3第三部分―函数的连续和一致连续_百度文库
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59东南大学2002――2009数学分析试题(缺03)-3
22ì?x+y=1?．从z轴正向往z轴负向看，C；三、(本题满分10分)；设xn&0，且xn+四、(本题满分12分)；设函数f(x)在[a,b]上存在n+1阶导数，满；(k)；4x；n+1；&3,n=1,2,鬃，证明数列{xn}收敛；(a)=f(k)(b)=0，证明：存在；x?(a,b)，使f(x)=f(n+1)(x)．；五、(本题满分12分)；
22ì?x+y=1?．从z轴正向往z轴负向看，C的方向是顺时针的． í???x-y+z=2三、(本题满分10分)设xn&0，且xn+四、(本题满分12分)设函数f(x)在[a,b]上存在n+1阶导数，满足f(k)4x2n+1&3,n=1,2,鬃 ，证明数列{xn}收敛．(a)=f(k)(b)=0，证明：存在x?(a,b)，使f(x)=f(n+1)(x)．五、(本题满分12分)讨论反常积分ò+ sin(x2)，其中p?R． 的敛散性（包括绝对收敛和条件收敛）px六、(本题满分12分)ì1q??,x=(p,q为互质的正整数)?p在[0,1]上定义函数f(x)如下：f(x)=íp ??0，x=0或无理数???(1)求该函数的连续点与间断点；(2)讨论不连续点的类型，能否重新定义函数在其不连续点的值，使之在[0,1]上连续？ 七、(本题满分12分)设f(x)在[0,1]上连续，证明：limx?0ò1 tpf(x)dx=f(0)．t2+x22八、(本题满分12分)设连续函数序列{fn(x,y)}在有界闭区域D上一致收敛于f(x,y)，证明：蝌f(x,y)dxdy=Dnlim蝌fn(x,y)dxdy．D 一、判断题(判断下列命题正误，若正确请证明，否则请给出反例，本题共4小题，每小题8分，满分32分)1．区间I上的一致连续的函数总是有界的．2．若有界函数f(x)在[a,b]上Riemann可积，则f(x)在[a,b]上至多有有限个间断点．３．若续．４．若函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处不可微，则函数z=f(x,y)在该点的所有方向导数不可能都存在．二、(本题共6小题，每小题8分，满分48分) 5．求极限lim(1+2x)x?03ln(1+x)?￥n=0anx的收敛半径为R&0，且?anR收敛，则?anxn在[0,R]上一致连nnn=0n=0￥￥．６．求函数f(x)=11ln(1+x2)+arctan的极值及曲线y=f(x)的拐点． 2x22骣z÷骣12抖z2÷７．令x=uv,y=(u-v)，变换方程+?÷÷÷÷桫2抖x桫y．８．求二重积分蝌Dx2e-ydxdy，其中D由x=0,x=y与y=1围成．2222９．设曲线G是由球面x+y+z=1与平面x+y+z=1的交线，求积分2(x+y)ds． ò?G10．计算43其中S为抛物面z=(x+z)dydz+(z+x)dxdy，蝌S12(x+y2)在平面z=22下面的部分，方向去下侧．三、证明题(本题共6小题，每小题10分，满分60分)11．设f(x)在[0,4]上连续，在(0,4上可导，假定f(0)=1，且f(1+)f12．证明(+2)f￠，证明存在一点x?(0,4)，使f(x)=0． =(3f)=limnòp2 excosnxdx=0．13．设f(u)为连续偶函数，试证明蝌￥Df(x-y)dxdy=2a．2a0[2a-u]f(u)du，其中D为正方形：x＃a,ye-nx14．证明：f(x)=?在[0,+ )上连续，在(0,+ )上可微． 2n=01+n15．设f(x)是R上连续可微函数，证明：曲面ax+by+cz=f(x+y+z)上任一点222)
M(x(x0,y0,z0)及(a,b,c)共面． 0,y0,z0处的法向量与向量16．设AìR是非空集合，定义R2上的函数f为， 2f(x,y)=u,v) A}称它为点(x,y)到集A的距离．证明(1) 当且仅当(x,y)?A(这里A表示A的闭包)时，f(x,y)=0． (2) 对任意__(x,y)?x,2(y，,有R不)等式 f(x,y)-f(x,y)?四、讨论题(本题共2小题，每题9分，满分18分)17．讨论级数
1-11111+-+鬃?-+鬃
pppn)的敛散性，其中p为实数． 18．讨论反常积分 东南大学 2009年攻读硕士学位研究生入学考试试卷 一、判断题(判断下列命题正误，若正确请证明，否则请给出反例，本题共4小题，每小题6分，满分24分)1．[a,b]上每个单调函数至多有可列个间断点．2．在有界闭区间[a,b]上Riemann可积的函数必在[a,b]上有原函数． 3．若an非负、单调递减，且limnan=0，则级数nò+1xsinx． (p30)的敛散性（包括绝对收敛与条件收敛）p1+x?￥an收敛．n=14．曲线x+y=1上每一点的某邻域内都可确定隐函数y=y(x)．22二、计算题(本题共6小题，每小题8分，满分48分) 5．求极限 lim犏x+xln(1-x轾犏臌21)． x6．求极限limn７．求幂级数?￥n=1xn的和函数．(x30)．4n-322８．求曲线x+y+z=6,x+y+z=0在点(1,-2,1)处的切线方程． ９．计算曲线积分I=一段．１０．计算曲面积分2òCydx+xdy33，其中为曲线x=cost,y=sint(0＃tC22x+yp)的2蝌2(1-?x2)dydz+8xydzdx-4xzdxdy，其中?是由曲线x=ey(0＃ya)绕x轴旋转所成的旋转曲面，取外侧．三、解答题(本题共8小题，前6小题每题10分，后2小题每题9分，满分78分)． 11．给定实数x0,a及b，0&b&1，令xn=a+bsinxn-1,n=1,2,鬃(1)证明极限limxn存在，记为x；n(2)证明x是开普勒方程x=a+bsinx的唯一解．(3)记x=x(a)是由开普勒方程确定的，试证明x=x(a)是a的连续可微函数，并求出x￠(a)．12．设函数f:[a,b]??是上半连续的，即对任意给定的x?[a,b]及e&0，存在一个d&0，使得若y?[a,b],yx&d，则f(y)&f(x)+e．证明：f在[a,b]上有上界，且在某个点c?[0,1]处达到它的最大值．￠13．设f(x)在开区间I=(a,+ )内可导，且limf(x)=x? ，证明f(x)在I内必定是非一致连续的．￠若I=(a,b)是有限开区间，且limf(x)=x?b，问f(x)在I内也必定是非一致连续的？14．设In=ò11，求证：(1)In0,nn,(2)极限limnIn存在，并求出此极限值．15．设f(x)在区间[0,1]上连续，在(0,1)内有二阶导数，且
f(0)?f(1)证明：(1) 函数f(x)在(0,1)内恰有两个零点； (2) 至少存在一点x?(0,1)，使得f(x)=￠0,f(x)&0,òf(x)dx=0． 1òx f(x)dx．x?016．设f(x)在x=0的某邻域内有二阶连续导数，且limf(x)=0．证明：级数x?￥n=11()绝对收敛．nì??x,y)1(0,0)?17．设f(x,y)=í，讨论f在原点的连续性、可微性???(x,y)=(0,0)??0,以及两个一阶偏导数是否存在． 18．证明反常积分ò+ xsinpxdx关于p?[a, )一致收敛，其中a&0为常数．1+x2包含各类专业文献、专业论文、生活休闲娱乐、外语学习资料、中学教育、59东南大学2002――2009数学分析试题(缺03)等内容。　
　东南大学2002――2009数学... 15页 免费 东南大学2003数学分析 3页 免费 东南...北京天问教育东南大学 2002 年数学分析试题解答 一、叙述定义(5 分+5 分=10 ... 　2003东南大学数学分析考研... 2页 2财富值 东南大学2002――2009数学... 15...东南大学 2002 年数学分析试题解答 一、叙述定义(5 分+5 分=10 分) 1. lim... 　天马行空2007贡献于 0.0分 (0人评价...09年东南大学 数学分析考研... 2页 20财富值 东南...东南大学 2002 年数学分析考研试题作者:佚名 来源:不详... 　东南大学2003数学分析 东南大学2000年数学分析 东南大学...东南大学2002――2009数学... 15页 免费 东南大学...东南大学2002数学分析 数学考研的必备试题,对于考验人... 　东南大学2008年、2009年硕... 6页 20财富值 东南大学2002年数学分析试... ...东 南 大 学 二九年攻读硕士学位研究生入学考试试题 试题编号:601 试题名称... 　东南大学05-06-2工科数学分析期末试卷(A、B)答案_...文档贡献者
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关于一元函数一致连续性的讨论
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第二问错了，少看一个条件，不好意思，容我再想想。
大概思路已经帮到我了，谢谢同学，不过同学你是大学生吗？！}