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如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A、C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F. 点D、E的坐标分别为（0，6），（-4，0），连接PD，PE，DE. （1）请直接写出抛物线的解析式；
（2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值. 进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值. 请你判断该猜
23.（11分）如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A、C间的一个动点（含端点），过点P作PF&BC于点F. 点D、E的坐标分别为（0，6），（-4，0），连接PD，PE，DE.
（1）请直接写出抛物线的解析式；
（2）小明点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值. 进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值. 请你判断该猜想是否正确，并说明理由；
（3）小明进一步得出结论：若将&使△PDE的面积为整数&的点P记作&好点&，则存在多个&好点&，且使△PDE的周长最小的点P也是一个&好点&.
请直接写出所有&好点&的个数，并求出△PDE的周长最小时&好点&的坐标.
【答案】（1）y=-+8；(2)正确，理由参见解析；（3）&好点&11个，△PDE的周长最小时&好点&的坐标（-4,6）.
试题分析：（1）因为抛物线对称轴是y轴，所以根据A,C点坐标即可写出解析式.(2)把任意一点P的坐标表示出来，并表示出PD,PF的长，用PD-PF验证；（3）先求出使△PDE的周长最小的点P的坐标，∵DE是定值，考虑PE与PD的和最小，由上题得出的结论转化成PE与PF的关系进而得出使△PDE的周长最小的点P点坐标；想找到&好点&的个数，先把三角形PDE的面积表示出来，用梯形面积减去两个直角三角形的面积，由x的取值范围确定S的整数值有几个，再加上前面的使△PDE的周长最小的一个点，就知道一共&好点&的个数.
试题解析：(1)设y=a+8，将A(-8,0)代入，a=-,∴y=-+8；(2)设P（x,-+8),则PF=8－(-+8)=,过P作PM&y轴于M，则==，∴PD=+2，∴PD-PF=+2－=2，∴猜想正确.(3)①在P点运动时，DE大小不变，∴PE与PD的和最小时，△PDE的周长最小，∵PD-PF=2，∴PD=PF＋2，∴PE＋PD=PE＋PF＋2，当P,E,F三点共线时，PE＋PF最小，此时，点P,E横坐标都为-4，将x=-4代入y=-+8，得y=6,∴P(-4,6),此时△PDE的周长最小，且△PDE的面积为12，点P恰为&好点&，∴△PDE的周长最小时&好点&的坐标（-4,6）.②作PH&AO于H,△PDE的面积S=梯形PHOD面积减去两个直角三角形△PHE,△DEO的面积=-－3x＋4=－+13，由-8&x&0知4&S&13，∴S的整数点有10个，当S=12时，对应的&好点&有1个，所以&好点&共有11个.
考点：1.二次函数与三角形，四边形综合题；2.二次函数动点问题.
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如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=4cm，BC=10cm，点P从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C移动，问：经过多少秒后，点P到点A的距离的平方比点P到点B的距离的8倍大1？
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假设当P点移到E点时可满足本题的条件，那么就有△ABE为直角三角形，BE=PB，EA=PA，由题意得PA2-8PB=1，设经过x秒后点P到点A的距离的平方比点P到点B的距离的8倍大1，由题意得BE=PB=1×x=xcm，AE2=PA2=42+x2∴42+x2-8x=1解得x1=3，x2=5．答：经过3秒或5秒后，点P到点A的距离的平方比点P到点B的距离的8倍大1．
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此题的相等关系是：点P到点A的距离的平方比点P到点B的距离的8倍大1，即PA2-8PB=1，据此即可列方程求解．
本题考点：
一元二次方程的应用．
考点点评：
本题应用了勾股定理和路程=速度×时间这个公式．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
设经过t秒。t^+4^=8t+1t=3或5
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如果将P点移到图4的位置,此时∠A、∠P、∠C三角之间存在怎样的关系?并证明你的结论.
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Ap交CD于E ∵AB∥CD∴∠A=∠AEC又∵∠AEC=∠P+∠C∴∠A=∠C+∠P
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∠A=∠C+∠P设CD、AP的交点为Q∵∠PQD=∠C+∠P（外角等于内对角之和）
∠PQD=∠A（同位角相等∴∠A=∠C+∠P
扫描下载二维码如图1，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=4cm，AB=12cm，CD=8cm点P从A开始沿AB边向B以3cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CD边向D以1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）．
（1）t为何值时，四边形APQD是平行四边形？
（2）如图2，如果⊙P和⊙Q的半径都是2cm，那么，t为何值时，⊙P和⊙Q外切？
（1）表面问四边形APQD是平等四边形，实质为AP=DQ．容易得AP=3t，DQ=8-t，列方程3t=8-t即解；
（2）关键理解：什么情况下⊙P和⊙Q外切？⊙P和⊙Q外切就是PQ=AD根据题意有两种可能：?APQD、等腰梯形APQD．?APQD就是AP=DQ等腰梯形APQD就是PB=CQ．分别列方程可解
解：（1）∵DQ∥AP，
∴当AP=DQ时，四边形APQD是平行四边形．此时，3t=8-t．解得t=2（s）．即当t为2s时，四边形APQD是平行四边形．
（2）∵⊙P和⊙Q的半径都是2cm，
∴当PQ=4cm时，⊙P和⊙Q外切．而当PQ=4cm时，如果PQ∥AD，那么四边形APQD是平行四边形．
①当四边形APQD是平行四边形时，由（1）得t=2（s）．
②当四边形APQD是等腰梯形时，∠A=∠APQ．
∵在等腰梯形ABCD中，∠A=∠B，
∴∠APQ=∠B．
∴PQ∥BC．
∴四边形PBCQ平行四边形．此时，CQ=PB．
∴t=12-3t．解得t=3（s）．
综上，当t为2s或3s时，⊙P和⊙Q相切．}