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直线和圆的方程 圆的标准方程 第一讲
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高中数学必修2
直线和圆的方程 圆的标准方程 第一讲
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&&2014年秋高一数学名师配套课件：第四章4.1.2《圆的一般方程》（人教A版必修2）
2014年秋高一数学名师配套课件：第四章4.1.2《圆的一般方程》（人教A版必修2）
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2014年秋高一数学名师配套课件：第四章4.1.2《圆的一般方程》（人教A版必修2）
1.若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x-4y=0的圆心,则a的值为 　(　　) A.-1　　　B.1　　　C.3　　　D.-3 【解析】选B.圆的方程可变为(x+1)2+(y-2)2=5,因为直线经过圆的圆心,所以3×(-1)+2+a=0,即a=1. 2.经过圆x2+2x+y2=0的圆心,且与直线x+y=0垂直的直线方程是　(　　) A.x+y+1=0
B.x+y-1=0 C.x-y-1=0
D.x-y+1=0 【解析】选D.由题意知圆心坐标是(-1,0),故所求直线方程为y=x+1,即x-y+1=0. 3.点P(1,-2)和圆C:x2+y2+m2x+y+m2=0的位置关系是　　　. 【解析】将点P(1,-2)代入圆的方程,得1+4+m2-2+m2=2m2+3>0,所以点P在圆C外部. 答案:点P在圆C外部 4.圆心是(-3,4),经过点M(5,1)的圆的一般方程为　　　. 【解析】圆的半径 从而圆的标准方程为(x+3)2+(y-4)2=73, 化为一般方程为x2+y2+6x-8y-48=0. 答案:x2+y2+6x-8y-48=0 5.若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2,-4)为圆心,4为半径的圆,则F=　　　　　　. 【解析】由题意,知D=-4,E=8,
所以F=4. 答案:4 6.判断方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0能否表示圆,若能表示圆,求出圆心和半径. 【解析】方法一:由方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0,可知D= -4m,E=2m,F=20m-20, 所以D2+E2-4F=16m2+4m2-80m+80=20(m-2)2,因此,当m=2时,D2+E2-4F=0,它表示一个点,当m≠2时,D2+E2-4F>0,原方程表示圆的方程,此时,圆的圆心为(2m,-m),半径为 方法二：原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2， 因此，当m＝2时，它表示一个点， 当m≠2时，原方程表示圆的方程． 此时，圆的圆心为(2m，-m)，半径为r＝
|m－2|. 4.1.2
圆的一般方程 　圆的一般方程 方程 满足条件 表示图形 x2+y2+Dx+ Ey+F=0 D2+E2-4F>0 圆心为(
的圆 D2+E2-4F=0 点(
) D2+E2-4F0,即m=0. 【知识点拨】 对圆的一般方程的三点说明 (1)圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0体现了圆的形式上的特点: ①x2与y2的系数相同且不为零; ②没有xy项; ③参数D,E,F满足D2+E2-4F>0. (2)圆的标准方程明确表达了圆的圆心与半径,而一般方程则体现出了明显的代数结构形式,经过一定的代数运算才能求出圆心和半径. (3)二者可以互化:将标准方程展开即得圆的一般方程,将圆的一般方程配方即得圆的标准方程. 类型 一
二元二次方程与圆的关系
【典型例题】 1.(2013·荆州高二检测)圆x2+y2-2x+4y=0的圆心坐标为
(　　) A.(1,2)
D.(-1,-2) 2.(2013·绵阳高二检测)方程x2+y2+ax+2ay+
a2+a-1=0表示圆,则a的取值范围是(　　) A.a1
D.-2<a0. 【解析】1.选B.将圆的方程化为标准方程:(x-1)2+(y+2)2=5,可知其圆心坐标是(1,-2). 2.选A.当a2+4a2-4(
a2+a-1)>0时表示圆的方程,故-a+1>0,解得a0,满足要求,故a=-1. 【拓展提升】判断二元二次方程表示圆的“两看” 一看方程是否具备圆的一般方程的特征,当它具备圆的一般方程的特征时,二看它能否表示圆.此时有两种途径:一是看D2+E2-4F是否大于0;二是直接配方变形,看方程等号右边是否为大于零的常数. 【变式训练】圆x2+y2-2x+6y+8=0的周长等于　(　　) A.
π　　　B.2π　　　C.2
π　　　D.4π 【解析】选C.圆的方程x2+y2-2x+6y+8=0 可化为(x-1)2+(y+3)2=2,所以圆的半径r=
,故周长l=2πr= 2
π. 类型 二
待定系数法求圆的方程
【典型例题】 1.过三点A(-1,5),B(5,5),C(6,-2)的圆的方程是(　　) A.x2+y2+4x-2y-20=0 B.x2+y2-4x+2y-20=0 C.x2+y2-4x-2y-20=0 D.x2+y2+4x+4y-20=0 2.(2013·吉林高一检测)已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圆心在直 线x+y-1=0上,且圆心在第二象限,半径为
,求圆的一般方程. 【解题探究】1.题1中三点与圆心、半径无直接联系,应怎样设出圆的方程? 2.圆的一般方程中含有几个待定系数,在求圆的方程时如何求出待定系数? 探究提示: 1.可设出圆的一般方程求解. 2.含有三个待定系数,需三个独立条件,列出三个方程构成方程组求出待定系数. 【解析】1.选C.设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0分别代入(－1,5)，(5,5)，(6,－2)得
解得 所以圆的方程是x2+y2-4x-2y-20=0. 2.圆心C(
)， 因为圆心在直线x+y-1＝0上， 所以
，即D＋E＝-2，
所以D2+E2＝20，
② 由①②可得
或 又圆心在第二象限，所以
所以圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. 【拓展提升】圆的一般方程和标准方程的选择 (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径来列方程的问题,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r. (2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再利用待定系数法求出常数D,E,F. 【变式训练】圆心在直线y=x上,且经过点A(-1,1),B(3,-1)的圆的一般方程是　　　　　　. 【解析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 则圆心是(
),由题意知, 解得D=E=-4,F=-2, 即所求圆的一般方程是x2+y2-4x-4y-2=0. 答案:x2+y2-4x-4y-2=0 类型 三
与圆有关的轨迹问题
【典型例题】 1.(2013·惠州高二检测)若Rt△ABC的斜边的两端点A,B的坐标分别为(-3,0)和(7,0),则直角顶点C的轨迹方程为　(　　) A.x2+y2=25(y≠0)
B.x2+y2=25 C.(x-2)2+y2=25(y≠0)
D.(x-2)2+y2=25 2.已知点A(-3,0),B(3,0),动点P满足|PA|=2|PB|.若点P的轨迹为曲线C,则此曲线的方程为　　　　　　　　. 【解题探究】1.直角三角形中的两条直角边,反映在直线位置关系上是什么? 2.几何关系|PA|=2|PB|如何用数量关系表示? 探究提示: 1.直角三角形中的两条直角边,反映在直线位置关系上便是垂直,因而其斜率之积为-1. 2.几何关系|PA|=2|PB|可通过两点间的距离公式转化为数量关系. 【解析】1.选C.线段AB的中点为(2,0),因为△ABC为直角三角 形,C为直角顶点,所以C到点(2,0)的距离为
|AB|=5,所以点 C(x,y)满足
(y≠0),即(x-2)2+y2=25(y≠0). 2.设点P的坐标为(x,y), 则 化简可得(x-5)2+y2=16,此即为所求. 答案:(x-5)2+y2=16 【拓展提升】求轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当坐标系,设出动点M的坐标(x,y). (2)列出点M满足条件的集合. (3)用坐标表示上述条件,列出方程f(x,y)=0. (4)将上述方程化简. (5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点. 【变式训练】(2013·合肥高一检测)过原点O作圆x2+y2-8x=0的弦OA,求弦OA中点M的轨迹方程. 【解析】设M(x,y),A(x0,y0), 依题意得
所以x0=2x,y0=2y. 又A在圆x2+y2-8x=0上. 所以4x2+4y2-16x=0,即x2+y2-4x=0. 故弦OA中点M的轨迹方程为x2+y2-4x=0. 【规范解答】与圆有关的轨迹问题 【典例】 【条件分析】 【规范解答】设另一端点C的坐标为(x,y)，………………1分 依题意，得：|AC|=|AB|，…………………………………3分 由两点间距离公式 得，
① ………………5分 平方整理得，(x-4)2+(y-2)2=10①.………………………8分 这是以点A(4，2)为圆心，以
为半径的圆. 但A，B，C为三角形的顶点，所以A，B，C三点不共线. 当B与C重合时，C(3，5)；当BC为直径时，C(5，-1)②， 所以端点C的轨迹方程是 (x-4)2+(y-2)2=10(其中点(3，5)和(5，-1)除外)②.……10分 故端点C的轨迹是以A(4，2)为圆心，
为半径的圆，但要除 去(3，5)和(5，-1)两点.如图所示.
………………12分 【失分警示】 【防范措施】 1.注意轨迹的完备性和纯粹性 求解轨迹问题时,要注意轨迹的完备性和纯粹性,即必须同时具备“以方程的解为坐标的点都在曲线上和曲线上点的坐标都是方程的解”两个方面,如本例,若不注意三点不共线则造成轨迹不满足纯粹性而失分. 2.注意轨迹方程与轨迹的区别 求轨迹不但要把方程求出来,而且要通过方程说明方程表示的曲线;求轨迹方程只需求出方程即可.如本例,易漏掉对轨迹的说明而失分. 【类题试解】已知圆O的方程为x2+y2=9,求经过点A(1,2)的弦的中点P的轨迹. 【解析】设动点P的坐标为(x,y)，根据题意可知AP⊥OP. 当AP垂直于x轴时，P的坐标为(1,0)，此时x=1； 当x=0时，y=0；当x≠0且x≠1时，有kAP·kOP=-1， 因为
所以 即x2+y2-x-2y=0(x≠0且x≠1). 经检验，点(1,0)，(0,0)适合上式. 综上所述，点P的轨迹是以(
,1)为圆心，以
为半径的圆.《直线和圆的方程》课件1 (北师大版必修2)_百度文库
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《直线和圆的方程》课件1 (北师大版必修2)|a
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