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如图,已知ae等于cf,ab平行dc,de垂直ac于点e,bf垂直ac于点f,1:de等于如图,已知ae等于cf,ab平行dc,de垂直ac于点e,bf垂直ac于点f,&&&1:de等于bf&&2：连接df,be,猜想df和be的关系,并证明
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AB‖DC,所以角BAF=角ECDAE=CF,所以AF=CEDE⊥AC于点E,BF⊥AC于点F在三角形ABF与三角形ECD中角BAF=角ECDAF=CE角AFB=角CED所以三角形ABF全等于三角形ECD所以DE=BF2.DE⊥AC于点E,BF⊥AC于点F所以DE//BF又DE=BF所以四边形EDFB为平行四边形所以DF平行等于BE
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如图AB=CD,AE=CF,DE=BF,请证明△ABF≌△CDE；AB‖CD
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AF=AE+EF=CE,DE=BF,AB=CDSSS,de △ABF≌△CDEDCA=BAFAB‖CD
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因为AE=CF,所以AF=CF,又因为AB=CD，DE=BF所以△ABF≌△CDE，所以角ABC=角ACD.所以AB‖CD
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一、选择题：下面每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项选出来填在相应的表格里，每小题3分，共36分）
1．方程（x﹣3）2=（x﹣3）的根为(
A．3 B．4 C．4或3 D．﹣4或3
2．顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点，所得到的四边形一定是(
A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
3．若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有实数根，则整数a的最大值为(
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
4．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是(
A．7m B．8m C．9m D．10m
5．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，则菱形ABCD的面积是(
A．18 B．18 C．36 D．36
6．在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值约为(
A．12 B．15 C．18 D．21
7．下列各组中的四条线段成比例的是(
A．a=，b=3，c=2，d= B．a=4，b=6，c=5，d=10
C．a=2，b=，c=2，d= D．a=2，b=3，c=4，d=1
8．有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为(
A．8人 B．9人 C．10人 D．11人
9．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是(
A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC C．AB2=ADoAC D．=
10．等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k=0的两个根，则k的值是(
A．27 B．36 C．27或36 D．18
11．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是(
A．2.5 B． C． D．2
12．如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E、F，分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD，若四边形BEDF是菱形，且EF=AE+FC，则边BC的长为(
A．2 B． C．6 D．3
二、填空题：每小题4分，共24分
13．将方程x2+4x=5化为（x+m）2=9，则m=__________．
14．如图，在边长为3的菱形ABCD中，点E在边CD上，点F为BE延长线与AD延长线的交点．若DE=1，则DF的长为__________．
15．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为__________．
16．小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，每一块方砖除颜色外完全相同，它最终停留在黑色方砖上的概率是__________．
17．已知实数m，n满足3m2+6m﹣5=0，3n2+6n﹣5=0，且m≠n，则=__________．
18．如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长度为__________．
三、解答题（共7道题，满分60分）
19．计算下列各题：
（1）x2﹣3x﹣1=0
（2）4x﹣6=（3﹣2x）x．
20．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
（1）画出位似中心点O；
（2）求出△ABC与△A′B′C′的位似比；
（3）以点O为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比等于1.5．
21．如图，平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，∠B=60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）①当AE=__________cm时，四边形CEDF是矩形；
②当AE=__________cm时，四边形CEDF是菱形．
（直接写出答案，不需要说明理由）
22．如图所示，可以自由转动的转盘被3等分，指针落在每个扇形内的机会均等．小明和小华利用这个转盘做游戏，若采用如图所示游戏规则，你认为对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由．
23．天山旅行社为吸引游客组团去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，推出了如下收费标准（如图所示）：
某单位组织员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游？
24．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．
（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．
25．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点P从点B出发以2cm/s的速度向点C移动，同时动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，设它们的运动时间为t．
（1）t为何值时，△CPQ的面积等于△ABC面积的？
（2）运动几秒时，△CPQ与△CBA相似？
（3）在运动过程中，PQ的长度能否为1cm？试说明理由．
学年山东省枣庄市薛城区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：下面每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项选出来填在相应的表格里，每小题3分，共36分）
1．方程（x﹣3）2=（x﹣3）的根为(
A．3 B．4 C．4或3 D．﹣4或3
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【专题】计算题．
【分析】将等式右边式子移到等式左边，然后提取公因式（x﹣3），再根据“两式乘积为0，则至少有一式为0”求出x的值．
【解答】解：（x﹣3）2=（x﹣3）
（x﹣3）2﹣（x﹣3）=0
（x﹣3）（x﹣4）=0
x1=4，x2=3
【点评】方程整理后，容易分解因式的，用分解因式法求解一元二次方程较简单．
2．顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点，所得到的四边形一定是(
A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【考点】中点四边形．
【分析】根据三角形中位线的性质，可得到这个四边形是平行四边形，再由对角线垂直，能证出有一个角等于90°，则这个四边形为矩形．
【解答】解：如图，AC⊥BD，E、F、G、H分别为各边的中点，连接点E、F、G、H．
∵E、F、G、H分别为各边的中点，
∴EF∥AC，GH∥AC，EH∥BD，FG∥BD，（三角形的中位线平行于第三边）
∴四边形EFGH是平行四边形，（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
∵AC⊥BD，EF∥AC，EH∥BD，
∴∠EMO=∠ENO=90°，
∴四边形EMON是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），
∴∠MEN=90°，
∴四边形EFGH是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
【点评】本题考查的是矩形的判定方法，常用的方法有三种：
①一个角是直角的平行四边形是矩形．
②三个角是直角的四边形是矩形．
③对角线相等的平行四边形是矩形．
3．若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有实数根，则整数a的最大值为(
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【分析】由关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有实数根，则a﹣1≠0，且△≥0，即△=（﹣2）2﹣8（a﹣1）=12﹣8a≥0，解不等式得到a的取值范围，最后确定a的最大整数值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有实数根，
∴△=（﹣2）2﹣8（a﹣1）=12﹣8a≥0且a﹣1≠0，
∴a≤且a≠1，
∴整数a的最大值为0．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义和不等式的特殊解．
4．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是(
A．7m B．8m C．9m D．10m
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何图形问题．
【分析】本题可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x﹣2）m，宽为（x﹣3）m．根据长方形的面积公式方程可列出，进而可求出原正方形的边长．
【解答】解：设原正方形的边长为xm，依题意有
（x﹣3）（x﹣2）=20，
解得：x1=7，x2=﹣2（不合题意，舍去）
即：原正方形的边长7m．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用．学生应熟记长方形的面积公式．另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键．
5．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，则菱形ABCD的面积是(
A．18 B．18 C．36 D．36
【考点】菱形的性质．
【分析】根据菱形的对角线平分对角求出∠ABC=60°，过点A作AE⊥BC于E，可得∠BAE=30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AE=3，然后利用菱形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：过点A作AE⊥BC于E，如图：，
∵在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，
∴∠BAE=30°，
∵AE⊥BC，
∴菱形ABCD的面积是=18，
【点评】本题考查了菱形的邻角互补的性质，作辅助线求出菱形边上的高线的长度是解题的关键．
6．在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值约为(
A．12 B．15 C．18 D．21
【考点】利用频率估计概率．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【解答】解：由题意可得，×100%=20%，
解得，a=15．
【点评】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
7．下列各组中的四条线段成比例的是(
A．a=，b=3，c=2，d= B．a=4，b=6，c=5，d=10
C．a=2，b=，c=2，d= D．a=2，b=3，c=4，d=1
【考点】比例线段．
【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
【解答】解：A.×3≠2×，故本选项错误；
B.4×10≠5×6，故本选项错误；
C.2×=×2，故本选项正确；
D.4×1≠3×2，故本选项错误；
【点评】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念和变形是解题的关键，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
8．有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为(
A．8人 B．9人 C．10人 D．11人
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】其他问题；压轴题．
【分析】本题考查增长问题，应理解“增长率”的含义，如果设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，那么由题意可列出方程，解方程即可求解．
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，
第一轮过后有（1+x）个人感染，第二轮过后有（1+x）+x（1+x）个人感染，
那么由题意可知1+x+x（1+x）=100，
整理得，x2+2x﹣99=0，
解得x=9或﹣11，
x=﹣11不符合题意，舍去．
那么每轮传染中平均一个人传染的人数为9人．
【点评】主要考查增长率问题，可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
9．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是(
A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC C．AB2=ADoAC D．=
【考点】相似三角形的判定．
【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．
【解答】解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
C、∵AB2=ADoAC，∴=，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
D、=不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，利用了有两个角对应相等的三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
10．等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k=0的两个根，则k的值是(
A．27 B．36 C．27或36 D．18
【考点】等腰三角形的性质；一元二次方程的解．
【专题】分类讨论．
【分析】由于等腰三角形的一边长3为底或腰不能确定，故应分两种情况进行讨论：①当3为腰时，其他两条边中必有一个为3，把x=3代入原方程可求出k的值，进而求出方程的另一根，再根据三角形的三边关系判断是否符合题意即可；②当3为底时，则其他两条边相等，即方程有两个相等的实数根，由△=0可求出k的值，再求出方程的两个根进行判断即可．
【解答】解：分两种情况：
①当其他两条边中有一个为3时，将x=3代入原方程，
得32﹣12×3+k=0，
解得k=27．
将k=27代入原方程，
得x2﹣12x+27=0，
解得x=3或9．
3，3，9不能够组成三角形，不符合题意舍去；
②当3为底时，则其他两条边相等，即△=0，
此时144﹣4k=0，
解得k=36．
将k=36代入原方程，
得x2﹣12x+36=0，
3，6，6能够组成三角形，符合题意．
故k的值为36．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，一元二次方程根的判别式及三角形的三边关系，在解答时要注意分类讨论，不要漏解．
11．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是(
A．2.5 B． C． D．2
【考点】直角三角形斜边上的中线；勾股定理；勾股定理的逆定理．
【专题】几何图形问题．
【分析】连接AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，∠ACD=∠GCF=45°，再求出∠ACF=90°，然后利用勾股定理列式求出AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【解答】解：如图，连接AC、CF，
∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，
∴AC=，CF=3，
∠ACD=∠GCF=45°，
∴∠ACF=90°，
由勾股定理得，AF===2，
∵H是AF的中点，
∴CH=AF=×2=．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
12．如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E、F，分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD，若四边形BEDF是菱形，且EF=AE+FC，则边BC的长为(
A．2 B． C．6 D．3
【考点】菱形的性质；矩形的性质．
【分析】根据矩形的性质和菱形的性质得∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，AB=BO=3，再由锐角三角函数求出BE，得出AE，即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
即BA⊥BF，
∵四边形BEDF是菱形，
∴EF⊥BD，∠EBO=∠DBF，
∵EF=AE+FC，AE=CF，EO=FO
∴AE=EO=CF=FO，
∴AB=BO=3，∠ABE=∠EBO，
∴∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，
∴BE==2 ，
∴BF=BE=2 ，
∴CF=AE=BE=，
∴BC=BF+CF=3 ，
【点评】本题考查了矩形的性质、菱形的性质以及锐角三角函数；根据题意弄清各个角之间的关系求出角的度数是解决问题的关键．
二、填空题：每小题4分，共24分
13．将方程x2+4x=5化为（x+m）2=9，则m=2．
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】先配方，再根据完全平方公式变形，即可得出答案．
【解答】解：x2+4x=5，
x2+4x+4=5+4，
（x+2）2=9，
故答案为：2．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解此题的关键，题目比较典型，难度不大．
14．如图，在边长为3的菱形ABCD中，点E在边CD上，点F为BE延长线与AD延长线的交点．若DE=1，则DF的长为．
【考点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质．
【专题】几何图形问题．
【分析】求出EC，根据菱形的性质得出AD∥BC，得出相似三角形，根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出即可．
【解答】解：∵DE=1，DC=3，
∴EC=3﹣1=2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴△DEF∽△CEB，
故答案为：．
【点评】本题考查了菱形的性质，相似三角形的性质和判定的应用，注意：菱形的对边互相平行．
15．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为20．
【考点】矩形的性质；三角形中位线定理．
【专题】几何图形问题．
【分析】根据题意可知OM是△ADC的中位线，所以OM的长可求；根据勾股定理可求出AC的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出BO的长，进而求出四边形ABOM的周长．
【解答】解：∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，
∴OM=CD=AB=2.5，
∵AB=5，AD=12，
∴AC==13，
∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，
∴BO=AC=6.5，
∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM=5+6+6.5+2.5=20，
故答案为：20．
【点评】本题考查了矩形的性质、三角形的中位线的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质，题目的综合性很好，难度不大．
16．小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，每一块方砖除颜色外完全相同，它最终停留在黑色方砖上的概率是．
【考点】几何概率．
【分析】根据几何概率的求法：最终停留在黑色的方砖上的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值．
【解答】解：观察这个图可知：黑色区域（4块）的面积占总面积（9块）的，
则它最终停留在黑色方砖上的概率是；
故答案为：．
【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
17．已知实数m，n满足3m2+6m﹣5=0，3n2+6n﹣5=0，且m≠n，则=﹣．
【考点】根与系数的关系．
【专题】计算题．
【分析】由已知两式得到m与n为方程3x2+6x﹣5=0的两根，利用根与关系求出m+n与mn的值，原式通分并利用同分母分式的加法法则变形，将各自的值代入计算即可求出值．
【解答】解：∵实数m，n满足3m2+6m﹣5=0，3n2+6n﹣5=0，且m≠n，
∴x=m与x=n为方程3x2+6x﹣5=0的两根，
∴m+n=﹣2，mn=﹣，
则原式====﹣，
故答案为：﹣
【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
18．如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长度为3cm．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【专题】数形结合．
【分析】根据折叠的性质，只要求出DN就可以求出NE，在直角△CEN中，若设CN=x，则DN=NE=8﹣x，CE=4cm，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出CN的长．
【解答】解：由题意设CN=x cm，则EN=（8﹣x）cm，
又∵CE=DC=4cm，
∴在Rt△ECN中，EN2=EC2+CN2，即（8﹣x）2=42+x2，
解得：x=3，即CN=3cm．
故答案为：3cm．
【点评】本题考查翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．
三、解答题（共7道题，满分60分）
19．计算下列各题：
（1）x2﹣3x﹣1=0
（2）4x﹣6=（3﹣2x）x．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法．
【专题】计算题．
【分析】（1）找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解；
（2）方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：（1）这里a=1，b=﹣3，c=﹣1，
∵△=9+4=13，
（2）方程整理得：x（2x﹣3）+2（2x﹣3）=0，
分解因式得：（x+2）（2x﹣3）=0，
解得：x1=﹣2，x2=1.5．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
20．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
（1）画出位似中心点O；
（2）求出△ABC与△A′B′C′的位似比；
（3）以点O为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比等于1.5．
【考点】作图-位似变换．
【专题】作图题；网格型．
【分析】（1）位似图形对应点连线所在的直线经过位似中心，如图，直线AA′、BB′的交点就是位似中心O；
（2）△ABC与△A′B′C′的位似比等于AB与A′B′的比，也等于AB与A′B′在水平线上的投影比，即位似比为3：6=1：2；
（3）要画△A1B1C1，先确定点A1的位置，因为△A1B1C1与△ABC的位似比等于1.5，因此OA1=1.5OA，所以OA1=9．再过点A1画A1B1∥AB交O B′于B1，过点A1画A1C1∥AC交OC′于C1．
【解答】解：（1）如图．
（2）△ABC与△A′B′C′的位似比为1：2．
【点评】本题考查位似图形的意义及作图能力．画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
21．如图，平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，∠B=60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）①当AE=3.5cm时，四边形CEDF是矩形；
②当AE=2cm时，四边形CEDF是菱形．
（直接写出答案，不需要说明理由）
【考点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定．
【专题】证明题；动点型．
【分析】（1）证△CFG≌△EDG，推出FG=EG，根据平行四边形的判定推出即可；
（2）①求出△MBA≌△EDC，推出∠CED=∠AMB=90°，根据矩形的判定推出即可；
②求出△CDE是等边三角形，推出CE=DE，根据菱形的判定推出即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CF∥ED，
∴∠FCG=∠EDG，
∵G是CD的中点，
在△FCG和△EDG中，
∴△FCG≌△EDG（ASA）
∴四边形CEDF是平行四边形；
（2）①解：当AE=3.5时，平行四边形CEDF是矩形，
理由是：过A作AM⊥BC于M，
∵∠B=60°，AB=3，
∴BM=1.5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，
∵AE=3.5，
∴DE=1.5=BM，
在△MBA和△EDC中，
∴△MBA≌△EDC（SAS），
∴∠CED=∠AMB=90°，
∵四边形CEDF是平行四边形，
∴四边形CEDF是矩形，
故答案为：3.5；
②当AE=2时，四边形CEDF是菱形，
理由是：∵AD=5，AE=2，
∵CD=3，∠CDE=60°，
∴△CDE是等边三角形，
∵四边形CEDF是平行四边形，
∴四边形CEDF是菱形，
故答案为：2．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，矩形的判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，注意：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
22．如图所示，可以自由转动的转盘被3等分，指针落在每个扇形内的机会均等．小明和小华利用这个转盘做游戏，若采用如图所示游戏规则，你认为对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由．
【考点】游戏公平性．
【分析】列表得出所有等可能的情况数，求出两人获胜的概率，比较即可得到结果．
【解答】解：列表得：
1 （1，1） （2，1） （3，1）
2 （1，2） （2，2） （3，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3）
所有等可能的情况有9种，其中两数之积为偶数的情况有5种，之积为奇数的情况有4种，
∴P（小明获胜）=，P（小华获胜）=，
∴该游戏不公平．
【点评】此题考查了游戏公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
23．天山旅行社为吸引游客组团去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，推出了如下收费标准（如图所示）：
某单位组织员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】应用题．
【分析】首先根据共支付给旅行社旅游费用27000元，确定旅游的人数的范围，然后根据每人的旅游费用×人数=总费用，设该单位这次共有x名员工去黄果树风景区旅游．即可由对话框，超过25人的人数为（x﹣25）人，每人降低20元，共降低了20（x﹣25）元．实际每人收了[1000﹣20（x﹣25）]元，列出方程求解．
【解答】解：设该单位去具有喀斯特地貌特征的黄果树旅游人数为x人，则人均费用为1000﹣20（x﹣25）元
由题意得 x[1000﹣20（x﹣25）]=27000
整理得x2﹣75x+1350=0，
解得x1=45，x2=30．
当x=45时，人均旅游费用为1000﹣20（x﹣25）=600＜700，不符合题意，应舍去．
当x=30时，人均旅游费用为1000﹣20（x﹣25）=900＞700，符合题意．
答：该单位这次共有30名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游．
【点评】考查了一元二次方程的应用．此类题目贴近生活，有利于培养学生应用数学解决生活中实际问题的能力．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
24．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．
（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．
【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．
【分析】（1）由正方形的性质得出AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，得出∠AMB=∠EAF，再由∠B=∠AFE，即可得出结论；
（2）由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，
∴∠AMB=∠EAF，
又∵EF⊥AM，
∴∠AFE=90°，
∴∠B=∠AFE，
∴△ABM∽△EFA；
（2）解：∵∠B=90°，AB=12，BM=5，
∴AM==13，AD=12，
∵F是AM的中点，
∴AF=AM=6.5，
∵△ABM∽△EFA，
∴AE=16.9，
∴DE=AE﹣AD=4.9．
【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
25．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点P从点B出发以2cm/s的速度向点C移动，同时动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，设它们的运动时间为t．
（1）t为何值时，△CPQ的面积等于△ABC面积的？
（2）运动几秒时，△CPQ与△CBA相似？
（3）在运动过程中，PQ的长度能否为1cm？试说明理由．
【考点】相似三角形的判定与性质；一元二次方程的应用．
【专题】几何动点问题．
【分析】（1）根据三角形的面积列方程即可求出结果；
（2）设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，①若Rt△ABC∽Rt△QPC，②若Rt△ABC∽Rt△PQC，然后列方程求解；
（3）根据勾股定理列方程，此方程无解，于是得到在运动过程中，PQ的长度能否为1cm．
【解答】解：（1）经过t秒后，PC=4﹣2t，CQ=t，
当△CPQ的面积等于△ABC面积的时，
即（4﹣2t）ot=××3×4，
解得；t=或t=；
∴经过或秒后，△CPQ的面积等于△ABC面积的；
（2）设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，
①若Rt△ABC∽Rt△QPC则=，即=，解之得t=1.2；
②若Rt△ABC∽Rt△PQC则=，=，解之得t=；
由P点在BC边上的运动速度为2cm/s，Q点在AC边上的速度为1cm/s，可求出t的取值范围应该为0＜t＜2，
验证可知①②两种情况下所求的t均满足条件．所以可知要使△CPQ与△CBA相似，所需要的时间为1.2或秒；
（3）∵∠C=90°，
∴（4﹣2t）2+t2=1，
∵此方程无实数解，
∴在运动过程中，PQ的长度不能为1cm．
【点评】本题考查了动点问题，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，特别是（2）注意分类讨论．
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