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期待几何学的复兴---评《平面几何中的小花》
书评人：叶中豪
在数学的大花园里，几何是最美丽的部分。它既有优美的图形，令人赏心悦目；又有众多的问题，供大家思考探索。它的论证严谨而优雅，命题美丽而精致。入门不难，魅力无限，因此吸引了大批业余的数学家与数学爱好者（包括叱咤风云的拿破仑一世），在这里大显身手。一些历史上有名的大数学家，像牛顿、费马、帕斯卡、欧拉、高斯他们，也禁不住在这里留连驻足，为花园增添奇葩。
伟大的物理学家爱因斯坦在《自述》中曾这样回忆道：“在我12岁时，我经历了另一种性质完全不同的惊奇：这是在一个学年开始时，当我得到一本关于欧几里得平面几何的小书时所经历的。这本书里有许多断言，比如，三角形的三个高交于一点，它们本身虽然并不是显而易见的，但是可以很可靠地加以证明，以致任何怀疑似乎都不可能。这种明晰性和可靠性给我造成了一种难以形容的印象。……我记得在这本神圣的几何学小书到我手中以前，有位叔叔曾经把毕达哥拉斯定理告诉了我。经过艰巨的努力以后，我根据三角形的相似性成功地‘证明了’这条定理。……对于第一次经验到它的人来说，在纯粹思维中竟能达到如此可靠而又纯粹的程度，就像希腊人在几何学中第一次告诉我们的那样，是足够令人惊讶的了。”（《爱因斯坦文集（第一卷）》）
面对几何世界这笔丰厚的遗产，难怪H?G?弗德会说出这样的话：“谁看不起欧氏几何，谁就好比是从国外回来看不起自己的家乡。”
几何学历史悠久，早在古希腊时代就逐渐形成一门独立的学科，无论在实际材料方面，还是在某些理论基础的奠定方面，都得到了光辉的发展。古代希腊的许多数学家，如泰勒斯（约公元前640－546年）、毕达哥拉斯（约公元前582－493年）、希波克拉底（约公元前430年）、柏拉图（约公元前427－347年）、欧几里得（约公元前330－275年）诸人，对几何学都有莫大的功绩。欧几里得搜集当时所有已知的初等几何材料（包括他自己的发现），按照严密的逻辑系统，编成《几何原本》十三卷，后世誉为几何学的杰作。
几何学内容丰富。美国数学家E?T?贝尔说过：“几何学的浩瀚的文献比算术和代数的加在一起还要多，其广泛的程度至少和分析的文献相当，这是比数学的其他部门更有意思的、然而是半遗忘的东西组成的丰富的宝库，但是匆忙的一代人无暇去欣赏它。”整个欧氏几何确实像是一座丰厚的宝藏，经过两千多年的采掘，大部分菁华已经落入人类的手中。到了19世纪后半叶，又涌现出了一大批瑰宝，发现了数以百计的新定理，形成了所谓的近代欧氏几何学，像Torricelli－Fermat点，Nagal点，Gergonne点，Brocard点和圆，Lemoine点和圆，九点圆，Euler线，Steiner点之类的独特对象都得到了深入的探索和研究。正如M?克莱因在《古今数学思想》中所指出的：“这些成果，或许重要性不大，然而显示出这门古老学科的新的主题和几乎无穷无尽的丰富多彩。”
然而，数学也与服装一样，讲究时尚。“20世纪的几何学家早就虔诚地把这些珍品送进了几何博物馆，历史的尘埃很快地把这些珍品的光泽湮没”（《数学的发展》，第323页）。随着时间的推移，几何在上个世纪的发展遭受挫折，曾一度步入低谷。布尔巴基学派的代表人物之一狄多涅，在《我们应该讲授新数学吗？》一文中提出过“欧几里得滚蛋”的说法，试图推倒欧氏几何在数学课程中的基础地位，其影响波及面广，以致在一些西方国家课程改革中欧氏几何体系不复存在，而被其它的一些结构观念所取代。但他的主张当即就遭到许多人的非议，引起了激烈的争论。法国数学家托姆（突变理论的创始人，拓扑学家，菲尔兹奖获得者）认为“几何思维可说是人类理性活动的正常发展中不能省略的阶段”，并建议恢复欧氏几何体系的教学。经过近半个世纪来的实践和反思，人们对此有了重新认识。1995年《美国数学月刊》刊出了“三角形几何学的兴起、衰落和可能的东山再起：微型历史”一文，全面分析了“一个被历史的尘埃和灰烬所掩埋的科目能够东山再起吗？”这一饶有意趣的议题，并得出了正面的回答。
作者坚信：三角形几何过去是为欧几里得精神作证明的实践的基地，如今已变成了决定性、证明和发现定理策略的实验基地。由计算机带来的三角形几何的变革，以及其它领域中的这种变革，已经重新证实和加强了人类在“做数学”美妙活动中的根本作用。
1998年美国科学年会上，学者们一致认为21世纪的教育应把几何学放在头等重要的地位。硅谷的马克斯韦尔等人甚至喊出“几何学万岁”的口号。与会科学家和教育学家大都认为，21世纪教育的一个重要原则是，学校传授给下一代的将不只是知识，更重要的是技能。几何学具有较强的直观效果，有助于提高学生认识事物的能力，应当成为自然科学教育大纲中的首选和重点内容。由美国N?Jackiw等人编制的《几何画板》正是顺应这种需要而设计出的一种软件，它具有独到的设计思想和强大功能，已成为探索几何学奥秘的强有力的辅助工具。
《几何画板》的精彩之处在于它是一个动态的几何学环境，利用其动态几何功能，可以随意改变一个图形的形状，并仍保持原来的几何关系。随着图形的拖动，已构建的几何关系变得极为直观，能更容易地揭示出蕴藏在特殊图形背后的一般规律，发现几何关系将变得多么令人兴奋！《几何画板》还提供了丰富而方便的创造功能，通过编写画板和脚本，可以方便地验证一些新的几何猜测，随心所欲地编写出自己需要的范例，使几何的优雅得到最为完美的表现。毫不夸张地说，这是目前所能见到的最出色的教学软件之一，或许可以称为伟大的教学软件。它的出现，无疑会推动几何的复兴，重新唤起人们对几何学知识的探索热情。
在这样的形势下，数学家单士尊先生经过艰辛的素材搜集，创作出了《平面几何中的小花》一书，即将在2001年度出版。它通过很多丰富的示例，把读者带入到令人眼花缭乱的几何世界中，任你随意漫游。全书共有一百余个小标题，撷取了平面几何中若干朵小花，供大家欣赏，其中既有我们近期遇到的问题，也有著名的经典结果。各节之间没有特别紧密的联系，而且每节都不太长，中学生读来并不困难。
它连同还在撰述中的《平面几何中的小草》一起，将几何学辉煌的昨日显示给人看；它告诉我们，数学是一门博大精深的学问，学习它的最好方法是自己去发现它；如果浅尝辄止，就不能深刻体会数学中的乐趣所在；唯有对美的执著追求，才会把自己带入到“奇伟、瑰怪、非常”的新境界。
它还启示我们，为什么有必要不时地重温昔日的成就，为什么必须对旧有的知识成果不断加以再现和整理。这是因为数学的目的，就是用简单而基本的词汇去尽可能多地解释世界，如果我们积累起来的经验要一代一代传下去的话，我们就必须不断地努力地把它们加以简化和统一。抛弃传统，就会断绝未来。继往开来，才能发扬光大。
愿几何世界中的这些瑶草琼花迎风绽放，来点缀美丽纷芳的数学百花园。
最后，让我们且以本书作者单士尊先生的一首小诗来作为全文的结尾：“数学花园大，几何算一家。春日兴致好，请来看小花。学海无涯乐作舟，逍遥自在任我游。已觉此处景物好，更有好景在前头。”
（《平面几何中的小花》即将由上海教育出版社出版）矩映射在泊松几何学中的应用--《数学杂志》2008年03期
矩映射在泊松几何学中的应用
【摘要】：本文研究了矩映射在泊松G-空间及辛群胚中的应用.利用基本群胚上的提升作用有等变的矩映射,得到了连通的辛群胚上矩映射的存在性及相关的性质,推广了长矩映射在辛群胚等研究中的作用.
【作者单位】：
【关键词】：
【分类号】：O189【正文快照】：
1引言与预备知识在辛几何产生和发展以后,于20世纪80年代又进一步产生了泊松几何,两者之间有着极为密切的内在联系.由于辛几何与泊松几何是分析力学的最好的数学框架,并且在热力学、量子论等物理分支中都有重要的应用,所以受到数学家与物理学家的重视并得以迅速发展.现已形成
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几何学中的不变量思想复数在几何学中的应用--《曲阜师院学报(自然科学版)》1980年04期
复数在几何学中的应用
【摘要】：正 在复数教学中,利用复平面解决一些几何学中的问题,这不仅可沟通代数与几何间的联系,同时也可以解决学生对复数应用的疑虑。本文以例说明复数在解几何问题中的应用。例一已知圆的内接三角形中以等边三角形的面积为极大。证明以已知圆的圆心为复平面中的原点,设已知圆的半径为r,其内接三角形是△ABC,并且,设向量■和■分别和复数z_1、z_2和z_3相对应(图一)。z_1=r,(r是正实数)z_2=r(cosθ+isinθ),z_3=r(cosθ+isinθ)(cosα+isinα)。那么,
【关键词】：
【正文快照】：
在复数教学中,利用复平面解决一些几何学中的问题,这不仅可沟通代数与几何间的联同时也可以解决学生对复数应用的疑虑。术文以例说明复数在解几何问题中的应用。例一已知圆的内接三角形中以等边三角形的而‘积为极 ,0系大 证明以已知圆的圆心为复平而中的原点,设已知圆的半径
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