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关于模n剩余类的一点思考
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关于模n剩余类的一点思考
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群的两个不同的子集会生成相同的子群生成的子群为{} 生成的子群为{}4.证明,循环群的子群也是循环群.证=()是循环群,是的子群设,而时....
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1.75亿学生的选择
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1.75亿学生的选择
设Z表示整数加群,取定正整数n,Zn表示模n的剩余类加群,令 N={ kn | k∈Z }为Z的不 变子群,证明Z/N≌Zn
星辰蓝空TA71
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1.75亿学生的选择
Z/N={N(0),N(1),N(2),N(3).}={{kn},{kn+1},{kn+2}.}{kn+n}={(k+1)n}={kn}.因此Z/N={{kn},{kn+1}...{kn+n-1}}为n阶循环群≌Zn
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近世代数期末试卷7
近世代数复习思考题一、基本概念与基本常识的记忆（一）填空题1.剩余类加群Z12有_____4____个生成元.2、设群G的元a的阶是n，则ak的阶是________.3. 6阶循环群有______2___个子群.4、设群G中元素a的阶为m，如果a系为―mⅠn――。5. 模8的剩余类环Z8的子环有____4_____个.6.整数环Z的理想有___无穷多个______个.7、n次对称群Sn的阶是――――n!――。?8、9-置换?????分解为互不相交的循环之积是―??n?e，那么m与n存在整除关―――。9.剩余类环Z6的子环S={［0］,［2］,［4］}，则S的单位元是____________.10. Z24中的所有可逆元是：1、5、7、11、13、17、19、23__________________________.11、凯莱定理的内容是：任一个子群都同一个___变换群_____同构。12. 设G?(a)为循环群，那么（1）若a的阶为无限，则G同构于____整数加群_______，（2）若a的阶为n，则G同构于___单位根群_________。13. 在整数环Z中，2?3=__________________；14、n次对称群Sn的阶是_____.15. 设A1,A2为群G的子群，则A1A2是群G的子群的充分必要条件为___________。16、除环的理想共有______2______个。17. 剩余类环Z5的零因子个数等于_____0_____.18、在整数环Z中，由｛2，3｝生成的理想是_________.19. 剩余类环Z7的可逆元有________6__个.20、设Z11是整数模11的剩余类环，则Z11的特征是_____11____.21. 整环I={所有复数a+bi(a,b是整数)}，则I的单位是__________.22. 剩余类环Zn是域?n是____素数_____.23、设Z7 ={0，1，2，3，4，5，6}是整数模7的剩余类环，在Z7 [x]中, (5x-4)(3x+2)=________.24. 设G为群，a?G，若a?12，则a8?______3_________。25、设群G=｛e，a1，a2，…，an-1｝，运算为乘法，e为G的单位元，则a1n =__e_.26. 设A={a,b,c}，则A到A的一一映射共有____6______个.27、整数环Z的商域是________.28. 整数加群Z有_____2_____个生成元.29、若R是一个有单位元的交换环，I是R的一个理想，那么是一个域当且仅当I是――――――――。 30. 已知????12345??1?为S5上的元素，则?＝__________。?31254?31. 每一个有限群都与一个____置换群______群同构。 32、设I是唯一分解环，则I［x］与唯一分解环的关系是――――――。二、基本概念的理解与掌握。（二）选择题1.设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有（
）个元素。A.2
2.设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射?：x→x＋2，?x∈R，则?是从A到B的（
） A.满射而非单射 C.一一映射
B.单射而非满射 D.既非单射也非满射3.设Z15是以15为模的剩余类加群，那么，Z15的子群共有（
）个。 A.2 C.6B.4 D.84、G是12阶的有限群，H是G的子群，则H的阶可能是( )A
9.5、下面的集合与运算构成群的是
{0，1}，运算为普通的乘法；B
{0，1}，运算为普通的加法;C
{-1，1}，运算为普通的乘法；D
{-1，1}，运算为普通的加法;6、关于整环的叙述，下列正确的是 (
左、右消去律都成立；
左、右消去律都不成立;C
每个非零元都有逆元；
D 每个非零元都没有逆元;7、关于理想的叙述，下列不正确的是 (
在环的同态满射下，理想的象是理想;B
在环的同态满射下，理想的逆象是理想;C
除环只有两个理想，即零理想和单位理想D
环的最大理想就是该环本身.8.整数环Z中，可逆元的个数是(
)。A.1个? b???cd????B.2个
D.无限个 ??a9. 设M2(R)=???? a,b,c,d∈R，R为实数域??按矩阵的加法和乘法构成R上的二阶方阵环，那么这个方阵环是(
)。A. 有单位元的交换环
B. 无单位元的交换环C. 无单位元的非交换环
D. 有单位元的非交换环10. 设Z?a?2,当a为偶数时是整数集，σ(a)=?a?1 ?,当a为奇数时?2 ，a?Z，则σ是R的(
).A. 满射变换C. 一一变换
B. 单射变换
D. 不是R的变换11、设A={所有实数x}，A的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A到A的一个子集 的同态满射的是(
).A、x→10x
B、x→2xC、x→|x|
D、x→-x .12、设?是正整数集Z上的二元运算，其中ab?max?a,b?（即取a与b中的最大者），那么?在Z中（
）A、不适合交换律
B、不适合结合律C、存在单位元
D、每个元都有逆元.13.设S3={（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S3 中与元（1 2 3）不能交换的元的个数是(
D、4.14、设?G,?为群，其中G是实数集，而乘法:ab?a?b?k，这里k为G中固定的常数。那么群?G,?中的单位元e和元x的逆元分别是（
）A、0和?x；
C、k和x?2k； D、?k和?(x?2k)15、设H是有限群G的子群，且G有左陪集分类?H,aH,bH,cH?。如果H?6,那么G的阶G?（
D、1216.整数环Z中，可逆元的个数是(
D、无限个。17、设f:R1?R2是环同态满射，f(a)?b，那么下列错误的结论为（
）A、若a是零元，则b是零元B、若a是单位元，则b是单位元C、若a不是零因子，则b不是零因子D、若R2是不交换的，则R1不交换18、下列正确的命题是（
）A、欧氏环一定是唯一分解环B、主理想环必是欧氏环C、唯一分解环必是主理想环D、唯一分解环必是欧氏环19. 下列法则，哪个是集A的代数运算(
).A. A=N, a?b=a+b-2
B. A=Z,a?b=a
bC. A=Q, a?b=ab
D. A=R, a?b=a+b+ab20. 设A={所有非零实数x},A的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A到A的一个子集的同态满射的是(
).A. x→-x
D. x→5x21.
在3次对称群S3中，阶为3的元有(
).A. 0个C. 2个
D. 3个22．剩余类环Z6的子环有(
B. 4个C. 5个
D. 6个23、设a,b,c和x都是群G中的元素且x2a?bxc?1,acx?xac，那么x?（
）A.bc?1a?1；
B.c?1a?1；
C.a?1bc?1；
D.b?1ca。24、设f:G1?G2是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（
）A.f的同态核是G1的不变子群;B.G1的不变子群的象是G2的不变子群。C.G1的子群的象是G2的子群；D.G2的不变子群的逆象是G1的不变子群；25、设H是群G的子群，且G有左陪集分类?H,aH,bH,cH?。如果H?6，那么G的阶G?（
D.12。（三）判断题（每小题2分，共12分）1、设A、B、D都是非空集合，则A?B到D的每个映射都叫作二元运算。（
）2、除环中的每一个元都有逆元。（
）（非零元）3、如果循环群G??a?中生成元a的阶是无限的，则G与整数加群同构。（ T ）4、如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群。（
）5、域是交换的除环。（
T ）6、唯一分解环I的两个元a和b不一定会有最大公因子。（
）7、设f：G?是群G到群的同态满射，a∈G，则a与f (a)的阶相同。（
）8、一个集合上的全体一一变换作成一个变换群。（ F ）9、循环群的子群也是循环群。（ T ）10、整环I中的两个元素a，b满足a整除b且b整除a，则a＝b。（
）11、一个环若没有左零因子，则它也没有右零因子。（ F ）12、只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射f?1。（ T ）13、如果环R的阶?2，那么R的单位元1?0。（
）14、指数为2的子群不是不变子群。（ F ）15、在整数环Z中，只有±1才是单位，因此在整数环Z中两个整数相伴当且仅当这两数相等或只相差一个符号。（
）16、两个单位?和??的乘积???也是一个单位。（
）17、环K中素元一定是不可约元；不可约元一定是素元。（
）18、由于零元和单位都不能表示成不可约元之积，所以零元和单位都不能唯一分解。（
）19、整环必是唯一分解环。（
）20、在唯一分解环K中，p是K中的素元当且仅当p是K中的不可约元。（
）21、设K是唯一分解环，则K中任意二个元素的最大公因子都存在，且任意二个最大公因子相伴。（
）22、整数环Z和环Q?x?都是主理想环。（
）23、K是主理想环当且仅当K是唯一分解环。（
）24、整数环Z、数域P上的一元多项式环P?x?和Gauss整环（ Z?i?都是欧氏环。 ）25、欧氏环必是主理想环，因而是唯一分解环。反之亦然。（
）26、欧氏环?主理想环?唯一分解环?有单位元的整环。（
）27、设环?R,?,??的加法群是循环群,那么环R必是交换环. （ T ）28、对于环R,若a是R的左零因子,则a必同时是R的右零因子. （ F ）29、剩余类Zm是无零因子环的充分必要条件是m为素数. （ T ）30、整数环是无零因子环，但它不是除环。（ T ）???0??31、S2????0??????C?是M2?C?的子域. （ ???? ）32、在环同态下，零因子的象可能不是零因子。（
）33、理想必是子环,但子环未必是理想. （
）34、群G的一个子群H元素个数与H的每一个左陪集aH的个数相等. （
）35、有限群G中每个元素a的阶都整除群G的阶。（ T ）三、基本方法与技能掌握。（四）计算题1．设
为整数加群, ,求 [Z:H]??解
在 Z中的陪集有
,所以, [Z:H]?5. ,
2、找出S3的所有子群。解：S3显然有以下子群：本身；（（1））={（1）}；（（12））={（12），（1）}；（（13））={（13），（1）}；（（23））={（23），（1）}；（（123））={（123），（132），（1）}
若S3的一个子群H包含着两个循环置换，那么H含有（12），（13）这两个2-循环置换，那么H含有（12）（13）=（123），（123）（12）=（23），因而H=S3。同理，若是S3的一个子群含有两个循环置换（21），（23）或（31），（32）。这个子群也必然是S3。用完全类似的方法，可以算出，若是S3的一个子群含有一个2-循环置换和一个3-循环置换，那么这个子群也必然是S3。3．求解 Z18的所有子群。 Z18的子群有
容易验证: ;
表为对换的乘积. . (4 2)(2 6)(1 2)(1 3)(2 7)(1 2).5． 设按顺序排列的13张红心纸牌A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K经一次洗牌后牌的顺序变为3, 8, K, A, 4, 10, Q, J, 5, 7, 6, 2, 9问: 再经两次同样方式的洗牌后牌的顺序是怎样的?解 每洗一次牌, 就相当于对牌的顺序进行一次新的置换. 由题意知, 第一次洗牌所对应的置换为
则3次同样方式的洗牌所对应的置换为
6． 在 Z6中, 计算
; (4) . 解
(4)7．试求高斯整环
的单位。（可逆元） ) 为
的单位, 则存在
. 因此可能的单位只有
显然它们都是
的单位. 所以
8． 试求Z12中的所有零因子与可逆元, 并确定每个可逆元的逆元素. 恰有四个单位
:解 由定理可知:
. 为 为 Z12的全部零因子.
Z12的全部可逆元. 直接计算可知, 相应的逆元9、找出模6的剩余类环Z6的所有理想。解：R={[0]，[1]，[2]，[3]，[4]，[5]}。若I是R的一个理想，那么I一定是加群R的一个子群。但加群R是循环群，所以它的子群一定也是循环群， 我们有G1=（[0]）={[0]}G2=（[1]）=（[5]）=RG3=（[2]）=（[4]）={[0]，[2]，[4]}G4=（[3]）={[0]，[3]}易见，G1，G2，G3，G4都是R的理想，因而是R的所有理想。10． 在 Z12中, 解下列线性方程组
解:?x??35???y?????2?1???????1?6?1??1?5??6??11???????1???23????1?????9?? 13????????即
11．求 , . Z18的所有子环.解 设
Z18的任一子环, 则
是 Z18的子加群, 且存在
, . 的可能取值为1, 2, 3, 6, 9, 12。相应的子,
.直接验证可知, 以上六个子加群都关于剩余类的乘法封闭, 所以它们都是 Z18的子环. 于是 Z18恰有6个子环:
的所有理想. 的任意理想, 则 为
的全部理想为
. 的子环， 则
从而由理想的定义知
的理想. 由此知
, .13、数域F上的多项式环F?x?的理想(x2?1,x5?x3?1)是怎样的一个主理想。解 由于?x5?x3?1??x3?x2?1??1，所以1??x2?1,x5?x3?1?，于是得 ?x2?1,x5?x3?1???1??F[x]。14、在
的全部根. , 将它们分别代入
,可知共有16个元素
,共有下列4个元素
的根.15．试举例说明，环R?x?中的m次与n次多项式的乘积可能不是一个m+n次多项式.解 例如，环Z6?x?中多项式f(x)?2x3?x2?3x?5 与 g(x)?3x2?1 的乘积f(x)g(x)?x4?x3?x2?x?就不是3+2次多项式.16.求出域Z3上的所有2次不可约多项式.解
经验算得知，Z3上的2次不可约多项式有三个，它们是：x2?1,x2?x?1,x2?x?1.17、指出下列哪些元素是给定的环的零因子.(1) 在M2(F)中.设A??1?-1?2??2　　?0　　?1　　,B?，C???1　　??4　　?. 0　　002??????(2) 在Z12中,它的全部零因子是哪些.(3) Z11中有零因子吗?解 (1) ?|A|?|C|?0?A,C是零因子,但B不是.(2) Z12中的零因子为[2],[3],[4],[6],[8],[9],[10](3) Z11中没有零因子.19．举例说明，非零因子的象可能会是零因子.20.设R为偶数环.证明：N??4rr?R. 问：N?4是否成立？N是由哪个偶数生成的主理想？ 解： 1) ?4n,4m?N,n,m?R： 4n?4m?4(n?m)?N,?n?m?R 故(4n?4m)?N,N为子加群。2)另外?n?R,?4r?N,r?R(4r)n?4(rn)?N,?rn?R
????n(4r)?(n4)r?(4n)r?4(nr)?N,?n?R?nr?R,4rr?RR. 故n(4r),(4r)n?N.总之有N??
另方面，由于N??4rr?R????,?16,?8,0,8,16,??,且4?N.而且实际上N是偶数环中由8生成的主理想，即 N??4rr?R????8r?8nr?R,n?Z???8nn?Z?，但是? ??4r?4nr?R,n?Z???4nn?Z????,?8,?4,0,4,8,?因此，N?4.实际上是N?8?421、举例说明，素理想不一定是极大理想。22、设H?{(1),(12)},求S3关于H的所有左陪集以及右陪集. 解
S3?{(1),(12),(13),(23), ,(123),(132)}H的所有左陪集为:(1)H?(12)H?{(1),(12)}?H;(13)H?(123)H?{(13),(123)};(23)H?(132)H?{(23),(132)}．H的所有右陪集为:H(1)?H(12)?{(1),(12)};H（13）?H(132)?{(13),(132)};H(23)?H(123)?{(23),(123)}.
四、综合应用能力。（五）证明题1．在群
中, 对任意
.这就证明了唯一性.同理可证另一方程也有唯一解.2．全体可逆的
阶方阵的集合
()关于矩阵的乘法构与
都有唯一解.
的解。 又如 为
的任一解, 即
成一个非交换群. 这个群的单位元是单位矩阵
.每个元素(即可逆矩阵
) 的逆元是
都是 阶可逆矩阵, 则
也是 阶可逆矩阵. 这说明矩阵的乘法是
的代数运算;的乘法也满足结
(2) 因为矩阵的乘法满足结合律, 所以
合律;(3) 设
为 阶单位矩阵, 则
的单位元. , 则
, 且对任意. 从而
中的逆元. 因此
的逆.. 构成群. 由矩阵的乘法易知, 当
，是非交换群. 。那么H是S3的一个子群。证明
I.H对于G的乘法来说是闭的，(1)(1)=(1)，(1)(12)=(12)，(12)(1)=(12)，(12)(12)=(1)；
II.结合律对于所有G的元都对，对于H的元也对；
IV.；V.(1)(1)=(1)，(12)(12)=(1)。4．一个群G的一个不空有限子集H作成G的一个子群的充分而且必要条件是：证明 必要性。H是G的非空子集且H的每一个元素的阶都有限。若H是子群，则由子群的条件必有?a,b?H?ab?H;?ab?H;又充分性。由于H是G的非空子集，若?a,b?HH的每一个元素的阶都有限??a?H,?n?N,?an?e?aan?1?e?a?1?an?1?H， 综上知H是G的子群。6．群
的任何两个子群的交集也是
的子群.证明设(1)(2) 任给
. 从而由定理2知
的子群. , 为
的两个子群, 则
的子群. 则
中左陪集的个数与右陪集的个数相同.
设 , 分别表示
在 中的左、右陪集所组成的集合. 令
所以,. 于是
.(2) 任给(3) 如果
有 , 那么 ,
因此, 为满射
, 从而得 为双射
在 中左陪集的个数与右陪集的个数相同.8．有限群 的任一元素的阶都是群 的阶数的因子. 证明 设G的元a的阶为n, 则a生成一个阶是n的子群，由以上定理，
n整除G的阶。9
与 为群, 是
与 的同构映射,
则为 的单位元;
(2) 任给 证明 (1) 因为
为 ,的逆元.
由消去律知,
如果 是交换群, 则 的每个子群 都是
的正规子群.
为交换群, 所以
的每个左陪集
12． 设 . , , 则 .
也就是证明
的子群.(2) 任给
, , 则所以
, 为 , , 则
的任何两个正规子群的交还是
的正规子群. 证明 设
的两个正规子群
,群. 又任给
的子, 则因为
的正规子群, 所以
的同态映射.
; 中的逆元. 即
是 的单位元, 则
(2) 对于任意的
是 的单位元,
从而有消去律得:(2)
从而可知,15．
设 与群, 则 是 .
. 是群, 是 到 的正规子群. 的满同态.如果 是 的正规子证明 由定理知
,满同态, 所以存在
的子群. 又对任意的
的正规子群. 。 ，的阶为，证明的阶是，其中17． 设是循环群，G与同态，证明是循环群。18．
证明循环群的子群也是循环群。19． 假定和是一个群G的两个元，并且阶是，的阶是，
证明：一方面，，则
同理，；于是由
，有，故，，证明：的阶是，又假定的。 ；
另一方面，若； 的阶是。20．假定H是G的子群，N是G的不变子群，证明HN是G的子群证明：
是一个环, 如果
有单位元, 则
的单位元是唯一的
. 的单位元常记作
的单位元, 则
所以, .ax?b,?x?R，22、设R为实数集，?a,b?R,a?0，令f(a,b):R?R,x将R的所有这样的变换构成一个集合G??f(a,b)?a,b?R,a?0?，试证明：对于变换普通的乘法，G作成一个群。证明 (1)(封闭性)
?　f?a,b?,f?c,d??G　?x?R,
f?a,b?f?c,d??x?　?f?a,b??cx?d??a?cx?d??b?acx??ad?b?　　　　　　?f?ac,ad?b??x?. 由于a?0,c?0?ac?0?
f?ac,ad?b??G?G中元素是封闭的.(2)(结合律)凡是映射的合成都满足结合律.故G中的元素也满足结合律.(3)(单位元)显然f?1,0??G是R的恒等变换?,由定义2知f?1,0?必是G的单位元.(4)(左逆元)?　f?a,b??G 那么?　a?0?
a?0 故f??1b??G
并且f?a,b?f????f?b?f?a,b??? .
(这个等式可以验证)故知?1f?a,b??f?1?b?f?a,b?. aa由上述?1???4??G??f?a,b??a,b?R,a?0?是一个R的变换群.23．全体偶数
个没有单位元的交换环. 关于通常的数的加法与乘法构成一证明：(1) 先证关于加法做成一个群A: 任给
所以, 数的加法与乘法是
的代数运算.B: 因为数的加法满足结合律，所以全体偶数关于加法也满足结合律C: 因为
, 且对任意的
所以数零是
的加法零元. ,
的每个元都有负元, 且
（2）因为数的乘法满足结合律，所以全体偶数关于乘法也满足结合律，交换律（3）数的乘法对加法显然满足分配律。。。。。从而由环的定义知
, 构成交换环, 显然
无单位元.事实上， 如果
（重点） 有单位元 , 则
, , 且对任意的
, , 矛盾., 所以
24、设群G的每个元素x都适合方程x= e，这里e是G的单位元，求证：G是交换群。证明：任意x、y∈G，由x= e，y= e有x= x，y= y。又由(xy)= 22-1-122e有(xy)= xy。从而yx= y x= (xy)= xy．即G是交换群．25． 证明数集
成一个有单位元的交换环.证明： (1) 先证关于加法做成一个群A:任给
所以, 数的加法与乘法是
的代数运算.关于数的加法也满足结, 则
关于数的加法与乘法构 -1-1-1-1B:因为数的加法满足结合律，所以合律，C:因为
, 且对任意的
所以数零为
的零元. , 有
, , 的负元为
. , (2）数的乘法满足结合律，交换律，所以足结合律，交换律（3）乘法对加法显然满足左右分配律，所以也满足分配律所以做成一个交换环因为
, 且对任意的
的单位元. 关于数的乘法满的乘法对加法, 有
26． 在一个无零因子环中, 两个消去律成立. 即设
, 从而 , 或
, 则 . . 因为
无零因子, 且
, , , 所以
. 同理可证另一个消去律成立.27、群G的两个子群的交集还是G的子群。 证明：设H1、H2为G之子群，a、b∈H1∩H2，则a、b∈H1，且a、b∈H2．又H1、H2为子群，故ab-1∈H1，ab-1∈H2，从而ab-1∈H1∩H2．又显然e∈H1∩H2，即H1∩H2非空，故H1∩H2是G之子群．28． 证明
证明 可先证
元都可逆.设
, . 故, 则
为域. 是有单位元的交换环. 下证
, 的每个非零. 令
, 为域.30．
在一个没有零因子的环里所有不等于零的元对于加法来说的阶都是一样的。证明：如果的每一个不等于零的元的阶都是无限大，那么定理是对的。假定的某一个元另一个不等于零的元。由
以 的阶阶。31、设f：R?是环R到环的同态满射，求证：f是R到的同构当且仅当f的核是R的零理想。证明：由于f为同态满射，故f为同构当且仅当f为单射，从而只须证明f为单射当且仅当f的核是R的零理想．若f单射，则由f(0)＝0知f的核是{0}。反之，若f的核是{0}，对任意x、y∈G，若f(x)＝f (y)，则f(x-y)＝0即x-y∈Kerf={0}，故x-y＝0即x= y，f为单射。 的阶；同样可得，的阶的阶是有限整数，而是的 ，可得
的阶。所以的阶，所的34． 设
的非空子集. 证明
的子环的充分必要条件时, 存在非负整数
证明 (充分性) 设
(2)从而由定理知
(必要性) 设
. 的子环. 的子环, 则
的子群. 因. 则任给
为无限循环群, 所以存在非负整数
为环. 证明
的子环. 证明 (1) 因为对任意
,. 从而由定理2知
的子环. 都是
的理想.. 则
的两个理想
证明 (1) 设
且对任意的
的理想. , 则
的理想. , 且
. 又对任意的
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