二次函数_百度百科
[èr cì hán shù]
二次函数（quadratic function）的基本表示形式为y=ax?+bx+c（a≠0）。二次函数最高次必须为二次，
二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的。二次函数y=ax?+bx+c（且a≠0）的定义是一个二次多项式（或单项式）。如果另y值等于零，则可得一个。该方程的解称为方程的根或函数的。
大约在公元前480年，古巴比伦人和中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根，但是并没有提出通用的求解方法。公元前300年左右，欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。
7世纪印度的婆罗摩笈多是第一位懂得用使用代数方程的人，它同时容许有正负数的根。
11世纪阿拉伯的花拉子密 独立地发展了一套公式以求方程的正数解。亚伯拉罕·巴希亚（亦以拉丁文名字萨瓦索达著称）在他的著作Liber embadorum中，首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲。
据说施里德哈勒是最早给出二次方程的普适解法的数学家之一。但这一点在他的时代存在着争议。这个求解规则是（引自婆什迦罗第二）
一般地，把形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c是，a≠0，b，c可以为0）的函数叫做二次函数，其中a称为，b为，c为。x为，y为。右边自变量的最高次数是2。顶点坐标
，交点式为
（仅限于与x轴有交点的抛物线），与x轴的交点坐标是
注意：“变量”不同于“”，不能说“二次函数是指变量的最高次数为二次的多项式函数”。“”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在实数范围内任意取值。在中适用“未知数”的概念（、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别，如同函数不等于函数的关系。[1-2]
1.二次函数是，但抛物线不一定是二次函数。开口向上或者向下的抛物线才是二次函数。抛物线是轴对称图形。为直线
对称轴与抛物线唯一的交点为的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）。
2.抛物线有一个顶点P，坐标为P
时，P在y轴上；当
时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a&0时，抛物线开口向上；当a&0时，抛物线开口向下。|a|越大，则抛物线的开口越小。|a|越小，则抛物线的开口越大。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab&0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab&0），对称轴在y轴右。（可巧记为：左同右异）
5.c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0, c）
6.抛物线与x轴交点个数：
时，抛物线与x轴有2个交点。
时，抛物线与x轴有1个交点。当
时，抛物线与x轴没有交点。
时，函数在
处取得最小值
上是减函数，在
上是；抛物线的开口向上；函数的值域是
时，函数在
处取得最大值
上是增函数，在
上是；抛物线的开口向下；函数的值域是
时，抛物线的是y轴，这时，函数是，解析式变形为y=ax?+c(a≠0)。
7.定义域：R
值域：当a&0时，值域是
；当a&0时，值域是
：当b=0时，此函数是；当b不等于0时，此函数是。
⑵若a&0，则抛物线开口朝上；若a&0，则抛物线开口朝下；
若Δ&0，则与x轴交于两点：
若Δ=0，则与x轴切于一点：
若Δ&0，与x轴无公共；
②顶点式：
此时顶点为（h,t)
时，对应顶点为
③交点式：
y=a(x-h)?+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为（h,k)[4]
，对称轴为直线x=h，的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax?的图像相同，当x=h时，y最大（小）值=k.有时题目会指出让你用把一般式化成顶点式。
例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的。
解：设y=a(x-1)?+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)?+2。
注意：与点在中的不同，二次函数平移后的中，h&0时，h越大，图像的离y轴越远，且在x轴上，不能因h前是就简单地认为是向左平移。[2]
具体可分为下面几种情况：
当h&0时，y=a(x-h)?的图像可由抛物线y=ax?向右平行移动h个单位得到；
当h&0时，y=a(x-h)?的图像可由抛物线y=ax?向左平行移动|h|个单位得到；
当h&0,k&0时，将抛物线y=ax?向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)?+k的图象；
当h&0,k&0时，将抛物线y=ax?向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)?+k的图象；
当h&0,k&0时，将抛物线y=ax?向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)?+k的图象；
当h&0,k&0时，将抛物线y=ax?向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)?+k的图象。[5]
[仅限于与x轴即y=0有交点时的
，即b2-4ac≥0] .
已知抛物线与x轴即y=0有交点A(x1, 0)和B(x2, 0),我们可设
,然后把第三点代入x、y中便可求出a。
由一般式变为交点式的步骤： ()
重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a&0时，开口方向向上；a&0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。
f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)由此可引导出的系数
(y为截距)　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。[2]
欧拉交点式：
若ax?+bx+c=0有两个实根x1,x2，则
此抛物线的对称轴为直线
已知二次函数上三个点，(x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3)。把三个点分别代入函数解析式y=a(x-h)?+k(a≠0,a、h、k为常数)，有：
得出一个，就能出a、b、c的值。
已知二次函数上三个点，(x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3)
利用，可以求出该二次函数的为：
与X轴交点的情况:
时，与x轴有两个交点，分别是(x1, 0)和(x2, 0)。
时，与x轴只有一个，即
时，与x轴没有公共。x的是（
在中作出二次函数y=ax2+bx+c的图像，可以看出，在没有特定定义域的二次函数图像是一条永无止境的。 如果所画图形准确无误，那么二次函数图像将是由
平移得到的。[2]
二次函数图像
二次函数图像是图形。对称轴为直线
对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图象的P。
特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）。是顶点的横坐标（即x=？）。
a,b同号，对称轴在y轴左侧；
a,b异号，对称轴在y轴右侧。[2]
二次函数图像有一个顶点P，坐标为P(h,k)。
当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)2+k（x≠0）
a决定二次函数图像的开口方向和大小。
当a&0时，二次函数图象向上开口；当a&0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则二次函数图像的开口越小。[2]
决定位置因素
一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a&0,与b同号时（即ab&0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a&0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要
当a&0,与b异号时（即ab&0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a&0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号
可简单记忆为左同右异，即当对称轴在y轴左时，a与b同号（即a&0，b&0或a&0，b&0）；当对称轴在y轴右时，a与b异号（即a0或a&0，b&0）（ab&0）。
事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图象与y轴的交点处的该二次函数图像的函数解析式（）的斜率k的值。可通过对二次函数得到。[2]
决定交点因素
常数项c决定二次函数图像与y轴交点。
二次函数图像与y轴交于（0,C）点
注意：顶点坐标为（h,k)， 与y轴交于（0,C)。[2]
与x轴交点数
a&0;k&0或a&0;k&0时，二次函数图像与x轴有2个交点。
k=0时，二次函数图像与x轴只有1个交点。
质疑点：a&0;k&0或a&0,k&0时，二次函数图像与x轴无交点。
当a&0时，函数在x=h处取得最小值
=k，在x&h范围内是减函数，在x&h范围内是增函数（即y随x的变大而变大），二次函数图像的开口向上，函数的是y&k
当a&0时，函数在x=h处取得最大值
=k，在x&h范围内是增函数，在x&h范围内是减函数（即y随x的变大而变小），二次函数图像的开口向下，函数的值域是y&k
当h=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是[2]
对于一般式：
①y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c两图像关于y轴对称
②y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c两图像关于x轴对称
③y=ax2+bx+c与
关于顶点对称
④y=ax2+bx+c与y=-ax2+bx-c关于原点中心对称。（即绕原点旋转180度后得到的图形）
对于顶点式：
①y=a(x-h)2+k与y=a(x+h)2+k两图像关于y轴对称，即顶点(h, k)和(-h, k)关于y轴对称，相反、相同。
②y=a(x-h)2+k与y=-a(x-h)2-k两图像关于x轴对称，即顶点(h, k)和(h, -k)关于x轴对称，横坐标相同、纵坐标相反。
③y=a(x-h)2+k与y=-a(x-h)2+k关于顶点对称，即顶点(h, k)和(h, k)相同，开口方向相反。
④y=a(x-h)2+k与y=-a(x+h)2-k关于原点对称，即顶点(h, k)和(-h, -k)关于原点对称，横坐标、纵坐标都相反。
（其实①③④就是对f(x)来说f(-x),-f(x),-f(-x)的情况）[2]
五点草图法又被叫做五点作图法是二次函数中一种常用的作图方法。
注明：虽说是草图，但画出来绝不是草图。
五点草图法中的五个点都是极其重要的五个点，分别为：顶点，与x轴交点与y轴交点及其。
Ps.仅是草图，正规考试会扣分
在初中数学中，要求采用描点法画出二次函数图像。
其做法与五点法类似：【以
x　　……-1-0.50122.53……
……73.51-113.57……先取顶点，用虚线画出对称轴。取与x轴两个交点（如果存在）、y
y=2(x-1)^2-1
轴交点及其对称点（如果存在）和另外两点及其对称点。
Ps.原则上相邻x的差值相等，但远离顶点的点可以适当减小差值
2、依据表格数据绘制函数图像,如图
特别地，二次函数（以下称函数）
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即
此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。[7]
1．二次函数y=ax2，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k，y=ax2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：
y=ax2(0，0) x=0
再向上移动k个单位，就可得到y=a(x+h)2+k（h&0,k&0）的图像
当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位，就可得到y=a(x+h)2-k（h&0,k&0）的图像
在向上或向下。向左或向右平移抛物线时，可以简记为“上加下减，左加右减”。
因此，研究抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的图像，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了。这给画图像提供了方便。
2．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图像：当a&0时，开口向上，当a&0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b?]/4a)。
3．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，若a&0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大。若a&0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小。
4．y=ax2+bx+c的图像与坐标轴的交点：
(1)图像与y轴一定相交，交点坐标为(0, c)；
时，图像与x轴交于两点A(x1, 0)和B(x2, 0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根．这两点间的距离
另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由
（A为其中一点的横坐标）
时，图像与x轴只有一个切点；
时，图像与x轴没有公共点。当a&0时，图像落在x轴的上方，x为任何时，都有y&0；当a&0时，图像落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y&0。
5．抛物线y=ax2+bx+c的最值：如果a&0，则当
；如果a&0，则当
顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值。
6．用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设（表达式）为一般形式：
(2)当题给条件为已知图像的或对称轴或极大（小）值时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)。
(3)当题给条件为已知图像与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)。[2]
1.要理解函数的意义。
2.要记住函数的几个表达形式，注意区分。
3.一般式，顶点式，交点式，等，区分对称轴，顶点，图像，y随着x的增大而减小（增大）(增减值）等的差异性。
4.联系实际对函数图象的理解。
5.计算时，看图像时切记取值范围。
6.随图象理解数字的变化而变化。 二次函数考点及例题
二次函数知识很容易与其他知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现。[2]
（1）对二次函数概念理解有误，漏掉不为0这一限制条件；
（2）对二次函数图像和性质存在思维误区；
（3）忽略二次函数自变量取值范围；
（4）平移时，弄反方向。[2]
定义与表达式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
y=ax?+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a&0时，开口方向向上，a&0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大.）
则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。[2]
三种表达式
一般式：y=ax?+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
顶点式：y=a(x-h)?+k[抛物线的顶点P(h, k)]
交点式：y=a(x-x1)(x-x2)[仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的]
注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：
抛物线的性质
1.是。对称轴为直线
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，的对称轴是y轴（即直线x=0）
2.抛物线有一个顶点P，坐标为
时，P在y轴上；当
时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定的开口方向，|a|决定抛物线开口大小。
当a&0时，抛物线开口向上；当a&0时，抛物线开口向下
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a有1个交点。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）
抛物线与x轴
Δ=b?-4ac&0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ=b?-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
Δ=b?-4ac&0时，抛物线与x轴没有交点。[2]
软件——基础必备。
几何画板画出的抛物线图象
注意：左加右减，上加下减
．明春生教学工作室[引用日期]
．陕西高考网．222002[引用日期]
．西海教育网[引用日期]
．菁优网[引用日期]
．豆丁网[引用日期]
．新语文网站[引用日期]
．中国教育在线[引用日期]
．EOL[引用日期]一元二次方程 二元一次方程的解法 一元二次方程求根公式 一元一次方程的解法 一元..
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第2章《一元二次方程》易错题集(03)：2.2 一元二次方程的解法
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