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两个数的最大公约数与最小公倍数的联系
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178.两个数的最大公约数与最小公倍数有什么联系？
　　两个数的最大公约数与最小公倍数是两个完全不同的概念，但它们之间又存在着一定的规律。以12和20的最大公约数与最小公倍数为例：
　　12和20的最大公约数是2&2=4；
　　12和20的最小公倍数是2&2&3&5=60。
　　12与20的积是12&20=240，它们的最大公约数与最小公倍数的积是&4&&&60=240。两个积正好一样，这并非巧合，而是一种规律，即：两个自然数的积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的积。通过原来算式的因数交换可以得到证明：
　　再如：45与105的最大公约数和最小公倍数为：
　　45与105的最大公约数是3&5=15；
　　45与105的最小公倍数是3&5&3&7=315。
　　45与105的乘积是45&105=4725，再看最大公约数与最小公倍数的乘积也是15&315=4725。由此可证明，两个数的最大公约数与最小公倍数是有联系的，这种联系是通过以上规律来体现的，这个规律如果用字母公式表示为：
　　一般地，a&b=（a，b）&&[a，b]
　　依据这个规律，在求两个数的最大公约数和最小公倍数时，可以推导出新的公式。即：已知12与20的最大公约数是4，求它们的最小公倍数是多少？
　　最小公倍数=两数的乘积/最大公药数=12&20/4=60
　　如果已知12与20的最小公倍数是60，求它们的最大公约数是多少？
　　最大公约数=两数的乘积/最小公倍数=12&20/60=4
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最大公约数口算求法
最​大​公​因​数​和​最​小​公​倍​数​的​口​算​求​法
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1.甲乙两数的最小公倍数除以最大公约数商是12.如果甲乙两数的差是18,那么.甲.乙两数是多少?
设甲数为ak、乙数为bk，k是ak,bk的最大公约数，
则：a,b互质，ak,bk的最小公倍数是abk
ak-bk=18=(a-b)k=18, (abk)/(k)=ab=12
a,b互质---&a=4,b=3---&k=18----&甲数=ak=72, 乙数=bk=54
2.两数的最大公约数是21,最小公倍数是126,这两个数的和是多少?
设两数分别为21a、21b，则：a,b互质,
最小公倍数=21ab=126----&ab=6---&a=3,b=2或a=2,b=3
---&两数的和=3*21+2*21=105
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12和18的最小公倍数是这两个数的最大公约数的6倍．______
12和18的最小公倍数是这两个数的最大公约数的6倍．______．
提问者采纳
12=2×2×3，18=2×3×3，所以12和18的最大公因数是2×3=6；12和18的最小公倍数是2×2×3×3=36．因为36÷6=6，所以12和18的最小公倍数是这两个数的最大公约数的6倍的说法是正确的．故答案为：√．
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出门在外也不愁小学数学竞赛辅导4（最大公约数和最小公倍数）
（4）最大公约数与最小公倍数
〖老师告诉你〗
同学们都知道，如果整数a能被自然数b整除，则b叫做a的约数，a叫做b的倍数。可见约数和倍数是一对孪生兄弟，既不能脱离倍数谈约数，也不能脱离约数谈倍数。
1、公约数和最大公约数
几个整数公有的约数，叫做这几个数的公约数。
例如，16的约数有1、2、4、8、16；24的约数有1、2、3、4、6、8、12、24。它们的公约数是1、2、4、8，其中8最大。
几个整数的公约数中，最大的一个叫做这几个数的最大公约数。比如上例中，16与24的最大公约数为8。
特别地，0与一个自然数n的最大公约数等于n。
2、公倍数和最小公倍数
几个整数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。
例如，4的倍数朦胧、8、12、16、20、24、28、32、36、……；6的倍数有0、6、12、18、24、30、36、……。它们的公倍数是0、12、24、36、……，非零公倍数中12最小。
一般说来，每个自然数的倍数都有无限多个，几个自然数的非零公倍数也有无限多个，它们之中必有一个最小的。
几个整数的非零公倍数中，最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。如上例中，4与6的最小公倍数是12。
如果几个整数的最大公约数是1，就说这几个数互质（也叫互素）。
例如，2与3互质；8与15互质；3、4、8互质。
三个或三个以上的数互质时，不一定其中每两个数都互质，例如，3、5、8三个数互质，其中每两个数也互质；而3、4、8三个数虽互质，但其中的4与8却不互质。如果几个整数中每两个数都互质，我们就说这几个数两两互质。
〖请你读一读〗
例1．&&&&&&&
两个数的最大公约数是15，最小公倍数是180。这两个数是（&
）和（& ），或者（& ）和（&
【分析与解答】
解法一：设这两个数分别为x和y，且x&y。
依题意有x=15a，y=15b，其中a与b互质。那么x和y的最小公倍数是15&a&b，就是说15&a&b=180。
即a&b=12=12&1=4&3
若a=12，b=1，则x=15&12=180，y=15&1=15，
若a=4，b=3，则x=15&4=60，y=15&3=45。
因此，这两个数是180和15，或者60和45。
解法二：当大数是小数的倍数时，小数是这两个数的最大公约数，大数是这两个数的最小公倍数。而180是15的倍数，所以这两个数是15和180。根据最大公约数与最小公倍数的意义知：
用最小公倍数180除以最大公约数15，所得的商是这两个数独有的质因数的乘积。
180&15=12&&&
则一个数独有的质因数是2&2，另一个数独有的质因数是3，分别用独有的质因数与公有的质因数相乘，求出这两个数各是多少。
15&2&2=60，15&3=45
因此，符合题意的两个数是15和180，或者60和45。
答：符合题意的两个数是15和180，或者60和45。
试一试：两个数的最大公约数是42，最小公倍数2940，且这个数的和是714。这两个数是多少？
例2．设a与b是两个不相等的自然数。如果它们的最小公倍数是72，那么a与b之和可以有多少种不同值？
【分析与解答】两个不相等的自然数a与b的关系有三种可能情况：
（1）若a是b的倍数，当a=72时，则b是72的约数。
把72分解质因数：72=2&2&2&3&3=2 &3
。那么，72的约数的个数为（3+1）&（2+1）=12（个），其中最大的约数72与a相等时，不合题意。所以，72的另外11个约数与72之和（a与b之和）可以有11种不同的值。
（2）若a、b是互质关系，则a=8，b=9，a与b之和有一种不同值。
（3）若a、b为一般关系（非整除与互质的关系）。
当（a，b）=2时，则a=2&2 =8，b=2&3 =18。
当（a，b）=3时，则a=3&3=9，b=3&2 =24。
当（a，b）=2 时，则a=2 &2=8，b=2 &3&3=36。
当（a，b）=2&3时，则a=2&3&3=18，b=2&3&2 =24。
当（a，b）=2 &3=12时，则a=2 &3&2=24，b=2 &3&3=36。
a， b之和有5种不同的值。
所以，a与b之和可以有不同的值共为：11+1+5=17（种）。
例3．甲乙两数都含有质因数3和5，它们的最大公约数是45，已知甲数有12个约数，乙数有10个约数，那么在800-1000之间，甲乙两数之和为多少？
【分析与解答】依题意，甲乙两数都含有质因数3和5，它们的最大公约数是45，即它们公有的质因数为3 &5。
又知甲数有12个约数，12=6&2=4&3=3&4=3&2&2，所以甲数有以下四种可能：
（1）3 &5；（2）3 &5 ；（3）3 &5 ；（4）3
&5&a（a为3，5以外的质数）。乙数有10个约数，10=5&2。
所以，乙数为3 &5=405。
由于甲乙两数公有的质因数是3 &5，符合此条件的甲数为3 &5 或3 &5&a。但3 &5
=1125大于1000，不符合题意。
当a=2时，3 &5&a=90，90+405&800，不符合题意。
当a=7时，3 &5&a=3 &5&7 =315，315+405&800，不符合题意。
当a=11时，3 &5&a=3 &5&11=495，495+405=900，在800-1000之间，符合题意。
当a=13时，3 &5&a=3 &5&13=585，585+405=990，在800-1000之间，符合题意。
因此，在800-1000之间，甲乙两数之和为900或990。
答：在800-1000之间，甲乙两数之和为900或990。
例4．用 ， 和1 分别去除某分数，所得的商都是整数。这个分数最小是多少？
【分析与解答】设这个最小分数为 ，由题意有如下关系：
=a&&&&&&&&&&&&
=c&&&&&&&&&&&
因为 为最小值，所以M应是28，56，20的最大公约数，N是5，15，21的最小公倍数。
又因为28、56和20的最大公约数是4；5、15和21的最小公倍数是105。所以 = =26 。
答，符合题意的最小数是26 。
例5．有四个自然数A，B，C，D，它们的和不超过400，且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。这四个数的和是多少？
【分析与解答】由题意可知，A+B+C+D≤400，
A=5B+5&&&&&
A=5&（B+1）
A=6C+6&&&&&
A=6&（C+1）
A=7D+7&&&&&
A=7&（D+1）
B+1，C+1，D+1都是自然数。
由此可知A是5、6、7的公倍数，而5、6、7的最小公倍数是210。
当A是210时：B=（210－5）&5=41；C=（210－6）&6=34；D=（210－7）&7=29，则这四个自然数之和是210+41+34+29=314。
因为314&400，所以A只能是210。
答：这四个自然数之和是314。
例6．动物园的饲养员给三群猴子分花生，如果只分给第一群，则每只猴子可得12粒；如果只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如果只分给第三群，则每只猴子可得20粒。那么把花生同时分给三群猴子，平均每只猴子可分得多少粒花生？
【分析与解答】由“每只猴子分得花生数&猴子只数=花生粒数（不变）”的关系式，得如下关系：
12&第一群猴子只数=花生总粒数，
15&第二群猴子只数=花生总粒数，
20&第三群猴子只数=花生总粒数，
这说明花生总粒数是12，15，20的公倍数，其最小公倍数是60。
这样，花生总数是60，120，180，……；则第一群猴子只数是5，10，15，……；第二群猴子只数是4，8，12，……；第三群猴子只数是3，6，9，……。因此，把花生总粒数同时分给三群猴子，平均每只猴子总是得5粒。
60&（5+4+3）=60&12=5（粒）
120&（10+8+6）=120&24=5（粒）
180&（15+12+9）=180&36=5（粒）
答：把花生同时分给三群猴子，平均每只猴子可分得5粒花生。
试一试：把一些糖果平均分成若干包，每包10粒余9粒，每包12粒余11粒，每包15粒余14粒。这些糖果最少是多少粒？
例7．有15位同学，每位同学都有编号，他们是1号到15号。1号同学写了一个自然数后，2号说：“这个数能被2整除”，3号说：“这个数能被3整除”，……，依次下去，每位同学都，这个数能被他的编号数整除。1号作了验证：只有编号连续的两位同学说得不对，其余同学都对。
问：（1）说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？
（2）若1号写的数是五位数，这个五位数是多少？
【分析与解答】根据2号~15号同学所述结论，可将合数4，6，8……15进行分解质因数，然后由1号同学验证的结果，进行分析推理得出问题的答案。
4=2 ，6=2&3，8=2 ，9=3 ，10=2&5，12=2 &3，14=2&7，15=3&5
显然，说得不对的两位同这不是2号和3号，否则，6号也说得不对，这与1号验证结果矛盾。反之，说得不对的同学不会有6号。这样又可知，这两位同学也不是6号和6号，6号和7号。并由此得出也没有15号，14号，10号。若说得不对的两位同学是3号和4号，则12号也说得不对，这与1号验证的结果矛盾。因此不是3号和4号两位同学。反之，说得不对的同学不会有12号。
综上所述，不难得出：
（1）说得不对的两位同学的编号是8和9两个连续自然数。
（2）1号同学所写的自然数是2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15的公倍数，其最小公倍数是2&2&3&5&7&11&13=60060。
因为120为六位数，所以1号同学所写的五位数是60060。
答：说得不对的两位同学的编号是8和9两个连续自然数，1号同学所写的五位数是60060。
例8．有一个长148厘米、宽88厘米、高120厘米的长方体木块，现在要把它锯成一些完全一样大的小正方体木块，要使木料不能浪费，这些小正方体的最大边长是多少厘米？有多少块？
【分析与解答】因为木料不能浪费，那么原长方体的长、宽、高应分别是这些小正方体边长的整数倍，我们可以明显看出，此题求小正方体的边长实际上就是求148、88和120的最大公约数，而要求共有多少块？实际上也就是求大长方体里有多少个小正方体，或者求原长方体的长、宽、高分别可截出几个正方体的边长来。
（148，88，120）=4
（148&88&120）&（4&4&4）
=24420（块）
或（148&4）&（88&4）&（120&4）
=24420（块）
答：小正方体的边长最大为4厘米，可截出24420块。
例9．A、B两个数都恰恰只含有质因数3和5，它们的取大公约数是75，已知A有12个约数，B有10个约数，那么A、B两数的和等于多少？
【分析与解答】要求A、B两数的和是多少，最好我们能先求出A、B的值各为多少，题目只是告诉我们A、B两数只含有质因数3、5，且它们的最大公约数为75，即A、B两数都含有3&5
这个数，且共同的只有3&5
这个数，因A有12个约数，12=2&6或=3&4，B有10个约数，10=2&5，若12=2&6则它们的共同因数为3&5
，与题目相矛盾，舍去，所以12取3&4=（2+1）&（3+1），对于B这个数只能取B=3&5 ，所以A中5的指数不能变，所以A=3
因为10=2&5，12=2&6（舍去）=3&4=（2+1）&（3+1）
75=3&5 ，所以B=3&5 、A=3 &5
A+B=3&5 &（5 +3 ）=2550
答：A、B两数的和等于2550。
例10．已知两个自然数的差为2，它们的最大公约数与最小公倍数之差为142，求这两个自然数。
【分析与解答】我们可以设其中一个自然数的值为x，另一个值则为x+2，那么这两个自然数的最大公约数只有两种可能，一个为1，一个为2。
若公约数为1，则它们的最小公倍数则为142+1=143，又因为最大公约数乘以它们的最小公倍数恰为两个自然数的积，所以1&143=a&(a+2)=11&13成立。
若公约数为2，则它们的最小公倍数为142+2=144，而2&144=（a+2）&a=16&18成立，故题目有两个答案。
解：设其中一个自然数为x，另一个为x+2。
（1）当（x，x+2）=1时，[x，x+2]=142+1=143
而（x，x+2）&[x，x+2]=1&143=x&（x+2）
所以x=11，x+2=13。
（2）当（x，x+2）=2时，[x，x+2]=142+2=144
而（x，x+2）&[x，x+2]=2&144= x&（x+2）
所以x=16，x+2=18
答：这两个自然数可以为11和13或者16和18。
例11．已知两上自然数的和是60，它们的最大公约数与最小公倍数之和是84，求这两个自然数各是多少？
【分析与解答】为了分析方便，不妨我们令这两个自然数为a，b，而（a，b）=m，所以a=mq ，b=mq ，且（q ，q
由题意可知a+b=60，即a+b= mq +mq =m（q +q ）=60，
而a&b= m&（mq q ）=(a，b)&[a，b]=m&[a，b]
所以[a，b]= = mq q 。
又因为(a，b)+[a，b]=m+ mq q =84，故得知m为60、84的约数。
而（60，84）=12，所以m只可取1、2、3、4、6、12六种可能值，但当m取1、2、3、4、6时均不能满足m（q +q
）=60和m+ mq q =84，所以m仅能取12。
则q +q =60&12=5
12+12 q q =12（1+ q q ）=84，
q q 分别取2、3，则相对应的a、b值为24和36。
解：设这两个自然数为a、b。
令（a，b）=m，所以a= mq ，b=mq ，（q ，q 为a、b除以m后的商）
又因为[a，b]= = mq &mq &m= mq q
而a+b= mq +mq = m(q +q )=60
(a，b)+[a，b]= m+ mq q = m（1+q q ）=84
所以m为60，84的约数，又因为（60，84）=12，所以m可取1、2、3、4、6、12六种可能。
当m取1、2、3、4、6均不能使上面二式成立，所以m取12。
则m（q +q ）=84，m=12，1+q q =7，q q =6
所以q q 分别取2，3。则a=12&2、b=12&3（a，b值可互换），a，b分别可取24和36。
答：这两个自然数为24和36。
〖请你试一试〗
1．同时能被3，5，7和13除余1的最小五位数是多少？
2．现在4个自然数，它们的和是1111，如果要求这四个数的公约数尽可能大，那么，这4个数的公约数最大可能是多少？
3．一块长48厘米，宽42厘米的布料，不浪费边角料，能剪去（面积相等）最大的正方形布片多少块？
4．用长是5厘米，宽是3厘米的长方形铁片，摆成一个正方形（中间没有空隙），至少要用多少块这种长方形铁片。
5．大雪后的一天，小明和爸爸共同步测一个圆形花圃的周长。他俩的起点和走的方向完全相同。小明的平均步长54厘米，爸爸平均步长72厘米，由于两人的脚印有重合，并且他们走了一圈后都回到起点，这时雪地上只留下60个脚印，这个花圃的周长是多少米？
6．把一批苹果分给幼儿园大、小两个班，平均每人可分得6个，如果只分给大班，每人可分得10个，如果只分给小班，每人可分得多少个？
7．对于任意自然数n，判断分数 是不是最简分数？
8．两个数的和是70，它们的最大公约数是7，求这两个数的差是多少？
9．今有香蕉42千克，苹果112千克，桔子70千克，平均分给幼儿园的几个班，每班分到的这三种水果的数量分别相等，那么最多分给了多少个班？每个班至少分到三种水果各多少千克？
10．有一堆豆子，每5个一数，6个一数，11个一数都多1个，这堆豆子至少有多少个？
11．三个互相齿合的齿轮，齿数分别为18，16和24个齿，问在转动过程中同时齿合的各齿到下次再齿合时，各齿分别转过多少圈？
12．有一个商店今年7月1日开业，有三个批发商从这个商店批货。甲批发商每隔6天来一次，乙批发商每隔8天来一次，丙批发商每隔9天来一次，问这三个人在7月1日碰面后，再过多少天他们还在这家商店碰面？到明年的7月1日，他们一共碰面多少次？
13．某厂加工一批零件，每件零件需要一个螺栓，三个丝扣，十个螺钉，已知每个工人每小时可完成3个螺栓或12个丝扣或18个螺钉，要想能均衡生产，使每件零件都配上套，生产这三种零件的各需安排多少人？
14．有甲、乙、丙三个人在操场上走步,甲每分钟走80米，乙每分钟走120米，丙每分钟走70米，已知操场上周长为400米，如果三个人同时同向从同一地点出发，几分钟后，三个人可以相聚？
〖参考答案〗
1．解：由题意可知，这个最小五位数是3，5，7和13的公倍数加1的数，而它们的最小公倍数是1365。
又因为=7……445，由商和余数可知能被1365整除的最小五位数是1365的8倍数，或是10000与（）的和数。
所以，题目所求的最小五位数是=10921。或者10000+（）+1=10921。
试一试：一个自然数被5、6、7除时余数都是1，在1000以内，这样的数共有多少个？
2．解：由于这四个数的和是1111，那么它们的公约数也一定是11111的约数。而的约数只能是1，11，101，1111，显然1111不符合题目要求，而101是可能的，例如取这四个数为101，101，101，808。
因此，这四个数的公约数最大可能是101。
解答本题的关键是利用约数的概念和整除的性质，把讨论四个数的公约数的问题转化为讨论1111的约数问题，这种转化的方法在解答数学问题时是非常有用的。
3．解：根据不浪费边角料的条件，可知布料的长与宽分别是最大正方形布片的边长的整倍数。因此，最大正方形布片的边长应是48与42的最大公约数。
48与42的最大公约数是6。这样，布料的长边每排可剪48&6=8（块），宽边可剪42&6=7（排）。所以能剪去的最大正方形布片块数：
8&7=56（块）。
试一试：把长90厘米，宽42厘米的长方形铁片剪成边长是整厘米数、面积都相等的正方形铁片，恰无剩余，则至少剪多少块？
4．解：根据正方形的四条边长都相等的特征，当正方形的边长分别被长方形的长与宽整除，且摆满无隙块数最少时，那么正方形的边长是长方形的长与宽的最小公倍数。
因为5与3的最小公倍数是15，所以正方形的边长是15厘米。
15&15&（5&3）=15（块）
因此，至少要用这种长方形铁片15块。
5．解：根据题意，可知从起点到下一个重合点的路程是他们步长的最小公倍数，而且在这其间各留下不同个数的脚印，还有一个重合脚印。这样：
54厘米、72厘米的最小公倍数是216厘米，其间小明应留下脚印216&54=4个，爸爸应留下脚印216&72=3个，实际只留下脚印4+3－1=6（个）。
从起点他们走了一圈后都回到起点共留下脚印60个，这样可知花圃一周长度是216厘米的60&6=10倍。因此这个花圃的周长是：216&10&100=21.6（米）。
6．解：由“每人分得数&人数=苹果总数（不变）”的关系式得：
6&人数（两班人数和）=苹果总数。
10&人数（大班的人数）=苹果总数。
这说明苹果总数是6与10公倍数，其最小公倍数是30。
这样，苹果总数是30，60，90，……，则两班人数的和是5，10，15，……，大班人数是3，6，9，……，小班小数是2，4，6，……。
因此，不管怎样，小班每人可分得15个苹果：
30&2=15（个）
40&4=15（个）
90&6=15（个）
7．解：如果此分数为最简分数，那么它的公约数只有1，所以我们只要说明无论n取什么自然数，21n+4和14n+3是否互质即可。
因为（21n+4）—（14n+3）=7n+1
（14n+3）—（7n+1）=7n+2
（7n+2）—（7n+1）=1
所以（21n+4，14n+3）=（7n+1，14n+3）
=（7n+1，7n+2）
=（7n+1，1）
说明（21n+4）和（14n+3）互质，则此分数为最简分数。
答： 是最简分数。
8．解：因为两个数的最大公约数为7，所以这两个数都可以表示成7的倍数，且这两个整数应互质。
设这两个数是a,b,则（a,b）=7，则a=7q , b=7 q ,其中（q ，q ）=1，从而a+b=7q +7q =7（q
+q ）=70，所以q +q =70，要使两个互质数q ，q 的和是10，那么q ，q
的值只能是1、9或3、7，故所求的两个数为7，63（1╳7，9╳7），或21（3╳7）和49（7╳7），则它们相对应的差为56（63—7）或28（49—21）。
答：这两个数的差可能为56或28。
9．解：要求分给了多少个班，因为这些班分到的三种水果数量分别相等，所以，实际上是求42、112和70的最大公约数。
因为（42，112，70）=14
所以42&14=3（千克）、112&14=8（千克）、70&14=5（千克）
答：最多分给了14个班，每个班至少分到3千克香蕉、8千克苹果、5千克桔子。
10．解：每5个一数多1个，每6个一数，11个一数都多1个，说明这堆豆子数至少是5，6，11的倍数多1个，因为题目要求我们求这堆豆子至少有多少个，所以我们只需要求5，6，11的最小公倍数后便可求得了。
因为[5，6，11]=330（个）
330+1=331（个）
答：这堆豆子至少有331个。
11．解：因为各齿轮从第一次同时齿合到下一次再齿合时，其间各齿轮转过的齿数是相同的，所以到下次再齿合时，各齿轮转过的相同的齿数是各齿轮齿数的最小公倍数。这个数分别除以各齿轮齿数，所得的商就是各齿轮转的圈数。
因为[18，16，24]=144（个），所以18齿的齿数转144&18=8（圈），36齿的齿数转144&16=9（圈）
144&24=6（圈）
答：18齿的齿数转8圈，36齿的齿轮转9圈，24齿的齿轮转6圈。
12．解：三个人从7月1日碰面需要的天数便是6，8，9的最小公倍数，同样，第二次，第三次，第四次……每次同时来商店时所需的天数都是6，8，9这三个数的公倍数，也就是这个最小公倍数的倍数，而从今年7月1日到明年7月1日所经过的天数不会超过366天，因此看366天里有多少个最小公倍数便可求出这一年里他们三人相遇几次了。
因为[6，8，9]=72（天）
[ ]=5（次）[ ]表示对366除以72的商取整
答：他们三人再过72天还在这家商店碰面，到明年7月1日前，他们一共见了5次面。
13．解：因为这种零件中所需的丝扣是螺栓的3倍，螺钉是螺栓的7倍，所以我们只需先求生产一个螺栓，一个丝扣，一个螺钉配套起来各需的人数，再用生产丝扣的人数扩大3倍，生产螺钉的额人数扩大7倍便可以达到题目要求了。
要想顺利进行，必须每小时加工各种零件的个数是3，12，18的公倍数，所以我们可先求它们的公倍数，再求各种零件所需人数。
因为[3，12，18]=36（人）
36&3=12（人）
36&12╳3=9（人）
36&18╳7=14（人）
答：生产螺栓的需12人，生产丝扣的需9人，生产螺栓的需14人。
14．解：根据题意可以知道，甲、乙相遇时他们的路程之差恰好是400的倍数，类似地，甲，乙相遇，乙丙相遇时它们的路程之差也恰好为400米的倍数，甲和乙每分钟差120-80=40米，则需要10分钟（400&40=10）乙才能第一次追上甲，同理乙每分钟比丙多走120-70=50米，则需要400&50=8分钟，乙才能追上丙，同理甲每分钟比丙多走10米，则需40分钟（400&10）甲才能追上丙，而要想三人再次相遇，所需的时间则为10，8，40的公倍数。
乙第一次追上甲需：400&（120-80）=10（分）
乙第一次追上丙需：400&（120-70）=8（分）
甲第一次追上丙需：400&（80-70）=40（分）
[10，8，40]=40
所以三人相聚需过40分钟。
答：40分钟后，三个人可以相聚。
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