到底什么是量子力学学：对于处在电场中的自由电子的本征能量和本征波函数是多少？
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时间：2014-12-21 05:26
量子力学：对于处在电场中的自由电子的本征能量和本征波函数是多少?_百度作业帮
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量子力学：对于处在电场中的自由电子的本征能量和本征波函数是多少?
量子力学：对于处在电场中的自由电子的本征能量和本征波函数是多少?
亲,您真是学傻了.处在电场中的粒子,受到电场的作用,怎么能叫做自由粒子呢~电子在电场中如果形成束缚态,本征能量则是分立的.把电子的电场能表示出来,代到薛定谔方程里面的U（x）,求解能量本征方程,求出的一系列本征方程解就是它的本征函数.相应本征值就是它可能的能级.第三方登录：《量子力学教程》 习题解答1 目录? ? ? ? ? ? ? 第一章 绪论 第二章 波函数和薛定谔方程 第三章 力学量的算符表示 第四章 态和力学量的表象 第五章 微扰理论 第六章 弹性散射 第七章 自旋和全同粒子2 第一章 绪论1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律： ?
mT ? b, 证明：由普朗克黑体辐射公式：b ? 2.9 ?10?3 m?0 C 。8?h? 3 ?? d? ? 3 c及? ?1 eh? kTd? ， ?1c c 、 d ? ? ? 2 d? 得 ? ??? ?令x?8?hc ?51 ehc ?kT，?1d? hc ，再由 ? ? 0 ，得 ? .所满足的超越方程为 ?kT d?xe x 5? x e ?1用图解法求得 x ? 4.97 ，即得hc ? 4.97 ，将数据代入求得 ?mT ? b, b ? 2.9 ?10?3 m?0 C ?m kT3 1.2．在 0K 附近，钠的价电子能量约为 3eV,求 de Broglie 波长. 解： ? ? # 1.3. 氦原子的动能为 E ? 解： ? ?0 h h ? ? 7.09?10?10 m ? 7.09A p 2m E3 kT ，求 T ? 1K 时氦原子的 de Broglie 波长。 20 h h h ? ? ? 12.63?10?10 m ? 12.63A p 2m E 3m kT其中 m ? 4.003?1.66?10?27 kg ， k ? 1.38?10?23 J ? K ?1 # 1.4 利用玻尔―索末菲量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量。 （2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。 已知外磁场 B ? 10T ，玻尔磁子 ?B ? 0.923?10?23 J ? T ?1 ，求动能的量子化间隔 ? E ，并与 T ? 4K 及T ? 100 K 的热运动能量相比较。p2 1 2 2 解：（1）方法 1：谐振子的能量 E ? ? ?? q 2? 24 可以化为? 2?E ?p22?q2 ? 2E ? ? ?? 2 ? ? ? ? ?2?1的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为 a ? 2?E , b ?2E ，相空间面积为 ?? 2? pdq ? ?ab ?2?E E ? ? nh, n ? 0,1,2,? ? ?所以，能量 E ? nh? , n ? 0,1,2,? 方法 2：一维谐振子的运动方程为 q?? ? ? 2 q ? 0 ，其解为q ? A sin??t ? ? ?速度为 q? ? A? c o ??t ? ? ?，动量为 p ? ?q? ? A?? cos??t ? ? ? ，则相积分为 sA2 ?? 2 T A2 ?? 2T ? pdq ? A ?? ?0 cos ??t ? ? ?dt ? 2 ?0 (1 ? cos??t ? ? ?)dt ? 2 ? nh ， n ? 0,1,2,?2 2 T 2A2 ?? 2 nh E? ? ? nh? ， n ? 0,1,2,? 2 T5 ?v 2 ?v （2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。由 evB ? ，得 R ? eB RB 再由量子化条件 pdq ? nh,n ? 1,2,3,? ， ? , p? ? ?Rv ? ?R ? ? eR 分别表示广义坐标和相应的 以2 2??广义动量，所以相积分为p? d? ? ? p? d? ? 2??Rv ? 2?eBR2 ? nh ， n ? 1,2,? ，由此得半径为 R ? ?02?n? ， n ? 1,2,? 。 eB1 2 1 ? eBR ? 1 2 2 n? ? ? e B ? n? B B 电子的动能为 E ? ?v ? ? ? 2 2 ? ? ? 2? eB ? ?动能间隔为 ?E ? ?B B ? 9 ?10 J 热运动能量（因是平面运动，两个自由度）为 E ? kT ，所以当 T ? 4K 时， E ? 4.52 ? 10 J ；当?232?23T ? 100 K 时， E ? 1.38?10?21 J 。6 1.5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两个光子的能量相等，问要实现这种转化，光子 波长最大是多少？ 解：转化条件为 h? ? ?ec 2 ，其中 ?e 为电子的静止质量，而? ?c h ，所以 ? ? ，即有 ? ?ec0 h 6.626?10?34 ?max ? ? ?c ? ? 0.024A （电子的康普顿波长）。 ?e c 9.1?10?31 ? 3 ?1087 第二章 波函数和薛定谔方程2.1.证明在定态中，几率流与时间无关。 证：对于定态，可令? ? ? ( r ，t ) ? ? ( r )f ( t ) ? ? Et ? ? ( r )e ? ? i? J? (??? * ?? *?? ) 2m i i i i ? Et ? ? ? Et ? ? ? Et * ? ? ? Et i? * ? ? ? [? ( r )e ?（? ( r )e ） ? ? ( r )e ?（? ( r )e ） ] 2m ? ? ? ? i? ? [? ( r )?? * ( r ) ? ? * ( r )?? ( r )] 2m可见 J与t 无关。i?8 2.2由下列定态波函数计算几率流密度：(1)? 1 ?1 ik r e r( 2)? 2 ?1 ?i k r e r从所得结果说明? 1 表示向外传播的球面波，? 2 表示向内(即向原点) 传播的球面波。 解： J1和J 2只有r分量 在球坐标中??? ? ? 1 ? ? 1 ? ? ? r0 ? e? ? e? ?r r ?? r s i n ?? ?(1)? ? J1与r 同向。表示向外传播的球面波。? i? * * J1 ? (? 1?? 1 ?? 1 ?? 1 ) 2m i? 1 ikr ? 1 ?ikr 1 ?ikr ? 1 ikr ? ? [ e ( e )? e ( e )]r0 2m r ?r r r ?r r i? 1 1 1 1 1 1 ? ? [ (? 2 ? ik ) ? (? 2 ? ik )]r0 2m r r r r r r ?k ? ?k ? ? 2 r0 ? 3 r mr mr9 (2)? i? * * J 2 ? (? 2?? 2 ?? 2 ?? ) 2m ? i? 1 ? 1 1 ? 1 ? [ e ?ikr ( eikr ) ? eikr ( e ?ikr )]r0 2m r ?r r r ?r r i? 1 1 1 1 1 1 ? ? [ (? 2 ? ik ) ? (? 2 ? ik )]r0 2m r r r r r r ?k ? ?k ? ? ? 2 r0 ? ? 3 r mr mr? ? 可见， J 2与r 反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。补充：设? ( x) ? e ikx ，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？? ? *?dx ? dx ? ?? ???∴波函数不能按??? ( x) dx ? 1 方式归一化。2其相对位置几率分布函数为? ? ? ? 1 表示粒子在空间各处出现的几率相同。210 2.3一粒子在一维势场??，x ? 0 ? U ( x) ? ?0， 0 ? x ? a ??，x ? a ?中运动，求粒子的能级和对应的波函数。 解： U ( x)与t 无关，是定态问题。其定态 S―方程?2 d 2 ? ? ( x) ? U ( x)? ( x) ? E? ( x) 2m dx2在各区域的具体形式为 Ⅰ： x ? 0?2 d 2 ? ? 1 ( x) ? U ( x)? 1 ( x) ? E? 1 ( x) 2m dx2①?2 d 2 ? 2 ( x) ? E? 2 ( x) Ⅱ： 0 ? x ? a ? 2m dx2②11 Ⅲ： x ? a?2 d 2 ? ? 3 ( x) ? U ( x)? 3 ( x) ? E? 3 ( x) 2m dx2③由于(1)、(3)方程中，由于U (x) ? ? ，要等式成立，必须? 1 ( x) ? 0? 2 ( x) ? 0即粒子不能运动到势阱以外的地方去。d 2? 2 ( x) 2m E ? 2 ? 2 ( x) ? 0 方程(2)可变为 dx2 ?令k ?22mE ，得 ?2d 2? 2 ( x) 2 ? k ? 2 ( x) ? 0 dx2其解为? 2 ( x) ? A sin kx ? B coskx④12 根据波函数的标准条件确定系数 A，B，由连续性条件，得? 2 (0) ? ? 1 (0)? 2 ( a ) ? ? 3 ( a)⑤ ⑥ ⑥⑤?B?0 ? A sin ka ? 0?A?0 ?s i n ? 0 ka ? ka ? n?(n ? 1, 2, 3,?)∴? 2 ( x) ? A sinn? x a由归一化条件?得?? ( x) dx ? 12A2?a 2 sin0n? xdx 1 ? a由?absinm? n? a x ? sin xdx ? ? mn a a 213 ? A?2 a 2 n? sin x a a?? 2 ( x) ??k2 ?2mE ?2? 2? 2 2 ? En ? 2 n 2ma(n ? 1,2,3,?) 可见 E 是量子化的。对应于 En 的归一化的定态波函数为? 2 n? ? ?i Ent ? sin xe , 0 ? x ? a ? n ( x, t ) ? ? a a ? 0, x ? a, x ? a ?14 2.4. 证明（2.6-14）式中的归一化常数是 A? ?1 an? ? ? A? sin ( x ? a), x ? a 证： ? n ? ? a ? 0, x ?a ?由归一化，得1 ? ? ? n dx ? ? A? 2 sin 22 ? ?aan? ( x ? a)dx a? A? 2 ?1 n? [1 ? cos ( x ? a)]dx ?a 2 aa aA? 2 A? 2 a n? ? x ? cos ( x ? a)dx 2 ?a 2 ??a a A? 2 a n? ? A? a ? ? sin ( x ? a) 2 n? a ?aa 2? A? 2 a∴归一化常数 A? ?1 a15 2.5求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。? ? ? 解：? ( x) ? ? 2?xe 2 2 ? 122 2x?1 ( x) ? ? 1 ( x) ? 4? 2 ?? 2? 3? ? x 2 e ?? 2 ?2 2x?? x 2 e ??2 2x2 2 d?1 ( x) 2? 3 ? [2 x ? 2? 2 x 3 ]e ?? x dx ?令d?1 ( x) ? 0 ，得 dxx?0x??1?x ? ??x 由 ?1 ( x) 的表达式可知， x ? 0， ? ?? 时， ?1 ( x) ? 0 。显然不是最大几率的位置。2 2 d 2?1 ( x) 2? 3 而 ? [(2 ? 6? 2 x 2 ) ? 2? 2 x(2 x ? 2? 2 x 3 )]e ?? x dx2 ? 2 2 4? 3 ? [(1 ? 5? 2 x 2 ? 2? 4 x 4 )]e ?? x ?d 2?1 ( x) dx2#x ??1 24? 3 1 1 ? ? ?2 ? 0 ， 可见 x ? ? ? ? 是所求几率最大的位置。 ? ?? ? e16 2.6在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：U (? x) ? U ( x) ，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。 证：在一维势场中运动的粒子的定态 S-方程为?2 d 2 ? ? ( x) ? U ( x)? ( x) ? E? ( x) 2? dx2将式中的 x以(? x) 代换，得 利用 U (? x) ? U ( x) ，得①??2 d 2 ? (? x) ? U (? x)? (? x) ? E? (? x) 2? dx2 ?2 d 2 ? ? (? x) ? U ( x)? (? x) ? E? (? x) 2? dx2②③比较①、③式可知，? (? x)和? ( x) 都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。由于它们描写 的是同一个状态，因此? (? x)和? ( x) 之间只能相差一个常数 c 。方程①、③可相互进行空间反演( x ? ? x) 而得其对方，由①经 x ? ?x 反演，可得③，? ? (? x) ? c? ( x)由③再经 ? x ? x 反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。 ④? ? ( x) ? c? (? x)④乘 ⑤，得⑤? (x)? (?x) ? c 2? (x)? (?x) ， 可见， c 2 ? 1 ，所以 c ? ?1当 c ? ?1 时， ? (? x ) ? ? ( x ) ， ? ? (x) 具有偶宇称， 当 c ? ?1 时， ? (? x) ? ?? ( x) ， ? ? (x) 具有奇宇称， 当势场满足 U (? x) ? U ( x) 时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。17 2.7 一粒子在一维势阱中?U 0 ? 0, ? U ( x) ? ? ? 0, ?x ?a x ?a运动，求束缚态( 0 ? E ? U 0 )的能级所满足的方程。 解：粒子所满足的 S-方程为?2 d 2 ? ? ( x) ? U ( x)? ( x) ? E? ( x) 2? dx2按势能U (x) 的形式分区域的具体形式为?2 d2 Ⅰ： ? ? 1 (x) ? U 0? 1 (x) ? E? 1 (x) 2? dx 2 ?2 d 2 Ⅱ： ? ? ( x) ? E? 2 ( x) 2 2 2? dx ?2 d2 Ⅲ： ? ? 3 (x) ? U 0? 3 (x) ? E? 3 (x) 2? dx 2?? ? x ? a?a ? x?a①②a? x??③18 整理后，得? Ⅰ： ? 1? ?? Ⅱ：. ? 2? ?2? (U 0 ? E ) ?1 ? 0 ?2④2? E ?2 ? 0 ?2⑥⑤? Ⅲ： ? 3? ?令 k1 ?22? (U 0 ? E ) ?3 ? 0 ?2 k 22 ? 2?E ?22? (U 0 ? E ) ?2则 Ⅰ： Ⅱ：.? 1?? ? k12? 1 ? 0? ? 2? ? k22? 2 ? 0⑦ ⑧ ⑨? Ⅲ： ? 3? ? k12? 1 ? 0各方程的解为? 1 ? Ae? k1x ? Be k1x ? 2 ? C sin k 2 x ? D cosk 2 x ? 3 ? Ee? k1x ? Fe ?k1x19 由波函数的有限性，有? 1 (??)有限 ? 3 (?)有限因此? A?0 ?E?0? 1 ? Be k x1? 3 ? Fe ?k x1由波函数的连续性，有? 1 (?a ) ? ? 2 (?a ), ? Be ? k a ? ?C sin k 2 a ? D cos k 2 a1(10) (11) (12)1? ? 1? (?a ) ? ? 2 (?a ), ? k 1Be ?k a ? k 2 C cos k 2 a ? k 2 D sin k 2 a1? 2 (a ) ? ? 3 (a ), ? C sin k 2 a ? D cos k 2 a ? Fe ?k a1? ? ? 2 (a ) ? ? 3 (a ), ? k 2 C cos k 2 a ? k 2 D sin k 2 a ? ?k 1Fe ?k a整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程组，得(13)e ? k1a B ? sin k 2 aC ? cosk 2 aD ? 0 ? 0 k 1e ?k1a B ? k 2 cosk 2 aC ? k 2 sin k 2 a D ? 0 ? 0 0 ? sin k 2 aC ? cosk 2 aD ? e ?k1a F ? 0 0 ? k 2 cosk 2 aC ? k 2 sin k 2 aD ? k 1e ?k1a F ? 020 解此方程即可得出 B、C、D、F，进而得出波函数的具体形式，要方程组有非零解，必须e ? k1a k 1e ? k1a 0 0sin k 2 a ? cos k 2 a ? k 2 cos k 2 a ? k 2 sin k 2 a sin k 2 a k 2 cos k 2 a cos k 2 a0 0 e ? k1a?0? k 2 sin k 2 a k 1 Be ? k1a? k 2 cos k 2 a ? k 2 sin k 2 a 0 ? e ? k1a sin k 2 a k 2 cos k 2 a sin k 2 a ? k 1e ? k1a sin k 2 a0cos k 2 a ? e ?k1a ? ? k 2 sin k 2 a k 1e ? k1a ? cos k 2 a cos k 2 a 0 ? e ?k1a ?k 2 cos k 2 a ? k 2 sin k 2 a k 1e ?k1a ? e ? k1a [?k 1 k 2 e ? k1a cos2 k 2 a ? k 2 e ?k1a sin k 2 a cos k 2 a ? 2 ? k 1 k 2 e ? k1a sin 2 k 2 a ? k 2 e ? k1a sin k 2 a cos k 2 a ] ? 2 ? k 1e ? k1a [k 1e ? k1a sin k 2 a cos k 2 a ? k 2 e ?k1a cos2 k 2 a ? ? k 1e ? k1a sin k 2 a cos k 2 a ? k 2 e ? k1a sin 2 k 2 a ] ? e ? 2 k1a [?2k 1 k 2 cos 2k 2 a ? k 2 sin 2k 2 a ? k 1 sin 2k 2 a ] 22 2 ? e ? 2 k1a [(k 2 ? k 1 ) s i n k 2 a ? 2k 1 k 2 c o 2k 2 a ] 2 s 2∵ e2?2 k1a?0∴ (k 2 ? k1 ) sin 2k 2 a ? 2k1k 2 cos2k 2 a ? 02即2 (k 2 ? k12 )tg 2k 2 a ? 2k1k 2 ? 0 为所求束缚态能级所满足的方程。21 方法二：接（13）式? C sin k 2 a ? D cosk 2 a ?k2 k C cosk 2 a ? 2 D sin k 2 a k1 k1 k2 k C cosk 2 a ? 2 D sin k 2 a k1 k1C sin k 2 a ? D cosk 2 a ? ?k2 k2 cos k 2 a ? sink 2 a sink 2 a ? cos k 2 a k1 k1 ?0 k2 k2 cos k 2 a ? sink 2 a ? ( sink 2 a ? cos k 2 a ) k1 k1 ?( ?( k2 k cos k 2 a ? sink 2 a )( 2 sink 2 a ? cos k 2 a ) k1 k1 k2 k cos k 2 a ? sink 2 a )( 2 sink 2 a ? cos k 2 a ) ? 0 k1 k1 k2 k cos k 2 a ? sink 2 a )( 2 sink 2 a ? cos k 2 a ) ? 0 k1 k1(k 22 k k sink 2 a cos k 2 a ? 2 sin2 k 2 a ? 2 cos2 k 2 a ? sink 2 a cos k 2 a ? 0 k1 k1 k12 k 22 2k ( ?1 ? 2 ) sin2k 2 a ? 2 cos 2k 2 a ? 0 k1 k1 ( k 22 ? k12 ) sin2k 2 a ? 2k 1 k 2 cos 2k 2 a ? 022 另一解法： (11)-(13) ? 2k2 D sink2 a ? k1e ? k1a ( B ? F ) (10)+(12) ? 2D cosk 2 a ? e ?k1a (B ? F)(11) ? (13) ? k 2 tgk 2 a ? k 1 (10) ? (12)(11)+(13) ? 2k2C cosk2 a ? ?k1 (F ? B)e ? ik1a (12)-(10) ? 2C sin k 2 a ? (F ? B)e ?ik1a(a )(11) ? (13 ) ? k 2 ctgk 2a ? ? k1 (12) ? (10 )令（b）? ? k 2 a，? ? k 2 a，则? tg? ? ? ? ctg? ? ??2 2 1 2 2(c) (d )或22?U 0 a 2 ? ? ? ? (k ? k ) ? ?2合并 (a )、 ) ： (b(f )tg 2k 2 a ?2k1 k 2 k 22 ? k12利用 tg2k 2 a ?2tgk2 a 1 ? tg2 k 2 a23 2-7 一粒子在一维势阱?U 0 ? 0, x ? a U ( x) ? ? ? 0, x ? a中运动，求束缚态 (0 ? E ? U 0 ) 的能级所满足的方程。 解：（最简方法-平移坐标轴法）?2 ? Ⅰ： ? ? 1? ? U 0? 1 ? E? 1 2? ?2 ? Ⅱ： ? ? 2? ? E? 2 2? ?2 ? Ⅲ： ? ? 3? ? U 0? 3 ? E? 3 2?2 ? (U 0 ? E ) ? ? ?1 ? 0 ?? 1? ? ?2 ? 2 ?E ? ? ? ?? 2? ? 2 ? 2 ? 0 ? ? ? 2 ? (U 0 ? E ) ? ?3 ? 0 ?? 3? ? ?2 ?2 ?? 1?? ? k 1? 1 ? 0 (1) ? 2 ? ?? 2? ? k 2? 2 ? 0 (2) ? ?? 2 ?? 3 ? k 1? 3 ? 0 (3)（χ ≤0）（0＜χ ＜2 a ）（χ ≥2 a ）2 k 1 ? 2? ( U 0 ? E) ? 2k 2 ? 2?E ? 2 2束缚态 0 ＜ E ＜ U 024 ? 1 ? Ae ? k1 x ? Be ? k1 x ? 2 ? C sink 2 x ? D cos k 2 x ? 3 ? Ee ? k1 x ? Fe ? k1 x? 1 (??)有限 ? 3 (?)有限因此?B?0 ?E?0?? 1 ? Ae k1 x? 3 ? Fe ? k1 x由波函数的连续性，有? 1 (0) ? ? 2 (0), ? A ? D ? ? 1? (0) ? ? 2 (0), ? k 1A ? k 2 C? ? ? 2 (2a ) ? ? 3 (2a ), ? k 2 C cos 2k 2 a ? k 2 D sin 2k 2 a ? ?k 1Fe ?2 k1a(4) (5) (6) (7 )? 2 (2a ) ? ? 3 (2a ), ? C sin 2k 2 a ? D cos 2k 2 a ? Fe ?2 k1a(7)代入(6) 利用(4)、(5)，得C sin2k 2 a ? D cos2k 2 a ? ?k2 k C cos2k 2 a ? 2 D sin2k 2 a k1 k125 k1 k A sin 2k 2 a ? A cos 2k 2 a ? ?A cos 2k 2 a ? 2 D sin 2k 2 a k2 k1 A[( k1 k 2 ? ) sin 2k 2 a ? 2 cos 2k 2 a ] ? 0 k 2 k1?A ? 0 k1 k 2 ? ( ? ) sin 2k 2 a ? 2 cos 2k 2 a ? 0 k 2 k1 两边乘上(?k 1 k 2 )即得2 (k 2 ? k 1 ) sin 2k 2 a ? 2k 1 k 2 cos 2k 2 a ? 0 226 2.8 分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为x?0 ， ??, ?U , 0 ? x ? a， ? 0 U ( x) ? ? ?? U 1 , a ? x ? b， ?0, b?x ， ?求束缚态的能级所满足的方程。 解：势能曲线如图示，分成四个区域求解。 定态 S-方程为?2 d 2 ? ? ( x) ? U ( x)? ( x) ? E? ( x) 2? dx2对各区域的具体形式为?2 Ⅰ： ? ? 1?? ? U ( x)? 1 ? E? 1 2? ?2 ? Ⅱ： ? ? 2? ? U 0? 2 ? E? 2 2? ?2 ? Ⅲ： ? ? 3? ? U1? 3 ? E? 3 2?( x ? 0) (0 ? x ? a) (a ? x ? b)27 ?2 ? Ⅳ： ? ? 4? ? 0 ? E? 4 2?(b ? x)对于区域Ⅰ，U (x) ? ? ，粒子不可能到达此区域，故? 1 ( x) ? 0①? 而 . ? 2? ?2? (U 0 ? E ) ?2 ? 0 ?2 ? ? 3? ? 2? (U 1 ? E ) ?3 ? 0 ?2②? ? 4? ?2 ?E ?4 ? 0 ?2③对于束缚态来说，有 ? U ? E ? 0? ∴ ? 2? ? k1 ? 2 ? 02k12 ?2? (U 0 ? E ) ?2 2? (U 1 ? E ) ?2④? ? 3? ? k32? 3 ? 0k 32 ?⑤ ⑥? ? 4? ? k42? 4 ? 0各方程的解分别为k 42 ? ?2?E / ? 2? 2 ? Aek1x ? Be? k1x ? 3 ? C sin k 2 x ? D cos k 2 x ? 4 ? Ee? k3 x ? Fe?k3 x28 由波函数的有限性，得? 4 (?)有限，? E ? 0∴ ? 4 ? Fe?k3 x 由波函数及其一阶导数的连续，得? 1 (0) ? ? 2 (0) ? B ? ? A∴ ? 2 ? A(e k3 x ? e ?k3 x )? 2 (a) ? ? 3 (a) ? A(e k x ? e ?k x ) ? C s i n 2 a ? D c o k2 a k s3 3⑦ ⑧ ⑨? ? ? 3 (a) ? ? 3 (a) ? Ak1 (e k a ? e ?k a ) ? Ck 2 cosk2 a ? Dk2 sin k2 a3 3? 3 (b) ? ? 4 (b) ? C sin k2b ? D cosk2b ? Fe?k3b? ? ? 3 (b) ? ? 4 (b) ? Ck2 sin k2b ? Dk2 cosk2b ? ?Fk3e ?k b3⑩ (11)k1 e k1a ? e ? k1a C cosk 2 a ? D cosk 2 a 由⑦、⑧，得 ? k 2 e k1a ? e ?k1a C sink 2 a ? D cosk 2 a由 ⑨、⑩得 (k 2 cosk 2 b)C ? (k 2 sink 2 b) D ? (?k 3 sink 2 b)C ? (k 3 cosk 2 b) D(k2 k c o k 2 b ? s i n 2 b)C ? (? 2 c o k 2 b ? s i n 2 b) D ? 0 s k s k k3 k3(12)e k1a ? e ? k1a k1 令? ? k a ? ，则①式变为 e 1 ? e ? k1a k 2( ? sink2 a ? cosk 2 a)C ? ( ? cosk 2 a ? sink2 a)D ? 029 联立(12)、(13)得，要此方程组有非零解，必须(k2 k c o k 2 b ? s i n 2 b) ( ? 2 s i n 2 b ? c o k 2 b) s k k s ?0 k3 k3 (? s i n 2a ? c o k2a) ( ? c o k2a ? s i n 2a) k s s k即 ( ? cos k 2 a ? sink 2 a )( ? (?k2 cos k 2 b ? sink 2 b) ? ( ? sink 2 a ? cos k 2 a ) ? k3k2 sink 2 b ? cos k 2 b) ? 0 k3?k2 k cos k 2 b cos k 2 a ? 2 sink 2 b sink 2 a ? ? sink 2 b cos k 2 a ? k3 k3 k2 k sink 2 b sink 2 a ? 2 sink 2 b cos k 2 a ) ? k3 k3 k2 k ) ? cos k 2 (b ? a )((? 2 ? 1) ? 0 k3 k3 k2 k ?) ( 2 ? ?) k3 k330? sink 2 b sink 2 a ? ?? ? cos k 2 b sink 2 a ? cos k 2 b cos k 2 a ? 0 sink 2 (b ? a )(? ? tgk 2 (b ? a ) ? (1 ? 把 ? 代入即得k 2 e k1a ? e ? k1a k 2 k1 e k1a ? e ? k1a t g k (b ? a ) ? (1 ? ) ( ? ) 2 k 3 e k1a ? e ? k1a k 3 k 2 e k1a ? e ? k1a此即为所要求的束缚态能级所满足的方程。 # 附：从方程⑩之后也可以直接用行列式求解。见附页。( e k1 a ? e ? k1 a )? sink 2 a? cos k 2 a0(e k1a ? e ? k1a )k 2 ? k 2 cos k 2 a k 2 sink 2 a 0 ?0 ? k 3a 0 sink 2 b cos k 2 b ?e 0 k 2 cos k 2 b ? k 2 sink 2 b k 3 e ? k3a 0 ? ( e k1a ? k 2 cos k 2 a k 2 sink 2 a 0 ? e ? k1a ) sink 2 b cos k 2 b ? e ? k 3a ? k 2 cos k 2 b ? k 2 sink 2 b k 3 e ? k3a ? sink 2 a ? cos k 2 a 0 ? e ? k1a ) ? sink 2 b cos k 2 b ? e ? k3a k 2 cos k 2 b ? k 2 sink 2 b k 3 e ? k3a? k 1 ( e k1 a? (e k1a ? e ? k1a（ ? k 2 k 3 e ? k3a c o k 2 a c o k 2 b ? k 22 e ? k3a s i n 2 a ) s s k c o k 2 b ? k 2 k 3 e ? k3a s i n 2 a s i n 2 b ? k 22 e ? k3a c o k 2 a s i n 2 b） s k k s k ? k1 (e k1b ? e ? k1b（k 2 k 3 e ? k3b s i n 2 a c o k 2 b ? k 2 e ? k3b c o k 2 a ) k s s c o k 2 b ? k 3 e ? k3b c o k 2 a s i n 2 b ? k 2 e ? k3b s i n 2 a s i n 2 b） ） s s k k k31 ? (e k1a ? e ? k1a )[? k 2 k 3 cosk 2 (b ? a ) ? k 22 sink 2 (b ? a )]e ? k3b ? (e k1a ? e ? k1a )[k1 k 3 sink 2 (b ? a ) ? k1 k 2 cosk 2 (b ? a )]e ? k3b ? e k1a [?(k1 ? k 3 )k 2 cosk 2 (b ? a ) ? (k 22 ? k1 k 3 ) sink 2 (b ? a )]e ? k3b e ? k1a [(k1 ? k 3 )k 2 cosk 2 (b ? a ) ? (k 22 ? k1 k 3 ) sink 2 (b ? a )]e ? k3b ?0? [?(k1 ? k 3 )k 2 ? (k 22 ? k1 k 3 )tgk 2 (b ? a )]e ? k3b ? [(k1 ? k 3 )k 2 ? (k 22 ? k1 k 3 )tgk 2 (b ? a )]e ? k3b ? 0 [(k 22 ? k1 k 3 )e 2k1a ? (k 22 ? k1 k 3 )]tgk 2 (b ? a ) ? (k1 ? k 3 )k 2 e 2k1a ? ( k 1 ? k 3 )k 2 ? 0此即为所求方程。32 第三章? ? e ?力学量的算符表示? 2 x2 i ? ?t 2 23.1 一维谐振子处在基态? ( x) ?，求：(1)势能的平均值 U ?1 2 2 ?? x ； 2(2)动能的平均值 T ?p2 ； 2?(3)动量的几率分布函数。 解：(1) U ?1 2 2 1 2 ? ?? x ? ?? 2 2 ?????x 2 e ?? x dx2 21 ? 1 ? 1 2 1 1 ? ? ?? 2 ?2 2 2 ? ?? ? ?? 2 ? 2 2 4 ?? 2? ? 2? ? 21 ? ?? 4??0x 2n e ?ax dx ?21 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? a 2 n?1 a np2 1 ? * ? (2) T ? ? ? ? ( x) p 2? ( x)dx 2? 2? ??33 ? 1 ? ? 2? x d2 ? ? x ? e (?? 2 2 )e 2 dx dx ? 2? ???12 212 2?? ?2 2 ? ? ? (1 ? ? 2 x 2 )e ?? x dx ?? ? 2?2 2 2 2 2 2? ? ? 2 2 ? ?? x ? ? [? e dx ? ? 2 ? x 2 e ?? x dx] ?? ?? ? 2?? ?2 2 ? ? ? ? [ ?? 2 ? 3 ] ? 2? ? 2?? ? 2 2 ? ? 2 2 ? 2 ?? ? ? ? ? ? ? 2? 4? 4? ? ? 2??或1 ?? 4 1 1 1 ?? ? ?? ? ?? 2 4 4T ? E ?U ?(3) c( p ) ? ? * ( x)? ( x) dx p??1 2??????i ? ? 1? x ? ? Px 2 e e dx ?2 234 ?1 2??? ?? ? ?????e1 i ? ? 2 x 2 ? Px 2 ?edxe1 ip p2 ? ? 2 ( x ? 2 )2 ? 2 2 2 ? ? 2? ?1 2?? 1 2?? 1 2??? ?????dx? ? 2? ? e ?p22 2p22 2????e1 ip ? ? 2 ( x ? 2 )2 2 ? ?dxp22 2? ? 2? ? 2 1 ? 2? ? e ? ? e ? ? ?? ?动量几率分布函数为? ( p ) ? c( p) ?21?p2?? ?e? 2? 2# 3.2.氢原子处在基态? (r ,? , ? ) ?13 ? a0e ?r / a0 ，求：(1)r 的平均值；e2 (2)势能 ? 的平均值； r(3)最可几半径；(4)动能的平均值；(5)动量的几率分布函数。 解：(1) r ? r ? (r ,? , ? ) d? ?2?1 ? 2? ? ?2r / a0 2 re r sin ? drd? d? 3 ?a0 ?0 ?0 ?035 ?4 3 a0??0r 3 a ?2 r / a0 dr??0x n e ? ax dx ?n! a n ?1?4 3! 3 ? a0 3 a0 ? 2 ? 4 2 ? ? ?a ? ? 0?e2 e2 (2) U ? (? ) ? ? 3 r ? a0 e2 ?? 3 ? a0 ?? 4e 2 3 a0?? ?0 0?2??01 ? 2 r / a0 2 e r s i n drd? d? ? r?? ?0 0?2??0e ?2 r / a0 r s i n drd? d? ???0e ?2 r / a0 r dr4e 2 1 e2 ?? 3 ?? a0 ? 2 ? 2 a0 ? ? ?a ? ? 0?(3)电子出现在 r+dr 球壳内出现的几率为? (r )dr ? ??0?2?0[? (r,? , ? )]2 r 2 s i n drd? d? ? ?4 ? 2 r / a0 2 e r 3 a04 ? 2 r / a0 2 e r dr 3 a0? (r ) ?36 d? (r ) 4 2 ? 3 (2 ? r )re ?2r / a0 dr a0 a0令d? (r ) ? 0，? r1 ? 0, drr2 ? ?,r3 ? a0当 r1 ? 0, r2 ? ?时，?(r ) ? 0 为几率最小位置d 2? ( r ) 4 8 4 ? 3 (2 ? r ? 2 r 2 )e ?2r / a0 a0 a0 dr 2 a0d 2? ( r ) 8 ? ? 3 e ?2 ? 0 2 dr r ?a0 a0∴ r ? a0 是最可几半径。2 1 ?? ? 1 ? ? 1 ? ? (sin ? ) ? 2 ? ? 1 p 2 ? ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? (r 2 ) ? ? ? (4) T ?r sin ? ?? ?? sin ? ?? 2 ? r ? ?r 2? 2?? 2 ? 2? ? 1 ?r / a0 2 ?r / a0 2 T ? ? ? ? ? 3 e ? (e )r s i n d r d d? ? ? 2? 0 0 0 ?a0 ? 2 ? 2? ? 1 ?r / a0 1 d 2 d ?r / a0 2 ?? ? ? ? 3e [r (e )]r sin ? drd? d? 2? 0 0 0 ?a0 r 2 dr dr37 4? 2 1 ? r 2 ?r / a0 ? ? 3 (? ? (2r ? )e dr a0 2?a0 a0 0 4? 2 a02 a02 ?2 ? (2 ? ) ? 2?a04 4 4 2?a02 ? ? (5) c( p) ? ?? * (r )? (r ,? , ? )d? p? 1 ? ? pr cos? 2? 1 c( p ) ? e ?r / a0 r 2 dr? e ? sin ? d? ? d? 0 0 (2??) 3 / 2 ?0 ?a03 i?2? (2??)3/ 2?a3 0 0??re2 ? r / a0dr? ei ? ? pr c o ?s ? 0d (? c o ? ) s??2? (2??) 3 / 2 ? a032???0? ? pr c o?s r 2 e ?r / a0 dr e ? ipr 0i ii?(2??) 3 / 2? ? ?r / a0 ? pr ? ? pr re (e ? e )dr 3 ip ?0 ?a0??0x n e ?ax dx ?n! a n?138 ?2? (2??) 3 / 2? 1 1 [ ? ] 3 ip 1 i 2 1 i 2 ?a0 ( ? p) ( ? p) a0 ? a0 ?1? 424ip ? 2 2a03 ? 3 ip? a ?( 1 ? p ) 2 0 a02 ? 2a04 ? 42 2 2 2a03 ? 3 ? a0 (a0 p ? ? )(2a0?)3/ 2 ? ? 2 ? (a0 p 2 ? ? 2 )2动量几率分布函数 # 3.3 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是8a03? 5 ? ( p ) ? c( p ) ? 2 ? (a0 p 2 ? ? 2 ) 42J er ? J e? ? 0J e? ? e? m 2 ? n?m ? rsin?39 证：电子的电流密度为? ? i? * * J e ? ?eJ ? ?e (? n?m ?? n?m ?? n?m ?? n?m ) 2?? 在球极坐标中为? ? 1? ? ? 1 ? ? ? er ? e? ? e? ?r r ?? r s i n ?? ? ? ? ? 式中 er、e? 、e? 为单位矢量? ? ? ? 1? ? ? 1 ? * i? J e ? ?eJ ? ?e [? n?m (er ? e? ? e? )? n?m 2? ?r r ?? r s i n ?? ? ? ? 1? ? ? 1 ? * ? ? n?m (er ? e? ? e? )? n?m ] ?r r ?? r s i n ?? ? ?? ? ie? ? ? * ? 1 ? * * [er (? n?m ? n?m ?? n?m ? n?m ) ? e? (? n?m ? n?m 2? ?r ?r r ?? ? 1 ? * 1 ? * 1 ? * ? ? n?m ? n?m ) ? e? ( ? n?m ? n?m ? ? n?m ? n?m )] r ?? r sin ? ?? r sin ? ???? n?m 中的 r 和 ? 部分是实数。∴? Je ? ?ie ? e?m 2 2 ? 2? (?i m? n?m ? i m? n?m )e? ? ? ? n?m e? 2?r s i n ? ?r sin ?可见， J er ? J e? ? 0J e? ? ?e?m ? n?m ?r s i n ?240 3.4由上题可知，氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的。 (1)求一圆周电流的磁矩。 (2)证明氢原子磁矩为? me? ?? 2? ? M ? Mz ? ? ?? me? ? 2?c ?( SI ) (CGS )原子磁矩与角动量之比为? e ? ( SI ) M z ? 2? ? ?? Lz ? e ? (CGS ) ? 2?c ?这个比值称为回转磁比率。 解：(1) 一圆周电流的磁矩为dM ? iA ? J e? dS ? A??（ i 为圆周电流， A 为圆周所围面积）e?m 2 ? n?m dS ? ? (r s i n ) 2 ? ?r s i n ?41 ??e?m 2 ? r sin ? ? n?m dS ? ?? e?m 2 2 ? r s i n ? n?m d r d ? ? ?(dS ? r d r? ) d(2)氢原子的磁矩为M ? ? dM ? ? ?? ????? ?0 0??e?m 2 ? ? n?m r 2 s i n d r d ? ? ?? ? e?m 2 ? 2? ? ? ? n?m r 2 s i n d r d ? ? 0 0 2?e?m 2? ? ? 2 ? n?m r 2 s i n d r d d? ? ? 2? ?0 ?0 ?0e?m 2?(SI )在 CGS 单位制中 M ?? ? 原子磁矩与角动量之比为e?m 2?cMz M e ? ?? Lz Lz 2?(SI )Mz e ?? Lz 2?c(C G S )42 3.5L2 一刚性转子转动惯量为 I，它的能量的经典表示式是 H ? ，L 为角动量，求与此对应的量子体系 2I在下列情况下的定态能量及波函数： (1) 转子绕一固定轴转动： (2) 转子绕一固定点转动： 解：(1)设该固定轴沿 Z 轴方向，则有 哈米顿算符L2 ? L2Z? 其本征方程为 ( H与t 无关，属定态问题)2 2 ? ? 1 L2 ? ? ? d , ? H Z 2I 2 I d? 2?2 d 2 ? ? (? ) ? E? (? ) 2 I d? 2 d 2? (? ) 2 IE ? ? 2 ? (? ) d? 2 ?2 IE 令 m ? 2 ，则 ?2d 2? (? ) ? m 2? (? ) ? 0 2 d?( m 可正可负可为零)取其解为? (? ) ? Ae im?43 由波函数的单值性，应有 即? (? ? 2? ) ? ? (? ) ? e im(? ?2? ) ? e im?∴m= 0，±1，±2，… (m= 0，±1，±2，…)e i 2m? ? 1 ,m 2? 2 转子的定态能量为 E m ? 2I可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。 定态波函数为?m ? Ae im? ,2? 2? 0 0A 为归一化常数，由归一化条件* 1 ? ? ?m?m d? ? A2 ? d? ? A2 2?? A?1 2?∴ 转子的归一化波函数为 综上所述，除 m=0 外，能级是二重简并的。?m ?1 im? e 2?44 (2)取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为? 1 ? H ? L2 2I 1 ?2 L Y (? , ? ) ? EY (? , ? ) 2I? H与t 无关，属定态问题，其本征方程为? (式中Y (? ,? ) 设为 H 的本征函数， E 为其本征值)? L2Y (? ,? ) ? 2I E Y? ,? ) (令 2IE ? ?? 2 ，则有? L2Y (? ,? ) ? ?? 2Y (? ,? )? 此即为角动量 L2 的本征方程，其本征值为L2 ? ?? 2 ? ?(? ? 1)? 2(? ? 0, 1, 2, ?)m其波函数为球谐函数Y?m (? , ? ) ? N ?m P? (cos? )e im? ∴ 转子的定态能量为?(? ? 1)? 2 E? ? 2I可见，能量是分立的，且是 (2? ? 1) 重简并的。45 3.6 设 t=0 时，粒子的状态为? ( x) ? A[ s i 2n ? 1 c o kx] kx 2 s求此时粒子的平均动量和平均动能。 解：? ( x) ? A[sin 2 kx ? 1 coskx] ? A[ 1 (1 ? cos2kx) ? 1 coskx] 2 2 2? ?A [1 ? c o 2kx ? c o kx] s s 2 A [1 ? 1 (e i 2 kx ? e ? i 2 kx ) ? 1 (e ikx ? e ? ikx )] 2 2 2?A 2?? i 0 x 1 i 2kx 1 ? i 2kx 1 i k x 1 ? i k x 1 [e ? 2 e ? 2e ? 2 e ? 2 e ]? 2 2??2k? ? 2k? k? ? k?可见，动量 pn 的可能值为 02 pn 动能 的可能值为 0 2?2k 2 ? 22k 2 ? 2?A2 161 ) ? A 2?? 8?A2 16k 2? 2 2?A2 16k 2? 2 2?A2 ) ? 2?? 16对应的几率 ? n 应为(A2 4(1 21 81 81 8上述的 A 为归一化常数，可由归一化条件，得1 ? ?? n ? (nA2 A2 A2 ? 4 ? ) ? 2?? ? ? 2?? 4 16 2∴A ? 1 / ??46 ∴ 动量 p 的平均值为p ? ? p n? nnA2 A2 A2 A2 ? 0 ? 2k? ? ? 2?? ? 2k? ? ? 2?? ? k? ? ? 2?? ? k? ? ? 2?? ? 0 16 16 16 16pn2 p2 T ? ? ? ?n 2 ? n 2?2k 2 ? 2 1 k 2? 2 1 ? 0? ? ?2? ? ?2 ? 8 2? 8 5k 2 ? 2 ? 8?47 3.7一维运动粒子的状态是? Axe ? ?x , 当x ? 0 ? ( x) ? ? 当x ? 0 ? 0,其中 ? ? 0 ，求： (1)粒子动量的几率分布函数； (2)粒子的平均动量。 解：(1)先求归一化常数，由1 ? ? ? ( x ) dx ? ? A 2 x 2 e ? 2?x dx2 ?? 0???1 2 A 4? 33/ 2∴ A ? 2?? ( x) ? 2?3 / 2 xe?2?x? ( x) ? 0c( p ) ? ??( x ? 0) ( x ? 0)1 2????e ? ikx? ( x )dx ? (? 1 1/ 2 ) ? 2? 3 / 2 ? xe?( ? ? ik ) x? ( x )dx ?? 2???(?(2? 3 1 / 2 x ) [? e ?( ? ? ik ) x 2?? ? ? ik? 0?? 1 ? ( ? ? ik ) x dx ???e ? ? ik2? 3 1 / 2 x 2? 3 1 / 2 ) ?? ( ) 2?? 2?? (? ? ik ) 21 p (? ? i ) 2 ?动量几率分布函数为? ( p) ? c( p) ?22? 3 ??1 (? 2 ? p2 2 ) ?2?2? 3 ? 3 1 2 2 ? (? ? ? p 2 ) 248 (2) p ?? d ? ? * ( x ) p? ( x )dx ? ?i? ? 4?3 xe??x (e ??x )dx ??? ?? dx?? ?i?4?3 ?? x(1 ? ?x)e ?2?x dx???? ?i?4?3 ?? ( x ? ?x 2 )e ?2?x dx???? ? i?4?3 ?(?01 1 ? ) 4?2 4?23.8.在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为 a ，如果粒子的状态由波函数? ( x) ? Ax(a ? x)描写，A 为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。 解：由波函数? (x ) 的形式可知一维无限深势阱的分布如图示。粒子能量的本征函数和本征值为49 ? 2 n? si n x, ? ? ( x )? a a ? 0, ?0? x?a x ? 0, x?an 2? 2 ? 2 En ? 2 ?a 2(n ? 1，，， ) 2 3 ?2动量的几率分布函数为? ( E ) ? C n?C n ? ? ? * ( x )? ( x )dx ? ? sina ?? 0n? x? ( x )dx a先把? ( x ) 归一化，由归一化条件，1 ? ? ? ( x ) dx ? ? A2 x 2 (a ? x )dx ? A2 ? x 2 (a 2 ? 2ax ? x 2 )dx2 a a ?? 0 0?? A 2 ? (a 2 x 2 ? 2ax 3 ? x 4 )dxa 05 a5 a5 a5 2 a ? A ( ? ? )? A 3 2 5 30 2∴A?30 a5∴ Cn ??a02 30 n? ? sin x ? x(a ? x )dx a a5 a50?a 2 15 a n? n? [a ? x s i n xd x ? ? x 2 s i n xd x] 3 0 0 a a a 2 15 a 2 n? a3 n? a 2 n? ? [? x cos x ? 2 2 sin x? x cos x 3 n? a a n? a a n? 2a 2 n? 2a 3 n? ? 2 2 x sin x ? 3 3 cos x] a a n? n? 0?∴a4 15 [1 ? ( ?1) n ] 3 3 n?2?(E) ? Cn ?240 [1 ? ( ?1) n ]2 6 6 n?? 960 ，n ? 1， ， ， 3 5 ? ? ? ? n 6? 6 ? 0，n ? 2, 4, 6, ? ?? a ? p2 ? E ? ? ? ( x ) H? ( x )dx ? ? ? ( x ) ? ( x )dx ?? 0 2????a030 ?2 d 2 x( x ? a ) ? [? x( x ? a )]dx 2? dx 2 a530? 2 ?a 5?a0x( x ? a )dx ?30? 2 a 3 a 3 ( ? ) 3 ?a 5 25? 2 ? ?a 251 3.9.设氢原子处于状态1 3 ? (r ,? , ? ) ? R21 (r )Y10 (? , ? ) ? R21 (r )Y1?1 (? , ? ) 2 2求氢原子能量、角动量平方及角动量 Z 分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。 解：在此能量中，氢原子能量有确定值?e s2 ?e s2 E2 ? ? 2 2 ? ? 2 2? n 8?角动量平方有确定值为(n ? 2)L2 ? ?(? ? 1)? 2 ? 2? 2角动量 Z 分量的可能值为(? ? 1)LZ 1 ? 0 LZ 2 ? ??其相应的几率分别为1 ， 4其平均值为3 41 3 3 LZ ? ? 0 ? ? ? ? ? ? 4 4 452 3.10 一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为??, r ? U (r ) ? ? ?0, r ? a求粒子的能级和定态函数。 解：据题意，在 r ? a 的区域， U (r ) ? ? ，所以粒子不可能运动到这一区域，即在这区域粒子的 波函数? ?0(r ? a )由于在 r ? a 的区域内， U ( r ) ? 0 。只求角动量为零的情况，即 ? ? 0 ，这时在各个方向发现粒子的几 率是相同的。即粒子的几率分布与角度 ?、? 无关，是各向同性的，因此，粒子的波函数只与 r 有关，而 与 ?、? 无关。设为? (r ) ，则粒子的能量的本征方程为? 2 1 d 2 d? ? (r ) ? E? 2? r dr dr令 U ( r ) ? rE? ,k2 ?2 ?E ，得 ?253 d 2u 2 ?k u?0 dr 2其通解为u( r ) ? A cos kr ? B sinkr A B ? ?? ( r ) ? cos kr ? sinkr r r波函数的有限性条件知， ? (0) ? 有限，则 A= 0 ∴ ? (r ) ?B sinkr r由波函数的连续性条件，有 ∵ B ? 0 ∴ ka ? n?? (a ) ? 0 ?(n ? 1,2,?)∴B sin ?0 ka an? k? a B n? ? (r ) ? s i n r r a其中 B 为归一化，由归一化条件得n 2? 2 2 ? En ? 2 ?a 254 1 ? ? d? ? ? d? ? ? ? (r ) r 2 sin? dra 2 0 0 0??? 4? ? ? B 2 sin2a 0n? rdr ? 2? aB2 a∴B?1 2? a∴ 归一化的波函数? (r ) ?1 2? asinn? r a r#3.11. 求第 3.6 题中粒子位置和动量的测不准关系 (?x) 2 ? (?p) 2 ? ? 解：p?05 p 2 ? 2? T ? k 2 ? 2 455 ? 1 x ? ? A 2 x[sin 2 kx ? cos kx ]2 dx ? 0 ?? 2 ? 1 x 2 ? ? A 2 x 2 [sin 2 kx ? cos kx ]2 dx ? ? ?? 2(?x) 2 ? (?p) 2 ? ( x 2 ? x ) ? ( p 2 ? p ) ? ?3.12.粒子处于状态221 1/ 2 i x2 ? ( x ) ? ( 2 ) e x p [ p0 x ? 2 ] ? 2?? 4?式中 ? 为常量。当粒子的动量平均值，并计算测不准关系 (?x ) 2 ? (?p) 2 ? ? 解：①先把? (x ) 归一化，由归一化条件，得1 1? ? e ? ? 2?? 2??x2 2?2dx ?1 2? 2 ????(x 2? 2)2??ed(x ) 2? 2?∴? ?21 2? 2 ?1 2?? ?(1 1/ 2 ) 2?? 2/56 ∴ 是归一化的i ? ? ( x ) ? exp[ p0 x ? x 2 ] ? 2② 动量平均值为p0 x ? x 2 ? ? p0 x ? x 2 i d ? 2 ? 2 p ? ? ? * (?i? )?dx ? ?i? ? e ( p0 ? ? x )e dx ?? ?? dx ? ? i?i?? i 2 ? ? i? ? ( p0 ? ? x )e ??x dx ?? ?? p0 ? e?????x 2dx ? i? ?? xe ??x dx2???? p0③(?x) 2 ? (?p) 2 ? ?x ? ? ? * x?dx ? ? xe ??x dx2??????（奇被积函数）57 x ?? x e2 ???2 ?? x 21 ?? x 2 ? 1 ? ? ? x 2 dx ? ? xe ? ? e dx ? ? 2? ? ? 2? ?? 1 2?i i2 p0 x ??x 2 ? ? p0 x ??x 2 d d2 2 p ? ?? ? ? * ? dx ? ?? ? e ? e? dx ?? ?? dx dx 2 2 ?? ? 2 p02 ??x 2 2 2 ? ? (? ? ) ? i 2??p0 ? xe dx ? ? ? ? x 2 e ??x dx ?? ?? ? 2p02 1 ? ? ? (? ? ) ? 0 ? (?? 2 ? 2 ) ? ( ? 2 ? p02 ) ? 2? 22( ?x ) 2 ? x 2 ? x ?21 2?58 2 ? ? (?p) 2 ? p 2 ? p ? ( ? 2 ? p02 ) ? p02 ? ? 2 2 2( ?x ) 2 ? ( ?p ) 2 ?1 ? 2 1 2 ? ? ? ? 2? 2 459 第四章 态和力学量的表象4.1.求在动量表象中角动量 Lx 的矩阵元和 L2x 的矩阵元。p ?r 1 3 ? ? p??r ? ? 解： ( Lx ) p?p ? ( ) ? e ( yp z ? zp y )e ? d? 2?? p ?r 1 3 ? ? p??r ? ? ( ) ? e ( ypz ? zp y )e d? 2?? i? ? i?? i? ? i??1 3 ? ? p??r ? ? ? p ?r ? ( ) ? e (?i?)( p z ? p y )e d? 2?? ?p y ?p zi? ? i??? ? 1 3 ?（p? p?）?r ? (?i?)( p z ? p y )( ) ? e d? ?p y ?p z 2??i ? ? ?? i?( p y? ? ? ? ? p z )? ( p ? p?) ?p z ?p y60 ? ( L2x ) p?p ? ? ? *p?? ( x ) L2x? p? d?p ?r 1 3 ? ? p??r ? z ? zp y ) 2 e ? d? ? ? ( ) ? e ( yp 2?? p ?r 1 3 ? ? p??r ? ? ? ? ? ? ( ) ? e ( yp z ? zp y )( yp z ? zp y )e d? 2?? i? ? i?? i? ? i??1 3 ? ? p?r ? ? ? p?r ? ? ? ( ) ? e ( yp z ? zp y )(i?)( p y ? p z )e d? 2?? ?p z ?p yi ?? i?? p ?r ? ? 1 3 ? ? p??r ? z ? zp y )e ? d? ? ? (i?)( p y ? p z )( ) ? e ( yp ?p z ?p y 2?? i? ? i??? ? 2 1 3 ?（p? p?）?r 2 ? ?? ( p y ? p z ) ( ) ? e d? ?p z ?p y 2??i ? ? ?? ?? 2 ( p y? ? ? ? ? p z ) 2 ? ( p ? p?) ?p z ?p y61 4.2 求能量表象中，一维无限深势阱的坐标与动量的矩阵元。 解：基矢： u n ( x) ?2 n? sin x a a? 2? 2n2 能量： E n ? 2 ?a 22 2 m? a xdx ? 对角元： xmm ? ? x sin 0 a a 2a1 u ? u cos nudu ? n 2 cos nu ? n sin nu ? c当时， m ? n2 a m? n? xmn ? ? (sin x) ? x ? (sin )dx a0 a a62 1 a ? (m ? n)? (m ? n)? ? ? x ?cos x ? cos a 0 ? a a? x? dx ?a1? a2 (m ? n)? ax (m ? n)? ? ?[ cos x? sin x] 2 2 a ? ( m ? n) ? a (m ? n)? a 0 ?2 aa (m ? n)? ax (m ? n)? ? ?[ cos x? sin x] ? a (m ? n)? a ( m ? n) 2 ? 2 0? ? ? 1 a 1 ? m?n ? 2 (?1) ? 1 ? ? ? ? ( m ? n) 2 ( m ? n) 2 ? ????a 4mn (?1) m?n ? 1 ? 2 (m 2 ? n 2 ) 2??63 ? p mn ? ? u m ( x) pu n ( x) dx ? ? i? ?*a02n?? a m? n? sin x ? cos xdx 2 ?0 a a a n?? a ? ( m ? n)? (m ? n)? ? ? ?i 2 ? ?sin x ? sin x ? dx 0 a a a ? ? ? ?i2 m? d n? sin x? sin xdx a a dx an?? ? a (m ? n)? a ( m ? n)? ? ?i 2 ? cos x? cos x? a ( m ? n)? a a ? ( m ? n)? ? ? n?? a ? 1 1 m?n ? ?1 ] ? ( m ? n) (m ? n) ? (?1) 2 a ? ? ? i 2m n? ? (?1) m ? n ? 1 (m 2 ? n 2 )a ?ia0????cos(m ? n)u cos(m ? n)u ? sin mucosnudu ? ? 2(m ? n) ? 2(m ? n) ? C64 4.3求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数。 解：定态薛定谔方程为2 1 p2 2 2 d ? ?? ? C ( p, t ) ? C ( p, t ) ? EC ( p, t ) 2 2? dp2即?1 d2 p2 ?? 2 ? 2 2 C ( p, t ) ? ( E ? )C ( p, t ) ? 0 2 2? dp两边乘以2 ，得 ??? 1 1 d2 2E p2 C ( p, t ) ? ( ? )C ( p, t ) ? 0 ?? ??? dp2???令? ?1???p ? ? p,??1???65 ??2E ??d2 C ( p, t ) ? (? ? ? 2 )C ( p, t ) ? 0 2 d?跟课本P.39(2.7-4)式比较可知，线性谐振子的能量本征值和本征函数为En ? (n ? 1 )?? 2 C ( p, t ) ? N n e式中1 ? ? 2 p2 2H n (?p)ei ? En t ?Nn为归一化因子，即Nn ? (? ?1/ 2)1 / 2 2 n n!66 4.4.求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。 解：1 2 1 ?2 ?2 1 ? ? H? p ? ?? 2 x 2 ? ? ? ?? 2 x 2 2 2? 2 2? ?x 2? H pp? ? ?? * ( x) H? p ( x)dx p? px p?x 1 ?2 ?2 1 ? ? e (? ? ?? 2 x 2 )e ? dx 2?? ? 2? ?x 2 2 i i???2 i 1 ? ? ( p? ? p ) x 1 1 ? 2 ? ( p? ? p ) x ( p?) 2 dx ? ?? 2 x e dx ???e 2? ? 2?? 2 2?? ???iii?p? 2 1 1 ? ? 2 ? 2 ? ( p? ? p ) x ? ( p? ? p) ? ?? 2 ( ) e dx 2? 2 2?? ??? i ?p? 2 p? 2 1 ? ?2 ? ( p? ? p) ? ?? 2 ( ) 2 2? 2 i ?p? 2???1i?????e?( p? ? p ) xdx?p2 1 ?2 ? ( p? ? p) ? ?? 2 ? 2 ? ( p ? ? p) 2? 2 ?p? 267 4.5? ? ? ? 设已知在 L2 和LZ 的共同表象中，算符 Lx 和L y 的矩阵分别为? 0 1 0? ? ? ? Lx ? ? 1 0 1? 2? ? ? 0 1 0??0 ? i 0 ? ? 2? ? Ly ? ? i 0 ? i? 2 ? 0? ?0 i ?求它们的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵 Lx 和Ly 对角化。 解： Lx 的久期方程为?? ? 2 0? 2 ?? ? 20 ? 2 ?? ? 0 ? ? ?3 ? ? 2 ? ? 068 ? ?1 ? 0 ?2 ? ?，?3 ? ?? ，? ? ∴ Lx 的本征值为 0，?， ? ? Lx 的本征方程?0 ? ? ?1 2? ?0 ? a1 ? ? ? ?a ? ? 3? 1 0 1 0 ?? a1 ? ? a1 ? ? ? ? ?? 1 ?? a 2 ? ? ? ? a 2 ? ?a ? 0 ?? a 3 ? ?? ? ? 3?? ? ? 其中? ? ? a 2 ? 设为 Lx 的本征函数 L2 和LZ 共同表象中的矩阵当 ?1 ? 0 时，有?0 ? ? ?1 2? ?01 0 10 ?? a1 ? ? 0 ? ?? ? ? ? 1 ?? a 2 ? ? ? 0 ? 0 ?? a 3 ? ? 0 ? ?? ? ? ?? a2 ? ? 0? ? ? ? ? ? a1 ? a 3 ? ? ? 0 ? ? a 3 ? ? a1， a 2 ? 0 ? 2? ? ? 0? ? a2 ? ? ? ? a1 ? ? ? ? ?0 ? ?? a ? 1 ? ?∴?0由归一化条件? a1 ? ? ? ? * * 1 ? ? 0 ? 0 ? ( a1 ,0,? a1 )? 0 ? ? 2 a1 ?? a ? 1? ?取 a1 ?21 269 ? 1 ? ? ? ? 2 ? ? ? 对应于 Lx 的本征值 0 。 ? 0 ? ?0 ? ? ?? 1 ? ? ? 2? ?当 ? 2 ? ? 时，有? a1 ? ? 0 1 0 ?? a1 ? ? ? ?? ? ? ? ? 1 0 1 ?? a 2 ? ? ?? a 2 ? 2? ?a ? ?? ? ? 0 1 0 ?? a 3 ? ? 3?? 1 ? a2 ? ? ? 2 ? ?a ? ?a 2 ? 2a1 ? 1 ? ? 1? ? ? (a1 ? a3 ) ? ? ? a 2 ? ? ?a 2 ? 2a3 ? ? 2 ? ? ? ?a ? a 1 ? 3 ? 1 ? ? a3 ? ? a2 ? ? ? 2 ?∴??? a1 ? ? ? ? ? 2a1 ? ? ? ? a1 ? ? ?由归一化条件? a1 ? ? ? * * * 1 ? (a1 , 2a1 , a1 )? 2a1 ? ? 4 a1 ? ? ? a1 ? ? ?270 取 a1 ?1 2?1 ? ?2 ? 1 ?? ? 2 ?1 ? ?2 ? ? ? ? ? ? 对应于 Lx 的本征值 ? ? ? ? ?∴归一化的? ?当 ? 2 ? ? ? 时，有?0 ? ? ?1 2? ?01 0 10 ?? a 1 ? ? a1 ? ? ? ?? ? 1 ? ? a 2 ? ? ? ?? a 2 ? ?a ? 0 ?? a 3 ? ?? ? ? 3?? 1 ? ? ? a1 ? 2 ? ?? a ? ? a 2 ? ? 2a 1 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? ( a 1 ? a 3 ) ? ? ? ? a 2 ? ? ? a 2 ? ? 2a 3 ? 2 ? ? ? ?a ? a 1 ? 1 ? ? ? a3 ? ? 3 ? ? ? a2 ? ? ? 2 ?∴? ??? a1 ? ? ? ? ? 2a1 ? ? ? ? ? a1 ? ? ?由归一化条件? a1 ? ? ? 1 ? (a ,? 2a , a )? ? 2a1 ? ? 4 a1 ? ? ? a1 ? ? ?* 1 * 1 * 12取 a1 ?1 271 ∴归一化的? ? ?? 1 ? ? ? ? 2 ? ? 1 ? ? ? ?? ? 对应于 Lx 的本征值 ? ? 2? ? ? 1 ? ? ? ? 2 ?? ? ? 由以上结果可知，从 L2 和LZ 的共同表象变到 Lx 表象的变换矩阵为? ? ? ? S?? ? ?? ? ? 1 2 0 1 2 1 2 1 2 1 2 ? ? ? ? ? ? 2? 1 ? 2 ? ? 1 2 1∴对角化的矩阵为 L? ? S ? Lx S x? ? ? ? ? L? ? x ? 2? ? ? ?1 2 1 2 1 20 1 ? 2 1 2?? 1 ? ? ? 2 ?? 0 1 0 ?? ?? 1 ?? ?? 1 0 1 ?? 2 ? ?? ? 1 ?? 0 1 0 ?? ?? 2 ? ? ? 1 2 0 1 2 1 2 1 2 1 21 2 0 1 2 1 2 11 2 1 2 1 2? ? ? ? ? ? 2? 1 ? 2 ? ? 1 2 1? ? ? ? ? ? ? 2? ?? ? ?0 1 2 1 20 1 1?? ?? 0 ?? 1 ?? ?? 2 ?? 1 ?? ? ?? ? 2 ??? ? ? ? ? ? 2? 1 ? 2 ? ?72 ?0 ? ? ? ?0 2? ?00 2 00 ? ?0 0 0 ? ? ? ? 0 ? ? ?0 ? 0 ? ? 2 ? ?0 0 ? ?? ? ? ?按照与上同样的方法可得? ? L y 的本征值为 0，?， ? ? L y 的归一化的本征函数为? 1 ? ? ? ? 2? ? 0 ? ?0 ? ? ? ? 1 ? ? ? ? 2??1 ? ? ? ?2 ? ? i ? ?? ? ? ? ? 2? ? 1? ?? ? ? 2?? ???1 ? ? ? 2 ? ? ? i ? ? ?? ? 2? ? ? 1 ? ?? ? ? 2 ?? ? ? 从 L2和LZ 的共同表象变到 L y 表象的变换矩阵为? ? ? ? S?? ? ? ? ? 1 2 0 1 2 1 2 i 2 1 ? 2 ? ? 1 ? ? ? ? 2 ? ? 1 ? ? ?? S ?? 2 2? ? 1 ? ? 1 ? ? ? 2 2 ? ? 1 2 i 0 ? i 2 i 2 1 ? ? 2? 1? ? ? 2 ? 1? ? ? 2?? 利用 S 可使 L y 对角化?0 0 0 ? ? ? L? ? S L y S ? ? 0 ? 0 ? y ?0 0 ? ?? ? ??73 4.6. 求连续性方程的矩阵表示 解：连续性方程为? ?? ? ?? ? J ?t∴? i? J? (??? * ?? * ?? ) 2?而? i? ?? J ? ? ? (??? * ?? * ?? ) 2???∴i? (?? 2? * ?? * ? 2? ) 2?1 ? ? (?T? * ?? * T? ) i?i??? ? ? ? (? * T? ? ?T? *) ?t?(? *? ) ? ? i? ? (? * T? ? ?T? *) ?t写成矩阵形式为? ? ? (? ?? ) ? ? ? T? ? ?T? ? ?t ? ? ? i? (? ?? ) ? ? ? T? ? (? ? T? ) * ? T ? T * ? 0 ?t i?74 第五章微扰理论5.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为 r0 、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态 能量的一级修正。 解：这种分布只对 r ? r0 的区域有影响，对 r ? r0 的区域无影响。据题意知? H ? ? U (r) ? U 0 (r)其中 U 0 (r ) 是不考虑这种效应的势能分布，即U（r）? ?ze 2 4?? 0 rU (r ) 为考虑这种效应后的势能分布，在 r ? r0 区域，Ze 2 U (r ) ? ? 4?? 0 r在 r ? r0 区域， U (r ) 可由下式得出，U (r ) ? ?e? Edrr?75 Ze 4 Ze ? 1 ? 4 3 ? ?r 3 ? r , (r ? r0 ) ? 4?? r 2 ?r 3 4?? 0 r03 ? 0 0 3 E?? Ze ? (r ? r0 ) ? 4?? 0 r 2 ?U (r ) ? ?e? E d r e? E d r ?r r0 r0 ?Ze 2 ?? 4?? 0 r03?r0rZe 2 rdr ? 4?? 01 ?r0 r 2 dr(r ? r0 )?Ze 2 Ze 2 Ze 2 2 2 ?? (r0 ? r ) ? ?? (3r02 ? r 2 ) 4?? 0 r0 8?? 0 r03 8?? 0 r0376 ? Ze 2 Ze 2 ? (3r02 ? r 2 ) ? ? ? H ? ? U (r ) ? U 0 (r ) ? ? 8?? 0 r03 4?? 0 r ? 0 ?(r ? r0 ) (r ? r0 )? ? 由于 r0 很小，所以 H ? ?? H ( 0) ? ??2 2 ? ? U 0 (r ) ，可视为一种微扰，由它引起的一级修正为（基态 2??(0) 1? r Z3 ? ( 3 ) 1 / 2 e a0 ） ? a0* ? E1(1) ? ?? 1( 0 ) H ?? 1( 0 ) d? ?ZZ3 ? 3 ? a0∴ r ?? a0 ，故 e ∴? 2Z r a0?r00Ze 2 Ze 2 ? a0 r 2 2 [? (3r0 ? r ) ? ]e 4?r 2 dr 3 4?? 0 r 8?? 0 r02Z? 1。E1(1) ? ?Z 4e2 3 2?? 0 a0 r03?r00(3r02 r 2 ? r 4 )dr ?Z 4e2 3 ?? 0 a0?r00rd rr05 Z 4e2 Z 4e2 2 5 ?? (r0 ? ) ? r 3 3 0 5 2?? 0 a0 r03 2?? 0 a0 Z 4e2 2 ? r 3 0 10?? 0 a0 2Z 4 es2 2 ? r0 3 5a077 5.2 转动惯量为 I、电偶极矩为 D 的空间转子处在均匀电场在 ? 中，如果电场较小，用微扰法求转子基态 能量的二级修正。 解：取 ? 的正方向为 Z 轴正方向建立坐标系，则转子的哈米顿算符为???? ? ? L2 1 ?2 ? H ? ? D ?? ? L ? D? c o ? s 2I 2I? 取 H (0) ? 1 ?2 L , 2I ? H ? ? ? D? cos ? ，则? ? ? H ? H ( 0) ? H ? ? 由于电场较小，又把 H ? 视为微扰，用微扰法求得此问题。1 (()) ? ?(? ? 1)? 2 H ( 0 ) 的本征值为 E ? ? 2I本征函数为( ? ? 0) ? Y?m (? , ? )（ ? H ( 0 ) 的基态能量为 E00） ? 0 ，为非简并情况。根据定态非简并微扰论可知E( 2) 0????H? 0 ?2( ( E 00) ? E ? 0)*( ( ? ? H ? 0 ? ?? ? 0 ) H ?? 00 ) d? ??Y* ?m( ? D? c o s )Y00 s i n d? d? ? ?? ? D? ? Y?* ( c o ? Y00 ) s i n d? d? s ? m? ? D? ? Y?* m?? ??( E02) ?4? Y10 31 4?s i n d? d? ?D? 3 D? 32?Y? ?1* ?0Y10 s i n d? d? ???'H? 0 ?( ( E00) ? E? 0)? ???'D 2? 2 ? 2 I ? ?1 3?(? ? 1)? 22??1 D 2? 2 I 3? 278 其中 Fmk ???* m? F? k d? ? (1 2??)3/ 213 ?a0?ei ?? ? p ?r ?? ? e? ? r ? r / a0 ? ( )e d? z（ p ） 2i取电子电离后的动量方向为 Z 方向， 取 ? 、 p 所在平面为 xoz面，则有??? ?r ? ?xx ??y y ??zz? ?? ?αθ? rOy? (? sin ? )(r sin ? cos? ) ? (? cos? )(r c o ? ) s ? ? rs i n s i n c o ? ?? c o ?r c o ? ? ? s s sxFmk ? (1 2??1 2??0 0)3/ 2e ? ? p r cos? e (? r sin ? sin ? cos? ? ? r cos? cos? )e ?r / a0 d? 3 2i ? ?a0 1e 3 ?a0 2i (? r sin ? sin ? cos? ? ? r cos? cos? )e ?r / a0 r 2 sin ? drd? d? 1iFmk ? ()3 / 2???0? ?2?ei ? p r cos? ?79 ? 5.3 设一体系未受微扰作用时有两个能级： E01及E02 ，现在受到微扰 H ? 的作用，微扰矩阵元为? ? ? ? H12 ? H 21 ? a，H11 ? H 22 ? b ； a、 b 都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。解：由微扰公式得( ? En1) ? H nnE( 2) n??m'? H mn2( ( E n0 ) ? E m0)得(1 ? E01) ? H11 ? b(1 ? E02) ? H 22 ? bE( 2) 01??m'? H m12E 01 ? E 0 m'?a2 E 01 ? E 02E( 2) 02??m? H m12E 02 ? E 0 ma2 ? E 02 ? E 01∴ 能量的二级修正值为a2 E1 ? E01 ? b ? E01 ? E02 a2 E2 ? E02 ? b ? E02 ? E0180 5.4 设在 t ? 0 时，氢原子处于基态，以后受到单色光的照射而电离。设单色光的电场可以近似地表示为? sin ? t ，? 及 ? 均为零；电离电子的波函数近似地以平面波表示。求这单色光的最小频率和在时刻 t 跃迁到电离态的几率。 解：①当电离后的电子动能为零时，这时对应的单色光的频率最小，其值为?? m i n? hvm i n? E? ? E1 ?? es42? 2v m i n?? es4 13.6 ? 1.6 ? 10?19 ? ? 3.3 ? 1015 Hz ?34 2 6.62 ? 10 2? h② t ? 0 时，氢原子处于基态，其波函数为?k ?13 ? a0e ? r / a01 3 / 2 ? p ?r ) e 在 t 时刻， ? m ? ( 2?? ? ? ? ? e? ? r i? t ? H ?(t ) ? e? ? r s i n t ? ? ( e ? e ? i? t ) 微扰 2ii ??? ? F (ei? t ? e ?i? t ) ? ? e? ? r ? 其中 F ? 2i在 t 时刻跃迁到电离态的几率为81 Wk ? m ? a m (t )2a m (t ) ?1 t ? i? t ? ?0 H mk e mk dt ? i??Fmk i?? (e0ti (?mk ?? ) t ?? e i (?mk ?? )t ? )dt ?Fmk e i (?mk ?? )t ? 1 e i (?mk ?? )t ? 1 ?? [ ? ] ? ?mk ? ? ?mk ? ?对于吸收跃迁情况，上式起主要作用的第二项，故不考虑第一项，am (t ) ?Fmk e i (?mk ?? )t ? 1 ? ?mk ? ?2Wk ?m ? a m (t ) ?2Fmk ?22(e i (?mk ?? )t ? 1)( e i (?mk ?? )t ? 1) (? mk ? ? ) 2?4 Fmk sin 2 1 (? mk ? ? )t 2 ? 2 (? mk ? ? ) 282 其中 Fmk ???* m? F? k d? ? (1 2??)3/ 213 ?a0?ei ?? ? p ?r ?? ? e? ? r ? r / a0 ? ( )e d? z（ p ） 2i取电子电离后的动量方向为 Z 方向， 取 ? 、 p 所在平面为 xoz面，则有??? ?r ? ?xx ??y y ??zz? ?? ?αθ? rOy? (? sin ? )(r sin ? cos? ) ? (? cos? )(r cos? ) ? ? r sin ? sin ? cos? ? ? cos? r cos?xFmk ? (1 2??)3/ 2e ? ? p r cos? e (? r sin ? sin ? cos? ? ? r cos? cos? )e ?r / a0 d? 3 2i ? ?a0 1i83 Fmk ? (1 2??0 0)3 / 2e 3 ?a0 2i (? r sin ? sin ? cos? ? ? r cos? cos? )e ?r / a0 r 2 sin ? drd? d?i1???0? ?2?ei ? p r cos? ??(1 2??)3/ 2e ? ? 2? ? ? p r cos? e (? cos? r 3 cos? sin ? )e ?r / a0 drd? d? 0 0 0 3 2i ? ? ? ?a0 1 ?( 1 2?? )3/ 2 ? ? ? p r c o ?s e? c o ? s 2? ? r 3 e ?r / a0 dr[ ? e ? c o ? s i n d? s ? 0 0 3 2i ?a01i?e? cos?3 i 2? ? 2a0 ????0r e3 ? r / a0pr ? pr pr ? ? ?? p r ?2 ? [ (e ? e ) ? 2 2 (e ? ? e ? )]dr ipr p r i i i ie? cos? 16 p 1 2 3 i 2?? 2a0 ia0 ? ( 1 ? p ) 3 2 a0 ? 2??Wk ? m ?16 pe? c o ? (a0 ?) 7 / 2 s2 8? (a0 p 2 ? ? 2 ) 32∴2 4 Fmk s i n 1 (? mk ? ? )t 2? 2 (? mk ? ? ) 22 128p 2 e 2? 2 c o 2 ? a0 ? 5 s i n 1 (?mk ? ?)t s 7 2 ? 2 2 2 2 6 ? (a0 p ? ? ) (?mk ? ?) 284 ?(1 2??)3/ 2e ? ? 2? ? ? p r cos? e (? cos? r 3 cos? sin ? )e ?r / a0 drd? d? 3 2i ?0 ?0 ?0 ?a0 1 ?( 1 2?? )3/ 2 ? ? ? p r c o ?s e? c o ? s 2? ? r 3 e ?r / a0 dr[ ? e ? c o ? s i n d? s ? 0 0 3 2i ?a0i1i?e? cos?3 i 2? ? 2a0 ????0r 3 e ? r / a0 [pr ? pr pr ? ? ?? p r ?2 (e ? e ? ) ? 2 2 (e ? ? e ? )]dr ipr p r i i i ie? cos? 16 p 1 2 3 ia ? i 2?? 2a0 0 ( 1 ? p ) 3 2 a0 ? 2??Wk ? m ?16 pe? c o ? (a0 ?) 7 / 2 s2 8? (a0 p 2 ? ? 2 ) 32∴2 4 Fmk s i n 1 (? mk ? ? )t 2? 2 (? mk ? ? ) 2?2 128p 2 e 2? 2 c o 2 ? a0 ? 5 s i n 1 (?mk ? ?)t s 7 2 2 2 2 2 6 ? (a0 p ? ? ) (?mk ? ?) 285 5.5 基态氢原子处于平行板电场中，若电场是均匀的且随时间按指数下降，即? ? ? ?t / ? ) ?? 0 e , 当t ? 0(?为 大 于 零 的 参 数求经过长时间后氢原子处在 2p 态的几率。 解：对于 2p 态， ? ? 1 ， m 可取 0, ? 1 三值，其相应的状态为?0,当t ? 0? 210? 211? 21?1氢原子处在 2p 态的几率也就是从? 100 跃迁到? 210 、 211 、? 21?1 的几率之和。 ? 由a m (t ) ?1 t ? H mk e i? mk t ? dt ? i? ?0* ? ? H 210 ,100 ? ?? 210 H ?? 100 d?? ( H ? ? e? (t )r c o ? ) s(取 ? 方向为 Z 轴方向)* ? ? R21Y10 e? (t )r cos ? R10Y00 d??? e? (t )? R21r 3 R10 dr?0?2?0??0* Y10Y00 cos? sin ?d? d?(cos?Y00 ?1 3Y10 )? e? (t ) f ? ? 1 32?0??0* Y101 3Y10 s i n d? d? ?e? (t ) f* f ? ? R21 (r ) R10 (r )r 3 dr ? 0 ?256 81 6a03?(? r ? 1 3/ 2 2 1 ) ? ( ) 3 / 2 ? r 4 e 2 a0 dr 0 2a 0 3a 0 a 086 1 1 4！ 2 5 5 ? 256 ? ? 5 a0 ? a0 4 3 6 a0 81 6* ? ? 1 H 2 1 ,0 0 0? ?? 2 1 H ?? 1 0 d? ? 0 01 3e? (t ) f?e? (t ) 256 3 81 6? 0a0 ?128 2 e? (t )a0 243* ? H 211,100 ? e? (t )? ? 211 r cos??100 d?? e? (t )? R21 r 3 R10 dr?0?2?02????0* Y11 cos?Y00 sin ? d? d?* Y11? e? (t ) ? R21 r 3 R10 dr?0??1 300Y10 sin ? d? d?=0? H 21?1,100 ? ??* 21?1? H ?? 1 0 d? 0?? e? (t )? R21r 3 R10 dr?0? 0?0?2?02?Y1*1 cos?Y00 sin ? d? d? ?Y1*1 ? 1 3 Y10 sin ? d? d?? e? (t ) ? R21 r 3 R10 dr?=0?0?087 由上述结果可知，W100?211 ? 0 ， ∴W100?21?1 ? 0W1s?2 p ? W100?210 ? W100?211 ? W100?21?1? W100?210 ? ? 1 ?2?t0? H 210 ,100 e i?21t ? dt ?22 128 2 ( ) (ea0? 0 ) 2 2 ? 243e?t0e i?21t ? e ?t ? / ? dt ?t 22i? 21t ???1 12 128 2 2 2 2 ? 2( ) e a0 ? 0 ? 243当 t ? ? 时，2 ? 21 ??2? 1s ? 2 p ?2 128 2 2 2 2 ( ) e a0 ? 0 ? 2 24312 ? 21 ?1?2? es4 1 1 3? es4 3 es2 (1 ? ) ? ? 其中 ? 21 ? ( E2 ? E1 ) ? ? 4 8?a0 2? 3 8? 388 5.6 计算氢原子由第一激发态到基态的自发发射几率。 解：Amk ?3 4es2? mk ? rmk 3?c 32由选择定则 ?? ? ?1 ，知 2 s ? 1s 是禁戒的 故只需计算 2 p ? 1s 的几率? 21 ?E2 ? E1 ???es4 1 3 ?es4 (1 ? ) ? 4 8 ?3 2? 3而? 2 2 2 2 r21 ? x 21 ? y 21 ? z 212p 有三个状态，即? 210 , ? 211 , ? 21?1z ? rcos ?(1)先计算 z 的矩阵元?* ( z) 21m,100 ? ? R21 (r ) R10 (r )r 3 dr ? ?? 1*m cos? Y00 d? 0? f ? Y1* m ?f 1 31 3Y00 d?? m0f? ( z ) 2 1 ,0 0 0? 11 3( z) 2 1 ,1 0 0? 0( z) 21?1,1 0 0? 089 (2)计算 x 的矩阵元x ? rs i n cos ? ? ?r s i n ( e i? ? e ? i ? ) ? 2( x) 21m ,100 ?1 ? * R21 (r ) R10 (r )r 3 dr ? ? Y1* sin ? (e i? ? e ?i? )Y00 d? m 2 ?0?1 2 * f? Y1m (?Y11 ? Y1?1 )d? 2 3?1 6 f (?? m1 ? ? m ?1 )?Y11 ? ?3 s i n e i? ? 8?Y1?1 ?3 s i n e ?i? ? 8?Y00 ?1 4?? ( x) 2 1 ,0 0 0? 0 1( x) 211,100 ? ? 1 6 f( x) 21?1,1 0 0?(3)计算 y 的矩阵元1 6fy ? rs i n s i n ? ? ? 1 r s i n ( e i ? ? e ? i? ) ? 2i( y ) 21m,100 ?1 ? * R21 (r ) R10 (r )r 3 dr ? ? Y1* sin ? (e i? ? e ?i? ) Y00 d? m 2i ?0?1 2 f? (?? m1 ? ? m?1 ) 2i 31 i 6 f (?? m1 ? ? m?1 )?? ( y) 2 1 ,0 0 0? 0 1( y ) 211,100 ? ( y ) 21?1,1 0 0? ? ? r2 p?1s2i 6 ffi 6? (2 ?f2 f2 1 2 ? 2? ? f )? f2 6 6 390 (4)计算 f* f ? ? R21 (r ) R10 (r )r 3 dr ? 0 ?256 81 6a03? r ? 1 3/ 2 2 1 ?( ) ? ( ) 3 / 2 ? r 4 e 2 a0 dr 0 2a 0 3a 0 a 0?f2?1 1 4！ 25 5 ? 256 27 ? 5 a0 ? a0 ? a0 4 4 3 3 6 a0 81 62 3215 2 a0 393 4es2? 21 ? r21 3?c 3 2A2 p ?1s ?4es2 3 ?es4 3 215 2 ? ?( ) ? 9 a0 3?c 3 8 ? 3 3?28 ? 3 e14 ? 2 2 ? 10 s3 (? 2 ) 7 3 ? c ? es2 8 ?e10 ? 7 ? 6 s 3 ? 1.91? 109 s ?1 3 ? c??1 ? 5.23? 10?10 s ? 0.52 ? 10?9 s A2191 5.7 计算氢原子由 2p 态跃迁到 1s 态时所发出的光谱线强度。 解： J 2 p?1s ? N 2 p A2 p?1s ? ?? 212 8 ? e10 3 ? es4 ? N 2 p ? 7 3 s6 ? ? 2 3 c? 8 ? 2 5 ? 2 e14 ? N 2 p ? 6 ? 8 s3 3 ?c??21 ? 10.2eVe10 25 ? N 2 p ? 6 ? 3 s4 2 3 c ? a0? N2 p ? 3.1?10?9 W若N2 p ? 10?9 ，则 J 21 ? 3.1W92 5.8 求线性谐振子偶极跃迁的选择定则 解：? 2 Amk ? rmk ? x mk2* x mk ? ? ? m x? k dx由1 k k ?1 x? k ? [ ? k ?1 ? ? k ?1 ] ? 2 2? ? ? dx ? ?* m nmn1 k k ?1 xmk ? [ ? m,k ?1 ? ? m,k ?1 ] ? 2 2? m ? k ? 1时， xmk ? 0即选择定则为?m ? m ? k ? ?193 第七章自旋与全同粒子? ? ? 7.1.证明： ? x ? y? z ? i? ? ? ? ? 证：由对易关系 ? x? y ? ? y? x ? 2i? z ? ? ? ? 反对易关系 ? x? y ? ? y? x ? 0 ， ? ? ? ? x? y ? i? z? 上式两边乘 ? z ，得及 得? ? ? ? ? x? y? z ? i? z2? ? ? ∴ ? x ? y? z ? i? ∵ ? z2 ? 194 ? ? 7.2 求在自旋态 ? ( S z ) 中， S x 和 S y 的测不准关系：1 2( ?S x ) 2 ( ?S y ) 2 ? ?? ? ? 解：在 S z 表象中 ? 1 ( S z ) 、 S x 、 S y 的矩阵表示分别为2?1 ? ? 1 (S z ) ? ? ? ? 0? 2 ? ?? ? ? ? 0 1? ? Sx ? 1 0? ? 2? ?? ? ? ?0 ? i? ? Sy ?i 0 ? ? 2? ?∴ 在 ? 1 ( S z ) 态中2? ? 0 1 ?? 1 ? S x ? ? 1 S x ? 1 ? (1 0) ? ? 1 0 ?? 0 ? ? 0 ?? ? 2 2 2? ?? ??95 ? 0 1 ? ? ? 0 1 ?? 1 ? ? 2 ? 2 ? ?2 S x ? ? 1 S x ? 1 ? (1 0) ? ? 1 0 ? 2 ? 1 0 ?? 0 ? ? 4 ? ? ?? ? 2 2 2? ? ? ?? ?2 (?S x ) 2 ? S x ? S x 2? ? 1 ? (1 0) ? ? 0 ? i ?? 1 ? ? 0 ? Sy ? ?1 Sy ? i 0 ?? 0 ? ?? ? 2 2 2? ?? ???2 ? 4? 0 ? i ? ? ? 0 ? i ?? 1 ? ? 2 ? 2 ? ?2 S y ? ? 1 S y ? 1 ? (1 0) ? ? i 0 ? 2 ? i 0 ?? 0 ? ? 4 ? ? ?? ? 2 2 2? ? ? ?? ? 2 ?2 2 (?S y ) 2 ? S y ? S y ? 4?4 (?S x ) 2 (?S y ) 2 ? 1696 ? ? 讨论：由 S x 、 S y 的对易关系 ? ? ? [ S x ， S y ] ? i?S z? Sz 要求 ( ?S x ) ( ?S y ) ? 42 2 2 2?4 (?S x ) 2 (?S y ) 2 ? 16①? 在 ? 1 ( S z ) 态中， S z ? 2 2∴?4 (?S x ) 2 (?S y ) 2 ? 1697可见①式符合上式的要求。 ? ? ? ? 0 1 ?及S ? ? ? 0 ? i ? 的 本 征 值 和 ? ? ?y ? 7.3. 求 S x ? 1 0? ?? i 0 ? ? 2? 2? ? ?所属的本征函数。? 解： S x 的久期方程为?? ? 2∴? 2 ?0 ??? 2 ? ? ?( ) ? 0? ? ? ? 2 22? 的本征值为 ? ? 。 Sx 298 ? a1 ? ? 设对应于本征值 的本征函数为 ?1 / 2 ? ? ? ?b ? 2 ? 1?? ? ??? 由本征方程 S x 1 / 2 ，得 1/ 2 2 ? ? 0 1 ?? a1 ? ? ? a1 ? ? ? 1 0 ?? b ? ? 2 ? b ? ?? ? ? ? 2? ?? 1 ? ? 1??? b1 ? ? a1 ? ? ??? ? ? ?a ? ?b ? ? 1? ? 1?? a1 ? ( a , a )? ? ? 1 ?a ? ? 1?* 1 * 1b1 ? a1由归一化条件? ?1/ 2 ? 1 ，得? 1/ 299 即2 a12?1∴a1 ?1 2b1 ?1 2? 对应于本征值 的本征函数为 2?1 / 21 ?1? ? ? ? ? ? 2 ?1?? a2 ? ? 设对应于本征值 ? 的本征函数为 ? ?1 / 2 ? ? ? ?b ? 2 ? 2? ? a2 ? ? ? ? 由本征方程 S x ?1 / 2 ? ? ? ?1 / 2 ? ? ?b ? 2 ? 2?? ? b2 ? ? ? a 2 ? ? ??? ? a ? ? ? b ? ? b2 ? ?a 2 ? ? 2? ? 2 ?100 由归一化条件，得? a2 ? (a ,?a )? ?? a ? ? 1 ? 2 ? ?* 2 * 2即2 a22?1∴a2 ?1 2b2 ? ?1 2? 1 ?1 ? ? ? 对应于本征值 ? 的本征函数为 ? ?1 / 2 ? ? ? 2 2 ? ? 1?? 的本征值为 ? ? 。其相应的本征函数分别为 同理可求得 S y 21 ?1? ? ? ?1 ? ? ? 2 2 ?i ???1 21 ?1? ? ? ? ?? i? 2? ?101 7.4 求自旋角动量 (cos? , cos ? , cos? ) 方向的投影? ? Sn ? S x c o ? ? S y c o ? ? S z c o ? s ? s ? s本征值和所属的本征函数。? 在这些本征态中， 测量 S z 有哪些可能值？这些可 ? 能值各以多大的几率出现？ S z 的平均值是多少？? ? 解：在 S z 表象， S n 的矩阵元为? ?0 1? ? ?0 ? i? ? ?1 0 ? ? Sn ? ? ? 1 0 ? cos? ? 2 ? i 0 ? cos ? ? 2 ? 0 ? 1? cos? ? ? ? ? ? 2? ? ? ? ? ?102 cos? ?? Sn ? ? 2 ? cos? ? i cos ? ?其相应的久期方程为cos? ? i cos ? ? ? ? ? cos? ?? (cos? ? i cos ? ) 2 ?0 ? ? (cos? ? i cos ? ) ? cos? ? ? 2 2即? cos? ? ? 2?2 ?2 2 2 2 2 ? ? cos ? ? (cos ? ? cos ? ) ? 0 4 4?2 ?2 ? ? 0 (利用cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? 1) 103 4 ??a? ? 设对应于 S n ? 的本征函数的矩阵表示为 ? 1 ( S n ) ? ? ? ， ?b? 2 2 ? ?则? 的本征值为 ? ? 。 所以 S n 2? ??? 2cos? ?? ? 2 ? cos? ? i cos ? ?cos? ? i cos ? ?? a ? ? ? a ? ?? ? ? ? ? ?? b ? 2 ? b ? ? cos? ?? ? ? ?? a(cos? ? i cos ? ) ? b cos? ? b cos? ? i cos ? b? 1 ? cos?由归一化条件，得104 ?a? 2 2 1 ? ? 1 ? 1 ? (a , b )? ? ? a ? b ?b ? 2 2 ? ? 2 cos ? ? i cos ? 2 2 a ? a ?1 1 ? cos ?? * *2 2 a ?1 1 ? cos?取1 ? cos? a? 2，得b?cos? ? i cos ? 2(1 ? cos? )? 1 ? cos? ? ? ? 1 ? ? 1 (S n ) ? ? ? cos? ? i cos ? ? 2 ? ? ? 2(1 ? cos? ) ?105 1 ? cos? ? 1 (S n ) ? 2 2? 1 ? cos? ? i cos ? ? ?? ? 0? 2(1 ? cos? ) ? ?? 0? ? ? ?1? ? ?? 1 ? cos? ? ? ? 1 ? ? 1 (S n ) ? ? ? cos? ? i cos ? ? 2 ? ? 2(1 ? cos? ) ? ?1 ? cos? cos? ? i cos ? ? ?1 ? ? 1 2 2(1 ? cos? ) ? 2 2? 可见， S z 的可能值为相应的几率为? 2? ? 21? c o s ? 2cos2 ? ? cos2 ? 1 ? cos? ? 2(1 ? cos? ) 2106? 1 ? cos ? ? 1 ? cos ? ? Sz ? ? ? cos ? 2 2 2 2 2 同理可求得? 对应于 S n ? ? 的本征函数为 2? ? 1 ? cos? ? ? 2 ? ? ? ? 1 (S n ) ? ? cos? ? i cos ? ? 2 ?? ? 2(1 ? cos? ) ? ?? 在此态中， S z 的可能值为相应的几率为? 2 1 ? cos ? 2 ? ? 2 1 ? cos ? 2? S z ? ? cos ? 2107 ? 1 ? R21 (r )Y11 (? , ? ) ? ? ? 7.5 设氢的状态是 ? ? ? 2 3 ? ? R21 (r )Y10 (? , ? ) ? ?? ? 2 ?? ? ①求轨道角动量 z 分量 Lz 和自旋角动量 z 分量 S z 的平均值；? e ? e ? ? ? ? L? S ②求总磁矩 M ? ? 2? ?的 z 分量的平均值（用玻尔磁矩子表示）。108 解：ψ可改写成?1? ? 0? 1 3 ? ? R21 (r )Y11 (? , ? )? ? ? ? 0 ? 2 R21 (r )Y10 (? , ? )? 1 ? ? ? 2 ? ? ? ?1 3 ? R21 (r )Y11 (? , ? ) ? 1 ( S z ) ? R21 (r )Y10 (? , ? ) ? 1 ( S z ) ? 2 2 2 2? 从ψ 的表达式中可看出 Lz 的可能值为相应的几率为? ? Lz ? 4109?03 41 4 ? S z 的可能值为2? 2 1 4? ? 2 3 4相应的几率 C i 为S z ? ? Ci2? 1 ? 3 ? S zi ? ? ? ? ? ? 2 4 2 4 4②e e e ? e ? Mz ? ? Lz ? S z ? ? ? ? ? (? ) 2? ? 2? 4 ? 4e ? 1 ? ? ? MB 2? 4 4110 7.6 一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无 相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系 可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函 数构成？解：体系可能的状态有 4 个。设两个单粒子态为 ? i ，? j ，则体系可能的状态为?1 ? ?i (q1 )?i (q2 )?i (q3 )? 2 ? ? j (q1 )? j (q2 )? j (q3 )111 ?3 ?1 3[?i (q1 )?i (q2 )? j (q3 ) ? ?i (q1 )?i (q3 )? j (q2 ) ? ?i (q2 )?i (q3 )? j (q1 )]?4 ?1 3[? j (q1 )? j (q2 )?i (q3 ) ? ? j (q1 )? j (q3 )?i (q2 ) ? ? j (q2 )? j (q3 )?i (q1 )]112 ( ( ( 7.7 证明 ? S1) , ? S2) , ? S3) 和 ? A 组成的正交归一系。( ( 解：? S1)? ? S1) ? [?1/ 2 (S1z )?1/ 2 (S 2 z )]? [?1/ 2 (S1z )?1/ 2 (S 2 z )]? ?1?/ 2 (S2z ) ?1?/ 2 (S1z ) ?1/ 2 (S1z ) ?1/ 2 (S2z ) ? ?1?/ 2 (S2z ) ?1/ 2 (S2z )=1?(1)? S?( 2) S? [ ?1/ 2 (S1z ) ?1/ 2 (S 2 z )] [? ?1/ 2 (S1z )? ?1/ 2 (S 2 z )]?? ?1?/ 2 (S2z ) ?1?/ 2 (S1z ) ? ?1/ 2 (S1z ) ? ?1/ 2 (S2z )=0113 ?(1) ? S?( 3) S?1 2[ ?1 / 2 ( S1z ) ?1 / 2 ( S 2 z )]? ?? [ ?1 / 2 ( S1z ) ? ?1 / 2 ( S 2 z ) ? ? ?1 / 2 ( S1z ) ?1 / 2 ( S 2 z )]? 1 2 ? ?1?/ 2 (S 2 z ) ?1?/ 2 (S1z ) ? ?1 / 2 (S1z ) ?1 / 2 (S 2 z )] [ ?1?/ 2 (S 2 z ) ?1?/ 2 (S1z ) ?1 / 2 (S1z ) ? ?1 / 2 (S 2 z ) ??=01 2[ ?1?/ 2 ( S 2 z ) ? ?1 / 2 ( S 2 z ) ? 0]同理可证其它的正交归一关系。114 ?( 3) ? S?( 3) S1 ? [ ?1 / 2 ( S1z ) ? ?1 / 2 ( S 2 z ) ? ? ?1 / 2 ( S1z ) ?1 / 2 ( S 2 z )]? ? 2 ? [ ?1 / 2 ( S1z ) ? ?1 / 2 ( S 2 z ) ? ? ?1 / 2 ( S1z ) ?1 / 2 ( S 2 z )]1 ? [ ? 1 / 2 ( S1z ) ? ?1 / 2 ( S 2 z )] ? [ ? 1 / 2 ( S1z ) ? ?1 / 2 ( S 2 z )] 21 ? [ ?1 / 2 (S1z ) ? ?1 / 2 (S 2 z )] ? [ ?1 / 2 (S 2 z ) ? ?1 / 2 (S1z )] 2 1 ? [ ? 1 / 2 (S 2 z ) ? ?1 / 2 (S1z )] ? [ ? 1 / 2 (S1z ) ? ?1 / 2 (S1z )] 21 ? [ ?1 / 2 (S 2 z ) ? ?1 / 2 (S1z )] ? [ ?1 / 2 (S 2 z ) ? ?1 / 2 (S1z )] 21 1 ? ? 0? 0? ?1 2 2115 7.8 设两电子在弹性辏力场中运动，每个电子的1 势能是 U (r ) ? ?? 2 r 2 。如果电子之间的库仑能和 2U (r ) 相比可以忽略，求当一个电子处在基态，另一电子处于沿 x 方向运动的第一激发态时， 两电子 组成体系的波函数。解：电子波函数的空间部分满足定态S-方程?2 ? ?? (r ) ? U (r )? (r ) ? E? (r ) 2??2 ?2 ?2 ?2 1 ? ( 2 ? 2 ? 2 )? (r ) ? ?? 2 r 2? (r ) ? E? (r ) 116 2? ?x 2 ?y ?z ? ? ? ? 1 ? ( 2 ? 2 ? 2 )? (r ) ? ?? 2 r 2? (r ) ? E? (r ) 2? ?x 2 ?y ?z2 2 2 2考虑到 r 2 ? x 2 ? y 2 ? z 2 ，令 ? (r) ? X(x)Y( y)Z(z)?2 ?2 ?2 ?2 1 ? ( 2 ? 2 ? 2 ) XYZ ? ?? 2 ( x 2 ? y 2 ? z 2 ) XYZ ? EXYZ 2? ?x 2 ?y ?z?2 1 ?2 X 1 ? 2 1 ? 2Y 1 (? ? ?? 2 x 2 ) ? (? ? ?? 2 y 2 ) 2? X ?x 2 2 2? Y ?x 2 2 ?2 1 ?2Z 1 ? (? ? ?? 2 z 2 ) ? E 2? Z ?x 2 2?2 1 ?2 X 1 ? (? ? ?? 2 x 2 ) ? E x 2? X ?x 2 2117 ? 2 1 ? 2Y 1 (? ? ?? 2 y 2 ) ? E y 2? Y ?x 2 2 ?2 1 ?2Z 1 (? ? ?? 2 z 2 ) ? E z 2? Z ?x 2 2E ? Ex ? E y ? Ez? X n ( x) ? N n e1 ? ? 2 x2 2H n (? x)Ym ( y) ? N m e1 ? ? 2 y2 2H m (? y)Z ? ( z) ? N ? e1 ? ? 2z2 2H ? (? z)1 ? ? 2r 2 2? nm? (r ) ? N n N m N ? eH n (? x) H m (? y) H ? (? z)118 ? nm? (r ) ? N n N m N ? e? ?1/ 21 ? ? 2r 2 2H n (?x) H m (?y) H ? (?z)???E nm? ? (n ? m ? ? ? 3 )?? 2其中 N n ?2 n!n，??对于基态 n ? m ? ? ? 0 ， H 0 ? 1? 3/ 2 ? ? 0 ? ? 000 (r) ? ( ) e ?H1 x) ? 2? x （1 ? ? 2r 2 2对 于 沿 χ 方 向 的 第 一 激 发 态 n ? 1，m ? ? ? 0 ，119 ? 3/ 2 ? 0 ? ? 000 (r) ? ( ) e ? 1 5/ 2 ? ? 2? ? 1 ? ? 100 (r ) ? xe 2 3/ 4 2?1 ? ? 2r 2 22 2r两电子的空间波函数能够组成一个对称波函数和一 个反对称波函数，其形式为 1 ? S (r1 , r2 ) ? [? 0 (r1 )? 1 (r2 ) ? ? 1 (r1? 0 (r2 ))] 2? ? 3 / 2 [ x2 e ?41 ? ? 2 ( r12 ? r22 ) 2? x1e1 ? ? 2 ( r12 ? r22 ) 2]? ? 3 / 2 ( x2 ? x1 )e ?41 ? ? 2 ( r12 ? r22 ) 2120 ? A (r1 , r2 ) ?1 2[? 0 (r1 )? 1 (r2 ) ? ? 0 (r2 )? 1 (r1 )]2 2 1 2 21 ? ? (r ?r ) ?4 ? 3 / 2 ( x 2 ? x 1 )e 2 ? 而两电子的自旋波函数可组成三个对称态和一个 反对称态，即( ( ( ? S1)、? S2)、? S3) 和 ? A综合两方面，两电子组成体系的波函数应是反对称波 函数，即 独态： ?1 ? ? S (r1 , r2 ) ? A121 ( ?? 2 ? ? A (r1 , r2 ) ? S1) 三重态： ? ( 2) ?? 3 ? ? A (r1 , r2 ) ? S ? ( 3) ?? 4 ? ? A (r1 , r2 ) ? S122
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量子力学：对于处在电场中的自由电子的本征能量和本征波函数是多少?
量子力学：对于处在电场中的自由电子的本征能量和本征波函数是多少?
亲,您真是学傻了.处在电场中的粒子,受到电场的作用,怎么能叫做自由粒子呢~电子在电场中如果形成束缚态,本征能量则是分立的.把电子的电场能表示出来,代到薛定谔方程里面的U（x）,求解能量本征方程,求出的一系列本征方程解就是它的本征函数.相应本征值就是它可能的能级.第三方登录：《量子力学教程》 习题解答1 目录? ? ? ? ? ? ? 第一章 绪论 第二章 波函数和薛定谔方程 第三章 力学量的算符表示 第四章 态和力学量的表象 第五章 微扰理论 第六章 弹性散射 第七章 自旋和全同粒子2 第一章 绪论1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律： ?
mT ? b, 证明：由普朗克黑体辐射公式：b ? 2.9 ?10?3 m?0 C 。8?h? 3 ?? d? ? 3 c及? ?1 eh? kTd? ， ?1c c 、 d ? ? ? 2 d? 得 ? ??? ?令x?8?hc ?51 ehc ?kT，?1d? hc ，再由 ? ? 0 ，得 ? .所满足的超越方程为 ?kT d?xe x 5? x e ?1用图解法求得 x ? 4.97 ，即得hc ? 4.97 ，将数据代入求得 ?mT ? b, b ? 2.9 ?10?3 m?0 C ?m kT3 1.2．在 0K 附近，钠的价电子能量约为 3eV,求 de Broglie 波长. 解： ? ? # 1.3. 氦原子的动能为 E ? 解： ? ?0 h h ? ? 7.09?10?10 m ? 7.09A p 2m E3 kT ，求 T ? 1K 时氦原子的 de Broglie 波长。 20 h h h ? ? ? 12.63?10?10 m ? 12.63A p 2m E 3m kT其中 m ? 4.003?1.66?10?27 kg ， k ? 1.38?10?23 J ? K ?1 # 1.4 利用玻尔―索末菲量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量。 （2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。 已知外磁场 B ? 10T ，玻尔磁子 ?B ? 0.923?10?23 J ? T ?1 ，求动能的量子化间隔 ? E ，并与 T ? 4K 及T ? 100 K 的热运动能量相比较。p2 1 2 2 解：（1）方法 1：谐振子的能量 E ? ? ?? q 2? 24 可以化为? 2?E ?p22?q2 ? 2E ? ? ?? 2 ? ? ? ? ?2?1的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为 a ? 2?E , b ?2E ，相空间面积为 ?? 2? pdq ? ?ab ?2?E E ? ? nh, n ? 0,1,2,? ? ?所以，能量 E ? nh? , n ? 0,1,2,? 方法 2：一维谐振子的运动方程为 q?? ? ? 2 q ? 0 ，其解为q ? A sin??t ? ? ?速度为 q? ? A? c o ??t ? ? ?，动量为 p ? ?q? ? A?? cos??t ? ? ? ，则相积分为 sA2 ?? 2 T A2 ?? 2T ? pdq ? A ?? ?0 cos ??t ? ? ?dt ? 2 ?0 (1 ? cos??t ? ? ?)dt ? 2 ? nh ， n ? 0,1,2,?2 2 T 2A2 ?? 2 nh E? ? ? nh? ， n ? 0,1,2,? 2 T5 ?v 2 ?v （2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。由 evB ? ，得 R ? eB RB 再由量子化条件 pdq ? nh,n ? 1,2,3,? ， ? , p? ? ?Rv ? ?R ? ? eR 分别表示广义坐标和相应的 以2 2??广义动量，所以相积分为p? d? ? ? p? d? ? 2??Rv ? 2?eBR2 ? nh ， n ? 1,2,? ，由此得半径为 R ? ?02?n? ， n ? 1,2,? 。 eB1 2 1 ? eBR ? 1 2 2 n? ? ? e B ? n? B B 电子的动能为 E ? ?v ? ? ? 2 2 ? ? ? 2? eB ? ?动能间隔为 ?E ? ?B B ? 9 ?10 J 热运动能量（因是平面运动，两个自由度）为 E ? kT ，所以当 T ? 4K 时， E ? 4.52 ? 10 J ；当?232?23T ? 100 K 时， E ? 1.38?10?21 J 。6 1.5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两个光子的能量相等，问要实现这种转化，光子 波长最大是多少？ 解：转化条件为 h? ? ?ec 2 ，其中 ?e 为电子的静止质量，而? ?c h ，所以 ? ? ，即有 ? ?ec0 h 6.626?10?34 ?max ? ? ?c ? ? 0.024A （电子的康普顿波长）。 ?e c 9.1?10?31 ? 3 ?1087 第二章 波函数和薛定谔方程2.1.证明在定态中，几率流与时间无关。 证：对于定态，可令? ? ? ( r ，t ) ? ? ( r )f ( t ) ? ? Et ? ? ( r )e ? ? i? J? (??? * ?? *?? ) 2m i i i i ? Et ? ? ? Et ? ? ? Et * ? ? ? Et i? * ? ? ? [? ( r )e ?（? ( r )e ） ? ? ( r )e ?（? ( r )e ） ] 2m ? ? ? ? i? ? [? ( r )?? * ( r ) ? ? * ( r )?? ( r )] 2m可见 J与t 无关。i?8 2.2由下列定态波函数计算几率流密度：(1)? 1 ?1 ik r e r( 2)? 2 ?1 ?i k r e r从所得结果说明? 1 表示向外传播的球面波，? 2 表示向内(即向原点) 传播的球面波。 解： J1和J 2只有r分量 在球坐标中??? ? ? 1 ? ? 1 ? ? ? r0 ? e? ? e? ?r r ?? r s i n ?? ?(1)? ? J1与r 同向。表示向外传播的球面波。? i? * * J1 ? (? 1?? 1 ?? 1 ?? 1 ) 2m i? 1 ikr ? 1 ?ikr 1 ?ikr ? 1 ikr ? ? [ e ( e )? e ( e )]r0 2m r ?r r r ?r r i? 1 1 1 1 1 1 ? ? [ (? 2 ? ik ) ? (? 2 ? ik )]r0 2m r r r r r r ?k ? ?k ? ? 2 r0 ? 3 r mr mr9 (2)? i? * * J 2 ? (? 2?? 2 ?? 2 ?? ) 2m ? i? 1 ? 1 1 ? 1 ? [ e ?ikr ( eikr ) ? eikr ( e ?ikr )]r0 2m r ?r r r ?r r i? 1 1 1 1 1 1 ? ? [ (? 2 ? ik ) ? (? 2 ? ik )]r0 2m r r r r r r ?k ? ?k ? ? ? 2 r0 ? ? 3 r mr mr? ? 可见， J 2与r 反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。补充：设? ( x) ? e ikx ，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？? ? *?dx ? dx ? ?? ???∴波函数不能按??? ( x) dx ? 1 方式归一化。2其相对位置几率分布函数为? ? ? ? 1 表示粒子在空间各处出现的几率相同。210 2.3一粒子在一维势场??，x ? 0 ? U ( x) ? ?0， 0 ? x ? a ??，x ? a ?中运动，求粒子的能级和对应的波函数。 解： U ( x)与t 无关，是定态问题。其定态 S―方程?2 d 2 ? ? ( x) ? U ( x)? ( x) ? E? ( x) 2m dx2在各区域的具体形式为 Ⅰ： x ? 0?2 d 2 ? ? 1 ( x) ? U ( x)? 1 ( x) ? E? 1 ( x) 2m dx2①?2 d 2 ? 2 ( x) ? E? 2 ( x) Ⅱ： 0 ? x ? a ? 2m dx2②11 Ⅲ： x ? a?2 d 2 ? ? 3 ( x) ? U ( x)? 3 ( x) ? E? 3 ( x) 2m dx2③由于(1)、(3)方程中，由于U (x) ? ? ，要等式成立，必须? 1 ( x) ? 0? 2 ( x) ? 0即粒子不能运动到势阱以外的地方去。d 2? 2 ( x) 2m E ? 2 ? 2 ( x) ? 0 方程(2)可变为 dx2 ?令k ?22mE ，得 ?2d 2? 2 ( x) 2 ? k ? 2 ( x) ? 0 dx2其解为? 2 ( x) ? A sin kx ? B coskx④12 根据波函数的标准条件确定系数 A，B，由连续性条件，得? 2 (0) ? ? 1 (0)? 2 ( a ) ? ? 3 ( a)⑤ ⑥ ⑥⑤?B?0 ? A sin ka ? 0?A?0 ?s i n ? 0 ka ? ka ? n?(n ? 1, 2, 3,?)∴? 2 ( x) ? A sinn? x a由归一化条件?得?? ( x) dx ? 12A2?a 2 sin0n? xdx 1 ? a由?absinm? n? a x ? sin xdx ? ? mn a a 213 ? A?2 a 2 n? sin x a a?? 2 ( x) ??k2 ?2mE ?2? 2? 2 2 ? En ? 2 n 2ma(n ? 1,2,3,?) 可见 E 是量子化的。对应于 En 的归一化的定态波函数为? 2 n? ? ?i Ent ? sin xe , 0 ? x ? a ? n ( x, t ) ? ? a a ? 0, x ? a, x ? a ?14 2.4. 证明（2.6-14）式中的归一化常数是 A? ?1 an? ? ? A? sin ( x ? a), x ? a 证： ? n ? ? a ? 0, x ?a ?由归一化，得1 ? ? ? n dx ? ? A? 2 sin 22 ? ?aan? ( x ? a)dx a? A? 2 ?1 n? [1 ? cos ( x ? a)]dx ?a 2 aa aA? 2 A? 2 a n? ? x ? cos ( x ? a)dx 2 ?a 2 ??a a A? 2 a n? ? A? a ? ? sin ( x ? a) 2 n? a ?aa 2? A? 2 a∴归一化常数 A? ?1 a15 2.5求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。? ? ? 解：? ( x) ? ? 2?xe 2 2 ? 122 2x?1 ( x) ? ? 1 ( x) ? 4? 2 ?? 2? 3? ? x 2 e ?? 2 ?2 2x?? x 2 e ??2 2x2 2 d?1 ( x) 2? 3 ? [2 x ? 2? 2 x 3 ]e ?? x dx ?令d?1 ( x) ? 0 ，得 dxx?0x??1?x ? ??x 由 ?1 ( x) 的表达式可知， x ? 0， ? ?? 时， ?1 ( x) ? 0 。显然不是最大几率的位置。2 2 d 2?1 ( x) 2? 3 而 ? [(2 ? 6? 2 x 2 ) ? 2? 2 x(2 x ? 2? 2 x 3 )]e ?? x dx2 ? 2 2 4? 3 ? [(1 ? 5? 2 x 2 ? 2? 4 x 4 )]e ?? x ?d 2?1 ( x) dx2#x ??1 24? 3 1 1 ? ? ?2 ? 0 ， 可见 x ? ? ? ? 是所求几率最大的位置。 ? ?? ? e16 2.6在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：U (? x) ? U ( x) ，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。 证：在一维势场中运动的粒子的定态 S-方程为?2 d 2 ? ? ( x) ? U ( x)? ( x) ? E? ( x) 2? dx2将式中的 x以(? x) 代换，得 利用 U (? x) ? U ( x) ，得①??2 d 2 ? (? x) ? U (? x)? (? x) ? E? (? x) 2? dx2 ?2 d 2 ? ? (? x) ? U ( x)? (? x) ? E? (? x) 2? dx2②③比较①、③式可知，? (? x)和? ( x) 都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。由于它们描写 的是同一个状态，因此? (? x)和? ( x) 之间只能相差一个常数 c 。方程①、③可相互进行空间反演( x ? ? x) 而得其对方，由①经 x ? ?x 反演，可得③，? ? (? x) ? c? ( x)由③再经 ? x ? x 反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。 ④? ? ( x) ? c? (? x)④乘 ⑤，得⑤? (x)? (?x) ? c 2? (x)? (?x) ， 可见， c 2 ? 1 ，所以 c ? ?1当 c ? ?1 时， ? (? x ) ? ? ( x ) ， ? ? (x) 具有偶宇称， 当 c ? ?1 时， ? (? x) ? ?? ( x) ， ? ? (x) 具有奇宇称， 当势场满足 U (? x) ? U ( x) 时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。17 2.7 一粒子在一维势阱中?U 0 ? 0, ? U ( x) ? ? ? 0, ?x ?a x ?a运动，求束缚态( 0 ? E ? U 0 )的能级所满足的方程。 解：粒子所满足的 S-方程为?2 d 2 ? ? ( x) ? U ( x)? ( x) ? E? ( x) 2? dx2按势能U (x) 的形式分区域的具体形式为?2 d2 Ⅰ： ? ? 1 (x) ? U 0? 1 (x) ? E? 1 (x) 2? dx 2 ?2 d 2 Ⅱ： ? ? ( x) ? E? 2 ( x) 2 2 2? dx ?2 d2 Ⅲ： ? ? 3 (x) ? U 0? 3 (x) ? E? 3 (x) 2? dx 2?? ? x ? a?a ? x?a①②a? x??③18 整理后，得? Ⅰ： ? 1? ?? Ⅱ：. ? 2? ?2? (U 0 ? E ) ?1 ? 0 ?2④2? E ?2 ? 0 ?2⑥⑤? Ⅲ： ? 3? ?令 k1 ?22? (U 0 ? E ) ?3 ? 0 ?2 k 22 ? 2?E ?22? (U 0 ? E ) ?2则 Ⅰ： Ⅱ：.? 1?? ? k12? 1 ? 0? ? 2? ? k22? 2 ? 0⑦ ⑧ ⑨? Ⅲ： ? 3? ? k12? 1 ? 0各方程的解为? 1 ? Ae? k1x ? Be k1x ? 2 ? C sin k 2 x ? D cosk 2 x ? 3 ? Ee? k1x ? Fe ?k1x19 由波函数的有限性，有? 1 (??)有限 ? 3 (?)有限因此? A?0 ?E?0? 1 ? Be k x1? 3 ? Fe ?k x1由波函数的连续性，有? 1 (?a ) ? ? 2 (?a ), ? Be ? k a ? ?C sin k 2 a ? D cos k 2 a1(10) (11) (12)1? ? 1? (?a ) ? ? 2 (?a ), ? k 1Be ?k a ? k 2 C cos k 2 a ? k 2 D sin k 2 a1? 2 (a ) ? ? 3 (a ), ? C sin k 2 a ? D cos k 2 a ? Fe ?k a1? ? ? 2 (a ) ? ? 3 (a ), ? k 2 C cos k 2 a ? k 2 D sin k 2 a ? ?k 1Fe ?k a整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程组，得(13)e ? k1a B ? sin k 2 aC ? cosk 2 aD ? 0 ? 0 k 1e ?k1a B ? k 2 cosk 2 aC ? k 2 sin k 2 a D ? 0 ? 0 0 ? sin k 2 aC ? cosk 2 aD ? e ?k1a F ? 0 0 ? k 2 cosk 2 aC ? k 2 sin k 2 aD ? k 1e ?k1a F ? 020 解此方程即可得出 B、C、D、F，进而得出波函数的具体形式，要方程组有非零解，必须e ? k1a k 1e ? k1a 0 0sin k 2 a ? cos k 2 a ? k 2 cos k 2 a ? k 2 sin k 2 a sin k 2 a k 2 cos k 2 a cos k 2 a0 0 e ? k1a?0? k 2 sin k 2 a k 1 Be ? k1a? k 2 cos k 2 a ? k 2 sin k 2 a 0 ? e ? k1a sin k 2 a k 2 cos k 2 a sin k 2 a ? k 1e ? k1a sin k 2 a0cos k 2 a ? e ?k1a ? ? k 2 sin k 2 a k 1e ? k1a ? cos k 2 a cos k 2 a 0 ? e ?k1a ?k 2 cos k 2 a ? k 2 sin k 2 a k 1e ?k1a ? e ? k1a [?k 1 k 2 e ? k1a cos2 k 2 a ? k 2 e ?k1a sin k 2 a cos k 2 a ? 2 ? k 1 k 2 e ? k1a sin 2 k 2 a ? k 2 e ? k1a sin k 2 a cos k 2 a ] ? 2 ? k 1e ? k1a [k 1e ? k1a sin k 2 a cos k 2 a ? k 2 e ?k1a cos2 k 2 a ? ? k 1e ? k1a sin k 2 a cos k 2 a ? k 2 e ? k1a sin 2 k 2 a ] ? e ? 2 k1a [?2k 1 k 2 cos 2k 2 a ? k 2 sin 2k 2 a ? k 1 sin 2k 2 a ] 22 2 ? e ? 2 k1a [(k 2 ? k 1 ) s i n k 2 a ? 2k 1 k 2 c o 2k 2 a ] 2 s 2∵ e2?2 k1a?0∴ (k 2 ? k1 ) sin 2k 2 a ? 2k1k 2 cos2k 2 a ? 02即2 (k 2 ? k12 )tg 2k 2 a ? 2k1k 2 ? 0 为所求束缚态能级所满足的方程。21 方法二：接（13）式? C sin k 2 a ? D cosk 2 a ?k2 k C cosk 2 a ? 2 D sin k 2 a k1 k1 k2 k C cosk 2 a ? 2 D sin k 2 a k1 k1C sin k 2 a ? D cosk 2 a ? ?k2 k2 cos k 2 a ? sink 2 a sink 2 a ? cos k 2 a k1 k1 ?0 k2 k2 cos k 2 a ? sink 2 a ? ( sink 2 a ? cos k 2 a ) k1 k1 ?( ?( k2 k cos k 2 a ? sink 2 a )( 2 sink 2 a ? cos k 2 a ) k1 k1 k2 k cos k 2 a ? sink 2 a )( 2 sink 2 a ? cos k 2 a ) ? 0 k1 k1 k2 k cos k 2 a ? sink 2 a )( 2 sink 2 a ? cos k 2 a ) ? 0 k1 k1(k 22 k k sink 2 a cos k 2 a ? 2 sin2 k 2 a ? 2 cos2 k 2 a ? sink 2 a cos k 2 a ? 0 k1 k1 k12 k 22 2k ( ?1 ? 2 ) sin2k 2 a ? 2 cos 2k 2 a ? 0 k1 k1 ( k 22 ? k12 ) sin2k 2 a ? 2k 1 k 2 cos 2k 2 a ? 022 另一解法： (11)-(13) ? 2k2 D sink2 a ? k1e ? k1a ( B ? F ) (10)+(12) ? 2D cosk 2 a ? e ?k1a (B ? F)(11) ? (13) ? k 2 tgk 2 a ? k 1 (10) ? (12)(11)+(13) ? 2k2C cosk2 a ? ?k1 (F ? B)e ? ik1a (12)-(10) ? 2C sin k 2 a ? (F ? B)e ?ik1a(a )(11) ? (13 ) ? k 2 ctgk 2a ? ? k1 (12) ? (10 )令（b）? ? k 2 a，? ? k 2 a，则? tg? ? ? ? ctg? ? ??2 2 1 2 2(c) (d )或22?U 0 a 2 ? ? ? ? (k ? k ) ? ?2合并 (a )、 ) ： (b(f )tg 2k 2 a ?2k1 k 2 k 22 ? k12利用 tg2k 2 a ?2tgk2 a 1 ? tg2 k 2 a23 2-7 一粒子在一维势阱?U 0 ? 0, x ? a U ( x) ? ? ? 0, x ? a中运动，求束缚态 (0 ? E ? U 0 ) 的能级所满足的方程。 解：（最简方法-平移坐标轴法）?2 ? Ⅰ： ? ? 1? ? U 0? 1 ? E? 1 2? ?2 ? Ⅱ： ? ? 2? ? E? 2 2? ?2 ? Ⅲ： ? ? 3? ? U 0? 3 ? E? 3 2?2 ? (U 0 ? E ) ? ? ?1 ? 0 ?? 1? ? ?2 ? 2 ?E ? ? ? ?? 2? ? 2 ? 2 ? 0 ? ? ? 2 ? (U 0 ? E ) ? ?3 ? 0 ?? 3? ? ?2 ?2 ?? 1?? ? k 1? 1 ? 0 (1) ? 2 ? ?? 2? ? k 2? 2 ? 0 (2) ? ?? 2 ?? 3 ? k 1? 3 ? 0 (3)（χ ≤0）（0＜χ ＜2 a ）（χ ≥2 a ）2 k 1 ? 2? ( U 0 ? E) ? 2k 2 ? 2?E ? 2 2束缚态 0 ＜ E ＜ U 024 ? 1 ? Ae ? k1 x ? Be ? k1 x ? 2 ? C sink 2 x ? D cos k 2 x ? 3 ? Ee ? k1 x ? Fe ? k1 x? 1 (??)有限 ? 3 (?)有限因此?B?0 ?E?0?? 1 ? Ae k1 x? 3 ? Fe ? k1 x由波函数的连续性，有? 1 (0) ? ? 2 (0), ? A ? D ? ? 1? (0) ? ? 2 (0), ? k 1A ? k 2 C? ? ? 2 (2a ) ? ? 3 (2a ), ? k 2 C cos 2k 2 a ? k 2 D sin 2k 2 a ? ?k 1Fe ?2 k1a(4) (5) (6) (7 )? 2 (2a ) ? ? 3 (2a ), ? C sin 2k 2 a ? D cos 2k 2 a ? Fe ?2 k1a(7)代入(6) 利用(4)、(5)，得C sin2k 2 a ? D cos2k 2 a ? ?k2 k C cos2k 2 a ? 2 D sin2k 2 a k1 k125 k1 k A sin 2k 2 a ? A cos 2k 2 a ? ?A cos 2k 2 a ? 2 D sin 2k 2 a k2 k1 A[( k1 k 2 ? ) sin 2k 2 a ? 2 cos 2k 2 a ] ? 0 k 2 k1?A ? 0 k1 k 2 ? ( ? ) sin 2k 2 a ? 2 cos 2k 2 a ? 0 k 2 k1 两边乘上(?k 1 k 2 )即得2 (k 2 ? k 1 ) sin 2k 2 a ? 2k 1 k 2 cos 2k 2 a ? 0 226 2.8 分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为x?0 ， ??, ?U , 0 ? x ? a， ? 0 U ( x) ? ? ?? U 1 , a ? x ? b， ?0, b?x ， ?求束缚态的能级所满足的方程。 解：势能曲线如图示，分成四个区域求解。 定态 S-方程为?2 d 2 ? ? ( x) ? U ( x)? ( x) ? E? ( x) 2? dx2对各区域的具体形式为?2 Ⅰ： ? ? 1?? ? U ( x)? 1 ? E? 1 2? ?2 ? Ⅱ： ? ? 2? ? U 0? 2 ? E? 2 2? ?2 ? Ⅲ： ? ? 3? ? U1? 3 ? E? 3 2?( x ? 0) (0 ? x ? a) (a ? x ? b)27 ?2 ? Ⅳ： ? ? 4? ? 0 ? E? 4 2?(b ? x)对于区域Ⅰ，U (x) ? ? ，粒子不可能到达此区域，故? 1 ( x) ? 0①? 而 . ? 2? ?2? (U 0 ? E ) ?2 ? 0 ?2 ? ? 3? ? 2? (U 1 ? E ) ?3 ? 0 ?2②? ? 4? ?2 ?E ?4 ? 0 ?2③对于束缚态来说，有 ? U ? E ? 0? ∴ ? 2? ? k1 ? 2 ? 02k12 ?2? (U 0 ? E ) ?2 2? (U 1 ? E ) ?2④? ? 3? ? k32? 3 ? 0k 32 ?⑤ ⑥? ? 4? ? k42? 4 ? 0各方程的解分别为k 42 ? ?2?E / ? 2? 2 ? Aek1x ? Be? k1x ? 3 ? C sin k 2 x ? D cos k 2 x ? 4 ? Ee? k3 x ? Fe?k3 x28 由波函数的有限性，得? 4 (?)有限，? E ? 0∴ ? 4 ? Fe?k3 x 由波函数及其一阶导数的连续，得? 1 (0) ? ? 2 (0) ? B ? ? A∴ ? 2 ? A(e k3 x ? e ?k3 x )? 2 (a) ? ? 3 (a) ? A(e k x ? e ?k x ) ? C s i n 2 a ? D c o k2 a k s3 3⑦ ⑧ ⑨? ? ? 3 (a) ? ? 3 (a) ? Ak1 (e k a ? e ?k a ) ? Ck 2 cosk2 a ? Dk2 sin k2 a3 3? 3 (b) ? ? 4 (b) ? C sin k2b ? D cosk2b ? Fe?k3b? ? ? 3 (b) ? ? 4 (b) ? Ck2 sin k2b ? Dk2 cosk2b ? ?Fk3e ?k b3⑩ (11)k1 e k1a ? e ? k1a C cosk 2 a ? D cosk 2 a 由⑦、⑧，得 ? k 2 e k1a ? e ?k1a C sink 2 a ? D cosk 2 a由 ⑨、⑩得 (k 2 cosk 2 b)C ? (k 2 sink 2 b) D ? (?k 3 sink 2 b)C ? (k 3 cosk 2 b) D(k2 k c o k 2 b ? s i n 2 b)C ? (? 2 c o k 2 b ? s i n 2 b) D ? 0 s k s k k3 k3(12)e k1a ? e ? k1a k1 令? ? k a ? ，则①式变为 e 1 ? e ? k1a k 2( ? sink2 a ? cosk 2 a)C ? ( ? cosk 2 a ? sink2 a)D ? 029 联立(12)、(13)得，要此方程组有非零解，必须(k2 k c o k 2 b ? s i n 2 b) ( ? 2 s i n 2 b ? c o k 2 b) s k k s ?0 k3 k3 (? s i n 2a ? c o k2a) ( ? c o k2a ? s i n 2a) k s s k即 ( ? cos k 2 a ? sink 2 a )( ? (?k2 cos k 2 b ? sink 2 b) ? ( ? sink 2 a ? cos k 2 a ) ? k3k2 sink 2 b ? cos k 2 b) ? 0 k3?k2 k cos k 2 b cos k 2 a ? 2 sink 2 b sink 2 a ? ? sink 2 b cos k 2 a ? k3 k3 k2 k sink 2 b sink 2 a ? 2 sink 2 b cos k 2 a ) ? k3 k3 k2 k ) ? cos k 2 (b ? a )((? 2 ? 1) ? 0 k3 k3 k2 k ?) ( 2 ? ?) k3 k330? sink 2 b sink 2 a ? ?? ? cos k 2 b sink 2 a ? cos k 2 b cos k 2 a ? 0 sink 2 (b ? a )(? ? tgk 2 (b ? a ) ? (1 ? 把 ? 代入即得k 2 e k1a ? e ? k1a k 2 k1 e k1a ? e ? k1a t g k (b ? a ) ? (1 ? ) ( ? ) 2 k 3 e k1a ? e ? k1a k 3 k 2 e k1a ? e ? k1a此即为所要求的束缚态能级所满足的方程。 # 附：从方程⑩之后也可以直接用行列式求解。见附页。( e k1 a ? e ? k1 a )? sink 2 a? cos k 2 a0(e k1a ? e ? k1a )k 2 ? k 2 cos k 2 a k 2 sink 2 a 0 ?0 ? k 3a 0 sink 2 b cos k 2 b ?e 0 k 2 cos k 2 b ? k 2 sink 2 b k 3 e ? k3a 0 ? ( e k1a ? k 2 cos k 2 a k 2 sink 2 a 0 ? e ? k1a ) sink 2 b cos k 2 b ? e ? k 3a ? k 2 cos k 2 b ? k 2 sink 2 b k 3 e ? k3a ? sink 2 a ? cos k 2 a 0 ? e ? k1a ) ? sink 2 b cos k 2 b ? e ? k3a k 2 cos k 2 b ? k 2 sink 2 b k 3 e ? k3a? k 1 ( e k1 a? (e k1a ? e ? k1a（ ? k 2 k 3 e ? k3a c o k 2 a c o k 2 b ? k 22 e ? k3a s i n 2 a ) s s k c o k 2 b ? k 2 k 3 e ? k3a s i n 2 a s i n 2 b ? k 22 e ? k3a c o k 2 a s i n 2 b） s k k s k ? k1 (e k1b ? e ? k1b（k 2 k 3 e ? k3b s i n 2 a c o k 2 b ? k 2 e ? k3b c o k 2 a ) k s s c o k 2 b ? k 3 e ? k3b c o k 2 a s i n 2 b ? k 2 e ? k3b s i n 2 a s i n 2 b） ） s s k k k31 ? (e k1a ? e ? k1a )[? k 2 k 3 cosk 2 (b ? a ) ? k 22 sink 2 (b ? a )]e ? k3b ? (e k1a ? e ? k1a )[k1 k 3 sink 2 (b ? a ) ? k1 k 2 cosk 2 (b ? a )]e ? k3b ? e k1a [?(k1 ? k 3 )k 2 cosk 2 (b ? a ) ? (k 22 ? k1 k 3 ) sink 2 (b ? a )]e ? k3b e ? k1a [(k1 ? k 3 )k 2 cosk 2 (b ? a ) ? (k 22 ? k1 k 3 ) sink 2 (b ? a )]e ? k3b ?0? [?(k1 ? k 3 )k 2 ? (k 22 ? k1 k 3 )tgk 2 (b ? a )]e ? k3b ? [(k1 ? k 3 )k 2 ? (k 22 ? k1 k 3 )tgk 2 (b ? a )]e ? k3b ? 0 [(k 22 ? k1 k 3 )e 2k1a ? (k 22 ? k1 k 3 )]tgk 2 (b ? a ) ? (k1 ? k 3 )k 2 e 2k1a ? ( k 1 ? k 3 )k 2 ? 0此即为所求方程。32 第三章? ? e ?力学量的算符表示? 2 x2 i ? ?t 2 23.1 一维谐振子处在基态? ( x) ?，求：(1)势能的平均值 U ?1 2 2 ?? x ； 2(2)动能的平均值 T ?p2 ； 2?(3)动量的几率分布函数。 解：(1) U ?1 2 2 1 2 ? ?? x ? ?? 2 2 ?????x 2 e ?? x dx2 21 ? 1 ? 1 2 1 1 ? ? ?? 2 ?2 2 2 ? ?? ? ?? 2 ? 2 2 4 ?? 2? ? 2? ? 21 ? ?? 4??0x 2n e ?ax dx ?21 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? a 2 n?1 a np2 1 ? * ? (2) T ? ? ? ? ( x) p 2? ( x)dx 2? 2? ??33 ? 1 ? ? 2? x d2 ? ? x ? e (?? 2 2 )e 2 dx dx ? 2? ???12 212 2?? ?2 2 ? ? ? (1 ? ? 2 x 2 )e ?? x dx ?? ? 2?2 2 2 2 2 2? ? ? 2 2 ? ?? x ? ? [? e dx ? ? 2 ? x 2 e ?? x dx] ?? ?? ? 2?? ?2 2 ? ? ? ? [ ?? 2 ? 3 ] ? 2? ? 2?? ? 2 2 ? ? 2 2 ? 2 ?? ? ? ? ? ? ? 2? 4? 4? ? ? 2??或1 ?? 4 1 1 1 ?? ? ?? ? ?? 2 4 4T ? E ?U ?(3) c( p ) ? ? * ( x)? ( x) dx p??1 2??????i ? ? 1? x ? ? Px 2 e e dx ?2 234 ?1 2??? ?? ? ?????e1 i ? ? 2 x 2 ? Px 2 ?edxe1 ip p2 ? ? 2 ( x ? 2 )2 ? 2 2 2 ? ? 2? ?1 2?? 1 2?? 1 2??? ?????dx? ? 2? ? e ?p22 2p22 2????e1 ip ? ? 2 ( x ? 2 )2 2 ? ?dxp22 2? ? 2? ? 2 1 ? 2? ? e ? ? e ? ? ?? ?动量几率分布函数为? ( p ) ? c( p) ?21?p2?? ?e? 2? 2# 3.2.氢原子处在基态? (r ,? , ? ) ?13 ? a0e ?r / a0 ，求：(1)r 的平均值；e2 (2)势能 ? 的平均值； r(3)最可几半径；(4)动能的平均值；(5)动量的几率分布函数。 解：(1) r ? r ? (r ,? , ? ) d? ?2?1 ? 2? ? ?2r / a0 2 re r sin ? drd? d? 3 ?a0 ?0 ?0 ?035 ?4 3 a0??0r 3 a ?2 r / a0 dr??0x n e ? ax dx ?n! a n ?1?4 3! 3 ? a0 3 a0 ? 2 ? 4 2 ? ? ?a ? ? 0?e2 e2 (2) U ? (? ) ? ? 3 r ? a0 e2 ?? 3 ? a0 ?? 4e 2 3 a0?? ?0 0?2??01 ? 2 r / a0 2 e r s i n drd? d? ? r?? ?0 0?2??0e ?2 r / a0 r s i n drd? d? ???0e ?2 r / a0 r dr4e 2 1 e2 ?? 3 ?? a0 ? 2 ? 2 a0 ? ? ?a ? ? 0?(3)电子出现在 r+dr 球壳内出现的几率为? (r )dr ? ??0?2?0[? (r,? , ? )]2 r 2 s i n drd? d? ? ?4 ? 2 r / a0 2 e r 3 a04 ? 2 r / a0 2 e r dr 3 a0? (r ) ?36 d? (r ) 4 2 ? 3 (2 ? r )re ?2r / a0 dr a0 a0令d? (r ) ? 0，? r1 ? 0, drr2 ? ?,r3 ? a0当 r1 ? 0, r2 ? ?时，?(r ) ? 0 为几率最小位置d 2? ( r ) 4 8 4 ? 3 (2 ? r ? 2 r 2 )e ?2r / a0 a0 a0 dr 2 a0d 2? ( r ) 8 ? ? 3 e ?2 ? 0 2 dr r ?a0 a0∴ r ? a0 是最可几半径。2 1 ?? ? 1 ? ? 1 ? ? (sin ? ) ? 2 ? ? 1 p 2 ? ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? (r 2 ) ? ? ? (4) T ?r sin ? ?? ?? sin ? ?? 2 ? r ? ?r 2? 2?? 2 ? 2? ? 1 ?r / a0 2 ?r / a0 2 T ? ? ? ? ? 3 e ? (e )r s i n d r d d? ? ? 2? 0 0 0 ?a0 ? 2 ? 2? ? 1 ?r / a0 1 d 2 d ?r / a0 2 ?? ? ? ? 3e [r (e )]r sin ? drd? d? 2? 0 0 0 ?a0 r 2 dr dr37 4? 2 1 ? r 2 ?r / a0 ? ? 3 (? ? (2r ? )e dr a0 2?a0 a0 0 4? 2 a02 a02 ?2 ? (2 ? ) ? 2?a04 4 4 2?a02 ? ? (5) c( p) ? ?? * (r )? (r ,? , ? )d? p? 1 ? ? pr cos? 2? 1 c( p ) ? e ?r / a0 r 2 dr? e ? sin ? d? ? d? 0 0 (2??) 3 / 2 ?0 ?a03 i?2? (2??)3/ 2?a3 0 0??re2 ? r / a0dr? ei ? ? pr c o ?s ? 0d (? c o ? ) s??2? (2??) 3 / 2 ? a032???0? ? pr c o?s r 2 e ?r / a0 dr e ? ipr 0i ii?(2??) 3 / 2? ? ?r / a0 ? pr ? ? pr re (e ? e )dr 3 ip ?0 ?a0??0x n e ?ax dx ?n! a n?138 ?2? (2??) 3 / 2? 1 1 [ ? ] 3 ip 1 i 2 1 i 2 ?a0 ( ? p) ( ? p) a0 ? a0 ?1? 424ip ? 2 2a03 ? 3 ip? a ?( 1 ? p ) 2 0 a02 ? 2a04 ? 42 2 2 2a03 ? 3 ? a0 (a0 p ? ? )(2a0?)3/ 2 ? ? 2 ? (a0 p 2 ? ? 2 )2动量几率分布函数 # 3.3 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是8a03? 5 ? ( p ) ? c( p ) ? 2 ? (a0 p 2 ? ? 2 ) 42J er ? J e? ? 0J e? ? e? m 2 ? n?m ? rsin?39 证：电子的电流密度为? ? i? * * J e ? ?eJ ? ?e (? n?m ?? n?m ?? n?m ?? n?m ) 2?? 在球极坐标中为? ? 1? ? ? 1 ? ? ? er ? e? ? e? ?r r ?? r s i n ?? ? ? ? ? 式中 er、e? 、e? 为单位矢量? ? ? ? 1? ? ? 1 ? * i? J e ? ?eJ ? ?e [? n?m (er ? e? ? e? )? n?m 2? ?r r ?? r s i n ?? ? ? ? 1? ? ? 1 ? * ? ? n?m (er ? e? ? e? )? n?m ] ?r r ?? r s i n ?? ? ?? ? ie? ? ? * ? 1 ? * * [er (? n?m ? n?m ?? n?m ? n?m ) ? e? (? n?m ? n?m 2? ?r ?r r ?? ? 1 ? * 1 ? * 1 ? * ? ? n?m ? n?m ) ? e? ( ? n?m ? n?m ? ? n?m ? n?m )] r ?? r sin ? ?? r sin ? ???? n?m 中的 r 和 ? 部分是实数。∴? Je ? ?ie ? e?m 2 2 ? 2? (?i m? n?m ? i m? n?m )e? ? ? ? n?m e? 2?r s i n ? ?r sin ?可见， J er ? J e? ? 0J e? ? ?e?m ? n?m ?r s i n ?240 3.4由上题可知，氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的。 (1)求一圆周电流的磁矩。 (2)证明氢原子磁矩为? me? ?? 2? ? M ? Mz ? ? ?? me? ? 2?c ?( SI ) (CGS )原子磁矩与角动量之比为? e ? ( SI ) M z ? 2? ? ?? Lz ? e ? (CGS ) ? 2?c ?这个比值称为回转磁比率。 解：(1) 一圆周电流的磁矩为dM ? iA ? J e? dS ? A??（ i 为圆周电流， A 为圆周所围面积）e?m 2 ? n?m dS ? ? (r s i n ) 2 ? ?r s i n ?41 ??e?m 2 ? r sin ? ? n?m dS ? ?? e?m 2 2 ? r s i n ? n?m d r d ? ? ?(dS ? r d r? ) d(2)氢原子的磁矩为M ? ? dM ? ? ?? ????? ?0 0??e?m 2 ? ? n?m r 2 s i n d r d ? ? ?? ? e?m 2 ? 2? ? ? ? n?m r 2 s i n d r d ? ? 0 0 2?e?m 2? ? ? 2 ? n?m r 2 s i n d r d d? ? ? 2? ?0 ?0 ?0e?m 2?(SI )在 CGS 单位制中 M ?? ? 原子磁矩与角动量之比为e?m 2?cMz M e ? ?? Lz Lz 2?(SI )Mz e ?? Lz 2?c(C G S )42 3.5L2 一刚性转子转动惯量为 I，它的能量的经典表示式是 H ? ，L 为角动量，求与此对应的量子体系 2I在下列情况下的定态能量及波函数： (1) 转子绕一固定轴转动： (2) 转子绕一固定点转动： 解：(1)设该固定轴沿 Z 轴方向，则有 哈米顿算符L2 ? L2Z? 其本征方程为 ( H与t 无关，属定态问题)2 2 ? ? 1 L2 ? ? ? d , ? H Z 2I 2 I d? 2?2 d 2 ? ? (? ) ? E? (? ) 2 I d? 2 d 2? (? ) 2 IE ? ? 2 ? (? ) d? 2 ?2 IE 令 m ? 2 ，则 ?2d 2? (? ) ? m 2? (? ) ? 0 2 d?( m 可正可负可为零)取其解为? (? ) ? Ae im?43 由波函数的单值性，应有 即? (? ? 2? ) ? ? (? ) ? e im(? ?2? ) ? e im?∴m= 0，±1，±2，… (m= 0，±1，±2，…)e i 2m? ? 1 ,m 2? 2 转子的定态能量为 E m ? 2I可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。 定态波函数为?m ? Ae im? ,2? 2? 0 0A 为归一化常数，由归一化条件* 1 ? ? ?m?m d? ? A2 ? d? ? A2 2?? A?1 2?∴ 转子的归一化波函数为 综上所述，除 m=0 外，能级是二重简并的。?m ?1 im? e 2?44 (2)取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为? 1 ? H ? L2 2I 1 ?2 L Y (? , ? ) ? EY (? , ? ) 2I? H与t 无关，属定态问题，其本征方程为? (式中Y (? ,? ) 设为 H 的本征函数， E 为其本征值)? L2Y (? ,? ) ? 2I E Y? ,? ) (令 2IE ? ?? 2 ，则有? L2Y (? ,? ) ? ?? 2Y (? ,? )? 此即为角动量 L2 的本征方程，其本征值为L2 ? ?? 2 ? ?(? ? 1)? 2(? ? 0, 1, 2, ?)m其波函数为球谐函数Y?m (? , ? ) ? N ?m P? (cos? )e im? ∴ 转子的定态能量为?(? ? 1)? 2 E? ? 2I可见，能量是分立的，且是 (2? ? 1) 重简并的。45 3.6 设 t=0 时，粒子的状态为? ( x) ? A[ s i 2n ? 1 c o kx] kx 2 s求此时粒子的平均动量和平均动能。 解：? ( x) ? A[sin 2 kx ? 1 coskx] ? A[ 1 (1 ? cos2kx) ? 1 coskx] 2 2 2? ?A [1 ? c o 2kx ? c o kx] s s 2 A [1 ? 1 (e i 2 kx ? e ? i 2 kx ) ? 1 (e ikx ? e ? ikx )] 2 2 2?A 2?? i 0 x 1 i 2kx 1 ? i 2kx 1 i k x 1 ? i k x 1 [e ? 2 e ? 2e ? 2 e ? 2 e ]? 2 2??2k? ? 2k? k? ? k?可见，动量 pn 的可能值为 02 pn 动能 的可能值为 0 2?2k 2 ? 22k 2 ? 2?A2 161 ) ? A 2?? 8?A2 16k 2? 2 2?A2 16k 2? 2 2?A2 ) ? 2?? 16对应的几率 ? n 应为(A2 4(1 21 81 81 8上述的 A 为归一化常数，可由归一化条件，得1 ? ?? n ? (nA2 A2 A2 ? 4 ? ) ? 2?? ? ? 2?? 4 16 2∴A ? 1 / ??46 ∴ 动量 p 的平均值为p ? ? p n? nnA2 A2 A2 A2 ? 0 ? 2k? ? ? 2?? ? 2k? ? ? 2?? ? k? ? ? 2?? ? k? ? ? 2?? ? 0 16 16 16 16pn2 p2 T ? ? ? ?n 2 ? n 2?2k 2 ? 2 1 k 2? 2 1 ? 0? ? ?2? ? ?2 ? 8 2? 8 5k 2 ? 2 ? 8?47 3.7一维运动粒子的状态是? Axe ? ?x , 当x ? 0 ? ( x) ? ? 当x ? 0 ? 0,其中 ? ? 0 ，求： (1)粒子动量的几率分布函数； (2)粒子的平均动量。 解：(1)先求归一化常数，由1 ? ? ? ( x ) dx ? ? A 2 x 2 e ? 2?x dx2 ?? 0???1 2 A 4? 33/ 2∴ A ? 2?? ( x) ? 2?3 / 2 xe?2?x? ( x) ? 0c( p ) ? ??( x ? 0) ( x ? 0)1 2????e ? ikx? ( x )dx ? (? 1 1/ 2 ) ? 2? 3 / 2 ? xe?( ? ? ik ) x? ( x )dx ?? 2???(?(2? 3 1 / 2 x ) [? e ?( ? ? ik ) x 2?? ? ? ik? 0?? 1 ? ( ? ? ik ) x dx ???e ? ? ik2? 3 1 / 2 x 2? 3 1 / 2 ) ?? ( ) 2?? 2?? (? ? ik ) 21 p (? ? i ) 2 ?动量几率分布函数为? ( p) ? c( p) ?22? 3 ??1 (? 2 ? p2 2 ) ?2?2? 3 ? 3 1 2 2 ? (? ? ? p 2 ) 248 (2) p ?? d ? ? * ( x ) p? ( x )dx ? ?i? ? 4?3 xe??x (e ??x )dx ??? ?? dx?? ?i?4?3 ?? x(1 ? ?x)e ?2?x dx???? ?i?4?3 ?? ( x ? ?x 2 )e ?2?x dx???? ? i?4?3 ?(?01 1 ? ) 4?2 4?23.8.在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为 a ，如果粒子的状态由波函数? ( x) ? Ax(a ? x)描写，A 为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。 解：由波函数? (x ) 的形式可知一维无限深势阱的分布如图示。粒子能量的本征函数和本征值为49 ? 2 n? si n x, ? ? ( x )? a a ? 0, ?0? x?a x ? 0, x?an 2? 2 ? 2 En ? 2 ?a 2(n ? 1，，， ) 2 3 ?2动量的几率分布函数为? ( E ) ? C n?C n ? ? ? * ( x )? ( x )dx ? ? sina ?? 0n? x? ( x )dx a先把? ( x ) 归一化，由归一化条件，1 ? ? ? ( x ) dx ? ? A2 x 2 (a ? x )dx ? A2 ? x 2 (a 2 ? 2ax ? x 2 )dx2 a a ?? 0 0?? A 2 ? (a 2 x 2 ? 2ax 3 ? x 4 )dxa 05 a5 a5 a5 2 a ? A ( ? ? )? A 3 2 5 30 2∴A?30 a5∴ Cn ??a02 30 n? ? sin x ? x(a ? x )dx a a5 a50?a 2 15 a n? n? [a ? x s i n xd x ? ? x 2 s i n xd x] 3 0 0 a a a 2 15 a 2 n? a3 n? a 2 n? ? [? x cos x ? 2 2 sin x? x cos x 3 n? a a n? a a n? 2a 2 n? 2a 3 n? ? 2 2 x sin x ? 3 3 cos x] a a n? n? 0?∴a4 15 [1 ? ( ?1) n ] 3 3 n?2?(E) ? Cn ?240 [1 ? ( ?1) n ]2 6 6 n?? 960 ，n ? 1， ， ， 3 5 ? ? ? ? n 6? 6 ? 0，n ? 2, 4, 6, ? ?? a ? p2 ? E ? ? ? ( x ) H? ( x )dx ? ? ? ( x ) ? ( x )dx ?? 0 2????a030 ?2 d 2 x( x ? a ) ? [? x( x ? a )]dx 2? dx 2 a530? 2 ?a 5?a0x( x ? a )dx ?30? 2 a 3 a 3 ( ? ) 3 ?a 5 25? 2 ? ?a 251 3.9.设氢原子处于状态1 3 ? (r ,? , ? ) ? R21 (r )Y10 (? , ? ) ? R21 (r )Y1?1 (? , ? ) 2 2求氢原子能量、角动量平方及角动量 Z 分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。 解：在此能量中，氢原子能量有确定值?e s2 ?e s2 E2 ? ? 2 2 ? ? 2 2? n 8?角动量平方有确定值为(n ? 2)L2 ? ?(? ? 1)? 2 ? 2? 2角动量 Z 分量的可能值为(? ? 1)LZ 1 ? 0 LZ 2 ? ??其相应的几率分别为1 ， 4其平均值为3 41 3 3 LZ ? ? 0 ? ? ? ? ? ? 4 4 452 3.10 一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为??, r ? U (r ) ? ? ?0, r ? a求粒子的能级和定态函数。 解：据题意，在 r ? a 的区域， U (r ) ? ? ，所以粒子不可能运动到这一区域，即在这区域粒子的 波函数? ?0(r ? a )由于在 r ? a 的区域内， U ( r ) ? 0 。只求角动量为零的情况，即 ? ? 0 ，这时在各个方向发现粒子的几 率是相同的。即粒子的几率分布与角度 ?、? 无关，是各向同性的，因此，粒子的波函数只与 r 有关，而 与 ?、? 无关。设为? (r ) ，则粒子的能量的本征方程为? 2 1 d 2 d? ? (r ) ? E? 2? r dr dr令 U ( r ) ? rE? ,k2 ?2 ?E ，得 ?253 d 2u 2 ?k u?0 dr 2其通解为u( r ) ? A cos kr ? B sinkr A B ? ?? ( r ) ? cos kr ? sinkr r r波函数的有限性条件知， ? (0) ? 有限，则 A= 0 ∴ ? (r ) ?B sinkr r由波函数的连续性条件，有 ∵ B ? 0 ∴ ka ? n?? (a ) ? 0 ?(n ? 1,2,?)∴B sin ?0 ka an? k? a B n? ? (r ) ? s i n r r a其中 B 为归一化，由归一化条件得n 2? 2 2 ? En ? 2 ?a 254 1 ? ? d? ? ? d? ? ? ? (r ) r 2 sin? dra 2 0 0 0??? 4? ? ? B 2 sin2a 0n? rdr ? 2? aB2 a∴B?1 2? a∴ 归一化的波函数? (r ) ?1 2? asinn? r a r#3.11. 求第 3.6 题中粒子位置和动量的测不准关系 (?x) 2 ? (?p) 2 ? ? 解：p?05 p 2 ? 2? T ? k 2 ? 2 455 ? 1 x ? ? A 2 x[sin 2 kx ? cos kx ]2 dx ? 0 ?? 2 ? 1 x 2 ? ? A 2 x 2 [sin 2 kx ? cos kx ]2 dx ? ? ?? 2(?x) 2 ? (?p) 2 ? ( x 2 ? x ) ? ( p 2 ? p ) ? ?3.12.粒子处于状态221 1/ 2 i x2 ? ( x ) ? ( 2 ) e x p [ p0 x ? 2 ] ? 2?? 4?式中 ? 为常量。当粒子的动量平均值，并计算测不准关系 (?x ) 2 ? (?p) 2 ? ? 解：①先把? (x ) 归一化，由归一化条件，得1 1? ? e ? ? 2?? 2??x2 2?2dx ?1 2? 2 ????(x 2? 2)2??ed(x ) 2? 2?∴? ?21 2? 2 ?1 2?? ?(1 1/ 2 ) 2?? 2/56 ∴ 是归一化的i ? ? ( x ) ? exp[ p0 x ? x 2 ] ? 2② 动量平均值为p0 x ? x 2 ? ? p0 x ? x 2 i d ? 2 ? 2 p ? ? ? * (?i? )?dx ? ?i? ? e ( p0 ? ? x )e dx ?? ?? dx ? ? i?i?? i 2 ? ? i? ? ( p0 ? ? x )e ??x dx ?? ?? p0 ? e?????x 2dx ? i? ?? xe ??x dx2???? p0③(?x) 2 ? (?p) 2 ? ?x ? ? ? * x?dx ? ? xe ??x dx2??????（奇被积函数）57 x ?? x e2 ???2 ?? x 21 ?? x 2 ? 1 ? ? ? x 2 dx ? ? xe ? ? e dx ? ? 2? ? ? 2? ?? 1 2?i i2 p0 x ??x 2 ? ? p0 x ??x 2 d d2 2 p ? ?? ? ? * ? dx ? ?? ? e ? e? dx ?? ?? dx dx 2 2 ?? ? 2 p02 ??x 2 2 2 ? ? (? ? ) ? i 2??p0 ? xe dx ? ? ? ? x 2 e ??x dx ?? ?? ? 2p02 1 ? ? ? (? ? ) ? 0 ? (?? 2 ? 2 ) ? ( ? 2 ? p02 ) ? 2? 22( ?x ) 2 ? x 2 ? x ?21 2?58 2 ? ? (?p) 2 ? p 2 ? p ? ( ? 2 ? p02 ) ? p02 ? ? 2 2 2( ?x ) 2 ? ( ?p ) 2 ?1 ? 2 1 2 ? ? ? ? 2? 2 459 第四章 态和力学量的表象4.1.求在动量表象中角动量 Lx 的矩阵元和 L2x 的矩阵元。p ?r 1 3 ? ? p??r ? ? 解： ( Lx ) p?p ? ( ) ? e ( yp z ? zp y )e ? d? 2?? p ?r 1 3 ? ? p??r ? ? ( ) ? e ( ypz ? zp y )e d? 2?? i? ? i?? i? ? i??1 3 ? ? p??r ? ? ? p ?r ? ( ) ? e (?i?)( p z ? p y )e d? 2?? ?p y ?p zi? ? i??? ? 1 3 ?（p? p?）?r ? (?i?)( p z ? p y )( ) ? e d? ?p y ?p z 2??i ? ? ?? i?( p y? ? ? ? ? p z )? ( p ? p?) ?p z ?p y60 ? ( L2x ) p?p ? ? ? *p?? ( x ) L2x? p? d?p ?r 1 3 ? ? p??r ? z ? zp y ) 2 e ? d? ? ? ( ) ? e ( yp 2?? p ?r 1 3 ? ? p??r ? ? ? ? ? ? ( ) ? e ( yp z ? zp y )( yp z ? zp y )e d? 2?? i? ? i?? i? ? i??1 3 ? ? p?r ? ? ? p?r ? ? ? ( ) ? e ( yp z ? zp y )(i?)( p y ? p z )e d? 2?? ?p z ?p yi ?? i?? p ?r ? ? 1 3 ? ? p??r ? z ? zp y )e ? d? ? ? (i?)( p y ? p z )( ) ? e ( yp ?p z ?p y 2?? i? ? i??? ? 2 1 3 ?（p? p?）?r 2 ? ?? ( p y ? p z ) ( ) ? e d? ?p z ?p y 2??i ? ? ?? ?? 2 ( p y? ? ? ? ? p z ) 2 ? ( p ? p?) ?p z ?p y61 4.2 求能量表象中，一维无限深势阱的坐标与动量的矩阵元。 解：基矢： u n ( x) ?2 n? sin x a a? 2? 2n2 能量： E n ? 2 ?a 22 2 m? a xdx ? 对角元： xmm ? ? x sin 0 a a 2a1 u ? u cos nudu ? n 2 cos nu ? n sin nu ? c当时， m ? n2 a m? n? xmn ? ? (sin x) ? x ? (sin )dx a0 a a62 1 a ? (m ? n)? (m ? n)? ? ? x ?cos x ? cos a 0 ? a a? x? dx ?a1? a2 (m ? n)? ax (m ? n)? ? ?[ cos x? sin x] 2 2 a ? ( m ? n) ? a (m ? n)? a 0 ?2 aa (m ? n)? ax (m ? n)? ? ?[ cos x? sin x] ? a (m ? n)? a ( m ? n) 2 ? 2 0? ? ? 1 a 1 ? m?n ? 2 (?1) ? 1 ? ? ? ? ( m ? n) 2 ( m ? n) 2 ? ????a 4mn (?1) m?n ? 1 ? 2 (m 2 ? n 2 ) 2??63 ? p mn ? ? u m ( x) pu n ( x) dx ? ? i? ?*a02n?? a m? n? sin x ? cos xdx 2 ?0 a a a n?? a ? ( m ? n)? (m ? n)? ? ? ?i 2 ? ?sin x ? sin x ? dx 0 a a a ? ? ? ?i2 m? d n? sin x? sin xdx a a dx an?? ? a (m ? n)? a ( m ? n)? ? ?i 2 ? cos x? cos x? a ( m ? n)? a a ? ( m ? n)? ? ? n?? a ? 1 1 m?n ? ?1 ] ? ( m ? n) (m ? n) ? (?1) 2 a ? ? ? i 2m n? ? (?1) m ? n ? 1 (m 2 ? n 2 )a ?ia0????cos(m ? n)u cos(m ? n)u ? sin mucosnudu ? ? 2(m ? n) ? 2(m ? n) ? C64 4.3求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数。 解：定态薛定谔方程为2 1 p2 2 2 d ? ?? ? C ( p, t ) ? C ( p, t ) ? EC ( p, t ) 2 2? dp2即?1 d2 p2 ?? 2 ? 2 2 C ( p, t ) ? ( E ? )C ( p, t ) ? 0 2 2? dp两边乘以2 ，得 ??? 1 1 d2 2E p2 C ( p, t ) ? ( ? )C ( p, t ) ? 0 ?? ??? dp2???令? ?1???p ? ? p,??1???65 ??2E ??d2 C ( p, t ) ? (? ? ? 2 )C ( p, t ) ? 0 2 d?跟课本P.39(2.7-4)式比较可知，线性谐振子的能量本征值和本征函数为En ? (n ? 1 )?? 2 C ( p, t ) ? N n e式中1 ? ? 2 p2 2H n (?p)ei ? En t ?Nn为归一化因子，即Nn ? (? ?1/ 2)1 / 2 2 n n!66 4.4.求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。 解：1 2 1 ?2 ?2 1 ? ? H? p ? ?? 2 x 2 ? ? ? ?? 2 x 2 2 2? 2 2? ?x 2? H pp? ? ?? * ( x) H? p ( x)dx p? px p?x 1 ?2 ?2 1 ? ? e (? ? ?? 2 x 2 )e ? dx 2?? ? 2? ?x 2 2 i i???2 i 1 ? ? ( p? ? p ) x 1 1 ? 2 ? ( p? ? p ) x ( p?) 2 dx ? ?? 2 x e dx ???e 2? ? 2?? 2 2?? ???iii?p? 2 1 1 ? ? 2 ? 2 ? ( p? ? p ) x ? ( p? ? p) ? ?? 2 ( ) e dx 2? 2 2?? ??? i ?p? 2 p? 2 1 ? ?2 ? ( p? ? p) ? ?? 2 ( ) 2 2? 2 i ?p? 2???1i?????e?( p? ? p ) xdx?p2 1 ?2 ? ( p? ? p) ? ?? 2 ? 2 ? ( p ? ? p) 2? 2 ?p? 267 4.5? ? ? ? 设已知在 L2 和LZ 的共同表象中，算符 Lx 和L y 的矩阵分别为? 0 1 0? ? ? ? Lx ? ? 1 0 1? 2? ? ? 0 1 0??0 ? i 0 ? ? 2? ? Ly ? ? i 0 ? i? 2 ? 0? ?0 i ?求它们的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵 Lx 和Ly 对角化。 解： Lx 的久期方程为?? ? 2 0? 2 ?? ? 20 ? 2 ?? ? 0 ? ? ?3 ? ? 2 ? ? 068 ? ?1 ? 0 ?2 ? ?，?3 ? ?? ，? ? ∴ Lx 的本征值为 0，?， ? ? Lx 的本征方程?0 ? ? ?1 2? ?0 ? a1 ? ? ? ?a ? ? 3? 1 0 1 0 ?? a1 ? ? a1 ? ? ? ? ?? 1 ?? a 2 ? ? ? ? a 2 ? ?a ? 0 ?? a 3 ? ?? ? ? 3?? ? ? 其中? ? ? a 2 ? 设为 Lx 的本征函数 L2 和LZ 共同表象中的矩阵当 ?1 ? 0 时，有?0 ? ? ?1 2? ?01 0 10 ?? a1 ? ? 0 ? ?? ? ? ? 1 ?? a 2 ? ? ? 0 ? 0 ?? a 3 ? ? 0 ? ?? ? ? ?? a2 ? ? 0? ? ? ? ? ? a1 ? a 3 ? ? ? 0 ? ? a 3 ? ? a1， a 2 ? 0 ? 2? ? ? 0? ? a2 ? ? ? ? a1 ? ? ? ? ?0 ? ?? a ? 1 ? ?∴?0由归一化条件? a1 ? ? ? ? * * 1 ? ? 0 ? 0 ? ( a1 ,0,? a1 )? 0 ? ? 2 a1 ?? a ? 1? ?取 a1 ?21 269 ? 1 ? ? ? ? 2 ? ? ? 对应于 Lx 的本征值 0 。 ? 0 ? ?0 ? ? ?? 1 ? ? ? 2? ?当 ? 2 ? ? 时，有? a1 ? ? 0 1 0 ?? a1 ? ? ? ?? ? ? ? ? 1 0 1 ?? a 2 ? ? ?? a 2 ? 2? ?a ? ?? ? ? 0 1 0 ?? a 3 ? ? 3?? 1 ? a2 ? ? ? 2 ? ?a ? ?a 2 ? 2a1 ? 1 ? ? 1? ? ? (a1 ? a3 ) ? ? ? a 2 ? ? ?a 2 ? 2a3 ? ? 2 ? ? ? ?a ? a 1 ? 3 ? 1 ? ? a3 ? ? a2 ? ? ? 2 ?∴??? a1 ? ? ? ? ? 2a1 ? ? ? ? a1 ? ? ?由归一化条件? a1 ? ? ? * * * 1 ? (a1 , 2a1 , a1 )? 2a1 ? ? 4 a1 ? ? ? a1 ? ? ?270 取 a1 ?1 2?1 ? ?2 ? 1 ?? ? 2 ?1 ? ?2 ? ? ? ? ? ? 对应于 Lx 的本征值 ? ? ? ? ?∴归一化的? ?当 ? 2 ? ? ? 时，有?0 ? ? ?1 2? ?01 0 10 ?? a 1 ? ? a1 ? ? ? ?? ? 1 ? ? a 2 ? ? ? ?? a 2 ? ?a ? 0 ?? a 3 ? ?? ? ? 3?? 1 ? ? ? a1 ? 2 ? ?? a ? ? a 2 ? ? 2a 1 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? ( a 1 ? a 3 ) ? ? ? ? a 2 ? ? ? a 2 ? ? 2a 3 ? 2 ? ? ? ?a ? a 1 ? 1 ? ? ? a3 ? ? 3 ? ? ? a2 ? ? ? 2 ?∴? ??? a1 ? ? ? ? ? 2a1 ? ? ? ? ? a1 ? ? ?由归一化条件? a1 ? ? ? 1 ? (a ,? 2a , a )? ? 2a1 ? ? 4 a1 ? ? ? a1 ? ? ?* 1 * 1 * 12取 a1 ?1 271 ∴归一化的? ? ?? 1 ? ? ? ? 2 ? ? 1 ? ? ? ?? ? 对应于 Lx 的本征值 ? ? 2? ? ? 1 ? ? ? ? 2 ?? ? ? 由以上结果可知，从 L2 和LZ 的共同表象变到 Lx 表象的变换矩阵为? ? ? ? S?? ? ?? ? ? 1 2 0 1 2 1 2 1 2 1 2 ? ? ? ? ? ? 2? 1 ? 2 ? ? 1 2 1∴对角化的矩阵为 L? ? S ? Lx S x? ? ? ? ? L? ? x ? 2? ? ? ?1 2 1 2 1 20 1 ? 2 1 2?? 1 ? ? ? 2 ?? 0 1 0 ?? ?? 1 ?? ?? 1 0 1 ?? 2 ? ?? ? 1 ?? 0 1 0 ?? ?? 2 ? ? ? 1 2 0 1 2 1 2 1 2 1 21 2 0 1 2 1 2 11 2 1 2 1 2? ? ? ? ? ? 2? 1 ? 2 ? ? 1 2 1? ? ? ? ? ? ? 2? ?? ? ?0 1 2 1 20 1 1?? ?? 0 ?? 1 ?? ?? 2 ?? 1 ?? ? ?? ? 2 ??? ? ? ? ? ? 2? 1 ? 2 ? ?72 ?0 ? ? ? ?0 2? ?00 2 00 ? ?0 0 0 ? ? ? ? 0 ? ? ?0 ? 0 ? ? 2 ? ?0 0 ? ?? ? ? ?按照与上同样的方法可得? ? L y 的本征值为 0，?， ? ? L y 的归一化的本征函数为? 1 ? ? ? ? 2? ? 0 ? ?0 ? ? ? ? 1 ? ? ? ? 2??1 ? ? ? ?2 ? ? i ? ?? ? ? ? ? 2? ? 1? ?? ? ? 2?? ???1 ? ? ? 2 ? ? ? i ? ? ?? ? 2? ? ? 1 ? ?? ? ? 2 ?? ? ? 从 L2和LZ 的共同表象变到 L y 表象的变换矩阵为? ? ? ? S?? ? ? ? ? 1 2 0 1 2 1 2 i 2 1 ? 2 ? ? 1 ? ? ? ? 2 ? ? 1 ? ? ?? S ?? 2 2? ? 1 ? ? 1 ? ? ? 2 2 ? ? 1 2 i 0 ? i 2 i 2 1 ? ? 2? 1? ? ? 2 ? 1? ? ? 2?? 利用 S 可使 L y 对角化?0 0 0 ? ? ? L? ? S L y S ? ? 0 ? 0 ? y ?0 0 ? ?? ? ??73 4.6. 求连续性方程的矩阵表示 解：连续性方程为? ?? ? ?? ? J ?t∴? i? J? (??? * ?? * ?? ) 2?而? i? ?? J ? ? ? (??? * ?? * ?? ) 2???∴i? (?? 2? * ?? * ? 2? ) 2?1 ? ? (?T? * ?? * T? ) i?i??? ? ? ? (? * T? ? ?T? *) ?t?(? *? ) ? ? i? ? (? * T? ? ?T? *) ?t写成矩阵形式为? ? ? (? ?? ) ? ? ? T? ? ?T? ? ?t ? ? ? i? (? ?? ) ? ? ? T? ? (? ? T? ) * ? T ? T * ? 0 ?t i?74 第五章微扰理论5.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为 r0 、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态 能量的一级修正。 解：这种分布只对 r ? r0 的区域有影响，对 r ? r0 的区域无影响。据题意知? H ? ? U (r) ? U 0 (r)其中 U 0 (r ) 是不考虑这种效应的势能分布，即U（r）? ?ze 2 4?? 0 rU (r ) 为考虑这种效应后的势能分布，在 r ? r0 区域，Ze 2 U (r ) ? ? 4?? 0 r在 r ? r0 区域， U (r ) 可由下式得出，U (r ) ? ?e? Edrr?75 Ze 4 Ze ? 1 ? 4 3 ? ?r 3 ? r , (r ? r0 ) ? 4?? r 2 ?r 3 4?? 0 r03 ? 0 0 3 E?? Ze ? (r ? r0 ) ? 4?? 0 r 2 ?U (r ) ? ?e? E d r e? E d r ?r r0 r0 ?Ze 2 ?? 4?? 0 r03?r0rZe 2 rdr ? 4?? 01 ?r0 r 2 dr(r ? r0 )?Ze 2 Ze 2 Ze 2 2 2 ?? (r0 ? r ) ? ?? (3r02 ? r 2 ) 4?? 0 r0 8?? 0 r03 8?? 0 r0376 ? Ze 2 Ze 2 ? (3r02 ? r 2 ) ? ? ? H ? ? U (r ) ? U 0 (r ) ? ? 8?? 0 r03 4?? 0 r ? 0 ?(r ? r0 ) (r ? r0 )? ? 由于 r0 很小，所以 H ? ?? H ( 0) ? ??2 2 ? ? U 0 (r ) ，可视为一种微扰，由它引起的一级修正为（基态 2??(0) 1? r Z3 ? ( 3 ) 1 / 2 e a0 ） ? a0* ? E1(1) ? ?? 1( 0 ) H ?? 1( 0 ) d? ?ZZ3 ? 3 ? a0∴ r ?? a0 ，故 e ∴? 2Z r a0?r00Ze 2 Ze 2 ? a0 r 2 2 [? (3r0 ? r ) ? ]e 4?r 2 dr 3 4?? 0 r 8?? 0 r02Z? 1。E1(1) ? ?Z 4e2 3 2?? 0 a0 r03?r00(3r02 r 2 ? r 4 )dr ?Z 4e2 3 ?? 0 a0?r00rd rr05 Z 4e2 Z 4e2 2 5 ?? (r0 ? ) ? r 3 3 0 5 2?? 0 a0 r03 2?? 0 a0 Z 4e2 2 ? r 3 0 10?? 0 a0 2Z 4 es2 2 ? r0 3 5a077 5.2 转动惯量为 I、电偶极矩为 D 的空间转子处在均匀电场在 ? 中，如果电场较小，用微扰法求转子基态 能量的二级修正。 解：取 ? 的正方向为 Z 轴正方向建立坐标系，则转子的哈米顿算符为???? ? ? L2 1 ?2 ? H ? ? D ?? ? L ? D? c o ? s 2I 2I? 取 H (0) ? 1 ?2 L , 2I ? H ? ? ? D? cos ? ，则? ? ? H ? H ( 0) ? H ? ? 由于电场较小，又把 H ? 视为微扰，用微扰法求得此问题。1 (()) ? ?(? ? 1)? 2 H ( 0 ) 的本征值为 E ? ? 2I本征函数为( ? ? 0) ? Y?m (? , ? )（ ? H ( 0 ) 的基态能量为 E00） ? 0 ，为非简并情况。根据定态非简并微扰论可知E( 2) 0????H? 0 ?2( ( E 00) ? E ? 0)*( ( ? ? H ? 0 ? ?? ? 0 ) H ?? 00 ) d? ??Y* ?m( ? D? c o s )Y00 s i n d? d? ? ?? ? D? ? Y?* ( c o ? Y00 ) s i n d? d? s ? m? ? D? ? Y?* m?? ??( E02) ?4? Y10 31 4?s i n d? d? ?D? 3 D? 32?Y? ?1* ?0Y10 s i n d? d? ???'H? 0 ?( ( E00) ? E? 0)? ???'D 2? 2 ? 2 I ? ?1 3?(? ? 1)? 22??1 D 2? 2 I 3? 278 其中 Fmk ???* m? F? k d? ? (1 2??)3/ 213 ?a0?ei ?? ? p ?r ?? ? e? ? r ? r / a0 ? ( )e d? z（ p ） 2i取电子电离后的动量方向为 Z 方向， 取 ? 、 p 所在平面为 xoz面，则有??? ?r ? ?xx ??y y ??zz? ?? ?αθ? rOy? (? sin ? )(r sin ? cos? ) ? (? cos? )(r c o ? ) s ? ? rs i n s i n c o ? ?? c o ?r c o ? ? ? s s sxFmk ? (1 2??1 2??0 0)3/ 2e ? ? p r cos? e (? r sin ? sin ? cos? ? ? r cos? cos? )e ?r / a0 d? 3 2i ? ?a0 1e 3 ?a0 2i (? r sin ? sin ? cos? ? ? r cos? cos? )e ?r / a0 r 2 sin ? drd? d? 1iFmk ? ()3 / 2???0? ?2?ei ? p r cos? ?79 ? 5.3 设一体系未受微扰作用时有两个能级： E01及E02 ，现在受到微扰 H ? 的作用，微扰矩阵元为? ? ? ? H12 ? H 21 ? a，H11 ? H 22 ? b ； a、 b 都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。解：由微扰公式得( ? En1) ? H nnE( 2) n??m'? H mn2( ( E n0 ) ? E m0)得(1 ? E01) ? H11 ? b(1 ? E02) ? H 22 ? bE( 2) 01??m'? H m12E 01 ? E 0 m'?a2 E 01 ? E 02E( 2) 02??m? H m12E 02 ? E 0 ma2 ? E 02 ? E 01∴ 能量的二级修正值为a2 E1 ? E01 ? b ? E01 ? E02 a2 E2 ? E02 ? b ? E02 ? E0180 5.4 设在 t ? 0 时，氢原子处于基态，以后受到单色光的照射而电离。设单色光的电场可以近似地表示为? sin ? t ，? 及 ? 均为零；电离电子的波函数近似地以平面波表示。求这单色光的最小频率和在时刻 t 跃迁到电离态的几率。 解：①当电离后的电子动能为零时，这时对应的单色光的频率最小，其值为?? m i n? hvm i n? E? ? E1 ?? es42? 2v m i n?? es4 13.6 ? 1.6 ? 10?19 ? ? 3.3 ? 1015 Hz ?34 2 6.62 ? 10 2? h② t ? 0 时，氢原子处于基态，其波函数为?k ?13 ? a0e ? r / a01 3 / 2 ? p ?r ) e 在 t 时刻， ? m ? ( 2?? ? ? ? ? e? ? r i? t ? H ?(t ) ? e? ? r s i n t ? ? ( e ? e ? i? t ) 微扰 2ii ??? ? F (ei? t ? e ?i? t ) ? ? e? ? r ? 其中 F ? 2i在 t 时刻跃迁到电离态的几率为81 Wk ? m ? a m (t )2a m (t ) ?1 t ? i? t ? ?0 H mk e mk dt ? i??Fmk i?? (e0ti (?mk ?? ) t ?? e i (?mk ?? )t ? )dt ?Fmk e i (?mk ?? )t ? 1 e i (?mk ?? )t ? 1 ?? [ ? ] ? ?mk ? ? ?mk ? ?对于吸收跃迁情况，上式起主要作用的第二项，故不考虑第一项，am (t ) ?Fmk e i (?mk ?? )t ? 1 ? ?mk ? ?2Wk ?m ? a m (t ) ?2Fmk ?22(e i (?mk ?? )t ? 1)( e i (?mk ?? )t ? 1) (? mk ? ? ) 2?4 Fmk sin 2 1 (? mk ? ? )t 2 ? 2 (? mk ? ? ) 282 其中 Fmk ???* m? F? k d? ? (1 2??)3/ 213 ?a0?ei ?? ? p ?r ?? ? e? ? r ? r / a0 ? ( )e d? z（ p ） 2i取电子电离后的动量方向为 Z 方向， 取 ? 、 p 所在平面为 xoz面，则有??? ?r ? ?xx ??y y ??zz? ?? ?αθ? rOy? (? sin ? )(r sin ? cos? ) ? (? cos? )(r cos? ) ? ? r sin ? sin ? cos? ? ? cos? r cos?xFmk ? (1 2??)3/ 2e ? ? p r cos? e (? r sin ? sin ? cos? ? ? r cos? cos? )e ?r / a0 d? 3 2i ? ?a0 1i83 Fmk ? (1 2??0 0)3 / 2e 3 ?a0 2i (? r sin ? sin ? cos? ? ? r cos? cos? )e ?r / a0 r 2 sin ? drd? d?i1???0? ?2?ei ? p r cos? ??(1 2??)3/ 2e ? ? 2? ? ? p r cos? e (? cos? r 3 cos? sin ? )e ?r / a0 drd? d? 0 0 0 3 2i ? ? ? ?a0 1 ?( 1 2?? )3/ 2 ? ? ? p r c o ?s e? c o ? s 2? ? r 3 e ?r / a0 dr[ ? e ? c o ? s i n d? s ? 0 0 3 2i ?a01i?e? cos?3 i 2? ? 2a0 ????0r e3 ? r / a0pr ? pr pr ? ? ?? p r ?2 ? [ (e ? e ) ? 2 2 (e ? ? e ? )]dr ipr p r i i i ie? cos? 16 p 1 2 3 i 2?? 2a0 ia0 ? ( 1 ? p ) 3 2 a0 ? 2??Wk ? m ?16 pe? c o ? (a0 ?) 7 / 2 s2 8? (a0 p 2 ? ? 2 ) 32∴2 4 Fmk s i n 1 (? mk ? ? )t 2? 2 (? mk ? ? ) 22 128p 2 e 2? 2 c o 2 ? a0 ? 5 s i n 1 (?mk ? ?)t s 7 2 ? 2 2 2 2 6 ? (a0 p ? ? ) (?mk ? ?) 284 ?(1 2??)3/ 2e ? ? 2? ? ? p r cos? e (? cos? r 3 cos? sin ? )e ?r / a0 drd? d? 3 2i ?0 ?0 ?0 ?a0 1 ?( 1 2?? )3/ 2 ? ? ? p r c o ?s e? c o ? s 2? ? r 3 e ?r / a0 dr[ ? e ? c o ? s i n d? s ? 0 0 3 2i ?a0i1i?e? cos?3 i 2? ? 2a0 ????0r 3 e ? r / a0 [pr ? pr pr ? ? ?? p r ?2 (e ? e ? ) ? 2 2 (e ? ? e ? )]dr ipr p r i i i ie? cos? 16 p 1 2 3 ia ? i 2?? 2a0 0 ( 1 ? p ) 3 2 a0 ? 2??Wk ? m ?16 pe? c o ? (a0 ?) 7 / 2 s2 8? (a0 p 2 ? ? 2 ) 32∴2 4 Fmk s i n 1 (? mk ? ? )t 2? 2 (? mk ? ? ) 2?2 128p 2 e 2? 2 c o 2 ? a0 ? 5 s i n 1 (?mk ? ?)t s 7 2 2 2 2 2 6 ? (a0 p ? ? ) (?mk ? ?) 285 5.5 基态氢原子处于平行板电场中，若电场是均匀的且随时间按指数下降，即? ? ? ?t / ? ) ?? 0 e , 当t ? 0(?为 大 于 零 的 参 数求经过长时间后氢原子处在 2p 态的几率。 解：对于 2p 态， ? ? 1 ， m 可取 0, ? 1 三值，其相应的状态为?0,当t ? 0? 210? 211? 21?1氢原子处在 2p 态的几率也就是从? 100 跃迁到? 210 、 211 、? 21?1 的几率之和。 ? 由a m (t ) ?1 t ? H mk e i? mk t ? dt ? i? ?0* ? ? H 210 ,100 ? ?? 210 H ?? 100 d?? ( H ? ? e? (t )r c o ? ) s(取 ? 方向为 Z 轴方向)* ? ? R21Y10 e? (t )r cos ? R10Y00 d??? e? (t )? R21r 3 R10 dr?0?2?0??0* Y10Y00 cos? sin ?d? d?(cos?Y00 ?1 3Y10 )? e? (t ) f ? ? 1 32?0??0* Y101 3Y10 s i n d? d? ?e? (t ) f* f ? ? R21 (r ) R10 (r )r 3 dr ? 0 ?256 81 6a03?(? r ? 1 3/ 2 2 1 ) ? ( ) 3 / 2 ? r 4 e 2 a0 dr 0 2a 0 3a 0 a 086 1 1 4！ 2 5 5 ? 256 ? ? 5 a0 ? a0 4 3 6 a0 81 6* ? ? 1 H 2 1 ,0 0 0? ?? 2 1 H ?? 1 0 d? ? 0 01 3e? (t ) f?e? (t ) 256 3 81 6? 0a0 ?128 2 e? (t )a0 243* ? H 211,100 ? e? (t )? ? 211 r cos??100 d?? e? (t )? R21 r 3 R10 dr?0?2?02????0* Y11 cos?Y00 sin ? d? d?* Y11? e? (t ) ? R21 r 3 R10 dr?0??1 300Y10 sin ? d? d?=0? H 21?1,100 ? ??* 21?1? H ?? 1 0 d? 0?? e? (t )? R21r 3 R10 dr?0? 0?0?2?02?Y1*1 cos?Y00 sin ? d? d? ?Y1*1 ? 1 3 Y10 sin ? d? d?? e? (t ) ? R21 r 3 R10 dr?=0?0?087 由上述结果可知，W100?211 ? 0 ， ∴W100?21?1 ? 0W1s?2 p ? W100?210 ? W100?211 ? W100?21?1? W100?210 ? ? 1 ?2?t0? H 210 ,100 e i?21t ? dt ?22 128 2 ( ) (ea0? 0 ) 2 2 ? 243e?t0e i?21t ? e ?t ? / ? dt ?t 22i? 21t ???1 12 128 2 2 2 2 ? 2( ) e a0 ? 0 ? 243当 t ? ? 时，2 ? 21 ??2? 1s ? 2 p ?2 128 2 2 2 2 ( ) e a0 ? 0 ? 2 24312 ? 21 ?1?2? es4 1 1 3? es4 3 es2 (1 ? ) ? ? 其中 ? 21 ? ( E2 ? E1 ) ? ? 4 8?a0 2? 3 8? 388 5.6 计算氢原子由第一激发态到基态的自发发射几率。 解：Amk ?3 4es2? mk ? rmk 3?c 32由选择定则 ?? ? ?1 ，知 2 s ? 1s 是禁戒的 故只需计算 2 p ? 1s 的几率? 21 ?E2 ? E1 ???es4 1 3 ?es4 (1 ? ) ? 4 8 ?3 2? 3而? 2 2 2 2 r21 ? x 21 ? y 21 ? z 212p 有三个状态，即? 210 , ? 211 , ? 21?1z ? rcos ?(1)先计算 z 的矩阵元?* ( z) 21m,100 ? ? R21 (r ) R10 (r )r 3 dr ? ?? 1*m cos? Y00 d? 0? f ? Y1* m ?f 1 31 3Y00 d?? m0f? ( z ) 2 1 ,0 0 0? 11 3( z) 2 1 ,1 0 0? 0( z) 21?1,1 0 0? 089 (2)计算 x 的矩阵元x ? rs i n cos ? ? ?r s i n ( e i? ? e ? i ? ) ? 2( x) 21m ,100 ?1 ? * R21 (r ) R10 (r )r 3 dr ? ? Y1* sin ? (e i? ? e ?i? )Y00 d? m 2 ?0?1 2 * f? Y1m (?Y11 ? Y1?1 )d? 2 3?1 6 f (?? m1 ? ? m ?1 )?Y11 ? ?3 s i n e i? ? 8?Y1?1 ?3 s i n e ?i? ? 8?Y00 ?1 4?? ( x) 2 1 ,0 0 0? 0 1( x) 211,100 ? ? 1 6 f( x) 21?1,1 0 0?(3)计算 y 的矩阵元1 6fy ? rs i n s i n ? ? ? 1 r s i n ( e i ? ? e ? i? ) ? 2i( y ) 21m,100 ?1 ? * R21 (r ) R10 (r )r 3 dr ? ? Y1* sin ? (e i? ? e ?i? ) Y00 d? m 2i ?0?1 2 f? (?? m1 ? ? m?1 ) 2i 31 i 6 f (?? m1 ? ? m?1 )?? ( y) 2 1 ,0 0 0? 0 1( y ) 211,100 ? ( y ) 21?1,1 0 0? ? ? r2 p?1s2i 6 ffi 6? (2 ?f2 f2 1 2 ? 2? ? f )? f2 6 6 390 (4)计算 f* f ? ? R21 (r ) R10 (r )r 3 dr ? 0 ?256 81 6a03? r ? 1 3/ 2 2 1 ?( ) ? ( ) 3 / 2 ? r 4 e 2 a0 dr 0 2a 0 3a 0 a 0?f2?1 1 4！ 25 5 ? 256 27 ? 5 a0 ? a0 ? a0 4 4 3 3 6 a0 81 62 3215 2 a0 393 4es2? 21 ? r21 3?c 3 2A2 p ?1s ?4es2 3 ?es4 3 215 2 ? ?( ) ? 9 a0 3?c 3 8 ? 3 3?28 ? 3 e14 ? 2 2 ? 10 s3 (? 2 ) 7 3 ? c ? es2 8 ?e10 ? 7 ? 6 s 3 ? 1.91? 109 s ?1 3 ? c??1 ? 5.23? 10?10 s ? 0.52 ? 10?9 s A2191 5.7 计算氢原子由 2p 态跃迁到 1s 态时所发出的光谱线强度。 解： J 2 p?1s ? N 2 p A2 p?1s ? ?? 212 8 ? e10 3 ? es4 ? N 2 p ? 7 3 s6 ? ? 2 3 c? 8 ? 2 5 ? 2 e14 ? N 2 p ? 6 ? 8 s3 3 ?c??21 ? 10.2eVe10 25 ? N 2 p ? 6 ? 3 s4 2 3 c ? a0? N2 p ? 3.1?10?9 W若N2 p ? 10?9 ，则 J 21 ? 3.1W92 5.8 求线性谐振子偶极跃迁的选择定则 解：? 2 Amk ? rmk ? x mk2* x mk ? ? ? m x? k dx由1 k k ?1 x? k ? [ ? k ?1 ? ? k ?1 ] ? 2 2? ? ? dx ? ?* m nmn1 k k ?1 xmk ? [ ? m,k ?1 ? ? m,k ?1 ] ? 2 2? m ? k ? 1时， xmk ? 0即选择定则为?m ? m ? k ? ?193 第七章自旋与全同粒子? ? ? 7.1.证明： ? x ? y? z ? i? ? ? ? ? 证：由对易关系 ? x? y ? ? y? x ? 2i? z ? ? ? ? 反对易关系 ? x? y ? ? y? x ? 0 ， ? ? ? ? x? y ? i? z? 上式两边乘 ? z ，得及 得? ? ? ? ? x? y? z ? i? z2? ? ? ∴ ? x ? y? z ? i? ∵ ? z2 ? 194 ? ? 7.2 求在自旋态 ? ( S z ) 中， S x 和 S y 的测不准关系：1 2( ?S x ) 2 ( ?S y ) 2 ? ?? ? ? 解：在 S z 表象中 ? 1 ( S z ) 、 S x 、 S y 的矩阵表示分别为2?1 ? ? 1 (S z ) ? ? ? ? 0? 2 ? ?? ? ? ? 0 1? ? Sx ? 1 0? ? 2? ?? ? ? ?0 ? i? ? Sy ?i 0 ? ? 2? ?∴ 在 ? 1 ( S z ) 态中2? ? 0 1 ?? 1 ? S x ? ? 1 S x ? 1 ? (1 0) ? ? 1 0 ?? 0 ? ? 0 ?? ? 2 2 2? ?? ??95 ? 0 1 ? ? ? 0 1 ?? 1 ? ? 2 ? 2 ? ?2 S x ? ? 1 S x ? 1 ? (1 0) ? ? 1 0 ? 2 ? 1 0 ?? 0 ? ? 4 ? ? ?? ? 2 2 2? ? ? ?? ?2 (?S x ) 2 ? S x ? S x 2? ? 1 ? (1 0) ? ? 0 ? i ?? 1 ? ? 0 ? Sy ? ?1 Sy ? i 0 ?? 0 ? ?? ? 2 2 2? ?? ???2 ? 4? 0 ? i ? ? ? 0 ? i ?? 1 ? ? 2 ? 2 ? ?2 S y ? ? 1 S y ? 1 ? (1 0) ? ? i 0 ? 2 ? i 0 ?? 0 ? ? 4 ? ? ?? ? 2 2 2? ? ? ?? ? 2 ?2 2 (?S y ) 2 ? S y ? S y ? 4?4 (?S x ) 2 (?S y ) 2 ? 1696 ? ? 讨论：由 S x 、 S y 的对易关系 ? ? ? [ S x ， S y ] ? i?S z? Sz 要求 ( ?S x ) ( ?S y ) ? 42 2 2 2?4 (?S x ) 2 (?S y ) 2 ? 16①? 在 ? 1 ( S z ) 态中， S z ? 2 2∴?4 (?S x ) 2 (?S y ) 2 ? 1697可见①式符合上式的要求。 ? ? ? ? 0 1 ?及S ? ? ? 0 ? i ? 的 本 征 值 和 ? ? ?y ? 7.3. 求 S x ? 1 0? ?? i 0 ? ? 2? 2? ? ?所属的本征函数。? 解： S x 的久期方程为?? ? 2∴? 2 ?0 ??? 2 ? ? ?( ) ? 0? ? ? ? 2 22? 的本征值为 ? ? 。 Sx 298 ? a1 ? ? 设对应于本征值 的本征函数为 ?1 / 2 ? ? ? ?b ? 2 ? 1?? ? ??? 由本征方程 S x 1 / 2 ，得 1/ 2 2 ? ? 0 1 ?? a1 ? ? ? a1 ? ? ? 1 0 ?? b ? ? 2 ? b ? ?? ? ? ? 2? ?? 1 ? ? 1??? b1 ? ? a1 ? ? ??? ? ? ?a ? ?b ? ? 1? ? 1?? a1 ? ( a , a )? ? ? 1 ?a ? ? 1?* 1 * 1b1 ? a1由归一化条件? ?1/ 2 ? 1 ，得? 1/ 299 即2 a12?1∴a1 ?1 2b1 ?1 2? 对应于本征值 的本征函数为 2?1 / 21 ?1? ? ? ? ? ? 2 ?1?? a2 ? ? 设对应于本征值 ? 的本征函数为 ? ?1 / 2 ? ? ? ?b ? 2 ? 2? ? a2 ? ? ? ? 由本征方程 S x ?1 / 2 ? ? ? ?1 / 2 ? ? ?b ? 2 ? 2?? ? b2 ? ? ? a 2 ? ? ??? ? a ? ? ? b ? ? b2 ? ?a 2 ? ? 2? ? 2 ?100 由归一化条件，得? a2 ? (a ,?a )? ?? a ? ? 1 ? 2 ? ?* 2 * 2即2 a22?1∴a2 ?1 2b2 ? ?1 2? 1 ?1 ? ? ? 对应于本征值 ? 的本征函数为 ? ?1 / 2 ? ? ? 2 2 ? ? 1?? 的本征值为 ? ? 。其相应的本征函数分别为 同理可求得 S y 21 ?1? ? ? ?1 ? ? ? 2 2 ?i ???1 21 ?1? ? ? ? ?? i? 2? ?101 7.4 求自旋角动量 (cos? , cos ? , cos? ) 方向的投影? ? Sn ? S x c o ? ? S y c o ? ? S z c o ? s ? s ? s本征值和所属的本征函数。? 在这些本征态中， 测量 S z 有哪些可能值？这些可 ? 能值各以多大的几率出现？ S z 的平均值是多少？? ? 解：在 S z 表象， S n 的矩阵元为? ?0 1? ? ?0 ? i? ? ?1 0 ? ? Sn ? ? ? 1 0 ? cos? ? 2 ? i 0 ? cos ? ? 2 ? 0 ? 1? cos? ? ? ? ? ? 2? ? ? ? ? ?102 cos? ?? Sn ? ? 2 ? cos? ? i cos ? ?其相应的久期方程为cos? ? i cos ? ? ? ? ? cos? ?? (cos? ? i cos ? ) 2 ?0 ? ? (cos? ? i cos ? ) ? cos? ? ? 2 2即? cos? ? ? 2?2 ?2 2 2 2 2 ? ? cos ? ? (cos ? ? cos ? ) ? 0 4 4?2 ?2 ? ? 0 (利用cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? 1) 103 4 ??a? ? 设对应于 S n ? 的本征函数的矩阵表示为 ? 1 ( S n ) ? ? ? ， ?b? 2 2 ? ?则? 的本征值为 ? ? 。 所以 S n 2? ??? 2cos? ?? ? 2 ? cos? ? i cos ? ?cos? ? i cos ? ?? a ? ? ? a ? ?? ? ? ? ? ?? b ? 2 ? b ? ? cos? ?? ? ? ?? a(cos? ? i cos ? ) ? b cos? ? b cos? ? i cos ? b? 1 ? cos?由归一化条件，得104 ?a? 2 2 1 ? ? 1 ? 1 ? (a , b )? ? ? a ? b ?b ? 2 2 ? ? 2 cos ? ? i cos ? 2 2 a ? a ?1 1 ? cos ?? * *2 2 a ?1 1 ? cos?取1 ? cos? a? 2，得b?cos? ? i cos ? 2(1 ? cos? )? 1 ? cos? ? ? ? 1 ? ? 1 (S n ) ? ? ? cos? ? i cos ? ? 2 ? ? ? 2(1 ? cos? ) ?105 1 ? cos? ? 1 (S n ) ? 2 2? 1 ? cos? ? i cos ? ? ?? ? 0? 2(1 ? cos? ) ? ?? 0? ? ? ?1? ? ?? 1 ? cos? ? ? ? 1 ? ? 1 (S n ) ? ? ? cos? ? i cos ? ? 2 ? ? 2(1 ? cos? ) ? ?1 ? cos? cos? ? i cos ? ? ?1 ? ? 1 2 2(1 ? cos? ) ? 2 2? 可见， S z 的可能值为相应的几率为? 2? ? 21? c o s ? 2cos2 ? ? cos2 ? 1 ? cos? ? 2(1 ? cos? ) 2106? 1 ? cos ? ? 1 ? cos ? ? Sz ? ? ? cos ? 2 2 2 2 2 同理可求得? 对应于 S n ? ? 的本征函数为 2? ? 1 ? cos? ? ? 2 ? ? ? ? 1 (S n ) ? ? cos? ? i cos ? ? 2 ?? ? 2(1 ? cos? ) ? ?? 在此态中， S z 的可能值为相应的几率为? 2 1 ? cos ? 2 ? ? 2 1 ? cos ? 2? S z ? ? cos ? 2107 ? 1 ? R21 (r )Y11 (? , ? ) ? ? ? 7.5 设氢的状态是 ? ? ? 2 3 ? ? R21 (r )Y10 (? , ? ) ? ?? ? 2 ?? ? ①求轨道角动量 z 分量 Lz 和自旋角动量 z 分量 S z 的平均值；? e ? e ? ? ? ? L? S ②求总磁矩 M ? ? 2? ?的 z 分量的平均值（用玻尔磁矩子表示）。108 解：ψ可改写成?1? ? 0? 1 3 ? ? R21 (r )Y11 (? , ? )? ? ? ? 0 ? 2 R21 (r )Y10 (? , ? )? 1 ? ? ? 2 ? ? ? ?1 3 ? R21 (r )Y11 (? , ? ) ? 1 ( S z ) ? R21 (r )Y10 (? , ? ) ? 1 ( S z ) ? 2 2 2 2? 从ψ 的表达式中可看出 Lz 的可能值为相应的几率为? ? Lz ? 4109?03 41 4 ? S z 的可能值为2? 2 1 4? ? 2 3 4相应的几率 C i 为S z ? ? Ci2? 1 ? 3 ? S zi ? ? ? ? ? ? 2 4 2 4 4②e e e ? e ? Mz ? ? Lz ? S z ? ? ? ? ? (? ) 2? ? 2? 4 ? 4e ? 1 ? ? ? MB 2? 4 4110 7.6 一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无 相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系 可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函 数构成？解：体系可能的状态有 4 个。设两个单粒子态为 ? i ，? j ，则体系可能的状态为?1 ? ?i (q1 )?i (q2 )?i (q3 )? 2 ? ? j (q1 )? j (q2 )? j (q3 )111 ?3 ?1 3[?i (q1 )?i (q2 )? j (q3 ) ? ?i (q1 )?i (q3 )? j (q2 ) ? ?i (q2 )?i (q3 )? j (q1 )]?4 ?1 3[? j (q1 )? j (q2 )?i (q3 ) ? ? j (q1 )? j (q3 )?i (q2 ) ? ? j (q2 )? j (q3 )?i (q1 )]112 ( ( ( 7.7 证明 ? S1) , ? S2) , ? S3) 和 ? A 组成的正交归一系。( ( 解：? S1)? ? S1) ? [?1/ 2 (S1z )?1/ 2 (S 2 z )]? [?1/ 2 (S1z )?1/ 2 (S 2 z )]? ?1?/ 2 (S2z ) ?1?/ 2 (S1z ) ?1/ 2 (S1z ) ?1/ 2 (S2z ) ? ?1?/ 2 (S2z ) ?1/ 2 (S2z )=1?(1)? S?( 2) S? [ ?1/ 2 (S1z ) ?1/ 2 (S 2 z )] [? ?1/ 2 (S1z )? ?1/ 2 (S 2 z )]?? ?1?/ 2 (S2z ) ?1?/ 2 (S1z ) ? ?1/ 2 (S1z ) ? ?1/ 2 (S2z )=0113 ?(1) ? S?( 3) S?1 2[ ?1 / 2 ( S1z ) ?1 / 2 ( S 2 z )]? ?? [ ?1 / 2 ( S1z ) ? ?1 / 2 ( S 2 z ) ? ? ?1 / 2 ( S1z ) ?1 / 2 ( S 2 z )]? 1 2 ? ?1?/ 2 (S 2 z ) ?1?/ 2 (S1z ) ? ?1 / 2 (S1z ) ?1 / 2 (S 2 z )] [ ?1?/ 2 (S 2 z ) ?1?/ 2 (S1z ) ?1 / 2 (S1z ) ? ?1 / 2 (S 2 z ) ??=01 2[ ?1?/ 2 ( S 2 z ) ? ?1 / 2 ( S 2 z ) ? 0]同理可证其它的正交归一关系。114 ?( 3) ? S?( 3) S1 ? [ ?1 / 2 ( S1z ) ? ?1 / 2 ( S 2 z ) ? ? ?1 / 2 ( S1z ) ?1 / 2 ( S 2 z )]? ? 2 ? [ ?1 / 2 ( S1z ) ? ?1 / 2 ( S 2 z ) ? ? ?1 / 2 ( S1z ) ?1 / 2 ( S 2 z )]1 ? [ ? 1 / 2 ( S1z ) ? ?1 / 2 ( S 2 z )] ? [ ? 1 / 2 ( S1z ) ? ?1 / 2 ( S 2 z )] 21 ? [ ?1 / 2 (S1z ) ? ?1 / 2 (S 2 z )] ? [ ?1 / 2 (S 2 z ) ? ?1 / 2 (S1z )] 2 1 ? [ ? 1 / 2 (S 2 z ) ? ?1 / 2 (S1z )] ? [ ? 1 / 2 (S1z ) ? ?1 / 2 (S1z )] 21 ? [ ?1 / 2 (S 2 z ) ? ?1 / 2 (S1z )] ? [ ?1 / 2 (S 2 z ) ? ?1 / 2 (S1z )] 21 1 ? ? 0? 0? ?1 2 2115 7.8 设两电子在弹性辏力场中运动，每个电子的1 势能是 U (r ) ? ?? 2 r 2 。如果电子之间的库仑能和 2U (r ) 相比可以忽略，求当一个电子处在基态，另一电子处于沿 x 方向运动的第一激发态时， 两电子 组成体系的波函数。解：电子波函数的空间部分满足定态S-方程?2 ? ?? (r ) ? U (r )? (r ) ? E? (r ) 2??2 ?2 ?2 ?2 1 ? ( 2 ? 2 ? 2 )? (r ) ? ?? 2 r 2? (r ) ? E? (r ) 116 2? ?x 2 ?y ?z ? ? ? ? 1 ? ( 2 ? 2 ? 2 )? (r ) ? ?? 2 r 2? (r ) ? E? (r ) 2? ?x 2 ?y ?z2 2 2 2考虑到 r 2 ? x 2 ? y 2 ? z 2 ，令 ? (r) ? X(x)Y( y)Z(z)?2 ?2 ?2 ?2 1 ? ( 2 ? 2 ? 2 ) XYZ ? ?? 2 ( x 2 ? y 2 ? z 2 ) XYZ ? EXYZ 2? ?x 2 ?y ?z?2 1 ?2 X 1 ? 2 1 ? 2Y 1 (? ? ?? 2 x 2 ) ? (? ? ?? 2 y 2 ) 2? X ?x 2 2 2? Y ?x 2 2 ?2 1 ?2Z 1 ? (? ? ?? 2 z 2 ) ? E 2? Z ?x 2 2?2 1 ?2 X 1 ? (? ? ?? 2 x 2 ) ? E x 2? X ?x 2 2117 ? 2 1 ? 2Y 1 (? ? ?? 2 y 2 ) ? E y 2? Y ?x 2 2 ?2 1 ?2Z 1 (? ? ?? 2 z 2 ) ? E z 2? Z ?x 2 2E ? Ex ? E y ? Ez? X n ( x) ? N n e1 ? ? 2 x2 2H n (? x)Ym ( y) ? N m e1 ? ? 2 y2 2H m (? y)Z ? ( z) ? N ? e1 ? ? 2z2 2H ? (? z)1 ? ? 2r 2 2? nm? (r ) ? N n N m N ? eH n (? x) H m (? y) H ? (? z)118 ? nm? (r ) ? N n N m N ? e? ?1/ 21 ? ? 2r 2 2H n (?x) H m (?y) H ? (?z)???E nm? ? (n ? m ? ? ? 3 )?? 2其中 N n ?2 n!n，??对于基态 n ? m ? ? ? 0 ， H 0 ? 1? 3/ 2 ? ? 0 ? ? 000 (r) ? ( ) e ?H1 x) ? 2? x （1 ? ? 2r 2 2对 于 沿 χ 方 向 的 第 一 激 发 态 n ? 1，m ? ? ? 0 ，119 ? 3/ 2 ? 0 ? ? 000 (r) ? ( ) e ? 1 5/ 2 ? ? 2? ? 1 ? ? 100 (r ) ? xe 2 3/ 4 2?1 ? ? 2r 2 22 2r两电子的空间波函数能够组成一个对称波函数和一 个反对称波函数，其形式为 1 ? S (r1 , r2 ) ? [? 0 (r1 )? 1 (r2 ) ? ? 1 (r1? 0 (r2 ))] 2? ? 3 / 2 [ x2 e ?41 ? ? 2 ( r12 ? r22 ) 2? x1e1 ? ? 2 ( r12 ? r22 ) 2]? ? 3 / 2 ( x2 ? x1 )e ?41 ? ? 2 ( r12 ? r22 ) 2120 ? A (r1 , r2 ) ?1 2[? 0 (r1 )? 1 (r2 ) ? ? 0 (r2 )? 1 (r1 )]2 2 1 2 21 ? ? (r ?r ) ?4 ? 3 / 2 ( x 2 ? x 1 )e 2 ? 而两电子的自旋波函数可组成三个对称态和一个 反对称态，即( ( ( ? S1)、? S2)、? S3) 和 ? A综合两方面，两电子组成体系的波函数应是反对称波 函数，即 独态： ?1 ? ? S (r1 , r2 ) ? A121 ( ?? 2 ? ? A (r1 , r2 ) ? S1) 三重态： ? ( 2) ?? 3 ? ? A (r1 , r2 ) ? S ? ( 3) ?? 4 ? ? A (r1 , r2 ) ? S122
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