（2013o湛江）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（3，4）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B、C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，﹣5）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有什么位置关系，并给出证明；
（3）在抛物线上是否存在一点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）由顶点式，利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）判断直线与圆的位置关系，关键是分析圆的半径r和圆心到直线距离d之间的大小关系．由题意可知d=2，由相似三角形求得r=4√26?&& ，因为2＞4√26?&& ，所以可判定抛物线的对称轴l与⊙C相离；
（3）本问是存在性问题．点P有两种情况，分别位于x轴上方与下方，需要分类讨论，注意不要漏解；在求点P坐标时，需要充分利用几何图形（等腰直角三角形）的性质，以及抛物线上点的坐标特征．
解：（1）设抛物线解析式为：y=a（x﹣3）2+4，
将A（0，﹣5）代入求得：a=﹣1，
∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣3）2+4=﹣x2+6x﹣5．
（2）抛物线的对称轴l与⊙C相离．证明：
令y=0，即﹣x2+6x﹣5=0，得x=1或x=5，∴B（1，0），C（5，0）．
如答图①所示，设切点为E，连接CE，由题意易证Rt△ABO∽Rt△BCE，
∴ ABBC&=OBCE?&&，即 √52+124&=1CE?&&，
求得⊙C的半径CE=4√26?&& ；
而点C到对称轴x=3的距离为2，2＞4√26?&& ，
∴抛物线的对称轴l与⊙C相离．
（3）存在．理由如下：&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
有两种情况：
（I）如答图②所示，点P在x轴上方．
∵A（0，﹣5），C（5，0），∴△AOC为等腰直角三角形，∠OCA=45°；
∵PC⊥AC，∴∠PCO=45°．
过点P作PF⊥x轴于点F，则△PCF为等腰直角三角形．
设点P坐标为（m，n），则有OF=m，PF=CF=n，
OC=OF+CF=m+n=5 ①
又点P在抛物线上，∴n=﹣m2+6m﹣5 ②
联立①②式，解得：m=2或m=5．
当m=5时，点F与点C重合，故舍去，
∴m=2，∴n=3，
∴点P坐标为（2，3）；
（II）如答图③所示，点P在x轴下方．
∵A（0，﹣5），C（5，0），∴△AOC为等腰直角三角形，∠OAC=45°；
过点P作PF⊥x轴于点F，
∵PA⊥AC，∴∠PAF=45°，即△PAF为等腰直角三角形．
设点P坐标为（m，n），则有PF=AF=m，OF=﹣n=OA+AF=5+m，
∴m+n=﹣5 ①
又点P在抛物线上，∴n=﹣m2+6m﹣5 ②
联立①②式，解得：m=0或m=7．
当m=0时，点F与原点重合，故舍去，
∴m=7，∴n=﹣12，
∴点P坐标为（7，﹣12）．
综上所述，存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形．点P的坐标为（2，3）或（7，﹣12）．这是个机器人猖狂的时代，请输一下验证码，证明咱是正常人~当前位置：
＞＞＞已知二次函数y=2x2-4x-6。（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；..
已知二次函数y=2x2-4x-6。（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积。
题型：解答题难度：中档来源：江苏期末题
解：（1）Δ=64， ∵Δ&0，∴该抛物线一定与x轴有两个交点； （2）顶点P（1，-5），交点A（3，0），B（-1，0） △ABP的面积=10。
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据魔方格专家权威分析，试题“已知二次函数y=2x2-4x-6。（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；..”主要考查你对&&二次函数的图像&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向：a&0时，抛物线开口向上；a&0时，抛物线开口向下；②有对称轴；③有顶点；④c 表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。 二次函数图像性质：轴对称：二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）。a,b同号，对称轴在y轴左侧b=0,对称轴是y轴a,b异号，对称轴在y轴右侧顶点：二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k )当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)^2+k。h=-b/2a， k=(4ac-b^2)/4a。开口：二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。当a&0时，二次函数图像向上开口；当a&0时，抛物线向下开口。|a|越大，则二次函数图像的开口越小。决定对称轴位置的因素：一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a&0,与b同号时（即ab&0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a&0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同号当a&0,与b异号时（即ab&0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a&0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab&0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab&0 ），对称轴在y轴右。事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。决定与y轴交点的因素:常数项c决定二次函数图像与y轴交点。二次函数图像与y轴交于（0,C）注意：顶点坐标为（h,k)， 与y轴交于（0,C)。与x轴交点个数：a&0;k&0或a&0;k&0时，二次函数图像与x轴有2个交点。k=0时，二次函数图像与x轴只有1个交点。a&0;k&0或a&0,k&0时，二次函数图像与X轴无交点。当a&0时，函数在x=h处取得最小值ymin=k，在x&h范围内是减函数，在x&h范围内是增函数（即y随x的变大而变小），二次函数图像的开口向上，函数的值域是y&k当a&0时，函数在x=h处取得最大值ymax=k，在x&h范围内是增函数，在x&h范围内是减函数（即y随x的变大而变大），二次函数图像的开口向下，函数的值域是y&k当h=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数。
发现相似题
与“已知二次函数y=2x2-4x-6。（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；..”考查相似的试题有：
186648424044211438908214551544195472ABCD中，两对角线交于点O，点E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，那么以图中的点为顶点的平行四边形有（
）个，请你在图中将它们画出来，它们分别是（
ABCD除外_百度作业帮
ABCD中，两对角线交于点O，点E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，那么以图中的点为顶点的平行四边形有（
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ABCD除外）
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如图所示，在△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，连接BE，AD，两线交于点F，问：(1)图中共有几个三角形？请分别表示出来．(2)△BDF的三个顶点分别是什么？三条边分别是什么？(3)AB边是哪些三角形的边？(4)点F是哪些三角形的顶点？
下面这道题和您要找的题目解题方法是一样的，请您观看下面的题目视频
如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC边上的两点，连结BE、AD交于点F.（1）图中有几个三角形，请表示出来；（2）△BDF的三个顶点是什么？三条边是什么？（3）AB边是哪些三角形的边？
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