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概率论答案
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> (课本习题)某射手射击击中目标的概率为0.9，求从开始射击到击中目标所需要的射击次数ξ的概率分布
(课本习题)某射手射击击中目标的概率为0.9，求从开始射击到击中目标所需要的射击次数ξ的概率分布
(课本习题)某射手射击击中目标的概率为0.9，求从开始射击到击中目标所需要的射击次数ξ的概率分布。 　　分析：在解决本题时同学们往往容易把它分析成二项分布。题目所要求的是从开始射击到击中目标所需要的射击次数，也就是前k-1次都没有击中目标，只有第k次才击中目标，因此，该题应是二点分布。 　　解：设第k次击中目标，因此分布列为： 　　p(ξ=k)=0.1k-1×0.9 (k=1,2,3,……) 　　思考：现把本题作如下变动，请判断是二点分布还是二项分布? 　　变式1　 某射手射击击中目标的概率为0.9，求n次射击中击中目标的次数ξ的概率分布。 　　变式2　 某工厂规定，如果工人在1个季度里有一个月完成生产任务，可得奖金90元；如果有二个月完成生产任务，可得奖金210元；如果有三个月完成生产任务，可得奖金330元；如果工人三个月都未完成任务，则没有奖金。假设某工人每月完成任务与否是等可能的，求此工人在一个季度里所得奖金的期望。 　　分析：作为每一个月来讲，完成任务与否是等可能的，因此是两点分布。但作为整个题目来讲，可以看作是3次独立试验中，事件(获得奖金)恰发生k次(k＝0，1，2，3)的概率，因此，本题应是二项分布。 　　解：设该工人一个季度里所得奖金为ξ，则 　　P(ξ=0)= 　　P(ξ=90)= 　　P(ξ=210)= 　　P(ξ=330)= 　　∴Eξ=0×+90×+210×+330×=153.75。
试卷 / &&&&&&
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&&( 13:8:35)&&( 14:32:48)&&( 13:59:57)&&( 13:57:6)&&( 13:32:31)&&( 13:22:17)&&( 11:40:59)&&( 11:35:44)&&( 11:34:44)&&( 11:33:46)----> 鲤鱼网-概率论基础知识主讲
鲤鱼网-概率论基础知识主讲
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&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&概率论基础知识&&&&第一章随机事件及其概率一随机事件&&&&§1几个概念1、随机实验:满足下列三个条件的试验称为随机试验；随机实验:（1）试验可在相同条件下重复进行；（2）试验的随机实验可能结果不止一个，且所有可能结果是已知的；（3）每次试验哪个结果出现是未知的；随机试验以后简称为试验，并常记为E。例如：E1：掷一骰子，观察出现的总数；E2：上抛硬币两次，观察正反面出现的情况；E3：观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数。2、随机事件随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件：常记为A，B，C……随机事件例如，在E1中，A表示“掷出2点”表示“掷出偶数点”均为随机事件。，B3、必然事件与不可能事件：每次试验必发生的事情称为必然事件，记为Ω。每次试验都不可能发生的必然事件与不可能事件：必然事件与不可能事件事情称为不可能事件，记为Φ。例如，在E1中，“掷出不大于6点”的事件便是必然事件，而“掷出大于6点”的事件便是不可能事件,以后，随机事件，必然事件和不可能事件统称为事件。4、基本事件基本事件：试验中直接观察到的最简单的结果称为基本事件。基本事件例如，在E1中，“掷出1点”“掷出2点”，，……，“掷出6点”均为此试验的基本事件。由基本事件构成的事件称为复合事件，例如，在E1中“掷出偶数点”便是复合事件。5、样本空间：从集合观点看，称构成基本事件的元素为样本点，常记为e.样本空间：样本空间例如，在E1中，用数字1，2，……，6表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集{1}，{2}，…{6}，，便是E1中的基本事件。在E2中，用H表示正面，T表示反面，此试验的样本点有（H，H）（H，T）（T，H）（T，T），，其基本事件便是{（H，H）}，{（H，T）}，{（T，H）}，{（T，T）}显然，任何事件均为某些样本点构成的集合。例如，在E1中“掷出偶数点”的事件便可表为{2，4，6}。试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。记为Ω。例如，在E1中，Ω={1，2，3，4，5，6}在E2中，Ω={（H，H）（H，T）（T，H）（T，T）}，，，在E3中，Ω={0，1，2，……}&&&&第1页@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&例1，一条新建铁路共10个车站，从它们所有车票中任取一张，观察取得车票的票种。此试验样本空间所有样本点的个数为NΩ=P210=90.（排列：和顺序有关，如北京至天津、天津至北京）&&&&&&&&若观察的是取得车票的票价，则该试验样本空间中所有样本点的个数为(组合&&&&&&&&例&&&&&&&&2．随机地将15名新生平均分配到三个班级中去，观察15名新生分配的情况。此试验的样本空间所有样本点的个数为&&&&&&&&第一种方法用组合+乘法原理；第二种方法用排列§2事件间的关系与运算1、包含包含:“若事件A的发生必导致事件B发生，则称事件B包含事件A，记为A包含例如，在E1中，令A表示“掷出2点”的事件，即A={2}B表示“掷出偶数”的事件，即B={2，4，6}则B或BA。&&&&&&&&2、相等相等：若A相等&&&&&&&&B且B&&&&&&&&A，则称事件A等于事件B，记为A=B&&&&&&&&例如，从一付52张的扑克牌中任取4张，令A表示“取得到少有3张红桃”的事件；B表示“取得至多有一张不是红桃”的事件。显然A=B&&&&&&&&3、和：称事件A与事件B至少有一个发生的事件为A与B的和事件简称为和，记为A和&&&&&&&&B，或A+B&&&&&&&&例如，甲，乙两人向目标射击，令A表示“甲击中目标”的事件，B表示“乙击中目标”的事件，则AUB表示“目标被击中”的事件。推广：&&&&&&&&有限个&&&&&&&&无穷可列个4、积：称事件A与事件B同时发生的事件为A与B的积事件，简称为积，记为A积B或AB。&&&&&&&&例如，在E3中，即观察某电话交换台在某时刻接到的呼唤次数中，令A={接到偶数次呼唤}，B={接到奇数次呼唤}，则AB={接到6的倍数次呼唤}&&&&第2页@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&推广：&&&&&&&&任意有限个&&&&&&&&无穷可列个5、差：称事件A发生但事件B不发生的事件为A减B的差事件简称为差，记为A-B。差例如，测量晶体管的β参数值，令A={测得β值不超过50}，B=｛测得β值不超过100｝，则，A-B=φ，B-A=｛测得β值为50＜β≤100｝&&&&&&&&6、互不相容互不相容：若事件A与事件B不能同时发生，即AB=φ，则称A与B是互不相容的。互不相容例如，观察某定义通路口在某时刻的红绿灯：若A={红灯亮}，B={绿灯亮}，则A与B便是互不相容的。&&&&&&&&7、对立：称事件A不发生的事件为A的对立事件，记为对立：对立&&&&&&&&显然&&&&&&&&，A∩&&&&&&&&=φ&&&&&&&&例如，从有3个次品，7个正品的10个产品中任取3个，若令A={取得的3个产品中至少有一个次品}，则={取得的3个产品均为正品}。&&&&&&&&§3事件的运算规律1、交换律交换律A∪B=B∪A；A∩B=B∩A&&&&&&&&2、结合律（A∪B）∪C=A∪（B∪C）；结合律（A∩B）∩C=A∩（B∩C）3、分配律A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）分配律，4、对偶律对偶律此外，还有一些常用性质，如A∪B若AA，A∪BB（越求和越大）；A∩BA，A∩B等等。&&&&@kaiziliu&&&&&&&&B（越求积越小）。&&&&&&&&B，则A∪B=B,A∩B=AA-B=A-AB=A&&&&第3页&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&例3，从一批产品中每次取一件进行检验，令Ai={第i次取得合格品},i=1,2,3,试用事件的运算符号表示下列事件。A={三次都取得合格品}Ｂ＝｛三次中至少有一次取得合格品｝Ｃ＝｛三次中恰有两次取得合格品｝Ｄ＝｛三次中最多有一次取得合格品｝解：Ａ＝Ａ１Ａ２Ａ３表示方法常常不唯一，如事件Ｂ又可表为或例4，一名射手连续向某一目标射击三次，令Ａi={第i次射击击中目标},i=1,2,3，试用文字叙述下列事件：解：A1A2A3={三次射击都击中目标}A3-A2={第三次击中目标但第二次未击中目标}&&&&&&&&例5，下图所示的电路中，以A表示“信号灯亮”这一事件，以B,C,D分别表示继电器接点，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，闭合，试写出事件A,B,C,D之间的关系。解，不难看出有如下一些关系：&&&&&&&&二事件的概率&&&&§1概率的定义所谓事件A的概率是指事件A发生可能性程度的数值度量，记为P（A）。规定P(A)≥0，P（Ω）=1。1、古典概型中概率的定义古典概型：满足下列两条件的试验模型称为古典概型。古典概型（1）所有基本事件是有限个；（2）各基本事件发生的可能性相同；例如：掷一匀称的骰子，令A={掷出2点}={2}，B={掷出偶数总}={2，4，6}。此试验样本空间为Ω={1，2，3，4，5，6}，于是，应有1=P（Ω）=6P（A），即P（A）=。&&&&&&&&而P（B）=3P（A）=&&&&第4页@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&定义1：在古典概型中，设其样本空间Ω所含的样本点总数，即试验的基本事件总数为NΩ而事件A所含的样本数，即有利于事件A发生的基本事件数为NA，则事件A的概率便定义为：&&&&&&&&例1，将一枚质地均匀的硬币一抛三次，求恰有一次正面向上的概率。解：用H表示正面，T表示反面，则该试验的样本空间&&&&Ω={（H，H，H）（H，H，T）（H，T，H）（T，H，H）（H，T，T）（T，H，T）（T，T，H）（T，T，T）}。&&&&&&&&可见NΩ=8令A={恰有一次出现正面}，则A={（H，T，T）（T，H，T）（T，T，H）}&&&&&&&&可见，令NA=3&&&&&&&&故&&&&&&&&例2，取球问题）袋中有5个白球，3个黑球，分别按下列三种取法在袋中取球。（取球问题）（1）有放回地取球有放回地取球：从袋中取三次球，每次取一个，看后放回袋中，再取下一个球；有放回地取球（2）无放回地取球无放回地取球：从袋中取三次球，每次取一个，看后不再放回袋中，再取下一个球；无放回地取球（3）一次取球一次取球：从袋中任取3个球。在以上三种取法中均求A={恰好取得2个白球}的概率。一次取球解：（1）有放回取球NΩ=8×8×8=83=512(袋中八个球，不论什么颜色，取到每个球的概率相等)&&&&&&&&（先从三个球里取两个白球，第一次取白球有五种情况，第二次取&&&&&&&&白球还有五种情况注意是有放回，第三次取黑球只有三种情况）&&&&&&&&（2）无放回取球&&&&&&&&故&&&&&&&&（3）一次取球&&&&&&&&故&&&&&&&&第5页&&&&&&&&@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&属于取球问题的一个实例：设有100件产品，其中有5%的次品，今从中随机抽取15件，则其中恰有2件次品的概率便为&&&&&&&&（属于一次取球模型）例3（分球问题）将n个球放入N个盒子中去，试求恰有n个盒子各有一球的概率（n≤N）。（分球问题）解：令A={恰有n个盒子各有一球}，先考虑基本事件的总数&&&&&&&&先从N个盒子里选n个盒子，然后在n个盒子里n个球全排列&&&&&&&&故&&&&&&&&属于分球问题的一个实例：全班有40名同学，向他们的生日皆不相同的概率为多少？令A={40个同学生日皆不相同}，则有&&&&&&&&故(可以认为有365个盒子，40个球)例4（取数问题）（取数问题）从0，1，……,9共十个数字中随机的不放回的接连取四个数字，并按其出现的先后排成一列，求下列事件的概率：（1）四个数排成一个偶数；（2）四个数排成一个四位数；（3）四个数排成一个四位偶数；解：令A={四个数排成一个偶数}，B={四个数排成一个四位数}，C={四个数排成一个四位偶数}&&&&&&&&，&&&&&&&&，&&&&&&&&第6页&&&&&&&&@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&例5（分组问题）将一幅52张的朴克牌平均地分给四个人，分别求有人手里分得13张黑桃及有人手里（分组问题）有4张A牌的概率各为多少？解：令A={有人手里有13张黑桃}，B={有人手里有4张A牌}&&&&&&&&于是&&&&&&&&，故&&&&&&&&不难证明，古典概型中所定义的概率有以下三条基本性质基本性质：基本性质1°P（A）≥02°P（Ω）=1&&&&&&&&3°若A1，A2，……，An两两互不相容，则&&&&&&&&2、概率的统计定义&&&&&&&&频率：频率：在n次重复试验中，设事件A出现了nA次，则称：定的稳定性。示例见下例表&&&&&&&&为事件A的频率。频率具有一&&&&&&&&正面（A）出现的&&&&试验者抛硬币次数n正面（A）出现次数nA&&&&&&&&频率&&&&德?摩尔根浦丰皮尔逊皮尔逊维尼&&&&第7页&&&&&&&&0．5．5．4998&&&&@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&定义2：在相同条件下，将试验重复n次，如果随着重复试验次数n的增大，事件A的频率fn(A)越来越稳定地在某一常数p附近摆动，则称常数p为事件A的概率，即P（A）=p不难证明频率有以下基本性质：&&&&&&&&1°&&&&&&&&2°&&&&&&&&3°若A1，A2，……，两两互不相容，则&&&&&&&&数学定义）3、概率的公理化定义（数学定义），如果它满足下列三条公理：定义3：设某试验的样本空间为Ω，对其中每个事件A定义一个实数P（A）1°P（A）≥0（非负性）2°P（Ω）=1（规范性）&&&&&&&&3°若A1，A2，……，An……两两互不相容，则&&&&&&&&（可列可加性，简称可加性）&&&&&&&&则称P（A）为A的概率4、几何定义假设Ω是Rn(n=1,2,3)中任何一个可度量的区域，从Ω中随机地选择一点，即Ω中任何一点都有定义4：假设同样的机会被选到，则相应随机试验的样本空间就是Ω，假设事件A是Ω中任何一个可度量的子集，则P(A)==ū(A)/ū(Ω)§2概率的性质性质1：若AP(B-A)=P(B)B,则P(B-A)=P(B)-P(A)&&&&证：&&&&&&&&――差的概率等于概率之差&&&&B&&&&&&&&因为：A&&&&&&&&所以：B=A∪(B-A)且A∩(B-A)=φ,由概率可加性得P（B）=P[A∪（B-A）]=P（A）+P（B-A）即P（B-A）=P（B）-P（A）性质2：若AB，则P（A）≤P（B）――概率的单调性&&&&&&&&证：由性质1及概率的非负性得0≤P（B-A）=P（B）-P（A），即P（A）≤P（B）性质3：P（A）≤1证明：由于A）=1-P（A）=1）=P（Ω-A）=P（Ω）-P（A）=1-P（A）Ω，由性质2及概率的规范性可得P（A）≤1&&&&&&&&性质4：对任意事件A，P（&&&&&&&&证明：在性质1中令B=Ω便有P（&&&&&&&&第8页&&&&&&&&@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&性质5：P（φ）=0&&&&&&&&证：在性质4中，令A=Ω，便有P（φ）=P（φ&&&&&&&&）=1-P（Ω）=1-1=0&&&&&&&&加法公式）AUB）=P（+P（AB）性质6（加法公式）对任意事件A，B，有P（AUB）=P（A）+P（B）-P（AB）证：由于A∪B=A∪（B-AB）且A∩（B-AB）=φ（见图）φ由概率的可加性及性质1便得P（A∪B）=P[A∪（B-AB）]=P（A）+P（B-AB）=P（A）+P（B）-P（AB）推广:=P（+P（+P（AB）AC）BC）+P（ABC）推广:P（A∪B∪C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）例6设10个产品中有3个是次品，今从中任取3个，试求取出产品中至少有一个是次品的概率。&&&&&&&&解：令C={取出产品中至少有一个是次品}，则&&&&&&&&={取出产品中皆为正品}，于是由性质4得&&&&&&&&例7，甲，乙两城市在某季节内下雨的概率分别为0.4和0.35，而同时下雨的概率为0.15，问在此季节内甲、乙两城市中至少有一个城市下雨的概率。解：令A={甲城下雨}，B={乙城下雨}，按题意所要求的是P（A∪B）=P（A）+P（B）―P（AB）=0.4+0.35-0.15=0.6例8．设A,B,C为三个事件，已知P(A)=P(B)=P(C)=0.25,P(AB)=0,P(AC)=0,P(BC)=0.125,求A,B,C至少有一个发生的概率。&&&&&&&&于是所求的概率为&&&&&&&&第9页&&&&&&&&@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&三条件概率&&&&§1条件概率的概念及计算发生条件下，的条件概率，A/B）。条件概率A/B）在已知事件B发生条件下，事件A发生的概率称为事件A的条件概率，记为P（A/B）条件概率P（A/B）。通常是不相等的。与无条件概率P（A）通常是不相等的。例1：某一工厂有职工500人，男女各一半，男女职工中非熟练工人分别为40人和10人，即该工厂职工人员结构如下：人数非熟练工人其他职工总和男240250总和&&&&&&&&现从该厂中任选一职工，令A={选出的职工为非熟练工人}，B={选出的职工为女职工}显然，；而&&&&&&&&，&&&&&&&&定义1设A、B为两事件，如果P（B）0，则称&&&&&&&&为在事件B发生的条件下，事件A&&&&&&&&的条件概率。同样,如果P（A）0，则称&&&&&&&&为在事件A发生条件下，事件B的条件概率。&&&&&&&&条件概率的计算通常有两种办法：(1)由条件概率的含义计算（通常适用于古典概型），(2)由条件概率的定义计算。&&&&&&&&例2：一盒子内有10只晶体管，其中4只是坏的，6只是好的，从中无放回地取二次晶管，每次取一只，当发现第一次取得的是好的晶体管时，向第二次取的也是好的晶体管的概率为多少？解：令A={第一次取的是好的晶体管}，B={第二次取的是好的晶体管}&&&&&&&&按条件概率的含义立即可得：&&&&&&&&按条件概率的定义需先计算：&&&&&&&&；于是&&&&&&&&第10页&&&&&&&&@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&例3：某种集成电路使用到2000小时还能正常工作的概率为0.94,使用到3000小时还能正常工作的概率为0.87.有一块集成电路已工作了2000小时,向它还能再工作1000小时的概率为多大?解：令A={集成电路能正常工作到2000小时}，B={集成电路能正常工作到3000小时}已知:：P(A)=0.94,P(B)=0.87且，既有AB=B于是P(AB)=P(B)=0.87&&&&&&&&按题意所要求的概率为：&&&&&&&&§2关于条件概率的三个重要公式1.乘法公式1.乘法公式定理1:，&&&&&&&&例4:已知某产品的不合格品率为4%,而合格品中有75%的一级品,今从这批产品中任取一件,求取得的为一级的概率.解:令A={任取一件产品为一级品},故P（AB）=P（A）。于是,B={任取一件产品为合格品}，显然，即有AB=A&&&&&&&&所要求的概率便为&&&&&&&&例5:为了防止意外,在矿内安装两个报警系统a和b,每个报警系统单独使用时,系统a有效的概率为0.92,系统b的有效概率为0.93,而在系统a失灵情况下,系统b有效的概率为0.85，试求：(1)当发生意外时,两个报警系统至少有一个有效的概率；(2)在系统b失灵情况下,系统a有效的概率.解:令已知A={系统a有效}B={系统b有效}&&&&&&&&,&&&&&&&&,&&&&&&&&对问题(1),所要求的概率为，其中&&&&&&&&(见图)&&&&&&&&=&&&&&&&&=&&&&&&&&于是&&&&&&&&对问题(2),所要求的概率为：&&&&&&&&=&&&&&&&&第11页&&&&&&&&@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&推广：推广：如果&&&&&&&&证:由于&&&&&&&&所以上面等式右边的诸条件概率均存在,且由乘法公式可得&&&&&&&&=&&&&&&&&=&&&&&&&&……（依此类推）=&&&&&&&&例6：10个考签中有4个难签,三个人参加抽签(无放回)甲先,乙次,丙最后,试问(1)甲、乙、丙均抽得难签的概率为多少?(2)甲、乙、丙抽得难签的概率各为多少?解:令A,B,C分别表示甲、乙、丙抽得难签的事件，对问题(1),所求的概率为：&&&&&&&&对问题(2),甲抽得难签的概率为：&&&&&&&&乙抽得难签的概率为&&&&&&&&丙抽得难签的概率为&&&&&&&&其中&&&&&&&&于是&&&&第12页@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&2.全概率公式2.全概率公式完备事件组:如果一组事件完备事件组在每次试验中必发生且仅发生一个,&&&&&&&&即&&&&&&&&则称此事件组为该试验的一个完备事件组&&&&&&&&例如，在掷一颗骰子的试验中，以下事件组均为完备事件组：①{1}，{2}，{3}，{4}，{5}，{6}；②{1，2，3}，{4，5}，{6}；③Ａ，（A为试验中任意一事件）&&&&&&&&定理2：设&&&&&&&&为一完备事件组，为一完备事件组，且&&&&&&&&，则对于任意事件A有&&&&&&&&证：由于&&&&&&&&且对于任意&&&&&&&&，于是由概率的可加性及&&&&&&&&乘法公式便得：&&&&&&&&例7，某届世界女排锦标赛半决赛的对阵如下：根据以往资料可知，中国胜美国的概率为0.4，中国胜日本的概率为0.9，而日本胜美国的概率为0.5，求中国得冠军的概率。&&&&&&&&解：令H={日本胜美国},&&&&&&&&={美国胜日本},A={中国得冠军}&&&&&&&&由全概率公式便得所求的概率为&&&&&&&&例8，盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，第一次比赛时，从盒中任取3个使用，用后放会盒中，第二次比赛时，再取3个使用，求第二次取出都是新球的概率解：令H球均为新球}&&&&第13页@kaiziliu&&&&&&&&={第一次比赛时取出的3个球中有i个新球}i=0，1，2，3，A={第二次比赛取出的3个&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&于是&&&&&&&&,&&&&&&&&,&&&&&&&&,&&&&&&&&而&&&&&&&&,&&&&&&&&,&&&&&&&&,&&&&&&&&由全概率公式便可得所求的概率&&&&&&&&=0.146&&&&&&&&3贝叶斯公式定理3：设H,H,…….H.H为一完备事件组，且&&&&&&&&为任意事件，P(A)0，又设A为任意事件，且P(A)0，则有&&&&&&&&证：由乘法公式和全概率公式即可得到&&&&&&&&例9：某种诊断癌症的实验有如下效果：患有癌症者做此实验反映为阳性的概率为0.95，不患有癌症者做此实验反映为阴的概率也为0.95，并假定就诊者中有0.005的人患有癌症。已知某人做此实验反应为阳性，问他是一个癌症患者的概率是多少？先验概率解：令H={做实验的人为癌症患者}，={做实验的人不为癌症患者}，A={实验结果反应为阳性}，{实&&&&&&&&验结果反应为阴性}，由贝叶斯公式可求得所要求的概率：&&&&&&&&第14页&&&&&&&&@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&例10：两信息分别编码为X和Y传送出去，接收站接收时，X被误收作为Y的概率0.02,而Y被误作为X的概率为0.01.信息X与Y传送的频繁程度之比为2:1,若接收站收到的信息为X，问原发信息也是X的概率为多少?&&&&&&&&解：设H={原发信息为X}&&&&&&&&由题意可知&&&&&&&&由贝叶斯公式便可求得所要求的概率为&&&&&&&&例11：设有一箱产品是由三家工厂生产的，已知其中占&&&&&&&&的产品是由甲厂生产的，乙、丙两厂的产品各求所取得&&&&&&&&，已知甲，乙两厂的次品率为2%，丙厂的次品率为4%，现从箱中任取一产品（1）求所取得产品是次品的概率；（3）&&&&&&&&产品是甲厂生产的次品的概率；（2）问他是由甲厂生产的概率是多少？解：令&&&&&&&&已知所取得产品是次品，&&&&&&&&分别表示所取得的产品是属于甲、乙、丙厂的事件，A={所取得的产品为次品}&&&&&&&&显然&&&&&&&&，&&&&&&&&，&&&&&&&&，&&&&&&&&对问题（1），由乘法公式可得所要求的概率：&&&&&&&&对问题（2），由全概率公式可得所要求的概率&&&&&&&&对问题（3），由贝叶斯公式可得所要求的概率&&&&&&&&第15页&&&&&&&&@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&四独立性&&&&§1事件的独立性的概率，如果事件B的发生不影响事件A的概率，即独立。则称事件A对事件B独立。&&&&&&&&的概率，如果事件A的发生不影响事件B的概率，即&&&&&&&&，&&&&&&&&独立。则称事件B对事件A独立&&&&&&&&不难证明，当&&&&&&&&时，上述两个式子是等价的。&&&&&&&&事实上，如果&&&&&&&&，则有&&&&&&&&反之，如果&&&&&&&&，则有&&&&&&&&即&&&&&&&&同样可证&&&&&&&&总之定义&&&&&&&&，1，则称事件A与事件B相互独立。相互独立。&&&&&&&&可见事件独立性是相互的。为两个事件，设A，B为两个事件，如果&&&&&&&&例1,袋中有3个白球2个黑球，现从袋中（1）有放回；（2）无放回的取两次球，每次取一球，令A={第一次取出的是白球}B={第二次取出的是白球}问A，B是否独立？解：（1）有放回有放回取球情况，则有有放回&&&&&&&&可见，&&&&&&&&，可见A，B独立。2*3&&&&&&&&（2）无放回无放回取球情况，则有无放回&&&&&&&&可见，&&&&&&&&，故A，B不独立。（实际上就是抓阄模型）&&&&&&&&第16页&&&&&&&&@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&例2,设有两元件，按串联和并联方式构成两个系统Ⅰ，Ⅱ（见图）每个元件的可靠性(即元件正常工作的概率)为r(0r1).假定两元件工作彼此独立,求两系统的可靠性.解:令A={元件a正常工作},B={元件b正常工作},且A,B独立。C1={系统I正常工作},C2={系统II正常工作}于是系统I的可靠性为系统II的可靠性为&&&&&&&&显然&&&&&&&&，系统Ⅱ可靠性大于系统Ⅰ的可靠性。&&&&&&&&定义：为三个事件，AB）=P（，PAC）=P（定义：设A，B，C为三个事件，如果P（AB）=P（A）P（B）P（AC）=P（A）P（C），，，PABC）=P（为相互独立的。P（BC）=P（B）P（C）P（ABC）=P（A）P（B）P（C）则称A，B，C为相互独立的。BC）=P（，&&&&&&&&定义2：设A1，A2，……An为n个事件，如果对任意正整数&&&&&&&&及上述事件中的任意&&&&&&&&P&&&&互独立的。互独立的。下面几个结论是常用的下面几个结论是常用的：结论&&&&&&&&……，则称这n个事件A1，A2……，An是相&&&&&&&&其它三个必成立。&&&&&&&&证：设A，B成立，即&&&&&&&&，&&&&&&&&于是有&&&&&&&&故&&&&&&&&独立。利用这个结果便可证明其它结论，即&&&&&&&&（2）如果&&&&&&&&相互独立，则&&&&&&&&(3)如果&&&&&&&&相互独立，则&&&&&&&&第17页&&&&&&&&@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&证：&&&&&&&&例3：三人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别为&&&&&&&&求密码能被译出的概率&&&&&&&&解：令Ai＝｛第&&&&&&&&个人能译出密码｝，I=1,2,3；A={密码能被译出}，所要求的概率为&&&&&&&&例4：设每支步枪击中飞机的概率为(2)若要以&&&&&&&&，(1)现有250支步枪同时射击，求飞机被击中的概率;&&&&&&&&概率击中飞机，问需多少支步枪同时射击？1,2,……,n；A={飞机被击中}&&&&&&&&解：令Ai=｛第i支步枪击中飞机｝对问题（1），n=250,所要求的概率为&&&&&&&&对问题（2）为所需的步数，按题意，n&&&&&&&&,&&&&&&&&即&&&&&&&&,即&&&&&&&&于是得&&&&&&&&§2独立重复试验独立重复试验在相同条件下，将某试验重复进行n次，且每次试验中任何一事件的概率不受其它次试验结果的影响，此种试验称为n次独立重复试验。称此试验为贝努里试验贝努里试验&&&&&&&&n重贝努里试验将贝努里试验独立重得n次所构成n次独立重得试验称为n重贝努里试验。例如，（1）将一骰子掷10次观察出现6点的次数――10重贝努里试验（2）在装有8个正品，2个次品的箱子中，有放回地取5次产品，每次取一个，观察取得次品的次数――5重贝努里试验（3）向目标独立地射击n次，每次击中目标的概率为P，观察击中目标的次数―n重贝努里试验等等&&&&&&&&第18页&&&&&&&&@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&一个重要的结果：一个重要的结果：在n重贝努里实验中，假定每次实验事件A出现的概率为p（0p1）,则在这n重贝努里实验中事件A恰好出现k(k≤n)次的概率为其中q=1-p&&&&&&&&因此，在n次独立重复试验中事件A恰好出现k次的事件便可表为上式为在n次试验中恰有k次A出现，而在另外n-k次A不出现的所有可能事件之和，这&&&&&&&&及事件的独立性便可得到在n重贝努里试验中事件A恰好出现k次的概率为&&&&&&&&例5：设电灯泡的耐用时数在1000小时以上的概率为0.2,求三个灯泡在使用了1000小时之后：（1）恰有一个灯泡损坏的概率；（2）至多有一个灯泡损坏的概率。解：在某一时刻观察三个灯泡损坏情况为3重贝努里实验。令A={灯泡是坏的}，则p=P(A)=0.8若令Bi={有i个灯泡损坏}，i=0，123；对于问题（1），所求的概率为对于问题（2），所求的概率为例6：某工厂生产某种产品，其次品率为0.01，该厂以每10个产品为一包出售，并保证若包内多于一个次品便可退货，问卖出的产品与被退的比例多大解：卖出产品被退回的比例也即卖出一包产品被退回的概率，观测一包内次品（即事件A，p=P(A)=0.01）数的实验可视为10重贝努里实验。令令C={卖出一包被退回}，则则&&&&&&&&如果厂方以20个产品为一包出售，并保证包内多于2个次品便可退货，情况又将如何呢？&&&&&&&&完全类似可算得&&&&&&&&第19页&&&&&&&&@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&第二章随机变量及其分布函数一随机变量及其分布函数&&&&§1随机变量的概念为了对各种各样不同性质的试验能以统一形式表示实验中的事件，并能将微积分等数学工具引进概率论。我们需引入随机变量的概念。随机变量：X=X(e),e∈随机变量：设试验的样本空间为，在上定义一个单值实函数X=X(e),e∈,对试验的每个结果e,Ｘ＝Ｘ(e)有确定的值与之对应。由于实验结果是随机的，Ｘ＝Ｘ（e的取值也是随机的，e,Ｘ＝Ｘ(e)有确定的值与之对应。由于实验结果是随机的，那Ｘ＝Ｘ（e）的取值也是随机的，我们便Ｘ＝Ｘ(e)有确定的值与之对应上的单值实函数Ｘ＝Ｘ（为一个随机变量。Ｘ＝Ｘ（e称此定义在样本空间上的单值实函数Ｘ＝Ｘ（e）为一个随机变量。引进随机变量后，试验中的每个事件便可以通过此随或在某范围内取值来表示了。（见图）通俗讲，随机变量就是依照试验结果而取值的变量。例1向靶子（见图）射击一次，观察其得分，规定击中区域Ⅰ得２分击中区域Ⅱ得１分击中区域Ⅲ得０分样本空间Ω＝｛Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ｝。定义随机变量X表示射击一次的得分即于是，机变量取某个值&&&&&&&&例2观察某电话交换台，在时间Ｔ内接到的呼唤次数。样本空间Ω＝｛０，１，２，……｝。可定义随机变量Ｘ就表示在时间Ｔ内接到的呼唤次数。于是，Ａ＝｛接到呼唤次数不超过１０次｝＝｛Ｘ≤１０｝Ｂ＝｛接到呼唤次数介于５至１０次之间｝＝｛５≤Ｘ≤１０｝,,例3从一批灯泡中任取一个灯泡作寿命试验。观察所测灯泡的寿命（单位：小时）样本空间Ω＝〔０，＋∞〕。可定义随机变量Ｘ表示所测得灯泡的寿命于是，Ａ＝｛测得灯泡寿命大于５００（小时）｝＝｛Ｘ500｝Ｂ＝｛测得灯泡寿命不超过５０００（小时）｝＝｛Ｘ≤５０００｝。不具明显数量性质的试验也可以定义随机变量表示试验中每个事件。不具明显数量性质的试验也可以定义随机变量表示试验中每个事件。例4将一枚硬币上抛一次，观察正，反面出现的情况。试验的样本空间Ω＝｛Ｈ，Ｔ｝，Ｈ－正面，Ｔ－反面。可定义随机变量Ｘ表示上抛１次硬币正面出现的次数，即&&&&&&&&第20页&&&&&&&&@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&于是，Ａ＝｛出现正&&&&&&&&面｝＝｛Ｘ＝１｝用随机变量表示事件常见形式有。&&&&&&&&等等（这里X为随机变量，χ，χ1，χ2等为实数）§2分布函数为随机变量，对任意实数χ，=P{X≤χ≤χ}的分布函数。定义设X为随机变量，对任意实数，则称函数F（χ）=P{X≤χ}为随机变量X的分布函数。例1机房内有两台设备，令X表示某时间内发生故障的设备数，并知P{X=0}=0.5，P{X=1}=0.3，P{X=2}=0.2，求X的分布函数F（χ）。解：由于X的可能取值为0，1，2故应分情况讨论：（1）（2）（3）（4）当χ0时，F（χ）=P{X≤χ}=0当0≤χ1时，F（χ）=P{X≤χ}=P{X=0}=0.5当1≤χ2时，F（χ）=P{X≤χ}=P{X=0}+P{X=1}=0.5+0.3=0.8当χ≥2时，F（χ）=P{X≤χ}=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=0.5+0.3+0.2=1&&&&&&&&总之，&&&&&&&&例2向一半径为2米的圆形靶子射击，假设击中靶上任何一同心圆的概率为该同心圆的面积成正比，且每次射击必中靶。令X表示弹着点到靶心距离，求X的分布函数F（χ）。&&&&&&&&解：当χ0时，F（χ）=P{X≤χ}=0当0≤χ≤2时，F（χ）=P{X≤χ}=P{击中半径为χ的同心圆}=λπχ特别，当χ=2时，1=F{2}=λπ4，解得λ=1/4π，代入上式便得&&&&2&&&&&&&&当χ2时，F（χ）=P{X≤χ}=1&&&&&&&&第21页&&&&&&&&@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&性质&&&&&&&&1。F（χ）是单调不减的，即对任意χ1χ2，有F（χ1）≤F（χ2）是单调不减的，；=0，=1；2。0≤F（χ）≤1且F（-∞）=0，F（+∞）=1；+0）F（。3。F（χ）为右连续的，即对任意χ，有F（χ+0）=F（χ）为右连续的，&&&&&&&&可以证明（略）以上三条性质是分布函数所具有的三条基本共同特性。利用分布函数可求随机变量落在某些区间上的概率，如&&&&&&&&等等。&&&&&&&&例3在前面打靶的例子中，已知X表示弹着点到靶心距离，并求得其分布函数为&&&&&&&&于是便可以利用此分布函数，求出击中靶上环形区域（见图）的概率&&&&&&&&随机变量分类：&&&&&&&&第22页&&&&&&&&@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&二离散型随机变量及其分布律§1离散型随机变量及其分布律的概念&&&&定义：的所有可能取值为有限个或可列个，为离散型随机变量。定义：如果随机变量X的所有可能取值为有限个或可列个，则称随机变量X为离散型随机变量。设X的所有可能取值为χ1，χ2，……χn，……，则称下列一组概率P{X=χi}=ρi，i=1,2,……，n,……为X的分布律。分布律也常常写成表格形式性质：性质：0,一切1。pi≥0,一切I；2。&&&&&&&&Xχ1χ2……χn……p…………&&&&&&&&例1设袋中装着分别标有-1，2，2，2，3，3数字的六个球，现从袋中任取一球，令X表示取得球上所标的数字，求X的分布律。解：X的可能取值为-1，2，3，且容易求得故X的分布律为Xp-11/621/231/3&&&&&&&&例：相同条件下，独立的向目标射击4次，设每次击中目标的概率为0.8，求击中目标次数X的分布律解：X的可能取值为0，1，2，3，4利用二项概率公式便可求得&&&&&&&&X的分布律为&&&&&&&&X&&&&&&&&0&&&&&&&&1&&&&&&&&2&&&&&&&&3&&&&&&&&4&&&&&&&&p0...4096&&&&&&&&例2社会上定期发行某种奖券，每券一元，中奖率为p，某人每次买1张奖券，如果没有中奖便继续买一张，直到中奖为止。求该人购买奖券次数X的分布律。如果中奖率为1%，问他至少应买多少张奖券才能以不少于99%的概率中奖。解：（1）令Ai={第i次购买的奖券中奖}，i=1,2,……&&&&&&&&X的分布律为&&&&第23页@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&Xp&&&&&&&&1p&&&&&&&&2(1-p)p&&&&&&&&3(1-p)2p&&&&&&&&…………&&&&&&&&i（1-p）i-1p&&&&&&&&…………&&&&&&&&（2）设n为所需购买的奖券数，按题意P{X≤n}≥99%即即&&&&&&&&例4某产品40件，其中有次品3件，现从中任取3件，（1）求取出的3件产品中所含次品数X的分布律；（2）求取出产品中至少有一件次品的概率；（3）求出X的分布函数F（x），并作其图形。解：（1）X的可能取值为0，1，2，3，且有&&&&&&&&于是X的分布律为X（2）任取3件产品中至少含有一件次品的概率为010.230.0001&&&&&&&&P0.7865&&&&&&&&P{X≥1}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=0.2+0.5或P{X=0}=1－0.5（3）由分布函数定义不难求得X的分布函数为&&&&&&&&P{X≥1}=1－P{X＜1＝1－&&&&&&&&离散型随机变量其分布函数的图形有如下特点：离散型随机变量其分布函数的图形有如下特点：图形有如下特点(1)阶梯形；（3其跃度为此随机变量在该处取值的概率。(1)阶梯形；2）仅在其可能取值处有跳跃；3）其跃度为此随机变量在该处取值的概率。阶梯形（2仅在其可能取值处有跳跃；（（一般，若X的分布律为P{X=χi}=pi,i=1,2,……，则X落在区间I内的概率便为&&&&&&&&从而，X的分布函数与分布律的关系便为&&&&&&&&第24页&&&&&&&&@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&§2几个重要分布X1.两点分布1.两点分布如果随机变量X的分布律为p0q1p&&&&&&&&0p1,q=1(0－1)两点分布简称为两点分布,两点分布,其中0p1,q=1-p则称X服从参数为p的(0－1)两点分布,简称为两点分布,记为X~B(1,p)实际背景:实际背景:在贝努里实验中,设事件A的概率为p(0p1)如果所定义的随机变量X表示A发生的次数，即显然X的分布律为即Xp01q=1-p例5.一批产品的废品率品的数目，即qp为5%，从中任取一个进行检查，若令X表示抽得废X~B(1,p)&&&&&&&&则X~B(1,5%)即X的分布律为&&&&&&&&Xp&&&&&&&&095%&&&&&&&&15%&&&&&&&&2.二项分布2.二项分布如果随机变量X的分布律为p,则称服从参数为（n,p）的二项分布，X~B（n,p）p,则称X服从参数为（n,p）的二项分布，记为X~B（n,p）&&&&&&&&q=1－其中0＜p＜1,q=1－&&&&&&&&实际背景：实际背景：由第一章，独立重复实验一段中可知，在n重贝努里实验中，如果每次实验事件A出现的概率为p(0p1),则在n次独立重复实验中A恰好出现k(≤n)次的概率为于是，在此n重贝努里实验中，如果定义随机变量X表示事件A出现的次数，则有即X~B(n,p)&&&&&&&&例6某工厂每天用水量保持正常的概率为&&&&&&&&，求最近6天内用水量正常天数X的分布律，并求用水），于是&&&&&&&&量正常天数不少于5天的概率。解：由二项分布实际背景可知X~B（6，&&&&&&&&即X的分布律为XP00.420.840.060.1780&&&&&&&&用水量正常天数不少于5天的概率为&&&&&&&&第25页&&&&&&&&@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&例7一批产品的废品率为0.03，进行20次独立重复抽样，求出现废品的频率为0.1的概率。解：令X表示20次独立重复抽样中出现的废品数.X~B（20，0.03）（注意：不能用X表示频率，若X表示频率，则它就不服从二项分布）所求的概率为&&&&&&&&泊松定理&&&&&&&&如果&&&&&&&&,&&&&&&&&则有&&&&&&&&近似公式：充分大,足够小(设10,p≤0.1)时近似公式：n充分大,p足够小(一般n≥10,p≤0.1)时,有&&&&&&&&例8:利用近似公式计算前例中的概率.&&&&&&&&解:&&&&&&&&例9:有20台同类设备由一人负责维修,各台设备发生故障的概率为0.01,且各台设备工作是独立的,试求设备发生故障而不能及时维修的概率.若由3人共同维修80台设备情况又如何?解:(1)1人维修20台设备.而不能及时维修的概率为令X表示某时刻发生故障的设备数.X~B(20,0.01)于是,发生故障&&&&&&&&(2)3人维修80台设备不能及时维修的概率为&&&&&&&&假设X表示某时刻发生故障的设备数，X~B（80，0.01）于是，发生故障而&&&&&&&&第26页&&&&&&&&@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&3.泊松分布3.泊松分布如果随机变量X的分布律为数为λ的泊松分布，X~π数为λ的泊松分布，记为X~π(λ)或者X~P(λ)&&&&&&&&其中λ其中λ＞0，则称X服从参&&&&&&&&实际背景：内实际背景：满足下列条件的随机质点流（一串重复出现的事件）称为泊松流。（1）在时间流过质点数的概率仅与有关，与t无关；(2)不相交的时间间隔内流过的质点数彼此独立；(3)在充分短的一瞬间只能流过一个或没有质点流过，要流过2个或2个以上质点几乎是不可能的。可以证明泊松流在单位时间内流过质点数便服从泊松分布。例如：单位时间内放射性物质放射出的粒子数；单位时间内某电话交换台接到的呼唤次数；单位时间内走进商店的顾客数等等；均可认为它们服从泊松分布。例10：设且已知P{X=1}=P{X=2}，求P{X=4}&&&&&&&&解：由于&&&&&&&&，即X的分布律为&&&&&&&&于是有&&&&&&&&由条件&&&&&&&&P{X=1}=P{X=2}可得方程&&&&&&&&即&&&&&&&&即&&&&&&&&解得λ=2，0（弃去）&&&&&&&&所以&&&&&&&&于是&&&&&&&&例11：设电话交换台每分钟接到的呼唤次数X服从参数λ=3的泊松分布。（1）求在一分钟内接到超7次呼唤的概率；（2）若一分钟内一次呼唤需要占用一条线路。求该交换台至少要设置多少条线路才能以不低于90%的概率使用户得到及时服务。&&&&&&&&解：（1）呼唤的概率为&&&&&&&&，其分布律为&&&&&&&&于是，在一分钟内接到超过7次&&&&&&&&（2）设所需设备的线路为K条，按题意应有P{X≤K}≥90%即P{X≤K}=1-P{X＞K}=1-P{X≥K+1}≥0.9即P{X≥K+1}≤0.1查表得P{X≥6}=0.0839而P{X≥5}=0.1847,故应取K+1=6，即K=5所以，至少要设置5条线路才能符合要求。&&&&&&&&第27页&&&&&&&&@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&连续型随机变量及其概率密度三连续型随机变量及其概率密度&&&&§1连续型随机变量及其概率密度的概念所谓连续型随机变量连续型随机变量是指此随机变量的可能取值至少应充满某个区间且其分布函数应当是连续的，连续连续型随机变量型随机变量X有以下特点特点：特点&&&&&&&&(1)对任意实数x，&&&&&&&&事实上，&&&&&&&&；&&&&&&&&(2)&&&&&&&&下面建立连续型随机变量X在实数x处的概率密度（概念的引入）概率密度（概率密度概念的引入）首先，考虑X落在区间内的概率&&&&&&&&其次，求出X落在区间&&&&&&&&内的平均概率密度&&&&&&&&最后，令&&&&&&&&便得到X在x处的概率密度&&&&&&&&令&&&&&&&&，从而便有&&&&&&&&1.定义1.定义设&&&&&&&&的分布函数，为随机变量X的分布函数，如果存在非负函数&&&&&&&&x,有使得对任意实数x,有&&&&&&&&为连续型随机变量，，则称X为连续型随机变量，&&&&&&&&概率密度。为X的概率密度&&&&&&&&性质&&&&&&&&一切x；&&&&&&&&事实上由于&&&&&&&&，&&&&&&&&2.一个重要结果2.一个重要结果&&&&&&&&事实上，&&&&&&&&第28页&&&&&&&&@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&3.几何解释3.几何解释&&&&&&&&（1）&&&&&&&&，表明密度曲线&&&&&&&&在x轴上方；&&&&&&&&（2）形的面积为1；（3）为顶的曲边梯形面积。&&&&&&&&表明密度曲线&&&&&&&&与x轴所夹图&&&&&&&&表明X落在区间（a,b）内的概率等于以区间（a,b）为底，以密度曲线&&&&&&&&4.关系：4.关系：关系&&&&&&&&例1：已知连续型随机变量X的概率密度并计算概率P{1.5X2.5}&&&&&&&&为求系数k及分布函数F（χ），&&&&&&&&解:(1)&&&&&&&&解得k=-1/2.&&&&&&&&于是X的概率密度为&&&&&&&&（2）当&&&&&&&&当&&&&&&&&时，&&&&&&&&当&&&&&&&&时，&&&&&&&&总之，&&&&&&&&（3）&&&&&&&&第29页&&&&&&&&@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&例2.一种电子管的使用寿命为X小时，其概率密度为&&&&&&&&某仪器内装有三个这&&&&&&&&样电子管，试求使用150小时内只有一个电子管需要换的概率。解：首先计算一个电子管使用寿命不超过150小时的概率，此概率为&&&&&&&&令Y表示工作150小时内损坏的电子管数，则Y服从二项分布&&&&&&&&于是，此仪器工作150小时内仅需要更换一个电子管的概率&&&&&&&&§2几个重要分布几个重要分布&&&&&&&&1．均匀分布&&&&&&&&如果随机变量X的概率密度为&&&&&&&&在区间[a,b]上服从则称X在区间[a,b]上服从&&&&&&&&均匀分布，X~U[a,b]；均匀分布，记为X~U[a,b]；其分布函数为&&&&&&&&实际背景：且在其内取值具有“等可能”实际背景如果实验中所定义的随机变量X仅在一个有限区间[a,b]上取值，性，则X~U[a,b]。例2.某公共汽车从上午7:00起每隔15分钟有一趟班车经过某车站,即7:00,7:15,7:30,…时刻有班车到达此车站,如果某乘客是在7:00至7:30等可能地到达此车站候车,问他等候不超过5分钟便能乘上汽车的概率。&&&&&&&&解：设乘客于7点过X分钟到达车站，则X~U[0,30],即其概率密度为&&&&&&&&于是该乘客等候不超过5分钟便能乘上汽车的概率为&&&&&&&&第30页&&&&&&&&@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&2．指数分布如果随机变量X的概率密度为指数分布&&&&&&&&其中&&&&&&&&服从参数为λ，则称X服从参数为λ的&&&&&&&&指数分布，X~E(λ指数分布，记为X~E(λ)，其分布函数为&&&&&&&&实际背景：在实践中，如果随机变量X表示某一随机事件发生所需等待的时间，则一般X~E(λ)。实际背景例如，某电子元件直到损坏所需的时间（即寿命）；随机服务系统中的服务时间；在某邮局等候服务的等候时间等等均可认为是服从指数分布。例3.设随机变量X服从参数为λ=0.015的指数分布，（1）问x应当在哪个范围内？求；（2）若要使&&&&&&&&解：由于X~E(0.015)即其概率密度为&&&&&&&&于是，（1）&&&&&&&&（2）要使&&&&&&&&即&&&&&&&&取对数，便得&&&&&&&&于是便解得&&&&&&&&3.正态分布（高斯分布）3.正态分布（高斯分布）正态分布&&&&&&&&△如果随机变量X的概率密度为&&&&&&&&其中&&&&&&&&为常数，为常数，&&&&&&&&则称X服从参数&&&&&&&&的正态分布，的正态分布，记为X~N&&&&&&&&。&&&&&&&&△实际背景：在实践中，如果随机变量X表示许许多多均匀微小随机因素的总效应，则它通常将近似地实际背景：服从正态分布，如：测量产生的误差；弹着点的位置；噪声电压；产品的尺寸等等均可认为近似地服从正态分布。△正态密度曲线：参数正态密度曲线对密度曲线的影响&&&&&&&&(1)当&&&&&&&&不变&&&&&&&&改变时，改变时，密度曲线实际上就是落在曲边梯形内部的平均概率）&&&&&&&&形状不变，轴方向左，形状不变，但位置要沿x轴方向左，开拓思路：开拓思路：怎样利用导数作图？怎样利用导数作图？&&&&&&&&右平移。（右平移。&&&&&&&&(2)当(2)当?不变&&&&&&&&改变时，改变时，&&&&&&&&变大，曲线变平坦；变大，曲线变平坦；&&&&第31页&&&&&&&&变小，变小，曲线变尖窄&&&&@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&△分布函数：分布函数：分布函数（积分是存在的，但是不能用初等函数表示）&&&&&&&&△标准正态分布：称&&&&&&&&的正态分布N(0,1)为标准正态分布，其概率密度为&&&&&&&&；分布函数为&&&&&&&&（其值有表可查）其值有表可查）&&&&&&&&公式&&&&&&&&变量替换，积分限变化&&&&&&&&证：&&&&&&&&例5.设X~N(0,1)求&&&&&&&&解：&&&&&&&&例6.设X~N(0,1),要使&&&&&&&&问λ应为何值？&&&&&&&&解：由于&&&&&&&&即&&&&&&&&反查表，便得&&&&&&&&6.一般正态分布与标准分布的关系：6.一般正态分布与标准分布的关系：一般正态分布与标准分布的关系&&&&&&&&若&&&&&&&&）,其分布函数为F(X)，则有&&&&&&&&证：&&&&&&&&=&&&&第32页@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&7.正态变量落在区间内的概率：正态变量落在区间内的概率：正态变量落在区间内的概率&&&&&&&&如果&&&&&&&&则&&&&&&&&事实上，事实上，由&&&&&&&&立即可得&&&&&&&&例7.设&&&&&&&&试求&&&&&&&&解：&&&&&&&&例8&&&&&&&&从某地乘车前往火车站搭火车，有两条路可走（1）走市区路程短，但交通拥挤，所需时间，(2)走郊区路程长，但意外阻塞少，所需时间。问若有70分钟&&&&&&&&可用，应走哪条路线？解：走市区及时赶上火车的概率为&&&&&&&&走郊区及时赶上火车的概率为&&&&&&&&；故应走郊区路线。&&&&&&&&如果还有65分钟可用情况又如何呢？&&&&&&&&同样计算，走市区及时赶上火车的概率为&&&&&&&&而走郊区及时赶上火车的概率便为&&&&&&&&此时便应改走市区路线。&&&&&&&&第33页&&&&&&&&@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&四随机变量函数的分布&&&&§1离散型随机变量的情况所谓随机变量所谓随机变量X的函数为也是一个随机变量，取值为χ时是指Y也是一个随机变量，且每当X取值为时，Y的取值便&&&&&&&&例如，车床车轴，若令X表示车出轴的直径，Y表示车出轴的横断面积，则&&&&&&&&问题：已知X的分布，求&&&&&&&&的分布。&&&&&&&&例1设离散型随机变量X的分布律为&&&&&&&&XP&&&&&&&&-12/10&&&&&&&&01/10&&&&&&&&11/10&&&&&&&&23/10&&&&&&&&5/23/10&&&&&&&&求（1）Y=X-1，（2）&&&&&&&&的分布律&&&&&&&&解：（1）由随机变量函数的概念便可由X的可能值求出Y的可能值，见下表：Y=X-1XP于是便得Y的分布律Y=X-1-2（2）Y=-2X的可能值由下表给出Y=-2X2XP-2-12/10&&&&2&&&&&&&&-2-12/10&&&&&&&&-101/10&&&&&&&&011/10-10&&&&&&&&123/1013/2&&&&&&&&3/25/23/10&&&&&&&&P&&&&&&&&2/101/101/103/103//10-823/10-25/25/23/10&&&&&&&&由于Y的值有相同的，即-2，因此应将其合并，相应的概率应按概率的可加性进行相加，即&&&&&&&&最后，得Y的分布律为Y=-2X2P-25/23/10-83/10-23/1001/10&&&&&&&&§2连续型随机变量的情况&&&&第34页@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&“分布函数法”――先求Y=g(x)的分布函数，然后再求导便可得到Y的概率密度分布函数法”先求Y=g(x)的分布函数，的分布函数例2设随机变量X的概率密度为的概率密度，试求X的线性函数为常数]&&&&&&&&[&&&&&&&&解：Y的分布函数&&&&&&&&（分布函数的定义）&&&&&&&&当&&&&&&&&时&&&&&&&&于是&&&&&&&&（注意复合函数求导）&&&&&&&&当&&&&&&&&时，&&&&&&&&于是，&&&&&&&&以上&&&&&&&&两种情况所得结果可以合并为如下形式&&&&&&&&特别，当特别&&&&&&&&时，则运用上述结果便可得线性变换&&&&&&&&的概率密度为&&&&&&&&此结果证明：正态分布的随机变量经线性变换后，仍是服从正态分布的随机变量正态分布的随机变量经线性变换后，正态分布的随机变量经线性变换后&&&&&&&&特别，取特别&&&&&&&&代入上面结果便得Y的&&&&&&&&分布为&&&&&&&&即Y~N(0,1)&&&&&&&&称&&&&&&&&为标准化变换标准化变换标准&&&&&&&&例3证X~N(0,1),求&&&&&&&&的概率密度&&&&&&&&（非线性）&&&&第35页@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&解：Y的分布函数&&&&&&&&当y0时，&&&&&&&&于是&&&&&&&&当&&&&&&&&从而&&&&&&&&总之&&&&&&&&例5设电流I为随机变量，它在9（安培）~11（安培）之间均匀分布，若此电流通过2欧姆电阻，求在此电阻上消耗功率的概率密度&&&&&&&&解：W的分布函数为&&&&&&&&两边求导，便得W的概率密度&&&&&&&&当&&&&&&&&因为I~U[9,11],即其概率密度&&&&&&&&所以&&&&&&&&，故&&&&&&&&第三章二维随机变量及其分布&&&&第36页@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&一、二维随机变量及其联合分布&&&&设Ω为某实验的样本空间，X和Y是定义在Ω上的两个随机变量，则称有序随机变量对（X,Y）为二维随机变量。二维随机变量比如，研究某地区人口的健康状况可能取身高和体重两个参数作为随机变量；打靶弹着点选取横纵坐标。§3.1.1联合分布函数逗号代表二者同时发生&&&&&&&&为二维随机变量，,y）=P{X≤χ,Y≤y}为≤χ,Y定义1：设（X，Y）为二维随机变量，对任意实数χ，y，称二元函数F（χ,y）=P{X≤χ,Y≤y}为（X，联合分布函数几何上，表示（Y）的分布函数或称为X与Y的联合分布函数。几何上，F（χ，y）表示（X，Y）落在平面直角坐标系中以（,y）为顶点左下方的无穷矩形内的概率（见图）y（x,y）中以（χ,y）为顶点左下方的无穷矩形内的概率（见图）二维随机变量（x,y）具有以下四条基本性质四条基本性质：x二维随机变量（X，Y）的分布函数F（x,y）具有以下四条基本性质：0F(x,y)对每个自变量是单调不减的对每个自变量是单调不减的，x1x2，F(x1,y)≤y1y2，1°F(x,y)对每个自变量是单调不减的，即若x1x2，则有F(x1,y)≤F(x2,y);若y1y2，则有F(x,y1)≤F(x,y2).F(x,y)≤F(x,-)=F(-,y)=F()=0,F(+∞,+∞2°0≤F(x,y)≤1且F(x,-∞)=F(-∞,y)=F(-∞,-∞)=0,F(+∞,+∞)=1F(x,y)对每个自变量是右连续的对每个自变量是右连续的，x+0,y）F（x,y）F（x,y+0）F（x,y）3°F(x,y)对每个自变量是右连续的，即F（x+0,y）=F（x,y）,F（x,y+0）=F（x,y）x1≤x2y1≤y2x2,F(x2,y2)-F(x1,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)≥04°对任意x1x2,y1y2有F(x2,y2)-F(x1,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)0事实上，由图可见(见右图)F(x2,y2)-F(x1,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)&&&&&&&&减了两次&&&&&&&&例1设（X，Y）的分布函数为&&&&解：由性质4°可得&&&&&&&&§3.1.2联合分布律&&&&第37页@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&如果二维随机变量（的所有可能取值为有限对或可列对，则称（定义2：如果二维随机变量（X，Y）的所有可能取值为有限对或可列对，则称（X，Y）为二维离散型随机变量设（X，Y）的所有可能取值为（xi,yj）,i,j=1,2,……，则称下列一组概率的所有可能取值为（i,yj）,j=1,2,……，……P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,……，为（X，Y）的分布律，或称为X与Y的联合分布律,用表格表示:P{X=x}=pij,i,j=1,2,……，的分布律，联合分布律,用表格表示:……Xχ1χ2┆χi┆ij≥0,一切性质1.pij≥0,一切i,j,2.显然，（X显然，X，Y）落在区域D内的概率应为（Yy1p11p21┆pi1┆y2p12p22┆pi2┆………………………………yjp1jp2j┆pij┆………………………………&&&&&&&&由此便得（由此便得（X，Y）的分布函数与分布律之间关系为例2两封信随机地向编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ的四个邮筒内投，令X表示投入Ⅰ号邮筒内的信件数；Y表示投入Ⅱ号邮筒内的信件数。试求（X，Y）的分布律，并分别求投入Ⅰ，Ⅱ号邮筒内信件数相同及至少有一封信投入Ⅰ，Ⅱ号邮筒的概率。解：&&&&&&&&总之，（X，Y）的分布律为X012Y04/164/161/21/1600&&&&&&&&投入Ⅰ，Ⅱ号邮筒内邮件数相等的概率为至少有一封信投入Ⅰ，Ⅱ号邮筒的概率为P{X≥1或Y≥1}=1-P{X1且Y1}=1-P{X=0,Y=0}=1-P11=1-4/16=3/4&&&&&&&&§3.1.3联合概率密度&&&&第38页@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&为二维随机变量（的分布函数，定义3：设F（χ，у）为二维随机变量（X，Y）的分布函数，如果存在非负函数?(χ，у)使得对任意实数χ，у有，则称（二维连续型随机变量，则称（X，Y）为二维连续型随机变量，?（χ，у）为（X，Y）&&&&&&&&的概率密度或称为联合概率密度。的概率密度或称为X与Y的联合概率密度。性质：性质：1。?（χ，у）≥0一切χ，у2。一个重要结果：一个重要结果：几何解释：（见图）：（见图几何解释：（见图）应在χ坐标面的上方;（1）?（χ，у）≥0表明密度曲面z=?（χ，у）应在χOу坐标面的上方;坐标面所围成图形的体积为（2）表明密度曲面z=?（χ，у）与χOу坐标面所围成图形的体积为1&&&&&&&&表明（为底，表明（X，Y）落在平面区域D内的概率等以D为底，以密度曲面z=?（χ，у）为顶的曲顶柱体的体积概率密度与分布函数关系为：概率密度与分布函数关系为：&&&&&&&&；例3.设（X，的概率密度为Y）解：（1）由于（1）求常数A；求概率P{X+Y≥1}（2）&&&&&&&&即得（X，Y）的概率密度为（2）&&&&&&&&二边缘分布&&&&第39页@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&§3.2.1边缘分布函数），X），于是设（X，Y）的分布函数为F（χ，у），X和Y的分布函数分别为FX（χ），FY（у），于是同样有FX（=F（为二维随机变量（），关于的边缘分布函数；FY（=F（称FX（χ）=F（χ，+∞）为二维随机变量（X，Y），关于X的边缘分布函数；称FY（у）=F（+∞，为二维随机变量（），关于的边缘分布函数。у）为二维随机变量（X，Y），关于Y的边缘分布函数。例4.设（X，Y）的分布函数为解：关于X的分布函数求关于X和Y的边缘分布函数&&&&&&&&同理可得关于Y的边缘分布函数§3.2.2边缘分布律设（X，Y）的分布律为P{X=χi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,……，可以证明X的分布律可以由X和Y的联合分布律求得：事实上，由于{Y+∞}为必然事件，于是同样，Y的分布律也可以由联合分布律求得：&&&&&&&&用表格求边缘分布律只要在联合分布律表上加一行一列，然后分别按行按列相加即可XYχ1χ2┆χi┆y1p11p21┆pi1┆p.1y2p12p22┆pi2┆p.2…………………………yjp1jp2j┆pij┆┆…………………………┆1&&&&&&&&p2.┆&&&&&&&&例5：袋中有2个白球3个黑球，从袋中（1）有放回地；（2）无放回地取二次球，每次取一个，令&&&&&&&&求（X，Y）的分布律及边缘分布律。解：（1）有放回的取球XY01&&&&&&&&01&&&&第40页&&&&&&&&9/256/25&&&&&&&&6/254/25&&&&&&&&3/52/5&&&&@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&3/5&&&&&&&&2/5&&&&&&&&1&&&&&&&&01&&&&&&&&6/206/203/5&&&&&&&&6/202/202/5&&&&&&&&3/52/51&&&&&&&&于是得关于X的边缘分布律为X01p3/52/5关于Y的边缘分布律Y0p3/5(2)无放回取球XY012/51&&&&&&&&于是得关于X的边缘分布律为X01p3/52/5关于Y的边缘分布律Y0p3/512/5&&&&&&&&问题：由联合可以求边缘，但是由边缘能否求出联合呢？不能！！不能！问题不能！3.2.3边缘概率密度），可以证明确定，设（X，Y）的概率密度为?（χ，у），可以证明X的概率密度?X（χ）可以由?（χ，у）确定，。事实上，由于X的分布函数&&&&&&&&同样，同样，Y的概率密度也可由?（χ，у）确定称?X（χ）为二维随机变量（X，Y）关于X的边缘概率密度。为二维随机变量（的边缘概率密度。为二维随机变量（的边缘概率密度。称?Y（y）为二维随机变量（X，Y）关于Y的边缘概率密度。2例6设区域D是由直线у=χ和曲线у=χ所围成（见图）。设（X，Y）在D上服从均匀分布，即其概率密度为其中SD为D的面积，试求（X，Y）的边缘概率密度。解：&&&&&&&&；当χ≤0或χ≥1时?X（χ）=0总之，关于X的边缘概率密度为&&&&&&&&，当y≤0或y≥2时，?Y（y）=0总之，关于Y的边缘概率密度为&&&&&&&&例7设（X，Y）服从二维正态分布N（μ1，μ2，&&&&&&&&，&&&&&&&&，ρ),即（X，Y）的概率密度为&&&&&&&&其中μ1，μ2，&&&&&&&&（σ10），&&&&&&&&（σ20）,ρ(-1ρ1)为常数。试求边缘概率密度。&&&&&&&&解：&&&&&&&&第41页&&&&&&&&@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&同样，关于Y的边缘概率密度为&&&&&&&&三随机变量的独立性&&&&3.3.1独立性的概念），边缘分布函数为定义1：设（X，Y）的分布函数为F（X，Y），边缘分布函数为是相互独立的。则称X与Y是相互独立的。3.3.2独立性的充要条件⒈离散型随机变量的情况定理1：设（X，Y）的分布律为，及,边缘分布律分别为，则X与Y相互独立的充分必要条件为和，如果对一切X,Y有，&&&&&&&&证略。,一切.例8.袋中有2个白球，3个黑球，从袋中（1）有放回地；（2）无放回地取二次球，每次取一个，令试问X与Y是否相互独立？解：⑴有放回地取球Y0X019/256/253/56/254/252/53/52/51故X，Y相互独立1容易验证，对一切有&&&&&&&&⑵无放回地取球&&&&&&&&第42页&&&&&&&&@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&Y0X可见，06/206/203/5故X，Y不独立1&&&&&&&&1&&&&&&&&6/203/5&&&&&&&&2/202/5&&&&&&&&2/51(X,Y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)P1/61/91/18abc&&&&&&&&例9：设（X，Y）的分布律为问a,b,c为何值时，X与Y相互独立？解：（X，Y）的分布律及边缘分布律可由下表给出：Y1X121/6a1/9b1/18c1/3a+b+c123&&&&&&&&需使X与Y相互独立，下列式子应满足：&&&&&&&&⒉连续性随机变量的情况&&&&&&&&定理2设（X，Y）的概率密度为的充分必要条件为&&&&&&&&，其边缘概率密度为,一切x,y.证略&&&&&&&&和&&&&&&&&，刚X与Y相互独立&&&&&&&&例10设X，Y相互独立，同分布，均服从解：由于X，Y均在[0,1]上服从均匀分布，即&&&&&&&&分布，试求&&&&&&&&X的概率密度为&&&&&&&&，Y的概率密度为&&&&&&&&又由X与Y相互独立，所以（X，Y）的概率密度为于是其中&&&&&&&&例11设（X，Y）～&&&&&&&&，证明：Ｘ与Ｙ相互独立的充要条件为&&&&第43页@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&证：由于已求得其边缘概率密度为“充分性”，当时，对一切x,y有故X与Y相互独立。&&&&&&&&“必要性”，如果X，Y独立，于是应有&&&&&&&&即为&&&&&&&&解得&&&&&&&&四条件分布&&&&§3.4.1条件分布函数在实践中常会遇到这样的问题：在已知随机变量Y取值为y条件下，求随机变量X落在某区间（a，b）内的概率，即P{aX≤bOY=y}由于形式上这一条件概率可表为&&&&&&&&因此，对任意实数x，研究形如P{X≤xOY=y}的条件概率就是一件很重要的事情。然而，需注意的是：如果P{Y=y}=0,上述条件概率将无意义，特别对连续型随机变量Y，无论y为何值，总有P{Y=y}=0。为了解决这一问题，可采取下列办法。设Y在区间（y-△y,y）内的概率不为零，即P{y-△yY≤y}0,此时条件概率P{X≤xOy-△yY≤y}便有意义，如果当△y→0+时，此条件概率的极限存在,我们便将此极限定义为P{X≤xOY=y}，并称它为X的条件分布函数。及任意△P{y-yY≤y}，定义1：设对固定的实数y及任意△y0有P{y-△yY≤y}，如果存在，条件下，的条件分布函数。存在，则称此极限为在Y=y条件下，X的条件分布函数。同样，条件下，同样，可定义在X=x条件下，Y的条件分布函数§3.4.2条件分布律为二维离散型随机变量，定义2：设（X，Y）为二维离散型随机变量，其分布律为P{Y=yj}0，如果对固定的j，P{Y=yj}0，则称下列一组条件概率&&&&&&&&条件下，的条件分布律.为在Y=yj条件下，X的条件分布律.同样,对固定i,若P{X=xi}0,则称下列一组条件概率同样,i,若P{X=xi}0,则称下列一组条件概率条件下,Y为在X=xi条件下,Y的条件分布律&&&&第44页@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&不难看出,对数轴上子集A有不难看出,进而有&&&&&&&&例1设(X,Y)的分布律为Y..试求在条件X=2下，Y的条件分布律。解：首先求出边缘分布律，见下表YX..10.100.200.200.20.20.60.21总之，在X=2条件，Y的条件分布律为Y&&&&&&&&§3.4.3条件概率密度(x)与(y)分别为关于和关于的边缘概率密度。定义3：设（X，Y）的概率密度为f(x,y),fx(x)与fY(y)分别为关于X和关于Y的边缘概率密度。条件下，的条件概率密度。为在Y=y条件下，X的条件概率密度。如果对固定的x，fx(x)0则称条件下，的条件概率密度。为在X=x条件下，Y的条件概率密度。&&&&&&&&例2：设（X，Y）的概率密度为&&&&&&&&第45页&&&&&&&&@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&解：图绘出使f(x,y)0的区域首先，求出边缘概率密度，当-1x1时&&&&&&&&总之，关于Y的边缘概率密度为&&&&&&&&下面求条件概率密度&&&&&&&&五二维随机变量函数的分布&&&&第46页@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&所谓二维随机变量（Z=g也是一个随机变量,且每当（所谓二维随机变量（X，Y）的函数Z=g（X，Y）是指Z也是一个随机变量,且每当（X，Y）取值为Z=g（（X，Y）时，Z的取值便为Z=g（X，Y）例如，测量一长方形土地，共长为X，宽为Y，则其面积便为Z=XY。§3.5.1离散型随机变量的情况例1：一个仪器由两个主要部件组成，其总长度为此两部件长度之和，这两个部件长度分别为X和Y，且相互独立，其分布律分别为XP90.,YP60.470.6按随机变量函数概念可救求出Z=X+Y的可能取值，见下表Z=X+Y6X.200.080.180.300.718&&&&&&&&求此仪器总长度Z的分布律解：Z=X+Y首先，写出（X,Y）的联合分布律Y&&&&&&&&(X,Y)(9,6)(9,7)(10,6)(10,7)(11,6)(11,7)P0.120.180.200.300.080.12&&&&&&&&对于相同的值进行合并，相应概率按概率可加性相加，便得Z=X+Y的分布律为Z=X+Y15P161718&&&&&&&&改写为：(x,y)(9,6)(9,7)(10,6)(10,7)(11,6)(11,7)P0.120.180.200.300.080.12&&&&&&&&0.120.380.380.12&&&&&&&&§3.5.2连续型随机变量的情况&&&&第47页@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&利用“分布函数法”求z=g(X,Y)的概率密度，即首先求z的分布函数利用“分布函数法”z=g(X,Y)的概率密度，的概率密度&&&&&&&&的概率密度。两边求导便可得到Z的概率密度。&&&&&&&&解：X和Y的概率密度分别为&&&&&&&&由于X与Y独立，于是（X，Y）的概率密度为&&&&&&&&当z≤0时，显然F2(z)=0对Z求导,使得Z的概率密度&&&&&&&&例4：（和的分布）设（X，Y）的概率密度为f(x,,y),求Z=X+Y的概率密度。&&&&第48页@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&解：首先求Z的分布函数&&&&&&&&两边对z求导，便得Z的概率密度&&&&&&&&特别，当X与Y独立时，有Z=X+Y的概率密度：&&&&&&&&第49页&&&&&&&&@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&例5：设X,Y独立同分布于N（0，1），试求Z=X+Y的概率密度&&&&&&&&解：&&&&&&&&一般，若X,Y独立独立，且&&&&&&&&，则&&&&&&&&推广：若&&&&&&&&相互独立，且&&&&&&&&则&&&&&&&&第50页&&&&&&&&@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&第四章随机变量的数字特征一数学期望&&&&§4.1.1离散型随机变量的数学期望年龄5∑40&&&&&&&&例1：全班40名同学，其年龄与人数统计如下：人数5该班同学的平均年龄为：&&&&&&&&若令x表示从该班同学中任选一同学的年龄，则x的分布律为于是，x取值的平均值，即该班同学年龄的平均值为x18p为离散型随机变量，定义1：设x为离散型随机变量，其分布律为数绝对收敛，的数学期望（或均值）E(X)，E(X)=绝对收敛，则此级数为x的数学期望（或均值）既为E(X)，即E(X)=如果级192021&&&&&&&&意义：E(X)表示取值的（加权）意义：E(X)表示X取值的（加权）平均值&&&&例2：甲、乙射手进行射击比赛，设甲中的环数位X1，乙中的环数为X2，已知X1和X2的分布律分别为：解：甲的平均中环数为E(X1)=80.1+100.6=9.3乙的平均中环数为E(X2)=80.3=9.10.3+9&&&&&&&&X1PX2P&&&&&&&&80.380.2&&&&&&&&90.190.5&&&&&&&&100.6100.3&&&&&&&&0.2+9&&&&&&&&0.5+10&&&&&&&&问谁的平均中环数高？例3：设解：由于，求E(X)，其分布律为&&&&&&&&可见E(X1)E(X2)，即甲的平均中环数高于乙的平均中环数。&&&&&&&&，k=0,1,2…,所以&&&&&&&&例4：一无线电台发出呼唤信号被另一电台收到的概率为0.2，发方每隔5秒拍发一次呼唤信号，直到收到对方的回答信号为止，发出信号到收到回答信号之间需经16秒钟，求双方取得联系时，发方发出呼唤信号的平均数？&&&&&&&&第51页&&&&&&&&@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&解：令X表示双方取得联系时，发方发出呼唤信号的次数。X的分布律为于是，双方取得联系时，发方发出的呼唤信号的平均数为X450.8P0.20.267&&&&&&&&…n…&&&&&&&&由于&&&&&&&&,求导数&&&&&&&&将x=0.8代如上式，便得&&&&&&&&将此结果代入原式便得：§4.1.2连续型随机变量的数学期望&&&&&&&&（次）&&&&&&&&绝对收敛，则称此积分为X的数学期望，记为E(X)，即&&&&&&&&，&&&&&&&&第52页&&&&&&&&@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&例7：设风速V是一个随机变量，V~U[0,a]，且又设飞机的机翼上所受的压力W是风速V的函数：这里a,k均为已知正数。试求飞机机翼上所受的平均压力E(W)。&&&&&&&&W的分布函数为两边求导，使得&&&&&&&&进而便可求得W的数学期望&&&&&&&&由此运算过程可以看到，不必求出W的概率密度?w(z)，而根据V的概率密度?v(v)也可直接求出W的数学期望值，即&&&&&&&&§4.1.3随机变量函数的数学期望值&&&&&&&&1.一维随机变量函数的数学期望1.一维随机变量函数的数学期望&&&&为随机变量，定理1：设X为随机变量，Y=g(X),&&&&&&&&(1)如果X为离散型随机变量，其分布律为离散型随机变量，随机变量&&&&&&&&，且级数&&&&&&&&连续型随机变量随机变量，(X)，且积分(2)如果X为连续型随机变量，其概率密度为?(X)，且积分&&&&&&&&绝对收敛，绝对收敛，则有&&&&&&&&证略&&&&&&&&第53页&&&&&&&&@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&例8：已知X的分布律为&&&&&&&&X-10&&&&&&&&1/21&&&&&&&&2&&&&&&&&求：&&&&&&&&P1/31/61/61/121/4&&&&&&&&解：&&&&&&&&例9：设&&&&&&&&，求高等数学中级数的求和很关键！！！&&&&&&&&解：（令m=k-2）&&&&&&&&例10：设&&&&&&&&，求&&&&&&&&解：由于X的概率密度为于是&&&&&&&&例11：国际市场上每年对我国某种商品的需求量为一个随机变量X（单位：吨），且已知，并已知每售出一吨此种商品，可以为国家挣得外汇3万美元，但若售不出去，而屯售于仓库，每年需花费保养费每吨为一万美元，问应组织多少货源可使国家的平均收益达到最大？解：设a为某年准备组织出口此种商品的数量（单位：吨）Y为国家收益，于是Y是X的函数&&&&&&&&由于&&&&准备―实际需要=剩余&&&&&&&&，即其概率密度为&&&&&&&&于是国家的平均收益为&&&&&&&&令解得a=3500（吨）&&&&&&&&但国家的收益达到最大。&&&&&&&&，故E(Y)在a=3500时，E（Y）最大，即组织货源为3500吨时，可是&&&&&&&&第54页&&&&&&&&@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&2.二维随机变量函数的数学期望2.二维随机变量函数的数学期望2.设(X,Y)为二维随机变量为二维随机变量，定理2.设(X,Y)为二维随机变量，Z=g(X,Y)&&&&&&&&（1）如果(X,Y)为二维离散型随机变量，其分布律为如果(X,Y)为二维离散型随机变量，(X,Y)为二维离散型随机变量&&&&&&&&（2）如果（X，Y）为二维离散型随机变量?(χ,y)如果（证略。&&&&&&&&例12.设(X,Y)的概率密度为&&&&&&&&试求E(&&&&&&&&)&&&&&&&&§4.1.4数学期望的性质为常数，性质1.若c为常数，则E(c)=C为常数，为随机变量，性质2.若c为常数，X为随机变量，则E(cX)=cE(X)为任意两个随机变量，E(X±性质3.设X,Y为任意两个随机变量，则E(X±Y)=E(X)±E(Y)推广：推广：设个随机变量，为n个随机变量，则有&&&&&&&&相互独立，性质4.如果X,Y相互独立，则有E(XY)=E(X)E(Y)推广：相互独立，推广：如果n个随机变量X1,X2,…Xn相互独立，则有则有。&&&&&&&&例13.有一队射手9人，每位射手击中靶子的概率都是0.8，进行射击时各自击中靶子为止，但限制每人最多只打三次，问平均需要为他们准备多少发子弹？解：令表示第i名射手所需的子弹数i=1,2,…,9X为9名射手所需的子弹总数，显然&&&&&&&&而&&&&&&&&的分布律为&&&&&&&&Xi12&&&&&&&&3&&&&&&&&于是&&&&&&&&由性质3便可求得平均所需准备的子&&&&&&&&p0.80.2×0.8=0.161-0.8-0.16=0.04&&&&弹数：&&&&&&&&即平均需准备12发子弹。&&&&&&&&第55页&&&&&&&&@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&二方差&&&&§4.2.1方差的概念&&&&&&&&意义：D(X)表示取值相对于平均值E(X)的分散程度意义：D(X)表示X取值相对于平均值E(X)的分散程度§4.2.2方差的计算1.由方差定义直接计算1.由方差定义直接计算离散就求和连续就积分&&&&&&&&(2)若X为连续型随机变量，其概率密度为?(χ),则&&&&&&&&GD&&&&&&&&分部积分法&&&&&&&&2.由下列重要公式计算2.由下列重要公式计算由下列重要公式&&&&&&&&证：&&&&&&&&GD&&&&&&&&第56页&&&&&&&&@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&例2.设解：前面已求得例3.设解：前面已求得&&&&&&&&求&&&&&&&&注意：记忆常见分布的数学期望和方差（最好都推导一遍）&&&&&&&&于是&&&&&&&&，于是&&&&&&&&§4.2.3方差的性质&&&&&&&&（注意：相加时期望没要求相互独立）&&&&&&&&思考：如果二者独立D(X-Y)=D(X)-D(Y)?实际上D(X-Y)=D(X)+D(Y)&&&&&&&&性质4.设X为随机变量，则D(X)=0的充分必要条件为&&&&&&&&其中c为常数。&&&&&&&&例4.设X为随机变量，E(X),D(X)存在，又设&&&&&&&&，&&&&&&&&第57页&&&&&&&&@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&例5.设X~B(n,p),求E(X),D(X)解：设在贝努里试验中，事件A出现的概率为p,将此贝努里试验独立重复进行几次，构成n重贝努里试验,令&&&&&&&&Xi01&&&&&&&&i=1，2，…，n&&&&&&&&另一方面，令X表示n重贝努里试验中事件A出现的次数，则X~B(n,p)&&&&&&&&§4.2.4切比雪夫不等式为随机变量，(X),D(X)存在存在，定理1：设X为随机变量，且E(X),D(X)存在，则对任意实数?，成立&&&&&&&&证：只证X为连续型随机变量的情况设?(χ)为X的概率密度，则有&&&&&&&&例6.设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率为0.7，且各盏灯开关彼此独立，试估计夜晚同时开着的灯的数目在6800盏至7200盏之间的概率。解:令X表示夜晚同时开着灯的数目，X~B()&&&&&&&&可用车比雪夫不等式进行估计此概率&&&&&&&&第58页&&&&&&&&@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&§4.2.5常用分布的数学期望与方差常用分布的数学期望与方差1.二点分布X～B(1,p)&&&&&&&&以下结果要熟记&&&&&&&&Xp&&&&&&&&0q&&&&&&&&1p&&&&&&&&0&&&&&&&&q=1-p,E(X)=p,D(X)=pq&&&&&&&&2.二项分布X～B(n,p)&&&&&&&&.&&&&&&&&.&&&&&&&&第59页&&&&&&&&@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&三协方差及相关系数&&&&§4.3.1§4.3.1协方差1．协方差的概念&&&&&&&&滚动&&&&&&&&滚&&&&&&&&滚动&&&&&&&&2.协方差的性质2.协方差的性质&&&&&&&&第60页&&&&&&&&@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&滚动&&&&&&&&例2：甲乙两人猜测箱中产品的数目，猜测结果分别记为X和Y(单位：百个)已知（X，Y）的分布律和边缘分布律由下表给出：X\Y.030..050..100.170.310.510.181&&&&&&&&滚&&&&&&&&§4.3.2相关系数1．相关系数的概念&&&&&&&&例3：解：由前面得到的结果可知，且&&&&&&&&第61页&&&&&&&&@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&2．相关系数的性质性质1性质2&&&&&&&&证：（）&&&&&&&&例4：设X的分布律为&&&&&&&&XP&&&&&&&&-1&&&&&&&&0&&&&&&&&1&&&&&&&&相关系数为0，能否说二者无关了？NO&&&&&&&&于是解：&&&&&&&&而&&&&&&&&所以滚动&&&&&&&&1/2Pi滚动&&&&&&&&滚动&&&&&&&&第62页&&&&&&&&@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&滚动&&&&&&&&问题：相关系数到底说明什么问题？似乎并不能完全反映两个变量的相关程度。由此问题引出性质3相关系数实际上叫“线性相关系数”更准确&&&&&&&&讨论如下：&&&&&&&&（1）&&&&积变偶不变，符号看象限&&&&&&&&（2）&&&&&&&&。&&&&&&&&（3）。性质3&&&&&&&&滚动&&&&&&&&第63页&&&&&&&&@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&§4.3.3协方差矩阵&&&&&&&&为（X1，X2，…，Xn）的协方差矩阵，简称为协差阵。性质1.V为对称阵，即Vij=Vji,一切i,j2.V主对角线之元素为X1,X2…,Xn,的方差，即Vii=D(Xi),i=1,2,…,n滚动&&&&&&&&滚动&&&&&&&&第64页&&&&&&&&@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&四n维正态分布&&&&§4.4.1n维正态分布的概率密度对二维正态分布的随机变量（X，Y），其概率密度为&&&&&&&&滚动&&&&&&&&可见，（X，Y）的概率密度便可表为&&&&&&&&定义1.如果n维随机变量（X1，X2，…，XN）的概率密度为&&&&&&&&第65页&&&&&&&&@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&§4.4.2n维正态分布的几个重要性质&&&&&&&&滚动&&&&&&&&由性质3可知（X，Z）服从二维正态分布，而&&&&&&&&即X与Z不相关，从而X与Z相互独立。&&&&&&&&第66页&&&&&&&&@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&第五章大数定律及中心极限定理一大数定律&&&&§5.1.1四种收敛性&&&&&&&&则称{Xn}依概率收敛于随机变量X，记为&&&&&&&&四种收敛性有以下关系：&&&&&&&&第67页&&&&&&&&@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&§5.1.2几个常用大数定律&&&&&&&&1．切比雪夫大数定律&&&&&&&&GD&&&&&&&&证：&&&&&&&&再由车比雪夫不等式，使得：&&&&&&&&即得&&&&&&&&推论：推论：&&&&&&&&2．贝努里大数定律&&&&&&&&GD&&&&第68页@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&即&&&&贝努里大数定律说明：当试验在不变条件下，重复进行多次时，随机事件的频率应在它的概率附近摆动。特别，概率很小的事件其频率应很小，即在实际的一，二次试验中几乎是不可能发生的，人们常常认为那些概率很小的事件实际上是不可能发生的。这个原理称之为小概率事件的实际不可能性原理，简称为小概率事件原理，在实践中有广泛的应用。&&&&&&&&二中心极限定理&&&&所谓中心极限定理是指一系列定理，研究的是随机变量序列{Xn}的前n项和，&&&&&&&&§5.2.1.独立同分布随机序列的中心极限定理§5.2.1.独立同分布随机序列的中心极限定理&&&&&&&&定理3：设随机变量序列&&&&&&&&独立、同分布，且&&&&&&&&证略。&&&&&&&&第69页&&&&&&&&@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&例1：设有串联电阻网络（见图）每个电阻的阻值为随机变量，它们独立，同分布都服从均匀分布U[90，110]（单位：欧姆）&&&&&&&&解：&&&&&&&&由上面给出近似公式，可得所求的概率&&&&&&&&此例的结果说明一个很有意义的事实：&&&&&&&&两者相比，后者概率值有很大提高，这说明电阻串联可以减少电阻值的随机性，使网络变得更加稳健。§5.2.2．隶莫佛--拉普拉斯中心极限定理§5.2.2．隶莫佛--拉普拉斯中心极限定理--&&&&&&&&第70页&&&&&&&&@kaiziliu&&&&&&&&概率论基础知识&&&&&&&&主讲：姜麟（北京邮电）&&&&&&&&GD由独立同分布中心极限定理便可得：&&&&&&&&例2：人寿保险事业是最早使用概率论的部门之一，保险公司为了估计企业的利润需要计算各种各样事件的概率，以下便是一例：在一年内某种保险者里，每个人死亡的概率为0.005，现在有10000人参加此种人寿保险，试求在未来一年内这些保险者中死亡人数不超过70人的概率。&&&&&&&&解：按题意要计算的概率为：&&&&&&&&例3某单位有200台电话机，每台电话机大约有5%的时间需使用外线，假定每台电话机是否使用外线彼此独立，试问：该单位总机至少需安装多少条外线才可以依90%以上的概率保证每台电话机在使用外线时而不能占用？&&&&&&&&又设K为该单位总机安装的外线数，按题意即要求的便是使得P{0≤η≤k}90%的最小的K值。&&&&&&&&第71页&&&&&&&&@kaiziliu&&&&&&&&分享给好友:
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