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微积分习题解答第4,第五章
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微积分习题解答第4,第五章
官方公共微信Legendre小波法求解三类分数阶微积分方程组--《燕山大学》2014年硕士论文
Legendre小波法求解三类分数阶微积分方程组
【摘要】：在现实物理和工程等科学领域中，许多实际现象建立数学模型后均为分数阶线性或非线性系统，而这些系统的行为过程很多都需要通过分数阶微分或分数阶积分来描述，所以如何求解分数阶微分、积分方程组，就是处理这些系统的前提。小波分析作为Fourier分析的继续发展，近几十年已在诸多科学领域中做出了巨大贡献。它的优势源于其具有光滑性和局部紧支撑性，比Fourier分析具有更为细致的时-频分析能力，能更好地处理局部存在奇异性的问题。所以，本文采用Legendre小波求解三类分数阶微积分方程组，利用Legendre小波的自身特点，结合算子矩阵思想，将所要处理方程组转化为线性或非线性代数方程组形式，进而求其数值解。
首先，论文简单介绍了小波分析及分数阶微积分方程组的发展历程及目前对该类问题的研究进展。然后给出了分数阶微积分及Legendre小波的相关定义及性质，为后文的应用奠定知识基础。
其次，在第3、4章中，利用Legendre小波和Block Pulse函数(BPFs)之间的关系，结合BPFs的性质，推导出Legendre小波的分数阶积分算子矩阵，并利用算子矩阵将第3章中的变系数线性分数阶微分方程组及第4章中非线性分数阶微分方程组转化为线性、非线性代数方程组形式，进而求其数值解。第3章中给出算法的收敛性分析，第4章中给出当方程组精确解已知和未知两种情况时算法的误差分析，并结合数值算例检验算法的有效性。
最后，第5章中依据Legendre小波的定义和性质，应用Caputo分数阶微分算子定义推导出一种新的Legendre小波分数阶微分算子矩阵，并应用所得分数阶微分算子矩阵求解一类非线性分数阶奇异Volterra(沃尔泰拉)积分-微分方程组的数值解。本章中还给出方程组的误差分析，并给出数值算例。
【关键词】：
【学位授予单位】：燕山大学【学位级别】：硕士【学位授予年份】：2014【分类号】：O241.8【目录】：
摘要5-6Abstract6-8目录8-10第1章 绪论10-16 1.1 小波分析理论基础及其发展现状10-12
1.1.1 小波分析知识简介及其发展背景10-11
1.1.2 小波分析的研究进展11-12 1.2 分数阶微分系统的理论基础及研究进展12-13
1.2.1 分数阶微分系统的发展历程及研究意义12-13
1.2.2 分数阶微分系统的研究进展13 1.3 课题的研究意义及主要研究内容13-16
1.3.1 课题的研究意义13-14
1.3.2 主要研究内容14-16第2章 基础知识16-24 2.1 分数阶微积分定义16-19
2.1.1 三类经典定义16-17
2.1.2 三类定义间的区别与联系17-18
2.1.3 分数阶微积分相关性质18-19 2.2 特殊函数及相关性质19-20 2.3 LEGENDRE 小波定义及相关性质20-23
2.3.1 Legendre 多项式的定义及性质20-22
2.3.2 Legendre 小波的定义22-23 2.4 本章小结23-24第3章 LEGENDRE 小波法求解一类变系数分数阶微分方程组及其收敛性分析24-36 3.1 小波近似函数及其分数阶积分算子矩阵24-26
3.1.1 函数的近似24-25
3.1.2 Legendre 小波的分数阶积分算子矩阵25-26 3.2 收敛性分析26-29 3.3 变系数分数阶微分方程组的 LEGENDRE 小波法29-30 3.4 数值算例30-34 3.5 本章小结34-36第4章 LEGENDRE 小波法求解非线性分数阶微分方程组数值解及其误差分析36-48 4.1 函数近似36-37 4.2 误差分析37-39 4.3 数值算例39-47 4.4 本章小结47-48第5章 非线性分数阶奇异 VOLTERRA 积分-微分方程组的小波算子矩阵法48-60 5.1 奇异 VOLTERRA 积分-微分方程组48-49 5.2 LEGENDRE 小波的分数阶微分算子矩阵49-54 5.3 LEGENDRE 小波法算法格式54 5.4 误差分析54-56 5.5 数值算例56-59 5.6 本章小结59-60结论60-62参考文献62-68攻读硕士学位期间承担的科研任务与主要成果68-69致谢69-70作者简介70
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京公网安备75号基于移位Jacobi多项式求解三类变分数阶非线性微积分方程--《燕山大学》2015年硕士论文
基于移位Jacobi多项式求解三类变分数阶非线性微积分方程
【摘要】：近些年来,随着科技的不断进步,有些关于物理和工程等科学领域的数学模型不再是分数阶线性或非线性系统,而出现了变分数阶线性或非线性系统。如变分数阶微分已经被成功的应用到了研究黏弹性材料及振荡器的动力学问题与控制问题当中,这些问题一般是利用变分数阶微分或积分方程来建立模型的,因此如何求解变分数阶微分、积分方程成了处理这些系统问题的关键,随即研究变分数阶微积分方程数值解成为了一个受人瞩目的研究课题。在数值分析中,多项式逼近函数理论被广泛地应用,即用多项式去逼近解析式较为复杂或者解析式未知的函数。因此论文基于移位Jacobi多项式对未知函数进行逼近,结合变分数阶微积分定义和算子矩阵的思想,研究变分数阶微积分方程的求解方法。论文主要包括以下内容:首先,论文介绍了分数阶微分、积分和变分数阶微分、积分的历史背景和研究现状。然后给出了分数阶微分、积分,变分数阶微分、积分的定义。再次结合Jacobi多项式的定义及性质,推导出了移位Jacobi多项式。其次,在第3、4章中,首先给出移位Jacobi多项式逼近函数及其收敛性分析,然后结合移位Jacobi多项式的定义及变分数阶微分的定义,推导出了移位Jacobi多项式的一阶微分算子矩阵和变分数阶微分算子矩阵,利用所得算子矩阵将变分数阶非线性Riccati微分方程及一般形式的变分数阶非线性微分方程转化为矩阵相乘的形式,通过离散变量转化为代数方程组的形式,进而利用计算机MATLAB编程求得原方程的数值解,最后数值算例验证了所提算法的可行性和有效性。最后,在第5章中,通过函数逼近理论及变分数阶微积分定义推导出移位Jacobi多项式的一阶积分算子矩阵,结合第3、4章所得到的变分数阶微分算子矩阵求解了一类变分数阶非线性微积分方程。
【关键词】：
【学位授予单位】：燕山大学【学位级别】：硕士【学位授予年份】：2015【分类号】：O241.83【目录】：
摘要5-6ABSTRACT6-10第1章 绪论10-16 1.1 多项式逼近函数研究背景及意义10-11 1.2 分数阶微积分的研究背景及意义11-12 1.3 数值计算方法的研究现状12-14 1.4 课题提出的背景及研究意义14-15 1.5 论文的主要内容及安排15-16第2章 基础知识16-28 2.1 三类经典的分数阶微积分16-22
2.1.1 分数阶Riemann-Liouville微积分16-18
2.1.2 分数阶Caputo微积分18-20
2.1.3 分数阶Grünwald-Letnikov微积分20-22 2.2 变分数阶微积分的基础知识22-24
2.2.1 变分数阶微积分定义22-23
2.2.2 变分数阶微积分性质23-24 2.3 多项式的知识简介24-27
2.3.1 正交多项式的定义及性质24-25
2.3.2 Jacobi多项式的定义及性质25-26
2.3.3 移位Jacobi多项式的定义26-27 2.4 本章小结27-28第3章 移位Jacobi多项式求解变分数阶非线性Riccati微分方程28-38 3.1 函数的逼近28 3.2 误差估计及收敛性分析28-30 3.3 应用移位Jacobi多项式求解变分数阶非线性Riccati微分方程30-36
3.3.1 移位Jacobi多项式的线性项变阶微分算子矩阵30-32
3.3.2 数值求解算法32-33
3.3.3 数值算例33-36 3.4 本章小结36-38第4章 移位Jacobi多项式求解一般形式的变分数阶非线性微分方程38-45 4.1 移位Jacobi多项式的一阶微分算子矩阵38-39 4.2 移位Jacobi多项式的非线性项变阶微分算子矩阵39-40 4.3 数值算法40 4.4 数值算例40-44 4.5 本章小结44-45第5章 基于移位Jacobi多项式求解一类变分数阶非线性微积分方程45-51 5.1 移位Jacobi多项式的一阶积分算子矩阵45-46 5.2 数值算法46-47 5.3 数值算例47-50 5.4 本章小结50-51结论51-53参考文献53-58攻读硕士学位期间承担的科研任务与主要成果58-59致谢59
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京公网安备75号几类推广的风险模型破产问题--《燕山大学》2010年硕士论文
几类推广的风险模型破产问题
【摘要】：经典风险模型只考虑了一个险种,在早期保险业务中,保险公司经营的险种也比较单一,经典风险模型对保险公司的风险预测和管理起到了重要作用。后来随着保险业务的快速发展和风险理论在其它金融领域的广泛应用,经典的风险模型越来越不能满足各金融公司的需求,很多学者将经典风险模型进行了多方面的推广,使之更加接近实际情况。有的将经典模型推广为多险种情形,有的在原来模型基础上加入了干扰项,也有的考虑了副索赔的情况等等,但有些模型与实际情形仍有差距。
论文主要针对多险种、副索赔、干扰项、利率四种因素,在前人基础上利用更新理论、随机过程和鞅论等数学工具,同时考虑两种或多种因素,研究了金融保险中几类推广的风险模型破产问题。对破产概率的微积分表达式、破产概率的上界、破产前盈余和破产时赤字等进行了一些分析。具体表现在以下几方面:
1.同时考虑双风险和副索赔两种情况,建立新的风险模型,对此模型给出了破产概率所满足的微积分方程,破产时赤字的分布,及破产持续时间的分布,并应用鞅方法给出了破产概率上界。见论文第二章。
2.通过建立新的风险模型,同时考虑干扰项和副索赔,对此模型给出了破产概率所满足的一般表达式和破产概率上界。见论文第三章。
3.考虑两险种风险模型,每个险种各带一个干扰项,且两干扰项相关。给出了模型生存概率所满足的微积分方程和破产概率的一个上界估计。见第四章。
4.在第四章基础上,考虑了利率因素,得到了改进后模型的生存概率所满足的微积分方程。见第五章。
【关键词】：
【学位授予单位】：燕山大学【学位级别】：硕士【学位授予年份】：2010【分类号】：F224;F840【目录】：
摘要5-6Abstract6-10第1章 绪论10-24 1.1 风险和风险管理10 1.2 保险10-11 1.3 风险、风险管理与保险三者之间的关系11-12 1.4 研究目的和意义12-13 1.5 研究背景和方法13-15 1.6 知识准备15-23
1.6.1 Poisson 过程及复合 Poisson 过程15-18
1.6.2 经典风险模型18-22
1.6.3 有关鞅理论22-23 1.7 本章小结23-24第2章 一类含副索赔的双险种风险模型24-32 2.1 引言24 2.2 模型建立24-26 2.3 相关结果26-31 2.4 本章小结31-32第3章 一类带干扰有副索赔的风险模型32-40 3.1 引言32 3.2 模型建立32-34 3.3 相关结果34-38 3.4 本章小结38-40第4章 一类推广的带干扰风险模型40-48 4.1 引言40 4.2 模型建立40-41 4.3 预备知识41-42 4.4 主要结果及证明42-47 4.5 本章小结47-48第5章 一类常利率推广的带干扰风险模型48-54 5.1 引言48 5.2 模型建立48-49 5.3 预备知识49 5.4 结果及证明49-52 5.5 本章小结52-54结论54-56参考文献56-61攻读硕士学位期间承担的科研任务与主要成果61-62致谢62-63作者简介63
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