32平面2自由度并联机器人的动力学设计
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32平面2自由度并联机器人的动力学设计
2008年第27卷2月第2期机械科学与技术；MechanicalScienceandTech；平面2自由度并联机器人的动力学设计；刘善增；(北京工业大学机电学院,北京100022)；刘善增；摘要:,得出了机构设；计的五点措施；DynamicDesignofa22DOFPla；LiuShanzeng；(BeijingUniversityofTech；Abstr2008年第27卷2月第2期机械科学与技术MechanicalScienceandTechnologyforAerospaceEngineeringFebruary2008Vol.27No.2平面2自由度并联机器人的动力学设计刘善增(北京工业大学机电学院,北京　100022)刘善增摘　要:,得出了机构设计的五点措施。、易控性,以及增强系,果,。关　键　词:中图分类号::A　　　　　文章编号:08)DynamicDesignofa22DOFPlanarParallelRobotLiuShanzeng(BeijingUniversityofTechnology,Beijing100022)Abstract:Thepaperpresentsfivemeasuresforthemechanismdesignofa22DOFplanarparallelrobotonthebasisofitsdynamicanalysisandtheanalysisofcausesforfailure.Themeasuresareusefulforimprovingthedynamicproperties,controllability,stabilityandaccuracyoftheparallelrobot.Thepapergivestwonumericalexamplestoverifythefeasibilityandeffectsofthemeasures.Theadjustmentoftheparallelrobot′sparametersgreatlyreducesitsactuatortorquesandenergyconsumption.Keywords:dynamicsanalysis随着机构学发展和研究领域的拓宽及机械产品创新的需求,平面多自由度机构已广泛应用于并联机器人、串联机械手等领域,以实现高速、高精度、高稳定性的运动输出或完成更复杂的运动规律。近年来,对平面并联机构的研究日益受到国内外学者的重视。然而,由于并联机构存在运动学和动力学的强耦合性,使得这类机构系统的控制较为困难,运行精度低。解耦合在动力学中的研究是个难题。因此,如果能采取有效的结构设计措施,使得机构的动态方程得到简化。那么,对改善系统的动态特性,提高系统的运动精度和实际控制都是非常有利的。文献[1]中利用平衡自适应的方法对平面二自由度串联机械手进行了静平衡和完全解耦,但系统结构复杂。文献[2]中采用动态质量等价分布和平收稿日期:基金项目:国家自然科学基金项目(),北京市自然科学基金项目(3062004),北京市教委科技发展计划项目(KM)和北京工业大学研究生科技基金项衡的方法对平面二自由串联机械手进行了研究,消除了重力项的影响,使得系统的驱动力矩降低了70%和能耗减少了40%。文献[3]中对二自由度五杆机构进行了动力学分析,并在分析的基础上得出了一种平行四边形的四杆机构(第五杆杆长为0),从而实现了五杆机构的完全解耦。但本质上这种完全解耦的五杆机构已不是真正意义的五杆机构。本文对平面二自由度并联机构的动力学进行了深入研究,分析了系统动态方程中的耦合项,为了达到改善系统动态性能和降低能耗的目的,提出了机构设计的5点措施。1　机构的运动学分析目(ykj)资助作者简介:刘善增(1977-),博士研究生,研究方向为并联机器人等,平面二自由度并联机构ABCDE的示意图,如图1。图1中AE为机架;各杆杆长为li(i=1～5);各杆件的质心Si(i=1～4)位置分别为(lsi,αi)(i=1～4),αi为各杆质心与其自身杆件所成夹角,相应的各杆质量为mi(i=1～4)。假定杆AB和DE为主动构件,即杆AB和DE与驱动器相连。以A为原点o,建立直角坐标系oxy,如图1中所示。则并联机构ABCDE的向量环方程第2期刘善增:平面2自由度并联机器人的动力学设计231?xs3=-θl1ls3sin(θ3+α3)sin(1-θ2)?1-l3sin(θ3-θ2)?θls3sin(θ3+α3)sin(2-θ4)θ4l3sin(θ3-θ2)l4sinθ4+?ys3=θl1ls3cos(θ3+α3)sin(1-θ2)?1+l3sin(θ3-θ2)?θlcos(θ+α)sin(-θθ4l3-θ2)l4cosθ4+图1　平面2自由度并联机器人示意图?_____(5c)xs4s4sin()4s4(θ4+α4)θ4?l1+l2=l5+l4+l3(5d)向x,y方向投影,得θθθl1sin1+l2sin2=l3sin344θl1cos1+l2cos3l44l5同理,oxyxs1=ls1cos(1+1)ys1=ls1sin(θ1+α1)1)2　机构的动力学分析(2a)(2b)(2c)(2d)θθxs2=l1cos1+ls2cos(2+α2)θθys2=l1sin1+ls2sin(2+α2)θxs3=ls3cos(θ3+α3)+l4cos4+l5θys3=ls3sin(θ3+α3)+l4sin4xs4=ls4cos(θ4+α4)+l5ys4=ls4sin(θ4+α4)设构件i(i=1,2,3,4)的质心速度为vsi,绕质心Si的转动惯量为Ji。取o点处为重力的零势能面位置。如果不计构件弹性和摩擦,则整个机构的总动能和势能U分别为4?22E=(mivsi+Jθ=ii)2i=14i=1?222[mi(?xsi+?ysi)+Jθii]2(6)U=m1gls1sin(θ1+α1)+θθθθ设θ2=2(1,θ4),θ3=3(1,θ4),则由式(1)对θ1、θ4求导,并求解,得lsin(θ-θ)=l2sin(θ13-θ2)(3)θl1sin(θ31-θ2)=l3sin(θ13-θ2)lsin(θ-θ)=5l2sin(θ43-θ2)(4)lsin(θ-θ)=l3sin(θ43-θ2)把式2(a)～式2(d)分别对时间t求导,并利用式(3),式(4)进行化简,得???θθ　　m2g[l1sin1+ls2sin(2+α2)]+θ　　m3g[ls3sin(θ3+α3)+l4sin4]+m4gls4sin(θ4+α4)把式5(a)~式5(d)代入式(6),化简得E=???2?2θθJ11θ+J+J44θ11414422(7)其中J11=J1+m1ls1+m2l1+(J2+m2ls2)×222lsin(θ-θ)l2sin(θ3-θ2)22222+(J3+m3ls3)2lsin(θ-θ)l3sin(θ3-θ2)2222+2m2l1θlcos(θ-θ-α)sin(-θ)l2sin(θ3-θ2)222J44=J4+m4ls4+m3l4+(J2+m2ls2)×xs1=-ls1sin(θ1+α1)θ1ys1=ls1cos(θ1+α1)θ1xs2=-l1??(5a)l4sin(θ3-θ4)l2sin(θ3-θ2)2s32222+(J3+m3ls3)2l4sin(θ2-θ4)l3sin(θ3-θ2)2222+?θlsin(θ+α)sin(-θθθ1-sin+1l2sin(θ3-θ2)2m3l4θlcos(θ4-θ3-α3)sin(2-θ4)l3sin(θ3-θ2)θls2cos(θ1-θ2-α2)sin(3-θ4)+l2sin(θ3-θ2)2?θls2l4sin(θ2+α2)sin(3-θ4)?4l2sin(θ3-θ2)?θls2cos(θ2+α2)sin(1-θ3)θθ1+cos+1θ)l2sin(θ-32J14=m2l1l4(J2+m2ls2)　　m3l1l4θllsin(θ-θ)sin(-θ)l2sin(θ3-θ2)22+ys2=l1θllcos(θ+α)sin(-θ)?4l2sin(θ3-θ2)(5b)θls3cos(θ4-θ3-α3)sin(1-θ2)+l3sin(θ3-θ2)2(J3+m3ls3)θl1l4sin(θ1-θ2)sin(2-θ4)l3sin(θ3-θ2)22232??机械科学与技术第27卷由式(7)分别对θ1,θ4和θ1,θ4求导,得14??11?244?2=1+1θ4+4,i=1,4(8)22iiii??θθ(9)=J+J1i1i44,i=1,4?θ5i?????21411θθ=J++?11111θ4++d5511(5)通过添加平衡质量,消除动态方程中重力项的影响。其中,质量平衡采用文献[2,4]中的方法对系统添加平衡质量me1,me2(这里不妨设α1=α4=0)如图2。质量矩满足下列关系me1r1=m1ls1+m2l1,me2r2=m4ls4+m3l4(12)??14?2θ+J414454针对具体的系统,r1、r2可通过驱动能耗极小,即W0?????24414θ=J14θ?1+1+1θ4++d511|+|F2θ4dt??(13)??44?24+J44θ454r2(同时考虑结构紧凑与工作需要,U=0。这样就消除了(11)中重力项的影响。(10)将式(8)～式(10)方程-+=Fi?d555ii化简,得J11θ1+J14θ4+J14θ1+J44θ4+????????14?211?2=F11+4+?2=F24+1+2414(11)式中:F1和F2分别为相应于θ1和θ4的系统广义力;J11,J14,J44不妨称为等效转动惯量,J11与主动件1(坐标θ1)相关,J44与另一个主动件4(坐标θ4)相关,J14则为同时与两个主动件有关的耦合项。显然,J11,J14,J44的值都随机构位置的变化而变化,从而影响系统的动态特性,但J14是关键因素,如果能使J14的值减少或为零,对提高机构运动特性是非常有利的。然而,J14中的各项实际上是θ1和θ4角度之间的非线性关系,在现有理论技术下实现其完全解耦合几乎是不可能的。我们注意到J14仅和机构的尺寸(l1,l4,l3,ls2,ls3)、构件质量(m2,m3)、转动惯量(J2,J3)以及机构的位置(θ所以,可以通过合理设置机1,θ4)等有关。构的相关参数使得J14的负面影响降到最低,同时减少J11和J44在运动过成中的变化率,达到改善系统动态特性的目的。采取的设计措施如下:(1)ls2=0,ls3=0,使杆BC和杆CD的质心分图2　参数调整后的机构示意图采取上述参数调整后,机构的结构示意图,如图2。这时,J11,J14,J44可分别化简为222J^=J+J+mr+ml+ml+111e1e111s121J2J^14=J2J3l1sin(θ1-θ3)l2sin(θ3-θ2)222222+J3l1sin(θ1-θ2)l3sin(θ3-θ2)+2222θl1l4sin(θ1-θ3)sin(3-θ4)l2sin(θ3-θ2)θl1l4sin(θ1-θ2)sin(2-θ4)l3sin(θ3-θ2)2222222222222J^44=J4+Je2+me2r2+m4ls4+m3l4+J3lsin(θ-θ)l3sin(θ3-θ2)+J2lsin(θ-θ)l2sin(θ3-θ2)别位于转动副B和D上。(2)满足机构运动轨迹要求的情况下,尽量使杆长l1,l4与l2,l3的比值较小。(3)机构的中间两连杆(杆BC和杆CD)选用轻质杆,减少J2和J3。(4)适当增加ls1,ls4的长度,使主动杆AB和DE的质心分别远离运动副A和E。^^用J^11,J14,J44的表达式代入式(11),即可得到简化的系统驱动方程,即^????^14?11?22^^^J11θ1+J14θ4+1+4=F1214(14)^^???14?244?2^?^J^14θ1+J44θ4+4+1=F225541下面通过算例说明参数调整后系统的动态特性得到了很大改善,并降低了驱动力矩和能耗。第2期刘善增:平面2自由度并联机器人的动力学设计2333　算例分析设主动关节变量θ的运动规律为摆线运动。即θ(t)=θθτ),0≤s(τ)≤1(15)I+(F-θI)s()=τ-s(τπτ),τ=,0≤t≤Tsin(2π2T(16)式中:s(τ)为摆线时间函数;θI和θF为主动关节变量的起始和终止值;T为运行总时间。考虑到式(11)系统驱动能耗最小和结构紧凑等因素,这里取r1=r2=10mm。机构的其它参数如π,θ下:α1=α2=α3=α4=0;θ1I=θ4I=0,θ1F=24=θ21;T=10s;l1=l4=4010mm,l2=l3=20010mm,l5==m3=m4=5010g;J=J8000g?mm,J2=J3=3000g2参数调整前、后系统的等效转动惯量在一个周π)的变化曲线如图4～期内(2图6所示。分析这些曲线得到:2参数调整前等效转动惯量(g?mm):55max(J11)-min(J11)=1161×10,max(J11)=2104×10;max(J14)-min(J14)=1199×10,max(J14)=1105×10;max(J44)-min(J44)=2103×10,max(J44)=2146×10;5555单位:g?mm):5m(J11)in(,(J11)=1138×10;mJ-in(J14,max(|J14|)=426167;m(J44)=737173,max(J44)=1139×10。52心位置:ls1=ls4=201,3=参ls20,s3=0mm(措施(1));me1=me2=g;1=r2=10(措施(5))。,参数调整后各等效转动惯量的变化平稳,且耦合项系数J14的值显著减小。显然,这对系统的动态特性的改善非常有利。图7　驱动力矩F1的变化曲线参数调整前、后系统驱动力矩的变化曲线如图7和图8所示。从图7可看到,经参数调整后主动杆1的驱动力距F1的峰值从015553N?m降到了010815N?m,降低了85133%。从图8中可看到,经参数调整后主动杆4的驱动力距F2的峰值从014499N?m降到了011422N?m,降低了68139%。同时,参数调整后的驱动力距变化曲线与相应主动件加速度的变化曲线吻合。这说明系统的动态特性得到了改善。系统的能量消耗E,经参数调整后从E=421702J降到了E=141923J,驱动能耗减少了65105%。由于在动态方程中消除了重力项使得系统的末端响应变得更加快捷。显然,如果中间连杆再采用轻质材料等其它措施,参数调整后系统的优越性会更加明显。图8　驱动力矩F2的变化曲线(下转第240页)24机械科学与技术第27卷以上说明了所提出的轨迹规划算法的规划精确性及可靠性与有效性,为进一步验证其实际应用效果,采用反馈与前馈相结合的控制策略,并使用纳米级的超精密激光测量系统,该算法已在步进扫描光刻机半导体加工装备的超精密运动控制研发中得到了实际应用,取得了好的控制效果。在120mm/s的运行速度下,具有纳米级的位置跟踪精度,其实际位置跟踪误差结果如图3所示,由图3可知,跟踪误差已达10nm精度。[3]　MecklPH,ArestidesPB,WoodsMC.Optimizeds2curvemotionprofilesforminimumresidualvibration[A].vania,～2631[4]　RooverD,SperlingF.Point2to2pointcontrolofahighaccuracypositioningmechanism[A].[5]　DijkstraBG,RambaratsinghNC,etal.Inputdesignforoptimaldiscrete2timeo2motionofanindustrialXYpositiinofthe39thIEEECon2Dec[C],Sydney,Australia,2000:[]MisawaEA.Vibrationsuppressioncontrolprofilegenera2tionwithbothaccelerationandvelocityconstraints[A].In:Pro2ceedingsoftheAmericanControlConference[C],Portland,～4741In:ProceedingsoftheAmericanControlConference[C],Albuquerque,NewMexico,1997:In:ProceedingsoftheAmericanControlConference[C],Philadelphia,Pennsyl2图以上实验结果与分析表明,本文提出的轨迹规划算法能获得精确的轨迹精度,并对3阶轨迹规划所有情形进行了有效处理,获得了优化时间。由此,本文提出的算法及精度控制策略是精确的和可靠的。该算法为一种有效的点对点运动轨迹规划方法,满足超精密运动控制的要求。5　结论(上接第233页)4　结论本文通过对平面二自由度并联机器人动力学的研究,分析了系统非线性耦合的原因,得出了机构设计的5点措施,并通过算例验证了这些措施的可行性及效果。本文中提出的设计措施对提高机构系统的动态特性、易控性,以及增强系统的运行稳定性、精度和降低能耗等都具有重要的意义。本文采用的分析方法对其它多自由度多杆机构系统的分析和设计具有借鉴意义。[参考文献][1]　CoelhoTAH,etal.Decouplingofdynamicequationsbymeansofadaptivebalancingof22DOFopen2loopmechanisms[J].Mech2anismandMachineTheory,):871～881[2]　DikenH.Effectofmassbalancingontheactuatortorquesofama2nipulator[J].MechanismandMachineTheory,):495～500[3]　马承文,邹慧君.平面闭链五杆机构动力学的研究[J].机械设本文给出了一种点对点运动3阶轨迹规划的通用算法,该算法基于所有给定的限制条件,采用直接推导方式给出了3阶轨迹规划的算法。该算法能处理实际应用中可能出现的各种情形,具有很强的可靠性和灵活性。实例结果表明本文提出算法的有效性和可靠性。该算法具有以下特点:时间优化,可靠,易实现,高精度及通用性等,易于推广到其他轨迹规划中,具有良好的应用前景。该算法已成功应用于具有纳米级加工精度的半导体加工设备研发中,取得了好的效果。[参考文献][1]　LewinC.Motioncontrolgetsgraduallybetter[J].MachineDe2sign,～94[2]　MecklPH,SeeringWP.Minimizingresidualvibrationforpoint2to2pointmotion[J].JournalofVibration,Acoustics,Stress,andReliabilityinDesign,～382计与研究,):22～24[4]　DikenH.Trajectorycontrolofmassbalancedmanipulators[J].MechanismandMachineTheory,):313～322[5]　唐锡宽,金德闻.机械动力学[M].北京:高等教育出版社,1984[6]　白师贤.高等机构学[M].上海:上海科技出版社,1988包含各类专业文献、外语学习资料、高等教育、生活休闲娱乐、应用写作文书、32平面2自由度并联机器人的动力学设计 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