关于三角形求角度的题目
关于三角形求角度的题目 10
如图，在三角形ABC中，DE在BC上，BD=AB,CE=AC,∠DAE=1/3∠BCA，求∠BAC。
BD=AB,CE=AC所以∠BAD=∠BAE+∠EAD=∠ADE①所以∠CAE=∠CAD+∠EAD=∠AED②在△AED中∠AED+∠ADE+∠DAE=180°③又∠DAE=1/3∠BAC④根据四个式子可得∠BAC+2∠EAD=5∠EAD=180所以∠BAC=3∠EAD=108°
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陈明菲-国家公务员考试：立体图形推理
图形推理之立体图形推理
联创世华公考研究院&&& 陈明菲
&&&&图形推理考查的两种题型中，立体图形推理无疑是难度更大的。它的考查考生对图形的立体空间想象力，需要把握图形面的各个特征与细节，对考生的精力和时间的要求很高，历来是考生头疼的一类题目。本文将对立体图形推理的考点进行梳理，帮助考生多总结立体图形的特征与规律。
&&&&总结历年的真题，我们发现对于立体图形的考查主要分为平面图形的折叠、立体图形的拆分以及空间视图等。以下对此三种题型分类梳理：
&&&&1.平面图形的折叠
&&&&平面图形的折叠是指对平面图形进行重构，组成立体的图形。解答此类题目可以利用相邻面、相对面的规则进行分析。可以说，区分相对面与相邻面是解决空间型图形推理的基础。
&&&&例题：下列选项中哪个是由平面图形折叠而成？
&&&&【联创世华解析】 正确答案为D.本题目是考查的是图形中相对面的关系。在平面图形中，两个相对面有且只有一面出现在立体图形中。在本题中，平面图形中阴影部分的位置是相对的，不能同时出现，所以排除A、B两项；而两两相邻的三面中，必有一面是阴影，排除C项。
&&&&2、立体图形的拆分
&&&&立体图形的拆分是指立体图形拆分开，形成平面图形。做这种题目时，考生不仅要考虑相对面、相邻面，还应该注意特征面位置。
&&&&例题：
【联创世华解析】正确答案为B.本题目是考查的是特征面的位置。仔细观察：在题目给出的立体图形中，特征面是两个有阴影三角形的面，两个阴影三角形的各个边是平行的；由此，立体图形展开后，两个阴影三角形的位置关系不变。在四个选项中，小阴影面翻转后，与大阴影基本重合的只有B。&
&&&&3.空间重构
&&&&空间重构类的题目是近年来兴起的新的考点。这种题目主要考查的是对同一个立体图形不同视角呈现出的视觉效果，比如：俯视图、侧视图、仰视图等。做这类题目考生需要仔细对比不同选项的细节差异，需要考生细心应对。
&&&&例题：
&&&&【联创世华解析】正确答案为A.本题目是考查的是立体图形的视图。本题在结构上是&33型&，目的是为了在两组图形中进行类比。仔细观察：第一组图形分别是同一个立体图形的立体图，俯视图，侧视图，第二组图形分别是立体图、俯视图，空白处应填入侧视图，考生仔细对比不难发现答案选A.
&&&&立体图形推理题目是行测考试中的必考题目，立体图形推理的考查范围逐渐扩大，出题点也在不断更新，比如：立体图形的体积以及重心的考查等。考生必须全面的掌握立体图形的特征和属性，在遇到这类题目时，多尝试从不同的角度分析推理的规律，才能达到事半功倍的效果。【高考聚焦】2015届高考数学（理）一轮复习题库文档（梳理自测+重点突破+能力提升）：专题四&&&立体几何综合题的解答&&人教版
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专题四 立体几何综合题的解答 [对应学生用书P137]考向一 三视图与几何体表面积及体积的计算 (2012?高考湖北卷)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B．3π C. D．6π【方法分析】 题目条件：已知几何体三视图的大小及形状．解题目标：求几何体的体积．关系探究：由侧视图和俯视图可想象几何体为圆柱，由正视图想象是沿圆柱的一半高度斜截去了一部分()，可补形成整个圆柱．【解答过程】 将三视图还原为实物图求体积．由三视图可知，此几何体(如图所示)是底面半径为1，高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的，所以V＝×π×12×4＝3π.【答案】 B【回归反思】 (1)对于不规则的几何体可采用割补法，使之成为规则的几何体，再计算体积或表面积．本题采用了补形法．(2)本圆柱所割去的部分是圆柱的，易当作，错误解答．(3)此类问题分三步解答：第一步，定形，即由几何体的三视图确定几何体的形状及其结构特征；第二步，定量，即由三视图中的数据确定几何体的几何度量；第三步，计算，即把相应数据代入柱、锥、台、球等几何体的体积、表面积公式，计算结果．考向二 空间点、线、面的综合关系及应用 (2013?高考安徽卷)如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，已知PB＝PD＝2，PA＝.(1)证明：PC⊥BD；(2)若E为PA的中点，求三棱锥P－BCE的体积．【方法分析】 题目条件：四棱锥P－ABCD，底面AB＝BC＝CD＝DA，∠BAD＝60°，∠ADC＝120°，PD＝PB，E是PA的中点．解题目标：(1)异面直线PC⊥BD.(2)求VP－BCE.关系探究：(1)连接AC，与BD交于点O，由PB＝PD以及底面为菱形的条件，线面垂直的判定定理可证BD⊥平面APC，从而可证；(2)利用四面体的等积变换，转化为以B为顶点的三棱锥，进而判断三棱锥P－BCE的体积是三棱锥B－APC的体积的一半，代入公式计算．【解答过程】 (1)证明：连接AC，交BD于点O，连接PO.因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，BO＝DO.由PB＝PD知，PO⊥BD.又因为PO∩AC＝O，所以BD⊥平面APC，因此BD⊥PC.(2)因为E是PA的中点，所以V三棱锥P－BCE＝V三棱锥C－PEB＝V三棱锥C－PAB＝V三棱锥B－APC.由PB＝PD＝AB＝AD＝2知，△ABD≌△PBD.因为∠BAD＝60°，所以PO＝AO＝，AC＝2，BO＝1.又PA＝，所以PO2＋AO2＝PA2，所以PO⊥AC，故S△APC＝PO?AC＝3.由(1)知，BO⊥平面APC，因此V三棱锥P－BCE＝V三棱锥B－APC＝??BO?S△APC＝.【回归反思】 (1)证明线线垂直，一般采用线面垂直的性质，而证明线面垂直，又要利用线线垂直或线面垂直．(2)求三棱锥的体积常进行等积转化，即转化为底面积或高易求的三棱锥，如本题中VP－BCE＝VB－PCE＝VB－APC.考向三 线面位置关系的存在性探究 (2012?高考北京卷)如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC、AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2)．(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．【方法分析】 题目条件：平面图形Rt△ACB，∠C＝90°，DE∥CB，翻折后成四棱锥A1－BCDE，BCDE为直角梯形，A1F⊥DC(有平行关系、有垂直关系)．解题目标：(1)DE∥面A1CB(线面平行)(2)A1F⊥BE(线线垂直)(3)探究点Q∈A1B.关系探究：图(1)→图(2)?DE∥BC?DE∥面A1CB图(1)→图(2)?DE⊥面A1DC?A1F⊥面CBED?A1F⊥BE.取A1C中点P，AB中点Q?A1C⊥面DEQP.【解答过程】 (1)证明：因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE?平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.[来源:www.shulihua.net]所以DE⊥平面A1DC.而A1F?平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD.所以A1F⊥平面BCDE，所以A1F⊥BE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.[来源:www.shulihua.net]由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.【回归反思】 (1)平面图形翻折到立体图形，位于折线同一侧的平面中的位置关系及度量不变：如本题图(2)中仍有BC∥DE，DE＝BC，BC⊥DC，DE⊥DC.(2)存在性问题，可以先假设特殊的位置(元素)就是所求，然后证明这个位置(元素)是否适合题意，同时要牢牢抓住“转化”这一武器，线与线、线与面、面与面之间的平行(垂直)，都可互相转化．证明线面平行与垂直关系的难点在于辅助面和辅助线的添加，在添加辅助线和辅助面时一定要以相关性质、定理为依据，绝不能主观臆断．考向四 空间向量与空间角的计算 (2013?高考湖北卷)如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点．(1)记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；(2)设(1)中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足＝.记直线PQ与平面ABC所成的角为θ，异面直线PQ与EF所成的角为α，二面角E－l－C的大小为β，求证：sinθ＝sinαsinβ.【方法分析】 题目条件：三棱锥P－ABC，底面AC⊥BC，PC⊥面ABC，面BEF∩面ABC＝l，l交⊙O于D，PQ与面ABC的角为θ.异面直线PQ与EF的角为α，E－l－C的角为β.解题目标：(1)判断l与面PAC的关系．(2)证明α、β、θ的正弦值的关系．关系探究：(1)EF∥AC→EF∥面ABC→EF∥l→l∥面PAC.(2)建系，用向量分别计算sinθ，sinα及sinβ.【解答过程】 (1)直线l∥平面PAC.证明如下：连接EF，因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC.又EF?平面ABC，且AC?平面ABC，所以EF∥平面ABC.而EF?平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，所以EF∥l.因为l?平面PAC，EF?平面PAC，所以直线l∥平面PAC.(2)(向量法)：如图，由＝，作DQ∥CP，且DQ＝CP.连接PQ，EF，BE，BF，BD.由(1)可知交线l即为直线BD.以点C为原点，向量，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设CA＝a，CB＝b，CP＝2c，则有C(0,0,0)，A(a,0,0)，B(0，b,0)，P(0,0,2c)，Q(a，b，c)，E，F(0,0，c)．于是＝，＝(－a，－b，c)，＝(0，－b，c)，所以cosα＝＝，从而sinα＝＝.取平面ABC的一个法向量为m＝(0,0,1)，可得sinθ＝＝.[来源:www.shulihua.net]设平面BEF的一个法向量为n＝(x，y，z)．由，可得取n＝(0，c，b)．于是|cosβ|＝＝，从而sinβ＝＝.故sinαsinβ＝?＝＝sinθ，即sinθ＝sinαsinβ. [对应学生用书P139]1．(2013?高考山东卷)已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为( )A. B.C.D.解析：选B.画出三棱柱ABC－A1B1C1，作出PA与平面ABC所成的角，解三角形求角．[来源:www.shulihua.net]如图所示，P为正三角形A1B1C1的中心，设O为△ABC的中心，由题意知：PO⊥平面ABC，连接OA，则∠PAO即为PA与平面ABC所成的角．在正三角形ABC中，AB＝BC＝AC＝，则S＝×()2＝，VABC－A1B1C1＝S×PO＝，∴PO＝.又AO＝×＝1，∴tan∠PAO＝＝，∴∠PAO＝.2．(2013?高考全国新课标卷)已知正四棱锥O－ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为________．解析：本题先求出正四棱锥的高h，然后求出侧棱的长，再运用球的表面积公式求解．V四棱锥O－ABCD＝××h＝，得h＝，∴OA2＝h2＋2＝＋＝6.∴S球＝4πOA2＝24π.答案：24π3．(2013?高考湖北卷)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)解析：求出水面的半径，根据圆台的体积公式求出雨水的体积，除以盆口面积即得．圆台的轴截面是下底长为12寸，上底长为28寸，高为18寸的等腰梯形，雨水线恰为中位线，故雨水线直径是20寸，∴降水量为＝3(寸)．答案：34．(2013?高考北京卷)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5.(1)求证：AA1⊥平面ABC；(2)求二面角A1－BC1－B1的余弦值；(3)证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．解析：(1)证明：因为AA1C1C为正方形，所以AA1⊥AC.因为平面ABC⊥平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，所以AA1⊥平面ABC.(2)由(1)知AA1⊥AC，AA1⊥AB.由题知AB＝3，BC＝5，AC＝4，所以AB⊥AC.如图，以A为原点建立空间直角坐标系A－xyz，则B(0,3,0)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)．设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝3，则x＝0，y＝4，所以n＝(0,4,3)．同理可得，平面B1BC1的法向量为m＝(3,4,0)．所以cos〈n，m〉＝＝.由题知二面角A1－BC1－B1为锐角，所以二面角A1－BC1－B1的余弦值为.(3)证明：设D(x1，y1，z1)是线段BC1上一点，且＝λ.所以(x1，y1－3，z1)＝λ(4，－3,4)．解得x1＝4λ，y1＝3－3λ，z1＝4λ.所以＝(4λ，3－3λ，4λ)．由?＝0，即9－25λ＝0，解得λ＝.因为∈[0,1]，所以在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B.此时，＝λ＝.
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旺旺：lisi355下图是从一个立体图形证上面与侧面看到的图形，试回答下列问题：求这个立体图形的体积。（兀取3）_百度知道
下图是从一个立体图形证上面与侧面看到的图形，试回答下列问题：求这个立体图形的体积。（兀取3）
下图是从一个立体图形证上面与侧面看到的图形，试回答下列问题：求这个立体图形的体积。（兀取3）
&教育从业者
来自江苏省教育工作者
本图是长方体中挖掉一圆柱：长方体体积=8*8*（5+10）=960圆柱的体积=3*r^2 *h=3*4*10=120所求体积=960-120=840}