无限长悬臂梁自由端受力偶作用下固定端应力分布的辛解法--《自动化技术与应用》2015年03期
无限长悬臂梁自由端受力偶作用下固定端应力分布的辛解法
【摘要】：在弹性力学辛体系中,采用分离变量法和本征函数展开法,考虑零本征值和非零本征值对应的本征解,对无限长悬臂梁自由端受力偶作用时固定端应力分布问题进行了研究,得到了这一问题的辛解答,对计算结果进行了分析。结果表明:辛解法由于采用二类变量进行求解,能够较好地处理各种边界条件,对分析这类问题具有独特的优势,因此计算精度较高。这一方法还可应用于其他边界问题的研究。
【作者单位】：
【关键词】：
【分类号】：O343【正文快照】：
1引言弹性力学传统的Lagrange体系中,采用提高微分方程阶次的半逆解法[1,2],依赖于具体问题而缺乏一般性,往往只能找到某些解,却不能找到全部解。而在辛体系下,引入对偶的二类变量,采用分离变量法和本征函数展开求解等方法进行有效的解析求解。在文献[3,4]中,给出了齐次边界条
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京公网安备75号试求两固定端的反作用力偶矩MA和MB
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&&&& &&&& &&&& &&&&&&&&&&&&&&&&习题3.1解：&&&&T&&&&&&&&作图示各杆的扭矩图。&&&&&&&&（a）&&&&M&&&&2M&&&&&&&&x&&&&&&&&T&&&&&&&&2M&&&&x&&&&&&&&（b）&&&&&&&&M&&&&T/kN?m1551030&&&&&&&&（c）&&&&&&&&x&&&&&&&&&&&&习题3.2&&&&&&&&T&&&&&&&&T&&&&&&&&T&&&&&&&&解：&&&&&&&&T&&&&&&&&T&&&&&&&&T&&&&&&&&&&&&习题3.4内、外直径分别为d和D的空心轴，其横截面的极惯性矩11为IP=1πD41πd4，抗扭截面系数为W=πD3πd3。以上算式－t是否正确？何故？解：&&&&11IP=32πD432πd4－1313W=16πD－πdt16&&&&&&&&正确&&&&&&&&不正确&&&&&&&&11πD432πd－IPW=R=32D=16πD－πD≠16πD(1α4)－tπD－πd16&&&&&&&&&&&&习题3.8阶梯形圆轴直径分别为d1=40mm，d2=70mm，轴上装有三个带轮。已知由轮3输入的功率为P3=30kW，轮1输入的功率为P1=13kW，轴作匀速转动，转速n=200r/min，材料的剪切许用应力[τ]=60MPa，G=80GPa，许用扭转角[φbackground-color:#;]=2（°）/m。试校核轴的强度和刚度。1解：T=Me=N?m1&&&&nPT2=Me3=.4N?mn16T16×620.71τ1=3=3－=49.4MPa910πd1π×40×16T216×1432.4&&&&1&&&&&&&&T/N·m&&&&&&&&x&&&&&&&&620.7&&&&&&&&τ2=&&&&&&&&3=3－=21.3MPa910πd2π×70×&&&&&&&&T18032T×1×180φ′1×π=124=2=GI194－=.77(°)/m121PGπd1π×××40×8010101&&&&&&&&1432.4&&&&&&&&T×18032×1&&&&432.4×180φ′=×==22GI412=0.436(°)/mπGπ2d2π××9×704×－P8010102&&&&&&&&τmax=49.4MPa≤τ][&&&&&&&&φ′=[′max1.77(°)/m≤φ]强度和刚度均满足要求&&&&&&&&&&&&习题3.9图示绞车同时由两人操作，若每人加在手柄上的力都是F=200N，已知轴的许用切应力[τ]=40MPa。试按强度条件初步估算AB轴的直径，并确定最大起重量W。解：T=400F=N?m×&&&&&&&&16T[τ=3≤τ]πd&&&&d≥316T316×80==21.7mmπ[τ]π×40×610&&&&&&&&200Fτ=2×400F&&&&&&&&Fτ=800N&&&&0Fτ=250×=8001120N&&&&&&&&350Fτ=250W&&&&&&&&&&&&习题3.10机床变速箱第Ⅱ如图所示，轴所传递的功率为P=5.5kW转速n=200r/min，[τ]=40MPa。试按强度条件初步设计轴的直径。解：&&&&&&&&P5.5T=Me=2.6N?mn200&&&&16Tτ=3≤τ][πd&&&&&&&&d≥3&&&&&&&&16T316×262.6mπ[τ]=π×40×6=32.2m10&&&&&&&&&&&&习题3.13桥式起重机如图所示。若传动轴传递的力偶矩Me=1.08kN·m，材料的许用应力[τ]=40MPa，G=80GPa，同时规定[φbackground-color:#;]=0.5（°）/m。试设计轴的直径。解：&&&&&&&&T=Me=.08kN?m116Tτ=3≤τ][πd316T16×.08101×d≥3π[τ]=3m6=51.6mπ×40×10&&&&180T32×T180φ==≤φ′[]πGIPπ2Gd4&&&&&&&&32×T432××.×4==63mmd≥229]8010πG[φ′π×××0.5&&&&∴直径d=63mm&&&&&&&&3&&&&&&&&&&&&习题3.17由厚度δ=8mm的钢板卷制成的圆筒，平均直径为&&&&&&&&解：&&&&&&&&D=200mmτσ&&&&&&&&&&&&习题3.23两端固定的圆轴AB，在截面C上受扭转力偶矩Me。试求两固定端的反作用力偶矩MA和MB。解：&&&&&&&&MA+MB－e=0M&&&&TB=MB&&&&&&&&TA=MA&&&&&&&&φAC+CB=0φ&&&&TAaφAC=GIP&&&&即&&&&&&&&TBbφCB=－GIP&&&&&&&&MAa=MBb&&&&aMB=Mea+b&&&&&&&&b∴MA=Mea+b&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&您所在位置： &
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第五节扭矩方程扭矩图一、扭矩方程扭矩图二、扭矩与荷载集度间的关系三、扭矩图的快速画法一、扭矩方程扭矩图(a)例1-12、写出图示杆件各段的扭矩方程，并画其扭矩图。已知M1=8kN.m,M2=4kN.m,均布力偶矩m=3kN.m/m。AB段：取X1截面以左外力偶计算，Mn=–M1=–8kN.m[0&x&3]BC段:取X2截面以左外力偶计算，Mn=–M1+mo(x–3)=–8+3×(x–3)[3&x&7]CD段：取X3截面以右外力偶计算，Mn=M2=4kN.m[7&x&10]1、扭矩方程–M1–M1mo(x–3)M2左左、右右矩矢正2、扭矩图AB段:Mn=–8kN.m(常数)[0&x&3]MnA=MnB==–8kN.m–8kNom4kNom4kNom(b)BC:Mn=–8+3×(x–3)[3&x&7]x=3Mn=–8kN.mx=7Mn=4kN.mCD:Mn=4kN.m(常数)[7&x&10]Mn填补幅度细线，所得扭矩图如图(b)所示。*这种根据内力方程计算出若干控制截面上的内力，然后再描点连线的画图方法，称之为“函数描点法”。二、扭矩与力偶矩集度间的微分关系xdx(a)*从上例可以发现,扭矩沿各截面位置的变化规率与杆段上有无分布力偶矩，以及分布力偶矩集度m的大小和旋转方向有关。下面以图a所示杆件为例来分析扭矩Mn与m间的微分关系。为更具一般性，设m=m(x),并规定力偶矩矢与x轴同方向时为正向力偶，反方向时为负向力偶。在x截面处截取dx微段，其分离体受力图如图b所示。由?MX=0得(Mn+dMn)–Mn+m(x)odx=0dMn=–m(x)odx(a)或dMn/dx=–m(x)(b)dMn=–m(x)odx(a)dMn/dx=–m(x)(b)*微分关系式(a)表明,正方向方向的分布力偶矩(m&0)使扭矩沿轴向减少,而负方向的分布力偶矩(m&0)使扭矩沿轴向增加。或者说扭矩顺着分布力偶矩矢的方向减少,逆着分布力偶矩矢的方向增加。*微分关系式(b)表明，扭矩沿截面变化的速律等于与截面对应的分布力偶矩集度的大小。m=常数时，即在均布轴向力偶作用的杆段，扭矩将沿轴线呈线性变化;m=0时，即对于无分布力偶作用的杆段，扭矩变化的速率等于零，扭矩保持常数，扭矩图为一条水平线。顺着集中力偶矩矢的方向“突降”，逆着集中力偶矩矢的方向“突升”*利用以上微分关系所反映的规率，可以总结出如下几条画扭矩图的规率和技巧。*对于集中力偶矩M作用的截面处，可以理解成在很短的一小段杆子?x上，作用着一集度m的绝对值很大的分布力偶矩，其mo?x=M,由于集度的绝对值很大，所以扭矩的变化速率也很大，其极限情况就是扭矩在集中力偶作用的截面处发生“突变”。三、扭矩图的快速画法例1-12、画图示悬臂杆件的扭矩图。已知M1=6kNom,M2=8kNom,均布力偶矩集度m=1.5kNom/m。MC解：先求右端支座反力：MC=4kNom分离体受力图如图b所示。选择从左向右的画图行进方向。口诀：集中力偶要突变顺着矩矢向下掉图形：从零突降到–6kNomA端：受力：M1=6kNom–6kNomAB段：受力：无分布力偶作用m=0口诀：无力偶段水平线图形：Mn=–6kNom的水平线–6kNom口诀：集中力偶要突变逆着矩矢向上跳图形：突升?Mn=8kNom2kNom口诀：均布力偶对斜线集度正负顶增减–4kNom图形：突升?N=4kNom，图形回零。(c)C端：受力：MC=4kNomBC段：受力：m=1.5kNom/m.B截面：受力：M2=8kNom口诀：集中力偶要突变，逆着偶矢向上跳。*根据终端扭矩图回零的原理，对于如本例这样的悬臂轴，就可以不必先求固定端的反力偶，可以先从自由端做起点向固定端画扭矩图，画到终端时，根据需要回零的突变量，就可判断出固定端的支座反力偶的大小和方向。??????????????????????*图形回零表示力系平衡。对一个受平衡力系作用的杆件，内力图从这一端画到另一端，最后必然回到零值，否则，说明画图过程中计算有错误。*利用扭矩图终端回零原理求得的固定端支座反力偶的正确与否，取决于画扭矩图过程中是否有错误。也可以用杆件整体的平衡方程?Mx=0来检验。固端力偶不需求，已知力端起步走。无力杆端作零点，无力杆段水平线，集中力偶要突变，是升是降要判断，顺着矩矢往下掉，逆着矩矢向上跳，升多少，降多少？集中力偶作参考。均布力偶对斜线，集度正负定增减，顺降逆升要计算，画到终端回零点。已知力偶在终端，图形回零作检验。（之一）???(b)6kNom6kNom–4kNom例1-13、画图示悬臂杆的扭矩图。已知:M1=6kNom,M2=10kNom,M3=8kNom均布力集度m=2kN.m/m。解：
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