[转载]数学史料荟萃
数学史料荟萃(一)&&
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在大多数学科中，后一代人往往撕毁了前一代人所建立的成就。但在数学中，每一代人都是在老的结构上建立新的成果。（Hermann
如果试图使一个学科与其历史相分离，那么，没有哪一个学科比数学的损失更大。（J.
W. Glaisher）
如果我们想要预见数学的未来，适当的途径是研究这门科学的历史与现状。（Poncare）
1．进位制：10进位制，无论是理论上，或是实际上；无论是过去，现在，或是将来；均非唯一的进位制。
澳洲东部昆士兰人用2进制；阿根廷火地岛部落用3进制；南美一些部落用5进制，德国农民日历，直到1800年，还用5进制；一些非洲土人用6进制；英国度量衡用12进制；古玛雅人，美洲印地安人，克尔特人，格陵兰人用20进制；古巴比伦人用60进制。美国现有12进位制协会。也有不少部落用混合进位制。
2．埃及用“双倍和调停法”求乘积。例：由&&
66*& 132&&
264*& 528*
得 26&33=66+264+528=858。
其原理是利用数的二进位制表示：
3．《孙子算经》（4世纪）最早研究不定方程与同余式的解。
例题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”。
明代程大位《直指算法统宗》用诗表达解法：
三人同行七十稀，五树梅花廿一枝；
七子团圆正半月，除百零五便得知。
该算法又称“隔墙算”，“剪管术”，“秦王暗点兵”，“韩信点兵”，“大衍求一术”，“鬼谷算”；现称“孙子定理”，“中国剩余定理”。古印度有题：“篮中有蛋，每次取2个，剩1个；每次取3个，剩2个；每次取4个，剩3个；每次取5个，剩4个；每次取6个，剩5个；每次取7个，刚好取完。问：篮中有多少蛋？”属这类。
4．《九章算经》有题：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数，物价各几何？”。今称“盈不足术”。阿拉伯人称“震旦算法”。（古印度人称中国为“震旦”）
&《唐阙史》载：杨损出题“有人在林中散步，听贼谈分赃——每人分6匹布，剩5匹；每人分7匹，差8匹。问：有几个贼？偷了几匹布？”考待提拔的官吏。亦用盈不足术解。
5．亲和数：两个数中任一个的真约数和等于另一个，则这两个数称为一对亲和数。如284与220（毕达哥拉斯），1（费马，1636），（Niccolo
Paganini，1866时16岁得）。
完全数：一个数，若与它的真约数和相等，则称为完全数。如6，28，496，……
亲和数链：如1，1，14264（法国，P. Poulet）
1965年，滑铁卢大学的K. D.
Fryer发现以14316开头的28环的亲和数链及两个4-链：16，60，05184。
6．形数：三角形数：1，3，6，10，……
正方形数：1，4，9，16，……
五边形数：1，5，12，22，……
可用纯几何法证：（1）任一正方形数是两个相继三角形数之和。
（2）第N个五边形数是第（N-1）个三角形数的3倍与N之和。（毕达哥拉斯）
（3）从1开始，任意多个相继的奇数和为完全平方。
如果一条线段被分成两部分，则以整条线段为边的正方形等于分别以这两部分为边的正方形及以这两部分为边的矩形的2倍之和（欧几里得）。
幻方：《周易》：“河出图，洛出书，圣人则之。”《大戴礼记》：“二九四七五三六一八”。此为三阶幻方。
杨辉在《续古摘奇算法》归纳三阶幻方的作法为“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出。”
艺术家丢勒在木刻《忧郁》中有四阶幻方：
具有性质：（1）顶上两行数的平方和等于底下两行数的平方和。
（2）第1，3行数的平方和等于第2，4行数的平方和。
（3）对角线上数的和等于不在对角线上数的和。
（4）对角线上数的平方和等于不在对角线上数的平方和。
（5）对角线上数的立方和等于不在对角线上数的立方和。
（6）嵌创作年份1514于正中。
阿尔克温（八世纪）《活跃思想的问题》有题：（1）把100蒲式尔谷物分给100人。每一个男人3蒲式尔，每一个女人2蒲式尔，每一个小孩半蒲式尔。问：男人，女人，小孩各有几个？
（2）有30个瓶子，10个满的，10个全空，10个半空，把它们分给三个儿子。问：怎样才能使每个儿子分到的瓶子与容纳的东西都相等？
（3）船夫，狼，山羊，白菜过河。
（4）狗追兔子，开始时，相距150尺，狗每次跳9尺，兔子每次跳7尺。问：跳几次，狗才能追上兔子？
菲波那契《算盘书》有题：（1）若A从B得7个银币，则A的银币是B的5倍，若B从A得5个银币，则B的银币是A的7倍。问：A与B原来各有多少银币？
（2）一个人留给他的长子1个金币和余下的1/7；从剩余的金币中，次子得2个金币和余下的1/7；三子再从剩余的金币中得3个金币和余下的1/7；依次下去，最后一个儿子得余下的全部。并且，每个儿子得到的金币一样多。问：这人有多少个儿子，多少金币？
& （3）菲波那契数列。
丘凯在《算术三篇》（1484）提出“平均值法则”：若A，B，C，D是正数，则（A+B）/（C+D）介于A/C与B/D之间。
12. 塔尔塔利亚的三夫妇过河问题。（见“数学游戏”）
腓特烈大帝（）提出“36军官问题”：“6支部队6种军阶的共36名军官，能否排成6行6列，使每行每列都有各部队，各军阶的代表？”此问题欧拉也无法解决。到1902年，才被名不见经传的塔利解决：不可能！
腓特烈大帝邀请拉格朗日到柏林科学院工作，在邀请信上写道：
“必须让欧洲最伟大的几何学家与最伟大的国王住在一起。”
拉格朗日证明了“四平方数定理”：任一个正整数能表示成四个整数的平方之和。
俄罗斯诗人莱蒙托夫数学游戏（1841）：想一个数，加25，再加125，减37，再减你想的数，乘以5，除以2。必得282.5。此为恒等式的应用。
范得蒙特于1771年得国际象棋盘上骑士（马）的哈密顿圈：马从棋盘的某一格出发，经棋盘的每一格一次，而且仅一次，最后，回到原地。
此问题是泰勒最早提出的。
瑙克(Franz
Nauck)于1850年提出“八后问题”，在棋盘上放置八个“后”，使得她们不会相互攻击。高斯认为有96种放法。实际上仅有92种。智者千虑，难免一失。
维纳获哈佛大学博士学位时，有人问他几岁，他回答：岁数的立方是4位数，岁数的4次方是6位数，这10位恰含0，1，2，3，4，5，6，7，8，9各一次。
希腊数学家普洛克拉斯（410-485）：“哪里有数，哪里就有美。”
19世纪，卢卡斯发现一些美丽的数字梯形，其一如：
12&9+3=111
123&9+4=1111
+7=1111111
布累策在《数学游览》（1969）证明：不能把5/121表示成两个“单位分数”之和。并发现：5/121=1/25+1/759+1/208725。但不知上式中的最大分母208725能否减小。
江西钢厂的医护人员王晓明发现：
5/121=1/33+1/121+1/363
=1/27+1/297+1/1089
=1/33+1/91+1/33033。
&17世纪，惠更斯，巴斯卡，费尔马讨论：两人设赌局，规定：先胜6局者赢全部赌金。现甲胜了5局，乙胜了2局，他们不再赌了。问：如何分赌金才比较合理？
处处留心皆学问。现代数学家卡普雷卡偶然发现铁路的里程碑“3025”被雷击而一分为二：30与25。他注意到：30+25=55，55&55=3025。这样的数还有。如：。现称这样的数为卡普雷卡数。
21．“数学游戏界三剑客”：杜德尼，洛伊德，加德纳。
杜德尼提出过如下问题：一根尺子，只有k个刻度，但可以量出长度为1,2,3,…,t的所有线段，t的最大值T(k)是多少？现已知：
他还提出“囚徒放风问题”：9个囚徒放风时分3组，每组3人。3人铐在一起，中间一人分别与两边的人共用一付手铐。问：如何安排，使得在6天中，任两个犯人恰有一次共用一付手铐。
洛伊德曾设“移动15”骗局。
他还提出“种树问题”：种20棵树，使每条线上有4棵。最多能安排几条线？
加德纳，在1966年，听美国36任总统约翰逊（LYNDON& B.
JOHNSON）演讲时，即兴编一道覆面算题：LYNDON&B= JOHNSON。
1993年，日本的桥本吉彦提出：分别用1，2，3，4，5，6，7，8，9 代下式的9个*，使
。桥本吉彦得一解，现用计算机得全部的10个解。
24．华罗庚：“发奋早为好，苟晚休嫌迟；最忌不努力，一生都无知。”
苏步青：“为学应须毕生力，攀高贵在少年时。”
25．“要是没有数学语言，宇宙几乎是不可描述的！”（1965年诺贝尔物理学奖获得者R. Feynman）
26．连锁店创始人康拉得·希尔顿：“我不想力图使人相信，微积分，或甚至代数与几何，乃旅馆经营所必需。但我要长期大声疾呼，它们绝不是钉在普通教育上的无用装饰物。对我来说，在任何情况下，迅速系统地阐述问题，把每个问题归结为最为简单明了的形式，是特别有用的。为发展这一过程所必须的脑力活动，高等数学是最佳可能的锻炼。全面的数学智能的训练，可以防止任何一种趋势被一些不相干的东西搅得模糊不清，或引入歧途。”
27．对平面上的多边形，过一顶点的角，不足
的部分，称为其外角。任何多边形的外角和是2 。
对空间中的多面体，过一顶点的所有面角之和不足
的部分称为其亏量。任何凸多面体所有顶点的亏量和为 。
28．孪生素数：
到1996年，已知共有对小于 的孪生素数。
30．Gottfried Leibniz
曾错误地认为，两个骰子掷出11点与12点的概率相等。实际上，前者是1/18，后者仅1/36。
31．Ivar Ekeland
的书《裂开的骰子》（芝加哥大学出版社，1993）：两位北欧国王通过掷骰子决定一个岛屿的归属。瑞典国王掷出两个6；奥拉夫国王掷出一个6，另一个裂开，出现1与6。
32．Juniper Green
游戏：卡片编号1——100，两人轮流取卡片，取出后不能放回，也不能再用；第一步必须取偶数；除第一步，所取卡片数字必须是刚取卡片数字的倍数或约数；无法选取者输。
33．Richard Padovan
(建筑师)数：P（0）=P（1）=P（2）=1，P（n+1）=P(n-1)+P(n-2)。R.Perrin数(1899)：A（0）=3，A（1）=0，A（2）=2，A(n+1)=A(n-1)+A(n-2)。
34．E=3，I=-4，R=-6，V=-3，F=9，L=0，S=-1，W=7，G=6，N=5，T=2，X=11，H=1，O=-7，U=8，Z=10使ZERO——TWELVE表示真数。如ZERO=10+3+（-6）+（-7）=0，TWO=2+7+（-7）=2，TWELVE=2+7+3+0+（-3）+3=12。但THIRTEEN=2+1+（-4）+（-6）+2+3+3+5=6。
35．3x+1问题：对正整数N，若N是偶数，变为N/2；若是奇数，变为3N+1。猜测：任何正整数，经有限次变换，必能变为1。变为1的最少次数，称为其路径长。变的过程中取得的最大数，称为其最大值。
N&&&&&&&&&&
路径长&&&&&&&&
1&&&&&&&&&&&
0&&&&&&&&&&&&&
2&&&&&&&&&&&
1&&&&&&&&&&&&&
3&&&&&&&&&&&
7&&&&&&&&&&&&&
7&&&&&&&&&&&
16&&&&&&&&&&&&
15&&&&&&&&&&
17&&&&&&&&&&&&
27&&&&&&&&&&
111&&&&&&&&&&
255&&&&&&&&&
47&&&&&&&&&&&&
447&&&&&&&&&
97&&&&&&&&&&&&
639&&&&&&&&&
131&&&&&&&&&&&
703&&&&&&&&&
170&&&&&&&&&&&
1819&&&&&&&&
161&&&&&&&&&&&
4255&&&&&&&&
201&&&&&&&&&&&
4591&&&&&&&&
170&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&184&&&&&&&&&&&
20895&&&&&&&
255&&&&&&&&&&&
26623&&&&&&&
307&&&&&&&&&&&
31911&&&&&&&
160&&&&&&&&&&&
60975&&&&&&&
334&&&&&&&&&&&
77671&&&&&&&
231&&&&&&&&&&&
大学的米田信夫对 的正整数进行验证，猜测成立。
1976年，Fred Gruenberger
找到52个连续正整数，路径长相等。
考克斯、爱尔特希、施威茨分别悬赏50、500、1000美元，对这猜测征解。
36．1909年，Z.
Moron发现用边长1、4、7、8、9、10、14、15、18的正方形可彻成32&33的矩形。
1940年，R. L.
Brooks证明：至少要9个矩形才能组成正方形。且仅有两种，另一边长分别是2，5，7，9，16，25，28，33，36。
1930年，鲁金曾认为正方化正方形不存在。
1939年，R. Sprague
用55个大小不同的正方形组成一个正方形。1940年，剑桥大学三一学院的大学生R. L. Brooks， C. A. B.
Smith ，A. H. Stone 与W. T. Tutte
发现网络法正方化；并用28个大小不同的正方形组成一个正方形。1948年，T. H. Willcocks
用24个大小不同的正方形组成一个正方形；J. W. Bouwkamp 列出所有15个以下的正方化矩形，共3663种。
1962年荷兰特温特技术大学的A. W. J. Duivestijn
证明：正方化正方形至少要用21个正方形。
1978年，他发现一个用21个大小不同的正方形组成一个正方形并证明这是唯一的。
1992年，J. W. Bouwkamp与A. W. J.
Duivestijn列出所有21——25个以下的正方化正方形。
37．Colomb尺：一根尺子，只有k个刻度，但可以量出的长度是全不相同的整数，尺长的最小值：
已知最短尺
1，4，9；2，7，8
1，4，10，15；1，4，10，12
1，8，11，13；1，8，12，14
1，4，10，18，23；1，7，11，20，23
1，11，16，19，23；2，3，10，16，21；
2，7，13，21，22
1，4，9，15，22，32
1，5，12，25，27，35，41
1，6，10，23，26，34，41，53
1，4，13，28，33，47，54，64，70
1，9，19，24，31，52，56，58，69
38．RSA（Ronald Rivest(1948-)，Adi
Shamir(1952-)， Leonard
Adleman(1945-)，1977年发表《获得数字象征和公共字钥保密系统的一种方法》）码：公开密钥N（大数）与E（小数）；信息M；M连乘E次，用N除，得余数C；发C；收到C，连乘D（秘密）次，用N除，得余数，即M。
编码秘密：选大素数P，Q；N=PQ，选E，D，使ED-1是（P-1）（Q-1）的倍数，且E与P-1、Q-1均互素。
编码原理是Fermat小定理
1990年，三位发明家创办RSA数据保安公司。
《科学美国人》悬赏100美元，破译129
位数字钥，1994年，24个国家，600位志愿人员，每人数台计算机，合作8个月破译129位数字钥。
39．《数学评论》每年收录的，涉及50000位数学家的工作。
40．1850年，Franz Nauck提出“
n后问题”：n行n列棋盘放n个后，使得她们不会互相攻击，放法数是多少。1969年，E. J.
Hoffman证明：当n&3时，n后问题均有解，且解数如下：
41．捷克的维德曼，1489年用+、—表示加、减。
Euler，1737年，用 表圆周率；用e；1777年, 用
i表虚数单位。
笛卡尔，首用x,y,z表未知数。
Oughtred()，1631年用&表乘法。日，莱布尼茨给雅可布 贝努里信提议用
表乘，以免与X混。
Robert Recorde用 =表等号(1557)。
阿拉伯人海塞尔于12世纪用分数线，1845年，德摩根用/。
1492年，法国的佩洛斯用小数点。
1901年，庞加来与波莱尔用》，《表“远大于”与“远小于”。
1608年，克拉维乌斯用（ ），约翰 贝努里用[ ]。
1841年，魏尔斯特拉斯用绝对值符号。
1808年，克拉姆用阶乘符号。
1557年，德国的鲁多尔夫用根号。
43．拉丁方：A1&
D4& C2& B1&
C3& D1& A2&
&&&&&&&&&&
B2& A4& D3&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&
帕克找到：
44．幻方：富兰克林八阶幻方：
每半行、列和130；四角、中心四数和260；倒V八数和260。
巴尔（美）七阶泛对角线幻方：
每两条平行于主对角线的相应直线上的数和175。
片桐善直（日）八阶间隔幻方：
有富兰克林幻方性质，及间隔性得两小四阶幻方。
弗里安逊九阶幻方：
中心奇数成一5阶和4阶幻方（斜，和205，164）。
奇数，偶数末位对称。
& 幻立方：
4阶幻立方不存在，5，6阶是否存在，尚未知，7，8阶已作出，后者是一位中学生于1970年作出的。
47．累1数(repunit)I(n)：丹尼尔·贝努里首先研究，1773年，分解至n=311（除n=11，17，19未分解，n=20，25，27未分解彻底，n=22，24，26分解错）。
1838年，韦斯特·别尔格分解n=11。
1879年，法国的埃都阿德
·刘卡分解n=17，并证n=19时，是素数。1929年，证n=23时是素数。
1978年，威廉斯证n=317时是素数。
1985年，美国Monitoba大学的Williams证n=时是素数。
威廉斯与西赫于1979定义 ，如下情况下，W为素数：
3, 7, 13, 71, 103, 541
3, 7, 11, 13, 47, 127, 149, 181, 619,
2, 3, 7, 29, 71, 127, 271, 509
5, 13, 131, 149
17, 19, 73, 139, 907
2, 3, 5, 19, 97, 109, 317, 353
48．1943年，爱尔兰发行一张邮票纪念Hamilton发现四元数100周年；Thomas
Hill说：“1843年，哈密尔顿的四元数的伟大数学的诞生，对于人类所带来的真正利益和维多利亚女皇朝代的任何大事件一样。”
希腊在1955年发行一张邮票：由三个棋盘（边长分别为3，4，5）排列而成，纪念毕达哥拉斯发现勾股定理2500周年。
尼加拉瓜也发行一张邮票纪念毕达哥拉斯发现勾股定理。
，印度发行一张邮票纪念Srinivasa
&Ramanujan (—)诞生75周年。
巴西发行一张邮票，以麦比乌斯带为图案。
德国发行一张邮票以高斯为图案，瑞士发行一张邮票以欧拉为图案，法国发行一张邮票以帕斯卡为图案，罗马尼亚发行一张邮票以波尔约为图案。
50．P.Erdos,
1935年发现不等式：三角形内任一点到三顶点的距离和不小于到三边距离和的两倍；等号成立当且仅当三角形为正三角形且点为中心；1937年，
L.J.Mordell 与D.R.Barrow给非初等证明； 1945年，D.K.Kazarinoff用初等方法证。
数学史料荟萃（二）&&
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1．“中学几何几乎全部取材于公元前300年左右的欧几里德；三角学在1800年前，希腊的天文学家已充分发展了。”
“中学里所教的数学，没有什么东西是1800年以后发现的。”（Jean
Dieudonne）
2．美《职业展望季刊》：假如求职目标已经确立，那么要学多少中学数学是容易决定的。但是，选修似乎太多的数学比太少好。职业计划发生变化，在接受新的教育或训练目标时最大的绊脚石之一就是数学准备太差。而且，掌握数学较多的人不仅适合于更多的工作，他们也能更好地完成自己的任务。
3．1962年，美《数学教师》发表由65位数学家签名的备忘录：数学家为反抗可能强调教学法而牺牲内容的职业教育家对教育的统治地位，现在可能强调内容而牺牲教学法，同样是效果不好的。数学家们可能不自觉地认为，所有年轻人都喜爱当代数学家喜爱的东西。&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
5．1919年，波利亚提出：不超过N的正整数中，有奇数个素约数的，不少于有偶数个素约数的。1980年，有人发现，当N=时，波利亚猜测不成立。
8．“对称”素数：1980年11月的Crux
Mathematicorum发表全部93个五位“对称”素数，668个七位“对称”素数。该杂志编辑Leo
Sauve给出九位“对称”素数，并认为共有5172个九位“对称”素数。
显然，偶数位“对称”素数仅11；三位“对称”素数有15个。
回文素数：Card经计算发现：有4对2位回文素数，有13对3位回文素数，有102对4位回文素数，有684对5位回文素数。
9．前苏联数学家柯尔莫哥洛夫从数学角度研究诗歌节奏，形成“艺术计量学”；法国美学家科恩(J.Kohn)利用数理统计研究诗歌语言结构。D.J.Struik创立数学社会学（
Sociology of
Mathematics）。“数学社会学，研究社会组织形式对数学概念、方法的起源与发展的影响，以及数学作为某一时代社会、经济结构的一部分所起的作用。”
10．《九章算术》（纪元前后）提出求最大公约数的方法：“以少减多，更相减损，求其等也。”
Steiner()，被誉为现代的阿波罗尼，日记有一段：“日，星期六，思考3+3+4小时，凌晨一时得解。”发现反演变换。
12．Emanuel
Lasker(),德国棋手，棋艺理论家，研究抽象代数系统有成就，1902年获博士学位，1894年成为历史上第二位国际象棋世界冠军，并保持此称号达27年之久。
13．美国诗人（H.W.Longfellow,）在他的小说《卡瓦纳》（Kavanagh）从印度梵文引进几则数学趣题，如：“有一群蜜蜂，1/5落在杜鹃花上，1/3落在栀子花上，数目为这二者差数的3倍的蜜蜂飞向一根树枝搭成的棚架，最后只剩一只小蜜蜂，在芬香的茉莉花和玉兰花之间飞来飞去。试问：共有多少只蜜蜂？”（15只）
又如：“睡莲露出水面10英寸，把它拉向一边，它会在离原处21英寸的一点浸没水中。试问：水深多少？”
Loyd（-），1882年，提供1000美元解题：“用4，5，6，7，8，9，0及八个点（可作小数点，也可作循环小数的记号），组成几个数，使和尽量接近82。”
15．史密斯数：数字和等于全部素约数的数字和。如4、22、27。在十万之内，有3300个史密斯数。密苏里大学的韦恩·
麦克丹尼尔证明：有无限多史密斯数。
19．法格逊统计威廉
·向克斯（）算出的圆周率前608位：
法格逊觉得有疑，重算，发现第528位起错了。
1973年，让 ·盖伊与芳丹娜小姐统计圆周率前一百万位：
20．1797年，拿破仑参观国立卢森堡小学，答应每年送一束价值3金路易的玫瑰花，做为两国友谊的象征。1894年，卢森堡王国提出“玫瑰花悬案”，达到375596法朗。
Franklin()立遗嘱：“1000英镑赠给波士顿居民，如果他们接受了这1000英镑，那么，这笔钱应该托付给一些挑选出来的公民，他们得把这钱按每年5%的利率借给一些年轻的手工业者去生息，这样子过了100年，增加到131000英镑。我希望，那时，用100000英镑建立一所公共建筑物，剩下31000英镑拿去继续生息100年，在第二个100年末了，这笔钱增加到4061000英镑，其中1061000英镑还是由波士顿居民来支配，其余的3000000英镑让马萨诸塞州的公民来管理。过此以后，我可不敢多说什么了。”
富兰克林利用放风筝而感受到电击，从而发明了避雷针．这位美国著名的科学家死后留下了一份有趣的遗嘱：
“……一千英磅赠给波士顿的居民，如果他们接受了这一千英磅，那幺这笔钱应该托付给一些挑选出来的公民，他们得把这些钱按每年5％的利率借给一些年轻的手工业者去生息．这些款过了
100年增加到
131000英磅．我希望那时候用100000英磅来建立一所公共建筑物，剩下的31000英磅拿去继续生息100年．在第二个
100年末了，这笔款增加到4061000英磅，其中1061000英磅还是由波士顿的居民来支配，而其余的3000000英磅让马萨诸塞州的公众来管理．过此之后，我可不敢多作主张了！”
可曾想过：区区的1000英磅遗产，竞立下几百万英磅财产分配的遗嘱，是“信口开河”，还是“言而有据”呢？事实上，只要借助于复利公式，同学们完全可以通过计算而作出自己的判断．
就是复利公式，其中m为本金，a为年利率， 为n年后本金与利息的总和．在第一个100年末富兰克林的财产应增加到y；
（英磅），比遗嘱中写的还多出 501英磅．在第二个 100年末，遗产就更多了：
（英磅）．可见富兰克林的遗嘱是有科学根据的．遗嘱故事启示我们：在指数效应下，微薄的财产，低廉的利率，可以变得令人瞠目结舌．威名显赫的拿破仑，由于陷进了指数效应的旋涡而使法国政府十分难堪！
1797年，拿破仑参观国立卢森堡小学，赠上了一束价值三个金路易的玫瑰花，并许诺只要法兰西共和国存在一天，他将每年送一束价值相等的玫瑰花，以作两国友谊的象征．由于连年征战，拿破仑忘却了这一诺言！
1894年，卢森堡王国郑重地向法兰西共和国提出了“玫瑰花悬案”．要求法国政府在拿破仑的声誉和1375596法郎的债款中，二者选取其一．这笔巨款就是三个金路易的本金，以5％的年利率，在97年的指数效应下的产物．
21．1912年，I.
Schur得：非常数的整系数多项式，当自变量取遍整数值时，含无限多素因数。
23．IBM公司的Gomory利用构造法证明：8&8棋盘，任去一黑格，一白格，恒可用31张多米诺牌覆盖。
36．英国的Alan
Congleton于1965年得：能用三种不同方式表示为两个整数的立方差的最小正整数是3367：
。能用三种不同方式表示为两个正整数的立方和的最小正整数是：
42．k个正整数组成的集合，其和与积相等，称为一个
k-satisfactory set。对任何k，k-2个1、一个2及一个k组成一个k-satisfactory
set。对怎样的k，仅有唯一的k-satisfactory set？这问题是G. J. Simmons
& D. B. Rawlinson于1970年提出的。
若k-1=(a-1)(b-1),则k-2个1及a、b各一个是k-satisfactory set。
若2k-1=(2a-1)(2b-1),则k-3个1及a、b、2各一个是
k-satisfactory set。
故若有唯一的k-satisfactory
set，则k-1及2k-1均为素数。进而可得：当k&6时，k是6的倍数且个位不是6或8。又由
k-satisfactory set（除1外）
2，2，2，2
2，2，3，3，
2，2，2，2，3
2，2，2，8
2，2，5，5
2，2，6，6
2，2，2，26
2，2，2，2，13
从而，在232之内，仅2、3、4、6、24、114、174有唯一的k-satisfactory
set。Bouwsma找到444有唯一的k-satisfactory set，在10000之内，&
这些是仅有的。
43．W. A. Whitworth & D.
Biddle于1904年得：整数边长的三角形，周长与面积的值相等的仅有5个：（5，12，13），（6，8，10），（6，25，29），（7，15，20），（9，10，17）。1955年，R.
R. Phelps问：整数边长，周长与面积的2倍的值相等的三角形 (Perfect Triangle) 存在吗？1956年，N. J.
Fine得：存在且唯一！仅（3，4，5）。
45．N.M.Dongre:
五角星的10点，不能分别填1-10，使每条线上的4个数之和相等, 即不存在Magic Star Polygon.
46．中国科学院数学院士：
1955：王湘浩，华罗庚，江泽涵，许宝騄，苏步青，李国平，
陈建功，柯& 召，段学复。
李俨（哲学社会科学部）。
1957：吴文俊
元，冯& 康，关肇直，谷超豪，杨& 乐，陆启铿，
陈景润，胡世华，姜伯驹，夏道行，程民德。
1991：丁夏畦，万哲先，王梓坤，石钟慈，张恭庆，周毓麟，
胡和生，廖山涛，潘承洞。
1993：严志达，林& 群。
1994：陈省身，林家翘，丘成桐（外籍院士）。
1995；马志明，刘应明，李大潜。
1997：丁伟岳，陈希孺。
1999：文& 兰，严加安，陆汝钤。
47．Wolf奖：
沃尔夫数学奖是沃尔夫奖的一个奖项,每年由沃尔夫基金会颁发,而沃尔夫基金会则是由沃尔夫(Ricard Wolf
,)及其家族于日捐赠1000万美元建立起来的.
沃尔夫出生于德国的一个犹太富商家庭,他在德国读完大学并获化学博士学位.在第一次世界大战前,他全家移民古巴.在古巴他用了许多年时间发明了一种从熔炼金属的废渣中提取其他金属的方法,并获得专利,后来由此专利致富.在古巴他进入政界,年间担任古巴驻以色列大使,后来他在以色列定居.由他发起并作为主要捐赠人成立了沃尔夫基金会,基金会设立奖金每年奖励科学和艺术界的有突出贡献的人,其宗旨是促进全世界科学和艺术的发展.沃尔夫基金会的理事会主席由以色列政府官员担任,开始时设立数学、物理学、化学、医学和农业5个奖项,1981年增设了艺术奖项,每个奖项奖金10万美元,可以一人独得也可以几人分享.基金会的评奖委员会邀请世界著名的科学家和艺术家组成,1978年开始颁奖.由于评奖委员会成员都是世界一流的科学家和艺术家,获奖者都是在本领域内闻名遐迩的人物———沃尔夫奖可以说是一种终身成就奖,这两点使沃尔夫奖名声大震,人们认为沃尔夫奖是可以和诺贝尔奖媲美的重大科学家奖,对于数学来说尤其是这样,因为诺贝尔奖中不设数学奖.
N．M．盖尔范德
泛函分析、群表示论
C．L．西格尔
数论、多复变函数、天体力学
偏微分方程中的拓扑方法
数论中的代数几何方法
代数拓扑、同调代数、复变函数
A．H．柯尔莫戈罗夫
调和分析、概率论、遍历理论、动力系统
L．V．阿尔福斯
O．扎里斯基
M．G．克赖因
泛函分析及应用
代数拓扑、微分几何、微分拓扑
整体微分几何
P．爱尔特希
数论、组合论、概率论
复流形、代数簇
偏微分方程
S．艾伦伯格
代数拓扑、同调代数、范畴论、自动机理论
A．塞尔伯格
数论、调和分析、群论
概率论、随机分析
P．D．拉克斯
分析数学、应用数学
F．希策布鲁赫
代数几何、拓扑、数论
偏微分方程
A．P．卡尔德伦
调和分析及其在偏微分方程中的应用
J．W．米尔诺
微分几何、微分拓扑、代数数论
偏微分方程、变分法
I．皮亚捷茨基-沙皮罗
齐次复域、离散群、自守形式
L．A．E．卡尔森
富立叶分析、复分析、拟共形映射、动力系统
J．G．汤普森
有限群论及其与其他数学分支的联系
M．格罗莫夫
微分几何、拓扑、群论、偏微分方程
J．L．梯茨
群论及其与几何的关系
J．K．默泽尔
数学分析、几何学、力学
非交换调和分析、自守形式理论、数论
费尔马大定理
J．B．凯勒
A．G．西奈
统计物理学、动力系统
48．Fields奖
颁发菲尔兹奖(Fileds Medals
awarded)是国际数学家大会(ICM)上一件引人注目的大事。
该奖是为纪念加拿大数学家菲尔兹(J. C.
Fileds)而设立的,他是多伦多大学教授、1924年多伦多国际数学家大会主席,在这次获得很大成功的大会后,他建议利用会议的经费余款设立一项国际性数学奖这一建议在1932年苏黎世的会上被通过,但菲尔兹本人前此数月已不幸病故,临终遗言加上了他个人的捐款,并再次强调了奖金的国际性。
菲尔兹奖在1936年奥斯陆国际数学家大会上首次颁发,主要奖励年轻数学家的工作,“作为对其已有工作的认可”和“鼓励得奖人进一步取得成就并激励其他人重新致力于斯”。由后一句话,1974年在温哥华的大会上更明确规定该奖只授予40岁以下成绩卓著的数学家。
由于历届获奖成果的重要性,菲尔兹奖享有很高的声誉,同自1978年开始颁发的沃尔夫奖的数学奖一样,被视为最重要的两项国际数学奖,也是目前数学家所能获得的最高奖赏。
主要工作领域
阿尔福斯L.V. Ahlfors
道格拉斯J.Douglas
施瓦尔茨L. Schwartz
塞尔伯格A. Selberg
广义函数、泛函分析、
偏微分方程、概率
解析数论、抽象调和分析、
李群的离散子群
小平邦彦Kodaira Kunihiko
塞尔J.-P. Serre
分析、代数几何、复解析几何
代数拓扑、代数几何、
数论、多复变函数
罗特K.F. Roth
托姆R. Thom
代数拓扑与微分拓扑、奇点理论
赫尔曼德L. Hormander
米尔诺J.W. Milnor
偏微分方程一般理论
代数拓扑与微分拓扑
阿蒂亚M.F. Atiyah
科恩P.J. Cohen
格罗唐迪克A. Grothendieck
斯梅尔S. Smale
代数拓扑、代数几何
公理集合论、抽象调和分析
代数几何、泛函分析、同调代数
微分拓扑、微分动力系统
贝克A. Baker
广中平佑Hironaka Heisuke
诺维科夫S.P. Novikov
汤普森J.G. Thmpson
代数几何、奇点理论
代数拓扑与微分拓扑、
代数K理论、动力系统
邦别里E. Bombieri
芒福德D.B. Mumford
解析数论、偏微分方程、
代数几何、复分析、有限群论
德利涅P. Deligne
费弗曼C. Fefferman
马尔古利斯G. A. Margulis
奎伦D. Quillen
代数几何、代数数论、
调和分析、多复变函数
调和分析、多复变函数
李群的离散子群
代数拓扑、代数K理论、同调代数
孔涅A. Connes
瑟斯顿W. P. Thurston
丘成桐Yau Sheng-tung
几何拓扑、叶状结构
微分拓扑、偏微分方程、相对论
弗里德曼M. Freedman
唐纳森S. Donaldson
法尔廷斯G. Faltings
莫德尔猜想
德林菲尔德V. Drinfeld
琼斯V. F. R. Jones
森重文MoriShigefumi
威顿E. Witten
数论、代数几何、动力系统
统计力学、拓扑、量子群、李代数
布尔盖恩J. Bourgain
策尔马诺夫E. Zelmanov
利翁斯P.-L. Lions
约科茨J.-C. Yoccoz,
变换群、有限群
博切斯R. E. Borcherds
高尔斯W. T. Gowers
孔茨谢维奇M. Kontsevich
麦克马伦C. T. McMullen
卡茨-穆迪代数、自守形式
巴那赫空间理论、组合
数学物理、代数几何、拓扑
复动力系统、双曲几何
数学史料荟萃（三）&&
10:52:14|&&分类：
|&&标签： |字号大中小&订阅
1．胡明复，1917年获哈佛大学博士学位，第一位在国外获博士学位的中国数学家，1918年在《美国数学会会刊》发表论文，是我国学者在国外发表的最早的现代数学研究论文。
1985年，岩波书店出版《日本数学100年》，提到的中国留学生仅陈建功、苏步青、王福春三人。
2．罗马数字：I=1，V=5，X=10，L=50，C=100，D=500，M=1000。
最早的悖论是克里特岛的哲学家提出的“说谎者悖论”：一个克里特人说：所有的克里特人说的每一句话都是谎话。
3．费马数 当
=5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，22，23，24，25，26，27，29，30，32，36，38，39，42，52，55，58，62，63，66，71，73，75，77，81，91，93，99，117，125，144，147，150，201，205，207，215，226，228，250，255，267，268，275，284，287，298，316，329，334，398，416，452，544，556，637，692，744，931，，，，，，等87个数时为合数。
素约数之一
（兰德，1880）
9721（莫利桑，1975）
2897（Brent, 1980）
& （外斯顿，1903）
(R.P.Brent,1990)
（库尼佛姆，1899）
（波沃切恩，1877）
&(Gary Gostin,
（外斯顿，1903）
(R.E.Crandall,1992)
（波沃切恩，1878）
（莫尔黑得，1906）
（罗宾逊，1957）
（威廉姆，1977）
&(W.Keller,1987)
4．梅森数 ，现已知37个为素数：
P. A. Cataldi
P. A. Cataldi
L. M. Pervushin
R. E. Powers
E. Fauquembergue
R. M. Robinson
R. M. Robinson
R. M. Robinson
R. M. Robinson
R. M. Robinson
A. Hurwitz
A. Hurwitz
D. B. Gillies
D. B. Gillies
D. B. Gillies
B. Tuckerman
C. Noll & L. Nikel
H. Nelson & D.
D. Slowinski
W. N. Colquit & L.
D. Slowinski
D. Slowinski
D. Slowinski
D. Slowinski & P.
D. Slowinski & P.
J. Armengand & G. F.
L. Clackson
5．《算经十书》：唐设算学，以十部数学著作为教材。
《周髀算经》：公元前一世纪著作。
《九章算经》：
《孙子算经》：
《五曹算经》：北周甄鸾著。
《夏侯阳算经》：
《张邱建算经》：
《海岛算经》：三国刘徽著。
《五经算术》：北周甄鸾著。
《缀术》：后失传，以汉徐岳的《数术记遗》替代。
《缉古算经》唐王孝通著。
6．V. Hoggatt &W.
Hansell发现：贾宪三角形中，边与三角形的边平行的六边形，顶点数之积是完全平方数。
V. Hoggatt还发现等式： （根号有 重）。
7．《海岛算经》题选：
1.今有望海岛，立二表齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰与表末参合；从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰亦与表末参合。问岛高及去表各几何？（答曰：岛高四里五十五步，去表一百二里一百五十步。）
2.今有望松生山上，不知高下，立两表齐高二丈，前后相去五十步，令后表与前表参相直，从前表却行七步四尺，薄地遥望松末，与表端参合。又望松本，入表二尺八寸。复从后表却行八步五尺，薄地遥望松末，亦与表端参合。问松高及山去表各几何？（答曰：松高十二丈二尺八寸，山去表一里二十八步七分步之四。）
3.今有南望方邑，不知大小，立两表，东西相去六丈，齐人目以索连之，令东表与邑东南隅及东北隅参相直。当东表之北却行五步，遥望邑西北隅，入索东端二丈二尺六寸半。又却北行去表十三步二尺，遥望邑西北隅，适与西表相参合。问邑方及邑去表各几何。（答曰：邑方三里四十三步四分步之三，邑去表四里四十五步。）
4.今有望深谷，偃矩岸上，令句高六尺，从句端望谷底，入下股九尺一寸。又设重矩于上，其矩间相去三丈，更从句端望谷底，入上股八尺五寸，问谷深几何？（答曰：四十一丈九尺）
5.今有登山望楼，楼在平地，偃矩山上，令句高六尺，从句端斜望楼足，入下股一丈二尺。又设重矩于上，令其间相去三丈，更从句端斜望楼足，入上股一丈一尺四寸。又立小表于入股之会，复从句端斜望楼岑端，入小表八寸，问楼高几何？（答曰：高八丈）
6.今有东南望波口，立两表，南北相去九丈。以索薄地连之，当北表之西却行去表六丈，薄地遥望波口，南岸入索北端四丈二寸，以望北岸，入前表所望表里一丈二尺。又却后行去表十三丈五尺，薄地遥望波口南岸，与南表参合。问波口广几何？（答曰：一里二百步）
7.今有望清渊，渊下有白石；偃矩岸上，令句高三尺，斜望水岸，入下股四尺五寸，望白石入下股二尺四寸。又设重矩于上，其间相去四尺，更从句端斜望水岸，入上股四尺，以望白石入上股二尺二寸。问水深几何？（答曰：一丈二尺）
8.今有登山望津，津在山南；偃矩山上，令句高一丈二尺，从句端斜望津南岸，入下股二丈三尺一寸。又望津北岸，入前望股里一丈八寸。更登高岩，北却行二十二步。上登五十一步，偃矩山上，更从句端斜望津南岸，入上股二丈二尺。问津广几何？（答曰：二里一百二步）
9.今有登山临邑，邑在山南；偃矩山上，令句高三尺五寸，令句端与邑东南隅及东北隅参相直。从句端遥望东北隅，入下股一丈二尺。又施横句于入股之会，从立句端望西北隅，入横句五尺，望东南隅入下股一丈八尺。又设重矩于上，令矩间相去四丈，更从立句端望东南隅，入上股一丈七尺五寸。问邑广长各几何？（答曰：南北长一里一百步，东西广一里三十三步少半步）
8．1705年，康熙南巡，御舟召梅文鼎，谈天文、数学三天。梅文鼎说：“其论算直文务在显明，不辞劳拙，往往以平易之语解极难之法，浅近之言达至深之理。”“法有可采，何论东西；理所当明，何分新旧。”同代人称之为“中华算学无有过之者”，“历算第一家”，“国朝算学第一”。
9．徐光启：“人具上资而意理疏莽，即上资无用；人具中才而心思缜密，即中才有用；能通几何之学，缜密甚矣。故率天下之人而归于实用者，是或其所由之道也。”
徐光启评《几何原本》：“此书为益，能令学理者却其浮气，练其精心；学事者资定其法，发其巧思；故举世无一人不当学。”
10．李冶：“谓数为难穷，斯可；谓数为不可穷，斯不可。何则？彼其冥冥之中，固有昭昭者存。夫昭昭者，其自然之数也。非自然之数，其自然之理也。”
11．柯尔莫哥洛夫：“六岁时，我就领略到数学‘发现’的乐趣。我观察到：
等等。我的发现被刊在《春燕》（柯尔莫哥洛夫办的家庭杂志）上，在那儿还发表了我发明的数学问题。其中例如：要固定一个有四个孔的纽扣，至少要缝合两个孔。问：有多少种不同的固定办法。
12．法国科学院分别于1816年、1850年悬赏3000法朗征解Fermat大定理。
1908年，Wolfskoel悬赏10万金马克。
1983年，法国的Faltings证Mordell猜想，推得：Fermat方程至多只有有限多组互素的解。Faltings于1986年得Fields奖。
&&& 1993年6月，A.
Wiles在剑桥报告《椭圆曲线，模形式与伽罗华表示》，完全解决了Fermat大定理。
1993年12月，发现漏洞。
日, A. Wiles与学生R.
Taylor修改，定稿。
1995年5月发表全文。
13．Bernoulli数：
14．1909年，D．N．莱默尔找到素数等差数列：
7，37，67，97，127，157．
107，137，167，197，227，257．
7，157，307，457，607，757，907．
47，257，467，677，887，．
1910年，埃斯科特找到10项素数等差数列：首项199，公差210。
1985年，美国康奈尔大学的普里切尔德找到19项素数等差数列：首项，公差。
1987年，杨格与弗赖找到3个20项素数等差数列：其一首项，公差。
1993年，Paul Pritchard找到22个成等差数列的素数：
15．两头蛇数（美国，《美国游戏数学杂志》）：
则NMNM……NM9是两头蛇数。
16．Martin
Gardner提供100美元征解3阶幻方，其元素是非零的不同的完全平方数。&。
23．Charles Lutwidge
Dodgson的《枕边问题》：一些人坐成一圈。于是每个人便有两个相邻的人；第一个比第二个人多一先令，第二个比第三个人多一先令，如此等等。现第一个给第二个人一先令，第二个给第三个人两先令，如此等等。最后，有两个相邻的人，其中一人的先令数是另一人的4倍。问：共有几人？开头钱最少的那个人有多少先令？（7人，2先令。）
25．1956年，西安出土一铁板，以古阿拉伯数字写的幻方：
中间是一四阶幻方。
26．杨辉的9阶幻方：
41在中心，中心对称两数和82，分成9块，均为3阶幻方，这9个3阶幻方的幻值又成一3阶幻方。
27．Fibonacci幻方:行的积和与列的积和相等。
28．Pascal定理：若10被A除余 ， 被A除余 ， 被A除余 ……数
能被A整除，当且仅当 能被A整除。
29．Moether（法国，19世纪心算神童）的拟平方幻方：
各行、列及一条对角线上和为 。
现还未找到完全平方幻方。
30．英国化学家Sudi()因研究同位素的成果，在1921年获诺贝尔化学奖，1936年在英国《自然》杂志以诗歌形式发表四圆相切问题（见《数学美食城》），
平面上有7个点，至多四点共线，也至多四点共圆，两两距离能否全为整数？
（等腰梯形ABCD，AB和CD平行，AB=180，CD=120，腰长191，取AB的三等分点，和CD的中点。）
（8点情况：矩形ABCD，AB=391，BC=120，AB上取点E，F，使AE=182，EF=27，CD上类似取）
31．“四边形各边中点连成一个平行四边形，且面积是原四边形面积的一半”，这到1731年，才被P.Varignon发现。
32．哈代喜欢数字游戏。在其《数学家的辩解》中有例：153是1、5、3的立方和。370、371、407有相同性质。
四次方的有、9474。
五次方的有5、93084。
六次方的有548834。
七次方的有17、9926315。
这类数又称Randle数。它不能超过60位，故仅有限多个。
33．Wallis()发现：6与8的立方和与9的立方仅差1。
&&&&&&&&&&&&&&
Billion(A,F)
Trillion(A)
Billion(E,D)
Trillion(E)
十不可思议
百不可思议
千不可思议
头　脑　风　暴（上篇）
——走进“第24届国际数学家大会”
前言：第24届国际数学家大会（ICM2002）于8月20日至28日在北京举行，ICM2002在中国召开是对我国在世界数学研究发展历史中的贡献与作用的肯定，同时也给了我们一个发展机遇。他是一百多年来，我们中国作为发展中国家获得的第一次机会。我们从未像今天这样关注数学，ICM2002的召开，在中国卷起了一阵数学旋风，关于数学的话题炙手可热。8月，我们因数学而相遇,
因相遇数学而美丽。人类注定要继续在美的感召下，向数学的顶峰攀登。
陈省身，20世纪伟大的几何学家。1930年毕业于南开大学，1934年毕业于
清华大学研究院。年就读于德国汉堡大学。1937年任昆明西南联合大
学教授。1943年任美国普林斯顿高等研究院研究员。1946年任中央研究院数学
研究所所长。1949年任美国芝加哥大学教授，1960年任美国伯克莱加州大学教
授。年任美国国立伯克莱数学科学研究所首任所长。年任
天津南开大学数学研究所所长，1992年起任名誉所长。
《上海教育》：曾有人把您说的“数学大国”称为“陈氏猜想”，您认为中国
离您说的数学大国有多远？
陈省身：这不像做数学，一定有正确的结果和结论吗？怎样才算是数学大国，
可以说个人有个人的观点。我国急需调整的是科研评价体系，应该让“以论文数
量论英雄”成为历史。当年陈景润从事科研30年，论文仅四十多篇，成就却至
今无人逾越。数学研究“一个人一支笔”的时代已经过去，但交流机会太少仍制
约着我国数学和科技的发展。这种现状必须改变。我们更应该想的是，数学大会
后怎样使中国的水平赶上发达国家。这比在大会上做几十个报告来得要紧。
《上海教育》：本届菲尔茨奖与中国无缘，您认为除了客观原因，我国与发
达国家比，问题主要在哪些方面？
陈省身：主要有三点，那就是中国学术的“近亲繁殖”；中国科学家“黄金
创造期”一闪即逝；专业限制成为培养创造力的阻碍。
《上海教育》：您经常跟您的学生说要把“做人”放在第一位，那么您认为
做人和做学问的关系是怎样的？
陈省身：我的朋友纳什出名了，因为他得了诺贝尔奖。可惜的是，他在数学
研究上竞争心很强。我的建议是，学数学，千万别学纳什。我强调做人，希望大
家能将竞争心降下来。是朋友就不一定非要比他做得好，对方有了成就应该为他
感到高兴。每个人都有自己的长处，不要把这个事看得太大。这就是我一再强调
的“仁”。我想，当年孔子提出这个“仁”就是这个意思。我现在解释成两个人，
也就是人与人之间的交往、关系，这可能是我的独创。
《上海教育》：您对数学理论贡献很大，也非常重视数学的应用。但是有人
说科学是不可以普及的，能普及的只是科学的思想，具体到数学上，数学的应用
以及数学对人们的影响怎样？
陈省身：我想科学离不开应用，一切东西都依据于实践，就是应用。我平时
做纯粹数学比较多，因为应用数学要比纯粹数学难。科学的对象实在太复杂了，
能够有结论，发现科学的规律，一定要在理想的环境中，减少一些实际因素。就
像两个物体从高处落下，我们自然会想重的那个先落地，其实这是不对的。按照
伽利略、牛顿的理论，是一样快。就是说，这个空间不能有空气，没有了空气的
地方就是一个理想的环境。许多研究纯粹数学的，就是把这些复杂的环境因素取
消了，这样研究就简单，能得出结论。这就是纯粹数学和应用数学的区别，真正
的应用数学非常难。
《上海教育》：现在有很多学生做数学题很厉害，但是真正应用起来有很大
的困难。这是不是说明我国数学教育教学出现了偏差？
陈省身：这当然有困难了，做得好了不能立刻有效果。而实践是另外一个问
题，数学学好了不一定能马上运用到实践中去，把任何问题都解决了。这个现象
《上海教育》：要在数学领域进一步发展，要让青年人才脱颖而出，您有什
么好的建议？
陈省身：我认为在中国要办够水平的研究院。首先，应当开一些基本的先进
课程。学生来了，要对他们进行基本训练，就要为他们开高水平的课。所谓的基
本训练有两方面：一是培养推力能力，一个学生应该知道什么是正确的推理，什
么是不正确的推理。你必须保证每步都正确，不能急于得结果就马马虎虎，最后
一定出毛病。二是要对整个数学有个判断。从前是与分析有关的学科较重要，20
世纪以来是代数，后来是拓扑学等等。总之，好的研究中心应该能开这些基本课
其次，必须要有好的学生。培养学生我主张流动。19世纪的德国数学是世界
第一，德国的大学生可以到任何大学去注册，这学期在柏林听魏尔斯特拉斯的
课，下学期到格丁根听施瓦兹的课，随便流动。我希望中国的学生、教授也能流动起来。教授可以到别的学校去教课，教上半年，各个数学研究院的教授可以互
《上海教育》：您能给广大青少年学习数学提点个人的体会吗？
陈省身：四个字“数学好玩”。
田刚，与菲而茨奖最接近的数学家，也是国际公认的杰出的微分几何学家。1982年毕业于南京大学数学系，1984年获北京大学硕士学位，1988年获美国哈佛大学数学系博士学位，现任北京大学教授及美国麻省理工学院西蒙讲座教授。曾作为美国斯坦福、普林斯顿等大学访问教授。自1998年起，受聘为教育部“长江计划”特聘教授。
《上海教育》：您觉得数学枯燥吗？
田刚：有人觉得数学很枯燥、很深奥，但我觉得数学很漂亮，很干净。它的干净就在于结论的简单。它的漂亮，关键是看你的兴趣，只要有兴趣，数学就会变得迥然不同。各种不同现象的背后都有一个本质联系，如果能找到这种联系，你就会感受到数学无尽的魅力。
《上海教育》：您为什么会选择数学？
田刚：真正喜欢上并且后来选择数学作为终身的职业可能和我母亲有关系。她以前也是从事数学研究的，他们那一辈非常不容易，经过了很多动乱，还要照顾家庭，还要做学问。母亲的教育完全是一种开放性的，最强调要独立思考，也并不会刻意地去引导，分数看得也不重。
包括在数学奥林匹克竞赛中，得了金牌固然重要，但是对于数学研究并没有实质性的影响。我并不是一个天才，但是我还是可以做数学研究。做数学研究，有时一个问题用10个小时和一个问题用一个小时或一分钟想出来的，没有多大区别。但是我还是愿意去用这10个小时去把它想出来。这点其实更关键，你如果不是班上最聪明的，说不定你的数学会学得更好。因为兴趣会促使你独立思考。所以我想说，我选择数学的原因就是兴趣驱动。
《上海教育》：陈省身先生说“数学好玩”，您同意吗？
田刚：我同意，数学的确好玩。它就像一个花园，你在外面看看也许不顺眼，可是你一旦走进去就会发现那是一个奇妙而美丽的世界。可是并不是人人都能体会到这一点的。所以，我觉得数学的确好玩，但玩好数学不易。玩好数学，你要花好多好多精力。比如，这次获菲尔茨奖的法国数学家拉佛阁，他做这项研究已经6年，他比较幸运，6年研究出来了。但有更多的人研究6年，还丝毫不见效果呢。问题就在于你不能放弃，否则前功尽弃，一定要继续尝试。从这点上看，拉佛阁已经玩好了数学。选择数学，你就要做好吃苦的准备。
《上海教育》：您认为中国的数学要得到较大的发展，从大国成为强国，还应在哪些方面重视起来呢？
田刚：中国有着悠久的历史和良好的学术文化传统，更有许许多多具有聪明智慧的年轻人，但要使中国成为数学强国尚需努力。我们鼓励年轻人研究重要的问题，而不是仅仅靠发表论文来显示自己的水平，问题的关键是在于文章的学术上的价值和意义。而作为学校，应该注意培养学生的独立思考能力和创新能力。
中国的数学若要实现更进一步的发展，首先需要培养更多优秀的年轻数学家，需要有更多好的学术带头人，因为如果没有好的学术带头人，就难以形成具有独立且稳定风格的学派，也就更难以形成自己的学术体系。
杨乐，1962年毕业于北京大学，并考取中科院数学研究所研究生。现任中科院数学与系统科学研究院院长、院士，主要从事复分析研究。20世纪70年代对整函数与亚纯函数亏值余波莱尔方向间的联系做了深入研究，与张广厚合作最先发现并建立了这两个基本概念之间的具体联系，引进了新的奇异方向的分布给出了完备的解答。与英国学者合作建立了著名数学家特沃德的一个猜想。对亚纯函数的导数的总亏量与整函数的亏值数目做出了精确估计。
《上海教育》：什么是数学？
杨乐：对于数学可以从不同角度做不同理解。按照恩格斯的定义“数学是研究数量关系和空间形式的一门科学。”按照分类来定义，数学是由基础理论和实际应用两个方面组成的，基础理论追求真与美；实际应用强调在各个方面的广泛渗透。还有一种说法，就是数学只是一种重要的工具，它不仅在物理、化学、生物等领域发挥重要的作用，而且也在计算机、经济、金融、管理甚至文科方面都会产生影响。它能培养人的思维、创新、分析、计算、归纳和推理能力。
《上海教育》：数学家的快乐是什么？
杨乐：数学家的快乐和农民通过土地收获的快乐是一样的。攻关的时候好比农民耕耘时，要冥思苦想，非常辛苦。但一旦成功，那快乐是很纯粹的。
《上海教育》：有人说，数学家是一叠纸和一支笔算啊算啊产生的。那么，有了计算机后，还需要这样计算吗？
杨乐：我不赞成这种说法。学数学，首先要有想法，要敢于去猜想会是什么样的结果，产生这样的好奇心之后，再用方法去证明这些结果。再说，计算机其实最早便是数学家发明出来的，这更证明了一切科学的基础都离不开数学。一个数学基础好的人，他去做其他学科如管理、金融、财贸等，都有较好的组织领导能力，因为数学可以训练人的创新能力、严谨周密的思维能力，在处理其他事情时，依然会有种纲举目张的能力。
《上海教育》：很多数学家都谈到兴趣在学习数学过程中的重要作用，您认为是培养学习兴趣重要，还是掌握学习方法重要？
杨乐：当然是培养学习兴趣更重要，而方法每个人都不尽相同，必须要他自己在学习的过程中很好地去摸索，直到摸索出一套最适合自己特点的方法来。青少年要培养对数学的浓厚兴趣，就要做好长期努力勤奋的思想准备，并且要贯彻到实际生活中去，这样才有可能打下良好的基础，在日后所从事的工作中有所贡献。
《上海教育》：当前，在我们的一些中小学中，有些学生对学习数学缺乏兴趣，花的力气不少，但成绩并不好，数学成了学习的负担。大多数学生很难达到理想的数学水平和能力。您认为其中的原因是什么？他们天生就不是学数学得了吗？
杨乐：教材内容过多过泛是一个原因；有教师教得不够活泼也是一个原因；更有现行“应试教育”的影响。因此，在教学内容上要坚持“少”而“精”的原则，目的是训练能力，让学生在短短的时间内做完，不需要把特殊的、技巧复杂的解题方法加给学生，不应让更多的学生感到是沉重的负担。只有在学生学得比较轻松的情况下，才能培养兴趣，并把知识真正变成自己的能力。
专门的刻意的竞赛不宜提倡。数学竞赛应该主要针对高中生，并且只限于对数学有兴趣的同学，作为业余爱好去鼓励。
数学教育是基础教育非常重要的一部分，它对于培养学生独立思考能力、分析能力、推理能力、计算能力都是非常重要的，是素质教育的内涵之一。研究生的培养、高层次人才所特别需要的创新能力的培养都离不开数学基础。
《上海教育》：为什么当年，您和许多数学家们在无比艰苦的条件下做出了重大的数学研究成果，而今天的物质条件远胜于当年，反而很少听到优秀数学人才脱颖而出呢？
杨乐：的确，数学作为一门基础学科，前些年曾遭到外界的冲击。20世纪80年代、90年代初一些年轻人就去国外深造了。现在，国家对基础学科的研究投入增加了很多，而基础研究是一个长期的、寂寞的工作。俗话说，十年树木，百年树人。我目前做的工作就是为更多年轻人创造一个良好的研究数学的环境。
头　脑　风　暴（下篇）
在“第24届数学家大会”召开的8天里，记者听到最多的是“数学教育”“基础教育”“人才培养”等话题。数学教育成了场内场外、国内国外数学家共同关注的热点。本期我们以“时空热线”的形式，把北京和上海两个现场连接起
来，让数学家们一起探讨关于“学数学”的问题。
北京大会现场：
谷超豪　　　　复旦大学数学系教授
严士健　　　　北京师范大学教授
刘　兼　　　　教育部基础教育课程教材发展中心教授
拉佛阁　　　　菲尔茨奖得主，法国数学家
Marcelo Viana　巴西著名数学家
章建跃　　　　人民教育出版社中学数学室
张景中　　　　中科院院士
杨　乐　　　　中科院院士
李大潜　　　　复旦大学数学系教授
郑　炼　　　　上海师范大学基础数学系副主任
顾鸿达　　　　上海市数学学会中学教育委员会主任
王海生　　　　上海实验学校数学竞赛班教师　　
话题一：数学教育怎么了？
谷超豪：我们的基础教育把对数学的教学异化成单纯地教学生做习题。因此，
教师会布置大量的数学题给学生做，让学生在一遍一遍、不断重复的练习中掌握知识。当然，做大量的数学题，掌握基础知识，这并不是不好。但是，这些基础知识只要大家在课堂上基本接受了，消化了，在课外布置少量适度的联系，巩固这些知识，就足够了。不要花太多的时间在重复这些简单的基础知识训练上。这样枯燥地做题目，很大程度上打消了学生学习数学的兴趣。我想，对于学生来说兴趣还是很重要的。
严世德：我们的数学教育中“高考指挥棒”的作用太大，使得数学老师的教和学生的学仅仅局限在如何应付大量高考题上。更重要的是，我们应该让学生理解数学的本质，虽然不可能让学生了解数学的方方面面，但也要让他们尽可能地了解数学与科学、技术的联系。以次让学生多一些对数学的感悟，让他们知道数学不等于做数学题。
刘兼：当前的数学课余生活相距太远，数学只出现在数学书、数学课上，而在其他地方见不到数学。其实数学与我们生活的方方面面都有着联系，数学是其他科学的基础。同时，我们的教育人为地在数学的整体性中划分出严格的界限，教学和教材则将数学模式化。这种缺少多样性的教学大大损伤了孩子们对数学魅力的感受，数学留给孩子们的感觉只能是“枯燥乏味”。
&&& 上海现场
郑炼：我们中小学数学教育曾经是十分成功的。我国数学教育有三大优点：一是注重大面积提高，无论我们的教材还是教师都注重全体学生的发展；二是强调基本功，就是对数和形的感觉和表达；三是我国数学具有注重算法的传统，这一点也必然在数学教育中得到体现。但社会在发展、科技在发展、数学本身也在不断的发展，我们目前数学教育不能很好的适应现代科技、经济的发展，没有反映计算机时代数学的特征。我认为，现在中小学数学教育的最大误区就是我们缺乏对当代数学必要的认识和理解，反映在课程、教材和教学中就是我们不能准确地鉴别什么是有价值的数学，什么是没有价值的。我们往往在无意义的地方花费了时间和精力。却丢弃了哪些有意义的东西。
&顾鸿达：目前数学教育有一些误区，一是老师没有从基本的事实出发，引发学生的兴趣，给学生一些好的素材，让学生去思考问题中间的数量关系。往往是马上就把公式或定理讲了，在讲的过程中，没有体现一些非常精彩和重要的思想方法，学生没有体验。二是比较快的进入解体。思维过程没有讲清楚，这就是应试。还有难题太多，这就加重了学生的压力，使学生觉得数学非常枯燥。三是老师在教育过程中忽视了引发学生对数学的好奇和兴趣。数学问题的背景是什么，从生活中哪里来就忽视不讲了。直接是数学到数学。
话题二：数学教育如何改？
谷超豪：基础教育中数学学习的一个重要目的，就是培养学生的推理能力。
推理能力是人的智力中重要的一种，对于人的发展很重要。学习数学可以锻炼学生的推理能力，不光学好数学需要推理能力，学好其他的科学同样重要。但是，现在有许多人认为我们的数学教得太难，让学生压力过重。有些人甚至认为几何很难，应该将这部分内容从初中数学教学大纲中拿掉。这就违背了数学教育的初衷。不能因为几何难就不教了。希望我们广大的教师，能够改变自己的教学方法，把难教的知识深入浅出的教给学生。
&&& Marcelo　
Viana：巴西基础教育正致力于如何把数学教学变得更轻松，更有吸引力，吸引年轻人投身于数学研究方面。为此，巴西政府号召大家从事教育行业。同时，政府、学生也出台了一系列的措施，鼓励教师多学习，接受教育。就拿我所在的研究所来说，每年都请一些中学里的数学教师到研究所来，接受教授们的培训。活动大约一个星期的时间，每次至少有260位教师参加。通过这样的活动，让教师把学到的知识带到中学里去。
拉佛阁：我觉得应该多鼓励青少年参加各类数学活动。我上中学的时候，对数学并没有特殊的兴趣，但是到后来解决了几道难题，兴趣就上来了。数学具有竞争性，是聪明人之间的较量。发现了它的美，才开始真正对数学感兴趣，然后再从事与数学相关的研究工作，更进一步的发现了它的美，研究的兴趣更浓了，这就形成了一个积极的循环。数学是古老的，也是美丽的，选择数学将会让青少年终身受益。因为除了基础研究，人们已普遍认识到数学同其他学科互动的重要性，对于青少年，即使日后部成为数学家，他的数学知识也将会渗透到各个科学领域中去。
章建跃：数学教育改革一定要仅仅依靠广大教师。没有教师的积极参与，改革将无法获得成功，因为数学教育改革归根到底要体现在课堂教学的变革上，学生学习方式的转变需要通过教师的教学方式转变才能得到落实。数学教育改革涉及教育思想、学术观点、课程教材、教学方式、学习方式以及评价方式乃至价值观的变革，是一个复杂的系统工程，广大教师需要有一个认识和适应的过程，需要不同观点的碰撞，需要听取各种不同的意见，需要调动各方面的积极性，需要科学的论证和实验。我国幅员辽阔，教育发展很不平衡，地区差异巨大，改革中面临的问题也会各不相同，因此，应当允许改革的不同思路、不同方案的存在，真正贯彻百花齐放、百家争鸣的方针。
张景中：数学教学要加强几何的学习，几何、代数要相互渗透。要为学生减负不应当立足于删除知识内容，要改变知识结构。几何、代数整合在一起，再和优秀的动态构图软件配合，既能减轻学生学习压力，又能提高学习兴趣。
李大潜：到底在中小学里怎样打好数学基础呢？我们现在提倡素质教育，往往忽视基础知识的灌输，甚至认为这是违背素质教育思想的。这就把学习知识、打好基础和提高素质、培养能力割裂开来，对立起来了。应该说，这两者是相辅相成、有机结合的。现在我们一提到教育教学改革就是要提倡位学生减负，把一些难的知识从教学大纲中拿掉。中小学是学生增长知识的阶段，这就决定了我们的基础教育的目标是教授学生知识。不能因为太难就不教。
同时，基础教育改革需要多方面的关注，不能停留在中小学教师层面上。大量的大学教师、数学家要参与其中。大学里的改革同样需要基础教育工作者的参与。所谓“不识庐山真面目，只缘身在此山中。”教育改革需要听多方面的意见。
顾鸿达：其实在中国的课程教材改革中也有很多官本位的思想，现在一说素质教育就会说减负，一减负就说要删教材，一些管理者一拍脑袋就会说什么难就删什么，对于究竟删什么不删什么其实都没有很好地研究，有些内容对于提高学生的素质是极有好处的，看着这些东西被删掉，作为教育工作者来说是很心痛的。
郑炼：我认为初中不学平面几何是不妥的。平面几何是数学教育中不可缺少的内容，它是训练学生逻辑思维能力得罪好“载体”。但我们以往的平面几何教育有缺点，应强调几何教育的载体作用，可是我们的教学过分强调技巧，没有充分地展现几何作为一个逻辑系统的魅力。当然，几何教育的目的和功能是多方面的，我们有许多教育的目的和功能是多方面的，我们有许多工作可做，我们有许多工作该做。
话题三：“奥数”是通向数学殿堂之路吗？
杨乐：我国在“奥赛”上频频获奖，很多人认为这反映了我国数学的整
体水平在提高。其实，参加“奥赛”的中学生对数学才刚刚启蒙，他们的水平与中国整体数学水平无关。“奥赛”的获奖好比是长距离比赛中的前二三百米，我们不该为前二三百米处于第一方阵而沾沾自喜，应该看得更长远一些，要耐得住寂寞，打好基础，作好长期努力的准备。“奥校班”只是教给学生技巧性的东西，而这些技巧性的东西有时并不是青少年必须具备的，更不能提高数学能力，有时甚至会造成钻牛角尖。
陈省身：“奥数班”应该是培养数学人才的一条途径。不过，也不要太普遍。奥数赛取得成绩是很了不起的事情，但是这些获奖的人将来不一定从事数学方面的工作，很多人是在别的方面发展了。至于怎样培养数学人才，我想，应该多给年轻人一些发展机会。能够学习数学，遇到困难就能立刻得到帮助，这样的事情应该多做。
张景中：奥数竞赛这些行为要“淡化”功利主义。对展示青少年数学水平的奥林匹克竞赛应当适当鼓励，因为这毕竟是一项十分有意义的活动，但切忌盲目“跟风”，切忌带上功利色彩。孩子们在小小年级就将数学学习和升学、获奖、荣誉联系起来，是难以全身心学习数学的。
李大潜：人们常说学习数学以后会越学越聪明、越灵活。这不是没有道理。一个难题解不开，经过多次的失败，我们会不停的寻找其他的方法，想方设法把难题解开。在成功解答了题目后，我们还会像是不是有更简单的方法。于是，我们继续寻找新的方法来解题。在这个过程中，我们提高自己的能力。这个过程是教师仅靠教学所不能代替的。然而，奥数辅导的目的在于使学生在尽可能快的时间了做出多的难题。因此，教师会教导学生如何解难题，把各种各样的难题分类进行辅导，如同套用公式一样。这样的教学完全是在教学生少动脑筋的窍门，有着强烈的应付考试的痕迹。学生自己的思考、体会少了。
王海生：奥数竞赛可以通过组织学生参加竞赛来培养他们的各种能力，比如对于竞赛题目可以让他们自己完成，培养他们独立思考和独立分析的能力；对于教难的题目可以让他们共同探索，共同解决，培养他们团结合作的精神。我们在题目的设置上也可以多与实际生活相联系，让他们养成平时仔细观察的习惯，让他们知道数学的用途是很多的，可以用来解决很多重要而又困难的问题，真正做到“学以致用”。
郑炼：奥数是把“双刃剑”。毋庸置疑，数学奥林匹克的训练是卓有成效的，我们曾培养了许多国际数学奥林匹克的获奖者。但数学竞赛不等于数学教育。现在奥数存在三个不良的倾向。一是低龄化。国外曾经从理论和时间对低龄儿童参加奥数的得失进行过研究，提出不同意见。二是全民化。这是不明智的，因为数学天才在人群中是有一定比例的，而这个比例远远低于目前参加奥数的学生比例，不同的学生应获得与他们自身的兴趣、能力相称的多方面发展。三是程式化。进行奥数训练的根本目的是提高青少年学生的数学素质和科学素质，因此训练中应该强调学生对数学的理解、分析和创造，而现在有些奥数训练却侧重于对数学的背诵、记忆和模仿，这会对学生造成不良的影响，加上往往急功近利，结果是误导了学生对数学和对数学学习的理解，损害了学生在数学学习方面的可持续发展性。
数学史料（1）
身份：圈友
1．进位制：10进位制，无论是理论上，或是实际上；无论是过去，现在，或是将来；均非唯一的进位制。&
澳洲东部昆士兰人用2进制；阿根廷火地岛部落用3进制；南美一些部落用5进制，德国农民日历，直到1800年，还用5进制；一些非洲土人用6进制；英国度量衡用12进制；古玛雅人，美洲印地安人，克尔特人，格陵兰人用20进制；古巴比伦人用60进制。美国现有12进位制协会。也有不少部落用混合进位制。&
2．埃及用“双倍和调停法”求乘积。例：由&&&&
26&&&&13&&&&6&&&&&3&&&&1&
33&&&&66*&&132&&&264*&&528*&
得&26&33=66+264+528=858。&
其原理是利用数的二进位制表示：&
3．《孙子算经》（4世纪）最早研究不定方程与同余式的解。&
例题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”。&
明代程大位《直指算法统宗》用诗表达解法：&
三人同行七十稀，五树梅花廿一枝；&
七子团圆正半月，除百零五便得知。&
该算法又称“隔墙算”，“剪管术”，“秦王暗点兵”，“韩信点兵”，“大衍求一术”，“鬼谷算”；现称“孙子定理”，“中国剩余定理”。古印度有题：“篮中有蛋，每次取2个，剩1个；每次取3个，剩2个；每次取4个，剩3个；每次取5个，剩4个；每次取6个，剩5个；每次取7个，刚好取完。问：篮中有多少蛋？”属这类。&
4．《九章算经》有题：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数，物价各几何？”。今称“盈不足术”。阿拉伯人称“震旦算法”。（古印度人称中国为“震旦”）&
&《唐阙史》载：杨损出题“有人在林中散步，听贼谈分赃——每人分6匹布，剩5匹；每人分7匹，差8匹。问：有几个贼？偷了几匹布？”考待提拔的官吏。亦用盈不足术解。&
数学史料（2）
身份：圈友
1.&幻方：《周易》：“河出图，洛出书，圣人则之。”《大戴礼记》：“二九四七五三六一八”。此为三阶幻方。&
&&杨辉在《续古摘奇算法》归纳三阶幻方的作法为“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出。”&
艺术家丢勒在木刻《忧郁》中有四阶幻方：&
16&3&2&13&
5&10&11&8&
4&15&14&1&
具有性质：（1）顶上两行数的平方和等于底下两行数的平方和。&
（2）第1，3行数的平方和等于第2，4行数的平方和。&
（3）对角线上数的和等于不在对角线上数的和。&
（4）对角线上数的平方和等于不在对角线上数的平方和。&
（5）对角线上数的立方和等于不在对角线上数的立方和。&
（6）嵌创作年份1514于正中。&
2.&阿尔克温（八世纪）《活跃思想的问题》有题：（1）把100蒲式尔谷物分给100人。每一个男人3蒲式尔，每一个女人2蒲式尔，每一个小孩半蒲式尔。问：男人，女人，小孩各有几个？&
（2）有30个瓶子，10个满的，10个全空，10个半空，把它们分给三个儿子。问：怎样才能使每个儿子分到的瓶子与容纳的东西都相等？&
（3）船夫，狼，山羊，白菜过河。&
（4）狗追兔子，开始时，相距150尺，狗每次跳9尺，兔子每次跳7尺。问：跳几次，狗才能追上兔子？&
3.&菲波那契《算盘书》有题：（1）若A从B得7个银币，则A的银币是B的5倍，若B从A得5个银币，则B的银币是A的7倍。问：A与B原来各有多少银币？&
（2）一个人留给他的长子1个金币和余下的1/7；从剩余的金币中，次子得2个金币和余下的1/7；三子再从剩余的金币中得3个金币和余下的1/7；依次下去，最后一个儿子得余下的全部。并且，每个儿子得到的金币一样多。问：这人有多少个儿子，多少金币？&
&&（3）菲波那契数列。&
4.&丘凯在《算术三篇》（1484）提出“平均值法则”：若A，B，C，D是正数，则（A+B）/（C+D）介于A/C与B/D之间。&
5.&塔尔塔利亚的三夫妇过河问题。&
6.&腓特烈大帝（）提出“36军官问题”：“6支部队6种军阶的共36名军官，能否排成6行6列，使每行每列都有各部队，各军阶的代表？”此问题欧拉也无法解决。到1902年，才被名不见经传的塔利解决：不可能！&
腓特烈大帝邀请拉格朗日到柏林科学院工作，在邀请信上写道：&“必须让欧洲最伟大的几何学家与最伟大的国王住在一起。”&
拉格朗日证明了“四平方数定理”：任一个正整数能表示成四个整数的平方之和。&
7.&俄罗斯诗人莱蒙托夫数学游戏（1841）：想一个数，加25，再加125，减37，再减你想的数，乘以5，除以2。必得282.5。此为恒等式的应用。&
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