3.2矩阵的秩_百度文库
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矩阵的秩及其应用
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1.7矩阵的秩
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（重定向自）
矩阵与行列式
线性空间与线性变换
在中，一个A的列秩是A的的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性獨立的横行的极大数目。
矩阵的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵A的秩。通常表示为r(A)，rk(A)或rank A。
矩阵的行秩与列秩相等，是的重要组成部分. 其基本证明思路是，矩阵可以看作线性映射的变换矩阵，列秩为像空间的维度，行秩为非零原像空间的维度，因此列秩与行秩相等，即像空间的维度与非零原像空间的维度相等（这里的非零原像空间是指约去了零空间后的商空间：原像空间）。这从矩阵的就可以看出来。
给出这一结果的两种证明. 第一个证明是简短的，仅用到向量的线性组合的基本性质. 第二个证明利用了正交性. 第一个证明利用了列空间的基, 第二个证明利用了行向量空间的基. 第一个证明适用于定义在标量域上的矩阵，第二个证明适用于内积空间。二者都适用于实或复的欧氏空间，也都易于修改去证明当A是线性变换的情形.
令是一个的矩阵，其列秩为. 因此矩阵的列空间的维度是. 令是的列空间的一组基，构成矩阵的列向量，并使得的每个列向量是的个列向量的线性组合. 由矩阵乘法的定义，存在一个矩阵, 使得. (的元素是与的第个列向量的.)
现在，由于, 的每个行向量是的行向量的线性组合，这意味着的行向量空间被包含于的行向量空间之中. 因此的行秩 ≤ 的行秩. 但仅有行, 所以的行秩 ≤
= 的列秩. 这就证明了的行秩 ≤ 的列秩.
把上述证明过程中的“行”与“列”交换，利用对偶性质同样可证的列秩 ≤ 的行秩。更简单的方法是考虑的转置矩阵，则的列秩 = 的行秩 ≤ 的列秩 = 的行秩. 这证明了的列秩等于的行秩. 证毕.
令是矩阵，其行秩是. 因此的行向量空间的维度是，设是的行向量空间的一组基. 如果把这组基当作原像列向量看待，则向量集是线性独立的。 这是因为对一组标量系数，如果:
其中. 则可以推出有两个事实: (a) 是行向量空间的线性组合, 即属于的行向量空间；(b) 由于 = 0, 正交于的所有行向量，从而正交于的行向量空间的所有向量. 事实(a)与(b)结合起来，则正交于自身，这意味着 = 0. 由的定义:
再由是的行向量空间的一组线性独立的基，可知. 因而是线性独立的.
是的列空间中的向量. 因此是的列空间中个线性独立的向量. 所以的列向量空间的维数(的列秩)必然不小于. 这证明了的行秩r ≤ 的列秩. 把这一结果应用于的转置矩阵可以得到: 的列秩 = 的行秩 ≤ 列秩 = 的行秩. 这证明了的列秩等于的行秩，证毕.
最后, 还可以证明rk(A) = rk(A*), 其中A*是A的共轭转置或称施密特转置. 当A的元素都是实数, 这一结果变为rk(A) = rk(AT). 然而对于复系数矩阵，rk(A) = rk(A*)并不等价于行秩等于列秩, 需要用到上述两个证明.
令A是一个m×n矩阵. 定义rk(A)为A的列秩，A*为A的共轭转置或称施密特转置. 首先可知A*Ax = 0当且仅当Ax = 0.
A*Ax = 0 => x*A*Ax = 0 => (Ax)*(Ax) = 0 => ‖Ax‖2 = 0 => Ax = 0,
其中‖·‖是. 这说明A的零空间与A*A的零空间相同. 由, 可得rk(A) = rk(A*A). A*A的每一个列向量是A*的列向量的线性组合. 所以A*A的列空间是A*的列空间的子空间. 从而rk(A*A) ≤ rk(A*). 即: rk(A) = rk(A*A) ≤ rk(A*). 应用这一结果于A*可或得不等式: since (A*)* = A, 可写作rk(A*) ≤ rk((A*)*) = rk(A). 这证明了rk(A) = rk(A*). 证毕.
向量组的秩：在一个 m 维 E 中，一个向量组
的秩表示的是其生成的子空间的维度。考虑 m × n 矩阵 ，将 A 的秩定义为向量组 F 的秩，则可以看到如此定义的 A 的秩就是矩阵 A 的线性无关列向量的极大数目，即 A 的的（列空间是由A的纵列生成的Fm的子空间）。因为列秩和行秩是相等的，我们也可以定义A的秩为A的的维度。
对于每个矩阵A，都是一个线性映射，同时，对每个的 线性映射f，都存在矩阵A使得。也就是说，映射
是一个映射。所以一个矩阵A的秩还可定义为的像的维度（像与核的讨论参见）。矩阵A称为的。这个定义的好处是适用于任何线性映射而不需要指定矩阵，因为每个线性映射有且仅有一个矩阵与其对应。秩还可以定义为n减f的的维度；声称它等于 f的像的维度。
我们假定A是在域F上的m × n矩阵并描述了上述线性映射。
m × n矩阵的秩不大于m或n的一个非负整数，表示為 rk(A) ≤ min(m, n)。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足（或称为“欠秩”）的。
只有零矩阵有秩0
A的秩最大为min(m,n)
f是，当且仅当A有秩n（在这种情况下，我们称A有“满列秩”）。
f是，当且仅当A有秩m（在这种情况下，我们称A有“满行秩”）。
在方块矩阵A (就是m = n)的情况下，则A是的，当且仅当A有秩n（也就是A有满秩）。
如果B是任何n × k矩阵，则AB的秩最大为A的秩和B的秩的小者。即：
推广到若干个矩阵的情况，就是：秩（A1A2...Am）≤min(秩（A1），秩（A2），...秩（Am)）
考虑矩阵的秩的线性映射的定义，令A、B对应的线性映射分别为f和g，则AB表示复合映射f·g，它的象Im f·g是g的像Im g在映射f作用下的象。然而Im g是整个空间的一部分，因此它在映射f作用下的象也是整个空间在映射f作用下的象的一部分。也就是说映射Im f·g是Im f的一部分。对矩阵就是：秩（AB）≤秩（A）。
对于另一个不等式：秩（AB）≤秩（B），考虑Im g的一组：（e1，e2，...，en），容易证明（f(e1)，f(e2)，...，f(en)）生成了空间Im f·g，于是Im f·g的小于等于Im g的维度。对矩阵就是：秩（AB）≤秩（B）。
因此有：秩（AB）≤min(秩（A），秩（B)）。若干个矩阵的情况证明类似。
作为"&"情况的一个例子，考虑积
两个因子都有秩1，而这个积有秩0。
可以看出，等号成立当且仅当其中一个矩阵（比如说A）对应的线性映射不减少空间的维度，即是，这时A是满秩的。于是有以下性质：
如果B是秩n的n × k矩阵，则
如果C是秩m的l × m矩阵，则
A的秩等于r，当且仅当存在一个可逆m × m矩阵X和一个可逆的n × n矩阵Y使得
这裡的Ir指示r × r 。
证明可以通过构造性地给出。
西尔维斯特不等式: 如果 A 是一个 m × n 的矩阵且 B 是 n × k 的, 则
这是下一个不等式的特例.
这个不等式是由提出的: 如果 AB, ABC 和 BC 有定义, 则
子加性: rank(A + B) ≤ rank(A) + rank(B) when A and B are of the same dimension. As a consequence, a rank-k matrix can be written as the sum of k rank-1 matrices, but not fewer.
矩阵的秩加上矩阵的等于矩阵的纵列数（这就是）。
如果 A 是上的矩阵，那么 A 的秩和它对应的秩相等。于是，对于实矩阵
This can be shown by proving equality of their . Null space of the Gram matrix is given by vectors x for which . If this condition is fulfilled, also holds .
如果 A 是上的矩阵且 A* 表示 A 的共轭转置(i.e., A 的), 则
将个维列向量排列成的矩阵A，这个对应矩阵的秩即为原向量组的秩。
原向量组线性相关的充分必要条件为：
则向量组线性无关。另外，不存在
特殊的，若向量的个数大于向量的维数，则根据：
这个向量组必然线性相关。
计算矩阵A的秩的最容易的方式是，即利用矩阵的生成一个行阶梯型矩阵，由于矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，因此A的有同A一样的秩。经过初等变换的矩阵的非零行的数目就是原矩阵的秩。
例如考虑4 × 4矩阵
我们看到第2纵列是第1纵列的两倍，而第4纵列等于第1和第3纵列的总和。第1和第3纵列是线性无关的，所以A的秩是2。这可以用高斯算法验证。它生成下列A的行梯阵形式:
它有两个非零的横行。
在应用在计算机上的的时候，基本高斯消去（）可能是不稳定的，应当使用秩启示（revealing）分解。一个有效的替代者是（SVD），但还有更少代价的选择，比如有支点（pivoting）的，它也比高斯消去在数值上更强壮。秩的数值判定要求对一个值比如来自SVD的一个奇异值是否为零的依据，实际选择依赖于矩阵和应用二者。
计算矩阵的秩的一个有用应用是计算解的数目。如果的秩等于的秩，则方程组只要有一个解。在这种情况下，它有精确的一个解，如果它的秩等于方程的数目。如果的秩大于的秩，则通解有k个自由参量，这裡的 k是在方程的数目和秩的差。否则方程组是不一致的。
在中，矩阵的秩可以用来确定是否为的，或的。
Mackiw, G. (1995). A Note on the Equality of the Column and Row Rank of a Matrix. Mathematics Magazine, Vol. 68, No. 4
Mirsky, Leonid. An introduction to linear algebra. Dover Publications. 1955.  .
Horn, Roger A. and Johnson, Charles R. Matrix Analysis. Cambridge University Press, 1985. .
Kaw, Autar K. Two Chapters from the book Introduction to Matrix Algebra: 1. Vectors
and System of Equationsn阶矩阵A的秩和它的伴随矩阵的秩是否相等?_百度作业帮
n阶矩阵A的秩和它的伴随矩阵的秩是否相等?为什么？能给解释一下吗？
伴随矩阵的秩只有3种可能当r(A)=n时,r(A*)=n当r(A)=n-1时,r(A*)=1当r(A)
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