解：（1）EF=BE+DF．（2）EF=BE+DF．证明：延长CB至M，使BM=DF，∵∠ABC+∠D=180°，∠1+∠ABC=180°，∠1=∠D，又∵AB=AD，∴△ABM≌△ADF．∴AF=AM，∠2=∠3．∵∠EAF=∠BAD，∴∠2+∠4=∠BAD=∠EAF．∴∠3+∠4=∠EAF，即∠MAE=∠EAF．又∵AE=AE，∴△AME≌△AFE．∴EF=ME，即EF=BE+BM．∴EF=BE+DF．（3）连接AC，∵AB=AD，BC=CD，AC=AC，∴△ABC≌△ADC（SSS）．∴∠B=∠D，∠DAC=∠BAC．∵∠B+∠D=180°，∴∠B=90°，∠BAC=∠BAD=60°．∴在Rt△ABC中，BC=ABtan60°=，由（2）得EF=BE+DF．∴△CEF的周长=CE+CF+EF=2BC=2．分析：（1）结论虽然没有要求证明，从探求线段DF、BE、EF之间的等量关系可知，证明EF=BE+DF，需要将△ADF绕点A顺时针旋转90°，旋转后点F对应点M，构成△AME再寻找它与△AFE全等的条件；以此为启发，图（2），（3）用类似方法可解．点评：本题综合考查用旋转法证明全等三角形、同时考查了正方形和四边形的有关知识．注意对三角形全等和解直角三角形的综合应用．
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科目：初中数学
题型：阅读理解
29、先阅读理解两条正确结论，并用这两条结论完成应用与探究．阅读：正确结论1．在图甲△ABC中，如果D是AB的中点，DE∥BC交AC于点E，那么E也是AC的中点，及DE是中位线．正确结论2．在图乙梯形ABCD中，如果E为腰AB的中点且EF∥AD∥BC．那么F也是CD的中点，及EF是中位线．应用：如图丙，已知，MN是平行四边形ABCD外的一条直线，AA′、BB′、CC′、DD′都垂直于MN，A′、B′、C′、D′为垂足．求证：AA′+CC′=BB′+DD′．探究：如图丁，若直线MN向上移动，使点C在直线一侧，A、B、D三点在直线另一侧，则垂线段AA′、BB′、CC′、DD′之间存在什么关系？先对结论进行猜想，然后加以证明．
科目：初中数学
小明数学成绩优秀，他平时善于总结，并把总结出的结果灵活运用到做题中是他成功的经验之一，例如，总结出“依次连接任意一个四边形各边中点所得四边形（即原四边形的中点四边形）一定是平行四边形”后，他想到曾经做过的这样一道题：如图1，点P是线段AB的中点，分别以AP和BP为边在线段AB的同侧作等边三角形APC和等边三角形BPD，连接AD和BC，他想到了四边形ABDC的中点四边形一定是菱形．于是，他又进一步探究：如图2，若P是线段AB上任一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，∠APC=∠BPD，连接CD，设点E，F，G，H分别是AC，AB，BD，CD的中点，顺次连接E，F，G，H．请你接着往下解决三个问题：（1）猜想四边形ABCD的中点四边形EFGH的形状，直接回答，不必说明理由；（2）当点P在线段AB的上方时，如图3，在△APB的外部作△APC和△BPD，其它条件不变，（1）中结论还成立吗？说明理由；（3）如果（2）中，∠APC=∠BPD=90°，其它条件不变，先补全图4，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由．
科目：初中数学
（;金华模拟）探究：如图（1），在?ABCD的形外分别作等腰直角△ABF和等腰直角△ADE，∠FAB=∠EAD=90°，连接AC，EF．在图中找一个与△FAE全等的三角形，并加以证明．应用：以?ABCD的四条边为边，在其形外分别作正方形，如图（2），连接EF，GH，IJ，KL．若?ABCD的面积为6，则图中阴影部分四个三角形的面积和为12．推广：以?ABCD的四条边为矩形长边，在其形外分别作长与宽之比为矩形，如图（3），连接EF，GH，IJ，KL．若图中阴影部分四个三角形的面积和为12，求?ABCD的面积？
科目：初中数学
题型：阅读理解
阅读与证明：在一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．如图①，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB=AC，这一结论可以说明如下：解：过点A作AD⊥BC于D，则∠ADB=∠ADC=90°，在△ABD和△ACD中∠B=∠C，∠ADB=∠ADC，AD=AD∴△ABD≌△ACD∴AB=AC请你仿照上述方法在图②中再选一种方法说明以上结论．操作：如图③，点O为线段MN的中点，直线PQ与MN相交于点O，过点M、N作一组平行线分别与PQ交于点M′、N′，则线段MM′一定等腰NN′．想一想，为什么？根据上述阅读与证明的结论以及操作得到的经验完成下列探究活动．探究：如图④，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F．试探究线段AB与AF、CF之间的等量关系，并说明你的结论．
科目：初中数学
（1）探究：如图1，求证：∠BOC=∠A+∠B+∠C．（2）应用：如图2，∠ABC=100°，∠DEF=130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数．
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用三角形中位线的知识来解答∵ABCD是平行四边形,所以AF平行BE,又因为EF平行AB,所以四边形ABEF是平行四边形,所以对角线互相平分,所以G是AE的中点.①因为AB平行CD,AB平行EF,所以CD平行EF,又因为DF平行CE,所以四边形DFEC是平行四边形所以DE与CF互相平分,即H是DE的中点.②在△ADE中,由①和②得,HG//AD,且HG=二分之一AD
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因为四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD且DA//CB
又∵EF//AB∴四边形ABEF和四边形DCEF都是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）∴H是DE中点，G是AE中点（平行四边形对角线互相平分）∴HG是△AED的中位线∴HG//AD且HG=1/2AD(中位线定理)。
该题的是考查三角形中位线的知识点的，看解析：因为ABCD是平行四边形，所以AF//BE，又因为EF//AB，所以四边形ABEF是平行四边形，所以对角线互相平分，所以G是AE的中点。同理，即H是DE的中点。所以在三角形ADE中，HG是平行于AD的中位线，所以HG//AD，且HG=二分之一AD 。...
扫描下载二维码如图,E是正方形ABCD的边CD上的任意一点,F是BC的中点,连接EF,并延长EF交AB的延长线于点G,H是AG中点,连接HF求证：DE=2BH
吾爱破解32767
证明：设HB=x,BG=y因为H是AG的中点所以AG=2HG所以AB=AG-BG=2HG-BG=2(x+y)-y=2x+y所以DC=AB=2x+y因为BF=FC,∠BFG=∠EFC,∠FBG=∠C=90度所以△BFG≌△EFC所以EC=BG=y所以DE=DC-EC=2x+y-y=2x所以DE=2BH
复杂脸看】
这就是正规答案，不复杂。
……我觉得时空的答案比较看的懂- -|||
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有BG=EC（显然）故
2BH+BG=AH+BH=AB =DC=DE+EC=DE+BG所以，DE=2BH
总觉得中间有漏了什么，2BH+BG为什么等于AH+BH
因为BH+BG=AH
不好意思刚刚眼花了……
你以后就学习所谓的正规答案吧，不需要其他的思维了，巧妙灵活的东西不适合你。
扫描下载二维码（2009o绥化）如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE（不需证明）．（温馨提示：在图1中，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE=HF，从而∠1=∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME=∠CNE．）问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论；问题二：如图3，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD的形状并证明．
camhywdtds
（1）取AC中点P，连接PF，PE，可知PE=，PE∥AB，∴∠PEF=∠ANF，同理PF=，PF∥CD，∴∠PFE=∠CME，又PE=PF，∴∠PFE=∠PEF，∴∠OMN=∠ONM，∴△OMN为等腰三角形．（2）判断出△AGD是直角三角形．证明：如图连接BD，取BD的中点H，连接HF、HE，∵F是AD的中点，∴HF∥AB，HF=AB，同理，HE∥CD，HE=CD，∵AB=CD∴HF=HE，∵∠EFC=60°，∴∠HEF=60°，∴∠HEF=∠HFE=60°，∴△EHF是等边三角形，∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°，∴△AGF是等边三角形．∵AF=FD，∴GF=FD，∴∠FGD=∠FDG=30°∴∠AGD=90°即△AGD是直角三角形．
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（1）作出两条中位线，根据中位线定理，找到相等的同位角和线段，进而判断出三角形的形状．（2）利用平行线和中位线定理，可以证得三角形△FAG是等边三角形，再进一步确定∠FGD=∠FDG=30°，进而求出∠AGD=90°，故△AGD的形状可证．
本题考点：
三角形中位线定理；角平分线的性质；等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理．
考点点评：
解答此题的关键是作出三条辅助线，构造出和中位线定理相关的图形．此题结构精巧，考查范围广，综合性强．
扫描下载二维码如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．
（1）证明：∵ABCD为正方形，∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，∵AE=ED，∴，∵DF=DC，∴，∴，∴△ABE∽△DEF；（2） ∵ABCD为正方形，∴ED∥BG，∴，又∵DF=DC，正方形的边长为4，∴ED=2，CG=6，∴BG=BC+CG=10．
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（1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D，根据已知可得，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；（2）根据平行线分线段成比例定理，可得CG的长，即可求得BG的长．
本题考点：
相似三角形的判定；正方形的性质；平行线分线段成比例．
考点点评：
此题考查了相似三角形的判定（有两边对应成比例且夹角相等三角形相似）、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用．解题的关键是数形结合思想的应用．
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