（本小题14分）已知函数f(x)=xlnx.(1)若直线l过点(0，-1)，并且与曲线y=f(x)相切，求直线l的方程.(2)设函数g(x)=f(x)-a(x-1)，其中a∈R，求函数g(x)在［1，e］上的最小值(其中e为自然对数的底数).(1)设切点坐标为(x0，y0)，则y0=x0lnx0，切线的斜率为lnx0+1，所以切线l的方程为y-x0lnx0=(lnx0+1)(x-x0).……………………3分又切线l过点(0，-1)，所以有-1-x0lnx0=(lnx0+1)(0-x0).解得x0=1，y0=0.所以直线l的方程为y=x-1.……………………6分(2)g(x)=xlnx-a(x-1)，则g′(x)=lnx+1-a.g′(x)＜0，即lnx+1-a＜0，得0＜x＜ea-1，g′(x)＞0，得x＞ea-1，所以g(x)在(0，ea-1)上单调递减，在(ea-1，+∞)上单调递增.…………………………8分①当ea-1≤1即a≤1时，g(x)在［1，e］上单调递增，所以g(x)在［1，e］上的最小值为g(1)=0.……………………10分②当1＜ea-1＜e，即1＜a＜2时，g(x)在［1，ea-1)上单调递减，在(ea-1，e］上单调递增.g(x)在［1，e］上的最小值为g(ea-1)=a-ea-1.…………………………12分③当e≤ea-1，即a≥2时，g(x)在［1，e］上单调递减，所以g(x)在［1，e］上的最小值为g(e)=e+a-ae.综上，x∈［1，e］时，当a≤1时，g(x)的最小值为0；当1＜a＜2时，g(x)的最小值为a-ea-1；当a≥2时，g(x)的最小值为a+e-ae.………………………………14分福建省福州市第八中学2014届高三上学期第二次质检数学（理）试题解析
(1)设切点坐标为(x0，y0)，则y0=x0lnx0，切线的斜率为lnx0+1，所以切线l的方程为y-x0lnx0=(lnx0+1)(x-x0).……………………3分又切线l过点(0，-1)，所以有-1-x0lnx0=(lnx0+1)(0-x0).解得x0=1，y0=0.所以直线l的方程为y=x-1.……………………6分(2)g(x)=xlnx-a(x-1)，则g′(x) =lnx+1-a.g′(x)＜0，即lnx+1-a＜0，得0＜x＜ea-1，g′(x)＞0，得x＞ea-1，所以g(x)在(0，ea-1)上单调递减，在(ea-1，+∞)上单调递增.…………………………8分①当ea-1≤1即a≤1时，g(x)在［1，e］上单调递增，所以g(x)在［1，e］上的最小值为g(1)=0.……………………10分②当1＜ea-1＜e，即1＜a＜2时，g(x)在［1，ea-1)上单调递减，在(ea-1，e］上单调递增.g(x)在［1，e］上的最小值为g(ea-1)=a-ea-1.…………………………12分③当e≤ea-1，即a≥2时，g(x)在［1，e］上单调递减，所以g(x)在［1，e］上的最小值为g(e)=e+a-ae.综上，x∈［1，e］时，当a≤1时，g(x)的最小值为0；当1＜a＜2时，g(x)的最小值为a-ea-1；当a≥2时，g(x)的最小值为a+e-ae.………………………………14分相关试题您好！解答详情请参考：
菁优解析考点：；．专题：导数的综合应用．分析：（1）求函数的导数，根据导数的几何意义建立方程关系即可求实数a的值；（2）将f（x）+m=2x-x2在上恰有两个不相等的实数根，进行转化，利用参数分离法，构造函数的导数，利用导数求出函数的极值即可，求实数m的取值范围；（3）求函数的导数，根据函数极值之间的关系即可证明不等式．解答：解：（1）…（2分）∵函数在x=2处的切线l与直线x+2y-3=0平行，∴，解得a=1；&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&…（4分）（2）由（1）得f（x）=lnx-x，∴f（x）+m=2x-x2，即x2-3x+lnx+m=0，设h（x）=x2-3x+lnx+m，（x＞0）则h′（x）=2x-3+=2-3x+1x=(2x-1)(x-1)x，令h′（x）=0，得x1=，x2=1，列表得：x（，1）1（1，2）2h′（x）0-0+h（x）极大值极小值m-2+ln2∴当x=1时，h（x）的极小值为h（1）=m-2，又h（）=m-，h（2）=m-2+ln2，…（7分）∵方程f（x）+m=2x-x2在上恰有两个不相等的实数根，∴，即，解得≤m＜2；（也可分离变量解）&…（10分）（3）∵g（x）=lnx+2-(b+1)x，∴g′（x）=2-(b+1)x+1x，由g′（x）=0得x2-（b+1）x+1=0∴x1+x2=b+1，x1x2=1，∴2=1x1，∵，∴1+1x1≥520＜x1＜1x1解得：1≤12…（12分）∴g（x1）-g（x2）=1x2+12(x12-x22)-(b+1)(x1-x2)=1-12(x12-1x12)，设2-1x2)(0＜x≤12)，则3=-(x2-1)2x3＜0∴F（x）在上单调递减；&…（14分）∴当1=12时，min=F(12)=158-2ln2，∴k≤，∴k的最大值为．…（16分）点评：本题主要考查导数的综合应用，求函数的导数，利用函数的极值，最值和导数之间是关系是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．答题：maths老师　
&&&&，V2.27761设函数f（x）=lnx+x2-（a+1）x（a为常数）．（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；（2）当x＞1时，若f（x）＜x2-x-a，求a的取值范围．
数字爱茜茜2780
定义域为：（0，+∞），（1）当a=2时，f′（x）==2-3x+1x=，当f′（x）＞0时，0＜x＜或x＞1，当f′（x）＜0时，x＜0或，∴f（x）的单调增区间为：（0，）和（1，+∞），单调减区间为：（-∞，0）和（，1）；（2）f（x）＜x2-x-a即lnx+x2-（a+1）x＜x2-x-a，∴lnx-ax+a＜0，令g（x）=lnx-ax+a，x∈（1，+∞），g′（x）==，①当a≤0时，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上单调递增，又g（e）=1-ae+a=1+a（1-e）＞0，∴g（x）＜0不恒成立；②当a≥1时，g′（x）=＜0，g（x）在（1，+∞）上单调递减，g（x）＜g（1）=-a+a=0，满足题意；③当0＜a＜1时，由g′（x）=＞0得，x＜，∴g（x）在（1，）上单调递增，由g′（x）=＜0得，x＞，∴g（x）在（，+∞）上单调递减，∴g（x）≤g（）=ln-1+a=a-lna-1，令h（a）=a-lna-1，a∈（0，1），h′（a）=1-＞0，∴h（a）单调递增，∴h（a）＜h（1）=0，∴g（x）≤h（a）＜0，此时满足题意；综上得，a的取值范围为（0，+∞）．
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（1）求出函数f（x）的导数，由f′（x）的正负性，求出函数的单调区间；（2）由f（x）＜x2-x-a，转化为lnx-ax+a＜0，构造新的函数g（x）=lnx-ax+a，求g（x）＜0恒成立时a的取值范围，利用导数讨论g（x）的单调性，求出g（x）的最大值，只需最大值小于0即可．
本题考点：
利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
考点点评：
本题是一道导数的合题，考查了利用导数求函数的单调区间，利用最值求函数中参数值．属于中当题．
扫描下载二维码知识点梳理
利用导数研究曲线上某点切线：1、利用导数求曲线的切线方程．求出y=f(x)在{{x}_{0}}处的导数f′(x)；利用方程的点斜式写出切线方程为y-{{y}_{0}} =f′({{x}_{0}})（x-{{x}_{0}}）．2、若函数在x={{x}_{0}}处可导，则图象在({{x}_{0}}，f({{x}_{0}}))处一定有切线，但若函数在x={{x}_{0}}处不可导，则图象在（{{x}_{0}}，f({{x}_{0}}））处也可能有切线，即若曲线y =f(x)在点({{x}_{0}}，f({{x}_{0}}))处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．3、注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，4、显然f′（{{x}_{0}}）＞0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（{{x}_{0}}）＜o，切线与x轴正向的夹角为钝角；f({{x}_{0}}) =0，切线与x轴平行；f′({{x}_{0}})不存在，切线与y轴平行．
一般地，求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:（1）求函数y=f\left({x}\right)在\left({a,b}\right)内的极值；（2）将函数y=f\left({x}\right)在各极值与端点处的函数值f\left({a}\right)，f\left({b}\right)比较，其中最大一个是最大值，最小的一个是最小值．
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“已知函数f（x）=\left\{ \begin{array}...”，相似的试题还有：
已知函数f(x)=\left\{ \begin{array}{l} {-x^{3}+x^{2}+bx+c，(x＜1)}\\{alnx，(x≥1)} \end{array} \right.和图象过坐标原点O，且在点(-1，f(-1))处的切线的斜率是-5．(1)求实数b，c的值；(2)求函数f(x)在区间[-1，1]上的最小值；(3)若函数y=f(x)图象上存在两点P，Q，使得对任意给定的正实数a都满足△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上，求点P的横坐标的取值范围．
已知函数f(x)=\left\{ \begin{array}{l} {-x^{3}+x^{2}+bx+c\left. \begin{array}{l} {&，(x＜1)} \end{array} \right.}\\{alnx\left. \begin{array}{l} {&，(x≥1)} \end{array} \right.} \end{array} \right.的图象过坐标原点O，且在点(-1，f(-1))处的切线的斜率是-5．(1)试确定实数b，c的值，并求f(x)在区间[-1，2]上的最大值；(2)对任意给定的正实数a，曲线y=f(x)上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？说明理由．
已知函数f(x)=\left\{ \begin{array}{l} {-x^{3}+x^{2}+bx+c，x＜1}\\{alnx，&&&&&&&&&&&&&x≥1} \end{array} \right.的图象过坐标原点O，且在点(-1，f(-1))&处的切线的斜率是-5．(1)求实数b，c的值；(2)求f(x)在区间[-1，2]上的最大值．}