第二节 数项级数及审敛法_百度文库
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第二节 数项级数及审敛法
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解　(1) 当a=1时,原级数为∑(-1)n+1,它为条件收敛.(2) 当a1时⇒∑收敛⇒∑收敛.下证原级数发散.否则,它若收敛,则加括号后,级...
(本文共192字)
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在数学分析与高等数学教材中,判别交错级数收敛的方法主要是莱布尼茨判别法[1-2].但是莱布尼茨判别法存在以下几个问题:判别法中的两个条件不是很容易验证;在级数收敛时,不能直接判别是条件收敛还是绝对收敛;该判别法只能判别级数收敛,不能判别级数发散.为了克服这些问题,本文拟选择p-级数[1-2]作为参照级数由比较判别法,给出交错级数敛散性判别的一种新方法.引理1级数∑∞n=1nα(α0(x0),如果limx→+∞x[lnf(x)]′=ρ,(1)则级数∑∞n=1(-1)n-1 f(n)当ρ0(包括+∞)时发散,当-1≤ρ0,由式(1)可知,存在X0,当xX时,有x[lnf(x)]′=xf′(x)f(x)0.又因f(x)0(x0),则有f′(x)0.进而,当xX时,f(x)单调递增.所以,存在N0,当nN时,数列f(n)单调递增.又f(n)0,故limn→+∞f(n)≠0.由级数收敛的必要条件[1-2]知,所论交错级数发散.由证明过程知...
(本文共2页)
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1引言及预备知识考虑如下的交错级数∞?=?+L+??+L=?∑nnnnn u u1u21u1(1)1(1)(1)其中:un≥0(n=1,2,L).交错级数是数学分析和高等数学中的重要内容之一,在许多教材中,关于交错级数(1)收敛性判别,只介绍了莱布尼兹定理,这个定理只能判别交错级数(1)的收敛,不能判别是绝对收敛还是条件收敛,而且也没给出判别交错级数(1)的发散条件.对于这个问题许多学者进行了深入的研究[1-3],本文针对级数(1),给出一个新的判别方法,该方法不仅能够判别级数(1)的敛散性,而且也能够判别在收敛时是绝对收敛还是条件收敛.引理1[4]17如果级数(1)满足:u nun+1(n=1,2,L),nl i→m∞u n=0,则级数(1)收敛且其和s≤u1.引理2[4]13调和级数∑∞=11n n p,当p1时,收敛;当p≤1时,收敛.引理3[5]对于正项级数(0)1∑∞n=u n un,令nnnn uR=????u+1?...
(本文共3页)
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定义形如:?=+??++?++∞??=∑nnnnnnnaaaaa 2a(1)(1)(1)(an0)⑴的级数称为双项交错级数.1双项交错级数敛散性的定义判别法命题1对于双项交错级数⑴,令:knkkkSn∑a=?=?02(1)(1),1)若lni→m∞Sn=S(S是确定实数),则双项交错级数(1)收敛并且和是S,记作nnnnS 2a(1)0(1)+∞?==∑?.2)若lni→m∞S n不存在,则双项交错级数(1)发散.2双项交错级数绝对收敛和发散的判别法由一般项级数的取绝对值判别法、比值判别法、根值判别法可知下面命题成立.命题2双项交错级数(1),若∑∞∑=∞=??=002(1)(1)nnnnnnaa收敛,则双项交错级数(1)绝对收敛[1].命题3双项交错级数(1),若lni→m∞aa nn+1=ρ,0≤ρ≤+∞,则1)当ρ1或ρ=+∞时,双项交错级数(1)发散[2].命题4双项交错级数(1),若lni→m∞n a...
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正项级数的收敛判别法及其推广
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98三种不常见的正项级数收敛性判别法
三类不常见的正项级数收敛性判别法；赖宝锋；积分判别法，对数判别法，拉贝判别法是三种重要的积；先介绍积分判别法；x???；有界；证明：先证明必要性；x???；x???；当x?R时，有f(x)?A?1，于是f(x)?f；充分性，若f(x)有界，则f(x)为单调有界函数；x???；引理2设f(x)为[a,??]上的一个单调递增函；x???；?f(n)?有界；证明：
三类不常见的正项级数收敛性判别法赖宝锋积分判别法，对数判别法，拉贝判别法是三种重要的积分判别法，但不在大纲所规定的考核范围之内。尽管如此，这里仍然要详细地叙述下这三大判别法，以及其中所体现的思想方法，并用一些例子来说明这三种判别法。先介绍积分判别法。先建立如下三个简单的引理。 引理1 设f(x)为[a,??]上的一个单调递增函数，则limf(x)存在当且仅当f(x)x???有界。证明：先证明必要性。假设limf(x)存在，记limf(x)?A。则存在一个R?0，x???x???当x?R时，有f(x)?A?1，于是f(x)?f(x)?A?A?f(x)?A?A?1?A。又f(x)单调递增，因此，f(x)?f(a)。于是，f(x)有界。充分性，若f(x)有界，则f(x)为单调有界函数，极限limf(x)必存在。得证！x???引理2 设f(x)为[a,??]上的一个单调递增函数，则limf(x)存在当且仅当x????f(n)?有界。证明：必要性显然。充分性：?x?[a,??)，?x??x??x??1，f(x)?f(?x??1)。再由?f(n)?的有界性就知道了。引理3 设f(x)为[a,??)上的非负可积函数。则???af(x)dx收敛当且仅当??Aaf(x)dx有界，当且仅当??a??naf(x)dx有界。?证明：?Aaf(x)dx收敛当且仅当limA???a?Af(x)dx存在。由于f(x)非负，因此，AAaf(x)dx是单调递增的。由引理1，?f(x)dx收敛当且仅当?f(x)dx有界；由aAa引理2，?f(x)dx收敛当且仅当??naf(x)dx有界。这样，结论得证！?定理1(积分判别法)假设数列?un?满足：un?0且?un?单调递减。假设存在一个[1,??]上的非负的单调递减的可积函数f(x)，使得f(n)?un。则?un的收敛性n?1??与广义积分???1f(x)dx是一致的。证明：记?un部分和为Sn，即n?1??Sn??un??f(k)?f(1)??f(k)?f(1)???k?1k?1nk?2k?2nnnnkk?1f(k)dx?f(1)???k?2nkk?1f(x)dx ?f(1)??f(x)dx1另一方面，Sn??un??f(k)???k?1k?1k?1nnnk?1kf(k)dx???k?1nk?1kf(x)dx????n?11f(x)dx这样，?n?11这样，若?f(x)dx?Sn?f(1)??f(x)dx。1????n1即f(x)dx收敛，????n1f(x)dx?有界，即?界，则1f(x)dx收敛，则?Sn?收敛，即?un收敛。若?un收敛，即?Sn?有n?1n?1??n?11f(x)dx有界，即????1f(x)dx收敛。这个判别法的证明方法的几何意义是很清楚的，就是曲边梯形的内接矩形面积小于曲边梯形面积，曲边梯形面积又小于其外接矩形的面积。见图1： 图1注1：积分判别法中，数列?un?单调性可以放宽为某一项以后单调。由于级数是否收敛与前几项无关，因此，即使?un?某一项以后才保持单调递减性，级数仍然收敛。下面用积分判别法解决两个问题。 例1.判别级数?1的收敛性。 pn?1n??解答：当p?0，当p?0，1???，级数自然是不收敛的。 np1?1，级数也不收敛。 pn??1当p?1时收敛，当0?p?1时发散。于是，0?p?1当p?0，广义积分?1xp时，级数收敛。当p?1时，级数发散。综合起来看，p?1，级数发散。p?1，级数收敛。 例2.判别级数?1的收敛性。 pn?2nlnn1?1?可知，数列??在某一项以后就是单调递减的pxlnpxnlnn????dlnx??dy1???2lnpx?ln2yp当p?1收敛，当p?1发散。xlnpx??解答：通过研究函数了。由于广义积分?于是，级数?????21当p?1收敛，当p?1发散。 pnlnnn?21n(lun定理2.假设数列{un}满足un?0，且m则：(1)若p?1，il?p(包括p???)。n???lnun级数收敛。(2)若p?1，级数发散。(3)若p?1，此法失效。证明：若1?p???，则对任意1???p，存在N?0，使得当n?N，有ln(1)un111???1，于是ln()??lnn，即?n?，于是，0?un??。由于??1，nununlnun因此级数?un收敛。若p???，与上面方法一样，只需任取一个??1，则存在一个N?0，当1)unn?N，有???1。下同。lnunln(1)un???1，若0?p?1，则对任意p???1，存在N?0，使得当n?N，有lnunln(于是ln(111)??lnn，即?n?，un??。由于??1，因此级数nunun1?n?发散，因此级数?un发散。1)unln(n)11?lim?1，但?是发散的。另一方若p?1，我们取un?，则limn??lnnn??lnnnnln(面，我们又取un?ln(1，其中p?1。则 pnlnn1)unln(nlnpn)ln(n)?pln(lnn)1lim?lim?lim?1。由积分判别法，有?n??lnnn??n??lnnlnnnlnpn收敛。因此，当p?1，此法失效。
下面用对数判别法练习几个例题。 例题3.判断?(1?n?1??2lnnn2)的敛散性。 n解答：ln(limn??1)n22lnn2lnn(1?)?n2ln(1?)?n2(?)?lim??? ?limn??n??lnnlnnlnn??于是，?(1?n?12lnnn2)收敛。 n3?1.3.5....(2n?1)?例题4.判断???的敛散性。 2.4.6....(2n)n?1????????n12.4.6....(2n)2k??解答：ln? ?3ln?3ln?3?1.3.5.....(2n?1)2k?1k?1??1.3.5....(2n?1)????2.4.6....(2n)??????ln2k1?ln(1?)为单调递减函数，于是 2k?12k?1k?1k2x2k2xlndx?ln?lndx ?k2x?12k?1?k?12x?1nk?1knnk2x2k2xln??ln?ln2???lndx，即k?12x?12k?12x?1k?1k?2这样，??k?1?n?11nn2x2k2xlndx??ln?ln2??lndx12x?12k?12x?1k?1?lnxdx?xlnx?x?C，于是2x111??[lnx?ln(x?)]dx??lnxdx??ln(x?)d(x?)2x?122211111?xlnx?x?[(x?)ln(x?)?(x?)]?C?xlnx?(x?)ln(x?)?C22222?ln2x11?n?11111???dx?xlnx?(x?)ln(x?)|?(n?1)ln(n?1)?(n?)ln(n?)?ln?1?12x?1???222222????111?(n?1)ln(n?1)?(n?)ln(n?)?ln2222n?1ln2x111dx?nlnn?(n?)ln(n?)?ln2 ?12x?1222这样，nlnn(n?1)ln(n?1)?(n?)ln(n?)?ln2??ln?nlnn?(n?)ln(n?)?ln2k?1这样，111(n?1)ln(n?1)?(n?)ln(n?)?ln2?lnn?ln2k?1k?1n2klnn111nlnn?(n?)ln(n?)?ln2?lnn1111111xlnx?(x?)ln(x?)?xln(x?)?(x?)ln(x?)?ln(x?)???22222221111111nlnn?(n?)ln(n?)?ln2nlnn?(n?)ln(n?)xlnx?(x?)ln(x?)?limlim?limn??n??x???lnnlnnlnx11ln(1?)111?lnx?[1?ln(x?)]lnx?ln(x?)x?x??lim?lim?lim?1limx?1?limx???x???x???x???11112x???x?12xxxx211111(n?1)ln(n?1)?(n?)ln(n?)?ln2(n?1)ln(n?1)?(n?)ln(n?)ln(n?1)?1lim?limn??n??lnnln(n?1)lnn2 3ln(?ln2k)32k?1k?1??1。因此，级数收敛。lnn2n于是，limn???包含各类专业文献、生活休闲娱乐、文学作品欣赏、专业论文、应用写作文书、中学教育、高等教育、各类资格考试、98三种不常见的正项级数收敛性判别法等内容。　
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有关数据显示，去年11月份，某市食品类价格同比上涨10.8%，交通和通讯类上涨3.3%，教育文化用品上涨1.6%
如果回答得好。（遇到除不尽时结果保留两位小数）跪求啊！！！，如果王老师家（共三口人0去年平均每月食品类支出为1108元，教育文化用品支出为508元，王老师家去年11月份比前年11月份每人多支出（）元！！！。据此推算！！！居住类价格降1！，那么在食品和教育文化用品这两类中！！.2%，就加悬赏分啊
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难0回答 3 小时前30 为什么{sn}单调递增，所以{sn}收敛？从图像上看单增不是发散出去的嘛？
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