求补偿角公式推导过程.忘了是不是这个名字了,就是asinα+bcosα=√(a²+b²)sin(α+φ),其中好像是tanφ=a/b还是什么来着.
辅助角公式：acosx+bsinx=√(a^2+b^2)(acosx/√(a^2+b^2)+bsinx/√(a^2+b^2)),则可设siny=a/√(a^2+b^2),cosy=b/√(a^2+b^2)可得tany=a/b提取√(a^2+b^2)是根据(siny)^2+(cosy)^2=1,即[a/√(a^2+b^2)]^2+[b/√(a^2+b^2)]^2=1∴acosx+bsinx=√(a^2+b^2)sin(x+y)=√(a^2+b^2)sin(x+arctan(a/b))
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§10物理问题中的数学方法
十、物理问题中的数学方法
一、 重点难点
数学是解物理题的重要工具，在《考试说明》中明确指出：能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，并根据结果作出物理结论，必要时能运用几何图形,函数图像进行表达、分析。在解决物理问题中，常用到的数学知识，数学方法有：①二次函数配方法；②判别式法；③不等式法；④三角公式法；⑤几何方法；⑥数列知识；⑦韦达定理；⑧更比定理等等。
虽然数学是中学物理解题中不可缺少的工具和方法，但物理学中的数学是处于从属地位，它的应用受到 物理实质的制约，有两个数学问题需要注意：
1、 数学上有解，物理上未必有解
如：在光滑水平面上，一个质量为0.2Kg的小球，以5m/s的速度向前运动，途中与另一个质量为0.3Kg的小球发生正碰，假设碰撞后第二个小球的速度为4.2m/s。求碰后第一个小球的速度。
由于正碰，则动量守恒： m1V1=m1V1/+m2V2/
解得：V/=-13m/s
以上解题过程似乎毫无破碇，从数学上看也是有解的，但从物理过程来说是不可能的。因为碰撞前的总动能E1?1m1V12?2.5J；碰后的总动能2
E/?11m1V1/2?m1V2/2?2.8J，E/&E,这违背了能量守恒定律，物理上是无解的，22
这道题的毛病出在所给数据不实际情况。
2、 数学上无解，物理上未必也无解
如：一个左端封闭、右端开口的U形管，用水银封闭一段20cm长的空气柱（图1），若U形管倒转1800，开口向下且开口端仍在右方，求空气柱的长度（设右臂很长，而两 臂相距很近，大气压强为76cmHg）。
如图2、图3，根据玻意耳定律有
90×20=（62-2x）(20+x)整理有x2-11x+280=0
据b2-4ac=112-4×280&0，无实数解。
贡献者：byxsz
喜欢此文档的还喜欢三角函数还是这个问题asinα+bcosα=根号a的平方+b的平 - 爱问知识人
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α=根号a的平方+b的平方·sin(α+φ)
a,b是怎么确定φ的? 到底φ是由tanφ确定还是a,b确定?
比如asinα-bcosα,acosα-bsinα.
α=√(a²+b²) sin(α+φ)
tanφ =b/a ,φ是由tanφ =b/a 确定的
具体点:
asinα+bcosα=√(a²+b²){[a/√(a²+b²)] sinα +b/√(a²+b²)]cosα}
对比: sin(α+φ) =sinαcosφ +cosαsinφ
==&cosφ =a/[√(a²+b²)] ,sinφ =b/[√(a²+b²)] ,==&tanφ =b/a
这样做的理由保证了cos²φ +sin²φ =1
asinα-bcosα =√(a²+b²) sin(α-φ)
acosα-bsinα =√(a²+b²) sin(φ-α)
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构造向量,或直接用柯西不等式证明最简单.
(Asina+Bcosa)^2=&(A^2+B^2)[(sina)^2+(cosa)^2]
大家还关注诱导公式/三角函数和角公式
的诱导公式有以下几组： 1.sinα^2 +cosα^2=1&
三角函数对应值2.sinα/cosα=tanα 3.tanα=1/cotα公式一设α为角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ+α）=sinα cos（2kπ+α）=cosα tan（2kπ+α）=tanα cot（2kπ+α）=cotα公式二设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值的关系：&sin（π+α）=－sinα cos（π+α）=－cosα tan（π+α）=tanα cot（π+α）=cotα公式三角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin（－α）=－sinα&cos（－α）=cosα tan（－α）=－tanα cot（－α）=－cotα公式四公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（π－α）=sinα cos（π－α）=－cosα tan（π－α）=－tanα cot（π－α）=－cotα公式五利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（2π－α）=－sinα cos（2π－α）=cosα tan（2π－α）=－tanα cot（2π－α）=－cotα公式六π/2±α及3π/2±α与α的三角函之间的关系： sin（π/2+α）=cosα cos（π/2+α）=－sinα tan（π/2+α）=－cotα cot（π/2+α）=－tanα sin（π/2－α）=cosα cos（π/2－α）=sinα tan（π/2－α）=cotα cot（π/2－α）=tanα sin（3π/2+α）=－cosα cos（3π/2+α）=sinα tan（3π/2+α）=－cotα cot（3π/2+α）=－tanα sin（3π/2－α）=－cosα cos（3π/2－α）=－sinα tan（3π/2－α）=cotα cot（3π/2－α）=tanα (以上k∈Z)
一般的最常用公式/三角函数和角公式
口诀;奇变偶不变，符号看象限一般的最公式有: (A+B)=SinA*CosB+SinB*CosA Sin(A-B)=SinA*CosB-SinB*CosA (A+B)=CosA*CosB-SinA*SinB Cos(A-B)=CosA*CosB+SinA*SinB (A+B)=(+TanB)/(1-TanA*TanB) Tan(A-B)=(TanA-TanB)/(1+TanA*TanB) 同角三角函数的关系（即同角八式）平方关系平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α)积的关系积的： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα倒数关系关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1商数关系商数关系： sina/cosa=tana cosa/sina=cota 三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, sina=y/r 余弦等于角A的邻边比斜边 cosa=x/r 正切等于对边比邻边, tana=y/x 三角函数恒等变形公式两角和与差的三角函数两角和与差的三角函数：&cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ&cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ sin(α-β)=α·cosβ-cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) (α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)辅助角公式角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)倍角公式倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]三倍角公式角公式： sin(3α)=3sinα-4sin^3(α) cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα半角公式半公式： sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα降幂公式降幂： sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=vercos(2α)/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))万能公式公式： sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]积化和差公式化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]和差化积公式差化积公式： sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]其他其他： sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及 sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
部分高等内容/三角函数和角公式
部分高等高等代数中三角函数的指数表示高等代数中三角函数的表示(由泰勒级数易得)： sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i) cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2 tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)] 泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)=1+z/1！+z^2/2！+z^3/3！+z^4/4！+…+z^n/n！+… 此时三角函数已推广至整个复数集。三角函数作为微分方程的解三角函数作为微分方程的解： 对于微分方程组 y=-y'';y=y''''，有通解Q,可证明&Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。 补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数——双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的，二者相映成趣。
特殊三角函数值/三角函数和角公式
三角函数值&a 0` 30` 45` 60` 90` sina 0 1/2 √2/2 √3/2 1 cosa 1 √3/2 √2/2 1/2 0 tana 0 √3/3 1 √3 None cota None √3 1 √3/3 0 15度的三角函数值： 正弦为(√6-√2)/4； 余弦为(√6+√2)/4； 正切为2-√3， 余切为2+√3。
三角函数的计算/三角函数和角公式
三角函数的计算 幂级数 c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞) c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞) 它们的各项都是正整数幂的幂函数, 其中c0,c1,c2,...cn...及a都是, 这种级数称为幂级数. 泰勒展开式(幂级数展开法): f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...f(n)(a)/n!*(x-a)n+... 实用幂级数： &= 1+x+x2/2!+x3/3!+...+xn/n!+... ln(1+x)= x-x2/3+x3/3-...(-1)k-1*xk/k+... (|x|&1) sin x = x-x3/3!+x5/5!-...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+... (-∞ &∞) cos x = 1-x2/2!+x4/4!-...(-1)k*x2k/(2k)!+... (-∞ &∞) arcsin x = x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + ... (|x|&1) arccos x = π - ( x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + ... ) (|x|&1) arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 - ... (x≤1) sinh x = x+x3/3!+x5/5!+...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+... (-∞ &∞) cosh x = 1+x2/2!+x4/4!+...(-1)k*x2k/(2k)!+... (-∞ &∞) arcsinh x = x - 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 - ... (|x|&1) arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ... (|x|&1) 　　--------------------------------------------------------------------------------
傅立叶级数/三角函数和角公式
傅立叶级(三角级数) f(x)=a0/2+∑(n=0..∞) (ancosnx+bnsinnx) a0=1/π∫(π..-π) (f(x))dx an=1/π∫(π..-π) (f(x)cosnx)dx bn=1/π∫(π..-π) (f(x)sinnx)dx sin2a=2sinacosa cos2a=cosa^2-sina^2 =1-2sina^2 =2cosa^2-1 tan2a=2tana/1-tana^2
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