG 2AG ∵D、G、C 三点共线，∴ ＋GC 最小 2 ∵∠BCD＝∠BAO＝90° －∠ABC ∴∠BCD＝30° ，∴OG＝ 2 3 ∴G（0， ） 3 （2）①设 M 到 B 的速度为 v，则 A 到 M 的速度为 2v AM BM 1 AM t＝ ＋ ＝ ( ＋BM ) v v 2 2v ∵v 是定值，要使 t 最小，只需 AM ＋BM 最小 2 3 2 3 OC ＝ 3 3在 AC 下方作∠CAD＝45° ，作 BD⊥AD 于 D，交 AC 于 M，BE⊥AC 于 E AM AM 则 MD＝ ，且 B、M、D 三点共线，∴ ＋BM 最小 2 2 此时∠AMD＝45° ，∴∠BME＝45° ∵tanA＝ BE 3 ＝ ，设 BE＝3k，则 AE＝4k AE 4B在 Rt△ABE 中，由勾股定理得 AB＝5kA DMEC ∵AB＝10，∴5k＝10，k＝2，∴AE＝8，BE＝ME＝6 ∴AM＝2 ②设 M 到 B 的速度为 v，则 A 到 M 的速度为 3v t＝ AM BM 1 AM ＋ ＝ ( ＋BM ) 3v v v 31 在 AC 下方作∠CAD，使 sin∠CAD＝ ，作 BD⊥AD 于 D，交 AC 于 M，BE⊥AC 于 E 3 则 MD＝ AM AM ，且 B、M、D 三点共线，∴ ＋BM 最小 3 3 MD k 2 ME 2 3 2 ＝ ＝ ＝ ，∴ME＝ BE＝ AD 4 BE 4 2 2 2k B设 MD＝k，则 AM＝3k，AD＝2 2k ∴tan∠MAD＝ ∴AM＝8－3 2 2③设 M 到 B 的速度为 v，则 A 到 M 的速度为 nv t＝ AM BM 1 AM ＋ ＝ ( ＋BM ) nv v v nA DMEC1 在 AC 下方作∠CAD，使 sin∠CAD＝ ，作 BD⊥AD 于 D，交 AC 于 M，BE⊥AC 于 E n 则 MD＝ AM AM ，且 B、M、D 三点共线，∴ ＋BM 最小 n n2设 MD＝k，则 AM＝nk，AD＝ n －1 k ∴tan∠MAD＝ MD ＝ AD2k n －1 k2＝n －1 ME n －1 6 n －1 ＝ ，∴ME＝ 2 BE＝ 2 2 BE n －1 n －1 n －1222∴AM＝8－6 n －1 2 n －138． （新疆乌鲁木齐）如图，已知点 A（－12，0） ，B（3，0） ，点 C 在 y 轴的正半轴上，且∠ACB＝90° ． （1）求点 C 的坐标； （2）求 Rt△ACB 的角平分线 CD 所在直线 l 的解析式； y （3）在 l 上求出满足 S△PBC ＝ 1 S 的点 P 的坐标； 2 △ACB C（4）已知点 M 在 l 上，在平面内是否存在点 N，使以 O、 C、M、N 为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出 点 N 的坐标；若不存在，请说明理由． 解： （1）∵A（－12，0） ，B（3，0） ，∴OA＝12，OB＝3 由△AOC∽△COB，可得 OC ＝OA?OB＝36，∴| OC |＝6 又点 C 在 y 轴的正半轴上，故点 C 的坐标是（0，6） （2）过点 D 作 DE⊥BC 于点 E，设 DB 的长为 m ∵OA＝12，OB＝3，OC＝6，∴AB＝15，AC＝6 5，BC＝3 5 在 Rt△DEB 中，DE＝DB?sinB＝m?2ADOBxAC 2 5 BC 5 ＝ m，BE＝DB?cosB＝m? ＝ m AB 5 AB 5 2 5 m 5在 Rt△DEC 中，∠DCE＝45° ，于是，CE＝DE＝ 由 CE＋BE＝BC，即2 5 5 m＋ m＝3 5，得 m＝5 5 5y C E A D O B x又由|OA|＞|OB|，知点 D 在线段 OA 上，|OB|＝3 ∴|OD|＝2，故点 D（－2，0） 设直线 l 的解析式为 y＝kx＋b，把 C（0，6）和 D（－2，0）代入?b＝6 ? 得? ?－2k＋b＝0 ? ?k＝3 ? 解得：? ?b＝6 ?故直线 l 的解析式为 y＝3x＋6 （3）①取 AB 的中点 F（－4.5，0） ，过点 F 作 BC 的平行线交直线 l 于点 P1，连接 CF 易知 S△P1BC ＝S△FBC ＝ 1 S ，∴点 P1 为符合题意的点 2 △ACB直线 P1F 可由直线 BC 向左平移|BF|个单位得到（即向左平移 7.5 个单位） 易得直线 BC 的解析式为 y＝－2x＋6 ∴直线 P1F 的解析式为 y＝－2( x＋7.5)＋6，即 y＝－2x＋9?y＝－2x＋9 ? 由? ?y＝3x＋6 ? ?x＝－3 ? 解得 ? ?y＝－3 ?y P2∴点 P1（－3，－3） ②在直线 l 上取点 P2，使 P2C＝P1C 此时有 S△P2BC ＝S△P1BC ＝ 1 S ，∴点符 P2 合题意 2 △ACB 1 S 2 △ACBA F P1CD O Bx由 P2C＝P1C，可得点 P2 的坐标为（3，15） ∴点 P（－3，－3）或 P（3，15）可使 S△PBC ＝ （4）点 N 的坐标分别为（1，3） ， （－ 提示：如图所示，有四种情况y C M A N x A M N N D O B x A y C M D y C18 6 3 10 9 10 3 10 9 10 ， ） （－ ，－ ） ， （ ， ） 5 5 5 5 5 5y M C ND O BO BxAD O Bx39． （内蒙古赤峰）如图所示，要在燃气管道 l 上修建一个泵站，分别向 A、B 两镇供气，已知 A、B 到 l 的距离分别是 3km、4km（即 AC＝3km，BE＝4km） ，AB＝x km，现设计两种方案； 方案一：如图①所示，AP⊥l 于点 P，泵站修建在 P 处，该方案中管道长度 a1＝AB＋AP； 方案二：如图②所示，点 A′ 与点 A 关于 l 对称，A′B 与 l 相交于点 P，泵站修建在点 P 处，该方案中管道 长度 a2＝AP＋BP B （1）在方案一中，a1＝____________km（用含 x 的式子表示） ； A （2）在方案二中，a2＝____________km（用含 x 的式子表示） ； （3）请你分析要使铺设的输气管道最短，应选择方案一还是方案二． l C E B B A C P(C) 图① 解： （1）x＋3 （2） x ＋48 （3）a1 －a2 ＝( x＋3) －( x ＋48 ) ＝6x－39 2 2 当 a1 －a2 ＞0（即 a1－a2＞0，a1＞a2）时，6x－39＞0，解得 x ＞6.5 2 2 当 a1 －a2 ＝0（即 a1－a2＝0，a1＝a2）时，6x－39＝0，解得 x＝6.5 2 2 当 a1 －a2 ＜0（即 a1－a2＜0，a1＜a2）时，6x－39＜0，解得 x ＜6.5 综上所述 当 x ＞6.5 时，选择方案二，输气管道较短 当 x＝6.5 时，两种方案一样 当 0＜x ＜6.5 时，选择方案一，输气管道较短 40． （黑龙江哈尔滨）如图，在平面直角坐标系中，点 O 坐标原点，直线 y＝2x＋4 交 x 轴于点 A，交 y 轴 于点 B，四边形 ABCO 是平行四边形 ，直线 y＝－x＋m 经过点 C，交 x 轴于点 D． （1）求 m 的值； （2）点 P（0，t）是线段 OB 上的一个动点（点 P 不与 O，B 两点重合） ，过点 P 作 x 轴的平行线，分别 交 AB，OC，DC 于点 E，F，G．设线段 EG 的长为 d，求 d 与 t 之间的函数关系式（直接写出自变量 t 的 取值范围） ； （3）在（2）的条件下，点 H 是线段 OB 上一点，连接 BG 交 OC 于点 M，当以 OG 为直径的圆经过点 M 时，恰好使∠BFH＝∠ABO．求此时 t 的值及点 H 的坐标． y B C y B C2 2 2 2 2 2APll 图②AODxAO备用图Dx解： （1）方法一：如图 1 ∵y＝2x＋4 交 x 轴和 y 轴于 A、B ∴A（－2，0） ，B（0，4） ，∴OA＝2，OB＝4 ∵四边形 ABCO 是平行四边形，∴BC＝OA＝2 过点 C 作 CK⊥x 轴于 K，则四边形 BOKC 是矩形 ∴OK＝BC＝2，CK＝OB＝4 ∴C（2，4） ，代入 y＝－x＋m 得 4＝－2＋m，∴m＝6y B CAOK图1Dx 方法二：如图 2 y ∵y＝2x＋4 交 x 轴和 y 轴于 A、B N ∴A（－2，0） ，B（0，4） ，∴OA＝2，OB＝4 延长 DC 交 y 轴于点 N C B ∵y＝－x＋m 交 x 轴和 y 轴于 D、N ∴D（m，0） ，N（0，m） ，∴OD＝ON ∴∠ODN＝∠OND＝45° ∵四边形 ABCO 是平行四边形 ∴BC∥AO，BC＝OA＝2 A O D ∴∠NCB＝∠ODN＝∠OND＝45° ，∴NB＝BC＝2 图2 ∴ON＝NB＋OB＝2＋4＝6，∴m＝6 （2）方法一：如图 3，延长 DC 交 y 轴于点 N，分别过点 E、G 作 x 轴的垂线，垂足分别是 R、Q 则四边形 ERQG、四边形 POQG、四边形 EROP 是矩形 ∴ER＝PO＝GQ＝t y ∵tan∠BAO＝ ER OB t 4 1 ＝ ，∴ ＝ ，∴AR＝ t AR OA AR 2 2 N B P F Cx∵y＝－x＋6 交 x 轴和 y 轴于 D、N ∴OD＝ON＝6，∴∠ODN＝45° ∵tan∠ODN＝ GQ ，∴DQ＝t QD 1 3 t－t=8＝8－ t 2 2 A EG Q图3又∵AD＝AO＋OD＝2＋6＝8 ∴EG＝RQ＝8－ ∴d＝－ R O D x3 t＋8（0＜t ＜4） 2方法二：∵EG∥AD，P（0，t） ，∴设 E（x1，t） ，G（x2，t） 把 E（x1，t）代入 y＝2x＋4，得 t＝2x1＋4 ∴x1＝ t －2 2把 G（x2，t）代入 y＝－x＋6，得 t＝－x2＋6 ∴x2＝6－t ∴d＝EG＝x2－x1＝( 6－t )－( ∴d＝－ 3 t＋8（0＜t ＜4） 2 y B H E P C M F G t －2 ) 2（3）方法一：如图 4，∵四边形 ABCO 是平行四边形 ∴AB∥OC，∴∠ABO＝∠BOC EP 1 ∵BP＝4－t，∴tan∠ABO＝ ＝tan∠BOC＝ BP 2 t ∴EP＝2－ ，∴PG＝d－EP＝6－t 2 ∵以 OG 为直径的圆经过点 M，∴∠OMG＝90° ∵∠OPG＝90° ，∠MFG＝∠PFO，∴∠BGP＝∠BOC ∴tan∠BGP＝ BP 1 ＝tan∠BOC＝ PG 2 AO图4Dx ∴4－ t 1 ＝ ，解得：t＝2 6－ t 2 BH BF 2 ＝ ，即 BF ＝BH?BO BF BO2 2∵∠BFH＝∠ABO＝∠BOC，∠OBF＝∠FBH ∴△BHF∽△BFO，∴∵OP＝2，∴PF＝1，BP＝2，∴BF＝ BP ＋PF ＝ 5 ∴5＝BH×4，∴BH＝ 11 ∴H（0， ） 4 方法二：如图 5，∵四边形 ABCO 是平行四边形 ∴AB∥OC，∴∠ABO＝∠BOC EP 1 ∵BP＝4－t，∴tan∠ABO＝ ＝tan∠BOC＝ BP 2 ∴EP＝2－ t ，∴PG＝d－EP＝6－t 2 A y B H E P T C M F G 5 5 11 ，∴HO＝4－ ＝ 4 4 4∵以 OG 为直径的圆经过点 M，∴∠OMG＝90° ∵∠OPG＝90° ，∠MFG＝∠PFO，∴∠BGP＝∠BOC ∴tan∠BGP＝ ∴ BP 1 ＝tan∠BOC＝ PG 2O图5Dx4－ t 1 ＝ ，解得：t＝2 6－ t 22 2∴OP＝2，BP＝4－t＝2，∴PF＝1 ∴OF＝ 1 ＋2 ＝ 5＝BF ∴∠OBF＝∠BOC＝∠BFH＝∠ABO，∴BH＝HF 过点 H 作 HT⊥BF 于点 T 5 2 1 5 BT 5 ∴BT＝ BF＝ ，∴BH＝ ＝ ＝ 2 2 2 4 cos∠OBF 5 ∴OH＝4－ 5 11 11 ＝ ，∴H（0， ） 4 4 4方法三：如图 4，∵OA＝2，OB＝4，∴AB＝2 5 ∵P（0，t） ，∴BP＝4－t， 4－t OB BP 4 ∵cos∠ABO＝ ＝ ＝ ＝ BE BE AB 2 5 ∴BE＝ 5 ( 4－t ) 2∵以 OG 为直径的圆经过点 M，∴∠OMG＝90° ∵四边形 ABCO 是平行四边形，∴AB∥OC ∴∠ABG＝∠OMG＝90° ＝∠BPG ∴∠ABO＋∠BEG＝90° ，∠BGE＋∠BEG＝90° ∴∠ABO＝∠BGE，∴sin∠ABO＝sin∠BGE 5 ( 4－t ) 2 OA BE BE 2 ∴ ＝ ＝ ，即 ＝ ，∴t＝2 AB EG d 3 2 5 － t＋8 2 ∵∠BFH＝∠ABO＝∠BOC，∠OBF＝∠FBH ∴△BHF∽△BFO，∴ BH BF 2 ＝ ，即 BF ＝BH?BO BF BO2 2∵OP＝2，∴PF＝1，BP＝2，∴BF＝ BP ＋PF ＝ 5 ∴5＝BH×4，∴BH＝ 11 ∴H（0， ） 4 41． （黑龙江哈尔滨）已知：在△ABC 中，∠ACB＝90° ，点 P 是线段 AC 上一点，过点 A 作 AB 的垂线， 交 BP 的延长线于点 M，MN⊥AC 于点 N，PQ⊥AB 于点 Q，AQ＝MN． （1）如图 l，求证：PC＝AN； （2）如图 2，点 E 是 MN 上一点，连接 EP 并延长交 BC 于点 K，点 D 是 AB 上一点，连接 DK，∠DKE ＝∠ABC，EF⊥PM 于点 H，交 BC 延长线于点 F，若 NP＝2，PC＝3，CK : CF＝2 : 3，求 DQ 的长． A N P B C（图 1）5 5 11 ，∴HO＝4－ ＝ 4 4 4A N E H P B K C（图 2）QM DQMF（1）证明：方法一： 如图 1，∵BA⊥AM，MN⊥AP，∴∠BAM＝∠ANM＝90° ∴∠PAQ＋∠MAN＝∠MAN＋∠AMN＝90° ∴∠PAQ＝∠AMN ∵PQ⊥AB，MN⊥AC，∴∠PQA＝∠ANM＝90° ∵AQ＝MN，∴△AQP≌△MNA ∴AN＝PQ，AM＝AP，∴∠AMB＝∠APM ∵∠APM＝∠BPC，∠BPC＋∠PBC＝90° ，∠AMB＋∠ABM＝90° ∴∠ABM＝∠PBC ∵PQ⊥AB，PC⊥BC，∴PQ＝PC，∴PC＝AN 方法二： 如图 1，∵BA⊥AM，MN⊥AC，∴∠BAM＝∠ANM＝90° ∴∠PAQ＋∠MAN＝∠MAN＋∠AMN＝90° ∴∠PAQ＝∠AMN ∵PQ⊥AB，∴∠AQP＝90° ＝∠ANM ∵AQ＝MN，∴△PQA≌△ANM ∴AP＝AM，PQ＝AN，∴∠APM＝∠AMP ∵∠AQP＋∠BAM＝180° ，∴PQ∥MAA N P B C（图 1）QM ∴∠QPB＝∠AMP ∵∠APM＝∠BPC，∴∠QPB＝∠BPC ∵∠BQP＝∠BCP＝90° ，BP＝BP ∴△BPQ≌△BPC，∴PQ＝PC，∴PC＝AN （2）解：方法一： 如图 2，∵NP＝2，PC＝3，∴由（1）知 PC＝AN＝3 ∴AP＝NC＝5，AC＝8，∴AM＝AP＝5 ∴AQ＝MN＝ AM －AN ＝ 4 ∵∠PAQ＝∠AMN，∠ACB＝∠ANM＝90° ∴∠ABC＝∠MAN ∴tan∠ABC＝tan∠MAN＝ ∵tan∠ABC＝ MN 4 ＝ AN 32 2A N E H P K C（图 2）Q D G BMTFAC ，∴BC＝6 BC NE NP ＝ CK PC∵NE∥KC，∴∠PEN＝∠PKC 又∵∠ENP＝∠KCP，∴△PNE∽△PCK，∴ ∵CK : CF＝2 : 3，设 CK＝2k，则 CF＝3k ∴ NE 2 4 ＝ ，∴NE＝ k 2k 3 3 4 4 5 k，∴CT＝CF－TF＝3k－ k＝ k 3 3 3过 N 作 NT∥EF 交 CF 于 T，则四边形 NTFE 是平行四边形 ∴NE＝TF＝∵EF⊥PM，∴∠BFH＋∠HBF＝90° ＝∠BPC＋∠HBF ∴∠BPC＝∠BFH ∵EF∥NT，∴∠NTC＝∠BFH＝∠BPC ∵tan∠NTC＝tan∠BPC＝ ∴CT＝ 5 5 3 k＝ ，∴k＝ 3 2 2 BC NC ＝2，∴tan∠NTC＝ ＝2 PC CT3 ∴CK＝2× ＝3，BK＝BC－CK＝3 2 ∵∠PKC＋∠DKE＝∠ABC＋∠BDK，∠DKE＝∠ABC，∴∠BDK＝∠PKC tan∠PKC＝ PC ＝1，∴tan∠BDK＝1 KC 4 ，∴设 GK＝4n，则 BG＝3n，GD＝4n 3过 K 作 KG⊥BD 于 G ∵tan∠BDK＝1，tan∠ABC ＝ A N E P B K C（图 3）3 21 ∴BK＝5n＝3，∴n＝ ，∴BD＝4n＋3n＝7n＝ 5 5 ∵AB＝ AC ＋BC ＝10，AQ＝4，∴BQ＝AB－AQ＝6 ∴DQ＝BQ－BD＝6－ 21 9 ＝ 5 52 2Q DMH方法二： 如图 3，∵NP＝2，PC＝3，∴由（1）知 AN＝PC＝3 ∴AP＝NC＝5，AC＝8，∴AM＝AP＝5RF G ∴AQ＝MN＝ AM －AN ＝ 4 ∵NM∥BC，∴∠NMP＝∠PBC 又∵∠MNP＝∠BCP，∴△MNP∽△BCP ∴ MN NP 4 2 ＝ ，∴ ＝ ，∴BC＝6 BC PC BC 322作 ER⊥CF 于 R，则四边形 NERC 是矩形 ∴ER＝NC＝5，NE＝CR ∵∠BHF＝∠BCP＝90° ，∴∠EFR＝90° －∠HBF，∠BPC＝90° －∠HBF ∴∠EFR＝∠BPC，∴tan∠EFR＝tan∠BPC ∴ ER BC 5 6 5 ＝ ，∴ ＝ ，∴RF＝ RF PC RF 3 2 NE NP 2 ＝ ＝ KC PC 3∵N}
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