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.._不等关系与不等式_一元二次不等式的解法教案(精品)
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官方公共微信⑴&&＜x＜⑵①3&c&6，4 ≤c＜7，4&c&8②10或11，11，13，14，15
请在这里输入关键词：
请选择年级七年级八年级九年级请输入相应的习题集名称(选填)：
科目：初中数学
题型：阅读理解
先阅读理解下面的例题，再按要求解答：例题：解一元二次不等式x2-9＞0．解：∵x2-9=（x+3）（x-3），∴（x+3）（x-3）＞0．由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有（1）（2）解不等式组（1），得x＞3，解不等式组（2），得x＜-3，故（x+3）（x-3）＞0的解集为x＞3或x＜-3，即一元二次不等式x2-9＞0的解集为x＞3或x＜-3．问题：求分式不等式的解集．
科目：初中数学
题型：阅读理解
（;香洲区二模）先阅读理解下面的例题，再按要求解答后面的问题例题：解一元二次不等式x2-3x+2＞0．解：令y=x2-3x+2，画出y=x2-3x+2如图所示，由图象可知：当x＜1或x＞2时，y＞0．所以一元二次不等式x2-3x+2＞0的解集为x＜1或x＞2．填空：（1）x2-3x+2＜0的解集为1＜x＜2；（2）x2-1＞0的解集为x＜-1或x＞1；用类似的方法解一元二次不等式-x2-5x+6＞0．
科目：初中数学
题型：阅读理解
先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：例题：求代数式y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4∵（y+2）2≥0∴（y+2）2+4≥4∴y2+4y+8的最小值是4．（1）求代数式m2+m+4的最小值；（2）求代数式4-x2+2x的最大值；（3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB=x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？
科目：初中数学
题型：阅读理解
先阅读理解下面的例题，再按要求解答：例题：解一元二次不等式x2-9＞0．解：∵x2-9=（x+3）（x-3），∴（x+3）（x-3）＞0．由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有（1）（2）解不等式组（1），得x＞3，解不等式组（2），得x＜-3，故（x+3）（x-3）＞0的解集为x＞3或x＜-3，即一元二次不等式x2-9＞0的解集为x＞3或x＜-3．问题：（1）求关于x的两个多项式的商组成不等式的解集；（2）若a，b是（1）中解集x的整数解，以a，b，c为△ABC为边长，c是△ABC中的最长的边长．①求c的取值范围．②若c为整数，求这个等腰△ABC的周长．
科目：初中数学
题型：阅读理解
先阅读理解下面的例题，再完成（1）、（2）题．例：解不等式（3x-2）（2x+1）＞0．解：根据有理数的乘法法则（同号得正），可得①或②．解不等式组①．得x＞；解不等式组②，得x＜．∴不等式（3x-2）（2x+1）＞0的解集是x＞或x＜．（1）解不等式（2x-1）（3x+1）＜0；（2）解不等式＞0．新浪广告共享计划>
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2014年高考数学一轮复习热点难点精讲精析：第6章&不等式、推理与证明（2份）人教版
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2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：6.1不等式
一、不等关系与不等式
（一）应用不等式表示不等关系
※相关链接※
1、将实际的不等关系写成对应的不等式时，应注意实际问题中关键性的文字语言与对应的数学符号之间的正确转换，这关系到能否正确地用不等式表示出不等关系。常见的文字语言与数学符号之间的转换关系如下表：
2、注意区分&不等关系&和&不等式&的异同，不等关系强调的是关系，可用表示，不等式则是表现不等关系的式子，对于实际问题中的不等关系可以从&不超过&、&至少&、&至多&等关键词上去把握，并考虑到实际意义。
※例题解析※
〖例〗某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车。根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式。
思路解析：把握关键点，不超过1000万元，且A、B两种车型分别至少5辆、6辆，则不等关系不难表示，要注意取值范围。
解答：设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆，则
（二）比较大小
※相关链接※
比较实数或代数式的大小的方法主要是作差法和作商法。
1、&作差法&的一般步骤是：（1）作差；（2）变形；（3）判断符号；（4）得出结论。用&作差法&比较两个实数大小的关键是判断差的正负，常采用配方、因式分解、有理化等方法。常用的结论有，，等。当两个式子都为正时，有时也可以先平方再作差。
2、作商法的一般步骤是：
（1）作商；（2）变形；（3）判断商与1的大小；（4）得出结论。
注：当商与1的大小确定后必须对商式的分母的正负做出判断方可得出结论，如：，；
若是选择题还可以用特殊值法比较大小，若是解答题，也可以用特殊值法探路.
※例题解析※
〖例〗（1）（2012&南平模拟）若a、b是任意实数，且a＞b，则下列不等式成立的是( )
(2)已知a1,a2&(0,1)，记M=a1a2,N=a1+a2-1，则M与N的大小关
（A）M＜N （B）M＞N （）M=N （D）不确定[来源:]
（3）已知a＞b＞0，比较aabb与abba的大小.
【方法诠释】(1)运用特殊值验证即可.（2）可用作差法求
解.(3)利用作商法求解判断.
解析：(1)选D.令b=-1,则A、B、均不成立，故选D.
(2)选B.∵M-N=a1a2-a1-a2+1=a1(a2-1)-(a2-1)
=(a1-1)(a2-1)
又a1,a2&(0,1)，
故(a1-1)(a2-1)＞0,故M＞N.
(3)∵
又a＞b＞0,故a-b＞0,
∴即又abba＞0,
∴aabb＞abba,
∴aabb与abba的大小关系为：aabb＞abba.
（三）不等式性质的应用
〖例〗（1）（2011&浙江高考）若a、b为实数，则&0＜ab＜1&是&&的( )
(A)充分而不必要条件
(B)必要而不充分条件
()充分必要条件
(D)既不充分也不必要条件
（2）已知函数f(x)=ax2+bx,且1&f(-1)&2,2&f(1)&4，求
f(-2)的取值范围.
【方法诠释】(1)利用不等式的基本性质进行判断.
(2)利用待定系数法寻找f(-2)与f(-1)，f(1)之间的关系，即用f(-1)，f(1)整体表示f(-2)，再利用不等式的性质求f(-2)的取值范围.
解析：(1)选A.0＜ab＜1可分为两种情况:
当a＞0,b＞0时，由0＜ab＜1两边同除以b可得当a＜0,
b＜0时，两边同除以a可得
∴&0＜ab＜1&是&&的充分条件，
反之，当时，可能有ab＜0,∴&0＜ab＜1&是
&&的不必要条件，故应为充分不必要条件.
(2)方法一:设f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m、n为待定系数)，则
4a-2b=m(a-b)+n(a+b).
即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b.
∴f(-2)=3f(-1)+f(1).
又∵1&f(-1)&2,2&f(1)&4,
∴5&3f(-1)+f(1)&10,
即5&f(-2)&10.
∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1).
又∵1&f(-1)&2,2&f(1)&4,
∴5&3f(-1)+f(1)&10,
即5&f(-2)&10.
（四）不等式的证明
〖例〗已知a＞0，b＞0，且a+b=1 求证 (a+)(b+)&。
证明：证法一： (分析综合法）
欲证原式，即证4(ab)2+4(a2+b2)－25ab+4&0，
即证4(ab)2－33(ab)+8&0，即证ab&或ab&8
∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab&8不可能成立
∵1=a+b&2，∴ab&，从而得证。
证法二： (均值代换法)
设a=+t1，b=+t2。
∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴t1+t2=0，|t1|＜，|t2|＜，
显然当且仅当t=0，即a=b=时，等号成立
证法三：(比较法)
∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b&2，∴ab&，
证法四：(综合法)
∵a+b=1，
a＞0，b＞0，∴a+b&2，∴ab&，[来源:学.科.网]
证法五：(三角代换法)
a＞0，b＞0，a+b=1，故令a=sin2&，b=cos2&，&&(0，)，
方法提示：
由a&f(x,y)&b,c&g(x,y)&d,求F(x,y)的取值范围，可利用待定系数法解决，即设F(x,y)=mf(x,y)+ng(x,y),用恒等变形求得m,n,再利用不等式的性质求得F(x,y)的取值范围.
提醒：同时应用多个不等式时，容易改变不等式的范围，特别是多次运用同向不等式相加这一性质，因不是等价关系，易导致出错.
二、一元二次不等式及其解法
（一）一元二次不等式的解法
※相关链接※
解一元二次不等式的一般步骤
（1）对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即
（2）计算相应的判别式；
（3）当&D&0时，求出相应的一元二次方程的根；
（4）根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集。
※例题解析※[来源:学科网]
〖例〗解下列不等式：
（1）2x2+4x+3&0;(2)-3x2-2x+8&0;(3)8x-1&16x2.
思路解析：首先将二次项系数转化为正数，再看二次基项式能否因式分解，若能，则可得方程的两根，且大于号取两边，小于号取中间，若不能，则再&&D&，利用求根公式求解方程的根，而后写出解集。
解答：（1）∵&D=42-4&2&3=16-24=-8&0,∴方程2x2+4x+3=0没有实根，∴2x2+4x+3&0的解集为&P；
（2）原不等式等价于3x2+2x-8&0（x+2）(3x-4)&0x&-2或x&
（3）原不等式等价于16x2-8x+1&0(4x-1)2&0,∴只有当4x-1=0，即x=时，不等式成立。故不等式的解集为
（二）含字母参数的不等式的解法
※相关链接※
含参数的一元二次不等式关于字母参数的取值范围问题，其主要考查二次不等式的解集与系数的关系以及分类讨论的数学思想。
1、解答分类讨论问题的基本方法和步骤是：
（1）要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；
（2）确定分类标准，正确进行合理分类；
（3）对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；
（4）进行归纳总结，综合得出结论。
2、对于解含有参数的二次不等式，一般讨论的顺序是：
（1）讨论二次项系数是否为0，这决定此不等式是否为二次不等式；
（2）当二次项系数不为0时，讨论判别式是否大于0；
（3）当判别式大于0时，讨论二次项系数是否大于0，这决定所求不等式的不等号的方向；
（4）判断二次不等式两根的大小。
※例题解析※
〖例〗解关于x的不等式(1-ax)2&1
思路解析：将不等式左边化为二次三项式，右边等于0的形式，并将左边因式分解，据a的取值情况分类讨论。
解答：由(1-ax)2&1处
注：解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对参数进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏。若二次项系数含参数，则不要忘了二次项系数是否为零的情况。
（三）一元二次不等式的实际应用
※相关链接※
1、实际应用问题是新课标下考查的重点，突出了应用能力的考查，在不等式应用题中常以函数模型出现，如一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要理清题意，准确找出其中不等关系再利用不等解法求解；
2、不等式应用题一般可按如下四步进行：
（1）阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系；
（2）引进数学符号，用不等式表示不等关系；
（3）解不等式；
（4）回归实际问题。
※例题解析※
〖例〗国家原计划以2400元/吨的价格收购某种农产品m吨，按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元（称作税率为8个百分点，即8%）。为了减轻农民负担，决定降低税率。根据市场规律，高效率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点。试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%。[来源:学+科+网Z+X+X+K]
思路解析：表示高效率调低后的税收收入列不等关系解不等关系得结论
解答：设税率调低后的税收总收入为y元，则
（四）一元二次不等式恒成立问题
〖例〗求使&a(x＞0，y＞0)恒成立的a的最小值。
思路解析：本题解法三利用三角换元后确定a的取值范围，此时我们习惯是将x、y与cos&、sin&来对应进行换元，即令=cos&，=sin&(0＜&＜＝，这样也得a&sin&+cos&，但是这种换元是错误的
其原因是：(1)缩小了x、y的范围；(2)这样换元相当于本题又增加了&x、y=1&这样一个条件，显然这是不对的。
除了解法一经常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若参数a满足不等关系，a&f(x)，则amin=f(x)max 若
a&f(x)，则amax=f(x)min，利用这一基本事实，可以较轻松地解决这一类不等式中所含参数的值域问题。还有三角换元法求最值用的恰当好处，可以把原问题转化。
解答：解法一：由于a的值为正数，将已知不等式两边平方，
得：x+y+2&a2(x+y)，即2&(a2－1)(x+y)， ①
∴x，y＞0，∴x+y&2， ②
当且仅当x=y时，②中有等号成立。
比较①、②得a的最小值满足a2－1=1，
∴a2=2，a= (因a＞0)，∴a的最小值是。
解法二：设
∵x＞0，y＞0，∴x+y&2 (当x=y时&=&成立)，
∴&1，的最大值是1。
从而可知，u的最大值为，
又由已知，得a&u，∴a的最小值为，
解法三：∵y＞0，
∴原不等式可化为+1&a，
设=tan&，&&(0，)。
∴tan&+1&a，即tan&+1&asec&
∴a&sin&+cos&=sin(&+)， ③
又∵sin(&+)的最大值为1(此时&=)。
由③式可知a的最小值为。
注：（1）解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数。一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数；
（2）对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方。
三、二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题
（一）二元一次不等（组）表示平面区域
※相关链接※
二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法
（1）直线定界，特殊点定域
注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线。若直线不过原点，特殊点常选取原点。
（2）同号上，异号下
即当时，区域为直线Ax+By+=0的上方，当，区域为直线Ax+By+=0的下方。
※例题解析※
〖例〗如图&DAB中，A(0,1),B(-2,2),(2,6),写出&DAB区域所表示的二元一次不等组。
思路解析：通过三点可求出三条直线的方程，而后利用特殊点验证。因三条直线均不过原点，故可由原点(0,0)验证即可。
解答：由已知得直线AB、B、A的方程分别为：直线AB：x+2y-2=0,直线B：x-y+4=0,直线A：5x-2y+2=0.∴原点(0,0)不在各直线上，将原点坐标代入到各直线方程左端，结合式子的符号可得不等式组为：
（二）求目标函数的最值
※相关链接※
1、求目标函数的最值，必须先准确地作出线性可行域，再作出目标函数对应的直线，据题意确定取得最优解的点，进而求出目标函数的最值。
2、最优解的确定方法
线性目标函数z=ax+by取最大值时的最优解与b的正负有关，当b&0时，最优解是将直线ax+by=0在可行域内向上方平移到端点（一般是两直线交点）的位置得到的；当b&0,则是向下方平移。
※例题解析※
〖例〗若变量x,y满足则的最大值是（ ）
70 D 40[来源:]
思路解析：作出可行域作出直线3x+2y=0找到最优解求得最大值
解答：选。线性不等式组表示的区域如图中阴影部分所示。[来源:学#科#网Z#X#X#K]
可知在A点处取最大值，由，解得A（10，20）。∴故选。
（三）线性规划的实际应用
※相关链接※
解决线性规划实际应用题的一般步骤：
（1）认真审题分析，设出未知数，写出线性约束条件和目标函数；
（2）作出可行域；
（3）作出目标函数值为零时对应的直线
（4）在可行域内平行移动直线，从图中能判定问题有唯一最优解，或是有无穷最优解或无最优解；
（5）求出最优解，从而得到目标函数的最值。
注：解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的，所以作图应尽可能精确，图上操作尽可能规范，假若图上的最优点并不明显时，不妨将几个有可能是最优点的坐标都求出来，然后逐一检验，以&验明正身&。另外对最优整数解问题，可使用&局部微调法&，此方法的优点是思路清晰，操作简单，便于掌握。用&局部微调法&求整点最优解的关键是&微调&，其步骤可用以下十二字概括：微调整、求交点、取范围、找整解。
※例题解析※
〖例〗某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和6个单位的维生素；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素.另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物,42个单位的蛋白质和54个单位的维生素.
如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元,那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？
【方法诠释】设出午餐和晚餐的单位个数，列出不等式组和费用关系式，利用线性规划求解.
解析：方法一：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位,所花的费用为z元,
则依题意得z=2.5x+4y,且x,y满足
作出线性约束条件所表示的可行域,如图中阴影部分的整数点,
让目标函数表示的直线2.5x+4y=z在可行域上平移,由此可知z=2.5x+4y在B（4,3）处取得最小值.
因此,应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐,就可满足要求.
方法二：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位,所花的费用为z元,则依题意得z=2.5x+4y,且x,y满足
作出线性约束条件所表示的可行域,如图中阴影部分的整数点,
z在可行域的四个顶点A(9,0),B(4,3),(2,5),D(0,8)处的值分别是zA=2.5&9+4&0=22.5,
zB=2.5&4+4&3=22,
z=2.5&2+4&5=25,
zD=2.5&0+4&8=32.
经比较得zB最小,因此,应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐,就可满足要求.
注：求线性规划问题的整点最优解常用以下方法：
（1）平移直线法：先在可行域中画网格，再描整点，平移直线，最先经过或最后经过的整点坐标就是最优解；
（2）检验优值法：当可行域中整点个数较少时，可将整点坐标逐一代入目标函数求值，经过比较得出最优解；
（3）调整优值法；先求非整点最优解，再借助于不定方程知识调整最优值，最后筛选出整点最优解。
（四）线性规划的综合应用
〖例〗实数x,y满足
（1）若，求的最大值和最小值，并求的取值范围。
（2）若，求的最大值和最小值，并求的取值范围。
思路解析：（1）表示的是区域内的点与原点连线的斜率。故的最值问题即为直线的斜率的最大值与最小值。（2）的最值表示的是区域内的点与原点的两点距离的平方的最大值、最小值。
解答：由作出可行域如图阴影部分所示：
（1）表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此的范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率（OA斜率不存在）。而由得B（1，2），∴∴不存在，，∴的取值范围是[2，+&）。
（2）表示可行域内的任意一点与坐标原点的两点间距离的平方。因此的范围最小为（取不到），最大为。由得A（0，1），∴=，=。∴，无最小值。
故的取值范围是.
注：本例与常规线性规划不同，主要是目标函数不是直线形式，此类问题常考虑目标函数的几何意义，常见代数式的几何意义主要有以下几点：
（1）表示点（x,y）与原点(0,0)的距离；表示点(x,y)与(a,b)的距离。
（2）表示点（x,y）与原点(0,0)连线的斜率；表示点（x,y）与(a,b)连线的斜率。
这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键。
四、基本不等式
（一）利用基本不等式求最值
※相关链接※
1、创设应用基本不等式的条件
（1）合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或和为定值；
（2）当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法。
2、利用基本不等式求最值需注意的问题
（1）各数（或式）均为正；
（2）和或积为定值；
（3）等号能否成立，即一正、二定、三相等，这三个条件缺一不可。
3、基本不等式的几种变形公式
对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种常见的变形形式及公式的逆运用等，如：
※例题解析※
〖例〗求下列各题的最值。
（1）已知,求的最小值。[来源:学科网][来源:学。科。网Z。X。X。K]
思路解析：（1）由得，故可用基本不等式。（2）由是常数，故可直接利用基本不等式（3）因不是常数，故需变形。，故需变号。（4）虽然，但利用基本不等式时，等号取不到，所以利用函数的单调性。
解答：（1）方法一：。∴。当且仅当，即时等号成立。
方法二：由得。当且仅当，即时等号成立。
当且仅当，即x=1时，等号成立。故f(x)的最大值为-1.
（二）利用基本不等式证明不等式
※相关链接※
1、利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质就是从已知的不等式入手，借助不等式性质和基本不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证问题，其特征是&由因导果&。[来源:学科网ZXXK]
2、证明不等式时要注意灵活变形，多次利用基本不等式时，注意每次等号是否都成立。同时也要注意应用基本不等式的变形形式。
※例题解析※
〖例1〗（1）已知a&0,b&0,a+b=1,求证：（2）证明：
思路解析：（1）利用a+b=1将要证不等式中的1代换，即可得证。（2）利用两两结合即可求证，但需两次利用不等式，注意等号成立的条件。
解答：（1）方法一：（当且仅当a=b=时等号成立）。∴。∴原不等式成立。
方法二：∵a&0,b&0,a+b=1，∴（当且仅当a=b=时等号成立）。∴原不等式成立。
（2）。故原不等式得证，等号成立的条件是
〖例2〗已知不等式对任意、的正实数恒成立，求正数的最小值。
思路解析：展开后，利用基本不等式，而后解不等式可求值。
解答：∴要使原不等式恒成立，则只需&9，即∴正数的最小值是4。
注：利用基本不等式求参数的值或范围时，只需求出式子的最小值或最大值，使其满足已知条件即可。
（三）基本不等式的实际应用
〖例〗某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），，如果池四周围墙建造单价为400元/米2，中间两道隔墙建造单价为248元/米2，池底建造单价为80248元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计。
（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；
（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价。
思路解析：（1）由题意设出未知量构建函数关系式变形转化利用基本不等式求得最值结论；（2）由（1）函数关系确定x的范围判断函数单调性利用单调性求最值结论。
解答：（1）设污水处理池的宽为x米，则长为米。则总造价为
[来源:学科网]
（2）由限制条件知设由函数性质易知在上是增函数，∴当时（此时），有最小值，即有最小值
注：（1）解应用题时，一定要注意变量的实际意义，即其取值范围；（2）在求函数最值时，除应用基本不等式外，有时会出现基本不等式取不到等号，此时要利用函数的单调性。
2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：6.2推理与证明
一、合情推理与演绎推理
（一）归纳推理
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1、归纳推理的特点：
（1）归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围；
（2）归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的。
2、归纳推理的一般步骤：
（1）通过观察个别情况发现某些相同本质；
（2）从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题。[来源:学科网]
注：归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明。
※例题解析※
〖例〗设，先分别求，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明。
思路解析：由f(x)计算各和式得出结论归纳猜想证明
解答：，同理可得：。
（二）类比推理
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1、类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤是：
（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；[来源:学科网ZXXK]
（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）。
2、类比是科学研究最普遍的方法之一。在数学中，类比是发现概念、方法、定理和公式的重要手段，也是开拓新领域和创造新分支的重要手段。类比在数学中应用广泛。数与式、平面与空间、一元与多元、低次与高次、相等与不等、有限与无限之间有不少结论，都是先用类比法猜想，而后加以证明的。
注：类比推理推得的结论不一定正确，其正确性，有待进一步证明。
※例题解析※
〖例1〗请用类比推理完成下表：
三角形两边之和大于第三边
三棱锥任意三个面的面积之和大于第四个面的面积
三角形的面积等于任意一边的长度与这边上高的乘积的一半
三棱锥的体积等于任意一个面的面积与该面上的高的乘积的三分之一
三角形的面积等于其内切圆半径与三角形周长的乘积的一半
思路点拨：由表格一、二两个问题的类比可知，线对面，长度对面积，从而内切圆应相对内切球，从而可解。
解答：本题由已知前两组类比可得到如下信息：①平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象；②三角形各边的边长与三棱锥的各面的面积是类比对象；③三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象；④三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象；⑤三角形的面积公式中的&二分之一&，与三棱锥的体积公式中的&三分之一&是类比对象。
由以上分析可知：
故第三行空格应填：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一。（本题结论可用等体积法，将三棱锥分割成四个小三棱锥去证明，此处略）
〖例2〗平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行。类似地，写出空间中的一个四棱锥为平行六面体的两个充要条件：
充要条件①：
充要条件②：
解答：两组对边分别平行类比可得三组对面分别平行。一组对边平行且相等类比可得两组对面分别平行且全等。
答案：①三组对面分别平行；②两组对面分别平行且全等。
注：类比推理是根据两个对象有一部分属性类似，推出这两个对象其他属性亦类似的一种推理方法。例如分式与分数类比、平面几何与立体几何的某些对象类比等。当然类比时有能出现错误，如：在平面内，直线a、b、c，若a&b,b&c，则a∥c；在空间，三个平面&、&、&U，若&&&,&&&U，但&与&U之间可能平行，也可能相交。
（三）演绎推理
〖例1〗（1）证明函数在上是增函数；
（2）当时，是增函数还是减函数？
思路解析：（1）证明本题的大前提是增函数的定义，即增函数满足：在给定区间内任取自变量的两个值且，，小前提是函数，x&，结论满足增函数定义。
（1）关键是看与的增区间或减区间的关系。
解答：（1）方法一：任取&，
于是，根据&三段论&可知，
在上是增函数；
（2）∵，而是区间的子区间，∴在上是增函数。
注：三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具体性质P，S是M的子集，那么S所有元素都具体性质P。三段论推理中包含三个原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断：结论。
〖例2〗用三段论的形式写出下列演绎推理。
（1）若两角是对顶角，则该两角相等，所以若两角不相等，则该两角不是对顶角；
（2）矩形的对角线相等，正方形的是矩形，所以正方形的对角线相等；
（3）是有理数；
（4）y=sinx(x&R)是周期函数。
解答：（1）两个角是对顶角，则两角相等，&&&&&&&&&&&&&&&&大前提
&1和&2不相等&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&小前提
&1和&2不是对顶角&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&结论
（2）每个矩形的对角线相等&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&大前提
正方形是矩形&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&小前提
正方形的对角线相等&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&结论
（3）所有的循环小数是有理数，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&大前提
是循环小数，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&小前提
所以是有理数&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&结论
（4）三角函数是周期函数，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&大前提
y=sinx是三角函数，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&小前提
y=sinx是周期函数&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&结论
二、直接证明与间接证明
（一）综合法证明不等式
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1、综合法是&由因导果&，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性。用综合法证明题的逻辑关系是：（A为已知条件或数学定义、定理、公理等，B为要证结论），它的常见书面表达是&∵，∴&或&&；
2、综合法是中学数学证明中常用方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法。
※例题解析※
〖例〗已知x+y+z=1，求证.
思路点拨：利用，同时变形利用x+y+z=1，从而（x+y+z）2=1可证。
（二）分析法证明不等式
※相关链接※
1、分析法也是中学数学证明问题的常用方法，其主要过程是从结论出发，逐步寻求使结论成立的充分条件；
2、分析法是&执果索因&，它是从要证的结论出发，倒着分析，逐渐地靠近已知事实。
用分析法证&若P则Q&这个命题的模式是：
为了证明命题为真，从而有&&
这只需证明命题为真，从而有&&[来源:学科网ZXXK]
这只需证明命题为真，从而有&&
这只需证明命题P为真。
而已知P为真，故Q必为真。
注：用分析法证题时，一定要严格按格式书写，否则容易出错。
※例题解析※
〖例〗已知非零向量，且，求证：。
思路解析：。同意注意，，将要证式子变形平方即可获证。
解答：∵∴，要证，只需证，只需证
（三）反证法证明
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1、反证法是间接证明问题的一种常用方法，其证明问题的一般步骤为：
（1）反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面（否定命题）成立；（否定结论）[来源:学+科+网]
（2）归廖：将&反设&作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾&&与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；（推导矛盾）
（3）结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于&反设&的廖误。既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立。（结论成立）
注：用反证法证明问题时要注意以下三点：
（1）必须否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全是；
（2）反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；
（3）推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的。
2、常见的&结论词&与&反设词&如下：
至少有一个
一个也没有
对所有x成立
存在某个x不成立
至多有一个
至少有两个
对任意x不成立
存在某个x成立
至多有n-1个
至多有n+1个
※例题解析※
〖例〗已知是互不相等的实数，求证：由确定的三条抛物线至少有一条与轴有两个不同的交点。
思路解析：利用反证法，否定命题的结论利用同向不等式求和推出矛盾得结论
解答：假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与有两个不同的交点（即任何一条抛物线与轴没有两个不同的交点），由得
（四）综合问题的证明
〖例〗请先阅读：在等式（）的两边求导，得：
由求导法则，得，化简得等式：．[来源:学,科,网]
（1）利用上题的想法（或其他方法），试由等式（1＋x）n＝（，正整数），证明：＝．
（2）对于正整数，求证：
（i）＝0；
（ii）＝0；
证明：（1）在等式两边对求导得
（2）（i）在（*）式中，令，整理得
（ii）由（1）知
两边对求导，得
在上式中，令
又由（i）知
由（1）+（2）得
（iii）将等式两边在上对积分
由微积分基本定理，得
注：证明问题是初等数学中常见问题，也是高考常考问题，在各章知识中均有所体现，函数、数列、不等式、立体几何、解析几何中常有证明问题，本例就是导数应用到证明问题的直接体现，这就需要对各章知识灵活应用，如应用二项展开式亦可证明有关数学中整除性及不等式问题。
三、数学归纳法
（一）用数学归纳法证明等式
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1、用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于&先看项&，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始n0是多少；
2、由n=k到n=k+1时，除等式两边变化的项外还要充分利用n=k时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明。
※例题解析※
〖例〗用数学归纳法证明：。
思路解析：按数学归纳法的证明步骤。
解答：（1）当n=1时，等式左边=，等式右边=，∴等式成立.
(2)假设n=k(k&1.k&)时等式成立,即成立,那么当n=k+1时,
即n=k+1时等式成立.
由(1)、(2)可知,对任意n&等式均成立.
(二)用数学归纳法证明整除问题
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整除问题是常见数学问题,除了在二项式定理中利用二项式定理证明整除外,有些还可用数学归纳法,应用数学归纳法证明整除性问题时,关键是&凑项&，采用增项、减项、拆项和因式分解等方法。也可以说将式子&硬提公因式&，即将n=k时的项从n=k+1时的项中&硬提出来&，构成n=k时的项，后面的式子相对变形，使之与n=k+1时的项相同，从而达到利用假设的目的。
※例题解析※
〖例〗用数学归纳法证明能被整除（n&）。
思路解析：验证n=1时命题是否成立假设n=k时命题成立推证n=k+1时命题成立得结论。
解答：（1）当n=1时，
（2）假设n=k(k&)时，能被整除，则当n=k+1时，
（三）用数学归纳法证明几何问题[来源:学#科#网]
※相关链接※
在几何问题中，常有与n有关的几何证明，其中有交点个数、内角和、将平面分成若干部分等问题。这些问题可用数学归纳法证明，利用数学归纳法证明这些问题时，关键是&找项&，即几何元素从k个变成k+1个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析，在实在分析不出来的情况下，将n=k+1和n=k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧。
※例题解析※
〖例1〗平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证：这n条直线把平面割成个区域。
思路解析：n=k+1时，第k+1条直线被前k条直线分成（k+1）段，而每一段将它们所在区域一分为2，故增加了k+1个区域。
解答：（1）当n=1时，一条直线把平面分成两部分，又∴n=1时命题成立。
（2）假设n=k(k&)时，命题成立，即k条满足题意的直线把平面分割成个区域。那么，当n=k+1时，k+1条直线中的k条直线把平面分成个区域，第k+1条直线被这k条直线分成k+1段，每段把它们所在的区域分成了两块。因此增加了k+1区域，∴k+1条直线把平面分成了个区域。∴n=k+1时命题也成立。由（1）、（2）知，对一切的n&,此命题均成立。
〖例2〗平面内有n个圆，其中每两个圆都交于两点，且无三个圆交于一点，求证：这n个圆将平面分成n2+n+2个部分.
证明：（1）n=1时，1个圆将平面分成2部分，显然命题成立。
（2）假设n=k(k&)时，k个圆将平面分成k2-k+2个部分。当n=k+1时，第k+1个圆k+1交前面2k个点，这2k个点将圆k+1分成2k段，每段各自所在区域一分为二，于是增加了2k个区域，所以这k+1个圆将平面分成k2-k+2+2k个部分，即(k+1)2-(k+1)+2个部分。故n=k+1时，命题成立。由（1）、（2）可知，对任意n&命题成立。[来源:学#科#网Z#X#X#K]
注：用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k成立得n=k+1成立，主要方法有：①放缩法；②利用基本不等式；③作差比较法等。
（四）数学归纳法证明数列问题
〖例〗（安徽卷21）．（本小题满分13分）
设数列满足为实数
（1）证明：对任意成立的充分必要条件是；
（2）设，证明：;
（3）设，证明：
思路解析：（1）充要条件的证明要从充分性和必要性两个方面证明，证明充分性时可用数学归纳法；（2）注意应用（1）的结论，利用放缩法证明。
解答： (1) 必要性 ： ，
，即[来源:学_科_网Z_X_X_K]
充分性 ：设 ，对用数学归纳法证明
当时，.假设
则，且[来源:学+科+网Z+X+X+K]
，由数学归纳法知对所有成立
(2) 设 ，当时，，结论成立
,由（1）知，所以
(3) 设 ，当时，，结论成立
当时，由（2）知
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