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如何解“鸡兔同笼”问题
上传: 周建萍 &&&&更新时间： 15:34:13
& 如何解&鸡兔同笼&问题 湘东镇甘泉小学&&& 周建萍 & &&& 你知道古人是怎样解决就&鸡兔同笼&问题的吗？（1）假如让鸡抬起一只脚，兔抬起两只脚，还有94/2=47只脚。（2）这时每只鸡一只脚，每两只兔两只脚。笼子里只要有一只兔，则脚的总数就比头数多1.（3）这时脚的总数与头的总数之差47-35=12，就是兔的只数。&鸡兔同笼&问题是我国民间广为流传的数学趣题，最早出现在《孙子算经》中。为了让小学生感受古代数学问题的趣味性，培养学生的逻辑推理能力和体会代数方法的一般性，在义务教育课程标准实验教科书小学数学六年级上册的《数学广角》中安排了&鸡兔同笼&问题。其实在五年级上册学生已初步接触了这一类型的应用题。 &&& 教材对&鸡兔同笼&问题，介绍三种解答方法，分别是列表法、假设法以及用方程解答。我提倡学生能一题多解。本来数学广角中的这些知识都具有一定的难度，需要学生多动脑来解决。如果老师很好的引导学生对这类型的应用题就迎刃而解了。 &&& 一、列表法虽然可以帮助学生按顺序寻找答案，也可以解决此类问题，可以培养学生按一定的顺序来找出规律。如教材中主题图出示的问题&笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。鸡和兔各有多少只？&如下表： &
& 这种方法可以培养学生的数学逻辑思维能力。 &&& 二、方程解答 &&& 解：设鸡有x只，兔有（35-x）列出方程2x+4(35-x)=94，让学生运用天平的原理解答鸡和兔各有多少只。 &&& 三、用假设法是一种很好的解题思路，它是通过假设---计算---推理&解答的过程来完成的。如上题我们可以假设笼子里全都是鸡，那么就有35&2=70只脚，这样就比实际少了94-70=24只脚。又因为一只兔子比一只鸡多4-2=2只脚，所以兔子就有24&2=12只，鸡就有35-12=23只。即：35&2=70（只）、94-70=24（只）、4-2=2（只）、24&2=12（只、）35-12=23（只）。同样的道理，我们还可以假设笼子里全都是兔，那么就有35&4=140只脚，这样就比实际多了140-94=46只脚。又因为一只兔子比一只鸡多4-2=2只脚，所以鸡就有46&2=23只，兔就有35-32=12只。即：35&4=140（只）、140-94=46（只）、4-2=2（只）、46&2=23（只）、35-23=12（只）。 &&& 通过上面的推理和分析，我们可以发现：这两种假设法都仅仅只用了五个分步算式，就能求出了鸡和兔的只数。而且还不难发现：我们假设笼子里全是某一种动物，且最后一步算出来就是该种动物的只数。如第一种假设法，假设笼子里全都是鸡，最后一步（35-12=23只）就表示鸡的只数。第二种假设法，假设笼子里全都是兔，最后一步（35-32=12只）就表示兔的只数。所以这种问题的解题思路是： &&& 第一步：假设笼子里全是某一种动物，算出其脚的总只数。如上题中我们可以假设笼子里全都是鸡，其一共有35&2=70只脚。 &&& 第二步：把假设的与实际脚的只数进行对比，看相差多少只脚。如上题中通过假设后，一共算出来70只脚，与实际相差94-70=24只脚。 &&& 第三步：求出脚多的动物比脚少的动物多出几只脚。如上题中一只兔子比一只鸡多4-2=2只脚。 &&& 第四步：用假设与实际相差的脚的只数除以一种动物比另一种动物多的脚的只数。如上题中假设与实际相差24只脚，又因为一只兔子比一只鸡多2只脚，所以兔子就有24&2=12只。 &&& 第五步：用动物的总只数减去另一种动物的只数，就是我们假设的动物的只数，即鸡有35-12=23只。 &&& 在日常生活中，&鸡兔同笼&问题有很多的变式，如日本民间流传的&龟鹤问题&以及租船、植树等实际问题均与&鸡兔同笼&问题本质相同，通过让学生解决这些相关的问题，一方面是让学生进一步明确&鸡兔同笼&问题的实质，了解其在生活中的广泛应用；另一方面也可以巩固解决此类问题的方法和思路。 &&& 解决&鸡兔同笼&问题时，要逐步解决，即猜测、列表、假设或列方程解。其中假设和列方程解是解决此类问题的一般方法。假设法有利于培养学生的逻辑推理能力，列方程解答则有助于学生体会代数方法的一般性。因此在解决此类问题时，学生选用哪种方法均可，不强求用某种方法，不作统一要求。以上是我对&鸡兔同笼&问题解答思路初步的探索，不足之处请各位专家和同仁批评指正。
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文明上网,理智发言数学：鸡兔同笼问题
你好，游客
数学：鸡兔同笼问题
来源：长辛店第一小学&
作者：魏丽
学段：中段
教学基本信息
鸡兔同笼问题
是否已实施
指导思想与理论依据
学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。本节课的教学本着创造民主、平等、和谐的教学关系，确立学生是数学课堂的主人的指导思想，科学地给学生留足数学学习的时间、空间，最大限度地给学生创造良好的自学、思考、质疑、讨论的条件和机会，启发他们积极发表独到见解，主动地、创造性地获取知识、发展能力；紧紧围绕培养学生数学思维能力和创造能力这一核心，有效调控课堂教学进程，取得最佳学习效果。充分调动学生学习的积极性和主动性，让学生动眼观察、动脑思考、动口表达、动手练习，增加接受信息的渠道，保持学生精力集中、思维敏捷、心情愉快；以培养学生自主学习数学和创造性思维。
教学背景分析
教学内容：
&鸡兔同笼&问题是一道古老的数学问题，早在1500年前中国古代数学名著《孙子算经》中就有记载。但引入小学数学课本却时间不长。我在备课时查找了许多相关的材料，认真思考了编者的意图和小学生的认知发展的特点，我发现，无论是画图还是列表的方法，此题的解法都是在灵活地运用假设法，这是一般解法。
另外配合&鸡兔同笼&问题，教材以&鸡兔同笼&为模型，在&试一试&和练习中安排了类似的一些习题，比如&邮票、火柴、门票&等生活中的一些实际问题，让学生进一步体会到这类问题在日常生活中的应用，并巩固用画图法或列表法来解决这类问题。
学生情况：
我班学生共31人。有几名学生在课外已经对&鸡兔同笼&问题有所了解，他们喜欢和习惯于列出算式，他们当中有的已经真正掌握和理解了此类问题，但多数还是知之不多，不求甚解。况且班中绝大多数学生对这个问题还是陌生的。学生现有知识水平不同，理解能力也不同，帮助所有的学生在现有知识水平上再上一个知识台阶，扫清知识盲点，提高学习兴趣很关键。
教学方式：问题探究、讨论、小组合作学习
教学手段：计算机& 投影设备
技术准备：PPT课件
&教学目标(内容框架)
1．通过研究鸡兔同笼问题掌握画图解决问题的方法，列表解决问题的方法。
2．了解&鸡兔同笼&问题，感受古代数学问题的趣味性。
3. 培养同学们的合作意识，在现实情景中，使学生感受到数学思想的运用与解决实际问题的联系，提高同学们解决问题的能力和自信心，进而让同学们在解决问题过程中体验成功。
教学流程示意(可选项)
解决课前难题、总结三种方法的适用范围（数目比较小时，用画图和列表的方法比较快，数目比较大时，用假设法比较好。）
联系生活、课堂延伸
（感受生活中的鸡兔同笼）
回顾总结、课堂结束
有关《孙子算经》中鸡兔同笼问题数学史介绍
化难为易、探索规律
《孙子算经》、激趣引入
教学过程(文字描述)
一、历史激趣，导入新课
师：老师听说我们班的同学非常喜欢读书，今天老师给同学们带来一部1500年前的数学名著《孙子算经》（课件出示），里面记载着许多有趣的数学名题，其中有这样一道题请看：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？（师读,课件中标注出题目中的&雉&（读成&zh&&），就是野鸡。）谁知道，这是一个什么问题？（鸡兔同笼问题）这节课我们就来研究中国历史上著名的数学趣题 &鸡兔同笼&。（板书课题）
【设计意图】这一引入，给数学课堂带来了浓厚的文化气息，让我们的学生感受到我国数学文化的源远流长，激发了学生的学习热情。
& & 1．分析题意：这道题什么意思？(这道题是说，现在有一些野鸡和兔子，关在同一只笼子里，从上面看，共有35个头；从下面看，共有94只脚。问有多少只野鸡、多少只兔子？)
& & 2．出示例题:（PPT出示）例题及插图：鸡兔同笼，上面看有35个头，下面看有94条腿，鸡兔各有多少只？（请一名同学读题）
& & 3. 你从中发现了哪些数学信息？这道题里还有隐藏的数学信息吗？有两个隐藏条件看谁细心发现了？同学们先来尝试猜测鸡、兔可能各有多少只？（找一两个同学猜测）
师：看来这么大的数据，同学们尝试猜测有一定的难度，那我们把它化难为易，从简单入手找出规律，再来尝试猜测解决这个问题。
二、化难为易，寻找规律
&（出示例题。。。。。。。。。。。）师：老师帮助大家把这道题简化了一下。
&【设计意图】简单入手、化难为易发现规律，运用知识迁移，拓宽学生思路，留给学生思考的空间，在解决问题的过程中发现表格及画图的用处，并在表格和所画图中发现规律，为构建新知奠定基础。
& & 1.我们一起来看看被关在同一个笼子里的鸡和兔给我们带来了什么信息？
& 学生理解（课件出示）：
①鸡和兔共8只。&
②鸡和兔共有26条腿。&
③鸡有2条腿。& & ④兔有4条腿。
& & 2 先猜一猜，鸡兔可能有几只？可能只有一种动物吗？
（学生猜测，汇报。不可能都是鸡，因为如果都是鸡就会有40条腿，而题目中是54条腿。也不可能都是兔，因为如果都是兔就会有80条腿。）
3．独立思考：你想怎样解决这个问题？
& 请同学们先认真思考，以小组为单位展开讨论、交流，看看你们小组该选择什么方法来解决这个问题？再把你们的想法，你的思考过程用你自己的方式记录下来。
&小组合作完成，互相交流想法。（师巡视，记下各种解法）小组汇报成果：
（一）：列表法。（实物投影展示小组的成果）
学生：先假设有8只鸡，0只兔子，腿就有16条。腿太少，然后又假设有7只鸡，1只兔子，腿还是太少了。这样试下去就得到了有3只鸡，5只兔子。
师：学生说出&7只鸡，1只兔子&，问&怎样计算出的腿数？&7&2+1&4=14+4=18
问&3只鸡，5只兔子是26条腿吗？&3&2+5&4=6+20=26
师：谁和他的方法一样？能再讲讲吗？
‚师：追问&有些同学在填表时写出的腿数特别快，让我们采访一下有什么秘诀？&
（因为鸡和兔的只数是固定的，每增加一只兔子减少一只鸡，腿的总只数就增加2。反之依然，所以列表列得特别快。）
ƒ师：评价&像你们这样，采用列表的方法可以不重复、不遗漏的写出所有可能的答案，非常实用。
④ 师：他们是先考虑鸡，还可以怎样列表呢？（假设有8只兔，0只鸡，又假设有7只兔，1只鸡，&&）这样做和刚才的道理一样。
【设计意图】在问题情境中探究解决问题的方法，给学生足够的空间经历数学知识的形成过程，体验猜测&验证&调整&再验证&再调整的过程，从而得到解决鸡兔同笼问题的一般方法策略：列表法。
（二）画图法：（实物投影展示小组的成果）
①先画8个头。
& & ②每个头下画上两条腿（也就是都看成是鸡）。
数一数，共有16条腿，比题中给出的腿数少26-16=10条腿。
& & ③给一些鸡添上两条腿，叫它变成兔．边添腿边数，凑够26条腿。
　　每把一只鸡添上两条腿，它就变成了兔，显然添10条腿就变出来5只兔．这样就得出答案，笼中有5只兔和3只鸡。（同样具有局限性）
总结：第一步&&第二步&&第三步&&。你觉得这样做怎么样？画图的方法非常便于观察、非常容易理解。
（三）假设法。
师：那我们来看一看根据我们画的图，怎么样来列式计算这道题呢？
& 小组1：假设全都是鸡：2&8=16（条）26-16=10（条） 10&2=5（只）&&兔子
8-5=3（只）&&鸡& & 谁有不懂得问题要问他？你们看看是不是这样：看屏幕演示
板书&假设法。
& 师：除了可以假设都是鸡，还可以怎样假设呢？
& 小组2：引导学生说出都是兔，课件演示
& & 4. 解决课前遗留问题（PPT出示）：
鸡兔同笼，上面看有35个头，下面看有94条腿，鸡兔各有多少只？
师：这道题可以怎么解决？自己动笔试一试。（给学生时间说明自己的想法）
& & 5. 小结方法：刚才我们用这么多的方法解决了鸡兔同笼问题，你最喜欢那一种方法，说说你的理由。
现在我们重新总结一下这些方法的优势和适用范围吗？（提示：比如可以根据题目中的数目大小来确定方法）数目比较小时，用画图和列表的方法比较快，数目比较大时，用假设法比较好。
& & 6. 介绍古代鸡兔问题
&鸡兔同笼，上面看有35个头，下面看有94条腿，鸡兔各有多少只？
&分析解题思路：
&师：那你知道早在一千五百年前的古人又是怎么解决鸡兔同笼问题的？回到最初的那个题目。
&师：谁能看懂古代人的方法。
&生：先抬起一半的脚。剩下一半的脚。
&师：此时，一只鸡一只脚，一只兔多了一只脚。多了12只脚就有12只兔。算式是& & & & & &
& & & & & &
94&2-35=12（只）
& & & & & &
35-12=23（只）
看了这段资料，你有什么想法，你有什么想说的吗？
（为我们的祖先感到骄傲，其实老师也为你们感到骄傲，你们在这么短的时间内就想出了这么多解决问题的办法，你们很了不起！）
三、解决实际问题、课堂延伸。
师：学数学就要抓住数学的本质，这里的鸡不仅仅代表鸡，这里的兔也不仅仅代表兔，运用我们所学的方法可以灵活的解决一些生活中的鸡兔同笼问题。在我们的生活中，停车场、储蓄罐里也有这样的&鸡兔同笼&题目呢！
【设计意图】学数学用数学，引领学生抓住数学的本质，学习鸡兔同笼问题并非单纯解决鸡兔同笼问题而是借助鸡兔同笼问题学习列表法解决生活中的更多实际问题。
（1）停车场里的&鸡兔同笼问题&
长辛店一小共有老师60余名。学校附近老师停放车辆（小轿车和自行车）一共32辆，这些车一共108个轮子。你能求出有多少老师开车上班？多少老师骑车上班吗？
（2）存钱罐里的&鸡兔同笼&问题
小明的储蓄罐里有1角和5角的硬币共27枚,价值5.1元,1角和5角的硬币各有多少枚? 学生汇报，交流。（发打印纸）
师：你能说生活中还有哪些鸡兔同笼问题么？
四、课堂小结：
通过今天的学习，你有哪些收获？
解答这类问题有多种方法。在解决其他问题时可以借鉴这些方法。
【设计意图】此练习题的出示目的是使学生在发现问题，解决问题的学习过程中明确因题而异选择方法。
结束语：数学自古以来是中国历史上的璀璨明珠，在我们的生活中无处不在，我相信同学们只要敢于猜测尝试、并且不断的实践验证、调整创新，任何问题都能迎刃而解。
鸡兔同笼&&假设法
假设全是鸡
&8=16（条）
22-16=6（条）& & & &
兔：6&（4-2）=3（只）& & &
鸡：8-3=5（只）
& & & & & & & & & & & & &
& & & & & & & & & 检验：&2+ &4=22（条）
学习效果评价设计
独立完成以下问题.
(1)长辛店一小共有老师60余名。学校附近老师停放车辆（小轿车和自行车）一共32辆，这些车一共108个轮子。你能求出有多少老师开车上班？多少老师骑车上班吗？
&(2)小明的储蓄管罐里有1角和5角的硬币共27枚，价值5.1元，1角和5角的硬币各有多少枚？
本教学设计与以往或其他教学设计相比的特点(300-500字数)
1. 由《孙子算经》中的&鸡兔同笼&问题引入，激发学生的解题兴趣。
2. 注重体现解决&鸡兔同笼&问题的不同思路和方法。
考虑到《孙子算经》中原题的数据较大，教材在例1中从数据较小的问题入手，让学生尝试解决。教材除例1中运用的方法外，在阅读材料中也介绍了一种古人常用的解决该类问题的方法，让学生感受古人巧妙的解题思路。
3. 适当拓宽对&鸡兔同笼&问题的认识，明确其在生活中的应用。
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2011年公务员考试行测技巧之鸡兔同笼问题
发表时间：日9:18:39
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2011年技巧之鸡兔同笼问题
　　鸡兔同笼问题，是我国古代著名趣题之一。大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？翻译成现在的语言，意思就是：笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚，求笼中各有多少鸡和兔？
　　一、鸡兔同笼问题的四种解决方法
　　第一种方法为列表法，这是最低级的方法。即从鸡1只与兔子34只的组合开始列出鸡的头数和兔子的头数，直至二者的脚数加起来为94.这种方法费时费力，完全不能用于的考试当中。
　　第二种方法为“化归法”，古时候也叫做“砍足法”。其解题思路就是：砍去每只鸡、每只兔一半的脚，使鸡变成“独角鸡”，兔变成“双脚兔”。于是，鸡的头数与脚数相同，每只兔的脚数比头数多1.将总的脚数除以二减去头数，就是兔子多出的脚的数量。将其除以每只兔子脚数与头数之差，则为兔子的数量。同时鸡的数量也就迎刃而解。这种方法非常的巧妙，解题的速度也非常的快。但是其只适用于两者之间脚数成倍数关系的题目，局限性较大。
　　第三种方法是我们平时常用的“方程解”法。即假设鸡的头数为X，兔的头数则为（总头数-X），二者的总脚数=2*X+4*（总头数-X），解出该方程的解则为鸡的头数。这种方法，思路非常的简单，计算也不是太复杂。在的考试当中，若感觉自己的头脑不是太清醒，建议使用这种方法。虽然列方程、解方程需要耗费一定的时间，但是准确率可以保证。
　　第四种方法是我们需要特别重视的一种非常简便、快速的方法，即：“假设法”。解题的思路是：假设全为鸡，按照头数计算出脚的只数，然后与实际的脚数对比，缺少的脚数就是将兔子假设成鸡而较少的总脚数。除以每只兔子减少的脚数，则为兔子的数量。其公式如下：兔数=（总脚数-总头数*鸡脚数）÷（兔脚数-鸡脚数）；鸡数=（总头数*兔脚数-总脚数）÷（兔脚数-鸡脚数）。从公式中我们可以发现，假设全为鸡，则求出的是兔的头数；假设全为兔，则求出的是鸡的头数。“假设法”计算快捷，是当中解决鸡兔同笼问题最常用方法。需要认真掌握、灵活运用。
　　中的“鸡兔同笼”问题远不止上述题型那么简单。但是只要我们认真分析，透过现象看清本质，其实很多问题都可以使用“鸡兔同笼”问题的解法来解决。
　　二、公务员的“鸡兔同笼”问题的共同特点
　　首先，我们必须确定哪些问题是“鸡兔同笼”问题。通过分析我们可以知道，“买铅笔问题”、“打字问题”、“年龄问题”、“考试问题”、“路程问题”“工程问题”大都可以看成是“鸡兔同笼”问题。他们有一些共同的特点：
　　1、题目中必须包含两个不同的主体，或者一个主体的两种不同属性。有的题目中包含了两个以上的主体或属性，但是若可以将多个主体或属性合并，用其平均值代替，最终可以看成是两个主体或者属性，也可以将这类题目视为“鸡兔同笼”问题。
　　2、两个主体或属性之间，必须有两种和差关系。和差关系是联系两个主体或属性的关键条件。在“鸡兔同笼”问题中，两个主体或属性之间不一定会有积、商的关系，但是和与差的内容是必不可少的。并且，必需要两个不同的和或者差，或者一和一差。有的“路程问题”、“工程问题”中不容易发现这个特征，但是将总路程或者总工程量假定为“1”或者某个数字，就能凸显出这个特性。
　　“鸡兔同笼”问题在解题的过程中，最主要的是区分“鸡”与“兔”，整理清楚“头数”与“脚数”。这就需做大量的题目，以培养敏锐的思维。在明确的了解简便的解题方法的同时，还需要不断的练习和巩固，提高做题的速度，以求在公务员的考试过程中既准确又快速的完成题目。
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（责任编辑：中大编辑）
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鸡兔同笼问题怎样解决?
列一个二元一次方程,假设鸡为x只,则兔为总只数减去x只,然后列方程2x+4（总只数减去x只）=等于总腿数,解方程
假如全是鸡，应有多少脚，现在有多少脚，多出几个，除以2就是兔子的数量
列方程，小学五级内容
这是初中的。
列方程，二元问题补充&&
兔只，那么久设未知数，这个头的个数就是只数）然后你试着代数去解,2其实只要区分鸡和兔子的区别就好，他们的区别就是一个是两只脚一个是四只脚，如果你是初中生，2ee+4y=总共的脚的个数，如果你还没有上初中你就用这个做法，2乘鸡的个数+4乘兔的个数=总共的只数（一般题目会给出一共有多少只头，设鸡ee只，可列式1
热心网友 &2-17 10:16
兔只，那么久设未知数，这个头的个数就是只数）然后你试着代数去解,2其实只要区分鸡和兔子的区别就好，他们的区别就是一个是两只脚一个是四只脚，如果你是初中生，2ee+4y=总共的脚的个数，如果你还没有上初中你就用这个做法，2乘鸡的个数+4乘兔的个数=总共的只数（一般题目会给出一共有多少只头，设鸡ee只，可列式1
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撒撒大哥&2-17 10:16
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