2.3.4 平面向量共线的坐标表示学案(人教A版必修4)_百度文库
2.3.4 平面向量共线的坐标表示学案(人教A版必修4)
高一必修四教学合案
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
1．会推导并熟记两向量共线时坐标表示的等价条件；
2．能利用两向量共线的坐标表示解决有关综合问题。
3．通过学习向量共线的坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力.
教学重点： 向量共线的坐标表示及直线上点的坐标的求解．
教学难点： 定比分点的理解和应用．
1．两向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(1)当a∥b时，有________________．
(2)当a∥b且x2y2≠0时，有__________．即两向量的相应坐标成比例．
→→2．若P1P＝λPP2，则P与P1、P2三点共线．
当λ∈__________时，P位于线段P1P2的内部，特别地λ＝1时，P为线段P1P2的中点； 当λ∈__________时，P位于线段P1P2的延长线上；
当λ∈________时，P位于线段P1P2的反向延长线上．
设P(x，y)为线段P1P2上的一点，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
→→当P1P＝λPP2 (λ≠－1)时，求P点的坐标．
平面向量共线的坐标运算
例1 已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
回顾归纳 此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条件进行判断，特别是利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配．
→→变式训练1 已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断AB与CD是否共线？如果共
线，它们的方向相同还是相反？
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贡献者：我是阳光20
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必修4向量试题选(附答案).doc22页
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必修4向量试题选（一）（附答案）
一．填空题（共30小题）
1．已知向量 （x+z，3）， （2，yz），且⊥．若x，y满足不等式|x|+|y|≤1，则z的取值范围为　_________　．
2．异面直线l与m上的单位方向向量分别为，，且，则l与m的夹角的大小为　_________　°．
3．已知△ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且，则 　_________　．
4．已知O为△ABC的外心，|| 16，|| 10，若，且32x+25y 25，则|| 　_________　?
5．△ABC的外接圆圆心为O，且，则∠C等于　_________　．
6．设点P为△ABC的重心，若AB 2，AC 4，则 　_________　．
7．已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为平面ABC内任一点，动点P满足等式 [（1λ）+（1λ）+（1+2λ）]（λ∈R且λ≠0），则点P的轨迹一定通过△ABC的　_________　．
8．已知△ABC中，AB 3，AC 2，∠BAC 120°，点O是△ABC的外心，且，则λ+μ 　_________　．
9．设点O是△ABC的三边中垂线的交点，且AC22AC+AB2 0，则的范围是　_________　．
10．直线tx+y+3 0与圆x2+y2 4相交于A、B两点，若，则实数t的范围　_________　．
11．已知圆O的半径为1，圆心为（2，3），P为x轴上的动点，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为两切点，则的最小值为　_________　．
12．已知圆x2+y2+2x6y+m 0与x+2y5 0交于A，B两点，O为坐标原点，若 0，则实数m 的值为　_________　．
13．已知抛物线C1：y2 2px和圆，其中p＞0，直线l经过C1的焦点，依次交C1，C2于A，B，C，D四点，则的值为　_________　．
14．如图，过抛物线y2 4x焦点的直线依次交抛物线与圆（x1）2+y2 1于A，B，C，D，则? 　_________　．
15．在△ABC中，若，那么点O是△ABC的　_________　．（填：外心、内心、重心、垂心）
16．已知O为△ABC外接圆的圆心，AB AC 2，若，且x+2y 1，则△ABC的面积等于　_________　．
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高一数学必修4第二章平面向量测试题(含答案)
　　必修4第二章平面向量教学质量检测　　姓名： & & & & &班级： & & & & 学号： & & & &得分：　　一。选择题（5分×12=60分）：　　1.以下说法错误的是（ & &）　　A.零向量与任一非零向量平行 & & B.零向量与单位向量的模不相等C.平行向量方向相同 & & & & & & &D.平行向量一定是共线向量2.下列四式不能化简为AD的是（ &）A. & & &B. （AB＋CD）＋BC；（AD＋MB）＋（BC＋CM）；C. & & & D. ＋3.已知=（3，4），=（5，12），与 则夹角的余弦为（ & & ）A.63 & & & & & & & & &B. & & & & & C. & & & & & & & & D. 6554. 已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a+ 3b| =（ & ）A.7 B.　　C. & & & & D.4　　5.已知ABCDEF是正六边形，且AB＝a，AE＝b，则BC＝（ & &）（A）1（ab）（B） （ba）（C） a＋b （D） （ab） 1116.设a，b为不共线向量，AB ＝a+2b,BC＝4ab,CD＝5a3b,则下列关系式中正确的是 & （ & & & ）（A）AD＝BC （B）AD＝2BC &（C）AD＝BC（D）AD＝2BC7.设e1与e2是不共线的非零向量，且ke1＋e2与e1＋ke2共线，则k的值是（ & &）（A） 1 & & （B） 1 & & （C） 1 & （D） 任意不为零的实数8.在四边形ABCD中，AB＝DC，且ACBD＝0，则四边形ABCD是（ & ）（A） 矩形 （B） 菱形 &（C） 直角梯形 & &（D） 等腰梯形9.已知M（2，7）、N（10，2），点P是线段MN上的点，且PN＝2PM，则P点的坐标为（ & &）（A） （14，16）（B） （22，11）（C） （6，1） （D） （2，4）10.已知a＝（1，2），b＝（2，3），且ka+b与akb垂直，则k＝（ & ） &1（A） 12（B） 21（C） 23（D） 32　　11、若平面向量a（1,x）和b（2x3,x）互相平行，其中xR.则ab（ & &）A. &2或0；B. & & & &C. &2　　或 & & D. 2或10.　　12、下面给出的关系式中正确的个数是（ & ）22① 0a0②abba③aa④（ab）ca（bc）⑤abab（A） 0 & & & & & & &（B） 1 & & & & & & & （C） 2 & & & & & & （D） 3二。 填空题（5分×5=25分）：　　13.若（3,4），Ａ点的坐标为（２，１），则Ｂ点的坐标为。　　14.已知a（3,4），b（2,3），则2|a|3ab. 15、已知向量a3,b（1,2），且ab，则a的坐标是_________________。　　16、ΔABC中，A（1,2），B（3,1），重心G（3,2），则C点坐标为________________。　　17.如果向量 与b的夹角为　　θ，那么我们称 ×　　b为向量 与b　　的“向量积”， ×b是一个向量，它的长度| ×b|=| ||b|sinθ，如果| |=4, |b|=3, b=-2，则| ×b|=___________18、（14分）设平面三点A（1，0），B（0，1），C（2，5）。　　（1）试求向量2＋的模； & & & & & （2）试求向量与的夹角； （3）试求与BC垂直的单位向量的坐标。　　19.（12　　分）已知向量 =　　, 求向量b，使|b|=2| |　　，并且 与　　b的夹角为 。　　20. （13分）已知平面向量a（，1），b（，1）。若存在不同时为零的实数k和t,使 &22（t23），kt,且。　　2　　（1）试求函数关系式k=f（t）　　（2）求使f（t）>0的t的取值范围。　　21.（13分）如图，　　=（6,1）， ，且　　。　　（1）求x与y间的关系； （2）若　　，求x与y的值及四边形ABCD的面积。　　22.（13分）已知向量a、b是两个非零向量，当a+tb（t∈R）的模取最小值时，（1）求t的值（2）已知a、b共线同向时，求证b与a+tb垂直　　3　　参考答案　　一、选择题：1C、2C、3A、4C、5D、6B、7C、8B、9D、10A、11C、12C、二。 填空题（5分×5=25分）：　　6，35）或（63） &13.（　　16 （5，3）三。 解答题（65分）：　　18、 （1）∵ &＝（01，10）＝（1，1），＝（21，50）＝（1，5）。 ∴ &2＋＝2（1，1）＋（1，5）＝（1，7）。　　22∴ &|2＋|＝（1）7＝50.　　22（2）∵ &||＝（1）1＝2.||＝252＝26， 5555＝（1）×1＋1×5＝4.　　∴ &cos &＝4　　226＝2. 13　　（3）设所求向量为＝（x，y），则x2＋y2＝1. &①又 &＝（20，51）＝（2，4），由⊥，得2 x ＋4 y ＝0. &②2525xx55 & &∴ （2，）或（25，）由①、②，得或5555y5.y.55即为所求。　　19.由题设　　,得 , 设 b= . & ∴ , 则由 ,　　解得 sinα=1或 。　　当sinα=1时，cosα=0；当　　故所求的向量　　时， 。 &。 &或 4　　20.解：（1）xy,xy0.即[（at23）b]（katb）0.　　0,24,21,4kt（t23）0,即k1　　4t（t23）。　　1t（t23）0,即t（t）（t3）0,则3t0或t & （2）由f（t）>0,得4.　　21.解：（1）∵　　，　　∴ 由　　，得x（y-2）=y（4+x）， x+2y=0.　　（2） 由　　=（6+x, 1+y），　　。　　∵　　, ∴（6+x）（x-2）+（1+y）（y-3）=0, 又x+2y=0, &∴或∴当　　时，　　，　　当　　时，　　。　　故　　同向，　　22.解：（1）由（atb）2|b|2t22abt|a|2 当t2ab2|b|2|a||b|cos（是a与b的夹角）时a+tb（t∈R）的模取最小值（2）当a、b共线同向时，则0，此时t|a||b|∴b（atb）batb2ba|a||b||b||a||a||b|0∴b⊥（a+tb）5必修4第二章平面向量教学质量检测　　姓名： & & & & &班级： & & & & 学号： & & & &得分：　　一。选择题（5分×12=60分）：　　1.以下说法错误的是（ & &）　　A.零向量与任一非零向量平行 & & B.零向量与单位向量的模不相等C.平行向量方向相同 & & & & & & &D.平行向量一定是共线向量2.下列四式不能化简为AD的是（ &）A. & & &B. （AB＋CD）＋BC；（AD＋MB）＋（BC＋CM）；C. & & & D. ＋3.已知=（3，4），=（5，12），与 则夹角的余弦为（ & & ）A.63 & & & & & & & & &B. & & & & & C. & & & & & & & & D. 6554. 已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a+ 3b| =（ & ）A.7 B.　　C. & & & & D.4　　5.已知ABCDEF是正六边形，且AB＝a，AE＝b，则BC＝（ & &）（A）1（ab）（B） （ba）（C） a＋b （D） （ab） 1116.设a，b为不共线向量，AB ＝a+2b,BC＝4ab,CD＝5a3b,则下列关系式中正确的是 & （ & & & ）（A）AD＝BC （B）AD＝2BC &（C）AD＝BC（D）AD＝2BC7.设e1与e2是不共线的非零向量，且ke1＋e2与e1＋ke2共线，则k的值是（ & &）（A） 1 & & （B） 1 & & （C） 1 & （D） 任意不为零的实数8.在四边形ABCD中，AB＝DC，且ACBD＝0，则四边形ABCD是（ & ）（A） 矩形 （B） 菱形 &（C） 直角梯形 & &（D） 等腰梯形9.已知M（2，7）、N（10，2），点P是线段MN上的点，且PN＝2PM，则P点的坐标为（ & &）（A） （14，16）（B） （22，11）（C） （6，1） （D） （2，4）10.已知a＝（1，2），b＝（2，3），且ka+b与akb垂直，则k＝（ & ） &1（A） 12（B） 21（C） 23（D） 3211、若平面向量a（1,x）和b（2x3,x）互相平行，其中xR.则ab（ & &）A. &2或0；B. & & & &C. &2　　或 & & D. 2或10.　　12、下面给出的关系式中正确的个数是（ & ）22① 0a0②abba③aa④（ab）ca（bc）⑤abab（A） 0 & & & & & & &（B） 1 & & & & & & & （C） 2 & & & & & & （D） 3二。 填空题（5分×5=25分）：　　13.若（3,4），Ａ点的坐标为（２，１），则Ｂ点的坐标为。　　14.已知a（3,4），b（2,3），则2|a|3ab. 15、已知向量a3,b（1,2），且ab，则a的坐标是_________________。　　16、ΔABC中，A（1,2），B（3,1），重心G（3,2），则C点坐标为________________。　　17.如果向量 与b的夹角为　　θ，那么我们称 ×　　b为向量 与b　　的“向量积”， ×b是一个向量，它的长度| ×b|=| ||b|sinθ，如果| |=4, |b|=3, b=-2，则| ×b|=___________18、（14分）设平面三点A（1，0），B（0，1），C（2，5）。　　（1）试求向量2＋的模； & & & & & （2）试求向量与的夹角； （3）试求与BC垂直的单位向量的坐标。　　19.（12　　分）已知向量 =　　, 求向量b，使|b|=2| |　　，并且 与　　b的夹角为 。　　20. （13分）已知平面向量a（，1），b（，1）。若存在不同时为零的实数k和t,使 &22（t23），kt,且。　　2　　（1）试求函数关系式k=f（t）　　（2）求使f（t）>0的t的取值范围。　　21.（13分）如图，　　=（6,1）， ，且　　。　　（1）求x与y间的关系； （2）若　　，求x与y的值及四边形ABCD的面积。　　22.（13分）已知向量a、b是两个非零向量，当a+tb（t∈R）的模取最小值时，（1）求t的值（2）已知a、b共线同向时，求证b与a+tb垂直　　3　　参考答案　　一、选择题：1C、2C、3A、4C、5D、6B、7C、8B、9D、10A、11C、12C、二。 填空题（5分×5=25分）：　　6，35）或（63） &13.（　　16 （5，3）三。 解答题（65分）：　　18、 （1）∵ &＝（01，10）＝（1，1），＝（21，50）＝（1，5）。 ∴ &2＋＝2（1，1）＋（1，5）＝（1，7）。　　22∴ &|2＋|＝（1）7＝50.　　22（2）∵ &||＝（1）1＝2.||＝252＝26， 5555＝（1）×1＋1×5＝4.　　∴ &cos &＝4　　226＝2. 13　　（3）设所求向量为＝（x，y），则x2＋y2＝1. &①又 &＝（20，51）＝（2，4），由⊥，得2 x ＋4 y ＝0. &②2525xx55 & &∴ （2，）或（25，）由①、②，得或5555y5.y.55即为所求。　　19.由题设　　,得 , 设 b= . & ∴ , 则由 ,　　解得 sinα=1或 。　　当sinα=1时，cosα=0；当　　故所求的向量　　时， 。 &。 &或 4　　20.解：（1）xy,xy0.即[（at23）b]（katb）0.　　0,24,21,4kt（t23）0,即k1　　4t（t23）。　　1t（t23）0,即t（t）（t3）0,则3t0或t & （2）由f（t）>0,得4.　　21.解：（1）∵　　，　　∴ 由　　，得x（y-2）=y（4+x）， x+2y=0.　　（2） 由　　=（6+x, 1+y），　　。　　∵　　, ∴（6+x）（x-2）+（1+y）（y-3）=0, 又x+2y=0, &∴或∴当　　时，　　，　　当　　时，　　。　　故　　同向，　　22.解：（1）由（atb）2|b|2t22abt|a|2 当t2ab2|b|2|a||b|cos（是a与b的夹角）时a+tb（t∈R）的模取最小值（2）当a、b共线同向时，则0，此时t|a||b|　　∴b（atb）batb2ba|a||b||b||a||a||b|0　　∴b⊥（a+tb）　　5
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