[ACM] HDU 3398 String （从坐标0,0走到m,n且不能与y=x-1相交的方法数，整数唯一分解定理）
Problem Description
Recently, lxhgww received a task : to generate strings contain
& 039;0 & 039;s and
& 039;1 & 039;s only, in which
& 039;0 & 039; appears exactly m times,
& 039;1 & 039; appears e
Problem Description
Recently, lxhgww received a task : to generate strings contain '0's and '1's only, in which '0' appears exactly m times, '1' appears exactly n times. Also, any prefix string of it must satisfy the situation that the number of 1's
can not be smaller than the number of 0's . But he can't calculate the number of satisfied strings. Can you help him?
T(T<=100) in the first line is the case number.
Each case contains two numbers n and m( 1 <= m <= n <= 1000000 ).
Output the number of satisfied strings % .
Sample Input
Sample Output
HDOJ Monthly Contest –
解题思路：
题意为一个字符串只由0，1组成，且0有m个，1有n个，要求该字符串中任意的前缀中1的个数不能小于0的个数，问这样的字符串一共有多少个。结果对取模。
将构造字符串的过程转化到二维坐标上去，1用y表示，0用x表示，从坐标(0,0)出发，0代表向右走(x增加)，1代表向上走(y增加)，因为0有m个，1有n个，所以最后到达的坐标为
（m,n) ，单纯考虑从0,0走到m,n一共有C(n&#43;m,m)种方法，又因为任意前缀中1的个数不能小于0，所以y>=x,也就是合法走的路线经过的坐标要么在y=x上，要么在其上边，那么
不合法的路线经过的坐标则满足y<x,也就是路线不能与y=x-1相交，因为只要一相交，就不满足1的个数不能小于0的个数。
所以不合法的路径一定与y=x-1相交，找到(0,0)关于y=x-1的对称点(1,-1)，从(1,-1)走到（m,n）一定与直线y=x-1相交，因为m,n在该直线的上边，1,-1在该直线的下
边。在这里设交点为P，那么路线就以P为分割点可以分为两部分，上面一部分取个名字叫不合法路线，下面一部分取个名字叫合法路线。那么从1,-1走到m,n有多少种方法也就
是从0,0走到m,n的不合法的方法数。仔细想一想为什么呢？为什么要找对称点，在对称直线一侧走的路线总可以在另一侧找到路线与之对称，刚才我们从1,-1走到m,n的那一段
合法路线沿着y=x-1再对称过去，不合法路线就不用对称了，因为不合法路线已经与y=x-1相交了（其实那一段合法路线的最后一个点也与y=x-1相交），这样就有了从0,0到m,n
的一种方案，总的来说就是对于从1,-1到m,n的每一条路线，都有从0,0到m,n关于y=x-1对称的一条路线与之对应。从1,-1走到m,n方法数为C (m&#43;n,m-1)。
所以本题的答案就是C(n&#43;m,m) - C (m&#43;n,m-1)。
那么接下来的问题就是求上面的式子了。
上面式子最终可以化为
(n&#43;1-m)*(n&#43;m)!
(m! *(n&#43;1)!)
直接求肯定不行，因为涉及到了除法的取模运算。
考虑整数唯一分解定理：
任意正整数都有且只有一种方式写出其素因子的乘积表达式。
A=(p1^k1)*(p2^k2)*(p3^k3)*....*(pn^kn)
其中pi均为素数
那么可以把每个数都化成这样的形式，然后上下对于相同的素因子进行约分，也就是指数相减，对于一个素数pi,我们只要知道最终pi的指数是多少就可以了（上下都约分后的指数）
还有把阶层看作一个数,比m! 怎样求m!里面素数2的指数呢？
m/=2; cnt&#43;=m; }
就可以了，为什么呢？考虑m=4，则m!=
4*3*2*1, 第一次m/=2，是计算m!里面有多少个数能整除2的（有4，2）,所以cnt&#43;=2，有两个数贡献了两个素数2，接下来第二次m/=2，是计算m!里面有多少个数能整除4的，有1个数又贡献了一个素数2.
const int maxn=1000000;
const int mod=;
bool isprime[maxn*2+10];
int prime[maxn*2+10];
int len=0;//素数的个数
void sieve(int n)//筛n以内的素数
for(int i=0;i<=n;i++)
isprime[i]=1;
isprime[0]=isprime[1]=0;
for(int i=2;i<=n;i++)
if(isprime[i])
prime[len++]=i;
for(int j=2*i;j>t;
while(t--)
long long ans=1;//记得要用long long
cin>>n>>m;
int nm=n+1-m;
for(int i=0;i<len&&prime[i]<=(n+m);i++)//prime[i]<=(n+m)是因为拆成素数幂相乘的形式该素数不会大于n+m，最大(n+m)!
(n+m)*(n+m-1)*(n+m-2).....
int cnt=0;//分解为素数prime[i]的指数是多少
while(nm%prime[i]==0)//nm中有多少个prime[i]，也就是把nm分解后prime[i]的指数
nm/=prime[i];
cnt=cnt+cal(prime[i],n+m)-cal(prime[i],m)-cal(prime[i],n+1);//加上分子的指数再减去分母的指数
for(int j=1;j=mod)
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当手里的每一张牌都是坏牌，想要赢一把的唯一办法就是打破游戏规则。收起|查看大图|向左转|向右转
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个性网内容精选：唯一好车昨天也坏了·重庆晨报数字报
第006版：重庆新闻都市
300学员仅2台教练车
唯一好车昨天也坏了
这是个什么驾校啊？洪阳驾校西计分部称已着手处理 顾晓娟
　　本报讯&（记者&顾晓娟）近来，家住南岸的张晓伟（化名）高高兴兴地到洪阳驾校西计分部报名学车，可进入场训阶段后他才发现，300个学员的驾校只有一辆车在场训。而昨日，因为这辆场训车也坏了，学员们只得停课。只有一辆场训车的驾校，究竟是个什么样子？记者先后前往该驾校的场训场地和报名点一探究竟。　　报料：我们驾校只有一辆车　　“300个学员的驾校只有一辆场训车。”张先生告诉记者，去年11月，他花1900元在洪阳驾校西计分部报名学车，今年10月，他进入场训。　　“场训的学员特别多，最打挤的一次来了18个人，从早上8：30上课到中午下课，我只练了两次，不到十分钟。”张先生说，后来他才打听到，原来，该驾校一共只有两辆小车，一红一绿，但其中红色的一辆车在今年8月份的时候就坏了，无法行驶，只能用作基训。昨日，唯一的一辆场训车也损坏维修了，驾校无车可练。　　张先生告诉记者，昨日是周末，来练场地的学员挺多，大家突然发现，平时他们场训用的绿车，竟然换成了8月份时就已经坏了的红车。　　“这辆车可能是发动机有问题，而且还漏油。”张先生说，车到处都生锈了，学员们一发动车辆就感觉车身发抖，仅仅练了一个多小时，驾校就终止了训练。更奇怪的是，这辆教练车前后都没有挂牌照。该校刘校长解释说，绿色教练车因为牙箱损坏，送到了汽修厂维修，所以才临时换车。　　探访：公路主干道成训练场　　本月22日，记者曾和该驾校的学员们一起去了他们的场训地———位于南滨路融侨半岛路段的“下河道”。这里是一处两车道的呈坡度的公路，为南滨路通向江边的城市主干道。驾校在公路上划了几道黄色的标志线，再竖起几根竹竿，占据了一个车道的公路，让学员们练习上坡起步和定点停车。　　记者发现，虽然这里过往的车辆不多，但因为该路段路面笔直宽敞，车辆速度很快。除洪阳驾校外，还有两家驾校也在此练车。　　据学员们介绍，从去年起，他们分别花了元不等的价格在洪阳驾校报名学车，进入场地训练后，他们发现场训积压了大量的学员：“一是没有场地训练，大家练不好，考不起；二是驾校只有一辆教练车，每次只有8个考试名额，所以积压了学员。”　　学员们告诉记者，他们中的不少人，到目前为止除了在“下河道”训练过上坡起步和定点停车，偶尔在公路上练习限宽门、侧范围停车外，其他的场考项目，则只能等到考试前到洪阳驾校位于鱼洞的总校练习几次。　　现状：车辆少引发恶性循环　　昨日，记者来到了洪阳驾校西计分部，在该驾校报名点外，记者见到了一辆红色小车，据工作人员介绍，他们就是临时用这辆车来当教练车的。　　该驾校一工作人员告诉记者，目前，该驾校的确只有两辆场训车。&“其实早该买辆车了。”该工作人员称，该分校目前还没有通过考试的学员一共有300来人，车少，学员们又练得少，结果考不好，造成恶性循环。学员们意见大了，介绍到驾校报名的人也减少，驾校收入低，买车也困难了。他们也向校长建议过，再买一辆车，但没有成功。　　校方：车已修好今恢复场训　　随后，洪阳驾校西计分部相关负责人刘女士联系记者，称驾校此前一直能正常练车，这次属特殊情况。昨晚，汽修厂已经通知驾校取车，今日学员们就能正常练车了。　　驾校是否只有一辆场训车，为何使用无牌车？该负责人并没有正面回答，她告诉记者，学员们意见大，主要的原因是因为考试名额有限。　　“我们已经在着手处理此事，会尽快让学员恢复训练。”洪阳总校刘主任向记者表示，驾校相关的上级领导部门正在过问此事，今日将恢复训练。　　22日，多名学员在南滨路融侨半岛段“下河道”处练车。&&&本报记者&摄　　学员　　意见　　不小　　“每次考试名额仅8个，只有一辆车，练得不好就考不起，积压的人多了，训练也打挤。”　　　　也喊　　头疼　　驾校　　“学员们意见大了，介绍到驾校报名的人也减少，驾校收入低，买车也困难了。”　　相关新闻》》　　一台小车　　只能配8名学员　　日前，市运管局和市公安交管局消息称，目前，我市驾校学员已经积压了2万多人。交管部门对教练车和学员的比例有了明确的规定：手动挡的小车学习周期为30天，只能配备8名学员；大车学习周期40天，一台车配备11名学员；而大客车学习周期则为60天，一台车也是8名学员。　　“多一个学员都不能参加考试，如果有一位学员考试通过，则该驾校再增加一位学员的考试名额。”据透露，从8月1日起，交管部门已经启动了电脑控制系统，以此自动控制学员的考试数量。同时，有关部门正在草拟驾校学员合同范本，今年内将出台，范本中将明示一些详细的条款，更为学员们考虑，保护学员们的利益。本报记者&顾晓娟
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