如图，已知抛物线2+3
(a≠0)经过点A（-2，0），抛物线的顶点为D，过O作射线OM∥AD．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连接BC．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若动点P从点O出发，以每秒l个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t（s）．问：当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？
（3）若OC=OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒l个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动设它们运动的时间为t（s），连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值．
（4）在（3）中当t为何值时，以O，P，Q为顶点的三角形与△OAD相似？（直接写出答案）
（1）将A的坐标代入抛物线y=a（x-1）2+3（a≠0）可得a的值，即可得到抛物线的解析式；
（2）易得D的坐标，过D作DN⊥OB于N；进而可得DN、AN、AD的长，根据平行四边形，直角梯形，等腰梯形的性质，用t将其中的关系表示出来，并求解可得答案；
（3）根据（2）的结论，易得△OCB是等边三角形，可得BQ、PE关于t的关系式，将四边形的面积用t表示出来，进而分析可得最小值及此时t的值，进而可求得PQ的长．
（4）分别利用当△AOD∽△OQP与当△AOD∽△OPQ，得出对应边比值相等，进而求出即可．
解：（1）∵抛物线y=a（x-1）2+3（a≠0）经过点A（-2，0），
∴0=9a+3，
∴y=-（x-1）2+3；
（2））①∵D为抛物线的顶点，
∴D（1，3），
过D作DN⊥OB于N，则DN=3，AN=3，
∴∠DAO=60°．
∵OM∥AD，
①当AD=OP时，四边形DAOP是平行四边形，
∴t=6（s）．
②当DP⊥OM时，四边形DAOP是直角梯形，
过O作OH⊥AD于H，AO=2，则AH=1（如果没求出∠DAO=60°可由Rt△OHA∽Rt△DNA（求AH=1）
∴OP=DH=5，t=5（s），
③当PD=OA时，四边形DAOP是等腰梯形，
易证：△AOH≌△CDP，
∴OP=AD-2AH=6-2=4，
∴t=4（s）综上所述：当t=6、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形；
（3）∵D为抛物线的顶点坐标为：D（1，3），
过D作DN⊥OB于N，则DN=3，AN=3，
∴∠DAO=60°，
∴∠COB=60°，OC=OB，△OCB是等边三角形．
则OB=OC=AD=6，OP=t，BQ=2t，
∴OQ=6-2t（0＜t＜3）
过P作PE⊥OQ于E，则，
∴SBCPQ=×6×3-×（6-2t）×t，
当时，SBCPQ的面积最小值为，
（4）当△AOD∽△OQP，
∵AO=2，AD=6，QO=6-2t，OP=t，
解得：t=，
当△AOD∽△OPQ，
解得：t=，
故t=或时以O，P，Q为顶点的三角形与△OAD相似．利用待定系数法即可求得二次函数的解析式;根据勾股定理的逆定理,即可证得是直角三角形;分,,三种情况即可求得的坐标;设点为,则,根据是菱形,则,即可求得的长,判断是否成立,从而确定;根据的解法即可确定的坐标.
设解析式是可得解得(分)(分)是直角三角形(分),,(分)是点坐标是,点坐标是直线的解析式是(分)设点坐标是当时解得(不符合,舍去)此时点当时方程无解当时,点在的中垂线上,点横坐标是,得点坐标是当是等腰三角形时,点坐标是或(分)点坐标是)坐标是(,)设点为,则若是菱形,则,可得当时,点与点重合;当时,可求得,所以菱形不存在(分)能成为等腰梯形,此时点的坐标是(分)
本题是二次函数的综合题型,其中涉及的到大知识点有待定系数法求抛物线的解析式,和菱形,等腰梯形的判定.
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第三大题，第8小题
第三大题，第8小题
求解答 学习搜索引擎 | 如图,平面直角坐标系中,点A,B,C在x轴上,点D,E在y轴上,OA=OD=2,OC=OE=4,B为线段OA的中点,直线AD与经过B,E,C三点的抛物线交于F,G两点,与其对称轴交于M,点P为线段FG上一个动点(与F,G不重合),PQ//y轴与抛物线交于点Q.(1)求经过B,E,C三点的抛物线的解析式;(2)判断\Delta BDC的形状,并给出证明;当P在什么位置时,以P,O,C为顶点的三角形是等腰三角形,并求出此时点P的坐标;(3)若抛物线的顶点为N,连接QN,探究四边形PMNQ的形状:\textcircled{1}能否成为菱形;\textcircled{2}能否成为等腰梯形?若能,请直接写出点P的坐标;若不能,请说明理由.(湖北潜江中考25题改编)已知抛物线的解析式,当时,可求得的坐标;由于,把的纵坐标代入抛物线的解析式,可求出的坐标;当时,可求出的坐标.求顶点坐标时用公式法或配方法都可以;当四边形是平行四边形时,,需满足平行且相等的条件.已知,只需求为何值时,,可先用表示,,再列出方程即可求出的值;当时,根据,点的速度为单位秒,可得出点总在上运动.中,到的距离是定值即的长,因此只需看的值是否有变化即可得出是否为定值,已知,根据平行线分线段成比例定理可得出:,因此可得出,那么,由于的长为定值即的长为定值,因此的面积是不会变化的.其面积的值可用求出;可先用表示出,,的坐标,然后根据坐标系中两点间的距离公式得出,,,进而可分三种情况进行讨论:以为斜边.则,可求出的值.以为斜边,方法同以为斜边,方法同.综合三种情况即可得出符合条件的的值.
,令,得,即,或.在中,令得,即.由于,故点的纵坐标为,由得,或,即且易求出顶点坐标为,分于是,,,,顶点坐标为;若四边形为平行四边形,由于.故只要即可,而,,故得;设点运动秒,则,,,,说明在线段上,且不与点,重合,由于知,故又点到直线的距离,,于是的面积总为;由上知,,,,.构造直角三角形后易得,,.,若,即,故,,,(不合题意,舍去);,若,即,无的满足条件;,若,即,得,或都不满足,故无的满足方程.综上所述:当时,是等腰三角形.
本题着重考查了二次函数的性质,图形平移变换,平行四边形的判定,直角三角形的判定等知识点,综合性强,考查学生分类讨论,数形结合的数学思想方法.
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第一大题，第16小题
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求解答 学习搜索引擎 | 如图,在平面直角坐标系xoy中,抛物线y=\frac{1}{18}{{x}^{2}}-\frac{4}{9}x-10与y轴的交点为点B,过点B作x轴的平行线BC,交抛物线于点C,连接AC.现有两动点P,Q分别从O,C两点同时出发,点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动,点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动,点P停止运动时,点Q也同时停止运动,线段OC,PQ相交于点D,过点D作DE//OA,交CA于点E,射线QE交x轴于点F.设动点P,Q移动的时间为t(单位:秒).(1)求A,B,C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;(2)当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形?请写出计算过程;(3)当0<t<\frac{9}{2}时,\Delta PQF的面积是否总为定值?若是,求出此定值,若不是,请说明理由;(4)当t为何值时,\Delta PQF为等腰三角形?请写出解答过程.（2009o怀化）如图，在直角梯形OABC中，OA∥CB，A、B两点的坐标分别为A（15，0），B（10，12），动点P、Q分别从O、B两点出发，点P以每秒2个单位的速度沿OA向终点A运动，点Q以每秒1个单位的速度沿BC向C运动，当点P停止运动时，点Q也同时停止运动．线段OB、PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交AB于点E，射线QE交x轴于点F．设动点PQ运动时间为t（单位：秒）．
（1）当t为何值时，四边形PABQ是等腰梯形，请写出推理过程；
（2）当t=2秒时，求梯形OFBC的面积；
（3）当t为何值时，△PQF是等腰三角形？请写出推理过程．
（1）可通过构建直角三角形来求解．过B作BG⊥OA于G，过Q作QH⊥OA于H．可根据勾股定理，求出AB的值，用t表示出QP，让QP=AB，求出t的值；
（2）有了t的值，即可求出OP，CQ，QB的值，根据平行线段成比例，可以得出AF，进而求出OF的值，这样就可以求出梯形的面积；
（3）分三种情况进行讨论，让△PQF的三边两两相等，求出t的值．
解：（1）如图，过B作BG⊥OA于G，
则AB=2+GA2
122+(15-10)2
过Q作QH⊥OA于H，
则QP=2+PH2
122+(10-t-2t)2
144+(10-3t)2
要使四边形PABQ是等腰梯形，则AB=QP，
∴t=或t=5（此时PABQ是平行四边形，不合题意，舍去）；
（2）当t=2时，OP=4，CQ=10-2=8，QB=2．
∵CB∥DE∥OF，
∴AF=2QB=2×2=4．
∴OF=15+4=19．
∴S梯形OFBC=（10+19）×12=174．
（3）①当QP=PF时，则2+(10-t-2t)2
=15+2t-2t，
∴t=或t=．
②当QP=QF时，则2+(10-t-2t)2
122+[15+2t-(10-t)]2
即2+(10-3t)2
122+(5+3t)2
③当QF=PF时，则2+(5+3t)2
∴t=或t=-，
综上，当t=，t=，t=，t=时，△PQF是等腰三角形．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=16，动点P从A出发沿AC边向点C以每秒4个单位长的速度运动，动点Q从C点出发，沿着CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动．P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ．设运动时间为t（秒）．
（1）设四边形PCQD面积为y，求y与t的函数关系式；
（2）t为何值时，△PCQ与△ABC相似；
（3）如图2，以C点为原点，边CB、CA所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系，当PD∥AB时，求点D的坐标．
（1）根据折叠的性质可知：四边形PCQD的面积是△PCQ面积的2倍，因此只要求出△PCQ的面积即可得出四边形PCQD的面积．可根据P、Q的速度用时间t表示出PC和CQ的长，然后根据三角形的面积公式即可得出△PCQ的面积表达式，也就能求出y，t的函数关系式；
（2）分两种情况考虑：△PCQ∽△ACB与△PCQ∽△BCA，根据相似得出比例式，把CP=12-3t，CQ=4t，AC=12及BC=16分别代入即可求出相应的时间t的值；
（3）若PD∥AB，延长PD交BC于点M．在直角三角形ABC中利用勾股定理求得AB=20；易证明Rt△QMD∽Rt△ABC，然后根据相似三角形的对应边成比例求得QM=t，再由CQ+QM表示出CM，由PD与AB平行，根据两直线平行得到两对同位角相等，从而得出三角形PCM与三角形ABC相似，由相似得比例，把CM，CP，CA及CB的长代入列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，从而确定出CP，PD及CQ的长，进而确定出PM的长，得出DM的长，过D作x轴的垂直交x轴于N，由DM与AB平行得出两对同位角相等，可得三角形DMN与三角形ABC相似，根据相似得比例，可求出MN及DN的长，进而得出CN的长，得出点D的坐标．
解：（1）由题意知CQ=4t，PC=12-3t
∴S△PCQ=PCoCQ=-6t2+24t
∵△PCQ与△PDQ关于直线PQ对称
∴y=2S△PCQ=-12t2+48t；
（2）若△PCQ∽△ACB，
解得：t=2；
若△PCQ∽△BCA，
解得：t=1.44，
综上，t为2秒或1.44秒时，△PCQ与△ABC相似；
（3）设某一时刻t，PD∥AB，延长PD交BC于点M，如图，
若PD∥AB，则∠QMD=∠B，又∵∠QDM=∠C=90°，
∴Rt△QPD∽Rt△ABC
∵QD=CQ=4t，AC=12，
∵PD∥AB，
∴∠CPM=∠A，∠PMC=∠B，
∴△PCM∽△ACB，
则PC=PD=12-3t=，CQ=4t=，
解得：DM=，
又∵DM∥AB，
∴∠DMN=∠B，
又∵∠DNM=∠C=90°，
∴△DNM∽△ACB，
∴，即==，
解得：DN=，MN=，
又∵CM=4t+t=，
则CN=CM-MN=．
所以D的坐标为（，）．}