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软件学院离散数学单元测试题(半群与群答案)
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＞＞＞过点Q（-2，21）作圆C：x2+y2=r2（r＞0）的切线，切点为D，且QD=4．（1）求..
过点Q（-2，21）&作圆C：x2+y2=r2（r＞0）的切线，切点为D，且QD=4．（1）求γ的值；（2）设P是圆C上位于第一象限内的任意一点，过点P作圆C的切线l，且l交x轴于点A，交y&轴于点B，设OM=OA+OB，求|OM|的最小值（O为坐标原点）．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）圆C：x2+y2=r2（r＞0）的圆心为O（0，0），则∵过点Q（-2，21）&作圆C：x2+y2=r2（r＞0）的切线，切点为D，且QD=4∴r=OD=QO2-QD2=4+21-16=3；（2）设直线l的方程为xa+yb=1（a＞0，b＞0），即bx+ay-ab=0，则A（a，0），B（0，b），∵OM=OA+OB，∴OM=（a，b），∴|OM|=a2+b2∵直线l与圆C相切，∴|-ab|a2+b2=3∴3a2+b2=ab≤a2+b22∴a2+b2≥36∴|OM|≥6当且仅当a=b=32时，|OM|的最小值为6．
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据魔方格专家权威分析，试题“过点Q（-2，21）作圆C：x2+y2=r2（r＞0）的切线，切点为D，且QD=4．（1）求..”主要考查你对&&平面向量的应用&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
平面向量的应用
平面向量在几何、物理中的应用
1、向量在平面几何中的应用：（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；1、向量在三角函数中的应用： （1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。3、向量在解析几何中的应用：（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。 平面向量在几何、物理中的应用
1、用向量解决几何问题的步骤： （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如：距离，夹角等； （3）把运算结果“翻译”成几何关系。 2、用向量中的有关知识研究物理中的相关问题，步骤如下： （1）问题的转化，即把物理问题转化为数学问题； （2）模型的建立，即建立以向量为主题的数学模型； （3）求出数学模型的有关解； （4）将问题的答案转化为相关的物理问题。
发现相似题
与“过点Q（-2，21）作圆C：x2+y2=r2（r＞0）的切线，切点为D，且QD=4．（1）求..”考查相似的试题有：
838159789374458425775139392564773743独异点与群的区别是什么？
独异点与群的区别是什么？
08-12-10 & 发布
半群,独异点与群 定义1. 具有结合律的代数称半群,记为.半群对运算封闭且满足结合律. o下面运算表给出一个半群. - 197 - o a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d 从表中看出,栏内元素(运算结果)不出头(表的左或上表头元素)说明了封闭性;每个元都是右零元,必然具有结合律.值得注意的一个事实是:每元皆为右零元的代数当且仅当其每元均是左幺元. 再如,均为半群,而,却不是半群,因为数的加法和乘法具有结合律,而减法和除法不具有结合律. 设为半群,如果BS,且也是半群,则称为的子半群,记为. o oo 如果半群的载体S的子集B对运算是封闭的,那么必是的子半群.因为结合律在封闭性下得到了保持. oo实数乘法半群的子半群有有理数乘法半群,整数乘法半群等等. 定义2.含有单位元的半群称为独异点,记为;独异点对运算封闭,可结合且含幺元. o整数乘法半群是个独异点,但自然数加法半群不是独异点(前者幺元是1后者幺元要求0). 子独异点的概念相仿于子半群一样定义.不同的是多加了一个对幺元的处置.子独异点可以保持幺元亦可以幺元另选. 例如在模6乘法独异点(其中i是I为6除余i的等价类,i×6j=ij×,i,j=0,1,...,5.幺元是1)中,,都是保持幺元1的子独异点,而- 198 - 也是一个子独异点,但它的幺元已另选元素×4. ×6 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 2 4 0 2 4 0 3 0 3 0 3 0 4 2 0 4 2 0 5 4 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 载体有限的独异点,其运算表中不会出现相同行和列.因为由幺元作运算的对应行(从左运算)列(从右运算)首先是没有相同元素的. 定理.独异点中可逆元a,b满足 o1.(a-1)-1=a; 2.aob亦可逆,且(aob)-1=b-1oa-1. 证明: 设e为的幺元,则 o1.由aoa-1=a-1a=e知(a-1)-1=a; o2.由(aob)(b-1a-1)=a(bob-1)oa-1=aa-1=e oooo及(b-1a-1)(ab)=b-1(a-1a)b=b-1b=e知 (ab)-1=b-1a-1. ooooooooo定义3.每元均可逆的独异点称为群,记为.群对运算封闭,具有结合律,含有幺元且每元均可逆. 例如有理数关于加法构成群:(1)有理数对加法封闭;(2)有理数对加法具有结合律;(3)幺元是数0;(4)每一元素的逆元是其相反数.有理数关于加法构成的群称有理数加法群. 同样还有整数加法群,实数加法群及复数加法群等.另外,Q-{0},R-{0},C-{0}这三个集合关于数的乘法也形成群,分别称为有理数乘法群,实数乘法群和复数乘法群. 例1.设P={A|A为n阶可逆矩阵};& &为矩阵乘法,则是一个群. 这是因为,具有封闭性,矩阵乘法具有结合律,而且在乘法运算下,单位矩阵即为幺元,P中每个矩阵的逆阵也就是它的逆元. 定义4.群中载体所含的元素个数称为该群的阶,记为|G|.当|G|有限时,称为有限群,否则称为无限群,或称的阶数为无穷大. oo群,独异点,半群和代数系统之间的关系是: . o群具有极好的性质,下面我们以&事实&的形式来介绍它. 事实1.阶数大于1的群中无零元. 因为:在阶数大于1时,零元无逆元(它与任何元运算都是零元0而不可能是幺元e). 事实2.群中一元一次方程aox=b及yoa=b总有解. 其解可构造为:x=a-1b,y=ba-1. oo事实3.群中具有消去律,即若ab=aoc则b=c;或者若ba=coa则b=c. oo事实上,b=eb=(a-1a)b=a-1(ab)=a-1(ac)=(a-1a)oc=c; oooooooo且b=be=b(aa-1)=(ba) a-1=(ca)a-1=co(aa-1)=ce=c. ooooooooo但是具有消去律的半群,独异点未必就是群,如是半群也是独异点并且具有消去律,然而它不是群(幺元1以外的元无逆元). 事实4.群中幺元以外的元均不幂等. 不然,e≠a,a幂等:a=aa,则a=ea=(a-1a)a=a-1(aa) =a-1a=e,矛盾. ooooooo事实5.有限群的运算表中的每行,每列都是群中元素的一个置换. - 200 - 事实5是事实3的一个显然的结果. 下面介绍子群. 定义5.设是群,若G的非空子集S关于运算o也构成群,则称为的子群,记为 . oo任何一个群至少有两个子群:和自身,称作群的平凡子群. ooo关于子群,有以下命题成立. 命题1.子群保持群的幺元. oo证明: 因为是群,故有幺元e1;是群,有幺元e.所以g∈S当有e1og=g,但 ,故e1og=g在中亦成立.从而有e1og=g=eog.由消去律便得e1=e. o命题2.设是群,S是G的有限非空子集,如果S关于运算封闭,那么是子群. oo证明:b∈S,由S对的封闭性,知b,b2,b3,...,bi,..., bj,...都是S中元素.S非空有限,b的幂次序列中当有相同元,不妨设bi=bj,并得bi=biobj-i,但bie=bi=bibj-i.由消去律,得bj-i=e,即除了具有封闭性而保持结合律外,还具有幺元e.考虑bj-i=e.若j-i=1,则b=e,b-1=e;若j-i&1则bj-i-1b=e,b-1=bj-i-1,这对b∈S都对.故是群,因而是子群. oooo如果S是G的无限子集,则结论不能成立.例如,是群,N对+封闭,但不是子群.因为自然数在加法下没有逆元(相反数不属N),所以如此,是因为任一自然数形成的加法幂序列中,没有相同元! 命题3.设是群,S是G的非空子集,则是的子群的充要条件是满足下列两个条件: o(1)对运算o具有封闭性; (2) x∈S,有x-1∈S. 证明:如果是群,则它显然满足上面两个条件.反之,o- 201 - 设满足条件(1),(2),则有eo∈S(e=xox-1∈S),而运算的结合律既然在中成立,当然在中也成立,故是群. o命题4.子群的判定: 设是群,S是G的非空子集,如果对任意a,b∈S都有aob-1∈S,则是的子群. o证明: (1)S非空,有a,a∈S, 由条件, aoa-1=e∈S, 所以S含幺; (2)e∈S, aS, 由条件, a-1=ea-1 ∈o∈S, 所以S中每元均可逆; (3) a,bS,由(2)证知a,b-1∈∈S,由条件,a(b-1)-1=ab S.所以S对运算o封闭. oo∈(4)由(3),S对o运算封闭,对 a,b,c∈S,(aob) oc和a(boc)都属S,但它们在G中是同一元,当然在G的子集S中还是同一元,即:a(boc)=(ab)oc.可见是子群. oooo在命题4中,如将条件& a,b∈S,都有ab-1o∈S&改为&a,bS,都有a-1ob ∈∈S&,其结论仍真而证明亦相仿. 定义6.如果群关于运算o有交换律,则称其为交换群,或称为Abel群. o显然,都是Abel群,而例1中不是Abel群,因为矩阵乘法不具有交换律. 对aG, 记a2= 一般an=an-1a, 称为a的n次幂元.使用这一记法,我们有下述事实: ∈o群是Abel群,当且仅当对任意的a,b∈G,都有:(ab)2=a2ob2. o定义7.由一个元素a的全体幂元构成的群,称循环群,元 素a称为循环群的一个生成元,循环群由a生成,所以往往就以(a)表示这个循环群. 这里所说a的全体幂元包含a的&负幂元&,即a-1的幂元,a-n=(a-1)n. - 202 - 如果循环群由a生成,则G={an|no∈I},而当|G|=n时,G={e,a,a2,...,an-1}. 显然,对任何一个群中的任何一个元素a,若记S={x|x=e或存在nI,使x=an},则是的一个循环子群. o∈
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半群,独异点与群 定义1. 具有结合律的代数称半群,记为.半群对运 算封闭且满足结合律. o 下面运算表给出一个半群. - 197 - o a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d 从表中看出,栏内元素(运算结果)不出头(表的左或上表头 元素)说明了封闭性;每个元都是右零元,必然具有结合律.值 得注意的一个事实是:每元皆为右零元的代数当且仅当其每元 均是左幺元. 再如,均为半群,而,却不是半群,因 为数的加法和乘法具有结合律,而减法和除法不具有结合律. 设为半群,如果BS,且也是半群,则称 为的子半群,记为. o o o 如果半群的载体S的子集B对运算是封闭的,那么 必是的子半群.因为结合律在封闭性下得到了保 持. o o 实数乘法半群的子半群有有理数乘法半群, 整数乘法半群等等. 定义2.含有单位元的半群称为独异点,记为;独异 点对运算封闭,可结合且含幺元. o 整数乘法半群是个独异点,但自然数加法半群不是独异点 (前者幺元是1后者幺元要求0). 子独异点的概念相仿于子半群一样定义.不同的是多加了 一个对幺元的处置.子独异点可以保持幺元亦可以幺元另选. 例如在模6乘法独异点(其中i是I 为6除余i的等价类,i×6j=ij×,i,j=0,1,...,5.幺元是1)中, ,都是保持幺元1的子独异点,而 - 198 - 也是一个子独异点,但它的幺元已另选元素×4. ×6 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 2 4 0 2 4 0 3 0 3 0 3 0 4 2 0 4 2 0 5 4 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 载体有限的独异点,其运算表中不会出现相同行和列.因 为由幺元作运算的对应行(从左运算)列(从右运算)首先是没有 相同元素的. 定理.独异点中可逆元a,b满足 o 1.(a-1)-1=a; 2.aob亦可逆,且(aob)-1=b-1oa-1. 证明: 设e为的幺元,则 o 1.由aoa-1=a-1a=e知(a-1)-1=a; o 2.由(aob)(b-1a-1)=a(bob-1)oa-1=aa-1=e oooo 及(b-1a-1)(ab)=b-1(a-1a)b=b-1b=e知 (ab)-1= b-1a-1. oooooooo o 定义3.每元均可逆的独异点称为群,记为.群对运 算封闭,具有结合律,含有幺元且每元均可逆. 例如有理数关于加法构成群:(1)有理数对加法封闭;(2)有 理数对加法具有结合律;(3)幺元是数0;(4)每一元素的逆元是 其相反数.有理数关于加法构成的群称有理数加法群. 同样还有整数加法群,实数加法群及复数加法群等.另 外,Q-{0},R-{0},C-{0}这三个集合关于数的乘法也形成群,分别 称为有理数乘法群,实数乘法群和复数乘法群. 例1.设P={A|A为n阶可逆矩阵};& &为矩阵乘法,则是一个群. 这是因为,具有封闭性,矩阵乘法具有结合律,而且在 乘法运算下,单位矩阵即为幺元,P中每个矩阵的逆阵也就是它的 逆元. 定义4.群中载体所含的元素个数称为该群的阶,记为 |G|.当|G|有限时,称为有限群,否则称为无限群,或 称的阶数为无穷大. o o 群,独异点,半群和代数系统之间的关系是: . o 群具有极好的性质,下面我们以&事实&的形式来介绍它. 事实1.阶数大于1的群中无零元. 因为:在阶数大于1时,零元无逆元(它与任何元运算都是 零元0而不可能是幺元e). 事实2.群中一元一次方程aox=b及yoa=b总有解. 其解可构造为:x=a-1b,y=ba-1. oo 事实3.群中具有消去律,即若ab=aoc则b=c;或者 若ba=coa则b=c. o o 事实上,b=eb=(a-1a)b=a-1(ab)=a-1(ac)= (a-1a)oc=c; ooooooo o 且b=be=b(aa-1)=(ba) a-1=(ca)a-1= co(aa-1)=ce=c. ooooooo oo 但是具有消去律的半群,独异点未必就是群,如是半群也是独异点并且具有消去律,然而它不是群(幺元1以 外的元无逆元). 事实4.群中幺元以外的元均不幂等. 不然,e≠a,a幂等:a=aa,则a=ea=(a-1a)a=a-1(aa) =a-1a=e,矛盾. oooooo o 事实5.有限群的运算表中的每行,每列都是群中元素的一 个置换. - 200 - 事实5是事实3的一个显然的结果. 下面介绍子群. 定义5.设是群,若G的非空子集S关于运算o也构 成群,则称为的子群,记为 . oo 任何一个群至少有两个子群:和自 身,称作群的平凡子群. ooo 关于子群,有以下命题成立. 命题1.子群保持群的幺元. oo 证明: 因为是群,故有幺元e1;是群,有幺元 e.所以g∈S当有e1og=g,但 ,故e1og=g 在中亦成立.从而有e1og=g=eog.由消去律便得e1 =e. o 命题2.设是群,S是G的有限非空子集,如果S关于 运算封闭,那么是子群. o o 证明:b∈S,由S对的封闭性,知b,b2,b3,...,bi,..., bj,...都 是S中元素.S非空有限,b的幂次序列中当有相同元,不妨设 bi=bj,并得bi=biobj-i,但bie=bi=bibj-i.由消去律,得bj-i =e,即除了具有封闭性而保持结合律外,还具有幺元e. 考虑bj-i=e.若j-i=1,则b=e,b-1=e;若j-i&1则bj-i-1b=e, b-1=bj-i-1,这对b∈S都对.故是群,因而是子群. o oo o 如果S是G的无限子集,则结论不能成立.例如,是 群,N对+封闭,但不是子群.因为自然数在加法下没有 逆元(相反数不属N),所以如此,是因为任一自然数形成的加法 幂序列中,没有相同元! 命题3.设是群,S是G的非空子集,则是 的子群的充要条件是满足下列两个条件: o (1)对运算o具有封闭性; (2) x∈S,有x-1∈S. 证明:如果是群,则它显然满足上面两个条件.反之,o - 201 - 设满足条件(1),(2),则有eo∈S(e=xox-1∈S),而运算的结合 律既然在中成立,当然在中也成立,故是群. o 命题4.子群的判定: 设是群,S是G的非空子集,如果对任意a,b∈S都 有aob-1∈S,则是的子群. o 证明: (1)S非空,有a,a∈S, 由条件, aoa-1=e∈S, 所以S含幺; (2)e∈S, aS, 由条件, a-1=ea-1 ∈o∈S, 所以S中每元均可 逆; (3) a,bS,由(2)证知a,b-1∈∈S,由条件,a(b-1)-1=ab S.所以S对运算o封闭. oo ∈ (4)由(3),S对o运算封闭,对 a,b,c∈S,(aob) o c和a(boc)都属S,但它们在G中是同一元,当然在G的子 集S中还是同一元,即:a(boc)=(ab)oc.可见是子群. o ooo 在命题4中,如将条件& a,b∈S,都有ab-1o∈S&改为 &a,bS,都有a-1ob ∈∈S&,其结论仍真而证明亦相仿. 定义6.如果群关于运算o有交换律,则称其为交换群, 或称为Abel群. o 显然,都是Abel群,而例1中不是 Abel群,因为矩阵乘法不具有交换律. 对aG, 记a2= 一般an=an-1a, 称为a的n次幂元. 使用这一记法,我们有下述事实: ∈o 群是Abel群,当且仅当对任意的a,b∈G,都有: (ab)2=a2ob2. o 定义7.由一个元素a的全体幂元构成的群,称循环群,元 素a称为循环群的一个生成元,循环群由a生成,所以往往就 以(a)表示这个循环群. 这里所说a的全体幂元包含a的&负幂元&,即a-1的幂 元,a-n=(a-1)n. - 202 - 如果循环群由a生成,则G={an|no∈I},而当|G|=n 时,G={e,a,a2,...,an-1}. 显然,对任何一个群中的任何一个元素a,若记 S={x|x=e或存在nI,使x=an},则是的一个循环子 群. o ∈
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　网络作为现实社会人们生存与活动的“另类空间”，WBR必然具有相对的独立性和完整性。因此，“虚拟社区”WBR这一理论命题，WBR表现了它是人们在网际网络上实现社会互动的社会生活单位与空间。WBR这种以因特网上的某一网站、WBR电子邮件或新闻组为中介进行对话和交流而建立起来的空间环境，WBR是因为人们借助于社会学关于社区的研究，WBR并结合网络自身的特性作出判断，从而把它命名为“虚拟社区”。[虚拟社群]虚拟社群又称虚拟社区、网路社群或电子社群或电脑社群，是网际网路使用者互动后，產生的一种社会群体。Rheingold认為虚拟社群是一群人在网路上从事公眾讨论，经过一段时间，彼此拥有足够的情感后，所形成人际关係的网络。Rheingold（2000）认為虚拟社群是一种新型的社会组织，并有以下四种特质：1.表达的自由；2.缺乏集中的控制；3.多对多的传播；4.成员出自於自愿的行為。虚拟社群的形式包括了早期的电子佈告栏、讨论区、MUD，或是近期才出现的部落格、维基百科。虚拟社群的林立，正体现Web2.0所强调使用者為中心的概念，透过社群成员彼此的分享与共创，使得人人皆可在网路媒体发声。人们通过互联网技术，在网上聚眾，发表文章、网上日誌、相片、录像分享，互相影响著现实生活中人们的思想、意识、文化、性取向等。在网上，虚拟社区也是一个社会组织网络，互联形成全球化、地球村，及各部落、自治区等。 有网友上网，追求的是无政府世界的自由，不过其实虚拟社区也存在著等级，有管理人及新鲜人，有部落格主人(OWNER)及访问者(GUEST)，前者有权取捨网上资讯，当把关人；而后者有「服从」或「转台」他去的自由。[发展成媒体]网路的发展，以分享、多中心沟通為始，由於讯息流通广佈，似形成意义的接收与共享，传播学学者遂以媒体称之。然而，社会学学界见到了人们於网路上的社会行為，虽以沟通為主，不以沟通為限。社群的比拟用词便是社会学界看网路的一个观察指标。
请登录后再发表评论!（2012o芜湖三模）设两个复数集N={z|z=2cosθ+i（λ+3sinθ），θ∈R}，M={z|z=t+i（4-t2），t∈R}的交集为非空集合，则实数λ的取值范围是（　　）A．[0，7]B．[1，7]C．[-916，0]D．[-916，7]_百度作业帮
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（2012o芜湖三模）设两个复数集N={z|z=2cosθ+i（λ+3sinθ），θ∈R}，M={z|z=t+i（4-t2），t∈R}的交集为非空集合，则实数λ的取值范围是（　　）A．[0，7]B．[1，7]C．[-916，0]D．[-916，7]
（2012o芜湖三模）设两个复数集N={z|z=2cosθ+i（λ+3sinθ），θ∈R}，M={z|z=t+i（4-t2），t∈R}的交集为非空集合，则实数λ的取值范围是（　　）A．[0，7]B．[1，7]C．[-，0]D．[-，7]
∵N={z|z=2cosθ+i（λ+3sinθ），θ∈R}，M={z|z=t+i（4-t2），t∈R}的交集为非空集合，∴2有解，∴λ=4-3sinθ-4cos2θ=-3sinθ+4sin2θ=4（sin2θ-sinθ）=4（sinθ-）2-，∴当sinθ=时，λ取最小值-，当sinθ=-1时，λ取最大值7，故选D．
本题考点：
复数的代数表示法及其几何意义；交集及其运算．
问题解析：
由题设得2有解，所以λ=4-3sinθ-4cos2θ=4（sinθ-）2-，由此能求出实数λ的取值范围．有限素域上的乘法群是循环群 - 科学空间|Scientific Spaces
欢迎访问“科学空间”，我们将与您共同探讨科学，感悟人生；我们期待你的参与
有限素域上的乘法群是循环群
作者：苏剑林 |
发布时间：January 20, 2015
对于任意的素数$p$，集合$\mathbb{Z}_p=\{0,1,2,\dots,p-1\}$在模$p$的加法和乘法之下，构成一个域，这是学过抽象代数或者初等数论的读者都会知道的一个事实。其中，根据域的定义，$\mathbb{Z}_p$首先要在模$p$的加法下成为一个交换群，而且由于$\mathbb{Z}_p$的特殊性，它还是一个循环群，这也是比较平凡的事实。但是，考虑乘法呢？首先，$0$是没有逆元的，我们考虑乘法，是在$\mathbb{Z}^*_p=\mathbb{Z}_p \verb|\| \{0\}=\{1,2,\dots,p-1\}$上考虑的。如果我说，$\mathbb{Z}^*_p$在模$p$之下的乘法也作成一个循环群，这结论就不是很平凡的了！然而这确实是事实，对于所有的素数$p$均成立。而有了这事实，数论中的一些结论就会相当显然了，比如当$d\mid (p-1)$时，$\mathbb{Z}_p$中的$d$次剩余就只有$\frac{p-1}{d}$个了，这是循环群的基本结论。在《数学天书中的证明》一书中，有该结论的一个证明，但这个证明是存在性的，而我在另外一本书上也看到过类似的存在性证明，也就是说，似乎流行的证明都是存在性的，它告诉我们$\mathbb{Z}^*_p$是一个循环群，但是没告诉我们怎么找到它的生成元。而事实上，高斯在他的《算术探索》中就给出了一个构造性的证明。（在数论中，本文的结论是“原根”那一章的基本知识。）下面笔者正是要重复高斯的证明，供读者参考。构造性程序首先，$\mathbb{Z}^*_p$在模$p$之下的乘法作成一个有限群，这对要理解本文的读者来说应当是平凡的，不然的话请读者先完成并熟悉这个证明。既然是有限群，那么每个元素的阶都是有限的，我们只要找到一个$p-1$阶的元素，就可以证明$\mathbb{Z}^*_p$是一个循环群。办法也不算复杂。首先，在$\mathbb{Z}^*_p$中任意选一个元素$a$，假设它是$|a|=r$阶的，则$r\mid (p-1)$，如果$r=p-1$，那么自然“打完收工”；否则在$\mathbb{Z}_p$中考虑方程$x^{r}=1$，由于$a$是$r$阶的，所以$a^{r}=1$，从而也有
$$1=1^r=a^{r}=(a^2)^{r}=\dots=(a^{r-1})^{r_1}$$
$x^{r}=1$在$\mathbb{Z}_p$中至多有$r$个不同的解，而上式表明$1,a,a^2,\dots,a^{r-1}$正是它的$r$个不同的解，从而是全部解。也就是说，对于每个$d\mid r$，$\mathbb{Z}^*_p$中的$d$阶元素在集合$\{1,a,a^2,\dots,a^{r-1}\}$中。然后，在$\mathbb{Z}^*_p$中除去这$r$个数，在剩下的元素中选一个$b$，假设它是$|b|=s$阶的，如果$s=p-1$，那么任务完成；否则，由于已经排除了前面$r$个数，因此$s\nmid r$，因此$r,s$的最小公倍数$[r,s] > \max\{r,s\}$，考虑元素$ab$，那么$ab$便是$[a,b]$阶的，如果$[a,b]=p-1$，那么任务完成；否则按照前一步类似的方法，把
$$1,ab,(ab)^2,\dots,(ab)^{[a,b]-1}$$从$\mathbb{Z}^*_p$中排除掉，在剩下的数中，任意找一个$c$，重复上面的过程。由于每一步都可以找到比上一步更大的阶的元素，每次找到$d$阶的元素，就删除掉$d$个元素，而$d < p-1$。也就是说，只要没找到$p-1$阶的元素，那么这个程序就不会终结，但是，由于阶有上界$p-1$，那么这个程序必然在有限步内终止。从而必然存在$p-1$阶的元素，所以$\mathbb{Z}^*_p$是循环群，而且上述程序可以帮我们把生成元找出来。例子展示下面以$p=79$为例子，展示如何找到$\mathbb{Z}^*_{78}$的生成元。第一步，选取$a=2$，必然成立
$$2^{78}\equiv 1 (\bmod\,79)$$
读者或许会说这是费马小定理的结论，但是从代数的角度看，已知$\mathbb{Z}^*_{78}$是群，而上式是有限群的必然结论。现在检验$2^{39}$，发现$2^{39}\equiv 1 (\bmod\,79)$，然后检验$2^3$和$2^{13}$，发现均不模79余1，从而$|2|=39$，计算
$$2^0,2^1,\dots,2^{38}$$
得到1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 49, 19, 38, 76, 73, 67, 55, 31, 62, 45, 11, 22, 44, 9, 18, 36, 72, 65, 51, 23, 46, 13, 26, 52, 25, 50, 21, 42, 5, 10, 20, 40发现$3$不在该列表中，故选取$b=3$，不用检验，立马可以判断$6=3\times 2$必然是一个78阶元素（因为每步的阶比原来的高，比39更高的阶只能是78了），所以$6$是$\mathbb{Z}^*_{78}$的一个生成元。
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