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利用不等式的性质把下列不等式化为x&a或x＜a的形式，并在数轴上表示解集。（1）3（x-2）-4（1-x）＜1；&&（2）1≥x+2。
题型：计算题难度：中档来源：同步题
解：（1）3x-6-4+4x＜1， 7x＜11，∴x＜如图：；（2）6-（2x-1）≥6x+12，&&&&6-2x+1≥6x+12，&&&&-8x≥5，&& ∴ x≤-如图：。
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据魔方格专家权威分析，试题“利用不等式的性质把下列不等式化为x&a或x＜a的形式，并在数轴..”主要考查你对&&一元一次不等式的解法，数轴&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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一元一次不等式的解法数轴
一元一次不等式的解集：一个有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。例如﹕不等式x-5≤-1的解集为x≤4；不等式x﹥0的解集是所有正实数。求不等式解集的过程叫做解不等式。将不等式化为ax&b的形式(1)若a&0，则解集为x&b/a(2)若a&0，则解集为x&b/a
一元一次不等式的特殊解：不等式的解集一般是一个取值范围，但有时需要求未知数的某些特殊解，如求正数解、整数解、最大整数解等，解答这类问题关键是明确解的特征。 不等式的解与解集：不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。如x=1是x+2&1的解①不等式的解是指某一范围内的某个数，用它来代替不等式中的未知数，不等式成立。②要判断某个未知数的值是不是不等式的解，可直接将该值代入等式的左、右两边，看不等式是否成立，若成立，则是；否则不是。③一般地，一个不等式的解不止一个，往往有无数个，如所有大于3的数都是x&3的解，但也存在特殊情况，如|x|≦0，就只有一个解，为x=0不等式的解集和不等式的解是两个不同的概念。①不等式的解集一般是一个取值范围，在这个范围内的每一个数值都是不等式的一个解，不等式一般有无数个解。②不等式的解集包含两方面的意思：解集中的任何一个数值，都能使不等式成立；解集外的任何一个数值，都不能使不等式成立。（即不等式不成立）③不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，如不等式x-1&2的解集是x&3,可以用数轴上表示3的点左边部分来表示，在数轴上表示3的点的位置上画空心圆圈，表示不包括这一点。一元一次不等式的解法：解一元一次不等式与解一元一次方程的方法步骤类似，只是在利用不等式基本性质3对不等式进行变形时，要改变不等式的符号。有两种解题思路：（1）可以利用不等式的基本性质，设法将未知数保留在不等式的一边，其他项在另一边；（2）采用解一元一次方程的解题步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤。&解一元一次不等式的一般顺序： （1）去分母 （运用不等式性质2、3） 　　（2）去括号 　　（3）移项 （运用不等式性质1） 　　（4）合并同类项。 　　（5）将未知数的系数化为1 （运用不等式性质2、3） 　　（6）有些时候需要在数轴上表示不等式的解集&不等式解集的表示方法： （1） 用不等式表示：一般的，一个含未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式表达出来。例如：x-1≤2的解集是x≤3。 　　（2） 用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地说明不等式有无限多个解。用数轴表示不等式的解集要注意两点：一是定边界线；二是定方向。数轴定义：规定了唯一的原点，正方向和单位长度的一条直线叫做数轴。数轴具有三要素：原点、正方向和单位长度，三者缺一不可。数轴是直线，可以向两方无限延伸，因此所有的有理数都可用数轴上的点来表示。用数轴上的点表示有理数：每一个有理数都可用数轴上的点来表示，表示正数的点在数轴原点的右边，表示负数的点在数轴原点的左边，原点表示数0。 1.数轴上的点表示的数不一定都是有理数，还可能是无理数，但有理数都可用数轴上的点来表示。 2.表示正数的点都在原点右边，表示负数的点都在原点左边。 3.数轴上的点表示的数，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，因此，可借助数轴比较有理数的大小。 数轴的画法： 1.画一条直线（一般画成水平的直线）； 2.在直线上根据需要选取一点为原点（在原点下面标上“0”）； 3.确定正方向（一般规定向右为正，并用箭头表示出来）； 4.选取适当的长度为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示1，2，3，…；从原点向左，用类似的方法依次表示-1，-2，-3，…。 数轴的应用范畴:符号相反的两个数互为相反数，零的相反数是零。（如2的相反—2）在数轴上离开原点的距离就叫做这个数的绝对值。一个正数的绝对值是它本身，一个负数的相反数是它的正数，0的绝对值是0。
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1902712281419272784331115313711789783.10.1　机内形式的整数
本文所属图书&>&
本书从编程原理、基本语法、 丰富且循序渐进的例题三个方面以C语言为平台介绍程序设计，旨在开拓学生解决问题的思路，培养学生解决问题的能力。本书的创新之处在于首先通过一个理想厨房的实例类比了计算机系统的...&&
3.10　提高部分
在计算机的内部所有数和码都是二进制的，我们必须对其有所了解，在中遇到困难或障碍时才不至于束手无策。
计算机内部的二进制数的表示多数与手写表示的二进制数有所不同。
3.10.1　机内形式的整数
（1）无符号整数
无符号整数即非负整数，与手写表示法相同。
在计算机中，无符号整数可用1个、2个、4个或8个字节来存储和传输。
1个字节的位串能够表示的数值范围是0～255（即&1）。
2个字节的位串能够表示的数值范围是0～65535（即216&1）。
4个字节的位串能够表示的数值范围是0～（即232&1）。
但读者要注意：在时，尽量统一采用有符号数（变量与常量），在可以不使用无符号数的情况下，尽量不要用无符号数，以避免类型转换带来的很多麻烦。
（2）有符号整数
有符号整数又称为&真值&。因为真值有正负号，所以在计算机中无法直接用位串来表示真值，要采用某种编码来间接表示有符号整数。
在某个取值范围中的所有有符号整数构成了一个（有限个元素的）集合。因此，当然可以用一定长度的二进制位串来对其进行编码 。用二进制位串通过编码来表示有符号整数时，有多种编码规则，最常用的有原码、反码和补码。
原码表示法
&原码表示法& 编码规则规定：用位串最左边的一位（通常称为最高位）表示该数的符号位：0表示正数，1表示负数，其余各位表示该数的绝对值。下表是一些用1个字节表示的典型数值的8位原码。
可见，将原码表示的二进制有符号整数转换成十进制整数很简单，只要将最高位转变成正、负号，将剩下的其余各位用前面学过的方法转变成十进制整数即可。比如，就是十进制数&27。 值得注意的是，原码表示法中有两个0值：正0和负0。
补码表示法
但是，在计算机的设计制造中，人们却偏爱采用补码（编码规则）来间接表示有符号整数。
对于在&128～127之间的真值，人们可以做两个数的加法，只要对两个绝对值一样而符号相反的数做加法，结果就是0。我们如何设计位串长度为8位的&补码&来做类似的事呢？
位串长度为8位的补码是这么设计的，正数的补码值就是所对应的无符号整数；而一个负数的补码值是这样得出来的：要求该补码值在与其绝对值一样大的无符号整数做加法时，结果应当是（注意：一共有8个0）。
也就是说，只要将向更高位的进位直接舍弃，补码也遵守同样的准则：两个绝对值一样而符号相反的补码做加法，其结果是0。
由此，我们很容易得到求一个真值为负数的（位串长度为8位的）补码的方法：先求出它所对应的二进制正数a，然后将其每一位都取反得到另一个二进制数b（即将a中的0变成1，1变成0）。这样的两个二进制数相加(a+b)，必然等于个1），最后将b再加上1，这样就得到了一个负数的补码，此数与其等值的正数的补码相加，一定会等于。
举例来说，求真值&25的补码，先求25的补码得到，然后每一位都取反得到，然后再加1得到，这就是真值&25的补码。
由于位串长度为8位的补码表太长，我们来研究位串长度为4位的补码，见下表。
注意：从上表可看出，正数补码的最高位都是0，而负数补码的最高位都是1。
取表中有代表性的几个数据进行相加，看看它们的真值运算和补码运算有何对应关系。
1）大正数加小负数。
用真值运算：6+（&3）=3
用补码进行运算： 011，舍弃4位外的最高位，得到用补码运算的结果0011，这恰好也是二进制形式表示的3。
2）小正数加大负数。
用真值运算：2+（&7）=&5
用补码进行运算：11，得到用补码运算的结果是1011，查表可看到，补码1011所对应的真值恰好也是&5。
3）负数加负数。
用真值运算：（&1）+（&7）=&8
用补码进行运算：000 ，舍弃4位以外的最高位，得到用补码运算的结果是1000，查表可看到，补码1000所对应的真值恰好也是&8。
延伸与拓展： 如何从补码的运算结果中求得十进制的真值？
如果最高位为0，只要将此正整数转化十进制整数即可；如果补码结果的最高位是1，说明该结果是一个负数，那么与该负数的补码所对应的二进制的绝对值该如何求得呢？答案很简单：对运算结果每一位取反后再加1（这还是因为：若将该负数的补码与其绝对值一样大的正数做加法，其结果仍然应当是）。
结论：对负数的补码再次求补（即将每一位取反后再加1），得到的是该补码所表示的数的（二进制形式的）绝对值。
例如，假设补码运算的结果是1011，如何求得它所对应的绝对值的大小呢？因为它的最高位为1，表明结果是负数。对其再次求补码（每一位取反后再加1），即可得到该补码所表示的数的绝对值为（。所以，补码运算结果用十进制真值来表示就是&5。
&补码运算中的溢出
在一定长度的补码系统中，两正数的补码（最高位同为0）之和或者两负数的补码（最高位同为1）之和可能会超出该补码系统所能够表示的最大、最小数。如何判断运算结果是否溢出呢？只要看运算结果的最高位是否变了号（这是充分必要条件）。例如，真值运算（&7）+（&5）=&12，但是经查表得到用4位补码进行的运算结果却是：=（1）0100，等于4,符号位从1变成了0 ! 这就产生了溢出。
&符号位的扩展
一个补码表示的有符号数在进行扩展时，直接用它的符号位复制到高位字节中（即提升到字节数更多的有符号整型时），这称为&符号位扩展&。
&计算机硬件为何要用补码进行算术运算
为何计算机要如此麻烦地使用补码来进行算术运算，而不使用人们更容易懂得的原码来进行运算？
简单地说，这是由于用原码运算会出现麻烦&符号位在某些情况下不能直接参与运算，比如（）原+（）原=（）原=（&2）10，这明显不对。而且原码还出现了两个0（正0：和负0：）的问题。
而采用补码来进行运算，以上这些问题都迎刃而解！符号位与数字位可以一并参与算术运算，如果有向更高位的进位（即在最高符号位上产生了向高位的进位），只要直接把它舍弃即可。采用补码后，所有减法都可用加法代替，节省了制造算术逻辑单元的成本（不必制造实现减法的电路，在算术逻辑单元中只要有&全加器&电路即可）。
（3）计算机中使用补码的流程
计算机中使用补码的过程如下：
编程（或在程序运行时输入）的有符号整数（即十进制的真值）
&&&&&&&&&&&&&&&&&& &
数值被编译程序（或由输入库函数）转换成补码
&&&&&&&&&&&&&&&&&& &
硬件（ALU）用该数补码进行算术运算（代替用真值进行运算）
&&&&&&&&&&&&&&&&&& &
&&&&&&&&&& 得到用补码表示的运算结果
&&&&&&&&&&&&&&&&&& &
由输出库函数将结果转换成十进制的真值输出
&&&&&&&&&&&&&&&&&& &
操作者最终看到十进制的结果
由此可见，对于一般的编程者来说，只要程序运行不会出现溢出问题，不需修改程序将补码进行符号位的扩展，不需要使用补码表示的数据拆开来进行位运算，在编写源程序中,通常不必考虑有符号整数在机内是用补码来表示的这个底层问题。
（4）类型提升时的符号位扩展
补码表示的有符号整数在进行类型提升时，即由短位串变为长位串时（比如，由int型提升为long int型），只要将符号位进行扩展即可。
比如，一个字节的补码表示的有符号数（正数）和（负数），提升为两个字节的补码表示的有符号数分别就是：1000 （正数）和0110（负数），低8位没有发生任何变化，只需将符号位向高位扩展即可：符号位是0，扩充的高位字节就全部填充0，符号位是1，扩充的高位字节就全部填充1。只有这样，才能确保在类型提升后的补码所对应的真值与提升前的原来真值一样大。
然而，一个无符号的整数在类型提升时采用的规则，却是将扩充的高位字节全部填充0。
提示：正是由于无符号整数类型提升时（高位都填充0）与用补码表示的有符号数的类型提升有着根本不同，所以，本书不提倡将无符号数和有符号数混用在同一个表达式中，以免类型转换时出现麻烦。万一不得已必须放在一个表达式中，在类型转换时要特别小心，避免犯错误。
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高中数学必修1人教新课标：第一章1.1集合的含义与表示
1．1　集　合1．1.1　集合的含义与表示1．我们在初中接触过“正数的集合”、“负数的集合”等，集合的含义又是什么呢？①解不等式2x－1＞3得x＞2，所有大于2的实数集在一起称为这个不等式的解集．②平面几何中，圆是到定点的距离等于定长的点的集合．③自然数的集合0,1,2,3，……④高一(5)班全体同学组成一个集合．请想一想，集合这个概念应该怎样描述？一般地，我们把所研究的对象如点、自然数、高一(5)班的同学统称为
组成的总体叫做 ，通常用
表示．2．元素与集合的关系用符号
表示．3．集合中元素的性质(或称三要素)：．元素元素集合大写拉丁字母A、B、C，…∈、?确定性、互异性、无序性(1)给定的集合中的元素必须是确定的．“我国的小河流”能不能组成一个集合，你能用集合的知识解释吗？答案：“我国的小河流”不能组成一个集合．因为集合中的元素必须是确定的，而在我国的河流中到底多大才算小河流并无具体的标准．(2)集合中的元素必须是互不相同的，由1，－1,1,3组成的集合为
；若a∈{a2,1}则a＝
.(3)若构成两集合的元素是一样的，则称两集合
，若集合{1,2}与集合{a,1}相等，则a＝
.4．常见的数集符号：自然数集：
；正整数集：
；整数集：
；有理数集：
；实数集：
.5．把集合中的元素一一列举出来．并用
括起来表示集合的方法叫做
，如大于－1且小于10的偶数构成的集合可表示为
．{1，－1,3}相等2NN＋ZQR花括号“{
}”列举法{0,2,4,6,8}0用列举法表示下列集合：(1)方程(x2－1)(x2＋2x－8)＝0的解集为．(2)方程|x－1|＝3的解集为
．(3)绝对值小于3的整数的集合为
．{－1,1，－4,2}{－2,4}{－2，－1,0,1,2}6．用集合所含元素的
表示集合的方法，称作描述法．具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的
，再画一条竖线，在这条竖线后面写出这个集合中元素所具有的
．它的一般形式是{x∈A|p(x)}或{x|p(x)}．“
”为代表元素，“
”为元素x必须具有的共同特征，当且仅当“x”适合条件“p(x)”时，x才是该集合中的元素，此法具有抽象概括、普遍性的特点，当元素个数较多时，一般选用此法．共同特征一般符号及取值(或变化)范围共同特征xp(x)1°试用描述法表示下列集合：(1)方程x2－3x＋2＝0的解集为
．(2)不等式3x＋2>0的解集为
．(3)大于1小于5的整数组成的集合为
．2°用列举法表示下列集合：(1)6的正约数组成的集合．________(2)不等式2x－1＜5的自然数解组成的集合．________(3)古代我国的四大发明组成的集合．________(4)A＝{x|0<x≤5且x∈N}．________(5)B＝{x|x2－5x＋6＝0}．________{x|x2－3x＋2＝0}{x|3x＋2>0}{x∈Z|1<x<5}[解析]　(1)6的正约数为1,2,3,6，故所求集合为{1,2,3,6}(2)不等式2x－1＜5变形为x＜3，因此它的自然数解为0,1,2，故所求集合为{0,1,2}(3)古代我国的四大发明为：指南针，造纸，火药，印刷术，形成集合为{指南针，造纸，火药，印刷术}．(4)A＝{1,2,3,4,5}．(5)B＝{2,3}．本节重点：集合的概念，集合中元素的三个特性及集合的表示方法．本节难点：集合中元素的性质的理解．正确理解概念，准确使用符号，熟练进行集合不同表示方法的转换是学好本节的关键．1．要辩证理解集合和元素这两个概念：(1)符号∈和?是表示元素和集合之间关系的，不能用来表示集合之间的关系．元素与集合之间是个体与整体的关系，不存在大小与相等关系．(2)集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符合条件．2．深刻认识集合中元素的四种属性(1)任意性：集合中的元素可以是任意的对象，无论是数、式、点、线、人，还是其它的某种事或物，只要它们具有某种共同属性，集中在一起就能组成一个集合，我们把集合的这一性质称为元素的任意性；在中学，我们主要研究对象是一系列的数的集合或点的集合．(2)确定性：判断一些对象是否可以组成一个集合，主要方法是，在观察任意一个对象时，应该可以确定这一对象要么属于这一集合，要么它不属于这一集合．(3)无序性：在表示一个集合时，我们只需将某些指定的对象集在一起，虽然习惯上会将元素按一定顺序来写出，但却不强调它们的顺序，当两个集合中的元素相同，即便放置顺序完全不同时，它们也表示同一集合．例如：{a，b}和{b，a}表示同一个集合．(4)互异性：对于任意一个集合而言，在这一集合中的元素都是互不相同的个体．如：给出集合{1，a2}，我们根据集合中元素的互异性，就已经得到了关于这个集合的几点信息，即这一集合中有两个不同的元素，其中的一个是实数1，而另一个一定不是1，所以a≠1，且a≠－1.3．正确理解列举法(1)元素间用分隔号“，”隔开；(2)元素不重复；(3)对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律显示清楚后才能用省略号．4．合理选用集合的表示方法列举法与描述法各有优点，列举法可以看清集合的元素，描述法可以看清集合元素的特征，一般含有较多或无数多个元素时不宜采用列举法，因为不能将集合中的元素一一列举出来，而没有列举出来的元素往往难以确定．5．要正确理解描述法用描述法表示集合时注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)等．(2)元素具有怎样的属性？用描述法表示集合时，若需要多层次描述属性时，可选用联结词“且”与“或”等联结；若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围．6．特别注意以下几种集合，这是我们研究集合时的主要研究对象．(1)一般数集．(2)特殊数集：如方程的解集；不等式的解集等．(3)平面点集．(4)图形集．7．集合语言集合语言是现代数学的基本语言，也就是用集合的有关概念和符号来叙述问题的语言．包括文字语言、符号语言、图形语言．要熟练地将集合的三种语言进行相互转化．8．解集合问题的关键解决集合问题的关键是弄清集合由哪些元素所构成．如何弄清呢？关键在于把抽象问题具体化、形象化．也就是把用描述法表示的集合用列举法来表示，或用图示法来表示抽象的集合，或用图形来表示集合．例如，在判断集合A＝{x|x＝4k±1，k∈Z}与集合B＝{y|y＝2n－1，n∈Z}是否为同一集合时，若从代表元素入手来分析它们之间的关系，则比较抽象，而用列举法来表示两个集合，则它们之间的关系就一目了然．即A＝{…，－1,1,3,5，…}，而B＝{…，－1,1,3,5…}∴A与B是同一集合．[例1]　下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤
的近似值的全体．其中能构成集合的组数是
(　　)A．2组　　　　 B．3组C．4组
D．5组[分析]　集合中的元素必须是确定的．[解析]　“接近于0的数”、“比较小的正整数”标准不明确，即元素不确定，所以①、②构不成集合．同样，“
的近似值”没有给出取近似值的标准(如“四舍五入法”、“收尾法”、“去尾法”等)和位数，因此很难判定一个数，比如1.5，是不是它的近似值，所以⑤也不是一个集合．③、④能构成集合．∴选A.下列各条件中，能够成为集合的是
(　　)A．与
非常接近的正数B．世界著名的科学家C．所有的等腰三角形D．全班成绩好的同学[答案]　C[解析]　对于选项A、B、D没有明确的标准来衡量，故选C.[分析]　本题重在考查元素的互异性，需要结合实数的性质去思考，尤其是要准确认识根式的意义．若x∈{1,3，x3}，则有
(　　)A．x＝0或x＝－1B．x＝－1或x＝3C．x＝0或x＝－1或x＝3D．x＝0或x＝3[答案]　C[解析]　∵x∈{1,3，x3}　∴x＝1或3或x3当x＝x3时x＝0，±1，由于x3≠1,3，∴x≠1，故x＝0，－1,3，故选C.[例3]　若集合{－1，|x|}与{x，x2}相等，求实数x的值．[解析]　∵{－1，|x|}与{x，x2}两集合相等，∴两集合含有相同的元素即{x，x2}一定含有－1这个元素由于x2≥0，∴x＝－1.[例4]　将下列集合改为用符号语言描述：(1)非负奇数集(2)能被3整除的整数的集合(3)第一象限和第三象限内的点的集合(4)一次函数y＝2x＋1与二次函数y＝x2的图象交点的集合．[分析]　从集合中元素(数或点)所满足的条件、具有的属性入手，联想有关的数学表达形式．[解析]　(1){x|x＝2k－1，k∈N*}；(2){n|n＝3k，k∈Z}；(3){(x，y)|xy＞0}；[点评]　要重视同一数学对象的不同形态语言的表达方法及互译练习(如，普通语言符号语言)，这对今后学习大有裨益.[例5]　用适当的方法表示下列集合：(1)24的正约数组成的集合；(2)大于3小于10的整数组成的集合；(3)方程x2＋ax＋b＝0的解集；(4)平面直角坐标系中第二象限的点集；[分析]　首先搞清楚集合的元素是什么，然后选用适当的方法表示集合．[解析]　(1){1,2,3,4,6,8,12,24}；(2){大于3小于10的整数}＝{x∈Z|3＜x＜10}＝{4,5,6,7,8,9}；(3){x|x2＋ax＋b＝0}；(4){(x，y)|x<0且y＞0}；[点评]　1.在表示集合时，选择表示法的原则为：让所表示的集合明确、直观、简捷．2．在(5)的方程的解集中只有一个元素(－3,2)，不要认为这是两个元素，表达为{－3,2}．用描述法表示下列集合．(1){－1,1}；(2)大于3的全体偶数构成的集合；(3)在平面α内，线段AB的垂直平分线上所有的点．[解析]　(1){x||x|＝1}；(2){x|x>3且x＝2n，n∈Z}；(3){P|P在平面α内且PA＝PB}．[例6]　下面三个集合：①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义是什么？[分析]　对于用描述法给出的集合，首先要清楚集合中的代表元素是什么，元素满足什么条件．[解析]　(1)由于三个集合的代表元素代表的对象互不相同．∴它们是互不相同的集合．(2)集合①{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，∵当x∈R时，y＝x2＋1有意义．∴{x|y＝x2＋1}＝R；集合②{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，∴{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．集合③{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，可以认为是满足y＝x2＋1的数对(x，y)的集合；也可以认为是坐标平面内的点(x，y)构成的集合，且这些点的坐标满足y＝x2＋1，∴{(x，y)|y＝x2＋1}＝{P|P是抛物线y＝x2＋1上的点}．总结评述：用描述法表示的集合，认识它一要看集合的代表元素是什么，它反映了集合元素的形式；二要看元素满足什么条件．对符号语言所表达含义的理解在数学中要求是很高的，希望同学们能逐步提高对符号语言的认识.总结评述：用列举法表示集合，就是要根据集合的一般特性(确定性、互异性、无序性)和集合本身的特征，把集合中的元素不重复、不遗漏、不计顺序地一一表示出来．[例8]　已知集合A是由方程ax2＋2x＋1＝0(a∈R)的实数解作为元素构成的集合．(1)1是A中的一个元素，求集合A中的其它元素；(2)若A中有且仅有一个元素，求a的值组成的集合B；(3)若A中至多有一个元素，试求a的取值范围．若a≠0，则当且仅当方程的判别式Δ＝4－4a＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实根x1＝x2＝－1，此时集合A中有且仅有一个元素，∴所求集合B＝{0,1}；(3)集合A中至多有一个元素包括两种情况：①A中有且只有一个元素，由(2)知此时a＝0或a＝1；②A中一个元素也没有，即A＝?，此时a≠0，且Δ＝4－4a＜0，∴a＞1；综合①、②知所求a的取值范围是{a|a≥1或a＝0}．已知集合A＝{x∈R|ax2＋x＋2＝0}，若A中至少有一个元素，则a的取值范围是________．[分析]　题中给出数集A满足的条件．解答此题就从此条件入手．逐步推出结论．[例10]　集合A＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，C＝{x|x＝6n＋3，n∈Z}，对任意的a∈A，b∈B，是否一定有a＋b∈C？并证明你的结论．[错解]　由a∈A，有a＝3n＋1(n∈Z)，由b∈B，有b＝3n＋2(n∈Z)，则a＋b＝6n＋3(n∈Z)，故a＋b∈C[辨析]　集合A是所有被3除余1的整数所组成的集合．集合B是所有被3除余2的整数所组成的集合，集合C是所有被6除余3的整数所组成的集合，易知1∈A,5∈B，而1＋5＝6?C，则a∈A，b∈B，不一定有a＋b∈C.错解的根源在于将A，B中的n看成同一个数，即a，b不是任意的，而是互相制约的，从而破坏了a与b的独立性．[正解]　设a＝3m＋1(m∈Z)，b＝3t＋2(t∈Z)，则a＋b＝3(m＋t)＋3，当m＋t是偶数时，设m＋t＝2k(k∈Z)，有a＋b＝6k＋3(k∈Z)，则a＋b∈C；当m＋t为奇数时，设m＋t＝2k－1(k∈Z)，有a＋b＝6k(k∈Z)，则a＋b?C综上可知不一定有a＋b∈C.一、选择题1．给出下面四个关系：
∈R,0.7?Q,0∈{0},0∈N.其中正确的个数是(　　)A．1个　　　 B．3个C．2个
D．4个[答案]　B[解析]　0.7为有理数，故0.7?Q不正确．2．下列集合表示方法正确的是(　　)A．方程(x－1)(x－2)2(x－4)＝0的解集为{1,2,2,4}B．不等式x－5＞0的解集为{x－5＞0}C．所有奇数构成的集合为{x∈Z|x＝2k＋1}D．所有偶数构成的集合为{x|x＝2k，k∈Z}[答案]　D[点评]　应注意C与D的区别，C中x∈Z，并没要求k∈Z，故是错误的，若改为{x|x＝2k＋1，k∈Z}则为正确的．二、填空题3．用符号∈或?填空：(1)1________{1}
(2)a________{a，b，c}(3)－3________{4，－2}
(4)0________N*(5)π________Q
________R(7)若A＝{x|x2＝x}，则－1________A；(8)若B＝{x|x2＋x－6＝0}，则3________B；(9)若C＝{x∈N|1≤x≤10}，则8________C；(10)若D＝{x∈Z|－2＜x＜3}，则1.5________D.[答案]　(1)∈；(2)∈；(3)?；(4)?；(5)?；(6)∈；(7)?；(8)?；(9)∈；(10)?.[点评]　如果a是集合A的元素，记作a∈A，否则记作a?A，N*、Q、R分别表示正自然数集、有理数集、实数集．4．若－3∈{a－3,2a－1，a2－4}，则实数a构成的集合为________．[答案]　{0,1}[解析]　当a－3＝－3时，a＝0，此时集合为{－1，－3，－4}；当2a－1＝－3时，a＝－1，此时a2－4＝－3，与集合元素的互异性矛盾．若a2－4＝－3，则a＝±1，a＝－1已讨论．当a＝1时，集合为{－2,1，－3}，综上所述a＝0或1.三、解答题5．用列举法表示下列集合(2)B＝{y|y＝－x2＋8，x∈N，y∈N}(3)C＝{(x，y)|y＝－x2＋8，x∈N，y∈N}[解析]　(1)要使x，
都是整数，故|2－x|必是6的约数，当x＝－4，－1,0,1,3,4,5,8时，|2－x|是6的约数．∴A＝{－4，－1,0,1,3,4,5,8}(2)由y＝－x2＋8，x∈N，y∈N知，y≤8，所以当x＝0,1,2时，y＝8，7,4符合题意．∴B＝{4,7,8}(3)集合C中的元素是点，这些点必须满足两个条件①它是抛物线y＝－x2＋8上的点，②这些点的横坐标、纵坐标都必须是自然数．6．下面两个集合的意义是否相同？为什么？{x|x2－ax－1＝0}，{a|方程x2－ax－1＝0有实数根}．[解析]　集合{x|x2－ax－1＝0}中的元素x是方程x2－ax－1＝0的实数解；集合{a|方程x2－ax－1＝0有实数根}中的元素a是使方程x2－ax－1＝0有实数根的字母系数a的取值范围，这两个集合中的元素的含义是不同的．7．下列集合，哪些是有限集？哪些是无限集？(1)今天正午12时生活在地球上的所有人构成的集合；(2)线段AB上的点的全体构成的集合；(3)把线段AB等分为100等份的点的全体构成的集合；(4)以点M为中点的所有线段构成的集合．[解析]　(1)有限集．(2)无限集．(3)有限集．(4)无限集．}