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高等数学定积分试题
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D51定积分|
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你可能喜欢极限lim f(x)=0 x→+∞的一个充分条件的探讨
通过高等数学的学习不难发现,级数求和“∑”与积分求值“∫”之间很相似,这是因为定积分是由求和定义而来的,这使得两者在各自的性质上有很多类同点.在判断级数收敛时,如果f非负且单调递减,则数项级数∑+∞n=1f(n)与积分∫1+∞f(x)dx有相同的敛散性.另外,如果数项级数∑an收敛,则通项an→0(n→+∞);或者函数项级数∑un(x)一致收敛,则通项un(x)→0(n→∞).这可通过级数收敛或者函数项级数一致收敛的Cauchy准则证明.然而,广义积分∫a+∞f(x)dx(1)收敛与极限li mx→+∞f(x)=0(2)之间却没有这样明显的关系,(1)式收敛一般并不能保证(2)式成立,反之亦然.但是在广义积分(1)收敛的前提下,可以得到极限(2)的一个充分条件.当函数变为单调时,问题常常变得简单,结果一般也更深入.下面的几个命题便是围绕着被积函数单调展开的.定理1设f(x)在[a,+∞)上单调递减,且广义积分(1)式收敛,则极限...&
(本文共2页)
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本硕士论文由两部分组成。第一部分是文献综述，首先简明介绍了非线性泛函分析的发展历史以及本文所讨论的问题，最后列出了一些已有的重要结果。第二部分讨论了微分方程解的存在性问题，同时涉及到解的唯一性及多解性问题。首先利用不动点定理讨论了二阶微分方程Dirichlet边值问题，得到了存在两个正解的充分条件，并通过例子说明了条件的可行性。接着通过建立新的Green函数得到了一类四阶微分方程组存在多解的充分条件。随后讨论了有奇点的初值问题的解的存在性，本文假设中所给条件是关于函数的积分存在性条件。本文在没有利用Green函数的前提下，利用对角序列，同时利用逼近方法得到了正解的存在性结果。对于解的存在性结果一般都要利用不动点定理，但本文将利用不动点指数理论对上述问题解的存在性加以讨论，得到了正解存在的充分条件，并且给出了例子。最后利用极大值原理和不动点定理给出了Dirichlet边值问题存在唯一解的一个充分条件。&
(本文共77页)
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本硕士论文由三部分组成。第一部分是文献综述，首先简明介绍了Li(?)nard系统中有界性与整体渐近性等问题的研究状况，然后介绍了种群生态学的发展状况，最后介绍了本文所讨论的主要问题。第二部分 微分方程基本问题的讨论第一节讨论了一类非线性系统得到此系统有界性的充要条件。第二节
研究了两类系统非线性系统得到了系统(1)的周期解不存在性的四组判别条件，并举一实例用以判别。构造了一广义旋转向量场，用以判别系统(2)周期解的存在性。第三部分对生态问题的研究第一节利用二次型理论研究了一类n维环状自治系统有密度制约模型，得到了判别此类系统稳定平衡点的充分条件。第二节讨论了均有HolingⅡ型功能反应且具有周期系数的顺环模型，得到了该系统存在唯一全局渐近稳定周期解的充分条件。第三节利用积分均值法研究了伪酱油果蝇和锯形果蝇在污染环境中的数学模型，给出了两种群的生存阈值。&
(本文共65页)
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本文第一个研究课题是非线性约束优化问题。该问题一般具有以下两种模型。第一种是不等式约束优化问题(NLP1)：min
f(x)(s．t．) x∈X={x∈(?)~n|c_i(x)≤0，i=1，…，m}，其中f：(?)~n→(?)和c：(?)~n→(?)~m是连续可微函数。如果x∈X并且存在λ∈(?)~m使得▽_xL(x，λ)=0，λ_ic_i(x)=0，i=1，…，m，则称(x，λ)是(NLP1)的一个稳定点，其中L(x，λ)是(NLP1)的Lagrange乘子函数；如果进一步有λ≥0，则称(x，λ)是(NLP1)的一个KKT点。第二种是等式和不等式约束优化问题(NLP2)：其中f：(?)~n→(?)和c：(?)~n→(?)~(m+p)是连续可微函数。如果x∈F并且存在λ∈(?)~(m+p)使得▽_xL(x，λ)=0，λ_ic_i(x)=0，i=1，…，m，则称(x，λ)是(NLP2)的一个稳定点，其中L(x，λ)是(NLP2)...&
(本文共174页)
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在有关微积分的教材中,关于求反函数的导数首先要限定它的直接函数在某一区间内是(严格)单调的,即有结论:如果函数ｘ=φ(ｙ)在某一区间Ｉｙ内(严格)单调、可导,且φ′(ｙ)≠0,则它的反函数ｙ=ｆ(ｘ)在对应区间Ｉｘ内也可导且ｆ′(ｘ)=1φ′(ｙ)[1].事实上,函数ｘ=φ(ｙ)(严格)单调这一假设是分别隐含在函数φ(ｙ)连续且存在反函数及φ(ｙ)可导且φ′(ｙ)≠0这2个条件之中,即假设函数ｘ=φ(ｙ)(严格)单调是多余的.为此,有必要对反函数导数的存在条件进行修改.1　与函数单调性有关的2个定理定理1　设函数ｆ(ｘ)在某区间Ｉ上连续,则ｆ(ｘ)存在反函数的充分必要条件是ｆ(ｘ)在区间Ｉ上(严格)单调.证明:　充分性(略)[2].必要性:　由于ｆ(ｘ)存在反函数,所以,ｆ(ｘ)必为一一对应,即当ｘ1≠ｘ2时,有ｆ(ｘ1)≠ｆ(ｘ2).设ｆ(ｘ1)0(5)同理有　　[ｆ(α)-ｆ(β)][ｆ(ｘ′3)-ｆ(ｘ′4)]0(6)将(...&
(本文共3页)
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我们在研究导数的应用时知道,判定函数f(x)的一个驻点是否为极值点,共有两个充分条件.其一是(第一充分条件)设函数f(x)在点x0的某一邻域内连续,可导[但f′(x0)可以不存在].(1)当x0,当xx0时f′(x)x0时f′(x)0,则函数f(x)在点x0处取得极小值;(3)若f′(x)在x0的两侧符号相同,则函数f(x)在点x0处无极值.其二是(第二充分条件)设函数f(x)在点x0处具有二阶导数,且f′(x0)=0,f″(x0)≠0,则(1)当f″(x0)0时,函数f(x)在x0处取得极小值.第二充分条件表明,如果函数f(x)在驻点x0处的二阶导数f″(x0)≠0,则该驻点x0一定是极值点,并且可以按二阶导数f″(x0)的符号来判定f(x0)是极大值还是极小值.但如果当f″(x0)=0时,第二充分条件就不能应用了.事实上,当f′(x0)=0,f″(x0)=0时,f(x)在x0处可能有极大值,也可能有极小值,或是无极值.例如:...&
(本文共1页)
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