如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A的坐标为（10，0），顶点B在第一象限内，且，．
（1）若点C是点B关于x轴的对称点，求经过O，C，A三点的抛物线的函数表达式；
（2）在（1）中的抛物线上是否存在一点P，使以P，O，C，A为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若将点O，点A分别变换为点Q（-2k，0），点R（5k，0）（k＞1的常数），设过Q，R两点，且以QR的垂直平分线为对称轴的抛物线与y轴的交点为N，其顶点为M，记△QNM的面积为S△QNM，△QNR的面积为S△QNR，求S△QNM：S△QNR的值．
（1）已知了AB的长以及∠OAB的正弦值，可过B作BD⊥x轴于D，即可求出BD和AD的长，进而可得出OD的长，由此可求出B点坐标，也就得出了C点坐标．然后用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（2）本题可分三种情况：
①CP∥OA，可将C点纵坐标代入抛物线的解析式中，即可求出P点坐标；然后判断CP是否与OA相等即可．如果不相等，则四边形POCA是梯形，反之则不是．
②OP∥AC，先求出直线AC的解析式，由于直线OP与直线AC平行，因此两函数的斜率相同，再根据O点坐标，可求出直线OP的解析式，然后联立抛物线的解析式即可求出P点坐标．然后判断OP是否与AC相等即可．
③AP∥OC，同②．
（3）先根据Q、R的坐标求出抛物线的解析式，然后求出N点和M点的坐标，由于抛物线的开口方向不确定，因此分两种情况，由于两种情况解法相同，以开口向上为例说明：
由于三角形QNM的面积无法直接求出，因此可将其面积化为其他图形面积的和差来求．过M作MG⊥x轴于G，则三角形QNM的面积可以用梯形QNMG的面积+三角形QON的面积-三角形QMG的面积来得出．然后分别表示出三角形QNM和QNR面积，进行比较即可．
解：（1）如图，
过点B作BD⊥OA于点D．
在Rt△ABD中，
∵|AB|=3，sin∠OAB=，
∴|BD|=|AB|osin∠OAB=3×=3．
又由勾股定理，
得|AD|=2-BD2
∴|OD|=|OA|-|AD|=4．
∵点B在第一象限内，
∴点B的坐标为（4，3）．
∴点B关于x轴对称的点C的坐标为（4，-3）．
设经过O（0，0），C（4，-3），A（10，0）三点的抛物线的函数表达式为y=ax2+bx（a≠0）．
∴经过O，C，A三点的抛物线的函数表达式为y=x2-x．
（2）假设在（1）中的抛物线上存在点P，使以P，O，C，A为顶点的四边形为梯形．
①∵点C（4，-3）不是抛物线y=x2-x的顶点，
∴过点C作直线OA的平行线与抛物线交于点P1．
则直线CP1的函数表达式为y=-3．
对于y=x2-x，令y=-3，则x=4或x=6．
而点C（4，-3），
∴P1（6，-3）．
在四边形P1AOC中，CP1∥OA，显然|CP1|≠|OA|．
∴点P1（6，-3）是符合要求的点．
②若AP2∥CO．设直线CO的函数表达式为y=k1x．
将点C（4，-3）代入，
得4k1=-3．
∴直线CO的函数表达式为y=-x．
于是可设直线AP2的函数表达式为y=-x+b1．
将点A（10，0）代入，
得-×10+b1=0．
∴直线AP2的函数表达式为y=-x+．
=>x2-4x-60=0，
即（x-10）（x+6）=0．
而点A（10，0），
∴P2（-6，12）．
过点P2作P2E⊥x轴于点E，则|P2E|=12．
在Rt△AP2E中，由勾股定理，
得|AP2|=2E|2+|AE|2
而|CO|=|OB|=5．
∴在四边形P2OCA中，AP2∥CO，但|AP2|≠|CO|．
∴点P2（-6，12）是符合要求的点．
③若OP3∥CA．设直线CA的函数表达式为y=k2x+b2．
将点A（10，0），C（4，-3）代入，
∴直线CA的函数表达式为y=x-5．
∴直线OP3的函数表达式为y=x．
=>x2-14x=0，
即x（x-14）=0．
而点O（0，0），
∴P3（14，7）．
过点P3作P3F⊥x轴于点F，则|P3F|=7．
在Rt△OP3F中，由勾股定理，
得|OP3|=3F|2+|OF|2
而|CA|=|AB|=3．
∴在四边形P3OCA中，OP3∥CA，但|OP3|≠|CA|．
∴点P3（14，7）是符合要求的点．
综上可知，在（1）中的抛物线上存在点P1（6，-3），P2（-6，12），P3（14，7），
使以P，O，C，A为顶点的四边形为梯形．
（3）由题知，抛物线的开口可能向上，也可能向下．
①当抛物线开口向上时，则此抛物线与y轴的负半轴交于点N．
可设抛物线的函数表达式为y=a（x+2k）（x-5k）（a＞0）．
即y=ax2-3akx-10ak2=a（x-k）2-ak2．
如图，过点M作MG⊥x轴于点G．
∵Q（-2k，0），R（5k，0），G（k，0），N（0，-10ak2），M（k，-ak2），
∴|QO|=2k，|QR|=7k，|OG|=k，|QG|=k，|ON|=10ak2，|MG|=ak2．
∴S△QNR=|QR||ON|=×7k×10ak2=35ak3．
S△QNM=S△QNO+S梯形ONMG-S△QMG=o|QO|o|ON|+（|ON|+|GM|）o|OG|-o|QG|o|GM|=×2k×10ak2+×（10ak2+ak2）×k-×k×ak2=ak3．
∴S△QNM：S△QNR=3：20．
②当抛物线开口向下时，则此抛物线与y轴的正半轴交于点N．
同理，可得S△QNM：S△QNR=3：20．
综上可知，S△QNM：S△QNR的值为3：20当前位置：
＞＞＞已知函数f(x)=13x3+ax2+bx（a，b∈R）．（Ⅰ）若曲线C：y=f（x）经过点P（1，..
已知函数f(x)=13x3+ax2+bx（a，b∈R）．（Ⅰ）若曲线C：y=f（x）经过点P（1，2），曲线C在点P处的切线与直线x+2y-14=0垂直，求a，b的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试求函数g(x)=(m2-1)[f(x)-73x]（m为实常数，m≠±1）的极大值与极小值之差；（Ⅲ）若f（x）在区间（1，2）内存在两个不同的极值点，求证：0＜a+b＜2．
题型：解答题难度：中档来源：珠海二模
（Ⅰ）求导函数可得f'（x）=x2+2ax+b，∵直线x+2y-14=0的斜率为-12，∴曲线C在点P处的切线的斜率为2，∴f'（1）=1+2a+b=2…①∵曲线C：y=f（x）经过点P（1，2），∴f(1)=13+a+b=2…②由①②得：a=-23，b=73…（3分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f(x)=13x3-23x2+73x，∴g(x)=m2-13(x3-2x2)，∴g′(x)=(m2-1)x(x-43)，由g'（x）=0=>x=0，或x=43．当m2-1＞0，即m＞1，或m＜-1时，x，g'（x），g（x）变化如下表
（-∞，0）
由表可知：g(x)极大-g(x)极小=g(0)-g(43)=0-[-3281(m2-1)]=3281(m2-1)…（5分）当m2-1＜0，即-1＜m＜1时，x，g'（x），g（x）变化如下表
（-∞，0）
由表可知：g(x)极大-g(x)极小=g(43)-g(0)=-3281(m2-1)-0=-3281(m2-1)…（7分）综上可知：当m＞1，或m＜-1时，g（x）极大-g（x）极小=3281(m2-1)；当-1＜m＜1时，g（x）极大-g（x）极小=-3281(m2-1)…（8分）（Ⅲ）证明：因为f（x）在区间（1，2）内存在两个极值点，所以f′（x）=0，即x2+2ax+b=0在（1，2）内有两个不等的实根．∴1+2a+b＞0，(1)4+4a+b＞0，(2)1＜-a＜2，(3)△=4(a2-b)＞0，(4)&…（10分）由&（1）+（3）得：a+b＞0，…（11分）由（4）得：a+b＜a2+a，由（3）得：-2＜a＜-1，∴a2+a=（a+12）2-14＜2，∴a+b＜2．故0＜a+b＜2…（12分）
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f(x)=13x3+ax2+bx（a，b∈R）．（Ⅰ）若曲线C：y=f（x）经过点P（1，..”主要考查你对&&函数的极值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的极值与导数的关系
极值的定义：
（1）极大值： 一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点， 是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）； （2）求方程f′（x）=0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：
极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．&&③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，&&&
发现相似题
与“已知函数f(x)=13x3+ax2+bx（a，b∈R）．（Ⅰ）若曲线C：y=f（x）经过点P（1，..”考查相似的试题有：
748767748998835363819449817784750905当前位置：
＞＞＞设F1，F2分别是椭圆C：x2a2+x2b2=1（a＞b＞0）的焦点，若椭圆C上存在点..
设F1，F2分别是椭圆C：x2a2+x2b2=1（a＞b＞0）的焦点，若椭圆C上存在点P，使线段PF1的垂直平分线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（　　）A．（0，13]B．（12，23）C．[13，1）D．[13，23）
题型：单选题难度：偏易来源：不详
因为设F1，F2分别是椭圆C：x2a2+x2b2=1（a＞b＞0）的焦点，若椭圆C上存在点P，使线段PF1的垂直平分线过点F2，则以点F2为圆心2c为半径的圆与椭圆有交点，由椭圆的性质可知只需满足a-c≤2c，解得ca≥13，所以椭圆离心率的取值范围是[13，1）．故选C．
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椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
&椭圆的离心率：
椭圆的焦距与长轴长之比叫做椭圆的离心率。椭圆的性质：
1、顶点：A（a，0），B（-a，0），C（0，b）和D（0，-b）。 2、轴：对称轴：x轴，y轴；长轴长|AB|=2a，短轴长|CD|=2b，a为长半轴长，b为短半轴长。 3、焦点：F1（-c，0），F2（c，0）。 4、焦距：。 5、离心率：；&离心率对椭圆形状的影响：e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，椭圆就越扁；e越接近0，c就越接近0，从而b就越大，椭圆就越圆； 6、椭圆的范围和对称性：（a＞b＞0）中-a≤x≤a，-b≤y≤b，对称中心是原点，对称轴是坐标轴。。利用椭圆的几何性质解题：
利用椭圆的几何性质可以求离心率及椭圆的标准方程．要熟练掌握将椭圆中的某些线段长用a，b，c表示出来，例如焦点与各顶点所连线段的长，过焦点与长轴垂直的弦长等，这将有利于提高解题能力。
椭圆中求最值的方法：
求最值有两种方法：(1)利用函数最值的探求方法利用函数最值的探求方法，将其转化为函数的最值问题来处理．此时应充分注意椭圆中x，y的范围，常常是化为闭区间上的二次函数的最值来求解。(2)数形结合的方法求最值解决解析几何问题要注意数学式子的几何意义，寻找图形中的几何元素、几何量之间的关系．
椭圆中离心率的求法：
在求离心率时关键是从题目条件中找到关于a，b，c的两个方程或从题目中得到的图形中找到a，b，c的关系式，从而求离心率或离心率的取值范围．
发现相似题
与“设F1，F2分别是椭圆C：x2a2+x2b2=1（a＞b＞0）的焦点，若椭圆C上存在点..”考查相似的试题有：
493705467529556753287649491548623256教师讲解错误
错误详细描述：
（2012株洲）如图，一次函数分别交于y轴、x轴于A，B两点，抛物线y＝－x2＋bx＋c过A、B两点．（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x轴的直线x＝t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N，求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．
下面这道题和您要找的题目解题方法是一样的，请您观看下面的题目视频
（2012株洲）如图，一次函数分别交y轴、x轴于A，B两点，抛物线y＝－x2＋bx＋c过A，B两点．（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x轴的直线x＝t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N，求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．
【思路分析】
（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）本问要点是求得线段MN的表达式，这个表达式是关于t的二次函数，利用二次函数的极值求线段MN的最大值；（3）本问要点是明确D点的可能位置有三种情形，如答图2所示，不要遗漏．其中D1、D2在y轴上，利用线段数量关系容易求得坐标；D3点在第一象限，是直线D1N和D2M的交点，利用直线解析式求得交点坐标．
【解析过程】
解：（1）∵y＝x+2分别交y轴、x轴于A、B两点，∴A、B点的坐标为：A（0，2），B（4，0）将x＝0，y＝2代入y＝－x2+bx+c得c＝2 ，将x＝4，y＝0代入y＝－x2+bx+c得0＝－16+4b+2，解得b＝，∴抛物线解析式为：y＝－x2+．（2）如答图1，设MN交x轴于点E，则E（t，0），BE＝4－t．∵tan∠ABO＝，∴ME＝BE•tan∠ABO＝（4－t）×．又N点在抛物线上，且xN＝t，∴yN＝－t2+t+2，∴MN＝yN―ME＝－t2+t+2－（2－）＝－t2+4t，∴当t＝2时，MN有最大值4．（3）由（2）可知，A（0，2），M（2，1），N（2，5）．以A、M、N、D为顶点作平行四边形，D点的可能位置有三种情形，如答图2所示． （i）当D在y轴上时，设D的坐标为（0，a），由AD＝MN，得|a－2|＝4，解得a1＝6，a2＝－2，从而D为（0，6）或D（0，－2）．（ii）当D不在y轴上时，由图可知D3为D1N与D2M的交点，易得D1N的方程为y＝－，D2M的方程为y＝，由两方程联立解得D为（4，4），故所求的D点坐标为（0，6），（0，－2）或（4，4）．
（1）抛物线解析式为：y＝－x2+；（2）当t＝2时，MN有最大值4；（3）D点坐标为（0，6），（0，－2）或（4，4）．
本题是二次函数综合题，考查了抛物线上点的坐标特征、二次函数的极值、待定系数法求函数解析式、平行四边形等重要知识点．难点在于第（3）问，点D的可能位置有三种情形，解题时容易遗漏而导致失分．作为中考压轴题，本题有一定的难度，解题时比较容易下手，区分度稍低．
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