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&&2014届高考数学（理）一轮复习考点预测训练：第五篇《平面向量》（新人教A版）
2014届高考数学（理）一轮复习考点预测训练：第五篇《平面向量》（新人教A版）
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2014届高考数学（理）一轮复习考点预测训练：第五篇《平面向量》（新人教A版）
第五篇　平面向量
第1讲　平面向量的概念及其线性运算
【2014年高考会这样考】
1．在平面几何图形中考查向量运算的平行四边形法则及三角形法则．
2．考查平面向量的几何意义及共线向量定理的应用．
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的加法与减法
运算 定　义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算
三角形法则
平行四边形法则 (1)交换律：
a＋b＝b＋a.
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝
减法 向量a加上向量b的相反向量，叫做a与b的差，即a＋(－b)＝a－b
三角形法则 a－b＝a＋(－b)
3.向量的数乘运算及其几何意义
(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：
|λa|＝|λ||a|；
当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.
(2)运算律：设λ，μ是两个实数，则
λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb.
4．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
【助学·微博】
一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．
在ABC中，若D为BC的中点，则＝(＋)．
向量的平行与直线的平行不同，向量的平行包括两向量所在直线平行和重合两种情形．
1．若向量a与b不相等，则a与b一定(　　)．
A．有不相等的模
C．不可能都是零向量
D．不可能都是单位向量
解析　因为所有的零向量都是相等的向量，故只有C正确．
2．若mn，nk，则向量m与向量k(　　)．
C．共线且同向
D．不一定共线
解析　当n＝0时，k与m不共线，故选D.
3．(2012·全国)ABC中，AB边的高为CD，若＝a，＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则＝(　　)．
解析　由题可知|AB|2＝22＋12＝5，因为AC2＝AD·AB，所以AD＝＝，＝＝(a－b)＝a－b.
4．D是ABC的边AB上的中点，则向量等于(　　)．
解析　如图，＝＋
＝＋＝－＋.
5．设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与2a－b共线，则λ＝________.
解析　由题意知：a＋λb＝k(2a－b)，则有：
k＝，λ＝－.
考向一　平面向量的有关概念
【例1】给出下列命题：
若|a|＝|b|，则a＝b；若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若a＝b，b＝c，则a＝c；a＝b的充要条件是|a|＝|b|且ab.
其中正确命题的序号是________．
[审题视点] 以概念为判断依据，或通过举反例．
解析　不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．
正确．＝，||＝||且，
又A，B，C，D是不共线的四点，四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则且||＝||，因此，＝.
正确．a＝b，a，b的长度相等且方向相同；
又b＝c，b，c的长度相等且方向相同，
a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.
不正确．当ab且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且ab不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．
综上所述，正确命题的序号是.
准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法．
【训练1】 给出下列四个命题：
a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四顶点；向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；有相同起点的两个非零向量不平行．
其中所有正确命题的序号是________．
解析　由于零向量与任一向量都共线，命题中的b可能为零向量，从而不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，更不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以命题不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以命题不正确；正确．综上所述，正确命题的序号是.
考向二　平面向量的线性运算
如图，在梯形ABCD中，||＝2||，M，N分别是DC，AB的中点．若＝e1，＝e2，用e1，e2表示，，.
[审题视点] 结合图形，灵活运用三角形法则和平行四边形法则进行加减运算．
解　＝＝；
＝＋＝－＋＝＋－
＝－＝e2－e1；
＝＋＋＝－－＋
＝－＝e1－e2.
用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：观察各向量的位置；寻找相应的三角形或平行四边形；运用法则找关系；化简结果．
在ABC中，＝，DEBC交AC于点E，BC边上的中线AM交DE于点N.设＝a，＝b，用a，b表示向量，，，，，.
解　＝＝b，
＝－＝b－a.
由ADE∽△ABC，得＝＝(b－a)．
又AM是ABC的边BC上的中线，DEBC，
＝＝(b－a)．
＝＋＝a＋＝a＋(b－a)＝(a＋b)．
由＝＝(a＋b)．
考向三　共线向量定理的应用
【例3】设两个非零向量a与b不共线．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．
求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
[审题视点] (1)先证明，共线，再说明它们有一个公共点；(2)利用共线向量定理列出方程组求k.
(1)证明　＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．
＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5.
，共线，又它们有公共点B，A，B，D三点共线．
(2)解　假设ka＋b与a＋kb共线，
则存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
即(k－λ)a＝(λk－1)b.
又a，b是两不共线的非零向量，
k－λ＝λk－1＝0.k2－1＝0.k＝±1.
共线向量定理的条件和结论是充要条件关系，既可以证明向量共线，也可以由向量共线求参数．利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点．
【训练3】 若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一条直线上？
解　设＝a，＝tb，＝(a＋b)，
＝－＝－a＋b，＝－＝tb－a.
要使A，B，C三点共线，只需＝λ.
即－a＋b＝λtb－λa.又a与b为不共线的非零向量
∴当t＝时，三向量终点在同一直线上．
方法优化6——准确把握平面向量的概念和运算
【命题研究】 通过近三年的高考试题分析，平面向量的概念和运算时常以选择题、填空题的形式出现，有时解答题的题设条件也以向量的形式给出，命题的出发点主要是以平面图形为载体，借助平面几何、解析几何等知识，考查平面向量的线性运算法则及其几何意义以及两个向量共线的充要条件，或以向量为载体求参数的值．
【真题探究】 (2012·浙江)设a，b是两个非零向量．(　　)．
A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则ab
B．若ab，则|a＋b|＝|a|－|b|
C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa
D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|
[教你审题] 思路1 根据选项逐个进行排除．
思路2 将模的运算转化为数量积的形式进行分析．
[一般解法] (排除法)选项A，若b＝－a，则等式|a＋b|＝|a|－|b|成立，显然ab不成立；
选项B，若ab且|a|＝|b|，则|a|－|b|＝0，显然，|a＋b|＝|a|≠0，故|a＋b|＝|a|－|b|不成立；
选项D，若b＝a，则|a|－|b|＝0，显然，|a＋b|＝2|a|≠0，故|a＋b|＝|a|－|b|不成立．
综上，A，B，D都不正确，故选C.
[优美解法] (数量积法)把等式|a＋b|＝|a|－|b|两边平方，得(a＋b)2＝(|a|－|b|)2，
即2a·b＝－2|a|·|b|，而a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，
所以cos〈a，b〉＝－1.又因为〈a，b〉[0，π]，
所以〈a，b〉＝π，即a，b为方向相反的共线向量．故C正确．
[反思] 在高考结束后，了解到部分学生做错的主要原因是：题中的条件“|a＋b|＝|a|－|b|”在处理过程中误认为“|a＋b|＝|a－b|”，从而得到“ab”这个错误的结论．
【试一试】 在OAB中，＝a，＝b，OD是AB边上的高，若＝λ，则实数λ＝(　　)．
解析　由＝λ，||＝λ||.
又||＝|a|cos A＝|a|·＝，
||＝|b－a|，λ＝＝.故选C.
A级　基础演练(时间：分钟　满分：分)一、选择题(每小题5分，共20分)
1．(2013·合肥检测)已知O是ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2＋＋＝0，那么(　　)．
解析　由2＋＋＝0可知，O是底边BC上的中线AD的中点，故＝.
2．已知＝a，＝b，＝c，＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则 (　　)．
A．a－b＋c－d＝0
B．a－b－c＋d＝0
C．a＋b－c－d＝0
D．a＋b＋c＋d＝0
解析　依题意，得＝，故＋＝0，即－＋－＝0，即有－＋－＝0，则a－b＋c－d＝0.选A.
3．已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若＋2＝3，则的值为 (　　)．
解析　由＋2＝3，得－＝2－2，即＝2，所以＝.故选A.
4．(2011·山东)设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若＝λ(λR)，＝μ(μR)，且＋＝2，则称A3，A4调和分割A1，A2.已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下列说法正确的是(　　)．
A．C可能是线段AB的中点
B．D可能是线段AB的中点
C．C、D可能同时在线段AB上
D．C、D不可能同时在线段AB的延长线上
解析　若A成立，则λ＝，而＝0，不可能；同理B也不可能；若C成立，则0＜λ＜1，且0＜μ＜1，＋＞2，与已知矛盾；若C，D同时在线段AB的延长线上时，λ＞1，且μ＞1，＋＜2，与已知矛盾，故C，D不可能同时在线段AB的延长线上，故D正确．
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．(2013·泰安模拟)设a，b是两个不共线向量，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为________．
解析　＝＋＝2a－b，又A，B，D三点共线，
存在实数λ，使＝λ.
6.如图，在矩形ABCD中，||＝1，||＝2，设＝a，＝b，＝c，则|a＋b＋c|＝________.
解析　根据向量的三角形法则有|a＋b＋c|＝|＋＋|＝|＋＋|＝|＋|＝2||＝4.
三、解答题(共25分)
7．(12分)如图，在平行四边形OADB中，设＝a，＝b，＝，＝.试用a，b表示，及.
解　由题意知，在平行四边形OADB中，＝＝＝(－)＝(a－b)＝a－b，
则＝＋＝b＋a－b＝a＋b.
＝＝(＋)＝(a＋b)＝a＋b，
＝－＝(a＋b)－a－b＝a－b.
8．(13分)(1)设两个非零向量e1，e2不共线，如果＝2e1＋3e2，＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2，求证：A，B，D三点共线．
(2)设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，求k的值．
(1)证明　因为＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2，
所以＝＋＝10e1＋15e2.
又因为＝2e1＋3e2，得＝5，即，
又因为，有公共点B，所以A，B，D三点共线．
(2)解　D＝－＝e1＋3e2－2e1＋e2＝4e2－e1，
＝2e1＋ke2，
若A，B，D共线，则D，
设D＝λ，所以k＝－8.B级　能力突破(时间：30分钟　满分：45分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．(2013·济南一模)已知A，B，C 是平面上不共线的三点，O是ABC的重心，动点P满足＝，则点P一定为三角形ABC的(　　)．
A．AB边中线的中点
B．AB边中线的三等分点(非重心)
D．AB边的中点
解析　设AB的中点为M，则＋＝，＝(＋2)＝＋，即3＝＋2，也就是＝2，P，M，C三点共线，且P是CM上靠近C点的一个三等分点．
2．若点M是ABC所在平面内的一点，且满足5＝＋3，则ABM与ABC的面积比为(　　)．
解析　设AB的中点为D，由5＝＋3，得3－3＝2－2，即3＝2.如图所示，故C，M，D三点共线，且＝，也就是ABM与ABC对于边AB的两高之比为35，则ABM与ABC的面积比为，选C.
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．若点O是ABC所在平面内的一点，且满足|－|＝|＋－2|，则ABC的形状为________．
解析　＋－2＝－＋－＝＋，
－＝＝－，|＋|＝|－|.
故A，B，C为矩形的三个顶点，ABC为直角三角形．
答案　直角三角形
4.如图所示，在ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．
解析　O是BC的中点，
又＝m，＝n，＝＋.
M，O，N三点共线，＋＝1，则m＋n＝2.
三、解答题(共25分)
5．(12分)如图所示，在ABC中，在AC上取一点N，使得AN＝AC，在AB上取一点M，使得AM＝AB，在BN的延长线上取点P，使得NP＝BN，在CM的延长线上取点Q，使得＝λ时，＝，试确定λ的值．
解　＝－＝(－)＝(＋)＝，＝－＝＋λ，
又＝，＋λ＝，
即λ＝，λ＝.
6．(13分)已知点G是ABO的重心，M是AB边的中点．
(1)求＋＋；
(2)若PQ过ABO的重心G，且＝a，＝b，＝ma，＝nb，求证：＋＝3.
(1)解　＋＝2，又2＝－，
＋＋＝－＋＝0.
(2)证明　显然＝(a＋b)．因为G是ABO的重心，所以＝＝(a＋b)．由P，G，Q三点共线，得，所以，有且只有一个实数λ，使＝λ.
而＝－＝(a＋b)－ma＝a＋b，
＝－＝nb－(a＋b)＝－a＋b，
所以a＋b＝λ.
又因为a，b不共线，所以
消去λ，整理得3mn＝m＋n，故＋＝3.
第2讲　平面向量的基本定理及向量坐标运算
【2014年高考会这样考】
1．考查应用向量的坐标运算求向量的模．
2．考查应用平面向量基本定理进行向量的线性运算．
3．考查应用向量的垂直与共线条件，求解参数．
1．平面向量基本定理
前提：e1，e2是同一个平面内的两个不共线向量．
条件：对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2满足a＝λ1e1＋λ2e2.
结论：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2．平面向量的坐标表示
(1)向量的夹角
定义：已知两个非零向量a和b，如右图，作＝a，＝b，则AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做a与b的夹角．
当θ＝0°时，a与b共线同向．
当θ＝180°时，a与b共线反向．
当θ＝90°时，a与b互相垂直．
(2)平面向量的正交分解
向量正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量．
(3)平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的任一向量a，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.这样，a可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)．其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．
相等的向量坐标相等，坐标相等的向量是相等的向量；
向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系．
3．平面向量运算的坐标表示
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
4．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，ab?x1y2－x2y1＝0.
【助学·微博】
(1)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．
(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则ab的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0.
(1)若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
(2)已知＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.
(3)平面向量的基底中一定不含零向量．
1．(2012·广东)若向量＝(2,3)，＝(4,7)，则＝(　　)．
A．(－2，－4)
D．(－6，－10)
解析　由于＝(2,3)，＝(4,7)，那么＝＋＝(2,3)＋(－4，－7)＝(－2，－4)．
2．(2013·湘潭调研)已知向量a＝(4，x)，b＝(－4,4)，若ab，则x的值为(　　)．
解析　若ab，则有4×4＋4x＝0，解得x＝－4.
3．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，则顶点D的坐标为(　　)．
解析　设D(x，y)，＝(x，y－2)，＝(4,3)，
又＝2，∴故选A.
4．(2012·重庆)设x，yR，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且ac，bc，则|a＋b|＝(　　)．
解析　由题意可知，解得故a＋b＝(3，－1)，|a＋b|＝，选B.
5．(2011·北京)已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)．若a－2b与c共线，则k＝________.
解析　a－2b＝(，3)，因为a－2b与c共线，所以＝，k＝1.
考向一　平面向量基本定理及其应用
如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知＝c，＝d，试用c，d表示，.
[审题视点] 直接用c，d表示，有难度，可换一个角度，由，表示，，进而求，.
解　法一　设＝a，＝b，
则a＝＋＝d＋，
b＝＋＝c＋.
将代入得a＝d＋
a＝d－c＝(2d－c)，代入
得b＝c＋×(2d－c)＝(2c－d)．
＝(2d－c)，＝(2c－d)．
法二　设＝a，＝b.
因M，N分别为CD，BC的中点，所以＝b，D＝a，
即＝(2d－c)，＝(2c－d)．
应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．
如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2，若＝λ＋μ(λ，μR)，则λ＋μ的值为________．
如图，以，为一组基底，将在，方向上分解，得RtOCA′，其中OC＝2，OCA′为直角，COA＝30°，则OA′＝4OA，OB′＝2OB，即λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.
答案　6考向二　平面向量的坐标运算
【例2】已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3，＝2.求M，N的坐标和.
[审题视点] 求，的坐标，根据已知条件列方程组求M，N的坐标．
解　A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，
＝(1,8)，＝(6,3)．
＝3＝3(1,8)＝(3,24)，＝2＝2(6,3)＝(12,6)．
设M(x，y)，则＝(x＋3，y＋4)．
得M(0,20)．
同理可得N(9,2)，＝(9－0,2－20)＝(9，－18)．
解决向量的坐标运算问题，关键是掌握线性运算法则及坐标运算的特点．一般地，已知有向线段两端点的
坐标，应先求出向量的坐标．解题时注意利用向量相等(横、纵坐标分别相等)建立方程(组)的思想．
【训练2】 (1)已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量a－b＝(　　)．
A．(－2，－1)
B．(－2,1)
C．(－1,0)
D．(－1,2)
(2)在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝(　　)．
A．(－2，－4)
B．(－3，－5)
解析　(1)a＝，b＝，
故a－b＝(－1,2)．
(2)由题意得＝－＝－＝(－)－＝－2＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．
答案　(1)D　(2)B考向三　平面向量共线的坐标运算
【例3】平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，请解答下列问题：
(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(2)若(a＋kc)(2b－a)，求实数k.
[审题视点] (1)向量相等对应坐标相等，列方程解之；(2)由两向量平行的条件列方程解之．
解　(1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，
(2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，
(a＋kc)(2b－a)，
2×(3＋4k)－(－5)(2＋k)＝0，k＝－.
(1)一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λR)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．
(2)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．
【训练3】 (1)在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边ABDC，ADBC.已知点A(－2,0)，B(6,8)，C(8,6)，则D点的坐标为________．
(2)已知向量a＝(m，－1)，b＝(－1，－2)，c＝(－1,2)，若(a＋b)c，则m＝________.
解析　(1)由条件中的四边形ABCD的对边分别平行，可以判断该四边形ABCD是平行四边形．
设D(x，y)，则有＝，
即(6,8)－(－2,0)＝(8,6)－(x，y)，
解得(x，y)＝(0，－2)，即D点的坐标为(0，－2)．
(2)由题意知a＋b＝(m－1，－3)，c＝(－1,2)，由(a＋b)c，得(－3)×(－1)－(m－1)×2＝0，所以m＝.
答案　(1)(0，－2)　(2)
方法优化7——“多想少算”解决平面向量运算问题
【命题研究】 通过近三年高考试题分析，可以看出高考对本部分内容的考查主要是向量的运算，意在考查考生计算能力和利用化归思想解决问题的能力．以选择、填空题的形式出现，一般难度不大，属容易题．
【真题探究】 (2012·安徽)在平面直角坐标系中，点O(0,0)，P(6,8)，将向量绕点O按逆时针方向旋转后得向量，则点Q的坐标是(　　)．
A．(－7，－)
B．(－7，)
C．(－4，－2)
D．(－4，2)
[教你审题] 思路1 利用向量的夹角公式和模长公式结合待定系数法求解．
思路2 利用旋转角求解．
思路3 排除法、验证法相结合求解．
[一般解法] 法一　设点Q的坐标为(x，y)，由题意知：||＝||＝＝10.
又||＝＝10，
x2＋y2＝100.
∵向量与的夹角为π，且点Q在第三象限，
cos π＝＝＝＝－.
6x＋8y＝－50.
又点Q在第三象限，点Q的坐标为(－7，－)．
设xOP＝θ，则由题意知：xOQ＝π＋θ(如图所示)，设点Q的坐标为(x，y)．
点P的坐标为(6,8)，
＝(6,8)，且||＝10，
cos θ＝＝，sin θ＝＝.
则cos＝cos θ·cos π－sin θsin π＝×－×＝－，sin＝sin θcos π＋cos θsin π＝×＋×＝－.
又||＝||＝10，
x＝10cos＝10×＝－7，
y＝10sin＝10×＝－.
点Q的坐标为(－7，－)．
[优美解法] 画出草图，可知点Q落在第三象限，则可排除B、D，代入A，cosQOP＝＝＝，所以QOP＝.代入C，cosQOP＝＝≠，故选A.
[反思] 本题学生容易列二元二次方程求解，陷入繁杂的运算，优美解法中体现了“多想少算”的命题原则，因此在解题前一定要注意审题．
【试一试】 (2011·上海)设A1，A2，A3，A4，A5是空间中给定的5个不同点，则使＋＋＋＋MA5＝0成立的点M的个数为(　　)．
解析　法一　(特值法)：不妨取A1、A2、A3、A4分别是正方形的顶点，A5为正方形对角线的交点．仅当M为A5时满足＋＋＋＋＝0.故选B.
法二　设M(x，y)，Ai(xi，yi)(i＝1,2,3,4,5)，
故点M的个数为1.选B.
A级　基础演练(时间：分钟　满分：分)一、选择题(每小题5分，共20分)
1．设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b＝(　　)．
解析　a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)．
2．已知平面内任一点O满足＝x＋y(x，yR)，则“x＋y＝1”是“点P在直线AB上”的(　　)．
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析　根据平面向量基本定理知：＝x＋y(x，yR)且x＋y＝1等价于P在直线AB上．
3．(2013·金华模拟)设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d为(　　)．
B．(－2,6)
C．(2，－6)
D．(－2，－6)
解析　设d＝(x，y)，由题意知4a＝(4，－12)，4b－2c＝(－6,20)，2(a－c)＝(4，－2)，又4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，解得x＝－2，y＝－6，所以d＝(－2，－6)．故选D.
4．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)c，则λ＝(　　)．
解析　依题意得a＋λb＝(1＋λ，2)，
由(a＋λb)c，得(1＋λ)×4－3×2＝0，λ＝.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．(2013·杭州模拟)若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值为________．
解析　＝(a－2，－2)，＝(－2，b－2)，依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0，
即ab－2a－2b＝0，所以＋＝.
6．已知A(7,1)，B(1,4)，直线y＝ax与线段AB交于C，且＝2，则实数a＝________.
解析　设C(x，y)，则＝(x－7，y－1)，＝(1－x,4－y)，
C(3,3)．又C在直线y＝ax上，
3＝a·3，a＝2.
三、解答题(共25分)
7．(12分)已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
解　法一　ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，
当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ使ka＋b＝λ(a－3b)，由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)得，
解得k＝λ＝－，
当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，
这时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)．
λ＝－<0，ka＋b与a－3b反向．
法二　由法一知ka＋b＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(10，－4)，ka＋b与a－3b平行
(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，解得k＝－，
此时ka＋b＝＝－(a－3b)．
当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．
8．(13分)已知O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t，求：
(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？
(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．
解　(1)＝＋t＝(1＋3t,2＋3t)．
若P在x轴上，则2＋3t＝0，t＝－；
若P在y轴上，则1＋3t＝0，t＝－；
若P在第二象限，则
－＜t＜－.
(2)因为＝(1,2)，＝(3－3t,3－3t)．
若OABP为平行四边形，则＝，
所以四边形OABP不能成为平行四边形．
B级　能力突破(时间：30分钟　满分：45分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若pq，则角C的大小为(　　)．
解析　由pq，得(a＋c)(c－a)＝b(b－a)，
整理得b2＋a2－c2＝ab，
由余弦定理得cos C＝＝，
又0°<C0，b>0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为________．
解析　＝－＝(a－1,1)，＝－＝(－b－1,2)．
A，B，C三点共线，∥.
∴2(a－1)－(－b－1)＝0，2a＋b＝1.
＋＝(2a＋b)
＝4＋＋≥4＋2 ＝8.
当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号．
＋的最小值是8.
4.(2013·青岛期末)设i，j是平面直角坐标系(坐标原点为O)内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，且＝－2i＋j，＝4i＋3j，则OAB的面积等于________．
解析　由题意得点A的坐标为(－2,1)，点B的坐标为(4,3)，||＝，||＝5.
sinAOB＝sin(AOy＋BOy)
＝sinAOycos∠BOy＋cosAOysin∠BOy
＝×＋×＝.
故SAOB＝||||sinAOB＝×5××＝5.
三、解答题(共25分)
5．(12分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(2,1)，A(1,0)，B(cos θ，t)，
(1)若a，且||＝||，求向量的坐标；
(2)若a，求y＝cos2θ－cos θ＋t2的最小值．
解　(1)＝(cos θ－1，t)，
又a，2t－cos θ＋1＝0.
cos θ－1＝2t.
又||＝||，(cos θ－1)2＋t2＝5.
由得，5t2＝5，t2＝1.t＝±1.
当t＝1时，cos θ＝3(舍去)，
当t＝－1时，cos θ＝－1，
B(－1，－1)，＝(－1，－1)．
(2)由(1)可知t＝，
y＝cos2θ－cos θ＋＝cos2θ－cos θ＋
＝＋＝2－，
当cos θ＝时，ymin＝－.
6．(13分)已知向量v＝(x，y)与向量d＝(y,2y－x)的对应关系用d＝f(v)表示．
(1)设a＝(1,1)，b＝(1,0)，求向量f(a)与f(b)的坐标；
(2)求使f(c)＝(p，q)(p，q为常数)的向量c的坐标；
(3)证明：对任意的向量a，b及常数m，n恒有f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)．
(1)解　f(a)＝(1,2×1－1)＝(1,1)，
f(b)＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．
(2)解　设c＝(x，y)，则由f(c)＝(y,2y－x)＝(p，q)，
所以c＝(2p－q，p)．
(3)证明　设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，
则ma＋nb＝(ma1＋nb1，ma2＋nb2)，
所以f(ma＋nb)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)
又mf(a)＝m(a2,2a2－a1)，nf(b)＝n(b2,2b2－b1)，
所以mf(a)＋nf(b)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)．
故f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b).
第3讲　平面向量的数量积
【2014年高考会这样考】
1．考查平面向量的数量积的运算、化简、向量平行与垂直的充要条件的应用．
2．以平面向量的数量积为工具，考查其他综合应用题，常与三角函数等知识结合．
1．平面向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ 叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
2．平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝＝.
(3)夹角：cos θ＝＝ .
(4)ab的充要条件：a·b＝0x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当ab时等号成立)|x1x2＋y1y2|≤ ·.
3．平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)；
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
【助学·微博】
(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；
(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．
(1)若a，b，c是实数，则ab＝acb＝c(a≠0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a，b，c若满足a·b＝a·c(a≠0)，则不一定有b＝c，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．
(2)数量积运算不适合结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，因此(a·b)·c与a·(b·c)不一定相等．
(3)向量夹角的概念要领会，比如在等边三角形ABC中，与的夹角应为120°，而不是60°.
1．(2012·辽宁)已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是(　　)．
C．|a|＝|b|
D．a＋b＝a－b
解析　由|a＋b|＝|a－b|，两边平方并化简得a·b＝0，又a，b都是非零向量，所以ab.
2．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为(　　)．
解析　由题意得 (2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2|a|2·cos〈a，b〉＋a2＝0，所以cos〈a，b〉＝－，所以a，b的夹角为120°，故选C.
3．在RtABC中，C＝90°，AC＝4，则·等于(　　)．
解析　因为cos A＝，故·＝||||cos A＝AC2＝16，故选D.
4．(2012·浙江)在ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则·＝________.
解析　2＝＋，＝－，(2)2＝(＋)2，2＝(－)2，4·＝42－2＝－64，·＝－16.
答案　－16
5．(2012·新课标全国)已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.
解析　由题意得：(2a－b)2＝4|a|2＋|b|2－4a·b＝4＋|b|2－4×1×|b|cos 45°＝10，即|b|2－2|b|－6＝0，解得：|b|＝3.
考向一　平面向量数量积的运算
【例1】(1)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝________.
(2)(2013·安庆模拟)已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k的值为________．
[审题视点] (1)直接利用数量积的坐标运算即可；
(2)由条件表示出a·b，然后找到关于k的等式进行求解．
解析　(1)依题意可得8a－b＝(6,3)，
(8a－b)·c＝3×6＋3×x＝30，解得x＝4.
(2)a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)
＝ke＋(1－2k)e1·e2－2e
＝k＋(1－2k)cos －2＝2k－＝0，
答案　(1)4　(2)
(1)向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式a·b＝|a||b|cos θ；二是坐标公式a·b＝x1x2＋y1y2.
(2)求较复杂的向量数量积的运算时，可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简．
【训练1】 (1)已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________.
(2)(2012·合肥模拟)在ABC中，M是BC的中点，||＝1，＝2，则·(＋)＝________.
解析　(1)〈e1，e2〉＝，|e1|＝1，|e2|＝1，
b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3|e1|2－2e1·e2－8|e2|2＝3－2cos －8＝3－1－8＝－6.
如图，因为M是BC的中点，所以＋＝2，又＝2，||＝1，所以·(＋)＝·2P＝－4||2＝－||2＝－，故填－.
答案　(1)－6　(2)－
考向二　向量的夹角与向量的模
【例2】(1)已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝________.
(2)(2011·浙江)若平面向量a，b满足|a|＝1，|b|≤1，且以向量a，b为邻边的平行四边形的面积为，则a和b的夹角θ的取值范围是________．
[审题视点] (1)利用|a|2＝a·a求解；
(2)找出平行四边形的面积与|a|·|b|的关系式．
解析　(1)因为|2a－b|2＝(2a－b)2＝4a2＋b2－4a·b＝4a2＋b2＝4＋4＝8，故|2a－b|＝2.
(2)依题意有|a||b|sin θ＝，即sin θ＝，由|b|≤1，得
≤sin θ≤1，又0≤θ≤π，故有≤θ≤.
答案　(1)2　(2)
(1)在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a|＝要引起足够重视，是求模常用的公式．
(2)利用向量数量积的定义，知cos θ＝，其中两向量夹角的范围为0°≤θ≤180°，求解时应求出三个量：a·b，|a|，|b|或者找出这三个量之间的关系．
【训练2】 (1)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，则|a＋b|＝________.
(2)已知a与b是两个非零向量，且|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为________．
解析　(1)(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
又|a|＝4，|b|＝3，a·b＝－6.
|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，|a＋b|＝.
(2)设a与a＋b的夹角为θ，由|a|＝|b|，得|a|2＝|b|2.
又由|b|2＝|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2.
a·b＝|a|2，
而|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3|a|2，
|a＋b|＝|a|.
cos θ＝＝＝.
0°≤θ≤180°，θ＝30°，即a与a＋b的夹角为30°.
答案　(1)　(2)30°
考向三　平面向量数量积的综合应用
已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)(0<α<β<π)．
(1)求证：a＋b与a－b互相垂直；
(2)若ka＋b与a－kb的模相等，求β－α.(其中k为非零实数)
[审题视点] (1)证明两向量互相垂直，转化为计算这两个向量的数量积问题，数量积为零即得证．
(2)由模相等，列等式、化简．
(1)证明　(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2
＝(cos2α＋sin2α)－(cos2β＋sin2β)＝0，
a＋b与a－b互相垂直．
(2)解　ka＋b＝(kcos α＋cos β，ksin α＋sin β)，
a－kb＝(cos α－kcos β，sin α－ksin β)，
|ka＋b|＝，
|a－kb|＝.
|ka＋b|＝|a－kb|，2kcos(β－α)＝－2kcos(β－α)．
又k≠0，cos(β－α)＝0.
0<α<β<π，0<β－α0，a与b的夹角θ，且ab和ba都在集合中，则ab＝(　　)．
解析　由定义αβ＝可得ba＝＝＝，由|a|≥|b|>0，及θ得0<<1，从而＝，即|a|＝2|b|cos θ.ab＝＝＝＝2cos2θ，因为θ，所以<cos θ<1，所以<cos2θ<1，所以1<2cos2θ<2.结合选项知答案为C.
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．已知向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)c，ab，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________．
解析　由已知a·c－b·c＝0，a·b＝0，|a|＝1，
又a＋b＋c＝0，a·(a＋b＋c)＝0，即a2＋a·c＝0，
则a·c＝b·c＝－1，
由a＋b＋c＝0，(a＋b＋c)2＝0，
即a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝0，
a2＋b2＋c2＝－4c·a＝4，
即|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.
4．(2012·安徽)若平面向量a，b满足|2a－b|≤3，则a·b的最小值是________．
解析　由|2a－b|≤3可知，4a2＋b2－4a·b≤9，所以4a2＋b2≤9＋4a·b，而4a2＋b2＝|2a|2＋|b|2≥2|2a|·|b|≥－4a·b，所以a·b≥－，当且仅当2a＝－b时取等号．
三、解答题(共25分)
5．(12分)设两向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
解　由已知得e＝4，e＝1，e1·e2＝2×1×cos 60°＝1.
(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＝2te＋(2t2＋7)e1·e2＋7te＝2t2＋15t＋7.
欲使夹角为钝角，需2t2＋15t＋7＜0，得－7＜t＜－.
设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)(λ＜0)，
∴2t2＝7.t＝－，此时λ＝－.
即t＝－时，向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为π.
当两向量夹角为钝角时，t的取值范围是
6．(13分)(2012·东营模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m＝，n＝，且满足|m＋n|＝.
(1)求角A的大小；
(2)若||＋||＝||，试判断ABC的形状．
解　(1)由|m＋n|＝，得m2＋n2＋2m·n＝3，
即1＋1＋2＝3，
cos A＝.0<A<π，A＝.
(2)||＋||＝||，sin B＋sin C＝sin A，
sin B＋sin＝×，
即sin B＋cos B＝，sin＝.
0<B<，<B＋<，
B＋＝或，故B＝或.
当B＝时，C＝；当B＝时，C＝.
故ABC是直角三角形.
第4讲　平面向量应用举例
【2014年高考会这样考】
以平面向量的数量积为工具，考查其综合应用性问题，常与三角函数、解析几何等结合．
1．向量在平面几何中的应用
向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．
(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：ab?a＝λb(b≠0)x1y2－x2y1＝0.
(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质
ab?a·b＝0x1x2＋y1y2＝0.
(3)求夹角问题，利用夹角公式
cos θ＝＝(θ为a与b的夹角)．
2．向量在三角函数中的应用
与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型．解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、向量夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识．
3．向量在解析几何中的应用
向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．
【助学·微博】
实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算．
(1)向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与形象，向量本身是一个数形结合的产物，在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合．
(2)要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题．
1．平面上有四个互异点A、B、C、D，已知(＋－2)·(－)＝0，则ABC的形状是(　　)．
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．无法确定
解析　由(＋－2)·(－)＝0，
得[(－)＋(－)]·(－)＝0，
所以(＋)·(－)＝0.
所以||2－||2＝0，||＝||，
故ABC是等腰三角形．
2．(2013·银川模拟)若a，b是非零向量，且ab，|a|≠|b|，则函数f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)是(　　)．
A．一次函数且是奇函数
B．一次函数但不是奇函数
C．二次函数且是偶函数
D．二次函数但不是偶函数
解析　函数f(x)＝x2a·b＋(b2－a2)x－a·b，
a⊥b，a·b＝0，f(x)＝(b2－a2)x.
|a|≠|b|，b2－a2≠0，
f(x)为一次函数且是奇函数．故选A.
3．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝(，－1)，则|2a－b|的最大值、最小值分别是(　　)．
解析　设a与b夹角为α，|a|＝1，|b|＝2，
|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝8－4|a||b|cos α＝8－8cos α，
α∈[0，π]，cos α∈[－1,1]，8－8cos α[0,16]，
即|2a－b|2[0,16]，|2a－b| [0,4]．
4．(2012·江西)在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝(　　)．
如图，以C为原点，CB，AC所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系．设A(0，a)，B(b,0)，则D，P，由两点间的距离公式可得|PA|2＝＋，|PB|2＝＋，|PC|2＝＋.所以＝＝10.
5．在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足·＝4，则点P的轨迹方程是______________________________________________．
解析　由·＝4，得(x，y)·(1,2)＝4，即x＋2y＝4.
答案　x＋2y－4＝0
考向一　向量在平面几何中的应用
【例1】在ABC中，(＋)·＝||2，则ABC的形状一定是(　　)．
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
[审题视点] 根据向量式寻找ABC边、角之间的关系．
解析　由(＋)·＝||2，得·(＋－)＝0，即·(＋＋)＝0,2·＝0，⊥，A＝90°.又根据已知条件不能得到||＝||，故ABC一定是直角三角形．
对于此类问题，一般需要灵活运用向量的运算法则、运算律，将已知条件等价变形，从而得到结论．
特别地，有的问题还需要依据几何图形选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，然后计算或证明．
【训练1】 (2013·厦门质检)已知点O，N，P在ABC所在的平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，·＝·＝·，则点O，N，P依次是ABC的(　　)．
A．重心、外心、垂心
B．重心、外心、内心
C．外心、重心、垂心
D．外心、重心、内心
解析　因为||＝||＝||，所以点O到三角形的三个顶点的距离相等，所以O为三角形ABC的外心；由＋＋＝0，得＋＝－＝，由中线的性质可知点N在三角形AB边的中线上，同理可得点N在其他边的中线上，所以点N为三角形ABC的重心；由·＝·＝·，得·－·＝·＝0，则点P在AC边的垂线上，同理可得点P在其他边的垂线上，所以点P为三角形ABC的垂心．
考向二　向量在三角函数中的应用
【例2】设向量a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，c＝(cos β，－4sin β)．
(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；
(2)求|b＋c|的最大值；
(3)若tan αtan β＝16，求证：ab.
[审题视点] 根据平面向量的运算性质列式(三角函数式)，进而转化为三角恒等变换和三角函数性质问题．
(1)解　因为a与b－2c垂直，所以a·(b－2c)＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，
因此tan(α＋β)＝2.
(2)解　由b＋c＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)，得
又当β＝kπ－(kZ)时，等号成立，
所以|b＋c|的最大值为4.
(3)证明　由tan αtan β＝16，得＝，所以ab.
(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．
【训练2】 已知向量a＝，b＝cos ，－sin ，且x.
(1)求a·b及|a＋b|；
(2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－，求λ的值．
解　(1)a·b＝cos ·cos －sin ·sin ＝cos 2x.
＝＝2＝2|cos x|.
x∈，cos x≥0，
|a＋b|＝2cos x.
(2)f(x)＝cos 2x－4λcos x，
即f(x)＝2(cos x－λ)2－1－2λ2.
x∈，0≤cos x≤1.
①当λ1时，当且仅当cos x＝1时，f(x)取得最小值1－4λ，
即1－4λ＝－，解得λ＝，这与λ>1相矛盾．
综上所述，λ＝即为所求．
考向三　向量在解析几何中的应用
【例3】已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQl，垂足为Q，且·＝0.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一条直径，求·的最值．
[审题视点] (1)设出动点P的坐标，化简向量之间的关系，整理即得轨迹方程；(2)利用圆的性质化简向量数量积，将其转化为动点P与定点N的距离的最值，最后代入点的坐标将其转化为函数的最值求解．
解　(1)设P(x，y)，则Q(8，y)．
由(＋)·(－)＝0，得|PC|2－|PQ|2＝0，
即(x－2)2＋y2－(x－8)2＝0，化简得＋＝1.
所以点P在椭圆上，其方程为＋＝1.
(2)因·＝(－)·(－)＝(－－)·(－)＝(－)2－2＝2－1，
P是椭圆＋＝1上的任一点，设P(x0，y0)，
则有＋＝1，即x＝16－，又N(0,1)，
所以2＝x＋(y0－1)2＝－y－2y0＋17
＝－(y0＋3)2＋20.
因y0[－2，2]，所以当y0＝－3时，2取得最大值20，故·的最大值为19；
当y0＝2时，2取得最小值为13－4(此时x0＝0)，故·的最小值为12－4.
向量在解析几何中的作用：
(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，关键是脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．
(2)工具作用：利用ab?a·b＝0，ab?a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，其坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题起到化繁为简的效果．
【训练3】 已知点P(0，－3)，点A在x轴上，点Q在y轴的正半轴上，点M满足·＝0，＝－，当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹方程．
解　设M(x，y)为所求轨迹上任一点，设A(a,0)，Q(0，b)(b＞0)，则＝(a,3)，＝(x－a，y)，＝(－x，b－y)，
由·＝0，得a(x－a)＋3y＝0.
由＝－，得
(x－a，y)＝－(－x，b－y)＝，
把a＝－代入，得－＋3y＝0，
整理得y＝x2(x≠0)．
所以动点M的轨迹方程为y＝x2(x≠0)．
规范解答8——高考中平面向量与三角函数的交汇问题
【命题研究】 通过近三年高考试题分析，考查平面向量的有关知识，常与三角函数、解析几何结合在一起在解答题中出现，主要是以三角函数、解析几何等知识为载体，考查数量积的定义、性质等．若出现平面向量与三角函数的交汇问题，题目难度中等．
【真题探究】 (本小题满分14分)(2012·江苏)在ABC中，已知·＝3·.
(1)求证：tan B＝3tan A；
(2)若cos C＝，求A的值．
[教你审题] 一审 把数量积转化为三角形边、角关系；
二审 利用正弦定理进行边化角；
三审 利用在ABC中tan(A＋B)＝－tan C.
[规范解答] (1)证明　因为·＝3·，
所以AB·AC·cos A＝3BA·BC·cos B，(2分)
即AC·cos A＝3BC·cos B，由正弦定理知＝，
从而sin Bcos A＝3sin Acos B，(5分)
由上式可知cos A>0，cos B>0，(7分)
所以tan B＝3tan A.
(2)解　因为cos C＝，0<C0，故tan A＝1，所以A＝.(14分)
[阅卷老师手记] (1)解决平面向量与三角函数的交汇问题，要利用平面向量的定义和运算法则准确转化为三角函数式．
(2)本题难度中档偏下，大部分考生能较准确地做出来，得到满分．
求平面向量与三角函数的交汇问题的一般步骤：
第一步：将向量间的关系式化成三角函数式；
第二步：化简三角函数式；
第三步：求三角函数式的值或求角或分析三角函数式的性质；
第四步：明确表述结论．
【试一试】 设a＝(cos α，(λ－1)sin α)，b＝(cos β，sin β)(λ>0，0<α<β<)是平面上的两个向量，若向量a＋b与a－b互相垂直．
(1)求实数λ的值；
(2)若a·b＝，且tan β＝，求tan α的值．
解　(1)由题设，可得(a＋b)·(a－b)＝0，
即|a|2－|b|2＝0.代入a，b的坐标，
可得cos2α＋(λ－1)2sin2α－cos2β－sin2β＝0，
所以(λ－1)2sin2α－sin2α＝0，即sin2α[(λ－1)2－1]＝0.
因为0<α<，故sin2α≠0，所以(λ－1)2－1＝0，
解得λ＝2或λ＝0(舍去)．故λ＝2.
(2)由(1)及题设条件，知
a·b＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)＝.
因为0<α<β<，所以－<α－β0，
于是有cos A＝，sin A＝＝，
又SABC＝·bcsin A＝bc×＝，所以
bc＝3，·＝bccos(π－A)＝－bccos A＝－3×＝－1.
三、解答题(共25分)
7．(12分)(2012·北京海淀模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若·＝·＝k(kR)．
(1)判断ABC的形状；
(2)若c＝，求k的值．
解　(1)·＝cbcos A，·＝cacos B，
又·＝·，bccos A＝accos B，
sin Bcos A＝sin Acos B，
即sin Acos B－sin Bcos A＝0，sin(A－B)＝0，
－π＜A－B＜π，A＝B，即ABC为等腰三角形．
(2)由(1)知，·＝bccos A＝bc·＝＝k，
c＝，k＝1.
8．(13分)已知A，B，C的坐标分别为A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)，α.
(1)若||＝||，求角α的值；
(2)若·＝－1，求的值．
解　(1)＝(cos α－3，sin α)，＝(cos α，sin α－3)，
2＝(cos α－3)2＋sin2α＝10－6cos α，
2＝cos2α＋(sin α－3)2＝10－6sin α，
由||＝||，可得2＝2，
即10－6cos α＝10－6sin α，得sin α＝cos α.
又α，α＝.
(2)由·＝－1，
得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1，
sin α＋cos α＝.
又＝＝2sin αcos α.
由式两边分别平方，得1＋2sin αcos α＝，
2sin αcos α＝－.
＝－.B级　能力突破(时间：30分钟　满分：45分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对应的三角形的边长，若4a＋2b＋3c＝0，则cos B＝(　　)．
解析　由4a＋2b＋3c＝0，得
4a＋3c＝－2b＝－2b(－)＝2b＋2b，
所以4a＝3c＝2b.
由余弦定理得cos B＝＝＝－.
2．(2013·郑州三模)ABC的外接圆圆心为O，半径为2，＋＋＝0，且||＝||，则在方向上的投影为(　　)．
解析　如图，由题意可设D为BC的中点，由＋＋＝0，得＋2＝0，即＝2，A，O，D共线且||＝2||，又O为ABC的外心，
AO为BC的中垂线，
||＝||＝||＝2，||＝1，
||＝，在方向上的投影为.
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)，若ab，则9x＋3y的最小值为________．
解析　若ab，则4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2.
9x＋3y＝32x＋3y≥2×＝2×＝6.
当且仅当x＝，y＝1时取得最小值．
4．(2013·山西大学附中月考)已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx在R上有极值，则a与b的夹角范围为________．
解析　由题意得：f′(x)＝x2＋|a|x＋a·b必有可变号零点，即Δ＝|a|2－4a·b>0，即4|b|2－8|b|2cos〈a，b〉>0，即－1≤cos〈a，b〉<.所以a与b的夹角范围为.
三、解答题(共25分)
5．(12分)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(2sin B，－)，n＝且mn.
(1)求锐角B的大小；
(2)如果b＝2，求SABC的最大值．
解　(1)m∥n，2sin B＝－cos 2B，
sin 2B＝－cos 2B，即tan 2B＝－.
又B为锐角，2B∈(0，π)，2B＝，B＝.
(2)B＝，b＝2，由余弦定理cos B＝，
得a2＋c2－ac－4＝0.又a2＋c2≥2ac，代入上式，
得ac≤4(当且仅当a＝c＝2时等号成立)．
SABC＝acsin B＝ac≤(当且仅当a＝c＝2时等号成立)，即SABC的最大值为.
6．(13分)(2012·南通模拟)已知向量m＝，
(1)若m·n＝1，求cos的值；
(2)记f(x)＝m·n，在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cos B＝bcos C，求函数f(A)的取值范围．
解　(1)m·n＝sin ·cos ＋cos2
＝sin ＋＝sin＋，
m·n＝1，sin＝.
cos＝1－2sin2＝，
cos＝－cos＝－.
(2)(2a－c)cos B＝bcos C，
由正弦定理得(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，
2sin Acos B－sin Ccos B＝sin Bcos C.
2sin Acos B＝sin(B＋C)．
A＋B＋C＝π，sin(B＋C)＝sin A≠0.
cos B＝，0＜B＜π，B＝，0＜A＜.
＜＋＜，sin.
又f(x)＝sin＋，f(A)＝sin＋.
故函数f(A)的取值范围是.
题专项(八)　
(时间：分钟　满分：分)一、选择题(每小题5分，共50分)
1．(2013·西宁模拟)对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中的真命题是(　　)．
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D．若a·b＝a·c，则b＝c
解析　当向量a，b的夹角为直角时，满足a·b＝0，但不一定有a＝0或b＝0，故A不正确；当a2＝b2时，有(a＋b)·(a－b)＝0，但不一定a＝b或a＝－b，故C不正确；D中向量的数量积不能同时约去一个向量．综上，B正确．
2．(2012·伽师二中二模)已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)．若a＋b与a－b平行，则实数x的值是(　　)．
解析　由a＝(1,1)，b＝(2，x)，知a＋b＝(3,1＋x)；a－b＝(－1,1－x)；若a＋b与a－b平行，则3(1－x)＋(1＋x)＝0，即x＝2，故选D.
3.(2013·武汉期末)如图所示，已知＝2，＝a，＝b，＝c，则下列等式中成立的是(　　)．
A．c＝b－a
B．c＝2b－a
C．c＝2a－b
D．c＝a－b
解析　由＝2，得＋＝2(B＋)，即2＝－＋3，即c＝b－a.
4．若向量a与b不共线，且a·b≠0，且c＝a－b，则向量a与c的夹角为 (　　)．
解析　因为c＝a－b，则有a·c＝a·＝|a|2－a·b＝0.
故两向量垂直，其夹角为.
5．(2012·开封二模)在ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2D，＝＋λ，则λ＝(　　)．
解析　如图所示，其中D，E分别是AB和AC的三等分点，以EC和ED为邻边作平行四边形，得＝＋＝＋，＝.故λ＝，所以选D.
6．(2013·济南模拟)已知向量a＝(1，－1)，b＝(1,2)，向量c满足(c＋b)a，(c－a)b，则c＝(　　)．
D．(0，－1)
解析　设c＝(x，y)，则c＋b＝(x＋1，y＋2)，c－a＝(x－1，y＋1)，
解得x＝2，y＝1.c＝(2,1)．
7．(2012·长沙质检)设A，B，C是圆x2＋y2＝1上不同的三个点，O为圆心，且·＝0，存在实数λ，μ使得＝λ＋μ，实数λ，μ的关系为(　　)．
A．λ2＋μ2＝1
C．λ·μ＝1
D．λ＋μ＝1
解析　由＝λ＋μ，得||2＝(λ＋μ)2＝λ2||2＋μ2||2＋2λμ·.因为·＝0，所以λ2＋μ2＝1.所以选A.
8．设向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，其中0<α<β<π，若|2a＋b|＝|a－2b|，则β－α＝(　　)．
解析　由|2a＋b|＝|a－2b|两边平方整理，得
3|a|2－3|b|2＋8a·b＝0.
|a|＝|b|＝1，故a·b＝0，cos αcosβ＋sin αsin β＝0，
即cos(α－β)＝0，0<α<β<π，故－π<α－β0.
(1)试用k表示a·b，并求出a·b的最大值及此时a与b的夹角θ的值；
(2)当a·b取得最大值时，求实数λ，使|a＋λb|的值最小，并对这一结果作出几何解释．
解　(1)|a－kb|＝|ka＋b|(a－kb)2＝3(ka＋b)2
a·b＝－(k>0)，
a·b＝－≤－，当且仅当k＝1时取等号，
a·b的最大值为－，此时cos θ＝－，θ＝.
a·b＝－(k>0)，a·b的最大值为－，
此时a与b的夹角θ的值为.
(2)由(1)知(a·b)max＝－，
|a＋λb|2＝λ2－λ＋1＝2＋，
当λ＝时，|a＋λb|的值最小，
此时·b＝0，
警示　本题可以通过对已知条件两端平方解决，容易出现的问题是对向量模与数量积的关系不清导致错误，如认为|a－kb|＝|a|－|kb|或|a－kb|2＝|a|2－2k|a||b|＋k2|b|2等都会得出错误的结果．还有就是在得到a·b＝－后，忽视了k>0的限制条件，求错最值．
易失分点4　判别不清向量的夹角
【示例4】 在ABC中，||＝5，||＝3，||＝6，则·等于(　　)．
解析　与的夹角为180°－A，而cos A＝＝＝，·＝||||cos(180°－A)＝6×5×＝－26.
1.已知点O，A，B是平面上的三点，直线AB上有一点C，满足＝，则等于(　　)．
解析　由＝，知点C为AB的中点，由向量加法可得＝＋.
2．若平面向量a＝(1，x)和b＝(2x＋3，－x)互相平行，其中xR.则|a－b|＝ (　　)．
解析　由ab，得x＝0或－2.当x＝－2，即a－b＝(2，－4)时，|a－b|＝＝2；当x＝0，即a－b＝(－2,0)时，|a－b|＝2.综上，知|a－b|＝2或2.
3．设P是ABC所在平面内的一点，＋＝2，则(　　)．
解析　据已知＋＝2，可得点P为线段AC的中点，故有＋＝0.
4．在ABC中，＝(2cos α，2sin α)，＝(5cos β，5sin β)，若·＝－5.则ABC＝(　　)．
解析　由已知得||＝2，||＝5，又因为·＝－5，所以cosABC＝cos〈，〉＝＝，又ABC∈(0，π)，所以ABC＝答案　B
5．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且ab，则2a＋3b＝(　　)．
A．(－2，－4)
B．(－3，－6)
C．(－4，－8)
D．(－5，－10)
解析　因为ab，所以1×m＝2×(－2)，即m＝－4.故2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．
6．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，则||＝(　　)．
解析　由2＝16，得||＝4，|＋|＝|－|＝||＝4.而|＋|＝2||，故||＝2，故选C.
7．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μR)，那么A，B，C三点共线的充要条件是(　　)．
A．λ＋μ＝2
B．λ－μ＝1
C．λμ＝－1
D．λμ＝1
解析　由＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μR)及A，B，C三点共线得：＝t ，所以λa＋b＝t(a＋μb)＝ta＋tμb，即可得所以λμ＝1.故选D.
8．已知两个单位向量a与b的夹角为135°，则|a＋λb|>1的充要条件是(　　)．
A．λ(0，)
B．λ(－，0)
C．λ(－∞，0)(，＋∞)
D．λ(－∞，－)(，＋∞)
解析　|a＋λb|>1a2＋2λa·b＋λ2b2＝1＋λ2＋2λ·1·1·cos 135°＝λ2－λ＋1>1λ2－λ>0λ，故选C.
9．已知向量a＝(1－cos θ，1)，b＝，且ab，则锐角θ＝________.
解析　由于ab，故(1－cos θ)(1＋cos θ)＝1×，
即sin2θ＝.又θ为锐角，故sin θ＝，所以θ＝.
10．若向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且α－β＝kπ(kZ)，则a与b一定满足：a与b夹角等于α－β；|a|＝|b|；a∥b；a⊥b.
其中正确结论的序号为________．
解析　显然不对．
对于：|a|＝＝1，|b|＝＝1.
|a|＝|b|，故正确．
对于：cos α＝cos(kπ＋β)＝
sin α＝sin(kπ＋β)＝
a＝(cos β，sin β)或a＝(－cos β，－sin β)，
与b平行，故正确．显然不正确．
11．已知＝(x,2x)，＝(－3x,2)，如果BAC是钝角，则x的取值范围是________．
解析　由BAC是钝角，知·<0且与不平行，即－3x2＋4x或x0)，求使h(x)在区间上是减函数的ω的最大值．
解　(1)f(x)＝cos－cos x
＝cos x－sin x＝cos，
所以g(x)＝cos＝cos.
(2)h(x)＝f(ωx)＝cos，
由x，得ωx＋，
因为h(x)在区间上是减函数，
因为ω>0，则得－<k<，
又因为kZ，则k＝0,0<ω≤2，所以ω的最大值为2.
版权所有：中华资源库
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