一元一次方程及应用学案_百度文库
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计量地理学第二次作业
计量地理学第二次作业第三章地理学中的经典统计分析方法（提示：利用书签在不同的学生之间切换）地理科学专业 任夏 11. （教材 P115） 设粮食产量为 x，受灾面积为 yX ? 613.3 xi ? X-362.3Y ? 102.4187.7 -413.3 -204.3 -162.3 -111.3 -299.3 487.7 366.7 510.7yi ? Y-50.4-1.4-37.4-14.4-12.4-4.417.647.637.617.6n?(Xi ?1i? X )(Yi ? Y ) ? 79621.8n?(Xrxy ?n i ?1 i ?1i? X )(Yi ? Y ) ?n? ( X i ? X )2? (Y ? Y )i i ?1279621.8 ? 0.803 .85因为，在显著性水平 a=0.05 上，f=10-2=8，查表知 r0.05=0.6319，rxy&r0.05 所以，粮食产量与受灾面积之间的相关性显著。 12. （教材 P115） 1）一级偏相关系数及其检验r 12.3 ?r 12 ? r 13r 23 ? 0.8073 (1 ? r 132 )(1 ? r 232 )r13.2=0.977 r13.4=0.=0.=-0.=0.=-0.=-0.=0.8473同理： r12.4=0.=0.=0.2409查表知：f=48-2-1=45,t0.005(45) =2.6896t12.3 ?r12.31 ? r 2 12.3? 9.1767同理： t12.41=6.994t13.2=30.735t13.4=12.4348t14.2=18.63611计量地理学第二次作业t14.3=7.=-5.=2.=1.665 t34.1=-2.67 t34.2=10.7018t24.1=-3.3455因为 t23.4,t24.3,t 34.1 的绝对值都小于 t0.005(45) ，所以，r23.4,r24.3,r34.1 不显著。二级偏相关系数及其检验r 12.34 ?同理：r12.3 ? r 14.3r 24.3(1 ? r 2 14.3)(1 ? r 2 24.3)=0.9983r13.24=0.=0.=-0.9969 查表知：f=48-3-1=44, t0.005(44) =2.6923r24.13=-0.9955r34.12 =-0.9952t12.34 ?同理：r12.341 ? r 2 12.34* 44 ? 114.3597t13.24=194.1913 t 14.23=122. =-83.6054 因为 t 的绝对值大于 t0.005(44) ，故都显著。 2）复相关系数及其检验t24.13=-69.7793t34.12=-67.185R 4.123 ? 1 ? (1 ? r 2 41)(1 ? r 2 42.1)(1 ? r 2 43.12) ? 0.999992同理： R3.124 =0..134 =0..234 =0.999999 查表知：f1=3,f2=44, F0.01(3,40)=7.31&F 0.01(3,44)F 4.123 ?同理：R 2 4.123 44 * ? 2 1 ? R 2 4.123 3F1.234=6F3.124 =0 F2.134 =1 因为 F 值均大于 F0.01(3,40) ，故都显著。 13.（教材 P115） 13. 1）2计量地理学第二次作业7 6 5 土壤含氮量y/g.m-2 4 3 2 1 0 0 2 4 6 8 10 水土流失面积 x/km2二者之间呈非线形相关关系 2）设双曲线1 b 1 1 ? a ? ，令 y ' ? ， x ' ? ，转化为线形形式 y ' ? a ? bx ' y x y x?a ? d?? ? ?b ? ? 0.1515 ? ? 0.1923 ? ? ? ? 0.2083 ? ? ? ? 0.2564 ? ? 0.2703 ? ? ? ? 0.3125 ? y ? ? 0.4167 ? ? ? ? 0.4348 ? ? 0.4762 ? ? ? ? 0.4348 ? ? ? ? 0.5882 ? ? 0.6667 ? ? ? ? 0.3674 ? ?1 ? ?1 ?1 ? ?1 ?1 ? ?1 x?? 1 ? ?1 ?1 ? ?1 ? ?1 ?1 ? 1.25 ? ? 0.7143 ? ? 0.5 ? 0.3704 ? 0.303 ? ? 0.2439 ? 0.1786 ? ? 0.1538 ? 0.1408 ? ? 0.1299 ? ? 0.1205 ? 0.1087 ? ?? 0.4955 ? d ? ( xT x) ? 1 xT y ? ? ? ? ?0.3648?所以，a=0.4955,b=-0.3648y ' ? 0.4955 ? 0.3648x '拟合的双曲线模型为1 1 ? 0.4955 ? 0.3648 y x3计量地理学第二次作业n n3）S=Lyy=? ( yi ? Y )2 =0.289i ?1U=bL xy= b ?2?(Xi ?1i? X ) 2 =0.1663Q=S-U=0.1227F?U =13.5622 Q / (n ? 2)查表知：在 a=0.01 下，F0.01(1,10) =10.01 因为 F& F0.01(1,10)，所以，回归方程 土壤含氮量为 2.1786。1 1 ? 0.4955 ? 0.3648 在置信水平 0.01 下是显著的。当 x=10 时， y x15.（教材 P116） 15. （a=0.2） 年度 2002 季度 用电量/10 4kW.h 1 2 3 4 1 2 3 4
3 4 季节性指标 校正 435 4 488 6 667 0 1 0.2 2 1.2 三点滑动平均 3 6 6.333 10.333
s2 a b 435 435.00 435.00 0.00 791.40 506.28 .28 .89 .61 .76 .87 .53 .77 .36 .83 0.48 .12 3.25 .78 5.58 .33 3.89 .31 0.57 .68 8.42 .85 3 1.5 4 0.02003预测模型为：y12+k=(.85k) ? k ， ? k 为校正后的季节性指标 以 2004 年第四季度为基期，预测 2005 年各季度的用电量： y12+1=(.85*1)*0.01 y12+2=(.85*2)*1.2 y12+3=(.85*3)*2.28 y12+4=(.85*4)*0.273=748.82384计量地理学第二次作业GIS 专业 何曼丽 某地区粮食产量（ 11.某地区粮食产量（t）与受灾面积（hm ）的历年数据见下表，试计算二者之间的相关系数，并对 11.某地区粮食产量（t）与受灾面积（hm2）的历年数据见下表，试计算二者之间的相关系数，并对 相关系数进行检验（ ? ? 0.05 ）习题 3.11 表 年份 粮食产量/t(xi) 受灾面积/hm(yi)
0_x?_1 n 1 ? xi ? 10 ? (251 ? 801 ? 200 ? 409 ? 415 ? 502 ? 314 ? 1101 ? 980 ? 1124) ? 609.7 n i ?1 1 n 1 ? yi ? 10 ? (52 ? 101 ? 65 ? 88 ? 90 ? 98 ? 120 ? 150 ? 140 ? 120) ? 102.4 n i ?110 _ _ 10解： y ?? ( xi ? x)( yi ? y)? rxy ?i ?110?(x?i ?1i? 609.7)( y i ? 102.4)10? (xi ?1i? x) 2 ?_10?(yi ?1i? y)2_10? 0.8030i? (xi ?1i? 609.7 ) 2 ??(yi ?1? 102.4) 2自由度：f=10-2=8 查表可得，在置信度 ? ? 0.05 的水平下， r? ? 0.6319 ? rxy 因此，在 ? ? 0.05 的水平下，粮食产量与受灾面积是显著相关的，但是从日常生活经验来判断，这 是有违常理的，可能是由于技术进步、耕地面积扩大等原因使粮食产量增加的速度大于受灾面积扩 大的速度。12.根据 12.根据 4 个要素的样本数据，计算得到的简单相关系数如下：? r11 ? ? r21 R?? r31 ? ? r41 ?r12 r13 r14 ? ?1 ? ? r22 r23 r24 ? ? 0.9954 1 ? r32 r33 r34 ? ? 0.6 1 ? ? r42 r43 r44 ? ? 0.3 0.9977 ? ?? ? ? ? ? 1? ?试计算各级偏相关系数和复相关系数，并对其进行显著性检验。 解：一级偏相关系数： 四个要素之间共有 12 个一级偏相关系数，它们分别是：r12 ?3 ? r12 ?4 ?r12 ? r13 ? r23(1 ? r13 )(1 ? r23 )2 2? ?0.9954 ? 0.9994 ? 0.9926 (1 ? 0.9994 2 )(1 ? 0.9926 2 ) 0.9954 ? 0.9989 ? 0.9923 (1 ? 0.9989 2 )(1 ? 0.99232 )? 0.80735 ? 0.72170r12 ? r14 ? r24(1 ? r14 )(1 ? r24 )2 25计量地理学第二次作业r13?2 ? r13?4 ? r14 ?2 ? r14 ?3 ? r23?1 ? r23?4 ? r24 ?1 ? r24 ?3 ? r34?1 ? r34?2 ?r13 ? r12 ? r32(1 ? r12 )(1 ? r32 )2 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0.9994 ? 0.9954 ? 0.9926 (1 ? 0.9954 2 )(1 ? 0.9926 2 ) 0.9994 ? 0.9989 ? 0.9977 (1 ? 0.9989 2 )(1 ? 0.9977 2 ) 0.9989 ? 0.9954 ? 0.9923 (1 ? 0.9954 2 )(1 ? 0.99232 ) 0.9989 ? 0.9994 ? 0.9977 (1 ? 0.9994 2 )(1 ? 0.9977 2 ) 0.9926 ? 0.9954 ? 0.9994 (1 ? 0.9954 2 )(1 ? 0.9994 2 ) 0.9926 ? 0.9923 ? 0.9977 (1 ? 0.99232 )(1 ? 0.9977 2 ) 0.9923 ? 0.9954 ? 0.9989 (1 ? 0.9954 2 )(1 ? 0.9989 2 ) 0.9923 ? 0.9926 ? 0.9977 (1 ? 0.9926 2 )(1 ? 0.9977 2 ) 0.9977 ? 0.9994 ? 0.9989 (1 ? 0.9994 2 )(1 ? 0.9989 2 ) 0.9977 ? 0.9926 ? 0.9923 (1 ? 0.9926 2 )(1 ? 0.99232 )? 0.97698 ? 0.880125 ? 0.94086 ? 0.766099 ? ?0.663816 ? 0.30758 ? ?0.446315 ? 0.240915 ? ?0.36984 ? 0.84727r13 ? r14 ? r34(1 ? r14 )(1 ? r34 )2 2r14 ? r12 ? r42(1 ? r12 )(1 ? r42 )2 2r14 ? r13 ? r43(1 ? r13 )(1 ? r43 )2 2r23 ? r21 ? r31(1 ? r21 )(1 ? r31 )2 2r23 ? r24 ? r34(1 ? r24 )(1 ? r34 )2 2r24 ? r21 ? r41(1 ? r21 )(1 ? r41 )2 2r24 ? r23 ? r43(1 ? r23 )(1 ? r43 )2 2r34 ? r31 ? r41(1 ? r31 )(1 ? r41 )2 2r34 ? r32 ? r42(1 ? r32 )(1 ? r42 )2 2一级偏相关系数的检验： 自由度：f=48-2-1=45t?|r| 1? r 2n ? k ?1①查表可得：当 f=45 时， t0.005 =2.6806 把以上的相关系数代入公式①计算得： t t12.3 t12.4 t13.2 t13.4 t14.2 t14.3 t值 9.1 30.4 18.629 7.9950 相关性 偏相关显著 偏相关显著 偏相关极显著 偏相关显著 偏相关显著 偏相关显著 t t23.1 t23.4 t24.1 t24.3 t34.1 t34.2 t值 5.4 3.15 2.58 相关性 负偏相关显著 偏相关不显著 负偏相关显著 偏相关不显著 偏相关不显著 偏相关显著二级偏相关系数：6计量地理学第二次作业r12 ?34 ? r13?24 ? r14 ?23 ? r23?14 ? r24 ?13 ? r34?12 ?r12 .3 ? r14 .3 ? r24.3(1 ? r14.3 )(1 ? r24 .3 )2 2? ? ? ? ? ?0.80735 ? 0.766099 ? 0. ? 0.7660992 )(1 ? 0.2409152 ) 0.97698 ? 0.94086 ? 0.84727 (1 ? 0.940862 )(1 ? 0.84727 2 ) 0.0.94086 ? 0.97698 ? 0.84727 (1 ? 0.976982 )(1 ? 0.84727 2 )? 0.99838r13 .2 ? r14 .2 ? r34 .2(1 ? r14.2 )(1 ? r34 .2 )2 2? 0.999239 ? 0.998079 ? ?0.99694 ? ?0.995614 ? ?0.99527r14.2 ? r13 .2 ? r43 .2(1 ? r13.2 )(1 ? r34 .2 )2 2r23.1 ? r24.1 ? r34 .1(1 ? r24.1 )(1 ? r34 .1 )2 2? 0.663816 ? ( ?0.446315) ? (0.36984) (1 ? 0.4463152 )(1 ? 0.36984 2 ) ? 0.446315 ? ( ?0.663816) ? ( 0.36984) (1 ? 0.6638162 )(1 ? 0.36984 2 ) ? 0.36984 ? ( ?0.663816) ? (0.446315) (1 ? 0.6638162 )(1 ? 0.4463152 )r24.1 ? r23.1 ? r43.1(1 ? r23.1 )(1 ? r43.1 )2 2r34.1 ? r32.1 ? r42.1(1 ? r32 .1 )(1 ? r42 .1 )2 2二级偏相关系数的检验： 自由度：f=48-3-1=44在? ? 0.005水平下， t ? ? 2.6923把以上的相关系数代入公式①计算得： t t12.34 t13.24 t14.23 t23.14 t24.13 t34.12 t值 116.1 106.2 70.589 67.9660 相关性 偏相关极显著 偏相关极显著 偏相关极显著 负偏相关极显著 负偏相关极显著 负偏相关极显著复相关系数：R1?234 ? 1 ? (1 ? r12 )(1 ? r13? 2 )(1 ? r14?32 ) ? 1 ? (1 ? 0.9954 2 )(1 ? 0.976982 )(1 ? 0.99807 2 ) ? 0. R2 ?134 ? 1 ? (1 ? r21 )(1 ? r23?1 )(1 ? r24 ?13 ) ? 1 ? (1 ? 0.9954 2 )(1 ? 0.66382 2 )(1 ? 0.9956 2 ) ? 0.?124 ? 1 ? (1 ? r31 )(1 ? r32?1 )(1 ? r34?12 ) ? 1 ? (1 ? 0.9994 2 )(1 ? 0.66382 2 )(1 ? 0.99527 2 ) ? 0. R4 ?123 ? 1 ? (1 ? r41 )(1 ? r42 ?1 )(1 ? r43?12 ) ? 1 ? (1 ? 0.9989 2 )(1 ? 0.4463152 )(1 ? 0.99527 2 ) ? 0.复相关系数的检验： 自由度 f2 =48-3-1=44，f1 =3 由 F 分布表可得， 可以采用 f1=3，f2=40 时的 F 分 布 ： 0.005 =4.98。f1=3，f2 =44 时的 F0.005 应位于 F0.005 F72 2 2 2 2 2 2 2 2222计量地理学第二次作业（3，40）和 F0.005 （3，60）之间，即：4.73&F0.005 （3，44）&4.98 代入 F 分布的检验公式：F?R 2 y ?12... k n ? k ?1 ? 2 k 1 ? R y ?12...k求得复相关系数的 F 检验为： F F1. F3.124 F4.1234 F值
5 相关性 复偏相关极显著 复偏相关极显著 复偏相关极显著 复偏相关极显著某山区水土流失面积（ 13.某山区水土流失面积（ km ）与土壤的含氮量（g/m 13.某山区水土流失面积（km2）与土壤的含氮量（ g/m2）的数据见下表。 （1）试画出二者之间的散点图并确定是什么样的相关形式。 （2）试拟合双曲线模型。 （3）检验该模型的显著性，并预测当水土流失面积 x=10（km2）时的土壤含氮量 y（ g/m2）。 x=10（习题 3.13 表 序号 水土流失面积 x/m2-21 0.8 6.62 1.4 5.23 2 4.84 2.7 3.95 3.3 3.76 4.1 3.27 5.6 2.48 6.5 2.39 7.1 2.110 7.7 2.311 8.3 1.712 9.2 1.5土壤含氮量 y/g.m解： （1）散点图如下图：水土流失面积与土壤含氮量散点图 7 土壤含氮量 6 5 4 3 2 1 0 0 2 4 6 8 10 水土流失面积由上图知，随着 x 的增大，y 逐渐减小，因此，x，y 之间为负相关。 （2）对于双曲线 y ? a ?b 1 ，令 y ' ? y , x ' ? ，可以转化为线性形式： y ' ? a ? bx ' x x双曲线模型 对数模型 8由原表中的数据计算得到下表：序号 x y计量地理学第二次作业x'1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0.8 1.4 2 2.7 3.3 4.1 5.6 6.5 7.1 7.7 8.3 9.2 6.6 5.2 4.8 3.9 3.7 3.2 2.4 2.3 2.1 2.3 1.7 1.5 1.3 0.4 0.9 0.8 0.9 0.7x' y8.3 2.4 1.5 0.8 0.7 0.0( x ') 21.2 0.2 0.5 0.7 0.9 0.8x'-0.5 0.3 1.0 1.8 1.2 2.2x' y-1.7 3.7 4.2 4.1 4.8 3.8( x ') 20.21 0.55 1.88 2.64 3.58 4.86计算可得：x ' ? 0.3512, y ' ? 3.3083由公式（3.2.5）和（3.2.6）得：12 12b?? ( x '? x ')( y '? y ') ? x ' y '? 12 (? x ')(? y ')i i i i i i ?11211212?i ?1i ?1i ?1? ( x '? x ')i i ?121 12 ? ( xi ') ? 12 (? ( xi '))2 i ?1 i ?1212? 4.4112a ? y ' ? b ? x ' ? 1.7593? 拟合的双曲线模型为： y ? 1.7593 ? 4.4112?（3）用 F 检验检验该模型的显著性如下：12 21 xS总 ? L pp ? ? (y i ? y) ? (6.6 ? 3.3083)2 ? (5.2 ? 3.3083)2 ? … ? (1.5 ? 3.3083)2 ? 27.329i ?1? U ? ? (yi ? y) ? (7.2733 ? 3.3083)2 ? (4.9102 ? 3.3083)2 ? … ? (2.3)2 ? 24.324i ?1122Q ? S总 ? U ? 27.329 ? 24.324 ? 3.005 ?F ? U 24.324 ? ? 80. ? 12.83 Q / (12 ? 2) 3.005 / 10当? 在? ? 0.005的置信度水平上，拟合是显著的x=10（km2）时土壤含氮量 y 为：y ? 1.7593 ? 4.4112 ?1 ? 2.20042 10使用拟合方程做出曲线如下图：9计量地理学第二次作业标 准 曲 线图 2双 曲 线 模 型 拟 合被 拟 合 散 点121086420 0 2 4 6 8 10 12经过多次观察和试验我发现使用对数拟合效果更好，下图 3 就是用对数拟合的图：被拟合散点 被拟合散点图3 对数模型拟合12采 用 上 述 同 样 的 方 法 可 以 求 得 拟 合 方 程为：10864y ? 6.0462 ? 2.0112ln当20 0 2 4 6 8 10 12x=10 （km2） 时 土壤含氮量 y 为：y ? 6.0462 ? 2.0112*ln(10)=1.4152通过图形对比可知，对数模型要比双曲线模型好。15.下表给出了某地区 15.下表给出了某地区
年各季度用电量，试用季节预测法预测该地区 2005 年各季度的总用 年各季度的总用10计量地理学第二次作业电量。习题 3.15 表 年度 02 03 04 04 季度 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 用电量/104 435 4 488 6 667 0 2.33 9.67 6.33 3.00 1.33 三点滑动平均 a=0.4 的 S(1) 435.00 1.08 8.55 1.56 9.20 6.35 2131.81 S(2) 435.00 720.12 4.00 2.26 4.12 2.06 0.19 at 435.00 3.66 .28 1.13 6.25 6.93 1973.43 bt 0.00 106.92 220.64 24.56 -44.32 69.92 202.39 -21.70 -83.24 52.46 207.64 -39.59解：①首先计算各季节的季节性指标得到下表：n季节性指标 ?? 三点滑动平均i ?1用电量 n1 04 季节性指标 校正后季节性指标 0.3 0.22 1.7 1.2 1.20423 1.0 1.0 2.01254 0.7求和校正系数0.03.49821.1434其中：校正系数=4/3.4 ②求预测模型： 取平滑指数 ? ? 0.4 ，采用下列公式：St (1) ? ? ? y t ? (1 ? ? ) ? St ?1(1) St (2) ? ? ? St (1) ? (1 ? ? ) ? St ?1(2)分别计算各季度的一次指数平滑值 S（1）和二次指数平滑值 S（2），然后代入公式：a t ? ? ? St (1) ? St (2) bt ?? (St (1) ? St (2) ) 1??计算 at 和 bt ，结果见题目表。 由表可得，预测模型为：y12? k ? (1973.43 ? 39.59k) ? ?k分别代入 K=1，2，3，4 可得到 2005 年各个季度的预测用电量：11计量地理学第二次作业y12?1 ? (1973.43 ? 39.59 ? 1) ? 0.4 y12? 2 ? (1973.43 ? 39.59 ? 2) ? 1.92 y12? 3 ? (1973.43 ? 39.59 ? 3) ? 2.56 y12? 4 ? (1973.43 ? 39.59 ? 4) ? 0.2（单位： 10 kw ? h ）412计量地理学第二次作业地理科学专业
顾君11．某地区粮食产量（ t ）与受灾面积（ hm ）的历史数据见下表，试计算二者之间的相关系数， 并对相关系数进行检验。 ? ? 0.05 ） （2解： 令粮食产量为 xi ，受灾面积为 yi (i ? 1, 2,...,10) ，则 x =609.7 t ） y =102.4 hm 2 ） =609.7（ ， =102.4（xi ? x yi ? y( xi ? x )( yi ? y )-358.7 -50.4 18078.5191.3 -1.4 -268-409.7 -37.4 15323-201 -14.4 2890-195 -12.4 2414-108 -4.4 473.9-296 17.6 -5204491.3 47.6 23386370.3 37.6 13923514.3 17.6 9051.68( xi ? x ) 2 ( yi ? y ) 2n0.168.85.83.8.76n i ?1? Lxy ? ? ( xi ? x )( yi ? y ) ? 80068.2 ， Lxx ? ? ( xi ? x ) 2 ? ，i ?1 nLyy ? ? ( yi ? y )2 ? 8620.4i ?1则相关系数 rxy ?Lxy Lxx ? Lyy?20.4? 0.8030由于样本数 n ? 10 ，故自由度 f ? 10 ? 2 ? 8 ， 在显著度水平 ? ? 0.05 上，查表可知 ? 0.05 ? 0.6319 ，? rxy ? 0.8030 ? ? ? ? 0.6319 ，? 该地区粮食产量（ t ）与受灾面积（ hm 2 ）之间的相关性显著。12．根据 4 个要素的 48 个样本数数据，计算得到的简单相关系数如下：? r11 ? r21 R?? ? r31 ? ?r ? 41r12 r22 r32 r42r13 r23 r33 r43r14 ? ? 1 ? ? ? ? r24 ? ? 0.9954 1 ? ? ? r34 ? ? 0.6 1 ? ? ? r44 ? ? 0.3 0.9977 1? ?试计算各级偏相关系数和复相关系数，并对其进行显著性检验。解： 1） 一级偏相关系数，其计算公式为：13计量地理学第二次作业? 12 ? 3 ?? 12 ? ? 13 ?? 23(1 ? ? 13 )(1 ? ?2 2 23? )0.9954 ? 0.6 (1 ? 0.99942 )(1 ? 0.99262 )? 0.8073同理可得， ? 12 ? 4 ? 0.7217 ， ? 13? 2 ? 0.9770 ， ? 13? 4 ? 0.8801， ? 14 ? 2 ? 0.9409 ，? 14 ? 3 ? 0.7661 ， ? 23?1 ? ?0.6638 ， ? 23? 4 ? 0.3076 ， ? 24 ? 3 ? 0.2409 ， ? 24 ?1 ? ?0.4463 ， ? 34?1 ? ?0.3698 ， ? 34? 2 ? 0.8473一级偏相关系数的显著性检验，一般采用 t ―检验法，由于 n ? 48, k ? 2 ， 故 t12? 3 ?? 12? 31 ? ? 12? 32n ? k ?1 ?0.8073 1 ? 0.8073248 ? 2 ? 1 ? 9.1782 ，同理可得， t12? 4 ? 6.9941 ， t13? 2 ? 30.7219 ， t13? 4 ? 12.4364 ， t14? 2 ? 18.6295 ，t14? 3 ? 7.9959 ， t23?1 ? ?5.954 ， t23? 4 ? 2.1684 ， t24? 3 ? 1.6652 ， t24?1 ? ?3.6346 ， t34 ?1 ? ?2.6071 ， t34 ? 2 ? 10.7006可知其绝对值均大于 t0.1 ，表明在置信度水平 ? ? 0.1 上，一级偏相关系数是显著的。2） 二级偏相关系数，其计算公式为：? 12 ? 34 ?? 12? 3 ? ? 14? 3 ?? 24? 3(1 ? ? 14 ? 3 )(1 ? ?2 2 24? 3? )0.8073 ? 0.9 (1 ? 0.76612 )(1 ? 0.24092 )? 0.9984同理可得， ? 13? 24 ? 0.9994 ， ? 14 ? 23 ? 0.9985 ， ? 23?14 ? 0.9969 ，? 24 ?13 ? ?0.9955 ， ? 34?12 ? ?0.9952一级偏相关系数的显著性检验，一般采用 t ―检验法，由于 n ? 48, k ? 3 ， 故 t12? 34 ?? 12? 341 ? ? 12 ? 342n ? k ?1 ?0.9984 1 ? 0.9984248 ? 3 ? 1 ? 104.723同理可得， t13? 24 ? 191.4 ， t14? 23 ? 120.97 ， t23?14 ? ?118.8t24?13 ? ?69.68 ， t34 ?12 ? ?67.46可知其绝对值均大于 t0.005 ，表明在置信度水平 ? ? 0.005 上，二级偏相关系数是显著的。3）复相关系数，其计算公式为：? 1? 234 ? 1 ? (1 ? ? 122 )(1 ? ? 13? 22 )(1 ? ? 14? 232 ) ? 0. ? 2 ?134 ? 1 ? (1 ? ? 12 2 )(1 ? ? 23?12 )(1 ? ? 24? 132 ) ? 0.99997714计量地理学第二次作业? 3?124 ? 1 ? (1 ? ? 132 )(1 ? ? 23?12 )(1 ? ? 34?122 ) ? 0. ? 4 ?123 ? 1 ? (1 ? ? 14 2 )(1 ? ? 24?12 )(1 ? ? 34?122 ) ? 0.对复相关系数的显著性检验，一般采用 F 检验法，由于 n ? 48, k ? 3 ，R1? 2342 n ? k ?1 F1? 234 ? ? ?
2 1 ? R1? 234 k同理可得， F2 ?134 ?
， F3?124 ? ， F4?123 ?
查表可知， F1? 234 , F2? 134, F3? 124, F4? 123 均大于 F0.01 ， 故复相关系数均达到了极显著的水平。13．某山区水土流失面积（ km ）与土壤的含氮量（ g / m ）的数据见下表： （1）试画出二者之间的散点图并确定市什么样的相关形式。 （2）试拟合双曲线模型。 （3）检验该模型的显著性，并预测当水土流失面积 x =10（ km ）时的土壤含氮量 y（ g / m ） 序号 水土流失面积 土壤含氮量 1 0.8 6.6 2 1.4 5.2 3 2.0 4.8 4 2.7 3.9 5 3.3 3.7 6 4.1 3.2 7 5.6 2.4 8 6.5 2.3 9 7.1 2.1 10 7.7 2.3 11 8.3 1.7 12 9.2 1.52222解： 1）根据上表提供的数据，绘制下图所示的散点图，大致为双曲线。散点图 7 6 5 4 3 2 1 0 0 2 4 6 水土流失面积x/km2 8 10土壤含氮量y/g.cm-22）拟合双曲线模型： ① 做变量替换，令 y ? ? 观测数据如下：151 1 , x? ? ，将原始数据进行倒数变换，变换后得到的各新变量对应的 y x计量地理学第二次作业x? ?1 x1 y1.250.710.50.370.3030.240.180.150.140.130.120.11y? ?0.150.190.210.2560.270.310.420.430.480.430.5880.67② 以 x 为横坐标， y 为纵坐标，在平面直角坐标系中作出散点图拟合双曲线模型 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4③ 根据表中的数据，运用建立线性回归模型的方法，建立 y 与 x 之间的线性回归模型，得到：y ? ? ?0.3648x ? ? 0.4955 ，故3）拟合对数模型：1 1 ? ?0.3648 ? 0.4955 ，但明显误差较大。 y x① 做变量替换，令 A ? ln x, B ? ln y ，将原始数据进行对数变换，变换后得到的各新变量对应 的观测数据如下： A ? ln x -0.223 0.3360.693 1.5690.993 1.3611.194 1.3081.411 1.1631.723 0.8761.872 0.8331.960 0.7422.041 0.8332.116 0.5312.219 0.406B ? ln y1.8871.649② 以 x 为横坐标， y 为纵坐标，在平面直角坐标系中作出散点图拟合双对数模型 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5③ 根据表中的数据，运用建立线性回归模型的方法，建立 y 与 x 之间的线性回归模型，得到：y ? ? ?2.0112 ln x ? 6.0462 .16计量地理学第二次作业: ④ 对于线性回归方程 y ? ? ?2.0112 ln x ? 6.0462 进行显著性检验:n i ?1 n i ?1S ? Lyy ? ? ( yi ? y ) ? 27.33 ， U ? bLxy ? ?2.0112? ? ( yi ? y )(xi ? x ) ? 23.66 ，? S ? Lyy ? U ? Q故F ?? Q ? S ? U ? 27.33 ? 23.66 ? 3.67U 23.66 ? ? 64.47 Q /( n ? 2) 3.67 /(12 ? 2)在置信度水平 ? ? 0.01 下，查 F 分布表可知： F0.01 (1,10) ? 10.04 由于 F ?? F0.01 (1,10) ，所以该回归方程在置信水平 ? ? 0.01 下是显著的。 当 x ? 10(km ) 时，代入回归方程 y ? ? ?2.0112ln x ? 6.0462 ，可得 y ? 1.415( g / m ) 即当水土流失面积 x ? 10(km ) 时，土壤含氮量为 1.415( g / m )2 2 2 215．下表给出了某地区
年各季度用电量，试用季节性预测法预测该地区 2005 年各季度的 用电量。解：年度 季度 用电量 1 435 年度 2
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 488 2
① 求时间序列的三点滑动平均值，数据如下： 季度 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 用电量/104 kw?h /10 kw? 435.00 6.00 394.00 488.00 6.00 406.00 667.00 8.00 490.00 三点滑动平均/104kw h /10 kw?h/2.33 9.67 6.33 3.00 1.33200220032004/② 求季节性指标：将各季度的季节系数平均得到季节性指标，数据如下： 季节性指标之和理论上应该等于 4，现等于 3.3，需要进行修正： 校正系数 ? ? 4 / 3.4983 ? 1.2 / 2 3 2 1.7 1..0 1..7/17计量地理学第二次作业季节性指标 校正季节性指标0.21.21.50.0③ 求预测模型：用二次指数平滑法，求模型系数：取平滑指数 ? ? 0.2 ，利用公式 一次指数平滑值： St 且 at ? 2St(1) (1)? ? yt ? (1 ? ? ) St ?1(1) ， 二次指数平滑值： St (2) ? ? St (1) ? (1 ? ? ) St ?1(2)? St (2) ， bt ?? ( St (1) ? St (2) ) 1?? S (1)435.00 791.40 6.26 4.68 4.36 7.11 9.83可得到以下的数据： 年度 季度 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 用电量/104 kw?h /10 kw? 435 4 488 6 667 0S (2)435.00 506.28 681.89 782.76 835.53 943.36 3.25 3.89 8.42at435.00 6.75 7.68 7.42 4.19 4.01 2391.24bt0.00 71.28 175.61 100.87 52.77 107.83 207.12 102.76 42.33 98.31 206.68 87.85200220032004由上可知，预测模型为： y12? k ? (2391.24 ? 87.85k )? k ，其中 ? k 为校正后的季节性指标。 ④ 求预测值：? 第一季度： y12?1 ? (2391.24 ? 87.85? 1) ? 0.5102 ? 1264.83 ? 第二季度： y12?1 ? (2391.24 ? 87.85? 2)? 1.2042 ? 3091.11 ? 第三季度： y12?1 ? (2391.24 ? 87.85? 3)? 2.0125 ? 5342.76 ? 第四季度： y12?1 ? (2391.24 ? 87.85? 4)? 0.2730 ? 748.7418计量地理学第二次作业GIS 专业 申悦 某地区粮食产量（ 11.某地区粮食产量（t）与受灾面积（hm 11.某地区粮食产量（t）与受灾面积（hm2 ）的历年数据见下表，试计算二者之间的相 关系数，并对相关系数进行检验（α=0.5） 关系数，并对相关系数进行检验（α=0.5） 。表１ 年份 粮食产量/t 受灾面积/hm2
习题 3.11 表
0解：设粮食产量为 x，受灾面积为 y。n由公式 rxy ?L xy L xx L yy?? ( xi ? x)( yi ? y) i?1计算出 x 与 y 的均值与方差如下：2n2 ?1n?1? ( xi ? x) ? ( yi ? y) i ix?1 n 1 ? x i ? 10 (251 ? 801 ? ?? ? 1124) ? 609.7 n i ?1 1 n 1 ? y i ? 10 (52 ? 101 ? ??120) ? 102.4 n i ?1ny?L xy ? ? ( xi ? x)( yi ? y) ? (251 ? 609.7) ? (52 ? 102.4) ? ?? ? (1124 ? 609.7) ? (120 ? 102.4) ? 80068.2i ?1nL xx ? ? ( xi ? x) 2 ? (251 ? 609.7)2 ? (801 ? 609.7)2 ? ?? ? (1124 ? 609.7)2 ? i ?1nL yy ? ? ( y i ? y) 2 ? (52 ? 102.4)2 ? (101 ? 102.4) 2 ? ?? ? (120 ? 102.4) 2 ? 8620.4i ?1代入公式得： rxy ? 即相关系数为 0.8030 对相关系数进行检验L xy L xx L yy?3344.1 ? 8620.4? 0.8030f ? n ? 2 ? 10 ? 2 ? 8在自由度水平ｆ＝８时，在显著性水平 α＝0.05 上，查表可得ｒ＝0.05＝0.6319&ｒxy 又 r0.5 ? r0.05 ? rxy ? r0.5 即在α＝0.5 的置信水平上，该地区粮食产量与受灾面积相关19计量地理学第二次作业12.根据 12.根据 4 个要素的 48 个样本数数据，计算得到的简单相关系数如下： ? 1 ? ? r11 r12 r13 r14 ? ?r ? ?0.9954 ? 1 ? 21 r22 r23 r24 ? = ? ? R= ?r31 r32 r33 r34 ? ?0.6 ? 1 ? ? ? ? ?0.3 0.9977 1? ?r41 r42 r43 r44 ? 试计算各级偏相关系数和复相关系数，并对其进行显著性检验。解： （1）一级偏相关系数 1）一级偏相关系数的计算 四个要素共有 12 个一级偏相关系数，根据公式计算如下：r12?3 ?r12 ? r13 r23(1 ? r13 ) ? (1 ? r23 )2 2?0.9954 ? 0.9994 ? 0.9926 (1 ? 0.9994 2 ) ? (1 ? 0.9926 2 ) 0.9954 ? 0.9989 ? 0.9923 (1 ? 0.9989 2 ) ? (1 ? 0.9923 2 ) 0.9994 ? 0.9954 ? 0.9926 (1 ? 0.9954 2 ) ? (1 ? 0.9926 2 ) 0.9994 ? 0.9989 ? 0.9977 (1 ? 0.9989 2 ) ? (1 ? 0.9977 2 )? 0.8073r12?4 ?r12 ? r1 4 r24(1 ? r14 ) ? (1 ? r24 )2 2?? 0.7217r13?2 ?r1 3 ? r1 3 r23(1 ? r12 ) ? (1 ? r23 )2 2?? 0.9770r13?4 ?r1 3 ? r1 4 r34(1 ? r14 ) ? (1 ? r34 )2 2?? 0.8801r14?2 ?r14 ? r12 r24(1 ? r12 ) ? (1 ? r24 )2 2?0.9989 ? 0.9954 ? 0.9923 (1 ? 0.9954 2 ) ? (1 ? 0.99232 )0.9989 ? 0.9994 ? 0.9977 (1 ? 0.9994 2 ) ? (1 ? 0.9977 2 ) 0.9926 ? 0.9954 ? 0.9994 (1 ? 0.9954 2 ) ? (1 ? 0.9994 2 ) 0.9926 ? 0.9923 ? 0.9977 (1 ? 0.9923 2 ) ? (1 ? 0.9977 2 )? 0.9409r14?3 ?r1 4 ? r1 3 r34(1 ? r13 ) ? (1 ? r34 )2 2?? 0.7661r23?1 ?r23 ? r12 r13(1 ? r12 ) ? (1 ? r13 )2 2?? ?0.6638r23? 4 ?r23 ? r24 r34(1 ? r24 ) ? (1 ? r34 )2 2?? 0.3076r24?1 ?r24 ? r12 r14(1 ? r12 2 ) ? (1 ? r14 2 )r24 ? r23 r34(1 ? r23 ) ? (1 ? r34 )2 2?0.9923 ? 0.9954 ? 0.9989 (1 ? 0.9954 2 ) ? (1 ? 0.9989 2 )0.9923 ? 0.9926 ? 0.9977 (1 ? 0.9926 2 ) ? (1 ? 0.9977 2 ) 0.9977 ? 0.9994 ? 0.9989 (1 ? 0.9994 2 ) ? (1 ? 0.9989 2 )? ?0.4463r24?3 ??? 0.2409r34?1 ?r34 ? r13 r14(1 ? r13 ) ? (1 ? r14 )2 2?? ?0.369820计量地理学第二次作业r34? 2 ?r34 ? r23 r24(1 ? r23 ) ? (1 ? r24 )2 2?0.9977 ? 0.9926 ? 0.9923 (1 ? 0.9926 2 ) ? (1 ? 0.99232 )? 0.84732）一级偏相关系数的显著性检验 t-检验法的统计量计算公式为 t ?r1? r2n ? k ?1在一级偏相关系数的检验中，n=48,k=2,则对各个一级偏相关系数进行检验如下：t 12?3 ?r12?3 1 ? r12?3 r12 ?4 1 ? r12?422n ? k ?1 ?0.8073 1 ? 0.7 1 ? 0..9770 1 ? 0..8801 1 ? 0.9 1 ? 0..7661 1 ? 0.76612? 48 ? 2 ? 1 ? 9.1782t 12?4 ?n ? k ?1 ?? 48 ? 2 ? 1 ? 6.9941t 13? 2 ?r13?2 1 ? r13?2 r13? 4 1 ? r13?4 r14 ?2 1 ? r14?222n ? k ?1 ?? 48 ? 2 ? 1 ? 30.7222t 13? 4 ?2n ? k ?1 ?? 48 ? 2 ? 1 ? 12.4364t 14?2 ?n ? k ?1 ?? 48 ? 2 ? 1 ? 18.6295t 14?3 ?r14?3 1 ? r14?3 r23?1 1 ? r23?1 r23?4 1 ? r23?4 r24?1 1 ? r24 ?122n ? k ?1 ?? 48 ? 2 ? 1 ? 7.9959t 23?1 ?2n ? k ?1 ?0.6638 1 ? 0.6 1 ? 0..4463 1 ? 0..2409 1 ? 0..3698 1 ? 0.3 1 ? 0.84732? 48 ? 2 ? 1 ? 5.9541t 23?4 ?2n ? k ?1 ?? 48 ? 2 ? 1 ? 2.1684t 24?1 ?n ? k ?1 ?? 48 ? 2 ? 1 ? 3.3457t 24?3 ?r24?3 1 ? r24?3 r34?1 1 ? r34?1 r34?2 1 ? r34?22 2 2n ? k ?1 ?? 48 ? 2 ? 1 ? 1.6652t 34?1 ?n ? k ?1 ?? 48 ? 2 ? 1 ? 2.6703t 34?2 ?n ? k ?1 ?? 48 ? 2 ? 1 ? 10.7006在 自 由 度 为 48-2-1=45 时 ， 查 表 得 t0.005 =2.6806 ， t0.01 =2.4121 ， t0.025 =2.0141 ， t0.05=1.=1.3006，经与各一级偏相关系数的 t-检验值对比后，列得下表。21计量地理学第二次作业表2 r12?3 r12?4 r13?2 r13?4 r14?2 r14?3 r23?1 r23?4 r24?1 r24?3 r34?1 r34?2一级偏相关系数及置信水平汇总表 T值 9.1 30.4 18.9 5.4 3.2 2.6 置信水平 0.005 0.005 0.005 0.005 0.005 0.005 0.005 0.025 0.005 0.10 0.01 0.005相关系数 0.7 0.1 0.1 -0.6 -0.9 -0.3由上表可见，当置信度水平取α＝0.005 时，除 r23?4，r24?3 ，r34?1 外的所有一级偏相关均显著； 而当把置信水平放大到α＝0.10 时，则所有的一级偏相关系数均显著。 （2）二级偏相关系数 1）二级偏相关系数的计算 四个要素共有 6 个二级偏相关系数，根据公式计算如下：r12?34 ?r12?3 ? r14?3 r24 ?3 (1 ? r14 ?3 ) ? (1 ? r24 ?3 )2 2?0.8073 ? 0.9 (1 ? 0.76612 )(1 ? 0.2409 2 ) 0.9770 ? 0.9409 ? 0.8473 (1 ? 0.9409 2 )(1 ? 0.84732 ) 0.9409 ? 0.9770 ? 0.8473 (1 ? 0.9770 2 )(1 ? 0.84732 ) ? 0.6638 ? 0.4463 ? 0.3698 (1 ? 0.44632 )(1 ? 0.3698 2 ) ? 0.4463 ? 0.6638 ? 0.3698 (1 ? 0.6638 2 )(1 ? 0.3698 2 ) ? 0.3698 ? 0.6638 ? 0.4463 (1 ? 0.66382 )(1 ? 0.44632 )? 0.998381r13?24 ?r1 3?2 ? r14?2 r34?2 (1 ? r14 ?2 ) ? (1 ? r34?2 )2 2?? 0.999239r14?23 ?r1 4? 2 ? r1 3?2 r34 ?2 (1 ? r13?2 ) ? (1 ? r34? 2 )2 2?? 0.998079r23?14 ?r23?1 ? r24?1 r34 ?1 (1 ? r24 ?1 ) ? (1 ? r34 ?1 )2 2?? ?0.996938r24?13 ?r24?1 ? r23?1 r34?1 (1 ? r23?1 ) ? (1 ? r34?1 )2 2?? ?0.995614r34?12 ?r34?1 ? r23?1 r24 ?1 (1 ? r23?1 ) ? (1 ? r24 ?1 )2 2?? ?0.9952712）二级偏相关系数的显著性检验 在二级偏相关系数的检验中，n=48,k=3,则对各个二级偏相关系数进行检验如下：t 12?34 ?r12?34 1 ? r12?342n ? k ?1 ?0. ? 0.9983812? 48 ? 3 ? 1 ? 116.42642822计量地理学第二次作业t 13? 24 ?r13?24 1 ? r13? 24 r14?23 1 ? r14?23 r23?14 1 ? r23?14 r24?13 1 ? r24?13 r34?12 1 ? r34?122 2 2 2 2n ? k ?1 ?0. ? 0. 0. ? 0.9980792? 48 ? 3 ? 1 ? 169.903129t 14?23 ?n ? k ?1 ?? 48 ? 3 ? 1 ? 106.857660t 23?14 ?n ? k ?1 ?0. ? 0. 0. ? 0. 0. ? 0.9952712? 48 ? 3 ? 1 ? 84.574247t 24?13 ?n ? k ?1 ?? 48 ? 3 ? 1 ? 70.589329t 34?12 ?n ? k ?1 ?? 48 ? 3 ? 1 ? 67.965984在自由度为 48-3-1=44 时，查表得 t0.005 =2.6923，经与各二级偏相关系数的 t-检验值对比后， 列得下表。 表3 r12?34 r13?24 r14?23 r23?14 r24?13 r34?12 二级偏相关系数及置信水平汇总表 T值 116......965984 置信水平 0.005 0.005 0.005 0.005 0.005 0.005 相关系数 0......995271由上表可见，当置信度水平取α＝0.005 时，所有二级偏相关均显著。 （3）复相关系数 1）复相关系数的计算 四个要素共有 4 个二级偏相关系数，根据公式2 2 2 R y ?12?? k ? 1 ? (1 ? ry1 )(1 ? ry2?1 ) ?? (1 ? ryk ?12??(k -1) ) 计算如下： 2 2 2R 1?234 ? 1 ? (1 ? r1?2 )(1 ? r13?2 )(1 ? r14?23 ) ? 1 ? (1 ? 0.99542 )(1 ? 0.9770 2 )(1 ? 0.9980792 ) ? 0. R 2?134 ? 1 ? (1 ? r2?1 )(1 ? r23?1 )(1 ? r24?13 ) ? 1 ? (1 ? 0.99542 )(1 ? 0.66382 )(1 ? 0. ) ? 0.R 3?124 ? 1 ? (1 ? r3?1 2 )(1 ? r23?1 2 )(1 ? r34?12 2 ) ? 1 ? (1 ? 0.9994 2 )(1 ? 0.66382 2 )(1 ? 0.99527 2 ) ? 0.2 2 2R 4?123 ? 1 ? (1 ? r4?12 )(1 ? r42?12 )(1 ? r43?122 ) ? 1 ? (1 ? 0.99892 )(1 ? 0.44632 )(1 ? 0.99527`2 ) ? 0.2）复相关系数的显著性检验 对复相关系数的显著性检验，一般采用 F 检验法。其统计量计算公式为：F?R 2 ?12?? k y 1? R2 y?12 ?? k?n ? k ?1 k23计量地理学第二次作业其中 n=48,k=3,则对各个复相关系数进行检验如下：F1? 234 ?2 R 1? 234 n ? k ?1 0. ? 3 ? 1 ? ? ? ? 5 2 2 k 3 1 ? R 1?234 1 ? 0.F2 ?134 ?R 2 ?134 n ? k ?1 0. ? 3 ? 1 2 ? ? ? ? 8 2 2 k 3 1 ? R 2?134 1 ? 0.F3?1242 R 3?124 n ? k ?1 0. ? 3 ? 1 ? ? ? ? ? 3 2 2 k 3 1 ? R 3?124 1 ? 0.F4 ?123 ?R 2 ?123 n ? k ?1 0. ? 3 ? 1 4 ? ? ? ? 5 2 2 k 3 1 ? R 4 ?123 1 ? 0.在自由度 n1=k=3,n2=n-k-1=48-3-1=44 时，查表得 F0.01(3,44)&F0.01 (3,40)=4.31F1? 234 ? F0 .01 (3,40) ? F0 .01 (3,44) F2 ?134 ? F0 .01 (3,40) ? F0 .01 (3,44) F3?124 ? F0 .01 (3,40) ? F0 .01 (3,44) F4 ?123 ? F0.01 (3,40) ? F0 .01 (3,44)即复相关系数 F1?234，F2?134, F3?124, F4?123 都极显著。某山区水土流失面积（ 13.某山区水土流失面积（km ）与土壤的含氮量（g/m 13.某山区水土流失面积（km2）与土壤的含氮量（g/m2）的数据见下表。 （1）试画出二者之间的散点图并确定是什么样的相关形式。 （2）试拟合双曲线模型。 （3）检验该模型的显著性，并预测当水土流失面积 x=10(km2)时的土壤含氮量 y(g/m2)。表4 序号 水土流失面积 土壤含氮量 x/km2 y/g?m-2 1 0.8 6.6 2 1.4 5.2 3 2.0 4.8 习题 3.13 表 4 2.7 3.9 5 3.3 3.7 6 4.1 3.2 7 5.6 2.4 8 6.5 2.3 9 7.1 2.1 10 7.7 2.3 11 8.3 1.7 12 9.2 1.5（1）由上表数据绘制出水土流失面积和土壤含氮量的散点图如下：24计量地理学第二次作业7 6 5土壤含氮量y/g?m-24 3 2 1 0 0 2 4 6 8 10水土流失面积x/km2图 1 水土流失面积与土壤含氮量的 xy 散点图 由上图可以看出，随着水土流失面积的加大，土壤含氮量越来越低，二者成负相关。对上述数 据添加趋势线如下：7 7 6 6 55土壤含氮量 y4 土壤含氮量 y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 433221100 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10水土流失面积 x水土流失面积 x图2 数趋势线8对图37指数趋势线7 6 5 土壤含氮量 y 土壤含氮量 y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 106544 332 12100 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10水土流失面积 x水土流失面积 x由上图可看出，对上述数据拟合的最好的是对数趋势线，我们可以初步判断，水土流失面积与 图 4 幂指数趋势线 图 5 线性趋势线 土壤含氮量成近于对数模型的负相关。25计量地理学第二次作业（2）对以上数据进行拟合： 1）双曲线模型 y ? a ? 令 y' ? y，x ' ?b x1 ，则可转化为线性形式 y' ? a ? bx ' xx' ?1 n 1 1 1 1 1 ? ( x ) ? 12 ( 0.8 ? 1.4 ? ?? 9.2 ) ? 0.3512 n i ?1 n1 n 1 y ? ? y n ? (6.6 ? 5.2 ? ?? ? 1.5) ? 3.3083 n i?1 12nL x 'y ? ? (x' i ? x')( y i ? y) ? (i ?1n i ?1 21 1 ? 0. ? 3.3083) ? ?? ? ( ? 0. ? 3.3083) ? 5. 9.2L x ' x ' ? ? ( x' i ? x ' ) ? (1 1 1 ? 0.3512 ) 2 ? ( ? 0.3512 ) 2 ?? ? ( ? 0.3512 ) 2 ? 1. 1.4 9.2? L x 'y ? 5.5142 ? 4.4112 b? L x 'x ' 1.2500 ? ? a ? y ? b x' ? 3.3083 ? 4.4112 ? 0.3512 ? 1.7593双曲线模型为 y ? 1.7593 ? 2）对数模型 y ? a ? blnx 由于通过作趋势线图发现对数模型的拟合情况较好，对数据进行对数模型拟合。 令 y' ? y，x ' ? lnx ，则可转化为线性形式 y' ? a ? bx '4.4112 xx' ?1 n 1 ? (lnx n ) ? 12 (ln0.8 ? ln1.4 ? ?? ln9.2) ? 1.3613 n i ?1 1 n 1 ? y n ? 12 (6.6 ? 5.2 ? ?? ? 1.5) ? 3.3083 n i ?1ny?L x 'y ? ? ( x' i ? x')(y i ? y) ? (ln0.8 ? 1. ? 3.3083) ? ?? ? (ln9.2 ? 1. ? 3.3083) ? ?13.4573i ?1 n i ?1 2L x' x' ? ? ( x' i ? x ') ? (ln0.8 ? 1.3613) 2 ? (ln1.4 ? 1.3613) 2 ?? ? (ln9.2 ? 1.3613) 2 ? 6.6912? L x' y ? ? 13.4573 ? ?2.0112 b? L x' x' 6.6912 ? ? a ? y ? b x' ? 3.3083 ? 1.3613 ? 2.0112 ? 6.046226计量地理学第二次作业拟合的对数曲线模型为 y ? 6.0462 ? 2.0112lnx （3）分别检验两种模型的显著性 1）双曲线模型n 2S总 ?L yy ? ? ( y i ? y) ? ( 6.6 ? 3.3083) 2 ? (5.2 ? 3.3083) 2 ? ?? ? (1.5 ? 3.3083) 2 ? 27.3292i ?1U 1 ? bL x ' y ? 4.4112 ? 5.5142 ? 24.3244 Q1 ? S总 ? U 1 ? 27.3292 ? 24.3244 ? 3.0048 F1 ? U1 24.3244 ? ? 80.9523 Q 1 /( n ? 2) 3.0048 /(12 ? 2)2）对数曲线模型n 2S总 ?L yy ? ? ( y i ? y) ? ( 6.6 ? 3.3083) 2 ? (5.2 ? 3.3083) 2 ? ?? ? (1.5 ? 3.3083) 2 ? 27.3292i ?1U 2 ? bL x 'y ? ( ?2.0112) ? ( ?13.4573) ? 27.0652 Q 2 ? S总 ? U 2 ? 27.3292 ? 27.0652 ? 0.2640 F2 ? U2 27.0652 ? ?
/( n ? 2) 0.2640 /(12 ? 2)在置信水平α＝0.01 下查 F 分布表，可知 F0.01 (1,10)=10.04&F1 &F2 即两种模型在置信水平α＝0.01 下均显著，但对数曲线模型更加显著，这也验证了趋势线图中，对 数模型拟合的最好。 3）预测 x=10(km2 )时的土壤含氮量 ①双曲线模型 y ? 1.7593 ?4.2 ? 1.7593 ? ? 2.2004(g ? m ? 2 ) x 10?2②对数曲线模型 y ? 6.0462 ? 2.0112 ? lnx ? 6.0462 ? 2.0112 ? ln10 ? 1.4152g ? m )15.下表给出了某地区 15.下表给出了某地区
年各季度用电量，试用季节性预测法预测该地区
年各季度的用电量。表5 年度 季度 用电量/104kW?h 1 435 2
1 488 2 2687 习题 3.15 表 6 4 406 1 667 2
解： （1）求出时间序列的三点滑动平均值，以消除季节变动和不规则变动，保留长期趋势27计量地理学第二次作业表6年度 季度 用电量/104 kW?h 三点滑动平均 1 435 2 02 年各季度用电量及其三点滑动平均值6 4 394
4 4902122.33（2）求季节性指标并对其进行校正。将上表第三行数据分别除以第四行各对应元素，得到相应的季 节系数。然后再把各季度的季节系数平均得到季节性指标。将表中季节性指标乘以校正系数得到校 正后的季节性指标。 表7 季节性指标及其校正值1 04 季节性指标 校正季节指标 0.3 0.22 1.7 1.2 1.20423 1.0 1.0 2.0125 4 ? 1.24 0.7 0.0其中，季节性指标之和为 3.4982，校正系数 ? ?（3）求预测模型，用二次指数平滑法求预测模型系数。 取α=0.2，分别计算一次指数平滑值和二次指数平滑值 一次指数平滑值，ST(1) =αyi+(1-α)ST-1(1) ，二次指数平滑值：ST(2) =αST(1) +(1-α)ST-1 (2) 然后趋势预测模型的系数：at=2ST(1) -ST(2) ,bt=α/1-αw(ST (1)-ST (2))，计算得到下表。 表8 预测模型系数200220032004季度 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12用电量 435 4 488 6 667 0S(1) 435 791.00 46.38 64.61 27.97S(2) 435 506.0 782.2 943.82 95.62 88.4190at 435 86.04 06.60 34.16 91.2404bt 0 71.0 100.6 107.2 102.4 98.2 87.8527预测模型为 y12 ? k ? ( ? 87.8527k)? k (4)求预测值 以 2004 年第四季度为基期，套用以上公式，计算预测 2005 年各季度的客流量：? 第一季度： y12 ?1 ? ( ? 87.8527 ? 1) ? 0.5102 ?
; ? 第二季度： y12 ? 2 ? ( ? 87.8527 ? 2) ? 1.2042 ? 28计量地理学第二次作业? 第三季度： y12 ?3 ? ( ? 87.8527 ? 3) ? 2.0125 ?
? 第四季度： y12 ? 4 ? ( ? 87.8527 ? 4) ? 0.2730 ? 748.823929计量地理学第二次作业GIS专业 徐超 16. 某地区 20 个城市 2004 年的七项经济统计指标数据见下表。 （1）试用最短距离聚类法对 20 个城市综合实力进行系统类聚分析，并划出谱系关系图。 （2）试用主程序分析法对 20 个城市 7 项经济指标进行主成分分析，并分析其综合实力。 （3）以第一、二、三主成分为变量，进行聚类分析，结果又怎么样呢？ 习题 3.16 表 编 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 总人口 /104 人 .17 875.40 299.92 207.78 677.08 545.31 691.23 927.09 .44 616.05 538.41 429.95 583.13 128.99 424.20 557.63 702.97 615.36 非农业人 口比例/% 0.60 0.58 0.23 0.66 0.44 0.63 0.49 0.41 0.46 0.74 0.53 0.36 0.25 0.32 0.27 0.49 0.40 0.41 0.37 0.34 农业总 产值/108 元 184.34 150.11 291.87 23.60 36.53 129.54 187.97 185.32 266.39 206.90 98.92 141.47 142.82 62.88 215.23 33.34 68.83 148.63 238.23 67.74 工业总产 值/108 元 4.55 688.58 273.78 81.65 582.67 842.64 596.63 418.61 7.27 2.29 251.41 655.54 575.11 230.59 628.59 .76 地方财政预 算内收入 /108 元 279.09 112.81 35.23 20.33 10.58 56.79 70.92 35.71 48.14 431.85 66.43 44.96 50.17 23.36 46.75 41.88 16.77 46.07 65.84 38.73 城乡居民年底 储蓄余额 /108 元 0.19 709.59 394.31 139.66 901.70 755.68 480.37 645.00 .05 742.60 524.64 162.29 503.03 210.83 264.05 412.70 497.80 513.53 在岗职工 工资总额 /108 元 577.33 225.43 75.89 65.40 30.93 115.28 96.59 88.44 130.92 590.54 135.79 118.09 82.40 36.96 68.06 65.75 47.96 75.67 96.17 69.68解： （1）试用最短距离聚类法对 20 个城市综合实力进行系统类聚分析，并划出谱系关系图。主要借助 MatLab 软件系统实现聚类分析 1)在 1) MatLab 中输入原始数据 X = 1.0e+003 * 1.6 0.0 0.6 0.6 0.2 0.6 0.7 0.8 0.4 0.7 0.6 0.7 0.5 0.60.8 0.3 0.8 0.07092.2 0.3 0.7 0.75570.4 0.4 0.3 0.096630计量地理学第二次作业0.1 1.4 0.4 0.1 0.2 0.0 0.61540.5 0.5 0.3 0.3 0.4 0.4 0.00030.4 0.9 0.8 0.2 0.8 0.2 0.06770.6 5.3 1.3 0.5 0.6 0.2 0.52880.1 0.4 0.2 0.8 0.8 0.8 0.03870.0 2.0 0.6 0.0 0.1 0.8 0.51350.9 0.8 0.4 0.1 0.0 0.2 0.06972）聚类要素的数据处理。采用标准差标准化的方法，即x?x式中：? ijxij ? x j sj(i ? 1, 2,? , j ? 1, 2,? , n )? j1 m ? xij m i?1sj ?1 m ? ( xij ? x j ) 2 m i ?1? 由这种标准化方法所得到的新数据 xij ，各要素的平均值为 0，标准差为 1，即有x? j ?1 m ? xij? ? 0 m i ?1s? j ?1 m ? ( xij? ? x?j )2 ? 1 m i ?1标准化数据矩阵： bx=zscore(X) bx = 2.9 0.2 -1.4 -0.2 0.7 -0.3 -0.4 -0.21.6 -1.4 -0.2 0.9 0.3 0.5 -1.4 -1.00.9 1.9 -1.4 0.4 1.5 -0.4 -0.9 0.60.6 -0.0 -0.6 -0.8 -0.5 0.8 0.9 -0.02.7 -0.8 -0.5 -0.4 -0.5 -0.7 -0.8 -0.22.1 -0.8 -0.7 0.8 -0.1 -0.3 -0.4 -0.42.1 -0.5 -0.2 -0.3 -0.5 -0.9 -0.0 -0.231计量地理学第二次作业-0.6 -0.4 -0.2 0.8 1.6 -0.4 3)计算欧氏距离，并用距离矩阵表示：n-0.7 0.2-0.7 -0.5-0.3 -0.0-0.6 -0.6d ij ??(xk ?1ik? x jk ) 2(i , j ? 1, 2,? , m )&& y=pdist(bx) d=squareform(y) d =Columns 1 through 11 0 3.6 5.2 8.6 8.2 9.0 7.5 7.0 7.4 7.5 0 7.2 7.1 7.5 8.9 8.7 8.8 8.6 8.0 0 2.5 3.6 3.5 3.2 3.0 3.1323.8076 06.1 0 4.7 3.7 1.9 8.6 2.9 3.9 4.16.8 4..1 2.4 4.6 1.1 3.4 3.3 1.98227.8 4.9 0 2.0 2.6 9.7 2.2 1.7 0.25.1 3.1 2..4 2.7 1.5 2.9 2.7 2.28465.5 2.0 2.0 0 0.3 7.8 1.2 2.0 2.35.7 1.4 2.4 0..0 1.7 1.7 1.7 1.80415.6 1.5 3.4 1.6 0 7.9 2.0 3.1 4.85.0 3.6 3.9 4.7 1.8 2.8 2.2 2.9 5.4860计量地理学第二次作业5.1 5.6 6.52.9 2.9 3.12.3 3.08032.6 2.57531.8 1.74541.5 2.30140.7 1.95410.9 1.59472.1 2.8832Columns 12 through 20 5.3 2.1 2.5 1.7 2.3 1..6 1.8 1.0 1.0 6.3 2.8 2.7 1.5 2.4 2.9 0 1.3 2.0 1.2 1.9 3.1 2.5 2.0 1.4 8.5 1.2 0 2.4 0.6 2.0 6.6 1.2 2.7 1.4 1.3 2.0 1.3 0 3.1 1.9 1.8 3.3 1.1 2.2 2.6 8.0 2.5 1.9 0 1.7 3.2 6.8 3.2 0.6 1.1 3.1 1.3 1.9 2.5 0 1.7 0.1 2.3 2.0 1.4 0.5 7.9 0.0 1.7 2.9 0 1.0 5.8 1.6 3.5 1.9 1.6 2.8 1.7 0.7 2.4 0 2.7 3.3 2.4 2.1 1.2 8.1 1.4 0.4 2.5 1.8 04）进行最小距离聚类法 距离聚类法，是在原来 m×m 矩阵的非对角元素中找出 d pq ? min d ij ，把分类对象 G p 和? ?Gq 归为一类 Gr ，然后按照 d rk ? min ?d pk , dqk ? ( k ? p, q) 计算原来各类与新类之间的距离，这样就得到一个新的 (m-1)阶的距离矩阵；再从新的距离矩阵中选出最小者 d ij ，把 Gi , G j 归并成新 类；再计算各类与新类的距离，这样一直下去，直至各分类对象被归为一类为止。 && z=linkage(y) z = 14.0 8.0 5.0 22.0 21.0 23.0 && h=dendrogram(z) 0.0 0.0 0.2 h = 100.2 103.2 105.2 107.000233计量地理学第二次作业24.0 7.0 26.0 31.0 4.0 2.0 38.000013.0 28.0 30.0 9.0 34.0 36.0 37.00000.9 0.9 1.8 1.8 1.9 1.5 3.8076108.2 110.2 112.2 114.2 116.2 118.23.532.521.510.5 14 17 20 5 16 7 8 18 12 13 19 15 9 6 11 4 3 2 1 10那么，就得到了某地区某地区 20 个城市 2004 年的七项经济统计指标的系统聚类谱系图。 从图中可以看出，在不同的聚类标准（距离）下，聚类结果不同：当距离为 0 时，每个样 本为单独的一类，即 20 个城市单元各自为一类；当距离标准逐渐放大时，20 个城市单元被依 次聚类。从上图中可以看出，样本之间距离最小的 14 和 17 首先被具为一类，随之， 8 和 18， 5 和 16，也被聚为一类。如果选取聚类标准（距离）为 0.5，那么 20 个城市单元被聚为 19 类。 如果选取聚类标准（距离）为 0.75，那么 20 个城市单元被聚为 16 类。如果选取聚类标准（距 离）为 1，那么 20 个城市单元被聚为 10 类。如果进一步把聚类标准（距离）扩大到 2，则 2034计量地理学第二次作业个城市单元被聚为 3 类。继续扩大聚类标准（距离）到 3.5，则 20 个城市单元被聚为 2 类。最 终，当聚类标准（距离）扩大到 4，20 个城市单元被聚为 1 类。（2）在 MatLab 里面对 20 个城市 7 项经济指标进行主成分，并分析其综合实力 1) 计算相关系数矩阵：在式中： rij (i, j ? 1, 2,? , p ) 为原变量的xi 与 x j 之间的相关系数，其计算公式为n? ( x ? x)( yii? y)2rxy ?i ?1nn? ( xi ? x)2i ?1? ( y ? y)i i ?1由于 R 是实对称矩阵（即 rij ? rji ） ，所以只需计算上三角元素或下三角元素即可。 在 MatLab 中标准化矩阵，并且计算相关系数（bx 是第一步中标准化的矩阵） ： && fprintf('相关系数矩阵:\n') std=CORRCOEF(bx) %计算相关系数矩阵 fprintf('特征向量(vec)及特征值(val)：\n') 运行结果如下： 相关系数矩阵: std = 1.4 0.2 0.2 0.4 1.6 0.3 0.2 0.6 1.4 0.4 0.2 0.4 1.9 0.2 0.3 0.9 1.3 0.2 0.4 0.3 1.9 0.2 0.2 0.9 1.00002）计算特征值与特征向量 && fprintf('特征向量(vec)及特征值(val)：\n') [vec,val]=eig(std) newval=diag(val) ; [y,i]=sort(newval) ; %对特征根进行排序，y 为排序结果，i 为索引 fprintf('特征根排序：\n') for z=1:length(y) newy(z)=y(length(y)+1-z);35计量地理学第二次作业end fprintf('%g\n',newy) rate=y/sum(y); 运行结果如下： 特征向量(vec)及特征值(val)： vec = -0.7 0.5 -0.3 0.7548 val = 0. 0 0 0 0 特征根排序： 4.93 0....9164 3) 计算主成分贡献率及累计贡献率： 0 0. 0 0 0 0 0 0. 0 0 0 0 0 0. 0 0 0 0 0 0. 0 0 0 0 0 1. 0 0 0 0 0 4.8 0.3 -0.6 -0.8 -0.2 0.3 0.6 0.8 0.8 0.1 -0.4 -0.8 -0.1 0.7 0.0 0.3 0.8 0.1 0.5 0.5 0.1 0.4339主成分 zi 的贡献率为：?ip(i ? 1, 2,? , p )k??k ?1 i??累计贡献率为：k ?1 pi(i ? 1, 2, ?, p)36??k ?1k计量地理学第二次作业&& fprintf('\n 贡献率：\n') newrate=newy/sum(newy) 运行结果如下： 贡献率： newrate = 0.7 0.4 0.5 0.0016然后计算出累计贡献率，得到下表： 特征值及主成分贡献率 主成分 Z1 Z2 Z3 Z4 Z5 Z6 Z7 4） 计算主成分载荷：其计算公式为：特征值 4.93 0....9164贡献率/% 71.31 19.17 4.87 3.24 1.00 0.25 0.16累计贡献率/% 71.31 90.48 95.35 98.59 99.59 99.84 100.00lij? p ( zi , x j ) ? ?i eij(i , j ? 1, 2,?, p)得到各主成分的载荷以后，可主成分的得分：? z1 ? l11 x1 ? l12 x2 ? ? ? l1 p xp ? z ? l x ? l x ?? ? l x ? 2 21 1 22 2 2p p ? ???? ? ? zm ? lm1 x1 ? lm 2 x2 ? ? ? lmp xp ? ? z11 ?z ? ? 21 ? ? ? ? zn1以按进一步计算，得到各个Z&& sumrate=0; newi=[]; for k=length(y):-1:1z12 ? z1m ? z22 ? z2 m ? ? ? ? ? ? zn 2 ? znm ?37计量地理学第二次作业sumrate=sumrate+rate(k); newi(length(y)+1-k)=i(k); if sumrate&0.85 end end %记下累积贡献率大于 85%的特征值的序号放入 newi 中 fprintf('主成分数：%g\n\n',length(newi)); fprintf('主成分载荷：\n') for p=1:length(newi) for q=1:length(y) result(q,p)=sqrt(newval(newi(p)))*vec(q,newi(p)); end end %计算载荷 disp(result) 运行结果如下： 主成分数：2 主成分载荷： 0.8 0.9 0.3 0.9693 && 然后计算出各个载荷占方差的百分数，得到下表： 主成分载荷表 主成分 变量 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 Z1 0.8 0.9 0.3 0..9 -0.6 0.2 0.1043 占方差的百分数 93.59% 80.32% 91.22% 82.82% 95.37% 94.98% 95.04%-0.9 -0.6 0.2 0.10437 个变量依次是总人口、非农业人口比例、农业总产值、工业总产值、地方财政预算内收 入、城乡居民年底储蓄余额、在岗职工工资总额。从上表中可以看出，第一主成分 Z1 与 x1,x4,x5,x6,x7 呈现出较强的正相关，这几个变量综合反映了人口、财政状况，所以，可以认为 ， 第一主成分 Z1 是人口比例与财政情况关系的代表；第二主成分 Z2 与 x3 呈较强的负相关，与 x438计量地理学第二次作业呈较强的正相关，综合反映了农业工业产值的状况，在一定程度上代表了总经济产值的状况。 显然，用两个主成分替代原来的 7 个变量，描述经济统计数据，是问题进一步简单、明了。附：在 MatLab 中用主成分分析 princomp 函数直接实现 格式：PC=princomp(X) [PC,SCORE,latent,tsquare]=princomp(X) 说明：[PC,SCORE,latent,tsquare]=princomp(X)对数据矩阵 X 进行主成分分析，给出各主 成分(PC)、 所谓的 Z-得分(SCORE)、X 的方差矩阵的特征值(latent)和每个数据点的 HotellingT2 统计量(tsquare)。 && [PC,SCORE,latent,tsquare]=princomp(bx) 运行结果如下： PC = -0.5 -0.5 -0.1 -0.0 0.3 0.8 0.1 -0.8 -0.1 0.7 0.8 0.8 0.1 -0.4 -0.2 0.3 0.6 0.8 -0.3 0.6 0.8 -0.7 0.5 -0.3 0.7548SCORE = -4.3 0.0 2.6 0.3 -0.5 0.3 0.5 0.9 1.8 0.8 -2.4 1.4 -0.2 -1.5 0.4 -0.5 -1.6 0.7 -0.3 -0.9 0.2 -0.0 -1.0 -0.4 0.8 0.3 0.9 -1.2 -0.2 -0.7 0.1 -0.4 0.2 -0.8 0.9 -0.4 0.4 -0.9 0.8 0.0 -0.6 -0.5 0.0 0.3 -0.2 0.8 0.6 -0.2 0.9 -0.8 0.0 0.3 0.4 -0.8 0.3 -0.6 0.4 -0.4 0.8 0.3 0.4 -0.4 -0.839计量地理学第二次作业0.4 latent = 4.9 0.1 0.3 0.0109-1.2-0.30.30.4 tsquare =-0.40.317.1 6.8 2.4 6.7 9.7 3.5 4.5 3.2 1.1 3.7 &&（3）以第一、二、三主成分为变量，进行聚类分析。 根据 SPSS 的主成分分析运算结果（具体步骤见附）Total Variance ExplainedExtraction Sums of Squared Initial Eigenvalues % of Component 1 2 3 4 5 6 7 Total 5.000 1.343 .342 .218 .070 .018 .009 Variance 71.427 19.183 4.890 3.121 .998 .252 .130 Cumulative % 71.427 90.609 95.500 98.621 99.618 99.870 100.000 Total 5.000 1.343 .342 Loadings % of Variance 71.427 19.183 4.890 Cumulative % 71.427 90.609 95.500Rotation Sums of Squared Loadings % of Total 3.809 1.648 1.228 Variance 54.413 23.541 17.545 Cumulative % 54.413 77.955 95.500Extraction Method: Principal Component Analysis. 40计量地理学第二次作业Component Matrix(a)Component 1 VAR00001 VAR00002 VAR00003 VAR00004 VAR00005 VAR00006 VAR0 .600 .442 .908 .970 .973 .973 2 .388 -.665 .847 -.086 -.118 -.023 -.107 3 .107 .430 .233 -.245 -.165 -.010 -.066Extraction Method: Principal Component Analysis. a 3 components extracted.具体聚类方法见（1） 1）令 X 为原数据，Y 是前载荷值，得到新的数处理数据 X = 1.0e+003 * 1.2 0.9 0.1 0.2 0.1 0.0 0.0 0.0 0.6 0.4 Y =410.6 0.7 0.6 0.4 0.7 0.4 0.3 0.5 0.4 0.30.1 0.6 0.5 0.3 0.9 0.5 0.9 0.3 0.6 0.72.6 0.8 0.7 0.6 0.9 1.1 1.4 0.1 0.6 1.80.8 0.3 0.8 0.7 0.9 0.0 0.4 0.9 0.1 0.72.2 0.3 0.7 0.4 0.1 0.6 0.3 0.8 0.7 0.50.4 0.4 0.3 0.4 0.5 0.1 0.0 0.8 0.7 0.7计量地理学第二次作业0.0 0.0 0.0 0.9730 && c=X*Y c = 1.0e+003 * 6.8 2.2 0.2 2.4 2.0 2.3 2.7 1.3 0.6 2.50.0 0.0 -0.0 -0.10700.0 0.0 -0.0 -0.06600.7 0.9 0.1 0.9 0.4 0.4 0.8 0.7 0.9 0.6-0.0 -0.8 0.8 -0.4 0.1 -0.6 -0.7 -0.5 -0.3 -0.92）标准化数据 && bx=zscore(c) bx = 1.9 -0.4 -0.9 0.4 1.9 -1.3 -0.4 0.4 0.842计量地理学第二次作业-0.2 0.8 0.8 -0.2 0.8 -1.3 -0.5 -0.8 -0.0 -0.5 -0.7 -0.1 -0.1 0.7 -1.1 -0.7 0.5 0.3 -0.9 0.9 -0.5 3）计算欧氏距离，进行最小距离聚类法 && y=pdist(bx) d=squareform(y) z=linkage(y) h=dendrogram(z)43.532.521.510.501417671820815121319114516392110那么，就得到了某地区某地区 20 个城市 2004 年的三项主成分的系统聚类谱系图。 从图中可以看出， ：当距离为 0 时，每个样本为单独的一类，即 20 个城市单元各自为一类；43计量地理学第二次作业当距离标准逐渐放大时，20 个城市单元被依次聚类。从上图中可以看出，样本之间距离最小的 14 和 17 首先被具为一类，随之， 8 和 15，12 和 13，也被聚为一类。如果选取聚类标准（距 离）为 0.5，那么 20 个城市单元被聚为 8 类。如果选取聚类标准（距离）为 0.75，那么 20 个 城市单元被聚为 5 类。如果选取聚类标准（距离）为 1.25，那么 20 个城市单元被聚为 4 类 。 如果进一步把聚类标准（距离）扩大到 2，则 20 个城市单元被聚为 2 类。继续扩大聚类标准（距 离）到 3.5，则 20 个城市单元仍然被聚为 2 类。最终，当聚类标准（距离）扩大到 4，20 个城 市单元被聚为 1 类。 比较（1）与（3）的聚类方法，可以看出，聚类分析时，用主成分变量代替原来的 7 个变 量，更简单，简化了问题的复杂度。 1 、 附：用 SPSS 软件系统实现（1） （ 2） （ 3） 。 、 、 （1）试用最短距离聚类法对 20 个城市综合实力进行系统类聚分析，并划出谱系关系图。 1）导入数据44计量地理学第二次作业2）确定后结果如下：ProximitiesCase Processing Summary(a)Cases Valid N 20 a Percent 100.0% N 0 Missing Percent .0% N 20 Total Percent 100.0%Euclidean Distance used45计量地理学第二次作业ClusterProximity MatrixEuclidean Distance Case 1 1:Case 1 2:Case 2 3:Case 3 4:Case 4 5:Case 5 6:Case 6 7:Case 7 8:Case 8 9:Case 9 10:Case 10 11:Case 11 12:Case 12 13:Case 13 14:Case 14 15:Case 15 16:Case 16 17:Case 17 18:Case 18 19:Case 19 20:Case 20 .000 3.769 5.957 6.654 7.195 5.055 5.314 5.667 5.181 3.458 5.372 5.449 6.100 6.867 6.110 6.940 6.632 5.893 5.529 6.107 2 3.769 .000 3.605 3.575 4.054 1.928 2.160 2.525 2.567 5.539 1.977 2.327 3.158 3.766 3.279 3.818 3.457 2.670 2.555 3.062 3 5.957 3.605 .000 4.975 4.312 3.584 2.543 1.983 1.726 8.125 3.502 2.339 2.239 3.436 1.435 4.550 3.502 2.491 1.456 3.080 4 6.654 3.575 4.975 .000 1.661 2.057 2.688 3.020 4.016 8.598 1.899 2.976 3.448 2.522 3.816 1.400 1.982 2.553 3.764 2.575 5 7.195 4.054 4.312 1.661 .000 2.735 2.603 2.602 3.910 9.259 2.103 2.445 2.463 1.187 2.965 .724 .907 1.992 3.315 1.744 6 5.055 1.928 3.584 2.057 2.735 .000 1.358 1.834 2.302 7.199 1.223 2.013 2.823 2.785 2.862 2.619 2.282 1.791 2.423 2.300 7 5.314 2.160 2.543 2.688 2.603 1.358 .000 .938 1.695 7.382 1.281 1.193 1.845 2.333 1.674 2.552 1.998 .962 1.267 1.954 8 5.667 2.525 1.983 3.020 2.602 1.834 .938 .000 1.397 7.841 1.654 .971 1.416 1.992 1.133 2.765 1.803 .662 .917 1.594 9 5.181 2.567 1.726 4.016 3.910 2.302 1.695 1.397 .000 7.425 2.647 2.126 2.593 3.351 1.939 4.035 3.145 2.026 1.260 2.882 10 3.458 5.539 8.125 8.598 9.259 7.199 7.382 7.841 7.425 .000 7.276 7.549 8.163 9.004 8.247 8.840 8.778 8.005 7.515 8.300 11 5.372 1.977 3.502 1.899 2.103 1.223 1.281 1.654 2.647 7.276 .000 1.390 2.102 2.063 2.471 1.870 1.645 1.299 2.186 1.649 12 5.449 2.327 2.339 2.976 2.445 2.013 1.193 .971 2.126 7.549 1.390 .000 .915 1.761 1.312 2.508 1.659 .838 1.332 1.192 13 6.100 3.158 2.239 3.448 2.463 2.823 1.845 1.416 2.593 8.163 2.102 .915 .000 1.515 1.005 2.650 1.714 1.206 1.585 1.263 14 6.867 3.766 3.436 2.522 1.187 2.785 2.333 1.992 3.351 9.004 2.063 1.761 1.515 .000 2.133 1.650 .598 1.450 2.644 .882 15 6.110 3.279 1.435 3.816 2.965 2.862 1.674 1.133 1.939 8.247 2.471 1.312 1.005 2.133 .000 3.187 2.215 1.311 .992 1.938 16 6.940 3.818 4.550 1.400 .724 2.619 2.552 2.765 4.035 8.840 1.870 2.508 2.650 1.650 3.187 .000 1.313 2.133 3.397 2.023 17 6.632 3.457 3.502 1.982 .907 2.282 1.998 1.803 3.145 8.778 1.645 1.659 1.714 .598 2.215 1.313 .000 1.222 2.557 .916 18 5.893 2.670 2.491 2.553 1.992 1.791 .962 .662 2.026 8.005 1.299 .838 1.206 1.450 1.311 2.133 1.222 .000 1.364 1.168 19 5.529 2.555 1.456 3.764 3.315 2.423 1.267 .917 1.260 7.515 2.186 1.332 1.585 2.644 .992 3.397 2.557 1.364 .000 2.271 20 6.107 3.062 3.080 2.575 1.744 2.300 1.954 1.594 2.882 8.300 1.649 1.192 1.263 .882 1.938 2.023 .916 1.168 2.271 .000This is a dissimilarity matrix461:Case 110:Case 102:Case 23:Case 34:Case 45:Case 516:Case 1614:Case 1417:Case 17Vertical Icicle20:Case 207:Case 78:Case 818:Case 1812:Case 1213:Case 1319:Case 1915:Case 159:Case 9计量地理学第二次作业6:Case 6Case11:Case 11 Number of clusters 1101112131415161718192345678947计量地理学第二次作业Single LinkageAgglomeration Schedule Cluster Combined Stage Cluster 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14 8 5 8 14 5 8 8 7 7 5 6 5 5 4 3 2 1 1 Cluster 2 17 18 16 12 20 14 13 19 8 15 7 11 9 6 5 4 3 10 2 .598 .662 .724 .838 .882 .907 .915 .917 .938 .992 1.168 1.223 1.260 1.281 1.400 1.435 1.928 3.458 3.769 Coefficients Stage Cluster First Appears Cluster 1 0 0 0 2 1 3 4 7 0 9 6 0 11 13 0 0 0 0 18 Cluster 2 0 0 0 0 0 5 0 0 8 0 10 0 0 12 14 15 16 0 17 5 4 6 7 6 11 8 9 10 11 13 14 14 15 16 17 19 19 0 Next StageDendrogram48计量地理学第二次作业（2）试用主程序分析法对 20 个城市 7 项经济指标进行主成分分析，并分析其综合实力 。49计量地理学第二次作业Factor AnalysisCommunalitiesInitial VAR00001 VAR00002 VAR00003 VAR00004 VAR00005 VAR00006 VAR 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000Extraction .946 .988 .966 .892 .982 .948 .962Extraction Method: Principal Component Analysis. Total Variance ExplainedExtraction Sums of Squared Initial Eigenvalues % of Component 1 2 3 4 5 6 7 Total 5.000 1.343 .342 .218 .070 .018 .009 Variance 71.427 19.183 4.890 3.121 .998 .252 .130 Cumulative % 71.427 90.609 95.500 98.621 99.618 99.870 100.000 Total 5.000 1.343 .342 Loadings % of Variance 71.427 19.183 4.890 Cumulative % 71.427 90.609 95.500Rotation Sums of Squared Loadings % of Total 3.809 1.648 1.228 Variance 54.413 23.541 17.545 Cumulative % 54.413 77.955 95.500Extraction Method: Principal Component Analysis.Component Matrix(a)Component 1 VAR00001 VAR00002 VAR0 .600 .442 2 .388 -.665 .847 3 .107 .430 .23350计量地理学第二次作业VAR00004 VAR00005 VAR00006 VAR00007.908 .970 .973 .973-.086 -.118 -.023 -.107-.245 -.165 -.010 -.066Extraction Method: Principal Component Analysis.Rotated Component Matrix(a)Component Transformation MatrixComponent 1 2 31 .861 -.122 -.4942 .370 .817 .4433 .349 -.564 .748Extraction Method: Principal Component Analysis. Rotation Method: Varimax with Kaiser Normalization.Component Score Covariance MatrixComponent 1 2 31 1.000 .000 .0002 .000 1.000 .0003 .000 .000 1.000Extraction Method: Principal Component Analysis. Rotation Method: Varimax with Kaiser Normalization. Component Scores.Component 1 VAR00001 VAR00002 VAR00003 VAR00004 VAR00005 VAR00006 VAR0 .386 .162 .913 .931 .846 .883 2 .692 -.130 .958 .157 .190 .337 .244 3 .170 .907 -.149 .182 .282 .345 .35151计量地理学第二次作业Extraction Method: Principal Component Analysis. Rotation Method: Varimax with Kaiser Normalization. a Rotation converged in 5 iterations.Component Score Coefficient MatrixComponent 1 VAR00001 VAR00002 VAR00003 VAR00004 VAR00005 VAR00006 VAR00007 -.037 -.457 -.337 .518 .415 .184 .272 2 .440 .197 .848 -.302 -.213 .046 -.078 3 .132 1.262 .184 -.436 -.242 .056 -.031Extraction Method: Principal Component Analysis. Rotation Method: Varimax with Kaiser Normalization. Component Scores.（3）以第一、二、三主成分为变量，进行聚类分析具体参见 SPSS（1）中的聚类分析步骤Single LinkageAgglomeration ScheduleStage Cluster First Cluster Combined Stage 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Cluster 1 14 8 5 8 14 5 8 8 7 7 5 6 5 5 4 Cluster 2 17 18 16 12 20 14 13 19 8 15 7 11 9 6 5 Coefficients .598 .662 .724 .838 .882 .907 .915 .917 .938 .992 1.168 1.223 1.260 1.281 1.400 Appears Cluster 1 0 0 0 2 1 3 4 7 0 9 6 0 11 13 0 Cluster 2 0 0 0 0 0 5 0 0 8 0 10 0 0 12 14 Next Stage 5 4 6 7 6 11 8 9 10 11 13 14 14 15 1652计量地理学第二次作业16 17 18 193 2 1 14 3 10 21.435 1.928 3.458 3.7690 0 0 1815 16 0 1717 19 19 017.A、B、C 三个地区生产的某种农产品，在某城市的当年市场占有率分别为 40%、30%、 30%，且已经知道状态转移概率矩阵为：P? 0.45 0.35 0.20 ? ? ? ? ? 0.40 0.40 0.30 ? ? 0.80 0.10 0.10 ? ? ?改为 0.40 50.400.20试求两年后 A、B、C 三个地区生产的某种农产品在某城市市场占有率及最终占有率 。53计量地理学第二次作业解： 采用马尔可夫（Markov）预测法。由题中可知，事件在 0 时刻的初始状态已知，记为π(0)=(0.4,0.3,0.3),那么，将 状态转移矩阵以及π(0)代入递推公式，就可以得到相应的预测值。?? (1) ? ? (0) p ? 2 ?? (2) ? ? (1) p ? ? (0) p ? ????? ?? ( k ) ? ? ( k ? 1) p ? ? ? ? (0) p k ?所以? 0.45 0.35 0.20 ? ? ? ? (1) ? ? (0) p =(0.4,0.3,0.3)× ? 0.40 0.40 0.20 ? =（0.0，0.1700） ? 0.80 0.10 0.10 ? ? ? ? 0.45 0.35 0.20 ? ? ? ? 0.40 0.40 0.20 ? ? 0.80 0.10 0.10 ? ? ?? (2) ? ? (1) p ? ? (0) p2=(0.4,0.3,0.3)××? 0.45 0.35 0.20 ? ? ? ? 0.40 0.40 0.20 ? ? 0.80 0.10 0.10 ? ? ?=（0.0，0.1830）得到下表： A、B、C 三种农产品市场占有率预测值 年份 产品 市场占有率 今年 A B C 40% 30% 30% A 54% 明年 B 29% C 17% A 49.5% 后年 B 32.2% C 18.30%终极状态应该满足的条件为：(1)? ? ? p(2)0 ? ? i ? 1n(i ? 1, 2, ? n)(3)? ? i ? 1i ?1设终极状态为π=(π1, π2, π3)，则? 0.45 0.35 0.20 ? ? ? (? 1 ,? 2 ,? 3 ) ? (? 1 ,? 2 ,? 3 ) ? 0.40 0.40 0.20 ? ? 0.80 0.10 0.10 ? ? ?54计量地理学第二次作业?? 1 ? 0.45? 1 ? 0.40? 2 ? 0.80? 3 ? ?? 2 ? 0.35? 1 ? 0.40? 2 ? 0.10? 3 ?? ? 0.20? ? 0.20? ? 0.10? ? 3 1 2 3令π1+π2+π3=1，求解方程组得：π1=0.4976, π2=0.3206, π3=0.1818。这就是 说，该城市农产品在市场占有率变化过程，在无穷多次状态转移后，各种产品的市场占 有率为 49.76%，32.06%，18.18%。 18.下表给出了某大城市 24 个空间单元的人口密度与地理坐标的采样数据， 试拟合一个 趋势面模型,模拟该城市人口分布规律，并对模型拟合效果进行检验。 习题 3.18 表 空间单元序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 人口密度/人 km-2 39 60 34 76 16 81 62 71 千米网坐标 x/m 7.82 2.75 5.16 9.76 2.21 3.07 7.76 8.13 5.84 6.42 3.81 6.63 千米网坐标 y/m 0.77 5.98 6.62 1.54 1.05 4.01 6.17 7.78 8.63 6.64 8.53 3.7解： 首先统一千米网坐标的单位，得到下表：55计量地理学第二次作业空间单元序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24人口密度/人 km-2 39 60 34 76 16 81 62 71千米网坐标 x/km 5.82 1.75 5.16 2.76 3.21 4.07 1.76 1.13 3.84 2.42 4.81 2.63千米网坐标 y/km 2.77 2.98 1.62 2.54 2.05 2.01 2.17 2.78 2.63 2.64 2.53 2.7（1）建立趋势面模型 ①二次趋势面模型 根据趋势分析原理，运用最小二乘法求得二次多项式趋势面，其拟合方程为：z ? ?9849.3 ? 2307.8x ? 17307y ? 56.372x 2 ? 896.28xy ? 在 Matlab 中输入： [x,y]=meshgrid(0:0.25:4); 2307.8*x+17307*y+56.372*x.^2+896.28*x.*y-5132.5*y.^2; surface(x,y,z) 从而得到该二次多项式的图形，见图 18（1） 。 ②三次趋势面模型 根据趋势分析原理，运用最小二乘法求得三次多项式趋势面，其拟合方程为： z=-9849.3-z ? ?2143.6 ? 49606x ? 110330y ?
? 26943xy ? 8.162 x 3 ? 2200 yx 2 ? 2130.1xy 2 ? 14940y 3在 Matlab 中输入：56计量地理学第二次作业[x,y]=meshgrid(0:0.25:4); 49606*x+110330*y+5099.3*x.^2+26943*x.*y-81902*y.^2-30.162*x.^32200*y.*x.^2-2130.1*x.*y.^2+14940*y.^3; surface(x,y,z) 从而得到该三次多项式的图形，见图 18（2） 。z=-2143.6-x 10 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 444 3.5 3 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5图 18（1）该城市人口分布律的二次多项式趋势面x 10 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 454 3.5 3 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5图 18（2）该城市人口分布律的三次多项式趋势面57计量地理学第二次作业（2）模型检验 ① 趋势面拟合适度 R 2 检验 总离差平方和等于回归平方和与剩余平方和之和：n n i ?1SST? ? ? ? ? zi ? zi ? ? ? ? zi ? z ? ? SS D ? SS Ri ?122其中： SS D 为剩余平方和， SS R 为回归平方和。R ? SS SS2R T? 1 ? SS DSST记2 根据 R 2 检验方法计算，结果表明，二次趋势面的判定系数 R2 =0.，三次趋势面的判定系数 R32 =0.。可见二次趋势面回归模型和三次趋势面回归模型 的显著性都较低，但是三次趋势面相对于二次趋势面有更高的拟合程度。 ② 趋势面适度的显著性 F 检验 趋势面适度的 F 检验，是对趋势面回归模型整体的显著性检验。 SS p F ? SSD (nR? p ? 1) 二次趋势面与三次趋势面的 F 值分别为 F2 =0. 和 F3 =0.。在置信水 平 ? =0.05 下，查 F 分布表得 F2? = F0.05 （5，18）=2.77 ， F3? = F0.05 （9，14）=2.65。显然 F2 & F2? , F3 & F3? ,所以二次趋势面的回归方程与三次趋势面的回归方程都不显著。③ 趋势面适度的逐次检验 在二次和三次趋势面检验中，对两个阶次趋势面模型的适度进行比较，相应的方 差结果见下表。 二次和三次趋势面回归模型的逐次检验方差分析表 离差来源 三次回归 三次剩余 二次回归 二次剩余 平方和
自由度 9 24-9-1 5 24-5-1 均方差 1 4 1 1 F 检验 0..58计量地理学第二次作业由二次增高至 三次的回归490.从二次趋势面增加至三次趋势面， F3?2 =0.。在置信水平 ? =0.05 下，查 F 分布表得 F0.05 （4,14）=3.11，由于 F3?2 & F0.05 （4,14） 故 将 趋势面拟合次数由二次增 ， 高到三次，对回归方程并无贡献。 另外，拟合成四次、五次的趋势面仍然不显著，也就是说，题中的人口密度与千米 网坐标数据不具有稳定的相关性，拟合的趋势面也就不显著。59是一个在线免费学习平台、通过收集整理大量专业知识，职业资料、考试资料,考试复习指导,试题资料等给大家分享;同时提供学习互动交流;更好的帮助大家学习。}