行列式的计算及克莱姆法则_百度文库
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行列式的计算及克莱姆法则|
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复矩阵的行列式模
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94关于行列式计算的另类降阶法_邓勇
第２８卷第６期２月２０１２年１；大学数学；ＣＯＬＬＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ；Ｖｏｌ．２８，№．６；Ｄｅｃ．２０１２；关于行列式计算的另类降阶法；邓勇；（）喀什师范学院数学系，新疆喀什市８４４００６；摘要］由于二阶行列式的计算仅须求两对角线元素的乘；行列式求值，虽然可用Ｌ但是展开式会非常繁杂或计算；［关键词］行列式；计算；降阶；Ｌａｌａｃｅ展开法；［（）中
第２８卷第６期２月２０１２年１大　学　数　学ＣＯＬＬＥＧＥ　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ　Ｖｏｌ．２８，№．６Ｄｅｃ．２０１２关于行列式计算的另类降阶法邓　勇（）喀什师范学院数学系，新疆喀什市８４４００６摘　要］由于二阶行列式的计算仅须求两对角线元素的乘积之差，所以计算非常简单．一般地，对高阶　　［行列式求值，虽然可用Ｌ但是展开式会非常繁杂或计算量会很大．本文利用ａｌａｃｅ展开公式或Ｇａｕｓｓ消去法，ｐ）阶方阵行列式值的另类方法．得到一种只需计算二阶行列式就可求出ｎ（降阶原理，ｎ≥３［关键词］行列式；计算；降阶；Ｌａｌａｃｅ展开法；高斯消去法ｐ［（）中图分类号］Ｏ文献标识码］Ｃ　　［文章编号］１１５１．２１　　［６７２１４５４２０１２０６０１０２０７－－－１　研究背景众所周知，大量数学和物理学问题的解决常常都要归结到计算一个ｎ阶行列式．可见，行列式理论是数值计算的一个非常重要的工具．利用对角线法则计算二阶或三阶行列式是容易的．但对高阶行列式（）来说，随着阶的增加，其手算的难度会逐渐增大，技巧性也会越来越强．在这种情况下，我们只能ｎ≥３借助数学软件在计算机上实现行列式的求值．然而，对基础数学专业的大学生而言，我们更加关注他们对行列式理论的掌握和应用能力，而并非只会用计算机计算行列式的结果．因此，寻求行列式计算的其他更多方法，将是很有意义的．传统的行列式手算方法多数采用Ｌ其中Ｌａｌａｃｅ展开定理和高斯消去法．ａｌａｃｅ展开的基本思路是ｐｐ再用熟知的二阶或三阶行列式公式算出．使用Ｌ将高阶行列式逐步降至三阶或二阶行列式，ａｌａｃｅ展开ｐ式的麻烦是须经过多次的降阶，因此展开式相当繁复；高斯消去法的基本思路是用行列式的保值变换将其化简为上（下）三角形行列式，其值即为三角形行列式主对角元的乘积．除此之外，对于一些有明显结构特征的高阶行列式，我们可采取一些特殊的方法来计算．如范德蒙行列式、三对角行列式、行（列）和相等的行列式等．但这些方法都不具有普遍性．基于此，本文将介绍行列式求值的一种另类方法，给出了这种方法的两种形式．其中第二降阶形式是对第一降阶形式的改进．由于这种降阶不同于Ｌ因此我们称其为新降阶法．ａｌａｃｅ展开降阶，ｐ２　算法程序）阶方阵，），新降阶法的算法程序是：对给定的ｎ（按特定的降阶步骤逐步产生所需要的（ｎ－１≥３（），…，最后此１阶方阵的元即为原给定方阵行列式的值．具体为ｎ－２１阶方阵，２．１　第一降阶形式．）阶方阵．定义２．删除Ａ的首行和末行以及首列和末列后，得到的ｎ－２１　设Ａ为给定的ｎ（≥３［］阶方阵称为Ａ的内阵，记作ｉｎｔＡ１．　第一降阶形式的算法步骤：收稿日期］２０１１０７１３　［－－）基金项目］新疆维吾尔自治区高校科研计划重点项目（ＸＪＥＤＵ２００８Ｉ３１　［第６期　　　　　　　　　　　　邓勇：关于行列式计算的另类降阶法１０３（）设Ａ＝（是一个ｎ阶方阵．若其内阵在不改变方阵行列式值的前提下，对ＡｉａｉｎｔＡ包含零元，　ｉｊ）施行交换行或列的变换，目标是产生一个新方阵，使其内阵不含零元，仍以Ａ表示此新方阵；（）计算由Ａ的所有相邻元组成的２阶行列式，并将结果按规定顺序组成一个ｎ－１阶方阵，记作ｉｉ即Ｂ＝（ｂ．ｉｊ）ｂｉｊ＝ａｉｊａｉ１，＋ｊ，ａｉ１＋ｊａ，…，）；ｉｎ－１　（ｊ＝１，ｉ１，１＋＋ｊ）对Ｂ执行步骤（），（的运算，可得一个ｎ－２阶方阵Ｃ再将方阵Ｃｉｉｉｉｉ′＝（ｃ′′的各个元分别除以Ａｉｊ），的内阵并把此结果记为Ｃ．即Ｃ＝（其中ｉｎｔＡ的对应元，ｃ　ｉｊ）ｃｉｊ＝ａｉ１，１＋＋ｊ元即为ｄｅｔＡ．　ｃ′ｉｊ，ｃ′　ｉｊ＝ｂｉｊ，ｂｉ１＋ｊｉ１，ｉ１，１＋＋＋ｊｂｊ，…，）；ｉｎ－２　（ｊ＝１，））（把Ｂ看作新的Ａ，把Ｃ看作新的Ｂ，且对Ｃ再返回步骤（直到Ｃ为一个１阶方阵，其所含的ｉｖｉｉｉ注意，第一降阶形式的主要缺点在于不允许其内阵出现零元，且事先无法判断．一旦发生这种情况，我们只能退回起点重新产生一个符合要求的新方阵．２　例２．１　设Ａ＝１　１　２０，求ｄｅｔＡ．　１－２　１　１　３０　解　因为ｉｎｔＡ＝　２　－２－１－１　１－３１３　－１２　１１－２１－２１　３１　３），不含零元，所以我们直接进入步骤（得到的３阶方阵为ｉｉ１　１　１－２　１－２３－１３－１１　２１　０１　０－１－１－１－１－３　１３－２　－５＝３－２Ｂ＝５２－１－１．　－４－７２－３０　２），对Ｂ再用步骤（先算出２阶方阵ｉｉｉ－５　３５－１５－１－１－１－１－１－７　－４＝０－１－５３　－３－３１，２－７－５接着以元对元的方式将０－１３　－３－３“除以”ｉｎｔＡ＝　　－２　－１３，可得Ｃ＝／－２０－１／３３－３／１５－５－５．＝／３１１１３－－－　），），由步骤（把Ｂ看作新的Ａ，把Ｃ看作新的Ｂ，再回到步骤（计算ｉｖｉｉｉ／－１得Ｃ＝（故ｄ０４０），ｅｔＡ＝４０．－４　　）＝（２　２　－１１１－３１　２　２　１１　２－１５－５１　３－１立０），＝（－４例２．求ｄ２　设Ａ＝１－１－２－１－１，ｅｔＡ．　－１－２－１－２－１－１　２解　对方阵Ａ施行第一形式的降阶法，可得１０４２－１　２　１１－３大　学　数　学　　　　　　　　　　　　　　第２８卷１　２　－１　２５３　－５－３－１３　３－１→Ａ＝１－１－２－１－１→２　１－１－２－１１－３－３－３　３－５０　－３０　６０　２－１６．－２－１－１　２由于最后这个３阶方阵的内阵为（所以运算程序被迫终止．补救的方法是：将Ａ的首行移至最０），末行，此步骤共执行四次行交换，故行列式值保持不变．对新方阵重启运算程序，有１　２　１－１　２１－１－２－１－１２　１－１－２－１→－３１－２－１－１　２２－１　２　１因此，ｄｅｔＡ＝３６．　－３　－５－３－１６　－６　８　３－３－３３　３－１１→３　０　６０　６→－５－３－１－５３　－５　１　－６　８　０１２７　８　－４－１１８０　４３６），→（２．２　第二降阶形式．我们已经看到，第一降阶形式是由原行列式的相邻元素组成的二阶子式的值来构造降阶行列式的．事实上，我们也可用原行列式的非相邻元素来建立所有这些二阶子式．为方便起见，这里给出用原行列式的非相邻元素建立二阶子式的一种最简单方式．因为它能立刻排除第一降阶形式遇到的除数为０的情况，所以在实际应用中比较方便．第二降阶形式的算法步骤：２］）设Ａ＝（，（是一个ｎ阶方阵．任取一个非零元，称为轴元［若ａ则取ａｉａｉｎｎ≠０，ｎｎ为Ａ的轴元；ｊ）若ａ则在不改变方阵行列式值的前提下，对Ａ施行交换行或列的变换，使其第ｎ行、第ｎ列的元ｎｎ＝０，并取之为轴元，仍以Ａ表示此新方阵；素不为零，（）用Ａ的轴元ａ并将结果按规定顺序组成一个ｎ－１阶方阵，记作ｉｉｎｎ建立所有的二阶子式，即Ｂ＝（ｂ．ｉｊ），…，）；ｉｎ－１　（ｊ＝１，ｎｎｎｊａ（）取Ｂ的非零元素ｂ），）若ｂ则采取（的做法即可）对Ｂ执行步骤（的ｉｉｉｉｉｉｎ１，ｎ１为轴元（ｎ１，ｎ１＝０，－－－－，运算，可得一个ｎ－２阶方阵Ｃ再将方阵Ｃ并把此结果记为′＝（ｃ′′的各个元分别除以Ａ的轴元ａｉｎｎ，ｊ）ｂｉｊ＝ａａｉｉｎｊ，即Ｃ＝（其中Ｃ．ｃｉｊ），ｂｂｉｉｎ１－ｊｃ′ｉｊ，，…，），ｃｃ′ｉｎ－２　　（ｊ＝１，ｉｉｊ＝ｊ＝ａｎｎｎ１，ｎ１，ｎ１－－－ｊｂ′；ｎ２－（ａｎｎ）ｎ３－（）由步骤（），，对Ｃ可得一个ｎ－３阶方阵Ｄ再用（除Ｄ从而ｉｖｉｉｉ′继续降低，′＝（ｄ′ｂ′，ｉｎ１，ｎ１）－－ｊ）得到ｎ－３阶方阵Ｄ．重复这一过程，直到求出一个１阶方阵，其所含的元即为ｄｅｔＡ．　从而Ｃ＝１　０－２　３　２．－１－３　２例２．３　计算五阶行列式ｄｅｔＡ＝－３－２　　２－２　３－２　０－１　１０－１　２　０－３　１－１－３解　为了说明问题，我们在每一个行列式中，将其轴元均写成黑体．由第二降阶形式，得１　０－２　３　２　２－１－３－３－２　２－２　３０　０－２－１　１→０－１　－３　－３３　９　６　９９４－７　６－６　４－７－１　２　－３　１６－９　３　－６第６期　　　　　　　　　　　　邓勇：关于行列式计算的另类降阶法１０５６０９－３－９１８→４　０　→－５因此，ｄｅｔＡ＝　５６６１１６　－２０２４－３３２４４５８００），－１→（８－１８０　３－７＝５．３２１＝（）（）（）９１６００－２－３－６３３　理论推导３．１　第一降阶形式的理论推导．ｒ，ｓｊ设Ａ＝（为ｎ阶方阵，令Ａ，ａｉ行和第ｊ列后所得的ｎ－１阶方阵，Ａｉｉ表示划去Ａ的第ｉｊ表示划去ｊ）Ａ的第ｉ和第ｊ行与第ｒ和第ｓ列后所得的ｎ－２阶方阵．１，ｎ引理　设Ａ＝（为ｎ阶方阵．若ｄ则ａｅｔＡ　ｉ１，ｎ≠０，ｊ）１ｎｄｅｔＡｄｅｔＡ　　１１１ｎｄｅｔＡｄｅｔＡｎｎｄｅｔＡ＝　１，ｎｄｅｔＡ　１，ｎ［３］．ｉ＋ｊｊ）证　令ｂ并设ｄｅｔＡ－１　ｉｉ，ｊ＝（１１ｂ００……………００００ｂｎ１ｂｎ２ｂｎ３ｂｎｎｂ１２Ｂ＝ｂ１３１，ｎ１－１ｎｂ１　００　１００００．１　ｂｎ，ｎ１－［］由于Ｂ和伴随矩阵Ａ＊的首列与末列元素相同．由行列式的Ｌ可得ａｌａｃｅ展开公式４，ｐ…ａｄｅｔＡ　ａ１ａ０　２１３１，ｎ１－０ａ２２ａ３２ａｎ２ａ２３ａ３３……ａ２，ｎ１－ａ３，ｎ１－ａｎ，ｎ１－ａ２，ｎ１－ａ３，ｎ１－０００ｄｅｔＡ０００ｄｅｔＡ　　　　　　．ＡＢ＝００ａｎ１，２ａｎ１，３－－…ａｎ１，ｎ１－－………ａｎ３同样，利用Ｌ可得ａｌａｃｅ展开公式计算ＡＢ的行列式，ｐ０ａ２２ａ３２（ｄｅｔＡＢ）＝（ｄｅｔＡ　ａｎ２ａ２２２ｄｅｔＡ）＝（　ａ２３ａ３３ａｎ３ａ２３ａ３３ｎ１，２ａｎ１，３－－…ａｎ１，ｎ１－－………ａｎ，ｎ１－ａ２，ｎ１－ａ３，ｎ１－ａ３２ｎ１，２ａｎ１，３－－再用Ｌ得到ｄａｌａｃｅ展开公式计算Ｂ的行列式，ｅｔＢ＝ｂｂｂｂ　ｐ１１ｎｎ－１ｎｎ１．但是１ｎ１ｎｎ１１ｎ＋＋））ｂｅｔＡｄｅｔＡｄｅｔＡｅｔＡ－１－１　　ｂ　　ｂ　　ｂ　１，ｎ，１１＝ｄ１ｎ＝（１，ｎ１＝（ｎ，ｎｎ＝ｄ所以，ｄｅｔＢ＝　１ｎｄｅｔＡｄｅｔＡ　　１１１ｎｄｅｔＡｄｅｔＡ　　ｎｎ…ａｎ１，ｎ１－－２１，ｎ（ｄｅｔＡ）ｄｅｔＡ＝（　　１，ｎ）．１０６４］，再利用方阵乘积行列式公式［就有大　学　数　学　　　　　　　　　　　　　　第２８卷１ｎｄｅｔＡｄｅｔＡ　　１１２（（ｄｅｔＡ）ｄｅｔＡ）＝（ｄｅｔＡ．　　　１ｎｄｅｔＡｄｅｔＡ　　ｎｎ，１ｎ若ｄ上式两边同时除以ｄ即证得所求；若ｄ将Ａ以Ａ＋ε使得ｅｔＡ≠０，ｅｔＡ和ｄｅｔＡｅｔＡ＝０，Ｉ取代，　　　　１，ｎ，５］（当ε→０时，利用连续论证法即可得证［ｄｅｔＡ＋εＩ）≠０，．（ｍ）第一降阶形式的证明　设Ａ（，ｍ）表示对ｎ阶方阵Ａ进行ｍ次降阶后得到的矩阵，ａｉｊ表示矩阵１，ｎ１，ｎ“，）＝Ａ，空矩阵”即０×０阶矩阵的行列式为１．令Ａ（利用算法步骤：Ａ（ｍ）中的元素，０（１）））））当ｍ＝１时，是由Ａ（经过一次降阶得到的（阶方阵，此时Ａ（中的元素ａ，Ａ（１０ｎ－１１ｉｊ为２阶行列式，即０，ａｉｊ（）０，ａｉ１＋ｊ（）（）ａ（１），ｉｊ＝００ａｉ１，ｉ１，１＋＋＋ｊａｊ（）；（２））是由Ａ（）经过两次降阶得到的（）阶方阵，）中的元素ａ当ｍ＝２时，此时Ａ（，Ａ（２０ｎ－２２ｉｊ为０，ａｉｊ（）０，ａｉ１＋ｊ（）（）（）（）０，ａｉ１＋ｊ（）（）（）（）０，ａｉ２＋ｊ（）（）（）０，ａｉｊ（）０，ａｉ１＋ｊ（）（）０，ａｉ２＋ｊ（）（）（）００ｉ１，ｉ１，１＋＋＋ｊａｊ１，ａｉｊ（２），ｉｊ（）１，ａｉ１＋ｊ（）００ｉ１，ｉ１，１＋＋＋ｊａｊ（）（）（）００ｉ１，１ａｉ１，２＋＋＋＋ｊｊ００ｉ１，１ａｉ１，２＋＋＋＋ｊｊ０００ｉ１，ｉ１，１ａｉ１，２＋＋＋＋＋ｊａｊｊ（）（（（（（００００１）１）０）０）０）ｉ２，ｉ２，１ｉ２，１ａｉ２，２＋＋＋＋＋＋＋ｊａｊｊｊｉ１，ｉ１，１ｉ２，ｉ２，１ａｉ２，２＋＋＋＋＋＋＋＋ｊａｊｊａｊｊａ＝．＝＝（（（０）０）０）ａａａｉ１，１ｉ１，１ｉ１，１＋＋＋＋＋＋ｊｊｊ）经过ｋ次降阶后得到的（假设当ｍ＝ｋ时，由Ａ（０ｎ－ｋ）阶方阵Ａ（ｋ）的元素为（（（０）０）０）…ａ，，，ａａｉｉ１ｉｋ＋＋ｊｊｊ００ａｉ１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