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基于字符信息量法则的串匹配算法研究
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数据结构和算法方面的问题。关于时间复杂度的求法。关于代入法和主定理，谢谢！ 问题可能有点多，数据结构和算法方面的问题。关于时间复杂度的求法。关于代入法和主定理，谢谢！&&&问题可能有点多，图片有点长。但是可以不用全部回答，下面几个问题回答1个也可以，有收获留给分。谢谢啦。（图中有2和3两题，纸条下面的是第二题的部分答案。）问题如下:1.第三题用主定理法如何求解。有一步是以5为底6的对数log5（6），如何是主定理的第一种情况如何减去一个常数才能和f（n）“相等”。2.第二题的代入法如图（纸条下）所示，为什么不是nlgn级别的，把那个n乘进去不是nlgn吗，如何出来lgn的平方？3.主定理法给了3种情况，确实比较快，但是有点复杂。请问老师们有什么比较快捷的方法迅速判断一个式子应该用哪种情况的法则，而不用试呢？4.还有什么好方法解决图中题目。&谢谢
情思如梦錅i
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在我看来主定理并没什么大的用处, 不仅条件需要仔细验证, 而且三种情况之间还有真空地带, 还不如掌握些常用的解递推的方法更实用.当然, 从你的叙述来看, 你连主定理都没有理解, 所以你的首要任务是先学会用主定理.粗略地讲, 主定理的基本思想是对T(n)=aT(n/b)+f(n)型的递推, 到底是 aT(n/b) 这项大还是 f(n) 这项大, 所以引出分水岭 g(n)=n^{ln b/ln a}.对于第三题, 取 ε=ln6/ln5-1>0, 那么 f(n)=n^1=n^{ln6/ln5-ε}, 比 g(n) 低 n^ε, 然后代主定理就得到 T(n)=Θ(n^{ln6/ln5})对于第二题, f(n)=nln n, g(n)=n, 两者间没有多项式的鸿沟, 就不能直接用主定理. 这也就是我说主定理其实没啥大用的道理.一般来讲掌握下面的方法就可以解决这一大类递推, 其实主定理也是这样推出来的.对于第二题, 只考虑 n=2^k 的子列, 换元之后把 T(2^k) 记成 S(k), 那么S(k) = 2S(k-1) + 2^k * kS(k-1) = 2S(k-1) + 2^{k-1} * (k-1)...S(1) = 2S(0) + 2把左端为 S(k-j) 的式子乘上 2^j 之后全加起来就消去了所有中间项得到S(k) = 2^k S(0) + 2^k[k+(k-1)+...+1] = 2^k*O(1) + 2^k*Θ(k^2) = Θ(2^k*k^2)写成 T(n) 的形式就是 T(n)=Θ(n*(ln n)^2)由于 T(n) 是单调的, 考虑上述子列足够推出渐进量级了对于第三题, 同样的方法, 令 n=5^k, S(k) = T(5^k), 那么S(k) = 6S(k-1) + 5^kS(k-1) = 6S(k-2) + 5^{k-1}...S(1) = 6S(0) + 5把左端为 S(k-j) 的式子乘上 6^j 之后全加起来就消去了所有中间项得到S(k) = 6^k S(0) + [5^k + 6*5^{k-1} + ... + 6^{k-1}*5]= 6^k*Θ(1) + 5*Θ(6^k) = Θ(6^k)注意后面那堆求和是等比数列求和换回去就得到 T(n) = Θ(n^{ln6/ln5})一般方法大致就是这样, 当然你得会选择合适的变量代换, 也得掌握一些基本的求和, 有时候求和不易求可以用积分来代替, 不影响渐进量级
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扫描下载二维码RSA算法原理（一） - 阮一峰的网络日志
RSA算法原理（一）
如果你问我，哪一种最重要？
我可能会回答。
因为它是计算机通信安全的基石，保证了加密数据不会被破解。你可以想象一下，信用卡交易被破解的后果。
进入正题之前，我先简单介绍一下，什么是"公钥加密算法"。
一、一点历史
1976年以前，所有的加密方法都是同一种模式：
　　（1）甲方选择某一种加密规则，对信息进行加密；
　　（2）乙方使用同一种规则，对信息进行解密。
由于加密和解密使用同样规则（简称"密钥"），这被称为（Symmetric-key algorithm）。
这种加密模式有一个最大弱点：甲方必须把加密规则告诉乙方，否则无法解密。保存和传递密钥，就成了最头疼的问题。
1976年，两位美国计算机学家Whitfield Diffie 和 Martin Hellman，提出了一种崭新构思，可以在不直接传递密钥的情况下，完成解密。这被称为。这个算法启发了其他科学家。人们认识到，加密和解密可以使用不同的规则，只要这两种规则之间存在某种对应关系即可，这样就避免了直接传递密钥。
这种新的加密模式被称为"非对称加密算法"。
　　（1）乙方生成两把密钥（公钥和私钥）。公钥是公开的，任何人都可以获得，私钥则是保密的。
　　（2）甲方获取乙方的公钥，然后用它对信息加密。
　　（3）乙方得到加密后的信息，用私钥解密。
如果公钥加密的信息只有私钥解得开，那么只要私钥不泄漏，通信就是安全的。
1977年，三位数学家Rivest、Shamir 和 Adleman 设计了一种算法，可以实现非对称加密。这种算法用他们三个人的名字命名，叫做。从那时直到现在，RSA算法一直是最广为使用的"非对称加密算法"。毫不夸张地说，只要有计算机网络的地方，就有RSA算法。
这种算法非常，密钥越长，它就越难破解。根据已经披露的文献，目前被破解的最长RSA密钥是768个二进制位。也就是说，长度超过768位的密钥，还无法破解（至少没人公开宣布）。因此可以认为，1024位的RSA密钥基本安全，2048位的密钥极其安全。
下面，我就进入正题，解释RSA算法的原理。文章共分成两部分，今天是第一部分，介绍要用到的四个数学概念。你可以看到，RSA算法并不难，只需要一点就可以理解。
二、互质关系
如果两个正整数，除了1以外，没有其他公因子，我们就称这两个数是（coprime）。比如，15和32没有公因子，所以它们是互质关系。这说明，不是质数也可以构成互质关系。
关于互质关系，不难得到以下结论：
　　1. 任意两个质数构成互质关系，比如13和61。
　　2. 一个数是质数，另一个数只要不是前者的倍数，两者就构成互质关系，比如3和10。
　　3. 如果两个数之中，较大的那个数是质数，则两者构成互质关系，比如97和57。
　　4. 1和任意一个自然数是都是互质关系，比如1和99。
　　5. p是大于1的整数，则p和p-1构成互质关系，比如57和56。
　　6. p是大于1的奇数，则p和p-2构成互质关系，比如17和15。
三、欧拉函数
请思考以下问题：
　　任意给定正整数n，请问在小于等于n的正整数之中，有多少个与n构成互质关系？（比如，在1到8之中，有多少个数与8构成互质关系？）
计算这个值的方法就叫做，以φ(n)表示。在1到8之中，与8形成互质关系的是1、3、5、7，所以 φ(n) = 4。
φ(n) 的计算方法并不复杂，但是为了得到最后那个公式，需要一步步讨论。
第一种情况
如果n=1，则 φ(1) = 1 。因为1与任何数（包括自身）都构成互质关系。
第二种情况
如果n是质数，则 φ(n)=n-1 。因为质数与小于它的每一个数，都构成互质关系。比如5与1、2、3、4都构成互质关系。
第三种情况
如果n是质数的某一个次方，即 n = p^k (p为质数，k为大于等于1的整数)，则
比如 φ(8) = φ(2^3) =2^3 - 2^2 = 8 -4 = 4。
这是因为只有当一个数不包含质数p，才可能与n互质。而包含质数p的数一共有p^(k-1)个，即1×p、2×p、3×p、...、p^(k-1)×p，把它们去除，剩下的就是与n互质的数。
上面的式子还可以写成下面的形式：
可以看出，上面的第二种情况是 k=1 时的特例。
第四种情况
如果n可以分解成两个互质的整数之积，
　　n = p1 × p2
　　φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)
即积的欧拉函数等于各个因子的欧拉函数之积。比如，φ(56)=φ(8×7)=φ(8)×φ(7)=4×6=24。
这一条的证明要用到，这里就不展开了，只简单说一下思路：如果a与p1互质(a&p1)，b与p2互质(b&p2)，c与p1p2互质(c&p1p2)，则c与数对 (a,b) 是一一对应关系。由于a的值有φ(p1)种可能，b的值有φ(p2)种可能，则数对 (a,b) 有φ(p1)φ(p2)种可能，而c的值有φ(p1p2)种可能，所以φ(p1p2)就等于φ(p1)φ(p2)。
第五种情况
因为任意一个大于1的正整数，都可以写成一系列质数的积。
根据第4条的结论，得到
再根据第3条的结论，得到
这就是欧拉函数的通用计算公式。比如，1323的欧拉函数，计算过程如下：
四、欧拉定理
欧拉函数的用处，在于。"欧拉定理"指的是：
如果两个正整数a和n互质，则n的欧拉函数 φ(n) 可以让下面的等式成立：
也就是说，a的φ(n)次方被n除的余数为1。或者说，a的φ(n)次方减去1，可以被n整除。比如，3和7互质，而7的欧拉函数φ(7)等于6，所以3的6次方（729）减去1，可以被7整除（728/7=104）。
欧拉定理的证明比较复杂，这里就省略了。我们只要记住它的结论就行了。
欧拉定理可以大大简化某些运算。比如，7和10互质，根据欧拉定理，
已知 φ(10) 等于4，所以马上得到7的4倍数次方的个位数肯定是1。
因此，7的任意次方的个位数（例如7的222次方），心算就可以算出来。
欧拉定理有一个特殊情况。
假设正整数a与质数p互质，因为质数p的φ(p)等于p-1，则欧拉定理可以写成
这就是著名的。它是欧拉定理的特例。
欧拉定理是RSA算法的核心。理解了这个定理，就可以理解RSA。
五、模反元素
还剩下最后一个概念：
如果两个正整数a和n互质，那么一定可以找到整数b，使得 ab-1 被n整除，或者说ab被n除的余数是1。
这时，b就叫做a的。
比如，3和11互质，那么3的模反元素就是4，因为 (3 × 4)-1 可以被11整除。显然，模反元素不止一个， 4加减11的整数倍都是3的模反元素 {...,-18,-7,4,15,26,...}，即如果b是a的模反元素，则 b+kn 都是a的模反元素。
欧拉定理可以用来证明模反元素必然存在。
可以看到，a的 φ(n)-1 次方，就是a的模反元素。
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好了，需要用到的数学工具，全部介绍完了。RSA算法涉及的数学知识，就是上面这些，下一次我就来介绍公钥和私钥到底是怎么生成的。
学习 Linux 时，经常可以看到两个词：User space（用户空间）和 Kernel space（内核空间）。
计算机硬件有两种储存数据的方式：大端字节序（big endian）和小端字节序（little endian）。
布尔代数是计算机的基础。没有它，就不会有计算机。
DNS 是互联网核心协议之一。不管是上网浏览，还是编程开发，都需要了解一点它的知识。}