35概率与数理统计习题选4
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35概率与数理统计习题选4
第四章数字特征与特征函数；1、设?是事件A在n次独立试验中的出现次数，在每；数或奇数而取数值0及1，试求E?及D?；2、袋中有k号的球k只，k?1,2,?,n，从中；及方差；5、试证：若取非负整数值的随机变量?的数学期望存；?P{?；k?1；?k}；6、若随机变量?服从拉普拉斯分布，其密度函数为p；E?，D?；12?；?|x??|；,???x??,??0；7
　第四章 数字特征与特征函数 1、设?是事件A在n次独立试验中的出现次数，在每次试验中P(A)?p，再设随机变量?视?取偶数或奇数而取数值0及1，试求E?及D?。2、袋中有k号的球k只，k?1,2,?,n，从中摸出一球，求所得号码的数学期望。 3、随机变量?取非负整数值n?0的概率为pn?ABn/n!，已知E??a，试决定A与B。 4、袋中有n张卡片，记号码1,2,?,n,从中有放回地抽出k张卡片来，求所得号码之和?的数学期望及方差。?5、试证：若取非负整数值的随机变量?的数学期望存在，则E???P{?k?1?k}。6、若随机变量?服从拉普拉斯分布，其密度函数为p(x)?E?，D?。12??|x??|e?,???x??, ??0。试求7、若?1,?2相互独立，均服从N(a,?2)，试证Emax(?1,?2)?a??。8、甲袋中有a只白球b只黑球，乙袋中装有?只白球?只黑球，现从甲袋中摸出c(c?a?b)只球放入乙袋中，求从乙袋中再摸一球而为白球的概率。9、现有n个袋子，各装有a只白球b只黑球，先从第一个袋子中摸出一球，记下颜色后就把它放入第二个袋子中，再从第二个袋子中摸出一球，记下颜色后就把它放入第三个袋子中，照这样办法依次摸下去，最后从第n个袋子中摸出一球并记下颜色，若在这n次摸球中所摸得的白球总数为Sn，求Sn。10、在物理实验中，为测量某物体的重量，通常要重复测量多次，最后再把测量记录的平均值作为该体质重量，试说明这样做的道理。11、若?的密度函数是偶函数，且E???，试证?与?不相关，但它们不相互独立。?1?,12、若?,?的密度函数为p(x,y)????0,?x?y?1x?y?122222，试证：?与?不相关，但它们不独立。13、若?与?都是只能取两个值的随机变量，试证如果它们不相关，则独立。 14、若U?aX?b,V?cY?d，试证U,V的相关系数等于X,Y的相关系数。15、若?1,?2,?3是三个随机变量，试讨论（1）?1,?2,?3两两不相关；（2）D(?1??2??3)?D?1?D?2?D?3；（3）E?1?2?3?E?1?E?2?E?3之间的关系。16、若?,?服从二元正态分布，E??a,D??1,E??b,D??1。证明：?与?的相关系数r?cosq?，其中q?P{(??a)(??b)?0}。17、设(?,?)服从二元正态分布，E??E??0,D??D??1,r???r，试证：Emax(?,?)?18、设?与?独立，具有相同分布N(a,?2)，试求p??q?与u??v?的相关系数。 19、若?服从N(a,?2)，试求E|??a|k。20、若?及?分别记二进制信道的输入及输出，已知P{??1}?p,P{??0}?1?p, P{??1??1}?q，P{??0??1}?1?q,P{??1???0}?r,P{??0??0}?1?r，试求输出中含有输入的信息量。21、在12只金属球中混有一只假球，并且不知道它比真球轻还是重，用没有砝码的天平来称这些球，试问至少需要称多少次才能查出这个假球，并确定它比真球轻或重。 22、试用母函数法求巴斯卡分布的数学期望及方差。23、在贝努里试验中，若试验次数v是随机变量，试证成功的次数与失败的次数这两个变量独立的充要条件，是v服从普阿松分布。24、设{?k}是一串独立的整值随机变量序列，具有相同概率分布，考虑和???1??2???v，其中v是随机变量，它与{?k}相互独立，试用（1）母函数法，（2）直接计算证明E??Ev?E?k,D??Ev?D?k?Dv?(E?k)。225、若分布函数F(x)?1?F(?x?0)成立，则称它是对称的。试证分布函数对称的充要条件，是它的特征函数是实的偶函数。 26、试求[0,1]均匀分布的特征函数。27、一般柯西分布的密度函数为p(x)?expi?{t??1???(x??)??22,??0。证它的特征函数为t|，利用这个结果证明柯西分布的再生性。| 28、若随机变量?服从柯西分布，??0,??1，而???，试证关于特征函数成立着f???(t)?f?(t)?f?(t)，但是?与?并不独立。29、试求指数分布与??分布的特征函数，并证明对于具有相同?值的??分布，关于参数r有再生性。 30、求证：对于任何实值特征函数f(t)，以下两个不等式成立：21?f(2t)?4(1?f(t)),1?f(2t)?2(f(t))。31、求证：如果f(t)是相应于分布函数F(x)的特征函数，则对于任何x值恒成立：12TT?T?itxT??lim?f(x)edt?F(x?0)?F(x?0)。k?1?d32、随机变量的特征函数为f(t)，且它的n阶矩存在，令Xk?k?klogf(t)?,i?dt?t?0k?n，称Xk为随机变量的k阶半不变量，试证????b（b是常数）的k(k?1)阶半不变量等于Xk。 33、试求出半不变量与原点矩之间的关系式。??1?34、设?1,?2,?,?n相互独立，具有相同分布N(a,?2)试求???????n??的分布，并写出它的数学期望及协???方差阵，再求??1ni??ni?1的分布密度。?4?22??，试找出矩阵A，使??A?，且要求?服从非1?35、若?服从二元正态分布N(0,?)，其中???退化的正态分布，并求?的密度函数。36、证明：在正交变换下，多元正态分布的独立、同方差性不变。 37、若(?,?)的分布为p(??k1,??k2)?n!ki!k2!(n?k1?k2)!p11p22(1?p1?p2)kkn?k1?k20?pi?1，（1）求随机变量?的边际分布；（2）求E(?|?)。
i?1,238、若r,v,?的取值是非负数，且p(??n)?ABn!n,又E??8，求A??,B??39、设?~N(2,1),?~N(1,4)且二者独立，求U???2? ,V?2???的相关系数?uv40、某汽车站在时间t内发车的概率为P(t)=1-e?8t，求某人等候发车的平均匀时间。 41、某厂生产的园盘的直径服从(a,b)内的均匀分布，求园盘面积的数学期望。 42、搜索沉船， 在时间t内发现沉船的概率为P(t)?1?e??t(??0)， 求为了发现沉船所需要的平均搜索时间。43、从数字1,2,3,4中按有放回方式取数，设随机变量?表示第一次选取的数字，随机变量?表示第二次选取的不小于?的数字. (1)写出(?,?)的联合分布列; (2)求E?.44、如果?,?,?互不相关,且方差分别为1,3,6,求u????,v????的相关系数?uv.45、将三个球随机地放入三个盒子中去，设随机变量?,?分别表示放入第一个、第二个盒子中的球的个数。1)求二维随机变量(?,?)的联合分布列;
2)求E?46、设RV?,? 相互独立，且E??2,
D??1, E??1,
D??4，求U??-2 , V?2?-? 的相关系数puv。47、民航机场一送客汽车载有20个旅客从机场开出，旅客可从10个站下车，如果到站没人下车就不停车，假定乘客在每个车站下车是等可能的，求平均停车次数。 48、据统计，一个40岁的健康者在5年内死亡的概率为1-p，保险公司开办五年人寿保险，条件是参加者需要交保险费a元，若五年内死亡，公司赔偿b元(b?a)，问b应如何确定才能使公司可望受益？若有m个人参加保险，公司可望收益多少?49、对敌人防御地段进行100次轰炸，每次命中目标的炸弹数是一个随机变量，其期望值是2，方差是1.69，求100次轰炸中有180～220颗命中目标的概率。 50、若有n把看上去样子相同的钥匙，其中只有1把打开门上的锁。用它们去试开门上的锁，设取得每把钥匙是等可能的。若每把钥匙试开后除去，求试开次数X的期望。 51、对球的直径作近似测量，其值均匀分布在区间[a,b]上。求球的体积的期望。 52、设X服从几何分布，它的概率分布列为：P{X?i}?qD(X)。1i?1p,其中q?1?p，求E(X)，n?1,2,?，53、设离散随机变量X的分布列为P{X?i}????,i?1,2,?，求Y?sin?X?的期望。 2?2?54、有3只球，4只盒子，盒子的编号为1,2,3,4。将球随机地放入4只盒子中去。记X为其中至少有1只球的盒子的最小号码。求E(X)。55、随机地掷6个骰子，利用切比雪夫不等式估计6个骰子出现点数之和在15点到27点之间的概率。56、已知正常成人血液中，每亳升白细胞数平均是7300，标准差是700。利用切比雪夫不等式估计每亳升男性成人血液中含白细胞数在之间的概率p。57、一部件包括10部分，每部分的长度是一个随机变量，相互独立且服从同一分布、其期望是2mm，标准差是0.05mm。规定总长度为(20?0.1)mm时产品合格，求产品合格的概率。58、根据以往的经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现随机取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率。 59、证明Cuchy---Swchz不等式，若E?2?E?2 存在 ,则E??60、设r&0，则当 E|?| 存在时， ???0,有P(|?|??)?r222?E??E?E|?|r?r。 1p61、若P(??k)?pqk-1
p?q?1(p?0)
则E??62、设?与?都只取两个数值，且?与?不相关，则?与?独立。 63、叙述并证明契比雪夫大数定律。?。64、若?是取非负整数的随机变量，E?,D?均存在，则E??12(1?R2?i?1P(??i)。65、设??,??的联合密度函数是f(x,y)?1?R12??R2?e?x)2?2Rxy?y2?，求证:E?max(?,?)??? 2?b?a?66、证明：对取值于区间[a,b]中的随机变量?恒成立，a?E??b,D(?)???。?2?67、设随机变量?的方差D?存在，c为任一实数，证明：D??E(??c)2?xn?xe?68、设随机变量?的密度函数为：p(x)??n!?0?x?0x?0nn?1， 其中n为正整数， 证明：p{0???2(n?1)}?69、若RV?1,?2,?,?n相互独立且同分布，E?i?1,
i?1,2,3,?,n，试证： 对任意的?k(k?1,2,?,n) 有P?0??k??i?2k??i?1??(k?1)k n70、如果随机变量序列{?n}，当n??时有1n2D(??k)?0，证明：{?n}服从大数定律.k?1包含各类专业文献、外语学习资料、专业论文、高等教育、中学教育、行业资料、生活休闲娱乐、应用写作文书、35概率与数理统计习题选4等内容。　
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当函数为连续函数时 切比雪夫不等式的证明
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称随机变量列 依概率收敛于随机变量Z，如果对任意给定的 ，有
随机变量列 依概率收敛于A，有时记作
特别，Z可以是常数A或 ．
二 大数定律
1、切比雪夫（切贝绍夫）大数定律
设 为两两独立(或两两不相关)的随机变量列， 存在，且存在常数C，使 ，则对任何给定的 ，有
切比雪夫大数定律是切比雪夫不等式的推论（见(4.7)式）．
2、伯努利大数定律
设 是“事件A在试验中出现”的概率； 是n次独立重复试验（伯努利试验）中事件A出现的频率，则 依概率收敛于 ：
直观上表示当n充分大时 ．
3、辛钦大数定律
设 独立同分布随机变量，只要数学期望
即当n充分大时，有 ．
三 中心极限定理
中心极限定理是关于“随机变量之和的极限分布是正态分布”的一系列定理的总称．
1、棣莫弗-拉普拉斯定理
设随机变量X服从参数为 的二项分布，则当n充分大时，X近似地服从正态分布 或近似地
．
(1) 局部定理
对于任意p(0&p&1)和 ，当n充分大时，有
(2) 积分定理
对于任意p(0&p&1)和 ，当n充分大时，
其中 ．
2、列维-林德伯格定理
设 是独立同分布随机变量，其数学期望和方差存在： ，
，则当n充分大时近似地
，
即对于任意实数 ，当n充分大时，有
其中 ．
三、典型例题及其分析
例5.2.1
在每次试验中，事件 发生的概率为0.5，利用切比雪夫不等式估计：在1000次试验中事件 发生的次数在400次至600次之间的概率.
【思路】设1000次试验中事件 发生的次数为 ，则 服从参数为 的二项分布，因而 再用切比雪夫不等式估计概率
【解】 在切比雪夫不等式 中，取 则事件 发生的次数在400次至600次之间的概率为
【解毕】
例5.2.2
如果随机变量 的概率密度为 ，且 存在，证明：对任意 有
利用切比雪夫不等式的证明方法.
【证明】
由于函数 在 内单调递增，故事件 ，因此
【证毕】
【技巧】
证明中的关键一步是对被积函数乘以大于1的因子 ，使等式变为不等式.次题实际上是考查切比雪夫不等式的证明.
例5.2.3
设随机变量 相互独立，且服从相同的分布： 又 存在 .试证明：对任意 有
【思路】 类似于切比雪夫大数定律的证明.
【证明】 由于 的期望为
令 的方差为 ，则
由于 仍相互独立的，故 的期望和方差分别为
对 应用切比雪夫不等式知
当 时，由极限的夹逼定理知
【证毕】
【寓意】
本题是考查切比雪夫大数定律的证明技巧.结论的另一种写法为： ，即样本二阶矩依概率收敛于总体二阶矩.这是统计中的一重要结论.
例5.3.1
某保险公司经多年的资料统计表明，在索赔户中被盗户占20％，在随意抽查的100家索赔户中被盗的索赔数为随机变量
（1） 写出 的概率分布；
（2） 利用德莫佛－拉普拉斯定理，求被盗德索赔户数不少于14户且不多于30户的概率近似值.
(1988年考研题)
【解】 （1）据题意可知，100家索赔户中被盗的索赔户数 ，即 的分布律为
（2）由 利用德莫佛－拉普拉斯定理知
【解毕】
【技巧】 德莫佛－拉普拉斯定理在实际中由广泛的应用,运用此定理计算概率近似值时，其关键是：“标准化”和“正态近似”，当 越大时，所得得近似值越精确.
例5.3.2
计算器在进行加法时，将每一加数舍入最靠近它的整数.设所有舍入误差是独立的，且在 上服从均匀分布.
（1） 若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？
（2） 最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90？
【思路】
设每个加数的舍入误差为 ，由题设知 独立同分布，且 因此，可利用独立同分布的中心极限定理，即林德伯格－列维中心极限定理，来进行近似计算.
【解】 令 同上所设，由于 ，从而
（1） 记 为将1500个数相加的误差总和，则有 ，从而由林德伯格－列维中心极限定理知 近似地服从 ，从而
即误差总和的绝对值超过15的概率约为0.1802.
（2）记 表示将n个数相加的误差总和，要使 由林德伯格－列维定理可知， 近似服从 .故
故最多有443个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90.
【解毕】
【寓意】
本题是独立同分布中心极限定理——林德伯格－列维定理的典型应用题，解题中关键还是要将所求问题“标准化”为定理所要求的形式.
综例5.4.1
现有一大批种子，其中良种占1/6，现从中任取6000粒种子，试分别用切比雪夫不等式和用中心极限定理计算这6000粒种子中良种所占的比例与1/6之差的绝对值不超过0.01的概率.
【解】 设随机变量 表示所取6000粒种子中良种的粒数，由题意可知， ,于是
（1） 要估计的概率为 相当于在切比雪夫不等式中取 于是由切比雪夫不等式可得
（2） 由德莫佛－拉普拉斯中心极限定理，二项分布 可用正态分布 近似。于是所求概率为
【解毕】
【寓意】
从本例看出：由切比雪夫不等式只能得出要求的概率不小于0.7685，而由中心极限定理可得到要求的概率近似等于0.9625.从而可知，由切比雪夫不等式得到的下界是十分粗糙的，但由于它的要求较低，只需知道 的期望与方差，因而在理论上由许多应用.
综例5.4.2
设 在区间 上连续，并记 设随机变量 服从 上的均匀分布， 独立且与 同分布，设
（1） 求 和 ，并证明：
（2） 对任意 ，利用中心极限定理估计概率 .
【解】 （1）由于 ，且 与 独立同分布，故
又因为 相互独立，故 也相互独立，从而
于是，对任意 ，由切比雪夫不等式得
（2） 由林德伯格－列维中心极限定理知
因此，对任意 ，有
【解毕】
【寓意】
本题是大数定律与中心极限定理的一个综合题，其中涉及的期望与方差的计算以及极限定理的运用都是经典的方法，读者应当熟练掌握和运用.本题实际上是实际问题中，利用蒙特卡罗方法计算积分的理论依据之一.
综例5.4.3
抽样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则拒绝接受这批产品，设某批产品的次品率为10％，问至少应抽所少个产品检查才能保证拒绝接受该产品的概率达到0.9？
【解】 设 为至少应抽的产品数， 为其中的次品数，对 故由德莫佛－拉普拉斯定理有
当 充分大时,
【解毕】
【技巧】
本题是一典型的用德莫佛－拉普拉斯定理近似计算的题.从解题过程中可以发现，二项分布 其实可看成是一个独立同分布的0-1分布的和，即 其中
设某种器件使用寿命（单位：小时）服从指数分布，平均使用寿命为20小时，具体使用时是当一器件损坏后立即更另一新器件，如此继续，已知每一器件进价为a元，试求在年计中应为此器件作多少元预算，才可以有95％的把握一年够用（定一年有2000个工作小时）.
【解】设第 个器件的使用寿命为 由于 服从参数为 的指数分布，且 所以 ，从而
假定一年至少准备 件才能有95％的把握够用，若记 相互独立，则问题应为求 ，
由独立同分布的中心极限定理知
因此每年应为此器件至少作出118a（元）的预算，才能有95％的把握保证一年够用.
【解毕】
综例5.4.5
设某农贸市场某商品每日价格的变化是均值为0，方差为 的随机变量，即有关系式
其中， 表示第n天该商品的价格， 为均值为0，方差为 的独立同分布随机变量（ 表示第n天该商品价格的增加数），如果今天该商品的价格为100，求18天后该商品的价格在96与104之间的概率.
【思路】 设 表示今天该商品的价格， 为18天后该商品的价格，则
因此，问题为求 而这个概率可利用林德伯格－列维的独立同分布中心极限定理来近似确定.
【解】 由于 且 是独立同分布的， 从而，由林德伯格－列维定理知
【解毕】
【技巧】
本题的关键是要将 表示为 从而将问题转化为求独立同分布随机变量和 落在某个区间的概率，而这个问题的解决只需用林德伯格－列维定理就可以了.
综例5.4.6
假设 是来自总体 的简单随机样本，已知 试证：当n充分大时，随机变量 近似服从正态分布，并指出其分布参数.
（1996年考研题）
【证明】 若设 ，则由于 是来自总体 的简单随机样本.故 独立同分布，且与 有相同分布，从而 也是独立同分布，且
于是，根据独立同分布的林德伯格－列维中心极限定理，得
亦即 近似服从标准正态分布 ，故当n充分大时，近似地有
【证毕】
【寓意】
本题其实是数理统计中，大样本场合下统计量 得渐进分布得计算问题，这类问题在求统计量的抽样分布时是经常出现的，关键是利用独立同分布的中心极限定理来求它们的近似分布.
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